Ổn định của các khung phẳng

Chương 4. Ổn định của các khung phẳng 4-1 Chương 4. ỔN ĐỊNH CỦA CÁC KHUNG PHẲNG 4.1 Các giả thiết Các giả thiết dưới đây nhằm đơn giản hoá việc xác định tải trọng tới hạn: 1. Vật liệu của khung làm việc trong giới hạn đàn hồi. 2. Các nút của khung xem như tuyệt đối cứng, do đó chuyển vị của các đầu thanh quy tụ vào nút đều như nhau. 3. Các thanh của khung xem như không co, dãn. Khoảng cách giữa các nút của khung trước và sau biến dạng không thay đổi nghĩa là dây cung nối các đầu thanh bị uốn có chiều dài bằng chiều dài của thanh trước biến dạng. 4. Khi xác định chuyển vị trong khung chỉ kể đến ảnh hưởng của biến dạng uốn do mômen uốn và do lực dọc xuất hiện trước biến dạng gây ra. Ảnh hưởng của gia số lực dọc sau khi hệ mất ổn định bỏ qua. 5. Tải trọng tác dụng trên khung chỉ đặt ở các nút. Những tải trọng này chỉ gây ra hiện tượng kéo hoặc nén mà không gây ra hiện tượng uốn ngang trong các thanh của khung khi hệ chưa mất ổn định. Theo giả thiết này thì trước khi nghiên cứu sự ổn định cần áp dụng các phương pháp đã trình bày trong giáo trình Cơ học kết cấu để xác định lực dọc trong các thanh của khung chịu tải trọng đã cho ban đầu (hình 4-1a). Tiếp đó xác định tải trọng tới hạn hay thông số tới hạn của khung chịu tải trọng đặt ở nút có giá trị bằng lực dọc trong các thanh tương ứng (hình 4-1b) theo các phương pháp sẽ trình bày trong chương này. Trong bài toán ổn định khung, khi mất ổn định hệ ở trạng thái biến dạng rất gần với trạng thái ban đầu, các lực ngang chỉ xuất hiện sau khi mất ổn định với những giá trị rất nhỏ. Ngoài ra, nếu không coi các lực nén hoặc kéo P là tải trọng mà quy ước xem chúng như là một trong những tính chất cho biết của hệ, thì có thể phát biểu là giữa chuyển vị và tải trọng có sự liên hệ tuyến tính. Trên cơ sở đó ta đi đến kết luận là trong bài toán ổn định của khung có thể áp dụng nguyên lý cộng tác dụng đối với các tải trọng ngang. Có thể áp dụng được các phương pháp tính xây dựng trên cơ sở nguyên lý cộng tác dụng như phương pháp lực, phương pháp chuyển vị ... để giải quyết bài toán ổn định của khung. Ngoài ra, cũng có thể mở rộng phạm vi áp dụng các công thức xác định chuyển vị và các định lý cơ bản như các định lý về sự tương hỗ cho trường hợp hệ có những thanh chịu uốn cùng với chịu kéo hoặc nén. Q q 1 q 2 q 3 N 12 N 23 N 34 N35 N56 1 2 3 5 64 3 1 4 6 5 2 12N P4 1P = 5P N=2P 34 N=4P 23 N = 3 P 56 N = 5 P 35 a) b) Hình 4-1. Sơ đồ tính ổn định của hệ khung . Chương 4. Ổn định của các khung phẳng 4-2 4.2 Cách xác định chuyển vị trong những thanh chịu uốn cùng với nén hoặc kéo Trước khi đi vào nghiên cứu cách vận dụng phương pháp lực, ta cần xác định chuyển vị trong những thanh chịu uốn cùng với nén hoặc kéo. Xét thanh chịu uốn cùng với nén như trên (hình 4-2a). Gọi Mm là mô men uốn do tải trọng ngang và do lực P gây ra. Để xác định chuyển vị ∆km tại điểm k ta tạo trạng thái "k" và đặt lực Pk = 1 theo phương cần tìm chuyển vị (hình 4-2b); ở trạng thái này không có lực nén P. Gọi kM là mô men uốn ở trạng thái "k" do lực Pk =1 gây ra. Thiết lập biểu thức về sự cân bằng giữa công của ngoại lực và nội lực ở trạng thái "k" trên những chuyển vị và biến dạng ở trạng thái "m", ta có: ds EJ MM1.