Phân tích động học cơ cấu gạt phôi sử dụng phương pháp đại số phức

PHÂN TÍCH ĐỘNG HỌC CƠ CẤU GẠT PHÔI SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ PHỨC Nguyễn Thị Thanh Nga Khoa Cơ khí, Trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp Tóm tắt Đề tài này trình bày phương pháp đại số phức để giải bài toán phân tích động học cơ cấu phẳng, cụ thể là cơ cấu gạt phôi. Bằng việc xây dựng phương trình chuỗi động kin và dựa vào cách biểu diễn số phức đã thiết lập được mối quan hệ của các thông số động học cần tính toán. Từ phương trình chuỗi động kín này các bài toán động học đã được xác định bao gồm: chuyển vị, vận tốc góc v gia tốc góc. Từ đó, hoàn toàn có thể xác định được quỹ đạo, vận tốc dài và gia tốc dài của các điểm trên khâu. Các kết quả đạt được rất nhanh chóng và chính xác bằng việc lập trình Matlab. Từ khóa: Cơ cấu gạt phôi, động học, số phức 1. Giới thiệu về phân tích động học cơ cấu động của cơ cấu bốn khâu bản lề và cơ cấu hình bình hành với các kích thước động phù Phân tích động học cơ cấu là nghiên cứu hợp để tạo ra chuyển động khứ hồi của cơ cấu. quy luật chuyển động của cơ cấu khi đã biết Việc phân tích động học cho cơ cấu này là rất lược đồ động học của cơ cấu và quy luật cần thiết bởi vì từ việc phân tích này người ta chuyển động của khâu dẫn. có thể xác định được quy luật chuyển động Phân tích động học cơ cấu bao gồm ba của các khâu trong cơ cấu. Đồng thời, dựa bài toán: chuyển vị, vận tốc và gia tốc [1]. vào việc phân tích này để có thể thiết kế các Giải các bài toán này sẽ biết được quy luật khâu của cơ cấu với mỗi ứng dụng cụ thể. Vì chuyển vị, quy luật biến đổi vận tốc của các vậy tác giả đã chọn đề tài này để tính toán điểm hay các khâu cần xét trên cơ cấu. Các động học cho cơ cấu gạt phôi là một vấn đề kết quả phân tích động học rất cần thiết cho cần thiết. việc thiết kế máy bởi ba lý do. Thứ nhất, để O2 O3 phối hợp chuyển động giữa các cơ cấu khác nhau trong cùng một bộ máy phải biết quy 0 O1 luật chuyển vị của từng cơ cấu (bài toán 3 7 D chuyển vị). Thứ hai, để nghiên cứu và cải C 5 1 thiện chuyển động thực của máy dưới tác 6 dụng của các lực phải biết vận tốc hay tỷ số A E 2 B 4 vận tốc của các khâu (bài toán vận tốc). Thứ ba, để tính toán thiết kế hoặc kiểm tra bền cho chi tiết máy cần phải xác định được lực Hình 1. Lược đồ cơ cấu gạt phôi tác dụng lên chi tiết máy, trong đó việc xác Có nhiều phương pháp phân tích động định lực quán tính là rất quan trọng; muốn học cơ cấu như: phương pháp vẽ hay phương vậy phải biết quy luật biến đổi gia tốc các pháp đồ thị [1], phương pháp giải tích khâu (bài toán gia tốc). [1,2,4,5], phương pháp số [3]. Phương pháp Cơ cấu gạt phôi là một cơ cấu biến đồ thị rất thuận tiện, giải bài toán một cách chuyển