Phương pháp số trong tính toán kết cấu - Chương I: Giới thiệu chung

5/30/2015 1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC XÂY DỰNG Website:  Bộmôn Cầu và Công trình ngầm Website:  PHƯƠNG PHÁP SỐ  TRONG TÍNH TOÁN KẾT CẤU TS. NGUYỄN NGỌC TUYỂN Website môn học:  Link dự phòng: https://sites.google.com/site/tuyennguyenngoc/courses‐in‐ vietnamese/phuong‐phap‐so‐trong‐tinh‐toan‐ket‐cau Hà Nội, 5‐2015 2 Tài liệu tham khảo 1. Cook, R.D., Malkus, D.S., and Plesha, M.E. (1989),  Concepts and Applications of Finite Element Analysis,  3th Ed., John Wiley & Sons, New York. 2. Reddy, J.N. (2006), An Introduction to the Finite Element  Method, McGraw Hill, New York. 3. Zienkiewicz, O.C., and Taylor, R.L. (2000), The Finite  Element Method, Volumn 1: The Basis; Volumn 2: Solid  Mechanics; Volumn 3: Fluid Dynamics, 5th Ed.,  Butterworth‐Heinemann, Oxford. 5/30/2015 2 3 Phần mềm hỗ trợ 1. Mathcad 2. Matlab 3. Sap2000 4 CHƯƠNG I Giới thiệu chung 5/30/2015 3 5 Nội dung chương 1 • Khái niệm cơ bản về phương pháp số • Phương pháp phần tử hữu hạn • Trình tự phân tích bài toán theo Pp.PTHH • Phân loại phần tử trong Pp.PTHH • Bậc tự do của phần tử • Chọn hàm xấp xỉ dạng đa thức 6 1.1. Khái niệm cơ bản về phương pháp số • Phương pháp số trong tính toán kết cấu là gì? – Trong tính toán kết cấu, người ta dùng các phương pháp tính dẫn đến việc mô tả các nghiệm của bài toán theo một tập hợp số; các phương pháp tính đó được gọi là các “phương pháp số” – “Phương pháp số” = “Phương pháp rời rạc hóa” • Các p.pháp rời rạc hóa được chia làm 2 nhóm chính: – Nhóm phương pháp rời rạc hóa vật lý • Hệ thực được thay thế bằng mô hình vật lý gần đúng mà lời giải của nó cũng được xác định bằng một số hữu hạn các đại lượng số. – Nhóm phương pháp rời rạc hóa toán học • Các nghiệmmô tả bởi các hàm tương ứng được thay bằng các nghiệm gần đúng biểu diễn qua các hàm xấp xỉ chứa một số hữu hạn các đại lượng số. 5/30/2015 4 7 Khái niệm cơ bản về phương pháp số (t.theo) • Một số phương pháp số chủ yếu: – (1) Phương pháp phần tử hữu hạn ‐ PTHH – (2) Phương pháp phần tử biên – (3) Lý thuyết tương đương năng lượng – (4) Phương pháp sai phân hữu hạn – (5) Phương pháp sai‐biến phân – Các phương pháp kể trên còn được phân biệt theo bản chất của cách rời rạc hóa kết cấu liên tục, ví dụ: • Các phương pháp (1), (2) và (3) được xây dựng dựa trên cơ sở của sự rời rạc hóa vật lý. • Các phương pháp (4 và (5) dựa trên sự rời rạc hóa toán học. 8 1.2. Phương pháp phần tử hữu hạn • Giới thiệu chung – Phương pháp phần tử hữu hạn = Pp.PTHH (Finite Element Method =  FEM) – Pp.PTHH là phương pháp rất tổng quát và hữu hiệu cho lời giải số nhiều lớp bài toán kỹ thuật khác nhau: • Phân tích trạng thái ứng suất, biến dạng trong các loại kết cấu • Giải các bài toán của lý thuyết trường như: lý thuyết truyền nhiệt, cơ học chất lỏng, thủy đàn hồi, khí đàn hồi, điện‐từ trường 5/30/2015 5 9 Phương pháp phần tử hữu hạn (t.theo) – Nhiều phần mềm thương mại áp dụng Pp.PTHH được sử dụng phổ biến như: ANSYS, SAP2000, NASTRAN, MIDAS CIVIL,  SAMCEF  – Để khai thác hiệu quả các phần mềm PTHH hiện có hoặc có thể tự xây dựng chương trình tính toán riêng bằng PTHH  => cần phải nắm được cơ sở lý thuyết, kỹ thuật mô hình hóa và hiểu rõ bản chất, cách thức và trình tự tính toán của Pp.PTHH. 10 Phương pháp phần tử hữu hạn (t.theo) – Pp.PTHH được xây dựng dựa trên ý tưởng : Một vật thể hay  một kết cấu phức tạp có thể được xây dựng bằng cách ghép nối các hình khối đơn giản. Ví dụ, có thểmô hình một hình tròn bằng cách sử dụng N tam giác đều như sau: • Diện tích của một hình tam giác: • Diện tích của hình tròn được mô hình bởi N tam giác: • Khi 21 1sin sin 2 2i i i S R R R    2 2 1 1 2 1 2sin sin 2 2 N N i i i S S N S N R R N N N                  “Phần tử” Si 2 NN S R  5/30/2015 6 11 Phương pháp phần tử hữu hạn (t.theo) • Khái niệm về Pp.PTHH – Pp.PTHH là một phương pháp số đặc biệt có hiệu quả để tìm dạng gần đúng của một hàm chưa biết trong miền xác định V  của nó. Tuy nhiên,  Pp.PTHH không tìm dạng xấp xỉ của hàm cần tìm trên toàn miền V mà chỉ trong từng miền con Ve (phần tử) thuộc miền xác định V. – Bản chất của pp.PTHH: • Vật thể hay miền tính toán V được thay thế bằng một số hữu hạn các miền con Ve (được gọi là các phần tử). • Các phần tử chỉ được liên kết với nhau tại một số điểm định trước trên biên được gọi là nút. 12 Phương pháp phần tử hữu hạn (t.theo) • Trong phạm vi mỗi phần tử, đại lượng cần tìm được lấy xấp xỉ theo dạng một hàm đơn giản nào đó gọi là hàm xấp xỉ. • Thiết lập hệ phương trình cân bằng cho mỗi phần tử. • Thiết lập hệ phương trình cân bằng của toàn hệ kết cấu bằng cách phối hợp các phương trình cân bằng của các phần tử riêng rẽ sao cho vẫn đảm bảo được tính liên tục của toàn bộ kết cấu (miền V). • Áp dụng điều kiện biên, giải hệ phương trình cân bằng tổng thể để xác định các ẩn số. => Trong Pp.PTHH, các đặc trưng của các phần tử được phối hợp với nhau để đưa đến một lời giải tổng thể cho toàn hệ 5/30/2015 7 13 Phương pháp phần tử hữu hạn (t.theo) – Tùy theo ý nghĩa vật lý của hàm xấp xỉ, người ta chia làm 3 mô hình phân tích sau đây: • Mô hình tương thích: xem chuyển vị là đại lượng cần tìm trước và hàm xấp xỉ biểu diễn gần đúng dạng phân bố của chuyển vị trong phần tử. Các ẩn số được xác định từ hệ phương trình thiết lập trên cơ sở nguyên lý thế năng toàn phần dừng (nguyên lý biến phân