∆ mkkm ∑∫= (4-1) Đó là công thức chuyển vị của những thanh chịu uốn cùng với kéo hoặc nén trong đó đã bỏ qua các số hạng biểu thị ảnh hưởng của biến dạng dọc trục và biến dạng trượt. Ta sẽ nghiên cứu cách xác định chuyển vị trong hai trường hợp cụ thể sau: thanh có hai đầu khớp và thanh có một đầu ngàm một đầu tự do chịu lực dọc P và các tải trọng ngang chỉ đặt ở các đầu thanh. 4.2.1 Thanh đặt tự do trên hai khớp tựa P ∆km kP =1 "m" "k" a, b, Hình 4-2. Trạng thái “m”, “k” Pa, b, M =cA M =dB Q =A d-c l z l mM kM mM kM c d a b c, Hình 4-3. Thanh có hai đầu gối. Chương 4. Ổn định của các khung phẳng 4-3 Xét thanh đặt tự do trên hai gối tựa chịu lực nén P và các tải trọng đặt ở đầu thanh (hình 4-3a). Yêu cầu xác định chuyển vị tại các đầu thanh. Trong trường hợp tổng quát nhất, các tải trọng ngang tại đầu thanh có dạng như trên (hình 4-3a), trong đó ký hiệu MA = c, MB = d. Phản lực tại A có giá trị bằng c)/l(d − còn biểu đồ mô men Mm có dạng đường cong như trên (hình 4-3b). Có thể tìm phương trình Mm theo (2-7) trong chương 2: =++= zzz sinα α Q(o)M(o)cosα(o)sinααEJy(z)M ,m z l zz sinα. α c-dcosα.c(o)sinααEJy, ++ trong đó y'(o) là thông số ban đầu chưa biết và được xác định theo điều kiện khi z = l; y(l) = 0. Từ điều kiện này và theo (2-5) ta tìm được: ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −= v 1 sinv 1 αEJ d tgv 1 v 1 αEJ c(o)y, , trong đó: EJ Pαv ll == (4-2) Thay biểu thức của y'(o) vào phương trình Mm(z), ta được: zz sinα. tgv 1 sinv dcosα.c(z)Mm ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −+= (4-3) Để xác định các chuyển vị ở đầu thanh ta cần tạo trạng thái "k" và tìm phương trình của kM . Trong trường hợp tổng quát nhất, biểu đồ kM có dạng như trên (hình 4-3c), còn phương trình kM có dạng: zabaMk l −+= (4-4) Thay (4-3) và (4-4) vào (4-1) ta được: dzsinαzaba sin dzcosαzabacdzMMEJ∆ 00 m 0 kkm zltgv c v dz l lll ∫∫∫ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −+== Sau khi lấy tích phân và biến đổi, ta có: ( ) ( )vβ 6 bc 6 advα 3 bd 3 acEJ∆km ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ += llll (4-5) trong đó: ( ) ( ) ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −= ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −= 1 sinv v v 6vβ tgv v1 v 3vα 2 2 (4-6) là các hàm số điều chỉnh kể đến ảnh hưởng của lực nén P. Có thể tìm giá trị của những hàm số này theo các đối số v trong bảng 1 của phụ lục. Chương 4. Ổn định của các khung phẳng 4-4 4.2.2 Thanh có một đầu ngàm một đầu tự do. Trong trường hợp tổng quát nhất, các tải trọng ngang tác dụng ở đầu thanh có dạng như trên (hình 4-4a), trong đó ta ký hiệu MA = c; QA = e. Biểu đồ Mm do tải trọng ngang và do lực nén P gây ra có dạng đường cong như trên (hình 4-4b). Mô men uốn tại đầu ngàm B: AAB PydPyecM +=++= l , trong đó d là mô men uốn