Ổn định của vòm

Chương 3. Ổn định của vòm 3-1 Chương 3. ỔN ĐỊNH CỦA VÒM Vòm là một loại kết cấu thuộc hệ thanh có trục là đường cong, vòm chỉ chịu nén đúng tâm khi trục thanh trùng với đường cong áp lực. Khi mất ổn định, vòm chuyển từ dạng cân bằng chịu nén sang dạng cân bằng chịu uốn, nghĩa là khi mất ổn định thì trong vòm xuất hiện ứng suất phụ do uốn. Trong phần, tôi trình bầy cách tính sự ổn định của hai loại vòm: vòm tròn và vòm parabôn. Ngoài ra, chúng ta cũng sẽ đề cập đến bài toán ổn định về dạng đối xứng của vòm parabôn. 3.1 Phương trình vi phân của thanh tròn Xét thanh tròn AB, chịu biến dạng uốn trong mặt phẳng ban đầu. Sau khi biến dạng thanh di chuyển đến vị trí A’B’ như trên (hình 3-1), ta có thể phân tích chuyển vị của mỗi điểm trên thanh theo hai thành phần: chuyển vị hướng tâm ký hiệu là w và chuyển vị theo phương tiếp tuyến ký hiệu là u. Các chuyển vị của hệ được xem là nhỏ, đồng thời chuyển vị v thường rất nhỏ so với chuyển vị w, nên để tính toán ta có thể bỏ qua ảnh hưởng của chuyển vị u. Để thiết lập phương trình vi phân của chuyển vị cong ta xét một phân tố chiều dài ds của thanh. Giả sử trước khi biến dạng phân tố có vị trí mn, sau khi biến dạng phân tố chuyển dời tới m’n’. Tiết diện m có chuyển vị hướng tâm là w và chuyển vị góc là dw/ds. Tiết diện n có chuyển vị hướng tâm là (w + dw) và chuyển vị góc là: ds ds wd ds dw 2 2 + Từ đó ta thấy gia số chuyển vị góc từ điểm m’ đến điểm n’ là: ds ds wd∆dθ 2 2 = Nếu chuyển vị w hướng về phía tâm cong của cung tròn là dương, còn mô men uốn làm giảm độ cong ban đầu của thanh là dương, thì ta có sự liên hệ giữa độ biến thiên độ cong và mô men uốn như sau: dθ θ A A m n B m n B, , , , r0 dθ w r 0 dθ dθ+∆dθdw dS m n ,m ,n dS dw + dS d dS dw( )dS O Hình 3-1. Sơ đồ biến dạng của một đoạn vòm cong. Chương 3. Ổn định của vòm 3-2 M r 1 r 1EJ 0 −=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − (3-1) Trong đó r và r0 lần lượt là bán kính cong trước và sau khi biến dạng. Từ các quan hệ hình học ta có: ds dθ r 1 0 = và ∆dsds ∆dθdθ r 1 + += Nếu khi so sánh chiều dài của phân tố ở lúc trước và sau khi biến dạng, ta bỏ qua góc vô cùng bé dw/ds tức là xem chiều dài của phân tố m’n’ bằng (r0 - w)dθ thì: ds r wwdθdθr w)dθ- (r∆ds 0 00 −=−=−= Do đó: ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − + = 0 2 r w1ds ds ds wddθ r 1 Hay: ds wd r 1 r w1 r 1 2 00 +=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − 2 2 00 ds wd rr w r 1 r 1 +=− (3-2) Vì bán kính cong ban đầu r0 và bán kính sau khi biến dạng r khác nhau rất ít nên ta có thể thay w/r0r bằng w/r20. Do đó, từ (3-1) và (3-2) ta có: EJ M ds wd r w 2 2 2 0 −=+ (3-3) Nhưng: dθ dw r 1 ds dθ. dθ dw ds dw 0 == ; 2 2 2 00 2 dθ wd r 1 dθ dw. r 1 ds d ds wd =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= Nên phương trình (3-3) sẽ trở thành: EJ Mr w dθ wd 20 2 2 −=+ (3-4) Đó là phương trình vi phân cân bằng của thanh cong viết theo hệ toạ độ cực. 3.2 Ổn định của vành tròn chịu áp lực phân bố đều hướng tâm Chương 3. Ổn định của vòm 3-3 Dưới tác dụng của tải trọng phân