Lagrange). • Mô hình cân bằng: hàm xấp xỉ biểu diễn gần đúng dạng phân bố ứng suất hoặc nội lực trong phần tử. Các ẩn số được xác định từ hệ phương trình thiết lập trên cơ sở nguyên lý năng lượng hệ toàn phần dừng hay nguyên lý biến phân về ứng suất (nguyên lý Castigliano). • Mô hình hỗn hợp: coi chuyển vị và ứng suất là hai yếu tố độc lập riêng biệt. Các hàm xấp xỉ biểu diễn gần đúng dạng phân bố của cả chuyển vị và ứng suất trong phần tử. Các ẩn số được xác định từ hệ phương trình thiết lập trên cơ sở nguyên lý biến phân Reisner. Trong 3 mô hình kể trên, “Mô hình tương thích” được áp dụng phổ biến (phần mềm SAP2000). 14 1.3. Trình tự phân tích bài toán theo Pp.PTHH • Bước 1: Rời rạc hóa miền khảo sát – Miền khảo sát V được chia thành các miền con Ve (hay thành các phần tử) có dạng hình học thích hợp. – Số điểm nút trong mỗi phần tử không được lấy tùy tiện mà phải tùy thuộc vào hàm xấp xỉ định chọn. • Bước 2: Chọn hàm xấp xỉ thích hợp – Chọn dạng xấp xỉ đơn giản đối với tính toán bằng máy tính nhưng phải thỏa mãn các tiêu chuẩn hội tụ. – Nên chọn hàm xấp xỉ dạng đa thức vì dễ đạo hàm, tích phân. – Biểu diễn hàm xấp xỉ theo tập hợp giá trị và các đạo hàm của nó tại các nút của phần tử => là các chuyển vị, góc xoay tại nút ký hiệu là {u}e. 5/30/2015 8 15 Trình tự phân tích bài toán theo Pp.PTHH • Bước 3: Xây dựng ma trận độ cứng phần tử [k]e và véc tơ tải phần tử {f}e :  – Đây là bước xây dựng phương trình cân bằng của phần tử bằng cách sử dụng các phương pháp như: trực tiếp, sử dụng nguyên lý biến phân, hoặc phương pháp biến phân, – Phương trình cân bằng phần tử có dạng:    [k]e ∙ {u}e = {f}e • Bước 4: Xây dựng ma trận độ cứng tổng thể [K] và véc tơ lực nút tổng thể {F} : – Ghép nối các phần tử trên cơ sởmô hình tương thích để được phương trình cân bằng tổng thể: – Phương trình tổng thể có dạng: [K] ∙ {U} = {F} 16 Trình tự phân tích bài toán theo Pp.PTHH • Bước 5: Áp đặt điều kiện biên: – Sử dụng điều kiện biên của bài toán để gạch bỏ những đại lượng liên quan đến các chuyển vị nút có giá trị bằng 0 – Phương trình tổng thể đã xét đến điều kiện biên được thu gọn hơn và có dạng như sau:  [Ko] ∙ {Uo} = {Fo} • Bước 6: Giải hệ phương trình đại số [Ko] ∙ {Uo} = {Fo} – Với bài toán tuyến tính việc giải hệ phương trình trên là đơn giản. • Nghiệm tìm được chính là các chuyển vị nút chưa biết {Uo}. 