tại đầu ngàm do riêng tải trọng ngang gây ra, từ đó ta có: l cde −= . Sau khi sử dụng các phương trình (2-7), (2-6) và điều kiện biên khi z = l; y'(l) = 0, cũng tương tự như trên ta thiết lập được phương trình của mô men uốn Mm: += zc.cosα(z)Mm ( ) zαsinvcosv d1vsinvc ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +− (4-7) Để xác định chuyển vị ở các đầu thanh ta tạo trạng thái k, trong trường hợp tổng quát nhất, biểu đồ kM có dạng như trên (hình 4-4c), còn phương trình (z)Mk có dạng như (4-4). Sau khi thay (4-4), (4-7) vào (4-1), lấy tích phân và biến đổi ta dễ dàng thiết lập được công thức xác định chuyển vị cho thanh có đầu ngàm đầu tự do như sau: ( )vbcad(v)ac(v)bdEJ 321km θ66θ3θ3∆ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +++= llll , (4-8) trong đó: ( ) ( ) ⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −= ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++= ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −= v tgv cosv 1 v 6 (v) v tgv cosv 2 -vtgv1 v 3 v 1 v tgv v 3 v 23 22 21 θ θ θ (4-9) P a, b, M =cA Q =A e z l mM kM mM kM c d a b c, A B yA PyA Hình 4-4. Thanh đầu ngàm, đầu tự do Chương 4. Ổn định của các khung phẳng 4-5 là các hàm số điều chỉnh kể đến ảnh hưởng của lực nén P. Có thể tìm các giá trị của những hàm số này theo các đối số v trong bảng 1 của phần phụ lục. Chú thích: 1. Giữa các hàm số α(v), β(v), θ1(v), θ2(v) và θ3(v) có những liên hệ sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . θ β θ α θ θβ θ β α θ βα θ α ;βθβαθ;αθ (v) v (v) v 1; (v) (v).v 3 v (v) v 1;v 3 v (v) v 1;v 3 v (v) v v v tgv (v) (v); 12 vtgv v(v) v v tgv (v) 313 1 2 3 2 3 2 1 3 2 21 ==+ =+=+ =+== Những liên hệ này giúp ta biến đổi được dễ dàng các hàm số trong phương trình ổn định sẽ nghiên cứu dưới đây. 2. Đối với những thanh chịu uốn cùng với kéo, trong tất cả các biểu thức thiết lập ở trên ta cần thực hiện những phép thay thế sau: iβα = và EJ P β keo= ; 22 βα −= ; zz ishβsinα = ; zz chβcosα = . 4.3 Cách tính ổn định của các khung phẳng theo phương pháp lực Khi vận dụng phương pháp lực để tính ổn định của các khung phẳng ta cũng tiến hành theo thứ tự tương tự như đã thực hiện trong giáo trình cơ học kết cấu. 4.3.1 Cách chọn hệ cơ bản. P1 2P 1 2 3 4 5 6 3 2X 1X 2X 1X 1 P P2 X3 1 2 4 5 6 4X 62 51 42X P X11X1 3 2 P2 X X3 2P +X4 Hình 4-5. Hệ cơ bản a) b) c) Chương 4. Ổn định của các khung phẳng 4-6 Về nguyên tắc, cách xác định bậc siêu tĩnh và cách chọn hệ cơ bản bất kỳ đã nêu trong giáo trình cơ học kết cấu đều dẫn đến cùng một kết quả như nhau. Song khi tính ổn định, để cho đơn giản, ta chỉ nên chọn hệ cơ bản bằng cách loại trừ các liên kết thừa để sao cho những thanh chịu nén trở thành những thanh có hai đầu khớp tựa (không chuyển vị theo phương ngang trục thanh) hoặc thanh có một đầu ngàm một đầu tự do. Với cách chọn hạn chế như vậy ta có thể dễ dàng xác định chuyển vị trong hệ cơ bản theo các công thức đã thiết lập sẵn trong mục 2. Nếu chọn hệ cơ bản khác với quy cách trên thì bài toán sẽ trở nên rất phức tạp. Đối với hệ siêu tĩnh vẽ trên (hình 4-5a), về nguyên tắc ta có thể chọn hệ cơ bản theo (hình 4-5b hoặc 4-5c). Hệ cơ bản (4-5b) hợp quy cách đã giới hạn ở trên. Hệ (4-5c) không hợp quy cách vì ta chưa nghiên cứu cách xác định chuyển vị trong những thanh chịu nén có dạng như thanh 4-5. 