Phương pháp số trong tính toán kết cấu - Chương II: Tính hệ thanh chịu kéo nén đúng tâm (phần tử thanh dàn ‐ truss)

5/30/2015 1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC XÂY DỰNG Website:  Bộmôn Cầu và Công trình ngầm Website:  PHƯƠNG PHÁP SỐ  TRONG TÍNH TOÁN KẾT CẤU TS. NGUYỄN NGỌC TUYỂN Website môn học:  Link dự phòng: https://sites.google.com/site/tuyennguyenngoc/courses‐in‐ vietnamese/phuong‐phap‐so‐trong‐tinh‐toan‐ket‐cau Hà Nội, 5‐2015 43 CHƯƠNG II Tính hệ thanh chịu kéo nén đúng tâm (Phần tử thanh dàn ‐ Truss) 5/30/2015 2 44 Nội dung chương 2 • 2.1. Bài toán lò xo • 2.2. Phần tử thanh dàn trong một trục tọa độ (1D) • 2.3. Phần tử thanh dàn trong hệ tọa độ phẳng (2D) • 2.4. Phần tử thanh dàn trong hệ tọa độ không gian (3D) 45 2.1. Bài toán lò xo • (1). Hệ có một lò xo – Xét một lò xo có độ cứng K – Coi lò xo là một phần tử có 2  nút ở đầu được ký hiệu là nút i và nút j. – Giả sử cần tìm quan hệ giữa chuyển vị nút ui & uj với các lực nút fi & fj. => Tách riêng 2 trường hợp sau: 21 fi fj ui uj ji O x 5/30/2015 3 46 Bài toán lò xo (t.theo) – Trường hợp (a): cố định tại nút i – Trường hợp (b): cố định tại nút j – Áp dụng nguyên lý chồng chất lực: ji fi fj ui uj ji fib fj b uib ujb a a j j a a i j f K u f f      b b i i b b i j f K u f f      a b a b i i i j i a b a b j j j j i f f f K u K u f f f K u K u               ji fia fj a uia uja a a j j a a i j f K u f K u        b b i i b b j i f K u f K u        O x 47 Bài toán lò xo (t.theo) – Do ui = uia + uib = 0 + uib = uib và uj = uja + ujb = uja + 0 = uja nên có thể viết lại hệ như sau: – Như vậy, quan hệ giữa lực nút và chuyển vị nút có thể được viết dưới dạng ma trận như sau:  ji ji ji fia fj a uia uja fi fj ui uj fib fj b uib ujb i i j j i j f K u K u f K u K u          i i j j u fK K u fK K                 O x 5/30/2015 4 48 Bài toán lò xo (t.theo) • (2). Hệ có nhiều lò xo – Xét hệ gồm có 2 lò xo A và B có độ cứng lần lượt là K1 và K2  chịu các lực tại nút như hình vẽ: – Lò xo A được gọi là phần tử 1; lò xo B được gọi là phần tử 2;  mỗi phần tử có 2 nút (tại đầu i và j của phần tử) . 32fi2 fj2 ui2 uj2 21fi1 fj1 ui1 uj1 1 2 1 2 321 U3U2U1 F3 F2 F1 i j i j O x 49 Bài toán lò xo (t.theo) – Ký hiệu tổng thể cho cả hệ: • Toàn hệ có 3 nút được đánh số: 1, 2 và 3 • Véc tơ chuyển vị nút: {U} = {U1, U2, U3}T • Véc tơ lực nút: {F} = {F1, F2, F3}T – Ký hiệu địa phương cho từng phần tử: • Mỗi phần tử có 2 nút được ký hiệu là i và j • Véc tơ chuyển vị nút của phần tử thứ “e” là : {ue} = {uie, uje}T • Véc tơ lực nút của phần tử thứ “e” là : {fe} = {fie, fje}T 1 2 321 U3U2U1 F3 F2 F1 32fi2 fj221fi1 fj1 1 2 ui2 uj 2ui1 uj1 i j i j 5/30/2015 5 50 Bài toán lò xo (t.theo) – Quan hệ giữa véc tơ lực nút và véc tơ chuyển vị nút trong phần tử 1:  • Chú ý: ui1 = U1 và uj1 = U2 – Quan hệ giữa véc tơ lực nút và véc tơ chuyển