Phương pháp số trong tính toán kết cấu - Chương III: Tính hệ thanh chịu uốn và kéo nén

5/30/2015 1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC XÂY DỰNG Website:  Bộmôn Cầu và Công trình ngầm Website:  PHƯƠNG PHÁP SỐ  TRONG TÍNH TOÁN KẾT CẤU TS. NGUYỄN NGỌC TUYỂN Website môn học:  Link dự phòng: https://sites.google.com/site/tuyennguyenngoc/courses‐in‐ vietnamese/phuong‐phap‐so‐trong‐tinh‐toan‐ket‐cau Hà Nội, 5‐2015 109 CHƯƠNG III Tính hệ thanh chịu uốn và kéo nén 5/30/2015 2 110 Nội dung chương 3 • 3.1. Các ký hiệu và quy ước • 3.2. Phần tử dầm (Beam) • 3.3. Phần tử khung phẳng (Frame‐2D) • 3.4. Phần tử khung không gian (Frame‐3D) 111 3.1. Các ký hiệu và quy ước • Các ký hiệu địa phương – Hệ trục tọa độ địa phương: o123 – Biến số trong các trục 1, 2, và 3 lần lượt là x, y, và z – Các chuyển vị thẳng tại “Nút i" theo hệ tọa độ địa phương ui1 , ui2 , và ui3 – Các chuyển vị xoay tại “Nút i" theo hệ tọa độ địa phương ui11 , ui22 , và ui33 – Các lực tác dụng tại “Nút i” của phần tử theo phương của các trục 1, 2, và 3 lần lượt là: fi1 , fi2 , và fi3 – Các lực là mô men tác dụng tại “Nút i” của phần tử theo phương của các trục 1, 2, và 3 lần lượt là : fi11 , fi22 , và fi33 1 3 2 5/30/2015 3 112 Các ký hiệu và quy ước (t.theo) – Ma trận độ cứng của phần tử theo hệ tọa độ địa phương: [k] – Véc tơ chuyển vị nút tại “Nút j” của phần tử: {uj} – Véc tơ lực nút tại “Nút j” của phần tử: {fj} – Véc tơ chuyển vị nút của phần tử: {u} – Véc tơ lực nút của phần tử: {f} • Các ký hiệu tổng thể – Hệ trục tọa độ tổng thể: OXYZ – Các chuyển vị thẳng tại “Nút n" theo hệ tọa độ tổng thể bao gồm: UnX , UnY , và UnZ – Các chuyển vị xoay tại “Nút n" theo hệ tọa độ tổng thể bao gồm: UnXX , UnYY , và UnZZ 113 Các ký hiệu và quy ước (t.theo) – Các lực tác dụng tại “Nút n” theo hệ tọa độ tổng thể gồm: FnX ,  FnY , và FnZ – Các lực là mô men tác dụng tại “Nút n” theo hệ tọa độ tổng thể gồm: FnXX , FnYY , và FnZZ – Ma trận độ cứng của phần tử theo hệ tọa độ tổng thể: [K] – Véc tơ chuyển vị nút của “Nút n” : {Un} – Véc tơ lực nút của “Nút n” : {Fn} – Véc tơ chuyển vị nút của phần tử: {U} – Véc tơ lực nút của phần tử: {F} O Y X Z 1 i j 5/30/2015 4 114 Các ký hiệu và quy ước (t.theo) – Ma trận độ cứng tổng thể của cả hệ kết cấu chưa kể tới điều kiện biên: [Ks] – Véc tơ chuyển vị nút tổng thể của cả hệ kết cấu chưa kể tới điều kiện biên: {Us} – Véc tơ lực nút tổng thể của cả hệ kết cấu chưa kể tới điều kiện biên: {Fs} – Ma trận độ cứng tổng thể của cả hệ kết cấu đã kể tới điều kiện biên: [Ko] – Véc tơ chuyển vị nút tổng thể của cả hệ kết cấu đã kể tới điều kiện biên: {Uo} – Véc tơ lực nút tổng thể của cả hệ kết cấu đã kể tới điều kiện biên: {Fo} 115 3.2. Phần tử dầm • Chọn đa thức xấp xỉ và ma trận hàm dạng – Khi bỏ qua biến dạng dọc trục, mọi điểm trên phần tử chỉ tồn tại chuyển vị thẳng theo trục 2 và chuyển vị xoay quanh trục song song với