4.3.2 Phương trình chính tắc. Trong trường hợp này, theo giả thiết 3 và 5 tải trọng chỉ gây ra hiện tượng kéo hoặc nén trong các thanh của hệ cơ bản mà không gây ra uốn. Như vậy, biểu đồ 0PM do tải trọng gây ra trong hệ cơ bản sẽ không tồn tại và do đó các số hạng tự do ∆kP của hệ phương trình chính tắc đều bằng không. Lúc này, hệ phương trình chính tắc trở thành hệ phương trình thuần nhất. ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ =+++ =+++ =+++ 0 0 0 nnn2n21n1 n2n222121 n1n212111 X...XX ........ X...XX X...XX δδδ δδδ δδδ (4-10) 4.3.3 Cách xác định các hệ số của hệ phương trình chính tắc. Để xác định các hệ số δkm ta cần tạo trạng thái "k" do lực Xk = 1 gây ra trong hệ cơ bản (HCB) và tạo trạng thái "m" do lực Xm = 1 và do các lực nén hoặc kéo P gây ra trong HCB; vẽ các biểu đồ mô men tương ứng với các trạng thái đó; tiếp đó áp dụng công thức chuyển vị (4-1) hoặc áp dụng cách nhân biểu đồ. Đối với những thanh không có lực kéo hoặc nén, nên dùng cách nhân biểu đồ giống như đã làm trong cơ học kết cấu. Đối với những thanh có lực kéo hoặc nén P ta cần áp dụng các công thức (4-5) và (4-8) đã thiết lập ở §2. Ngoài ra cần chú ý rằng định lý về sự tương hỗ giữa các chuyển vị đơn vị δkm = δmk vẫn áp dụng được cho trường hợp này. Khi xác định chuyển vị trong thanh chịu kéo hoặc nén ta cần quan niệm lực kéo hoặc nén chỉ là tải trọng đặt ở nút. Thực ra, khi mất ổn định những lực này có thể khác đi, chẳng hạn như đối với hệ cơ bản trên (hình 4-5b), thanh 1-2 sẽ chịu lực nén với giá trị bằng P1 + X2 song các lực X này chỉ xuất hiện sau khi hệ mất ổn định và có giá trị rất nhỏ nên theo giả thiết 4 có thể bỏ qua. 4.3.4 Phương trình ổn định. Hệ phương trình thuần nhất (4-10) được thoả mãn với hai khả năng: 1-Tất cả các ẩn số X đều bằng không. Lúc này, trong hệ vẫn chỉ có biến dạng nén hoặc kéo mà chưa có biến dạng uốn; do đó hệ vẫn ở trạng thái cân bằng ban đầu. Vậy, hệ ổn định, tải trọng chưa đạt đến giá trị tới hạn. Chương 4. Ổn định của các khung phẳng 4-7 2. Tất cả hoặc một số các ẩn số X khác không. Lúc này, trong các thanh có xuất hiện biến dạng uốn và hệ bị mất ổn định. Điều kiện để cho các ẩn số X khác không là định thức của hệ phương trình (4-10) phải bằng không: 0 δ...δδ .... δ...δδ δ...δδ D nnn2n1 2n2221 1n1211 == (4-11) Các chuyển vị δkm phụ thuộc giá trị của các lực P nên ta phải chọn giá trị của các lực P để sao cho điều kiện (4-11) được thoả mãn. Như vậy, ta có thể xác định tải trọng tới hạn hay thông số tới hạn từ điều kiện (4-11) và gọi điều kiện này là phương trình ổn định theo phương pháp lực. Với cách giải quyết bài toán như trên, ta chưa tìm được các giá trị của ẩn số Xi vì những ẩn số này là vô định. Để tìm được sự phân bố nội lực và hình