vị nút trong phần tử 2:  • Chú ý: ui2 = U2 và uj2 = U3 1 1 1 1 1 1 1 1 i i j j u fK K u fK K                       2 2 2 2 2 2 2 2 i i j j u fK K u fK K                       21fi1 fj1 1 ui1 uj1 i j 32fi2 fj2 2 ui2 uj 2 i j 51 Bài toán lò xo (t.theo) – Quan hệ giữa lực nút và chuyển vị nút của phần tử 1 theo hệ tọa độ tổng thể:  – Quan hệ giữa lực nút và chuyển vị nút của phần tử 2 theo hệ tọa độ tổng thể:  1 1 1 1 1 1 1 2 3 0 0 0 0 0 0 i j K K U f K K U f U                         1 2 2 2 2 2 2 2 3 0 0 0 0 0 0 i j U K K U f K K U f                         (a) (b) 21fi1 fj1 1 ui1 uj1 i j 32fi2 fj2 2 ui2 uj 2 i j 5/30/2015 6 52 Bài toán lò xo (t.theo) – Kết hợp hệ phương trình (a) và (b) được hệ phương trình cân bằng của cả hệ lò xo (c):  – Chú ý rằng:                                                và => Hệ phương trình (c) có thể viết ngắn gọn thành: [K]{U} = {F} 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 3 0 0 i j i j K K U f K K K K U f f K K U f                             1 1 1 2 2 2 3 i j i j F f F F f f F f                  (c)   12 3 U U U U        53 Bài toán lò xo (t.theo) – Phương trình cân bằng của toàn hệ lò xo: [K]{U} = {F} trong đó:   [K] được gọi là ma trận độ cứng của cả hệ được xây dựng từ ma trận độ cứng của các phần tử. [K] = ma trận độ cứng tổng thể.   1 11 1 2 2 2 2 0 0 K K K K K K K K K         5/30/2015 7 54 2.2. Phần tử thanh dàn trong trục tọa độ • Định nghĩa: phần tử thanh dàn là phần tử thanh chỉ chịu lực dọc trục (kéo hoặc nén đúng tâm). – Xét một thanh lăng trụ tiết diện không đổi • Chiều dài phần tử: L • Diện tích tiết diện: A • Mô đun đàn hồi: E • Chuyển vị: u = u(x) • Biến dạng: ε = ε(x) • Ứng suất: σ = σ(x) fi fj i j L A, E O x ui uj 55 Phần tử thanh dàn trong trục tọa độ (t.theo) • Lựa chọn hàm xấp xỉ và xác định ma trận các hàm dạng – Mọi điểm trên phần tử chỉ tồn tại chuyển vị theo phương của trục x là u(x);  – Nếu chọn hàm xấp xỉ tuyến tính thì phần tử có 2 nút và số bậc tự do của phần tử là 2, do đó số phần tử của véc tơ tham số {a} cũng là 2. Ta chọn đa thức xấp xỉ như sau:  u(x) = a1 + a2x với 0 ≤ x ≤ L = [P(x)] {a} fi fj i j L A, E O x ui uj     1 2 1x a u x a      5/30/2015 8 56 Phần tử thanh dàn trong trục tọa độ (t.theo) – Véc tơ chuyển vị nút của phần tử:  {q}e = {q1 , q2}eT = {ui , uj}eT – Thực hiện đồng nhất hàm chuyển vị tại các chuyển vị nút: fi fj i j L A, E O x ui uj     0 1 1 1 1 2 2 2 1 0 1 x x L e uu a a q u a a L a qu L                                      (tại nút i) (tại nút j)   1 2xu a a x       1 ea A q    1 1 0 1 1A L L        Với:     eA a q 57 Phần tử thanh dàn trong trục tọa độ (t.theo) – Hàm chuyển vị có thể được viết lại như sau trong đó, [N]e được gọi là ma trận các hàm dạng của phần tử : – Đến đây ta có thể biểu diễn đa thức xấp xỉ chuyển vị dọc trục theo các chuyển vị nút phần tử như