trục 3. – Một điểm bất kỳ có tọa độ x (0 ≤ x ≤ L) trên phần tử sẽ có chuyển vị thẳng v(x) theo trục 2 và chuyển vị xoay tương ứng quanh trục 3 là θ(x) = dv/dx 1i j L J, Evi = ui2 ui2 ui33 uj2 uj33 vj = uj2θi = ui33 θj = uj33 2 5/30/2015 5 116 Phần tử dầm (t.theo) – Số bậc tự do của phần tử là 4, do đó số phần tử của véc tơ tham số {a} cũng là 4 và đa thức xấp xỉ là bậc 3. – Ta chọn đa thức xấp xỉ để biểu diễn hàm chuyển vị trong phần tử như sau: v(x) = a1 + a2x + a3x2 + a4x3 Góc xoay của mặt cắt ngang bất kỳ chính là đạo hàm của v(x) θ(x) = 0 + a2 + 2a3x + 3a4x2 1i j L J, Evi = ui2 ui2 ui33 uj2 uj33 vj = uj2θi = ui33 θj = uj33 2 117 Phần tử dầm (t.theo) – Thực hiện đồng nhất hàm chuyển vị tại các chuyển vị nút: 2 10 i i x u v v a  Tại nút i: 2 3 2 1 2 3 4 j j x L u v v a a L a L a L      33 2 0 i i x dvu a dx      2 33 2 3 42 3 j j x L dvu a a L a L dx        Tại nút j: ui2 ui33 uj2 uj33 i j 5/30/2015 6 118 Phần tử dầm (t.theo) 1 1q a Nếu đặt: 2 3 3 1 2 3 4q a a L a L a L    2 2q a 2 4 2 3 42 3q a a L a L   thì: 1 2 iq u 3 2 jq u 2 33 iq u 4 33 jq u xi jL J, Evi = q1 q1 q2 q3 q4 vj = q3θi = q2 θj = q4 y 119 Phần tử dầm (t.theo) – Hoặc viết dưới dạng ma trận hay: 1 1 2 2 2 3 3 3 2 4 4 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 2 3 q a q a q aL L L q aL L                             Trong đó:     eq A a   2 3 2 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 2 3 A L L L L L         và   1 2 2 3 2 3 2 1 0 0 0 0 1 0 0 3 2 3 1 2 1 2 1 A L L L L L L L L               5/30/2015 7 120 Phần tử dầm (t.theo) – Hàm chuyển vị v(x) của dầm có thể được viết lại như sau: trong đó [N(x)]e là ma trận các hàm dạng của phần tử dầm:           1 2 3 1 2 3 42 2 3 2 3 2 1 0 0 0 0 1 0 0 3 2 3 11 2 1 2 1 e e N x P x A N x x x x N N N N L L L L L L L L                                          1 e eev x P x a P x A q N x q                       1e eq A a a A q   121 Phần tử dầm (t.theo) – Như vậy, hàm chuyển vị v(x) của phần tử dầm chịu uốn là: trong đó: 2 31 2 3 2 3 2 2 2 3 3 2 3 2 3 4 2 1 3 2 2 3 2 x xN L L x xN x L L x xN L L x xN L L                   4 1 i iee i v x N q N x q     5/30/2015 8 122 Phần tử dầm (t.theo) – Với giả thiết mặt phẳng dầm vẫn phẳng và chỉ bị xoay đi góc θ do đó, chuyển vị dọc trục là u có quan hệ với độ võng v như sau: dv dx   y v dv dx dv dx dvu y dx    sin dvu y y dx     123 Phần tử dầm (t.theo) – Biến dạng dọc trục – Hàm chuyển vị , do đó biến dạng có thể được viết lại như sau: trong đó: 2 2 du d vy dx dx          eev x N q       2 2 e e ed Ny q B qdx       2 2 ed NB y dx  2 3 1 2 3 2 3 2 2 2 3 3 2 3 2 3 4 2 1 3 2 2 3 2 x xN L L x xN x L L x xN L L x xN L L            5/30/2015 9 124 Phần tử dầm (t.theo) khai triển ma trận tính biến dạng [B]: – Ứng suất tại mọi điểm trên dầm chịu uốn – Ma trận độ cứng của phần tử dầm được xác định như sau:   2 3 2 2 3 26 12 4 6 6 12 2 6x x x xB y L L L L L L L