động quay của khâu dẫn 1 thành nhanh gọn mà vẫn đạt được độ chính xác cần chuyển động tịnh tiến khứ hồi của khâu đầu ra thiết trong bài toán kỹ thuật. Còn phương 7 (hình 1). Cơ cấu này có rất nhiều ứng dụng pháp giải tích có ưu điểm là cho độ chính xác trong thức tế, điển hình là trong lĩnh vực gạt cao và mối quan hệ giữa các đại lượng được phôi trong hệ dẫn động băng tải, gạt phôi biểu diễn bằng biểu thức giải tích. Vì vậy, có trong lò luyện thép. Bằng việc kết hợp chuyển thể dễ dàng nghiên cứu ảnh hưởng của các 1 Trimaginaryục ảo imaginaryTrục ảo j B j R =jR 2 D R RD=j R= -R  A R realTrục thực j*r*sin C  realTrục thực RA r*cos R =j3R= -jR D D (b) Hình 2. Cách biểu diễn số phức (a) Hệ tọa độ cực; (b) Hệ tọa độ đề các thông số này đối với nhau. Trong bài báo này ae()()()j2 be()j3  ce j  4  de j  1  0 (1) trình bày phương pháp đại số phức để giải bài toán động học cho cơ cấu gạt phôi. Với: r2 ar;;;; 3  br 4  cr 1  dAC  p Phương pháp đại số phức không những hể  Xác định góc quay hiện được mối quan hệ giữa các đại lượng Ta có:  = f(a,b,c,d,  );  = tính toán bằng biểu thức đại số, mà nó còn  3 2 4 thể hiện được dưới dạng véc tơ. g(a,b,c,d, 2) Từ (1) ta có: 2. Phương pháp nghiên cứu a(cos j sin  )  b (cos   j sin  )  2 2 3 3 Đối với bài toán phân tích động học của (2) c(cos4  j sin  4 )  d (cos  1  j sin  1 )  0 cơ cấu phẳng, chiều dài của các khâu cho a. cosθ2 b . cos θ 3  c . cos θ 4  d . cos θ 1    0 trước; vị trí, vận tốc góc, gia tốc góc của   (3) khâu dẫn cũng được xác định trước a. sinθ2 b . sin θ 3  c . sin θ 4  d . sin θ 1   0 2.1. Cách biểu diễn số phức Hay: c.cos4 a.cos  2  b.cos  3  d.cos  1 Ta có thể biểu diễn số phức trong hệ tọa độ  (4) độc cực hoặc hệ tọa độ đề các [2]. c.sin4 a.sin  2  b.sin  3  d.sin  1 y Bình phương 2 vế của hệ phương trình (4) và cộng vế với vế của hai phương trình ta được: c2  a. c os  b . c os   d . c os  2  O2 O3  2 3 1  2 (5) x a.sin2  b .sin  3  d .sin  1  O1  1 4 Hay: D 2 C c2 a 2  b 2  d 2 2 ab .cos . c os  23 (6) 2ad .cos . c os  2 bd .cos  . c os  E 2 1 3 1 A B 3 2ab .sin .sin  2 ad .sin  .sin  Hình 3. Sơ đồ tính toán 2 3 2 1 2bd .sin .sin Trong hệ độc cực: Re j , trong hệ tọa độ đề 31 các: Đặt: 2 2 2 2 2.2. Xác định vị trí của các khâu K a  b  d  c  2 ad .cos . c os 21 Phương trình chuỗi động kín (hình 3): 2ad .sin21 .sin r2 r 3  r 4  r 1  0 2 Và áp dụng hệ thức lượng giác: 2.3. Xác định vận tốc góc của các khâu 3 Sau khi xác định được vị trí của các 2tg 2 khâu tại mỗi thời điểm  ,  thì việc xác  (7) 3 4 sin3  2 3 định vận tốc góc 3, 4 theo phương pháp 1 tg  giải tích số phức được thực hiện như sau: 2 Thực chất: 3 = f (a, b, c, d, 2, 3, 4, 2); 2 3 1 tg  4 = g (a, b, c, d, 2, 3, 4, 2). 