Phay lăn răng

Mục lục Phần I : Thiết lập hệ trục tọa độ khi phay lăn răng..............................................................2 1.1 Tổng quan về dao phay lăn răng.........................................................................2 1.2 Thiết lập hệ trục tọa độ khi phay lăn răng..........................................................3 Phần II : Thiết lập chuyển đổi tọa độ..................................................................................4 Phần III : Tìm phương trình bề mặt khởi thủy cho đối tượng 2.........................................7 Phần IV : Xác định bề mặt khởi thủy bằng phương pháp động học...................................9 Phần V : Ứng dụng Ten-xơ quay trong chuyển đổi tọa độ................................................11 Phần VI : Xác định độ cong mặt, đường tiếp xúc, kích thước khi phay lăn răng..............13 Phần I : Thiết lập hệ trục tọa độ khi phay lăn răng 1.1 Tổng quan về dao phay lăn răng : Dao phay lăn răng làm việc theo nguyên lý bao hình có tâm tích. Quá trình hình thành profin răng bánh răng bằng dao phay lăn răng tương tự như quá trình ăn khớp giữa bánh răng gia công với trục vít.Chuyển động quay của dao phay lăn răng (trục vít) quanh trục của nó và chuyển động quay của phôi bánh răng quanh trục của phôi với quan hệ như sau: Trục vít ( dao phay lăn răng ) quay một vòng thì phôi bánh răng quay 1/Z1 vòng (Z1 là số răng của bánh răng cần gia công). Chuyển động quay của dao quanh trục của nó đồng thời là chuyển động cắt chính. Dao phay lăn răng là một trục vít có xẻ rãnh dọc (thường là rãnh xoắn ) tạo thành mặt trước có góc trước γ = 0 và rãnh thoát phoi, hớt lưng để tạo góc sau. 1.2 Thiết lập hệ trục tọa độ khi phay lăn răng: - Sẽ dùng 3 hệ tọa độ chính sau: - Hệ tọa độ S2 (O2, X2 , Y2 , Z2 ) gắn vào bánh răng. - Hệ tọa độ S1 ( O1, X1, Y1, Z1) được gắn vào thanh răng hay dao phay lăn răng. - Hệ tọa độ S0 ( O, X, Y,Z) là hệ tọa độ cố định. Trục Z1 của hệ di động S1 được đặt trùng với trục của dao phay lăn răng. Trục Z2 của hệ di động S2 được đặt trùng với trục của dao phay lăn răng. Hệ tọa độ áp dụng như sau: Hình 1: Hệ tọa độ áp dụng Phần II : Thiết lập chuyển đổi tọa độ Chuyển tử hệ S0 ( O, X, Y,Z) đến hệ S2 (O2, X2 , Y2 , Z2 ): được thực hiện bởi hai bước: - Dịch chuyển gốc tọa độ O đến O2 , quay hệ tọa độ quanh trục X một góc γ ( là góc giữa hai trục quay của bộ truyền ) sao cho trục Z đến trùng với trục Zp. Ta nhận được hệ tọa độ trung gian Sp (Op, Xp , Yp , Zp ). - Quay hệ Sp quanh Zp một góc φ2 nhận được hệ S2 (O2, X2 , Y2 , Z2 ) hệ gắn liền với bánh răng. Trên hình 1 biểu diễn trường hợp khi quan sát từ hướng dương của trục Z1 và Z2, các khâu 1 và 2 quay ngược chiều kim đồng hồ. Ứng dụng công thức : r2= M2P.MP0.M01.r1= M21.r1 Trong đó : r1, r2 là mà trận cột của các bán kính vector r1 và r2 của cùng một điểm trong hệ S1 và S2. M01 là ma trận chuyển đổi từ hệ tọa độ S1 sang S0. Mp0 là ma trận chuyển đổi từ hệ tọa độ S0 sang Sp. M2p là ma trận chuyển đổi từ hệ tọa độ Sp sang S2. M21 là kết quả sự chuyển đổi gian tiếp từ hệ tọa độ S1 sang S2. Ta có: M01 =cosφ1-sinφ100sinφ1cosφ10000100001 Mp0 =100A0cosγ-sinγ00sinγcosγ00001 M2p = cosφ2sinφ200-sinφ2cosφ20000100001 Ma trận M20 khi chuyển từ hệ tọa độ S0 sang S2: M20 = M2p. Mp0 = cosφ2cosγ.sinφ2sinγ.sinφ2A.cosφ2-sinφ2cosγ.cosφ2-sinγ.cosφ2A.sinφ20sinγcosγ00001 Vậy : Ma trận M21 khi chuyển từ hệ tọa độ S1 sang S2: M21 = M2p. Mp0 .M01 = cosφ1.cosφ2+cosγ.sinφ1.sinφ2-sinφ1.cosφ2+cosγ.cosφ1.sinφ2-sinγ.cosφ2A.cosφ2-cosφ1.sinφ2+cosγ.sinφ1.cosφ2sinφ1.sinφ2+cosγ.cosφ1.sinφ2-sinγ.cosφ2A.cosφ2sinγ.sinφ1sinγ.cosφ1cosγ00001 Biểu thức liên hệ giữa x1, y1, z1 và x2, y2, z2 bằng các phương trình: x2= x1(cosφ1.cosφ2+cosγ.sinφ1.sinφ2) + y1(-sinφ1.cosφ2+cosγ.cosφ1.sinφ2) – z1. sinγ.cosφ2 + A.cosφ2y2= x1(-cosφ1.sinφ2+cosγ.sinφ1.cosφ2) + y1( sinφ1.sinφ2+cosγ.cosφ1.sinφ2) – z1. sinγ.cosφ2 + A.cosφ2z2=x1(sinγ.sinφ1) + y1( sinγ.cosφ1) – z1. cosγt2=t2=1 Chuyển đổi ngược từ S2 sang S1 : Tương tự như trên : r1=M12.r2 Trong đó M12 là ma trận nghịch đảo của ma trận M21 được xác định bởi: cosφ1.cosφ2+cosγ.sinφ1.sinφ2-cosφ1.sinφ2+cosγ.sinφ1.cosφ2sinγ.sinφ1-A.cosφ1-sinφ1.cosφ2+cosγ.sinφ1.sinφ2sinφ1.sinφ2+cosγ.cosφ1.cosφ2-sinγ.cosφ1-A.cosφ1-sinγ.sinφ2-sinγ.cosφ2cosγ00001 Biểu thức chuyển đổi từ S1 sang S2 : x2 = x1(cosφ1.cosφ2+cosγ.sinφ1.sinφ2) + y2(-cosφ1.sinφ2+cosγ.sinφ1.cosφ2) + z1. sinγ.sinφ1 - A.cosφ1 y2 = x1(-sinφ1.cosφ2+cosγ.sinφ1.sinφ2) + y2( sinφ1.sinφ2+cosγ.cosφ1.cosφ2) – z1.