5/30/2015 9 17 Trình tự phân tích bài toán theo Pp.PTHH – Với bài toán phi tuyến thì nghiệm sẽ đạt được sau một chuỗi các bước lặp mà sau mỗi bước ma trận độ cứng [Ko] hoặc véc tơ lực nút {Fo} có thể thay đổi. • Nếu [Ko] thay đổi => là bài toán phi tuyến vật lý • Nếu {Fo} thay đổi => là bài toán phi tuyến hình học • Bước 7: Hoàn thiện: – Từ kết quả tìm được là các chuyển vị nút, tiếp tục tìm ứng suất, chuyển vị, hay biến dạng của tất cả các phần tử. 18 1.4. Phân loại phần tử trong Pp.PTHH • Phần tử 1 chiều (1‐D) => có dạng thanh – Phần tử bậc nhất • Đại lượng khảo sát biến thiên bậc nhất – Phần tử bậc hai • Đại lượng khảo sát biến thiên bậc 2 – Phần tử bậc ba • Đại lượng khảo sát biến thiên bậc 3 – – Phần tử bậc n có (n+1) nút 5/30/2015 10 19 Phân loại phần tử trong Pp.PTHH (t.theo)  • Phần tử 2 chiều (2‐D) => có dạng tấm hình tam giác – Phần tử bậc nhất – Phần tử bậc hai – Phần tử bậc ba – 20 Phân loại phần tử trong Pp.PTHH (t.theo)  • Phần tử 2 chiều (2‐D) => có dạng tấm hình tứ giác – Phần tử bậc nhất – Phần tử bậc hai – Phần tử bậc ba – 5/30/2015 11 21 Phân loại phần tử trong Pp.PTHH (t.theo)  • Phần tử 3 chiều (3‐D) => có dạng khối tứ diện – Phần tử bậc nhất – Phần tử bậc hai – Phần tử bậc ba – 22 Phân loại phần tử trong Pp.PTHH (t.theo)  • Phần tử 3 chiều (3‐D) => có dạng khối lục diện – Phần tử bậc nhất – Phần tử bậc hai – Phần tử bậc ba – 5/30/2015 12 23 1.5. Bậc tự do của phần tử • A>. Bậc tự do của phần tử 1 chiều bậc nhất: – (1). Phần tử thanh lò xo (Spring) hoặc thanh dàn (Truss) • Phần tử chỉ chịu kéo hoặc nén đúng tâm (N11) • Nếu các nút chỉ di chuyển trong trục tọa độ địa phương Ou, mỗi nút thuộc phần tử có 1 bậc tự do => phần tử có 2 bậc tự do • Nếu các nút chỉ di chuyển trong mặt phẳng OXY, mỗi nút thuộc phần tử có 2 bậc tự do => phần tử có 4 bậc tự do • Nếu các nút di chuyển trong không gian 3 chiều OXYZ, mỗi nút thuộc phần tử có 3 bậc tự do => phần tử có 6 bậc tự do. O u XO Y O Y X Z 24 Bậc tự do của phần tử (t.theo) – (2). Phần tử thanh dầm (Beam) bậc nhất • Phần tử chỉ chịu uốn M33 và cắt V22 • Nếu các nút chỉ di chuyển trong trục tọa độ địa phương Ov và xoay quanh trục vuông góc với mặt phẳng Ouv, mỗi nút thuộc phần tử có 2  bậc tự do => phần tử có 4 bậc tự do 1 2 3 uO v 5/30/2015 13 25 Bậc tự do của phần tử (t.theo) – (3). Phần tử khung (Frame) bậc nhất • Nếu các nút di chuyển trong mặt phẳng OXY  và xoay quanh trục vuông góc với mặt phẳng OXY, mỗi nút thuộc phần tử có 3 bậc tự do  => phần tử có 6 bậc tự do. Phần tử được gọi là phần tử khung phẳng. Phần tử chịu uốn M33, cắt V22 và kéo nén N11. • Nếu các nút di chuyển trong không gian 3  chiều OXYZ, mỗi nút thuộc phần tử có 6 bậc tự do => phần tử có 12 bậc tự do. Phần tử được gọi là phần tử khung không gian. Phần tử chịu uốn M33, M22, cắt V33, V22, kéo nén N11, và xoắn M11. XO Y O Y X Z 1 2 3 26 Bậc tự do của phần tử (t.theo) • B>. Bậc tự do của phần tử 2 chiều bậc nhất: – (1). Phần tử tấm phẳng (Plane) • Phần tử chỉ chịu kéo nén trong bài toán ứng suất phẳng hoặc biến dạng