L                                    eE E B q             e T T V L F k B E B dV E B B dF dx     125 Phần tử dầm (t.theo) khai triển ma trận độ cứng phần tử [k] như sau: trong đó:                         là mô men quán tính của mặt cắt ngang lấy đối với trục 3 (là trục z vuông góc với mặt phẳng chứa dầm)   2 2333 2 12 6 12 6 4 6 2 12 6 4 L L L L LE Ik LL L         Đối xứng 2 33 F I y dF  1i j ui2ui33 uj2 uj33 2 2 33 2 33 i i j ju u u u 2 33 2 33 i i j j u u u u 5/30/2015 10 126 Phần tử dầm (t.theo) – Do hệ tọa độ tổng thể trùng với hệ tọa độ địa phương nên:     2 2333 2 12 6 12 6 4 6 2 12 6 4 L L L L LE IK k LL L          Đối xứng i i j j Y ZZ Y ZZU U U U i Y i ZZ j Y j ZZ U U U U Xi j UiYUiZZ UjY UjZZ Y 127 Phần tử dầm (t.theo) • Ví dụ 3.1.  Cho kết cấu dầm liên tục như hình vẽ: – Tìm các chuyển vị và góc xoay tại các gối – Vẽ biểu đồmômen uốn trong hệ Eo = 200000MPa Io = 20000mm4 Lo = 4000mm P = 15000N w = 4N/mmLo/2 Lo 1 2Eo, Io P Lo/2 Eo, 2Io w 21 3 5/30/2015 11 128 Phần tử dầm (t.theo) Hệ có 6 bậc tự do: – Bốn bậc tự do bằng 0 đã biết là: θ1, v1, v2 và v3 – Hai bậc tự do chưa biết là: θ2 và θ3 – Quy ước dấu: v1 = 0 θ2θ1 = 0 θ3 v2 = 0 v3 = 0 129 Phần tử dầm (t.theo) Bả ng tr a m ôm en ch o m ột số ph ần tử m ẫu 5/30/2015 12 130 Phần tử dầm (t.theo) Xác định lực nút phần tử dựa trên bảng tra nội lực phần tửmẫu: – Phần tử 1 – Phần tử 2   2 2 2 12g wLM  2 2 0.5 24 wLM 3 gM gM 0.5M w 1 1 8g PLM  2 gM gM 0.5M P 1 0.5 8 PLM  1 1 8 PL 2 P 2 2 P 1 8 PL 2 2 2 12 wL w 2 L 3 w 2 L 2 2 12 wL 131 5/30/2015 13 132 133 5/30/2015 14 134 135 5/30/2015 15 136 137 5/30/2015 16 138 139 5/30/2015 17 140 141 5/30/2015 18 142 143 5/30/2015 19 144 Phần tử dầm (t.theo) 1 2 7500N m 7500N m  0.5M P 7500N 7500N 2 3 0.5M w 5333N m 5333N m  8000N 8000N 1 2 100N m  200N m 75N 75N 2 3 2367N m 5333N m 1925N 1925N 145 Thuật toán sử dụng ma trận chỉ số [b] để thiết lập ma trận độ cứng tổng thể [Ko] (1). Tạo ma trận chỉ số nút [b]  (2). Xác định số ẩn số Sas. (3). Tạo ma trận số không [k]  có kích thước là [Sas*Sas] i := 1 i <= Spt j := 1 j <= 4 t := 0 {c} := [0,0,0,0] T   [kk] := [K] i {bi} := [b] (i) T bi j = 0 x := 1 x <= t t := t + 1 c t := j j := j + 1 i := i + 1 , , ,:c c c c x tx t x tbi bi bi bi c ck k kk  x < t , , ,:c c c c t xt x t xbi bi bi bi c ck k kk  x := x + 1 Đưa ra [Ko] Begin [Ko] := [k] End + ‐ + + + + ‐ ‐ ‐ ‐ 5/30/2015 20 146 Phần tử dầm (t.theo) • Bài tập 3.1.  Cho kết cấu dầm liên tục như hình vẽ: – Tìm các chuyển vị và góc xoay tại các gối – Vẽ biểu đồmômen uốn trong hệ Eo = 200000MPa Io = 20000mm4 Lo = 4000mm P = 15000N w = 4N/mmLo/2 Lo 1 2Eo, Io P Lo/2 Eo, 2Io w 21 3 147 Phần tử dầm (t.theo) • Bài tập 3.2.  