2 (8) Đạo hàm hai vế phương trình (1), với  = cos  1 3  const, ta được: 1g t 2 3  jj24j3 2 ja2 e jb  3 e  jc  4 e  0 Thay (7), (8) vào (6) và biến đổi ta được: (11) 2 3 Hay: (2.osab c21  2 bd .os c  K ). tg  2 ja2 cos  2 j sin  2  jb  3 c os  3  j sin  3   (12) 3 (9 ) jc4 cos  4  j sin  4   0 (4ab .sin21  4 bd .sin ). tg   2 Mặt khác: j2 1 (chỉ trên hình 1) và 2ab . c os21  2 bd . c os  K  0 biến đổi phần thực và phần ảo, ta được: Đặt: jj24j3  ja2 e jb  3 e  jc  4 e  0  (13) A 2 ab . c os21  2 bd . c os  K jj24j3  ja2 e jb  3 e  jc  4 e  0 B4 ab .sin21 4 bd .sin Giải hệ phương trình (13), ta được: C2 ab . c os21  2 bd . c os  K aa2sin(  4  2 )   2 sin(23 )  34 ;   Phương trình (9) trở thành: bcsin(3  4 )   sin(  4  3 )      Atg.2 33 B . tg  C  0     (10) 2.4. Xác định gia tốc góc 3, 4 22    Tương tự bài toán xác định vận tốc góc. Việc Giải phương trình (10) ta được: xác định gia tốc góc chính là: 2 Ta có: 3 = f (a,b,c,d,2,3, 4, 2, 3, 4, 2); 3 B  B  4 AC tg  Và 4 = g (a,b,c, d, 2, 3, 4, 2, 3, 4, 2). 22A Lấy đạo hàm cấp hai theo t của phương trình B  B2  4 AC (1), ta được: Suy ra: 3  2.arctg 2 2jj22 2 2 jj33 2A  j a2e ja  2 e  j b  3 e  jb  3 e   (14) Bằng cách biến đổi tương tự như tính  , ta 22jj44 3  j c44ee  jc  0 xác định được 4: Biến đổi rej  r(cos j sin ) và đưa E  E2  4 DF   2.arctg  về phần thực và phần ảo, ta được : 4  2D Phần thực : 22 Với: asin   a  c os   b  sin  2 2 2 2 3 3 (15) H a2  b 2  c 2  d 2  2 ad .cos . c os 2 (33) 21 b3 cos  3  c  4 sin  4  c  4 c os  4  0 2ad .sin21 .sin Phần ảo: 22 D2 ac . c os21  2 cd . c os  H ; a cos   a  sin   b  c os  2 2 2 2 3 3 (16) 2 E 4 ac .sin21  4 cd .sin b3sin  3  c  4 c os  4  c  4 sin  4  0 F 2 ac . c os21  2 cd . c os  H Đặt: G csin43; H bsin 3 2 2 2 a x   a. .sin   a . 22 . c os   p .  .sin(    )  p .  . c os(    ) I a2cos  2  a  2 sin  2  b  3 cos  3  c  4 cos  4  Cx C 2 2 2 2 3 3 3 3  22 aCy y C   a.2 . c os  2  a .  2 .sin  2  p .  3 . c os(    3 )  p .  3 .sin(    3 ) Kc .cos43 ; L b cos ; 2.6. Thuật toán M  a2sin   a  cos   b  2 sin   c  2 sin  2 2 2 2 3 3 4 4 Thay các đại lượng ở biểu thức G, I, K, M Bắt đầu vào hệ phương trình (15), (16) và giải hệ để tìm gia tốc góc của khâu 3 và khâu 4, ta được: IKGM IL HM   và  34GL HK GL HK Nhập: a,b,c,d, 2.5. Xác định quỹ đạo, vận tốc và gia tốc 1,2, 2,2 các điểm trên cơ cấu 2.5.1. Quỹ đạo của các điểm Từ hình 3 xác định được quy đạo các điểm S a,b,c,d 0 A,B,C có phương trình như sau: Vị trí điểm A: Đ  xA  a. c os2 Không hiển thị S Đ Vẽ quỹ đạo  3, 4 họa đồ các điểm yaA  .sin2 Vị trí điểm B: Đồ thị vận tốc  xBA x  b. c os3  a . c os  2  b . c os  3 3,4  các điểm yBA  y  b.sin3   a .sin  2  b .sin  3 Vị trí điểm C: Đồ thị gia tốc 3,4 các điểm  xCA x  p. c os(  3 )  a . c os  2  p . c os(    3 )  y y  p.sin(   )   a .sin   p .sin(    )  CA 3 2 3 2.5.2. Vận tốc các điểm Kết thúc Vận tốc điểm A: vAx x A   a.22 .sin Hình 4. Sơ đồ thuật toán  v y   a. . c os  Ay A 22 3. Kết quả và thảo luận Vận tốc của điểm B: Bằng phương pháp đại số phức cùng với vBx x B   a.2 .sin  2  b .  3 .sin  3  sự trợ giúp của phần mềm Matlab kết quả đạt v y   a. . c os   b .  . c os   By B 2 2 3 3 được một cách nhanh chóng và chính xác. Vận tốc của điểm C: Sau khi chương trình Matlab được thiết lập. vCx x C   a.2 .sin  2  p .  3 .sin(    3 ) Kết quả quỹ đạo của các điểm A, B, C, D, E  v y   a. . c os   p .  . c os(    ) được biểu diễn như trên hình 5. Với hệ trục  Cy C 2 2 3 3 tọa độ đề các Oxy đã chọn, thấy rằng, quỹ 2.5.3. Gia tốc các điểm đạo của điểm A là đường tròn tâm. Như vậy Gia tốc điểm A: khâu 1 quay toàn vòng (quỹ đạo là vòng tròn 2 aAx x A   a.2 .sin  2  a .  2 . c os  2 tâm O1, với bán kính O1A). Còn quỹ đạo của  a y   a. . c os   a . 2 .sin  điểm B là cung tròn tâm O2 bán kính O2B.  Ay A 2 2 2 2 Tuy nhiên, v ớ i h ệ t r ụ c t ọ a đ ộ đã ch ọn thì quỹ Gia tốc điểm B: đạo của điểm B, E là cung elip như trên hình 22 aBx x B   a.2 .sin  2  a .  2 . c os  2  b .  3 .sin  3  b .  3 . c os  3 5b. Điều này hoàn toàn đúng với quy luật  22 aBy y B   a.2 . c os  2  a .  2 .sin  2  b .  3 . c os  3  b .  3 .sin  3 toán học. Còn với quỹ đạo của điểm C, D Gia tốc điểm C: nằm trên khâu đầu ra với chuyển động tịnh 4 tiến khứ hồi. Quỹ đạo của chúng là một điểm C, D cũng biến thiên theo chu kỳ như đường cong được biểu diễn trên hình 5c. trên hình 6c. 100 v 1000 y 80 (mms) 1000 60 1000 40 20 1000 0 1000 -20 1000 -40 1000 -60 1000 -80 0 5 10 15 20 25 30 (a)  (rad) -100 -100 -50 0 50 100 v x 8000 (a) (mms) 7000 -50 y 6000 -100 5000 -150 4000 3000 -200 2000 -250 1000 -300 0 0 5 10 15 20 25 30  (rad) -350 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 12000 x v (b) (mms) 40 10000 y 20 8000 0 6000 -20 -40 4000 -60 2000 -80 0 0 5 10 15 20 25 30 -100 (c)  (rad) -120 200 250 300 350 400 450 Hình 6. Vận tốc của các điểm (c) x (a), Vận tốc của điểm A; (b), Vận tốc của Hình 5. Quỹ đạo của các điểm trên cơ cấu điểm B, E; (c), Vận tốc của điểm C,D (a), Quỹ đạo của điểm A; (b), Quỹ đạo của điểm B, E; (c), Quỹ đạo của điểm C,D Tương tự bài toán vận tốc, bài toán gia tốc cũng được xác định một cách dễ dàng. Với Sau khi xác định được quỹ đạo của các điểm khâu 1 quay đều, nên gia tốc góc của khâu 1 trên các khâu của cơ cấu. Cho thông số đầu 1 = 0. Do đó, gia tốc của điểm A là hằng số. vào 1 = 10 (rads) và khâu 1 quay đều. Vận Còn gia tốc của điểm B, E, biến thiên theo tốc của điểm A là hằng số (hình 6a). Còn vận chu kỳ với quy luật như hình 7b. Tương tự, tốc của điểm B, E biến thiên theo chu kỳ với gia tốc của các điểm C, D cũng biến thiên quy luật như hình 6b, 6c. Vận tốc của các theo chu kỳ (hình 7c). 