sau:            1 1 2 1 0 1 11 1xe x xN P A x N x N x L L L L                                1 1 2 2 1 1 ee e qx x x xu x N q q q qL L L L                                        11 2 1x e e a u x P x a P x A q N x q a                   5/30/2015 9 58 Phần tử thanh dàn trong trục tọa độ (t.theo) – Biểu đồ các hàm dạng và biểu đồ chuyển vị của phần tử:     1 2 1 xN x L xN x L       1 y x  2N x 1N x Biểu đồ N1 và N2 Biểu đồ của u(x) q1 y x 1 1N q 2 2N q  u x q2    2 1 2 1 1i i i x xu x N x q q q L L         59 Phần tử thanh dàn trong trục tọa độ (t.theo) • Định luật Hooke cho bài toán 1 chiều (1‐D) – Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng: Trong đó,  có thể được xác định dựa trên quan hệ giữa chuyển vị và biến dạng: fi fj i j L A, E O x ui uj du dx   E  5/30/2015 10 60 Phần tử thanh dàn trong trục tọa độ (t.theo) • Xác định ma trận độ cứng (Phương pháp 1) – Chuyển vị u biến đổi tuyến tính dọc theo trục thanh và chuyển vị của 1 điểm bất kỳ thuộc phần tử là: – Biến dạng được tính như sau: – Ứng suất được tính theo biến dạng:   1 i jx xu x u uL L       j iu u L L     EE L     61 Phần tử thanh dàn trong trục tọa độ (t.theo) – Ứng suất trong thanh dàn còn được tính theo lực dọc F: – Do đó: trong đó:                              là độ cứng của thanh dàn. Như vậy, thanh dàn làm việc giống nhưmột lò xo có độ cứng K E F L A    F A   AEF K L      AEK L  5/30/2015 11 62 Phần tử thanh dàn trong trục tọa độ (t.theo) – Khi đó, quan hệ giữa lực nút và chuyển vị nút của phần tử thanh dàn cũng tương tự như phần tử lò xo, tức là: Hoặc viết cách khác như sau: i i j j u fK K u fK K                 fi fj i j L A, E O x ui uj 1 1 1 1 i i j j u fAE u fL                 63 Phần tử thanh dàn trong trục tọa độ (t.theo) • Xác định ma trận độ cứng (Phương pháp 2) – Chuyển vị u biến đổi tuyến tính dọc theo trục thanh và chuyển vị của 1 điểm bất kỳ thuộc phần tử là: – Ma trận các hàm dạng: – Biến dạng là đạo hàm của chuyển vị theo biến x     1i i j j u x xu x N u u u L L               1 x xN L L            1 1i i i j j j u u udu dx N B u u udx dx L L                               5/30/2015 12 64 Phần tử thanh dàn trong trục tọa độ (t.theo) – Ma trận [B] được gọi là ma trận tính biến dạng – Ứng suất trong phần tử – Xét thế năng biến dạng trong phần tử :      1 1 11 1 1d N d x xB dx dx L L L L L                               i j u x E x E B u                   1 1 2 2 e e TT T e e V V U dV u B E B u dV    65 Phần tử thanh dàn trong trục tọa độ (t.theo) hay : – Xét công của các lực nút – Theo định luật bảo toàn năng lượng: U = W, do đó        1 2 e TT V U u B E B dV u          1 1 1 2 2 2 T i i j jW f u f u u f              1 1 2 2 e TT T V u B E B dV u u f       5/30/2015 13 66 Phần tử thanh dàn trong trục tọa độ (t.theo) nên: hay:  – Vậy ma trận độ cứng của phần tử là:         e T V B E B dV u f            eK u f       e T e V K B E B dV    1 1 1 1e AEK L           2 0 0 1 11 1 11 1 1 1 1 1 L L e K E Adx AE dx L L L                   1 1 1B L   67 Phần tử thanh dàn trong trục tọa độ (t.theo) • Ví dụ 2.1.  