( -sinγ.cosφ1 ) - A.cosφ1 z2 = x1(-sinγ.sinφ2) + y2( -sinγ.cosφ2) + z1. cosγ t2 = t1 = 1 Chuyển từ hệ S2 sang S0 : r=M02.r2 Với ma trận M02 là ma trận nghịch đảo của ma trận M20 được xác định bởi : M02 = cosφ2-sinφ20Acosγ.sinφ2cosγ.sinφ2sinγ0-sinγ.sinφ2-sinγ.cosφ2cosγ00001 Công thức chuyển đổi được xác định: x = x2 cosφ2- y2 sinφ2 + A y = x2 cosγ.sinφ2 + y2 cosγ.sinφ2 + z2 sinγ z = -x2 sinγ.sinφ2 - y2 sinγ.cosφ2 + z2 cosγ t = t2 = 1 Chuyển từ hệ S1 sang S : r1=M01.r M01 đã được xác định : M01 =cosφ1-sinφ100sinφ1cosφ10000100001 Công thức chuyển đổi được xác định: x = x1 cosφ1 - y1 sinφ1 y = x1 sinφ1 + y1 cosφ1 z = z1 t = t1 = 1 Chuyển ngược lại từ S sang S1 : r=M10.r1 M10 =cosφ1sinφ100sinφ1cosφ10000100001 Công thức chuyển đổi được xác định: x = x1 cosφ1 + y1 sinφ1 ; y = x1 sinφ1 + y1 cosφ1 ; z = z1 ; t = t1 = 1 Phần III : Tìm phương trình bề mặt khởi thủy cho đối tượng 2 Bề mặt khởi thủy của đối tượng 2 ( Bánh răng ) là họ bề mặt bao một thông số được xác định bằng phương trình sau: F2 (X2, Y2, Z2, φ1, i12) = 0 ∂F2∂φ1 (X2, Y2, Z2, φ1, i12) = 0 Phương trình trên xác định bề mặt tạo hình 2 dưới dạng thông số φ1 . Hay nó tương đương với hệ : F2 (X2, Y2, Z2, φ1, i12) = 0 ∂F2∂x1.∂x1∂φ1+∂F2∂y1.∂y1∂φ1+∂F2∂z1.∂z1∂φ1=0 Áp dụng phương trình bề mặt bánh răng, dụng cụ trong hệ tọa độ S2 (O2, X2 , Y2 , Z2 ) gắn vào bánh răng ( đối tượng 2 ), sau khi chuyển đổi tọa độ từ S1 sang S2 x2 = x1(cosφ1.cosφ2+cosγ.sinφ1.sinφ2) + y2(-cosφ1.sinφ2+cosγ.sinφ1.cosφ2) + z1. sinγ.sinφ1 - A.cosφ1 y2 = x1(-sinφ1.cosφ2+cosγ.sinφ1.sinφ2) + y2( sinφ1.sinφ2+cosγ.cosφ1.cosφ2) – z1.( -sinγ.cosφ1 ) - A.cosφ1 z2 = x1(-sinγ.sinφ2) + y2( -sinγ.cosφ2) + z1. cosγ Đặt hệ phương trình trên là (1) Ta có: ∂x1∂φ1 = x2(-sinφ1.cosφ2-i21.cosφ1.sinφ2+cosφ1.sinφ2.cosγ+i21.sinφ1.cosφ2.cosγ) - y2(-sinφ1.sinφ2+i21.cosφ1.cosφ2-cosφ1.cosφ2.cosγ+i21.sinφ1.cosφ2.cosγ) + z2 cosφ1.sinγ + A.sinφ1 Trên cơ sở phương trình thứ 2 của hệ 1 ta có thể viết: ∂x1∂φ1 = y1- i21.cosφ1(x2.sinφ1+y2.cosφ2) + i21.sinφ1.cosγ(x2.cosφ2-y2.sinφ2) Áp dụng kết quả biểu thức : x2= x1(cosφ1.cosφ2+cosγ.sinφ1.sinφ2) + y1(-sinφ1.cosφ2+cosγ.cosφ1.sinφ2) – z1. sinγ.cosφ2 + A.cosφ2y2= x1(-cosφ1.sinφ2+cosγ.sinφ1.cosφ2) + y1( sinφ1.sinφ2+cosγ.cosφ1.sinφ2) – z1. sinγ.cosφ2 + A.cosφ2z2=x1(sinγ.sinφ1) + y1( sinγ.cosφ1) – z1. cosγ Sau khi chuyển đổi ta có: ∂x1∂φ1 = y1(1-i21.cosφ1) + z1. i21.sinγ.cosφ1 + A. i21.cosγ.sinφ1 Tương tự ta có: ∂y1∂φ1 = - x1(1-i21.cosγ) – z1. i21.sinγ.sinφ1 + A. i21.cosγ.cosφ1 ∂z1∂φ1 = - i21.sinγ(x1.cosφ1-y1.sinφ1+A) Vậy: Bề mặt khởi thủy của đối tượng 2 ( Bánh răng ) là họ bề mặt bao một thông số được xác định bằng phương trình : F2 (X2, Y2, Z2, φ1, i12) = 0 ∂F2∂x1[y1(1-i21.cosφ1) + z1. i21.sinγ.cosφ1 + A. i21.cosγ.sinφ1]+∂F2∂x1[- x1(1-i21.cosγ) – z1. i21.sinγ.sinφ1 + A. i21.cosγ.cosφ1]+∂F2∂x1[- i21.sinγ(x1.cosφ1-y1.sinφ1+A)] = 0 Phần IV : Xác định bề mặt khởi thủy bằng phương pháp động học Xuất phát từ lý thuyết ăn khớp không gian: Tại điểm M của tiếp tuyến của các bề mặt răng thì véc tơ vận tốc của chuyển động tương đối cần phải nằm trong mặt phẳng tiếp tuyến với các bề mặt đối tiếp. Để xác định đường tiếp xúc trên bề mặt răng thì cần phải giải hai phương trình : r1 = r1 (u, v) ; n1 . v1(12) = 0 (1) Phương trình thứ nhất của (1) biểu diễn bề mặt bánh răng dưới dạng hàm véc tơ của hai thông số vô hướng. Phương trình thứ hai n1 là pháp tuyến, . v1(12) là véc tơ vận tốc chuyển động tương đối, biểu diễn điều kiện tạo hình của các bề mặt đối tiếp của cặp động học ( Dụng cụ - bánh răng). Trong hệ tọa độ chúng ta viết phương trình đường tiếp xúc dưới dạng: x1 = x1(u,v) ; y1= y1(u,v) ; z1 = z1(u,v) nx1vx1(12) + ny1vy1(12) + nz1vz1(12) = 0 (2) Các biểu thức nx1 ny1 nz1 là hình chiếu véc tơ pháp tuyến, nó phụ thuộc vào hình dáng bề mặt cho trước của bánh răng. Véc tơ vận tốc tương đối v1(12) xác định vị trí trục quay của bánh răng và số truyền động, nó không phụ thuộc vào hình dạng bề mặt răng. Theo phương pháp Goehman để xác định các biểu thức ∂x1∂φ1 ∂y1∂φ1 ∂z1∂φ1 tương đương với hình chiếu véc tơ của các chuyển động thành phần cần xem xét 2 khả năng. +Áp dụng công thức liên quan giữa các hệ tọa độ : X1 = (X2, Y2, Z2, φ1, i12) Y1 = (X2, Y2, Z2, φ1, i12) Z1 = (X2, Y2, Z2, φ1, i12) + Sau đó ta tìm các biểu thức của các đạo hàm riêng của các hàm số ∂x1∂φ1 ∂y1∂φ1 ∂z1∂φ1 mà nó chứa các tọa độ X2, Y2, Z2 + Để biến đổi X2, Y2, Z2 sang X1, Y1, Z1 ta cần phải áp dụng các hàm số: X1 = (X2, Y2, Z2, φ1, i12) Y1 = (X2, Y2, Z2, φ1, i12) Z1 = (X2, Y2, Z2, φ1, i12) Các hình chiếu véc tơ v1(12) của vận tốc chuyển động tương đối trong hệ tọa độ X1, Y1, Z1 khi ω1 =1 radian/giây thì các véc tơ vận tốc thành phần thỏa mãn: vx1(12) = -y1(1 - i12cosγ) - z1i12sinγ cosφ1 - Ai12 cosγ sinφ1 vy1(12) = -x1(1 - i12cosγ) + z1i12sinγ sinφ1 - Ai12 cosγ cosφ1 vy1(12) = i12sinγ (x1sinφ1 - y1 sinφ1 + A) Thay vào (2) ta có: x1 = x1(u,v) ; y1= y1(u,v) ; z1 = z1(u,v) nx1[-y1(1 - i12cosγ) - z1i12sinγ cosφ1 - Ai12 cosγ sinφ1] + ny1[-x1(1 - i12cosγ) + z1i12sinγ sinφ1 - Ai12 cosγ cosφ1] + nz1[i12sinγ (x1sinφ1 - y1 sinφ1 + A)] = 0 (3) Trong đó : nx1 = ∂y1∂u∂y1∂v∂z1∂u∂z1δv ; ny1 = ∂z1∂u∂z1∂v∂x1∂u∂x1δv ; nz1 = ∂x1∂u∂x1∂v∂y1∂u∂y1δv Biểu thức (3) có thể viết tổng quát : f1(u,v,φ1) = 0 Phương trình đường tiếp xúc bây giờ có thể viết : f1(u,v,φ1) = 0 x1 = x1(u,v) ; y1= y1(u,v) ; z1 = z1(u,v) Phần V : Ứng dụng Ten-xơ quay trong chuyển đổi tọa độ Giả sử có bề mặt cho trước của đổi động học ( dụng cụ hay chi tiết gia công ). Trên bề mặt có điểm M bất kỳ có bán kính véc tor X. Điểm M quay quanh trục 0 của hệ thống tọa độ XYZ với các vector đơn vị trục là i, j, k. Góc quay của điểm nút vector X trong mặt phẳng vuông góc với trục quay là . Vector đơn vị theo hướng trục quay là 00. Vector X sau khi quay được ký hiệu là X(). Vector X được phân tích theo hai hướng. Chiếu vào trục 0 có vector Xb và vuông góc với trục 0 có vector la Xk. Giả sử vector Xb nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục 0 và cùng nằm trong mặt phẳng quay của điểm cuối của vector X, đồng thời Xb cũng vuông góc với Xk. Ta có thể viết: X = X0+Xk Xb = 00 x X = 00 x Xk X=X(,,) = X(x,y,z) 00 = 00(O1,O2 , O3) Do đó = R()X R() gọi là ten xơ phản ứng của vector đơn vị . R() thỏa mãn điều kiện: = =0 Cũng theo hình chiếu trên ta có thể xác định X(): X()=+cos +sin =.0.X .0 gọi là tích dad của vector hay còn gọi là tích ten xơ của véc tor đơn vị. Cũng có thể viết: .=. là ten xơ chuyển vị cột Ta có: = X - = X - ..X= ( E - .0 )X E là ten xơ đơn vị. =1 nếu i=j =0 nếu i#j Ta có = [ ( E - .)cos + R()sin + .]X = X = ( E – 0.0 )cos + R()sin + .0 gọi là ten xơ quay, tức là vec tor X quay một góc quanh trục 0 mà không thay đổi độ lớn của vector. Toàn bộ hệ thống chỉ quay mà không biến dạng. VI ) Phương trình đường tiếp xúc ( đường đặc tính ) khi phay lăn răng: Khi cố định thông số φ1của phương trình bề mặt khởi thủy của đối tượng 2 ta được đường tiếp xúc của mạch tạo hình. Phương trình có dạng : F1 (x1,y1,z1) = 0 ∂F1∂φ1 [x1(x2,y2,z2,j1,i12), y1(x2,y2,z2,j1,i12), z1(x2,y2,z2,j1,i12)] = 0 hay: F1 (x1,y1,z1) = 0 ∂F1∂x1.∂x1∂φ1+∂F1∂y1.∂y1∂φ1+∂F1∂z1.∂z1∂φ1=0 Áp dụng kết quả chuyển đổi tọa độ từ S1 sang S2 tương tự như khi tìm phương trình bề mặt khởi thủy ta tính được như sau: F1 (x1,y1,z1) = 0 ∂F1∂x1[y1(1-i21.cosφ1) + z1. i21.sinγ.cosφ1 + A. i21.cosγ.sinφ1]+∂F1∂x1[- x1(1-i21.cosγ) – z1. i21.sinγ.sinφ1 + A. i21.cosγ.cosφ1]+∂F1∂x1[- i21.sinγ(x1.cosφ1-y1.sinφ1+A)] => Là phương trình đường tiếp xúc khi phay lăn răng (điều kiện cố định thông số φ1)