bố đều hướng tâm, vành tròn có thể mất ổn định trong mặt phẳng như trên (hình 3a). Ta hãy xét nửa vành tròn chịu áp lực phân bố đều với cường độ q và các phản lực N0, M0 như trên (hình 3-2). Mô men uốn tại tiết diện C bất kỳ có chuyển vị hướng tâm w được xác định theo biểu thức sau: 2 ACqADNMM 2 00C −+= , nhưng: AOqN0 = , Nên: ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −−= AD.AO2AC 2 qMM 2 0C . Từ các hệ thức lượng trong tam giác, ta có: AO.AD2AOACOC 222 −+= Do đó: 222 AOOCAO.AD2AC −=− . Nên sau khi thay vào biểu thức mô men uốn ta được: ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −−= 220C AOOC2 qMM . Nhưng theo (hình 3-2) ta có: wROC −= và 0wRAO −= . Nên sau khi thay OC và AO vào biểu thức mô men uốn đồng thời bỏ qua các số hạng vô cùng bé bậc hai, ta được: ( )wwqRMM 00C −−= Do đó, phương trình vi phân (3-4) có dạng: 2 0 0 2 2 Rw EJ qRw EJ qR EJ M w dθ wd ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −+−=+ ω θ R N y C q M Ax D Oω0 0 0 ω0 Hình 3-2. Sơ đồ tính nửa vành tròn chịu áp lực. Chương 3. Ổn định của vòm 3-4 Hay: D EJ qR1w dθ wd 3 2 2 =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++ (3-5) ( ) EJ qRwMR D 00 2 −= (3-6) Nghiệm của phương trình vi phân (3-5) có dạng: 2k D BsinkAcoskw ++= θθ Phương trình chuyển vị góc: k D BsinkAkcosk d dw ++−= θθ θ Trong đó: EJ qR 1k 3 += (3-7) Các điều kiện biên: khi θ = 0; 0 d dw = θ ; khi θ = π/2; 0 dθ dw = . Do đó: B = 0 và 0 2 Asink =π . Tải trọng tới hạn nhỏ nhất tương ứng với nghiệm: π 2 kπ = ; do đó k = 2. Thay k = 2 vào công thức (3-7) ta sẽ được tải trọng tới hạn: 3th R EJ3q = . (3-8) 3.3 Ổn định của vòm tròn chịu áp lực hướng tâm phân bố đều hướng tâm 3.3.1 Vòm hai khớp. Dưới tác dụng của áp lực phân bố đều hướng tâm, trong vòm tròn hai khớp chỉ tồn tại lực nén đúng tâm. Tải trọng tới hạn nhỏ nhất xảy ra tương ứng với biến dạng phản đối xứng như trên (hình 3-3), do đó ta không cần nghiên cứu dạng mất ổn định đối xứng. Lực dọc tại tiết diện bất kỳ của vòm là N = q.R. Trong đó R là bán kính của vòm tròn. ở trạng thái biến dạng, mô men uốn tại tiết diện đó là M = N.w = q.R.w. Thay những đại lượng này vào phương trình vi phân (3-4) ta được: 0 EJ qR1w dθ wd 3 2 2 =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++ ω R α α θ l R f Hình 3-3. Sơ đồ tính vòm hai khớp. Chương 3. Ổn định của vòm 3-5 Nếu tiết diện của vòm không đổi thì nghiệm tổng quát của phương trình có dạng: BsinkθAcoskθw += Trong đó k xác định theo EJ qR1k 3 += (3-10) Từ điều kiện biên: khi θ = 0; w = 0; khi θ = α; w = 0, ta xác định được: A = 0; Bsinkα = 0. Phương trình ổn định sẽ là: sinkα = 0. Tải trọng tới hạn nhỏ nhất tương ứng với nghiệm: kα = π Do đó, theo (3-10) ta có: 2 23 α π EJ qR1 =+ Suy ra: ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −= 1 α π R EJq 2 2 3th (3-11) Trường hợp đặc biệt khi α = π/2 thì: 3th R EJ q 3= (3-12) Đối với trường hợp vòm thoải nghĩa là khi góc α khá nhỏ so với π thì trong công thức (3-11) ta có thể bỏ qua con số đơn vị. Lúc này công thức lực tới hạn có dạng gần đúng như sau: ( ) .RR EJ q 2 2 th