Cho các thanh dàn làm từ vật liệu có mô đun đàn hồi E – Thanh dàn 1 có chiều dài 2L, diện tích tiết diện A – Thanh dàn 2 có chiều dài L, diện tích tiết diện 2A – Lực P tác dụng tại nút số 2. Tìm ứng suất trong các thanh dàn 1 và 2 nếu biết: 21 3 2L L 1 2A, E 2A, E P E = 200000MPa A = 100mm2 L = 1000mm P = 100000N 5/30/2015 14 68 Phần tử thanh dàn trong trục tọa độ (t.theo) 69 Phần tử thanh dàn trong trục tọa độ (t.theo) 5/30/2015 15 70 Phần tử thanh dàn trong trục tọa độ (t.theo) 71 Phần tử thanh dàn trong trục tọa độ (t.theo) 5/30/2015 16 72 Phần tử thanh dàn trong trục tọa độ (t.theo) • Ví dụ 2.2.  Cho các thanh dàn làm từ vật liệu có mô đun đàn hồi E – Thanh dàn 1 có chiều dài 2L, diện tích tiết diện A – Thanh dàn 2 có chiều dài L, diện tích tiết diện 2A – Lực P tác dụng tại nút số 2. Tìm ứng suất trong các thanh dàn 1 và 2 nếu biết: 21 3 2L L 1 2A, E 2A, E P E = 200000MPa A = 100mm2 L = 1000mm P = 100000N 73 Phần tử thanh dàn trong trục tọa độ (t.theo) 5/30/2015 17 74 Phần tử thanh dàn trong trục tọa độ (t.theo) 75 Phần tử thanh dàn trong trục tọa độ (t.theo) 5/30/2015 18 76 Phần tử thanh dàn trong trục tọa độ (t.theo) 77 Phần tử thanh dàn trong trục tọa độ (t.theo) 5/30/2015 19 78 Phần tử thanh dàn trong trục tọa độ (t.theo) • Ví dụ 2.3.  Cho các thanh dàn làm từ vật liệu có mô đun đàn hồi E – Thanh dàn 1 có chiều dài 2L, diện tích tiết diện A – Thanh dàn 2 có chiều dài L, diện tích tiết diện 2A – Lực P tác dụng tại nút số 2. Tìm ứng suất trong các thanh dàn 1 và 2 nếu biết: 21 3 2L L 1 2A, E 2A, E P E = 200000MPa A = 100mm2 L = 1000mm P = 100000N ∆ = 5mm∆ 79 Phần tử thanh dàn trong trục tọa độ (t.theo) Lời giải cho ví dụ 2.3.  Phân tích bài toán như sau: – Tăng dần giá trị của lực P từ 0 lên đến 100000N.  – Ban đầu khi P chưa lớn, nút 3 của phần tử 2 chưa chạm vào gối phải, hệ làm việc giống như trong ví dụ 2.2. • Khi tăng P lên đến giá trị P1=50000N, nút 3 của phần tử 2 bắt đầu chạm vào gối phải. Ứng suất giai đoạn 1 trong các phần tử như sau: σ1_gđ1 = 500MPa và σ2_gđ1 = 0MPa 21 3 2L L 1 2A, E 2A, E P ∆ 5/30/2015 20 80 Phần tử thanh dàn trong trục tọa độ (t.theo) – Tiếp tục tăng P cho đến giá trị P2 = 100000N,  hệ làm việc giống bài toán của ví dụ 2.1. • Ứng suất giai đoạn 2 trong các phần tử như sau σ1_gđ2 = 100MPa và σ2_gđ2 = ‐200MPa – Sau cùng ứng suất tích lũy trong các phần tử (khi lực P đạt tới giá trị P2 = 100000N) là tổng ứng suất của cả 2 giai đoạn: σ1 = σ1_gđ1 + σ1_gđ2 = 600MPa và σ2 = σ2_gđ1 + σ2_gđ2 = ‐200MPa 21 3 2L L 1 2A, E 2A, E P ∆ 81 Các ký hiệu địa phương – Hệ trục tọa độ địa phương: o123 – Các chuyển vị “Nút i" theo hệ tọa độ địa phương ui1 ; ui2 ; ui3 – Các lực tác dụng tại “Nút i” của phần tử theo hệ tọa độ địa phương: fi1 ; fi2 ; fi3 – Ma trận độ cứng của phần tử theo hệ tọa độ địa phương: [k] – Véc tơ chuyển vị nút tại “Nút j” của phần tử: {uj} – Véc tơ lực nút tại “Nút j” của phần tử: {fj} – Véc tơ chuyển vị nút của phần tử: {u} – Véc tơ lực nút của phần tử: {f} 1 3 2 5/30/2015 21 82 Các ký hiệu tổng thể – Hệ trục tọa độ tổng thể: OXYZ – Các chuyển vị “Nút n" theo hệ tọa độ tổng thể bao gồm: UnX ;  UnY ; UnZ – Các lực tác dụng tại “Nút n” theo hệ tọa độ tổng thể gồm: FnX ;  FnY ; FnZ – Ma trận độ cứng của phần tử theo hệ tọa độ tổng thể: [K] – Véc tơ chuyển vị nút của “Nút n” : {Un} – Véc tơ lực nút của “Nút n” : {Fn} – Véc tơ chuyển vị nút của phần tử: {U} – Véc tơ lực nút của phần tử: {F} O Y X Z 1 i j 83 Các ký hiệu tổng thể (t.theo) – Ma trận độ cứng tổng thể của cả hệ kết cấu chưa kể tới điều kiện biên: [Ks] – Véc tơ chuyển vị nút tổng thể của cả hệ kết cấu chưa kể tới điều kiện biên: {Us} – Véc tơ lực nút tổng thể của cả hệ kết cấu chưa kể tới điều kiện biên: {Fs} – Ma trận độ cứng tổng thể của cả hệ kết cấu đã kể tới điều kiện biên: [Ko] – Véc tơ chuyển vị nút tổng thể của cả hệ kết cấu đã kể tới điều kiện biên: {Uo} – Véc tơ lực nút tổng thể của cả hệ kết cấu đã kể tới điều kiện biên: {Fo} 5/30/2015 22 84 2.3. Phần tử thanh dàn trong hệ tọa độ phẳng • Phần tử thanh dàn trong không gian 2 chiều (2‐D) – Xét nút i – Chú ý là trong “hệ tọa độ địa phương”, chuyển vị nút theo “phương 2” là ui2 không ảnh hưởng tới nội lực của thanh dàn. O X Y UiX UiY Hệ tọa độ địa phương Hệ tọa độ tổng thể 1, 2 X, Y ui1 , ui2 UiX , UiY Nút có 1 bậc tự do Nút có 2 bậc tự do 85 Phần tử thanh dàn – truss (t.theo) – Xét chuyển vị tại nút i ta có: Nếu đặt l = cosθ và m = sinθ thì các chuyển vị theo hệ tọa độ địa phương có thể được viết như sau: hoặc: hoặc: O X Y     1 2 i i X i Y i i X i Y U u l m U U u m l U            1 2 i i X i i Y l mu U m lu U              i i u T U 1 2 cos sin sin cos i i i X Y i i i X Y u U U u U U           UiX UiY 5/30/2015 23 86 Phần tử thanh dàn – truss (t.theo) – Tương tự, xét chuyển vị tại nút j ta có quan hệ hoặc: hoặc: trong đó,         được gọi là ma trận chuyển T l m m l      T 1 2 cos sin sin cos j j j X Y j j j X Y u U U u U U           1 2 j j X j j Y l mu U m lu U              j j u T U UjX UjY 87 Phần tử thanh dàn – truss (t.theo) – Chuyển vị của 2 nút (i và j) của phần tử thanh theo hệ tọa độ địa phương có thể được viết như sau: hoặc: trong đó – Tương tự công thức chuyển cho lực nút từ “hệ tọa độ tổng thể” sang “hệ tọa độ địa phương” như sau: 1 2 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 i i X i i Y j j X j j Y l mu U m lu U l mu U m lu U                              u T U   0 0       T T T  f T F 5/30/2015 24 88 Phần tử thanh dàn – truss (t.theo) – Quan