5 a (mms2)  (rad)  (rad)  (rad) v (mms) 4 x 10 v a 1 4. Kết luận 2 Việc giải bài toán phân tích động học của cơ (mms) (mms ) 1 cấu, máy là rất quan trọng cho việc thiết kế 1 máy. Bởi lẽ, muốn phối hợp động tác giữa các cơ cấu khác nhau trong cùng một bộ máy 1 phải biết quy luật chuyển vị của từng cơ cấu. 1 Để nghiên cứu và cải thiện chuyển động thực của máy dưới tác dụng của các lực phải biết 1 vận tốc hay tỷ số vân tốc của các khâu; muốn 1 6 tính được lực quán tính trên các khâu để tính 0x 10 5 10 15 20 25 30 a 4.5 (a)  (rad) sức bền cho các khâu hay chạy thử dao động (mms2) 4 trong máy phải biết quy luật biến đổi gia tốc 3.5 các khâu. 3 Việc phân tích động học cơ cấu đã được 2.5 nghiên cứu trong đề tài này bằng phương 2 pháp đại số phức, kết quả đạt là các bài toán 1.5 chuyển vị, vận tốc và gia tốc tính được một cách chính xác, dễ dàng nhờ vào việc lập 1 trình Matlab. Kết quả này dễ dàng áp dụng 0.5 cho việc thiết kế các chi tiết trong cơ cấu. 0 0 6 5 10 15 20 25 30 x 10  (rad) 7 (b) Tài liệu tham khảo a 6 [1]. Đinh Gia Tường, Nguyễn Xuân Lạc, Trần 2 (mms ) Doãn Tiến, Nguyên lý máy, Nhà xuất bản Đại học 5 và trung học chuyên nghiệp, Hà Nội 1970. 4 [2]. Robert L. Norton, Design of Machinery, The center for library resources and education media 3 Suranaree University of Technology, Mc Graw- ((55--a)b)  (rad) Hill, Inc, 3rd, 2003 (5((5-5a)--b)c ) 2 [3]. Joseph Edward Shigley, John Joseph 1 Uicker, Jr., Theory of Machines and Mechanisms, Mc Graw - Hill Book Company, 4th, 2010. 0 0 5 10 15 20 25 30 [4]. Vũ Công Hàm, Nguyên lý máy, Nhà xuất (c)  (rad) bản quân đội nhân dân, Hà nội 2011. Hình 7. Gia tốc của các điểm [5]. Oleg Vinogradov, Fundamentals of (a), Gia tốc của điểm A (b), Gia tốc của điểm Kinematics and Dynamics of Mechanisms, B, E; (c), Gia tốc của điểm London New York Washington, D.C. Summary KINEMATIC ANALYSIS OF WALKING BEAM EIGHT BAR TRANSPORT MECHANISM USING COMPLEX-ALGEBRA METHOD Nguyen Thi Thanh Nga Mechanical Engineering Faculty of Thai Nguyen Univerity of Technology This paper presents the application of method complex-algebra to solve the kinematic analysis of walking beam eight bar transport mechanism. By constructing the loop-closure equation and basing on description of complex-algebra have established the relationship of the kinematic parameters needed to calculate. From the loop-closure equation, we have determined displacement, angular velocity and angular acceleration of mechanism. Thence, the orbit, velocity and acceleration of all points on the links are determined. All results are achieved efficiently and quickly by using Matlab software. Keywords: Walking beam eight bar, kinematic mechanism, complex-algebr 6