α π= (3-13) Lực dọc tới hạn: ( ) 2 2 2 2 thth s EJπ αR EJπ.RqN === (3-14) Trong đó s là nửa chiều dài theo đường cung của vòm. Như vậy đối với các vòm thoải, ta có thể xem vòm như một thanh có liên kết khớp ở hai đầu với chiều dài tính toán bằng một nửa chiều dài đường cung vòm và áp dụng công thức Ơle để xác định lực dọc tới hạn. Ngoài ra cần chú ý rằng kết quả tìm được theo công thức gần đúng thường lớn hơn kết quả tìm được theo công thức chính xác. Để xác định xem loại vòm nào là vòm thoải, ta hãy nghiên cứu sai số giữa hai công thức (3-11) và (3-13). Ta dễ dàng tìm được sai số tỷ đối: 1 α π 100ε 2 2 − = . (3.15) Trong trường hợp vòm có tỷ số giữa mũi tên f với chiều dài nhịp l là f/l = 1/5, ta có: Chương 3. Ổn định của vòm 3-6 0,4. l f2. 2 αtg == Suy ra α = 43°30'. Theo (3-15) sai số tỷ đối: %2,6 1 5,43 180 100 2 = −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ =ε Như vậy ta thấy khi f/l ≤ 1/5 thì có thể coi vòm là thoải và công thức (3-13) cũng cho những kết quả đáp ứng được yêu cầu thực tế. 3.3.2 Vòm không khớp. Theo A.N.Đinnhich, tải trọng tới hạn nhỏ nhất của vòm không khớp sẽ xảy ra tương ứng với dạng mất ổn định phản đối xứng. Khi biến dạng, vòm không khớp chỉ khác vòm hai khớp là tại mặt cắt của chân vòm có xuất hiện các mô men M0. Như vậy mô men uốn trong vòm không khớp cũng được xác định như trong vòm hai khớp, nhưng có bổ sung thêm mô men uốn phụ do M0 gây ra. Biểu đồ mô men uốn phụ do M0 gây ra có dạng hình thang xoắn như trên (hình 3-4b). Ta có: z 2M q.R.wM 0θ l −= Nhưng: θsin.Rz = và αsin2Rl = Nên: sinα sinθMq.R.wM 0θ −= (3.16) Thay biểu thức mômen uốn vào phương trình vi phân (3-4) ta được: EJsinα sinθRM w EJ qR1 dθ wd 20 3 2 2 =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++ . (3.17) Nghiệm của phương trình (3-16) có dạng: θθθ sin 1 sincos 2 −++= k CkBkAw , khi θ = 0; w = 0; khi θ = α; w = 0 và 0 dθ dw = . Hình 3-4. Sơ đồ tính vòm không khớp. R α α θ R l M M BA C 0 0 0M M0M0 2z l a, b, Chương 3. Ổn định của vòm 3-7 Từ điều kiện thứ nhất ta được A = 0, còn từ điều kiện thứ hai và thứ ba ta được: 0sinα 1k CBsinkα 2 =−+ ; 0cosα 1k CBkcoskα 2 =−+ . Phương trình ổn định: 0 1k cosαkcoskα 1k sinαsinkα D 2 2 = − −= Sau khi khai triển và biến đổi ta được: 0ctgkα.ktgα = (3-18) Giải phương trình (3-18) ta sẽ tìm được k và từ (3-17) ta suy ra tải trọng tới hạn như sau: ( )1k R EJq 23th −= (3-19) Bảng (3-1) cho ta các giá trị của k tương ứng với các góc α của vòm không khớp: Bảng 3-1. Bảng các giá trị của hệ số k α 30° 60° 90° 120° 150° 180° k 8,62 4,38 3 2,36 2,07 2 3.3.3 Vòm ba khớp Dưới tác dụng của tải trọng phân bố đều hướng tâm, vòm tròn ba khớp có thể mất ổn định theo dạng phản đối xứng hoặc theo dạng đối xứng (hình 3-5a và b). Khi mất ổn định theo dạng phản đối xứng, Đường biến dạng của vòm ba khớp giống như đường biến dạng của vòm hai khớp. Như vậy, ta có thể dùng công thức (3-11) để xác định tải trọng tới hạn cho vòm ba khớp tương ứng với dạng biến dạng phản đối xứng. Trong trường hợp thứ hai, đường biến dạng của vòm đối xứng (hình 3-5b), điểm C có