hệ giữa chuyển vị nút và lực nút trong hệ tọa độ địa phương: Hoặc có thể viết lại hệ phương trình trên như sau: hoặc: PT(*) 1 1 1 1 1 1 1 1 i i j j u fEA L u f                 1 1 1 1 1 1 i j i i j j EA EAu u f L L EA EAu u f L L      fi1 fj1 i j L A , E o 1 ui1 uj1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 i i j j i i i j j i i j j j i i j j EA EAu u u u f L L u u u u EA EAu u u u f L L u u u u                              89 Phần tử thanh dàn – truss (t.theo) Như vậy, quan hệ giữa chuyển vị nút và lực nút trong hệ tọa độ địa phương: Có thể được viết lại dựa trên hệ phương trình PT(*) như sau: hoặc: 1 1 1 1 1 1 1 1 i i j j u fEA L u f                 1 1 2 1 1 2 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 i i i j j j u f uEA L u f u                                    k u f fi1 fj1 i j L A , E o 1 ui1 uj1 5/30/2015 25 90 Phần tử thanh dàn – truss (t.theo) Do:                        và như đã phân tích ở phần trên phương trình có thể viết lại thành: Nếu nhân cả 2 vế của phương trình với ma trận chuyển trí của ma trận T là ma trận TT (và chú ý rằng:  TT T = I là một ma trận đơn vị) ta được phương trình mới như sau: Hay: trong đó gọi là ma trận độ cứng của phần tử thanh dàn theo hệ tọa độ tổng thể.  k u f  u T U  f T F kTU TF kTU TF T T T  T kTU T TF T kTU F  K U F TK T kT 91 Phần tử thanh dàn – truss (t.theo) – Ma trận độ cứng [K] theo tọa độ tổng thể được tính như sau: trong đó, l và m là các cosin chỉ phương được tính như sau: 2 2 2 2 2 2 2 2 T l lm l lm lm m lm mEA L l lm l lm lm m lm m              K T kT cos sin j i j i X X l L Y Y m L       O X Y UiX UiY i i j j X Y X YU U U U i X i Y j X j Y U U U U 5/30/2015 26 92 Phần tử thanh dàn – truss (t.theo) – Biến dạng trong phần tử thanh dàn được tính dựa trên chuyển vị nút trong hệ tọa độ địa phương như sau: Có thể tính theo chuyển vị nút trong hệ tọa độ tổng thể:   11 1 1 1 1 1 ij i j uu u L L u           0 01 1 1 0 0 i X i Y j X j Y U l m U l mL U U               fi1 fj1 i j L A , E o 1 ui1 uj1 1 2 i i X i i Y l mu U m lu U              1 2 j j X j j Y l mu U m lu U              93 Phần tử thanh dàn – truss (t.theo) => Biến dạng trong phần tử theo chuyển vị nút trong hệ tọa độ tổng thể: – Ứng suất trong thanh dàn được tính theo biến dạng: E    i X i Y j X j Y U UEE l m l m L U U                1 i X i Y j X j Y U U l m l m L U U             5/30/2015 27 94 Phần tử thanh dàn – truss (t.theo) • Ví dụ 2.4.  Cho hệ dàn phẳng như hình vẽ – Thanh dàn 1 và 2 có cùng chiều dài L, diện tích tiết diện A và mô đun đàn hồi của vật liệu E. – Lực P1 và P2 tác dụng tại nút số 2. Tìm chuyển vị tại nút 2 và tìm ứng suất trong mỗi thanh dàn nếu biết: E = 200000MPa P1 = 10000N A = 100mm2 P2 = 30000N L = 1000mm 1 2 Y X 1 2 3 P2 P1 95 Phần tử thanh dàn – truss (t.theo) 5/30/2015 28 96 Phần tử thanh dàn – truss (t.theo) 97 Phần tử thanh dàn – truss (t.theo) 5/30/2015 29 98 Phần tử thanh dàn – truss (t.theo) 99 Phần tử thanh dàn – truss (t.theo) 5/30/2015 30 100 Phần tử thanh dàn – truss (t.theo) 101 Phần tử thanh dàn – truss (t.theo) 5/30/2015 31 102 Phần tử thanh dàn – truss (t.theo) • Bài tập 2.1.  