dạng đường biến dạng của hệ ta có thể quy ước cho một ẩn số nào đó bằng đơn vị, chẳng hạn cho X1 = 1 rồi xác định các ẩn số còn lại theo hệ phương trình chính tắc (4-10). Cuối cùng cần lưu ý là trong nhiều trường hợp áp dụng phương pháp lực để tính ổn định của khung thường không tiện lợi bằng áp dụng phương pháp chuyển vị sẽ nghiên cứu dưới đây. 4.4 Cách xác định phản lực và nội lực trong những thanh chịu nén hoặc kéo khi các liên kết chuyển vị cưỡng bức Cũng tương tự như trong giáo trình cơ học kết cấu, để chuẩn bị cho việc nghiên cứu phương pháp chuyển vị ta cần thiết lập sẵn những kết quả về phản lực và nội lực trong những phần tử đơn giản là những thanh đơn giản có liên kết ở hai đầu khác nhau chịu chuyển vị cưỡng bức của các liên kết tựa. Song khác với trước, trong trường hợp này các phần tử mẫu còn chịu thêm lực nén hoặc kéo P và phải kể tới ảnh hưởng của nó. Ta xét trường hợp tổng quát: Thanh ab có liên kết bất kỳ ở hai đầu chịu lực nén bởi một lực P (hình 4-6). Giả thiết cho ϕa và ϕb lần lượt là góc xoay tại đầu a và đầu b với quy ước chiều dương là chiều quay thuận theo kim đồng hồ; ∆ là chuyển vị thẳng tương đối giữa các đầu ab theo phương vuông góc với trục ban đầu của thanh. Yêu cầu xác định các phản lực liên kết Ma, Qa, Mb, Qb, tại các đầu thanh và trên cơ sở đó xác định nội lực trong thanh. Dưới tác dụng của lực nén P và các chuyển vị ϕa, ϕb và ∆, thanh bị biến dạng như trên (hình 4-8). Chiều của các chuyển vị và phản lực như trên hình vẽ được xem là dương. Từ điều kiện cân bằng ∑y = 0 và ∑Mb = 0 ta được: Ma P ϕa Qa y za bϕ b y z Q b P M b ∆ l Hình 4-6. Phần tử mẫu Chương 4. Ổn định của các khung phẳng 4-8 l ∆PMM QQ baba ++−== (4.12) Trong trường hợp này, vận dụng các phương trình (2-5), (2-6) và (2-7) với các thông số ban đầu: y(o) = 0; y'(o) = ϕa; M(o) = Ma; Q(o) = Qa xác định theo (4-12); ta có: ( ) ( )zzllzz αsinα α ∆α α α α α − ++ +−−= EJ EJ MM cos1 EJ M siny(z) 3 2ba 2 aaϕ (4-13) ( )z ll zz αcos1. α α α α −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∆+++−=′ EJ MM sin EJ M cos(z)y 2 baa aϕ (4-14) zEJ MM cosMsinEJM(z) baa αsin.αα ααα ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∆++−+= ll zz aϕ (4-15) với EJ P=α . Trong các phương trình này, Ma và Mb là các đại lượng chưa biết và có thể xác định theo hai điều kiện biên ở đầu b; khi z = l ta có: y(l) = ∆ và y'(l) = ϕb. ( ) ( ) ∆=−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∆+++−− ll ll ll αsinα α.α α α α α EJ MM cos1 EJ M sin 3 ba 2 aaϕ ( ) b2 baaa EJ MM sin EJ M cos ϕϕ =−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∆+++− l ll ll αcos1. α α α α Sau khi giải được hệ phương trình trên ta xác định được Ma, Mb theo các chuyển vị ϕa, ϕb và ∆; tiếp đó thay các kết quả tìm được vào (4-12) ta xác định được lực cắt Qa = Qb. Kết quả: ( ) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ∆+−+= l21b2a1a 2iM µµµµ ϕϕ (4-16) ( ) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ∆+−+= l21b1a2b 2iM µµµµ ϕϕ (4-17) ( )( ) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ∆−++−== ll 3ba21ba 2i QQ µµµ ϕϕ (4-18) trong đó: l EJ i = ; EJ P v ll == α ⎪⎪ ⎪⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎫ − = − =+ − −=− −= v 2 v 2tg v . 