Cho kết cấu dầm liên tục như hình vẽ: – Tìm các chuyển vị và góc xoay tại các gối – Vẽ biểu đồmômen uốn trong hệ Eo = 200000MPa Io = 20000mm4 Lo = 4000mm ko = 10kN/m P = 15000N w = 4N/mm Lo/2 Lo 1 2Eo, Io P Lo/2 Eo, 2Io w 21 3 ko 5/30/2015 21 148 Phần tử dầm (t.theo) • Trường hợp phần tử Beam có xét đến biến dạng dọc: – Nếu kể đến biến dạng dọc trục trong phần tử dầm thì mỗi nút thuộc phần tử có số bậc tự do là 3 => số bậc tự do của phần tử là 6. – Ma trận độ cứng của phần tử dầm có xét biến dạng dọc được kết hợp giữa ma trận độ cứng của phần tử thanh dàn (chỉ chịu nén) và ma trận độ cứng của phần tử dầm (chỉ chịu uốn)      truss beamK K K  149 Phần tử dầm (t.theo)      truss beamK K K  Xi j UiYUiZZ UjY UjZZ Y UiX UjX   2 2333 2 12 6 12 6 4 6 2 12 6 4 beam L L L L LE IK LL L         Đối xứng i i j j Y ZZ Y ZZU U U U i Y i ZZ j Y j ZZ U U U U   us 1 1 1 1 tr s AEK L      i j X XU U i X j X U U 5/30/2015 22 150 Phần tử dầm (t.theo) Ma trận độ cứng của phần tử dầm (trong hệ tọa độ địa phương,  OXY ≡ o12) có xét đến biến dạng dọc trục: Đối xứng   3 2 3 2 2 3 2 0 0 0 0 12 6 12 60 4 6 20 0 0 12 6 4 EA EA L L EI EI EI EI L L L L EI EI EI L L LK EA L EI EI L L EI L                      i i i j j j X Y ZZ X Y ZZU U U U U U i X i Y i ZZ j X j Y j ZZ U U U U U U 151 3.3. Phần tử khung phẳng 2D‐Frame • Xét phần tử dầm chỉ chịu uốn trong hệ tọa độ phẳng – Trong hệ tọa độ địa phương o12, chuyển vị v(x) của phần tử dầm chịu uốn được biểu diễn qua véc tơ chuyển vị nút như sau: trong đó:      v x N x q         1 2 3 4T Ti i j jq v v q q q q   5/30/2015 23 152 Phần tử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo) – Trong hệ tọa độ tổng thể OXY các chuyển vị nút vi và vj có thể được phân tích thành các thành phần theo hai phương X và Y. Khi đó, nếu gọi véc tơ chuyển vị nút phần tử trong hệ tọa độ OXY là {Q}  thì:    1 2 3 4 5 6 TQ Q Q Q Q Q Q    Ti i i j j jX Y ZZ X Y ZZQ U U U U U U X α UjY = Q5 UjX = Q4 UiX = Q1 UiY = Q2 153 Phần tử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo) – Quan hệ giữa {q} và {Q} như sau: trong đó: α là góc nghiêng giữa trục phần tử o1 với trục nằm ngang OX.         1 1 2 1 2 2 3 3 4 5 4 5 4 6 sin cos sin cos q Q Q m Q l Q q Q q Q Q m Q l Q q Q                       X α UjY = Q5 UjX = Q4 UiX = Q1 UiY = Q2 5/30/2015 24 154 Phần tử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo) Hoặc biểu diễn quan hệ {q}e và {Q}e dưới dạng ma trận: [T] được gọi là ma trận biến đổi trục tọa độ, trong đó l và m là các cosin chỉ phương của trục phần tử o1 trong hệ tọa độ tổng thể.      1 2 3 4 5 6 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 '0 0 0 0 0 1 ' Q Qm l Q q T Q Qm l q q                           0 0 0 0 sin cos 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 sin cos 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 m l T m l                                      4 1 4 6 6 1 q T Q     155 Phần tử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo) Tương tự, quan hệ giữa lực nút trong hệ tọa độ địa phương {f}e và lực nút trong hệ tọa độ tổng thể {F}e dưới dạng ma trận: – Xét phương trình cân