chuyển vị thẳng đứng. Thực nghiệm chứng tỏ rằng tải trọng tới hạn nhỏ nhất của vòm ba khớp xảy ra tương ứng với trường hợp biến dạng đối xứng. Lúc này, cường độ của tải trọng tới hạn được xác định theo công thức sau: 32 2 th R EJ α α4vq −= (3-20) Chương 3. Ổn định của vòm 3-8 Trong đó giá trị nhỏ nhất của v xác định theo phương trình ổn định sau: ( ) 33 α αtgα4 v vtgv −=− (3-21) 3.3.4 Vòm một khớp. Dưới tác dụng của tải trọng phân bố đều hướng tâm, vòm một khớp có thể mất ổn định theo hai trường hợp sau: - Trường hợp thứ nhất: vòm mất ổn định theo dạng phản đối xứng. Lúc này đường biến dạng của vòm giống như đường biến dạng của vòm không khớp. Do đó, ta có thể dùng công thức (3-19) để xác định tải trọng tới hạn. - Trường hợp thứ hai: vòm mất ổn định theo dạng đối xứng (hình 3-6). Tải trọng tới hạn nhỏ nhất sẽ xảy ra tương ứng với trường hợp này và được xác định theo công thức sau: ( ) 32th REJ1kq −= (3-22) trong đó k được xác định theo phương trình sau: −+−+− 2)coskα2k(k1)[2(k 242 =− gα]kαsin1)kα(k 2 t ]osk1)kα(kk[sinkα 2 αc−+= Trong tất cả các trường hợp trên, tải trọng tới hạn có thể viết dưới dạng chung như sau: l a, b, f α C 1 C α Hình 3-5. Sơ đồ tính vòm ba khớp. l C f q α α Hình 3-6. Vòm một khớp Chương 3. Ổn định của vòm 3-9 31th R EJKq = (3-23) Lực dọc tới hạn cũng có thể viết dưới dạng chung: 21th R EJKN = (3-24) Hệ số K1 phụ thuộc góc α và có giá trị ghi trong bảng 3-2. Bảng 3-2. Bảng giá trị hệ số k1. 2α Vòm không khớp Vòm một khớp Vòm hai khớp Vòm ba khớp 300 600 900 1200 1500 1800 294,0 73,3 32,4 19,1 11,5 8,0 162,0 40,2 17,4 10,2 6,56 4,61 143,0 32,0 15,0 8,0 4,76 3,00 108,0 27,6 12,0 6,75 4,32 3,00 Nếu thay: R(1 - cosα) = f; 2 α l=Rsin , thì công thức (3-23) sẽ có dạng như sau: 3l EJ Kq 2th = . (3-25) Trong đó hệ số K2 là hệ số phụ thuộc vào điều kiện liên kết gối tựa và tỷ số f/l. Các giá trị của K2 ghi trong bảng 3-3. Bảng 3-3. Bảng các giá trị hệ số k2. l f Vòm không khớp Vòm một khớp Vòm hai khớp Vòm ba khớp 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 58,9 90,4 93,4 80,7 64,0 33,0 50,0 52,0 46,0 37,0 28,4 39,3 40,9 32,8 24,0 22,2 33,5 34,9 30,2 24,0 Ta cũng có thể biểu thị sự biến thiên của hệ số K2 theo các tỷ số f/l bằng đồ thị như trên (hình 3-7). Qua các đường cong đó ta thấy: - Độ ổn định của vòm giảm dần khi số khớp trong vòm tăng lên. - Tải trọng tới hạn của các vòm có giá trị lớn nhất khi tỷ số f/l có giá trị vào khoảng 0,3. Chương 3. Ổn định của vòm 3-10 3.4. Ổn định của vòm parabôn Trong mục này ta sẽ nghiên cứu bài toán ổn định của vòm có dạng đường parabôn bậc hai, chịu tải trọng phân bố đều theo chiều dài của nhịp vòm. Nếu bỏ qua mô men uốn do biến dạng nén của vòm thì dưới tác dụng của tải trọng thẳng đứng phân bố đều, trong vòm chỉ xuất hiện lực dọc trục. Nhưng khi tải trọng đạt đến giá trị tới hạn thì vòm bị mất ổn định và trong vòm sẽ xuất hiện các mô men uốn. Trên (hình 3-8) biểu thị dạng mất ổn định phản đối xứng của vòm parabôn hai khớp tương ứng với tải trọng tới hạn nhỏ nhất. A. C. Lôcxin là người đầu tiên đã tìm ra nghiệm chính