phẳng. • Mỗi nút thuộc phần tử có 2 bậc tự do là U1 và U2 – (2). Phần tử kiểu màng (Membrane) • Phẩn tử chỉ chịu kéo nén và xoắn trong mặt phẳng,  (không có chuyển vị thẳng vuông góc với mặt phẳng và không có chuyển vị xoay ngoài mặt phẳng) • Mỗi nút thuộc phần tử có 3 bậc tự do là U1, U2 và R3 U2 U1 U1U2 R3 5/30/2015 14 27 Bậc tự do của phần tử (t.theo) – (3). Phần tử tấm uốn (Plate) • Phần tử chỉ chịu uốn ngoài mặt phẳng, không có chuyển vị thẳng theo 2 phương trong mặt phẳng và xoay trong mặt phẳng. • Mỗi nút của phần tử có 3 bậc tự do là U3, R1  và R2. – (4). Phần tử vỏ (Shell) • Phần tử chịu kéo nén, uốn, xoắn. • Mỗi nút của phần tử có 6 bậc tự do là U1, U2, U3, R1 R2 và R3. 1 2 3 1 2 3 x y z x y z U u U u U u R R R          3 1 2 z x y U u R R      28 Bậc tự do của phần tử (t.theo) Phần tử vỏ (Shell) thực chất là sự kết hợp của phần tử tấm uốn (Plate) với phần tửmàng (Membrane). 5/30/2015 15 29 Bậc tự do của phần tử (t.theo) • C>. Bậc tự do của phần tử 3 chiều bậc nhất – Phần tử khối (Solid) • Mỗi nút thuộc phần tử có 3 bậc tự do U1, U2, U3. 30 1.6. Chọn hàm xấp xỉ dạng đa thức • Khi chọn bậc của đa thức xấp xỉ cần xét các yêu cầu sau: – (1) Các đa thức xấp xỉ phải thỏa mãn điều kiện hội tụ tức là khi số phần tử tăng lên, kích thước phần tử giảm đi thì kết quả sẽ hội tụ đến nghiệm chính xác. Muốn vậy hàm ue phải thỏa mãn: • Liên tục trong phần tử Ve (điều này luôn đúng với xấp xỉ là đa thức) • Bảo đảm tồn tại trong phần tử trạng thái đơn vị (hằng số) và các đạo hàm riêng của nó đến bậc cao nhất mà phiếm hàm I(u) đòi hỏi. • Trên biên phần tử, ue và các đạo hàm của nó đến cấp (r‐1) là liên tục. – (2) Các đa thức xấp xỉ được chọn sao cho không làm mất tính đẳng hướng hình học. Muốn vậy, các đa thức cần được chọn dựa trên tam giác Pascal  cho bài toán 2 chiều và dựa trên tháp Pascal cho bài toán 3 chiều.     , , ', '',... r V I u F x u u u u dx  5/30/2015 16 31 Chọn hàm xấp xỉ dạng đa thức (t.theo) • Tam giác Pascal cho bài toán 2 chiều 32 Chọn hàm xấp xỉ dạng đa thức (t.theo) • Tháp Pascal cho bài toán 3 chiều – (3) Số tham số của đa thức xấp xỉ phải bằng số bậc tự do của phần tử. 5/30/2015 17 33 Chọn hàm xấp xỉ dạng đa thức (t.theo) • Phần tửmột chiều (1‐D) – Xấp xỉ tuyến tính (phần tử bậc nhất) u(x) = a1 + a2x – Xấp xỉ bậc 2 (phần tử bậc 2) u(x) = a1 + a2x + a2x2 – Xấp xỉ bậc 3 (phần tử bậc3) u(x) = a1 + a2x + a3x2 + a4x3 – 34 Chọn hàm xấp xỉ dạng đa thức (t.theo) – Xấp xỉ bậc n (phần tử bậc n) u(x) = a1 + a2x + a3x2 +  + an+1xn hay  hay  u(x) = [P(x)] {a} với: [P(x)] = ma trận các đơn thức {a} = véc tơ các tham số   1 2 2 3 1 1 ... nx n a a u x x x a a                 5/30/2015 18 35 Chọn hàm xấp xỉ dạng đa thức (t.theo) • Phần tử hai chiều (2‐D) – Xấp xỉ tuyến tính cho phần tử tam giác (bậc nhất) u(x, y) = a1 + a2x + a3y hay  hay  u(x,y) = [P(x,y)] {a}    với:      [P(x)] = ma trận các đơn thức {a} = véc tơ các tham số     1 2, 3 1x y a u x y a a        36 Chọn hàm xấp xỉ dạng đa thức (t.theo) – Xấp xỉ bậc 2 cho phần tử tam giác (phần tử bậc 2) u(x, y) = a1 + a2x + a3y + a4x2 + a5y2 + a6xy hay  hay  u(x,y) = [P(x,y)] {a}    với:      [P(x)] = ma trận các đơn thức {a} = véc tơ các tham số   1 2 2 2 3, 6 1x y a a u x y x y xy a a                5/30/2015 19 37 Chọn hàm xấp xỉ dạng đa thức (t.theo) – Xấp xỉ tuyến tính cho phần tử 2D hình chữ nhật (bậc nhất) u(x, y) = a1 + a2x + a3y + a4xy hay  hay  u(x,y) = [P(x,y)] {a}    với:      [P(x)] = ma trận các đơn thức {a} = véc tơ các tham số     1 2 , 3 4 1x y a a u x y xy a a          38 Chọn hàm xấp xỉ dạng đa thức (t.theo) – Xấp xỉ tuyến tính cho phần tử 2D hình chữ nhật (bậc hai) u(x, y) = a1 + a2x + a3y + a4x2 + a5y2 + a6x2y + a7xy2 + a8x2y2 hay    1 2 3 42 2 2 2 2 2 , 5 6 7 8 1x y a a a a u x y xy x y x y xy x y a a a a                   5/30/2015 20 39 Chọn hàm xấp xỉ dạng đa thức (t.theo) • Phần tử ba chiều (3‐D) – Xấp xỉ tuyến tính cho phần tử tứ diện (bậc nhất) u(x,y,z) = [P(x,y,z)] {a}  hay  hoặc:     1 2 , , 3 4 1x y z a a u x y z a a              1 2 3 4, , 1 Tx y zu x y z a a a a 40 Chọn hàm xấp xỉ dạng đa thức (t.theo) Như vậy, 1 điểm bất kỳ thuộc phần tử Solid dạng tứ diện sẽ có 3 chuyển vị theo 3 phương (1), (2), và (3) được xác định dựa vào các hàm xấp xỉ tuyến tính u(1) ; u(2) ; và u(3) như sau: Chú ý rằng: tổng số tham số của các đa thức xấp xỉ là 12, đúng bằng số bậc tự do của phần tử Solid dạng tứ diện.                (1) 1 2 3 4, , (2) 5 6 7 8, , (3) 9 10 11 12, , 1 1 1 T x y z T x y z T x y z u x y z a a a a u x y z a a a a u x y z a a a a    5/30/2015 21 41 Chọn hàm xấp xỉ dạng đa thức (t.theo) – Xấp xỉ tuyến tính cho phần tử lục diện (bậc nhất), chuyển vị theo một phương nào đó chẳng hạn phương : u(x,y,z) = [P(x,y,z)] {a}  hay:      1 2 3 4 , , 5 6 7 8 1x y z a a a a u x y z xy yz zx xyz a a a a                42 Chọn hàm xấp xỉ dạng đa thức (t.theo) Một điểm bất kỳ thuộc phần tử Solid dạng lục diện sẽ có 3  chuyển vị theo 3 phương (1), (2), và (3) được xác định dựa vào các hàm xấp xỉ tuyến tính u(1) ; u(2) ; và u(3) như sau: Tổng số tham số của các đa thức xấp xỉ là 24, đúng bằng số bậc tự do của phần tử Solid dạng lục diện.                (1) 1 2 3 4 5 6 7 8, , (2) 9 10 11 12 13 14 15 16, , (3) 17 18 19 20 21 22 23 24, , 1 1 1 T x y z T x y z T x y z u x y z xy yz zx xyz a a a a a a a a u x y z xy yz zx xyz a a a a a a a a u x y z xy yz zx xyz a a a a a a a a   