bằng PT trong hệ tọa độ địa phương:            4 1 4 6 6 1 f T F            k T Q T F            T TT k T Q T T F         TT k T Q F      k q f       TK T k T 5/30/2015 25 156 Phần tử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo) – Ma trận độ cứng phần tử dầm trong hệ tọa độ tổng thể OXY là [K]beam được xác định như sau: trong đó: [k] là ma trận độ cứng phần tử dầm trong tọa độ o12       beam TK T k T   2 2333 2 12 6 12 6 4 6 2 12 6 4 L L L L LE Ik LL L         Đối xứng 2 33 2 33 i i j ju u u u 2 33 2 33 i i j j u u u u 1 i j ui2 ui33 uj2 uj33 2 157 Phần tử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo) Thực hiện các phép nhân ma trận: Ta được ma trận độ cứng của phần tử dầm trong hệ tọa độ tổng thể OXY như sau:       beam TK T k T                         2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 12 12 6 12 12 6 12 6 12 12 6 4 6 6 2 12 12 6 12 6 4 beam m lm L m m lm L m l L l lm l L l L L m L l LEIK L m lm L m l L l L                 Đối xứng i i i j j j X Y ZZ X Y ZZU U U U U U i X i Y i ZZ j X j Y j ZZ U U U U U U 5/30/2015 26 158 Phần tử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo) – Nhớ lại ma trận độ cứng tổng thể của phần tử thanh dàn trong hệ tọa độ tổng thể OXY:  cos sin l m      2 2 2 2 2 2 2 2 truss l lm l lm lm m lm mEAK L l lm l lm lm m lm m             i i j j X Y X YU U U U i X i Y j X j Y U U U U 159 Phần tử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo) hoặc viết lại dưới dạng tổng quát như sau:   2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 truss l lm l lm m lm m EAK L l lm m              Đối xứng i X i Y i ZZ j X j Y j ZZ U U U U U U i i i j j j X Y ZZ X Y ZZU U U U U U X α UjY UjX UiX UiYcos sin l m     5/30/2015 27 160 Phần tử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo) • Phần tử khung phẳng (2D‐Frame)  – Là phần tử chịu kéo (nén) và uốn đồng thời; • Mỗi phần tử khung phẳng có 2 nút; • Mỗi nút thuộc phần tử có 3 bậc tự do Trong hệ tọa độ tổng thể OXY  các chuyển vị nút bao gồm: + Chuyển vị ngang UiX + Chuyển vị đứng UiY + Chuyển vị xoay UiZZ = θi Trong hệ tọa độ địa phương o12 các chuyển vị nút bao gồm: + Chuyển vị dọc trục thanh: ui1 + Chuyển vị thẳng góc với trục thanh: ui2 + Chuyển vị xoay ui33 = θi UjY UjX UiX UiY 161 Phần tử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo) – Các chuyển vị tại nút của phần tử sẽ gây ra 2 nhóm biến dạng độc lập trong phần tử, cụ thể như sau: • Phần tử bị biến dạng dọc trục bởi các chuyển vị dọc trục thanh:  {ui1 , uj1}T (truss) • Phần tử bị biến dạng uốn bởi các chuyển vị thẳng góc với trục thanh và các chuyển vị xoay:  {ui2 , θi , uj2 , θj}T (beam) – Do vậy, ma trận độ cứng phần tử khung phẳng (2D‐Frame)  trong hệ tọa độ tổng thể OXY là [K] được xác định như sau:      truss beamK K K  UjY UjX UiX UiY 5/30/2015 28 162 Phần tử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo) – Ma trận