Cho hệ dàn phẳng như hình vẽ – Thanh dàn 1 và 2 có cùng chiều dài L, diện tích tiết diện A. – Thanh dàn 3 có chiều dài và diện tích tiết diện là – Lực P tác dụng tại nút số 2. Yêu cầu: 1. Tìm các chuyển vị nút và các phản lực tại nút. 2. Tìm ứng suất trong mỗi thanh dàn? E = 200000MPa A = 600mm2 L = 1000mm P = 10000N 2A 2L P 1 2 3 X 1 2 3 L 103 2.4. Phần tử thanh dàn không gian • Phần tử thanh dàn trong không gian 3 chiều (3‐D) – Xét một thanh dàn trong hệ tọa độ tổng thể OXYZ – Mỗi nút thuộc phần tử có 3 bậc tự do là 3 chuyển vị thành phần theo 3 phương X, Y và Z – Véc tơ chuyển vị phần tử trong hệ tọa độ tổng thể: {U} = {UiX, UiY, UiZ, UjX, UjY, UjZ,}T – Trong hệ tọa độ địa phương o123 (trục 1 là trục phần tử nối i và j), véc tơ chuyển vị:  {u} = {ui1, uj1}T O Y X Z 1 i j 5/30/2015 32 104 Phần tử thanh dàn không gian (t.theo) – Quan hệ giữa {u} và {U} thông qua ma trận biến đổi [T]    {u} = [T] {U}     với trong đó: l, m và n là các cosin chỉ phương của đường nối nút i  và j trong hệ tọa độ tổng thể OXYZ   0 0 0 0 0 0 l m n T l m n           2 2 2 ; ;j i j i j i j i j i j i X X Y Y Z Z l m n L L L L X X Y Y Z Z            105 Phần tử thanh dàn không gian (t.theo) • Véc tơ chuyển vị nút trong hệ tọa độ địa phương: {u} = {ui1, uj1}T • Véc tơ chuyển vị nút trong hệ tọa độ tổng thể: {U} = {UiX, UiY, UiZ, UjX, UjY, UjZ,}T • Ma trận biến đổi [T] : Vậy: hay: 1 1 0 0 0 0 0 0 i X i Y i i Z j j X j Y j Z U U u Ul m n l m nu U U U                             0 0 0 0 0 0 l m n T l m n          u T U 5/30/2015 33 106 Phần tử thanh dàn không gian (t.theo) – Tương tự, quan hệ giữa {f} và {F} như sau: hay: Trong đó: • Véc tơ lực nút trong hệ tọa độ địa phương: {f} = {fi1, fj1}T • Véc tơ lực nút trong hệ tọa độ tổng thể: {F} = {FiX, FiY, FiZ, FjX, FjY, FjZ,}T • Ma trận biến đổi [T] : 1 1 0 0 0 0 0 0 i X i Y i i Z j j X j Y j Z F F f Fl m n l m nf F F F                             0 0 0 0 0 0 l m n T l m n          f T F 107 Phần tử thanh dàn không gian (t.theo) – Tìm ma trận độ cứng phần tử trong hệ tọa độ tổng thể [K]  • Xét phương trình cân bằng của phần tử trong hệ tọa độ địa phương • Do và • Vậy nên:     u T U     f T F     k u f       k T U T F            T TT k T U T T F         TT k T U F        TK T k T   5/30/2015 34 108 Phần tử thanh dàn không gian (t.theo) Vậy: ma trận độ cứng phần tử trong hệ tọa độ tổng thể [K] được tính từ ma trận độ cứng địa phương [k]    [K] = [T]T [k] [T]    hay:   2 2 2 2 2 2 2 2 2 l lm ln l lm ln m mn lm m mn n ln nm nAEK L l lm ln m mn n                   Đối xứng