xác của bài toán này. Viện sỹ A. N. Đinnhích đã nghiên cứu sự ổn định của vòm parabôn có tiết diện không đổi và thay đổi tương ứng với các điều kiện liên kết gối tựa khác nhau. A. N. Đinnhích đã dùng phương pháp số để tích phân những phương trình vi phân cấp ba khá phức tạp và đã xác định các hệ số ổn định cho từng trường hợp. Ở đây chúng ta không nghiên cứu tỉ mỉ các nghiệm chính xác mà chỉ đưa ra kết quả cuối cùng. 10 0 20 30 40 50 60 70 K 90 80 0,1 0,2 0,40,3 f l 2 Kh«ng khíp Hai khíp Ba khíp Hình 3-7. Đồ thị k2 = f(f/l) l f C Hình 3-8. Vòm parabol. Chương 3. Ổn định của vòm 3-11 Bảng 3-4. Bảng các giá trị hệ số k3. Vòm ba khớp l f Vòm không khớp Vòm một khớp Vòm hai khớp Biến dạng đối xứng Biến dạng phản đổi xứng 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,8 1,0 60,7 101,0 115,0 111,0 97,4 83,8 59,1 43,7 33,8 59,0 - 96,0 - 80,0 63,0 48,0 28,5 45,4 46,5 43,9 38,4 30,5 20,0 14,1 22,5 39,6 47,3 49,2 - 38,0 28,8 22,1 28,5 45,4 46,5 43,9 38,4 30,5 20,0 14,1 Cũng như trường hợp vòm tròn, công thức xác định lực tới hạn cho vòm parabôn có thể biểu diễn dưới dạng chung như sau: 33th EJKq l = (3-27) K3 là hệ ổn định phụ thuộc loại vòm và tỷ số giữa mũi tên f với chiều dài l của nhịp vòm. Trong bảng 3-4 cho biết các giá trị của hệ số K3. Đối với vòm ba khớp ta cần đối chiếu các trị số K3 trong hai trường hợp biến dạng đối xứng và biến dạng phản đối xứng, chọn giá trị K3 nhỏ nhất để xác định lực tới hạn. Khi biến dạng phản đối xứng, hệ số K3 của vòm ba khớp trùng với hệ số K3 của vòm hai khớp. Khi tính các loại cầu vòm có tiết diện thay đổi, ta cần phải thiết lập và tích phân các phương trình vi phân cân bằng có kể đến sự thay đổi của các mô men quán tính. Nói chung, các loại bài toán này đã được nghiên cứu và đã có các bảng hệ số ổn định ứng với những trường hợp vòm có tiết diện thay đổi theo những quy luật thường gặp trong thực tế. Khi tính vòm parabôn có tiết diện thay đổi A. F. Smirnôp đã dùng lý thuyết ma trận để giải bài toán này một cách tương đối đơn giản. Công thức tính tải trọng tới hạn của vòm parabôn có tiết diện thay đổi chịu tác dụng của tải trọng thẳng đứng phân bố đều cũng có thể viết dưới dạng chung như sau: 34th EJKq l = (3-28) Khi tiết diện của vòm thay đổi theo luật J = J0/cos3ϕ, hệ số K4 có giá trị tìm được theo (bảng 3-5). Trong đó J0 là mô men quán tính ở đỉnh vòm còn ϕ là góc hợp giữa tiếp tuyến với trục vòm so với phương nằm ngang. Chương 3. Ổn định của vòm 3-12 Bảng 3-5. Bảng các giá trị hệ số k4. l f Vòm không khớp Vòm hai khớp Vòm ba khớp 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,8 1,0 65,5 134,0 204,0 277,0 444,0 587,0 700,0 30,7 59,8 81,1 101,0 142,0 170,0 193,0 24,0 51,2 81,1 104,0 142,0 170,0 193,0 Khi tiết diện của vòm thay đổi theo luật J = J0/cosϕ, hệ số K4 có giá trị tìm được theo (bảng 3-6). Bảng 3-6. Bảng giá trị các hệ số k4. l f Vòm không khớp Vòm hai khớp Vòm ba khớp 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,8 1,0 62,3 112,0 - 154,0 152,0 133,0 118,0 29,5 49,0 - 57,0 52,0 44,0 37,0 23,2 43,6 59,0 57,0 52,0 44,0 37,0