độ cứng phần tử khung phẳng 2D‐Frame trong hệ tọa độ tổng thể OXY là : Đối xứng       2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 12 12 6 12 12 6 12 6 12 12 6 6 64 2 12 I I I I I IAl m A lm m Al m A lm m L L L L L L I I I I IAm l l A lm Am l l L L L L L I II m l IE L LK L IAl m L                                                                                         2 2 2 2 12 6 12 6 4 I IA lm m L L I IAm l l L L I                                           i X i Y i ZZ j X j Y j ZZ U U U U U U i i i j j j X Y ZZ X Y ZZU U U U U U 163 Phần tử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo) Hoặc có thể viết gọn hơn bằng cách đặt 212IB L                             2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 4 BL BLAl Bm A B lm m Al Bm A B lm m BL BLAm Bl l A B lm Am Bl l BL BLI m l IEK L BLAl Bm A B lm m BLAm Bl l I                                                              Đối xứng i i i j j j X Y ZZ X Y ZZU U U U U U i X i Y i ZZ j X j Y j ZZ U U U U U U 5/30/2015 29 164 Phần tử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo) • Trình tự giải bài toán khung phẳng – (B1). Tính các ma trận độ cứng phần tử (theo hệ tọa độ tổng thể) cho từng phần tử [K]e – (B2). Xây dựng ma trận chỉ số nút [b] – (B3). Sử dụng ma trận chỉ số nút [b] để thiết lập ma trận độ cứng tổng thể của hệ đã kể tới điều kiện biên [Ko] – (B4). Tính các véc tơ lực nút {F}e cho từng phần tử theo hệ tọađộ tổng thể – (B5). Sử dụng ma trận chỉ số nút [b] để thiết lập véc tơ lực nút tổng thể {Fo} đã kể tới điều kiện biên 165 Phần tử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo) – (B6). Giải hệ phương trình:  [Ko] {Uo} = {Fo} để tìm các chuyển vị nút chưa biết {Uo} theo hệ tọa độ tổng thể – (B7). Từ các chuyển vị nút {Uo} và các chuyển vị nút bằng 0 đã biết (theo điều kiện biên của bài toán), thiết lập véc tơ chuyển vị nút của từng phần tử theo hệ tọa độ tổng thể {Q}e – (B8). Tính các giá trị nội lực tại nút của phần tử (do riêng các chuyển vị nút gây ra) theo công thức sau:  {Fu}e = [K]e{Q}e – (B9). Tính các giá trị nội lực tại nút của phần tử do riêng tải trọng cục bộ tác dụng lên các phần tử của hệ cơ bản gây ra:  {Fp}e = ‐ {F}e 5/30/2015 30 166 Phần tử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo) – (B10). Các giá trị nội lực cuối cùng tại nút của phần tử (theo hệ tọa đô tổng thể) là tổng của 2 nguyên nhân trên và bằng:  {MV}e = {Fu}e + {Fp}e Các giá trị của véc tơ {MV}e thực chất chỉ là các lực ngang, lựcđứng và mô men tại 2 nút của phần tử theo hệ tọa độ tổng thể   i X i Y i ZZ e j X j Y j ZZ F F F MV F F F              167 Phần tử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo) – (B11). Vẽ biểu đồmômen và lực cắt trong các phần tử Do các giá trị của véc tơ {MV}e là các nội lực tại các nút của phần tử trong hệ tọa độ tổng thể => Để vẽ được các biểu đồ nội lực cần quy đổi các giá trị nội lực trên về hệ tọa độ địa phương của phần tử. Tiến hành làm như sau:   i i X Yi i i i X Y i i ZZ e j j j X Y j j j X Y j j ZZ l F m FN V m F l F M F mv N l F m F V m F l F M F                                             5/30/2015 31 168 Phần tử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo) Hoặc có thể biểu diễn dưới dạng véc tơ như sau: trong đó, [T] là ma trận chuyển từ hệ tọa độ tổng thể sang hệ tọa độ địa phương:     e emv T MV    2 2 ;j i j i j i j i X X Y Y l m L L L X X Y Y          0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 l m m l T l m m l            169 Phần tử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo) w “Nội lực trong khung” bằng “Nội lực do tải trọng cục bộ tác dụng lên khung bị chốt tại nút”  cộng với “Nội lực trong khung do các chuyển vị nút gây ra” 5/30/2015 32 170 Phần tử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo) • Ví dụ 3.2.  Cho hệ khung phẳng như hình vẽ – Phần tử 1 và 2 có cùng chiều dài Lo và mô đun đàn hồi Eo – Mômen quán tính của phần tử 1 là Io, của phần tử 2 là 2Io Yêu cầu: 1. Tìm các chuyển vị nút và các phản lực tại nút. 2. Vẽ biểu đồmômen uốn. Eo = 200000MPa Ao = 6000mm2 Io = 500000mm4 Lo = 4000mm P = 15000N w = 3N/mm P 1 2 1 2 3 Lo Lo w E  Io E  2Io 171 5/30/2015 33 172 173 5/30/2015 34 174 175 5/30/2015 35 176 Xem giải thích ở  cuối ví dụ ! 177 5/30/2015 36 178 179 5/30/2015 37 180 181 5/30/2015 38 182 183 5/30/2015 39 184 185 Giải thích cách tạo ma trận Kof Đối xứng       2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 12 12 6 12 12 6 12 6 12 12 6 6 64 2 12 I I I I I IAl m A lm m Al m A lm m L L L L L L I I I I IAm l l A lm Am l l L L L L L I II m l IE L LK L IAl m L                                                                                         2 2 2 2 12 6 12 6 4 I IA lm m L L I IAm l l L L I                                           i X i Y i ZZ j X j Y j ZZ U U U U U U i i i j j j X Y ZZ X Y ZZU U U U U U 5/30/2015 40 186 Giải thích cách tạo ma trận Kof 2 2/1 1 1i j N mm Nd d mm mm mm        2 2/1 2 2i j N mm Nd d mm mm mm        2 4/1 33 33i j N mm mmd d N mm mm        2 2/2 2 4i j N mm Nd d mm mm mm        2 4/2 33 66i j N mm mmd d N mm mm        2 4/33 33 1089i j N mmd d mm N mm mm         187 Phần tử khung phẳng 2D‐Frame (t.theo) • Bài tập 3.3.  Cho hệ khung phẳng như hình vẽ Yêu cầu: 1. Tìm các chuyển vị nút và các phản lực tại nút. 2. Vẽ biểu đồmômen uốn. Eo = 200000MPa Ao = 6000mm2 Io = 500000mm4 Lo = 4000mm P = 15000N w = 3N/mm P 1 2 3 Lo Lo w Eo Io Eo 2Io 60o Eo Io 4 5/30/2015 41 188 3.4. Phần tử khung không gian 3D‐Frame • Định nghĩa phần tử khung không gian 3D‐Frame – Là phần tử dầm thẳng có tiết diện không đổi mà trên mặt cắt ngang của nó có thể tồn tại các thành phần nội lực sau: • Lực dọc N1 • Mômen uốn trong 2 mặt phẳng quán tính chính là M22 và M33 • Mômen xoắn theo trục của dầmM11 • Lực cắt theo 2 trục chính của mặt cắt ngang là V22 và V33. • Chú ý: Do ảnh hưởng của biến dạng cắt là tương đối nhỏ nên thường được bỏ qua => khi đó, trong ma trận độ cứng của phần tử sẽ không có thành phần liên quan đến biến dạng cắt. 189 Phần tử khung không gian 3D‐Frame (t.theo) – Các thành phần nội lực trong phần tử khung không gian theo hệ tọa độ địa phương 1 2 3 N11 N11 M11 M11 V22 V33 V22 V33 M33 M33 M22 M22 1 2 3 1 11 2 22 3 33 11 11 22 22 33 33 i i i i i i f N f V f V f M f M f M        1 11 2 22 3 33 11 11 22 22 33 33 j j j j j j f N f V f V f M f M f M        5/30/2015 42 190 Phần tử khung không gian 3D‐Frame (t.theo) – Các chuyển vị nút của phần tử theo hệ tọa độ địa phương 1 2 3 uj1 ui1 ui11 uj11 ui2 ui3 uj2 uj3 ui33 uj33 ui22 uj22 1 1 2 2 3 3 11 4 22 5 33 6 i i i i i i u q u q u q u q u q u q        1 7 2 8 3 9 11 10 22 11 33 12 j j j j j j u q u q u q u q u q u q        191 Phần tử khung không gian 3D‐Frame (t.theo) • Véc tơ chuyển vị nút của phần tử 3D‐Frame – Mỗi nút thuộc phần tử có 6 bậc tự do => phần tử 3D‐Frame có 12 bậc tự do. – Véc tơ chuyển vị nút phần tử theo hệ tọa độ địa phương {q}e trong đó: • q1 và q7: là các chuyển vị dọc trục phần tử (trục 1) và chỉ gây biến dạng dọc trục thanh • q4 và q10: là các góc xoắn quanh trục của phần tử (trục 11)  và chỉ gây biến dạng xoắn trong thanh • q2 và q8: là các chuyển vị thẳng theo phương trục 2 => gây uốn trong mặt phẳng o12    1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Teq q q q q q q q q q q q q 5/30/2015 43 192 Phần tử khung không gian 3D‐Frame (t.theo) • q6 và q12: là các góc xoay quanh trục 33 => gây uốn trong mặt phẳng o12 • q3 và q9: là các chuyển vị thẳng theo phương trục 3 => gây uốn trong mặt phẳng o13 • q5 và q11: là các góc xoay quanh trục 22=> gây uốn trong mặt phẳng o13 – Như vậy, 12 chuyển vị nút này gây ra 4 nhóm biến dạng độc lập nhau • Có thể xét riêng rẽ các nhóm biến dạng • Ma trận độ cứng [k]e của phần tử 3D‐Frame có kích thước (12x12) sẽ được thiết lập từ 4 ma trận con tương ứng với 4  nhóm biến dạng kể trên. 193 Phần tử khung không gian 3D‐Frame (t.theo) • Xây dựng ma trận độ cứng phần tử khung không gian [k]e theo hệ tọa độ địa phương Ma trận độ cứng của bài toán biến dạng dọc trục: Là ma trận độ cứng của phần tử dàn (Truss) trong tọa độ trục: Ma trận độ cứng của bài toán biến dạng xoắn:  Tương tự như đối với bài toán biến dạng dọc trục ta có • Phần tử chịu xoắn cũng chỉ có 2 bậc tự do => có thể giả thiết hàm góc xoắn là đa thức bậc nhất θx(x) = a1 + a2x   1 7 1 1 1 1e q q AEK L      5/30/2015 44 194 Phần tử khung không gian 3D‐Frame (t.theo) • Hàm góc xoắn được nội suy theo các bậc tự do q4 và q10 trong đó: [N] = ma trận các hàm dạng • Trên mặt cắt ngang của phần tử chỉ tồn tại biến dạng góc γyz và ứng suất tiếp τyz       4 10 x x q x N N q q         1 x xN L L               x yz dr dx   yz yzG   (r = khoảng cách từ tâm đến điểm khảo sát)