2 1 ; v 2 v 2tg 2 v vtg . 2 1 v 2 v 2tg sinvv 2sinv v ; v2tgv vtgv 2tgv v 3 321 21 µµµ ;µµ (4-19) Chương 4. Ổn định của các khung phẳng 4-9 Để giúp cho việc tính toán được dễ dàng ta cần thiết lập lại những kết quả trên cho từng trường hợp cụ thể đồng thời ghi những kết quả đó vào (bảng 4-1). Bảng 4-1. Bảng các giá trị phản lực gối tựa khi gối chuyển vị cưỡng bức. TT Dạng chuyển vị và biểu đồ mô men Ma Mb Qa = Qb 1 (v)3i 1ϕ (v)1ϕ tìm theo (4-20) 0 (v) l 3i 1ϕ− 2 (v) l 3i 1ϕ− 0 (v)η l 3i 12 (v)η1 tìm theo (4-21) 3 (v)4i 2ϕ (v)2ϕ tìm theo (4-22) (v)2i 3ϕ (v)3ϕ tìm theo (4-23) (v)η l 6i 3− (v)η3 tìm theo (4-24) 4 (v) l 6i 4ϕ− (v)4ϕ tìm theo (4-25) (v) l 6i 4ϕ− (v)η l 12i 22 (v)η2 tìm theo (4-26) 5 tgv vi sinv vi- 0 6 tgv v i. sinv v i.- 0 bM a b 1 aM Q b aQ l P P a b 1 aM Q baQ l PP Ma 1 l aQ Qb b a P P bMa b 1 aM QbaQ l P P M a 1 bM bQQ a l P b a P Ma bMaQ l P a b Qb P 1 Chương 4. Ổn định của các khung phẳng 4-10 TT Dạng chuyển vị và biểu đồ mô men Ma Mb Qa = Qb 7 -ivtgv 0 0 8 -ivtgv 0 0 9 0 0 - 22 vl i l EJ i = ; EJ P l.v = , các hàm số ϕ và η tra bảng 2, còn các hàm sinv v ; tgv v ; vtgv tra trong bảng 3 của phụ lục. Chú thích: 1. Trường hợp thanh không chịu lực nén (P = 0) thì v = 0, do đó các hàm số điều chỉnh ϕ và η đều có giá trị bằng 1. 2. Đối với những thanh chịu lực kéo Pkéo, trong các kết quả vừa tìm được ở trên ta chỉ cần thực hiện những phép thay thế sau: iβα = với EJ Pkeo=β ; 22 βα −= ; zz ishβsinα = ; zz chβcosα = ; i – là số ảo. 4.5 Cách tính ổn định của các khung phẳng theo phương pháp chuyển vị Khi vận dụng phương pháp chuyển vị để tính ổn định của khung, ta cũng tiến hành tương tự như đã thực hiện trong giáo trình cơ học kết cấu. 4.5.1 Chọn hệ cơ bản. Chúng ta cũng chọn hệ cơ bản giống như hệ cơ bản dùng để tính độ bền đã trình bày trong giáo trình cơ học kết cấu. Thí dụ, hệ trên hình 4-17b là hệ cơ bản của hệ vẽ trên (hình 4-17a); trong đó ta đặt thêm các liên kết mô men và liên kết lực để ngăn cản tất cả các chuyển vị của các nút của khung. 4.5.2 Phương trình chính tắc . Cũng lý luận tương tự như trong giáo trình cơ học kết cấu, các ẩn số Zi phải thoả mãn hệ phương trình chính tắc của phương pháp chuyển vị. Song khác với trước, trong trường hợp này tải trọng chỉ đặt ở nút nên khi hệ chưa mất ổn định thì trong các thanh của hệ chỉ xuất hiện những lực nén hoặc kéo tự cân bằng mà không xuất hiện mô men uốn. Do đó, các số hạng tự do RkP tức là các phản lực trong các liên kết đặt thêm vào do tải trọng gây ra sẽ bằng không: R1P = R2P = ... = RkP = ... = RnP = 0. Ma 1 l aQ Q b b a P P Ma l aQ b a P P 1 1 l aQ Q b b a P P Chương 4. Ổn định của các khung phẳng 4-11 Hệ phương trình chính tắc trở thành hệ phương trình thuần nhất: ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ =+++ =+++ =+++ 0 0 0 nnn2n21n1 n2n222121 n1n212111 Zr...ZrZr ......... Zr...ZrZr Zr...ZrZr (4-27) 4.5.3 Cách xác định các hệ số của hệ phương trình chính tắc. Khi tính độ bền, các hệ số rkm không phụ thuộc tải trọng. Khi tính ổn định các hệ số này lại phụ thuộc vào lực kéo hoặc nén trong các thanh. Đó là điều kiện khác nhau giữa hai nội dung nghiên cứu. Về ý nghĩa vật lý, hệ số rkm là phản lực tại liên kết k do chuyển vị cưỡng bức Zm = 1 tại liên kết m và do các lực nén hoặc kéo gây ra trong hệ cơ bản. Do đó, muốn xác định hệ số rkm ta cần vẽ biểu đồ mô men uốn mM do chuyển vị cưỡng bức Zm = 1 tại liên kết m và do các lực nén hoặc kéo gây ra trong hệ cơ bản, rồi sử dụng phương pháp tách nút hoặc mặt cắt để tính phản lực trong liên kết k. Khi xác định các hệ số rkm ta cần chú ý là định lý về sự tương hỗ giữa các phản lực đơn vị rkm = rmk vẫn nghiệm đúng trong trường hợp này. 4.5.4 Phương trình ổn định. Hệ phương trình thuần nhất(4-27) được thoả mãn với hai khả năng: 1-Tất cả các ẩn số Zi đều bằng không. Đó là nghiệm tầm thường, vì trong trường hợp này các nút không chuyển vị nên hệ vẫn chưa bị mất dạng cân bằng ban đầu tức là chưa mất ổn định. 2. Tất cả hoặc một số các ẩn số Zi khác không. Trong trường hợp này các nút có chuyển vị do đó hệ có dạng biến dạng mới khác với dạng ban đầu tức là mất ổn định. Muốn được nghiệm này thì định thức các hệ số của (4-27) phải bằng không (4-28): Vì các hệ số rkm phụ thuộc giá trị của các lực nén hoặc kéo P nên ta có thể chọn giá trị của các lực P để sao cho điều kiện (4-28) được thoả mãn. Như vậy, ta có thể xác định tải trọng tới hạn hay thông số tới hạn từ điều kiện(4-28) và gọi điều kiện này là phương trình ổn định theo phương pháp chuyển vị. P1 2P 1P P2 Z Z Z2 6 7 Z1 3Z 4Z a) b) Hình 4-7. Hệ cơ bản của phương pháp chuyển vị. Chương 4. Ổn định của các khung phẳng 4-12 0 r...rr ....... r...rr r...rr D nnn2n1 2n2221 1n1211 == . (4-28) Với cách giải quyết bài toán như trên ta mới tìm được tải trọng tới hạn mà chưa tìm được đường biến dạng của hệ vì chưa biết giá trị của các ẩn số Zi. Những ẩn số này là vô định. Muốn tìm được đường biến dạng của hệ lúc mất ổn định ta có thể cho trước một ẩn số nào đó, chẳng hạn Z1 = 1 rồi xác định các ẩn số còn lại theo hệ phương trình chính tắc (4-27). 4.6 Cách sử dụng tính chất đối xứng khi tính ổn định các khung phẳng Khi tính ổn định ta chỉ có thể sử dụng tính chất đối xứng trong trường hợp hệ đối xứng chịu tải trọng đối xứng. Tính chất: Hệ đối xứng chịu tải trọng đối xứng có thể mất ổn định theo một trong hai dạng: dạng biến dạng đối xứng và dạng biến dạng phản đối xứng. 0.DD D0 0D D Pdxdx Pdx dx === , (4-30) trong đó: Ddx - định thức chỉ chứa các phản lực đối xứng do chuyển vị đối xứng gây ra. DPdx - định thức chỉ chứa các phản lực đối xứng do chuyển vị phản đối xứng gây ra. Như vậy, hệ sẽ mất ổn định khi một trong hai điều kiện dưới đây xảy ra: Ddx = 0 (4-31) hoặc DPdx = 0 (4-32) Điều kiện Ddx = 0 xảy ra tương ứng với dạng mất ổn định đối xứng, còn điều kiện DPdx = 0 xảy ra tương ứng với dạng mất ổn định phản đối xứng. Dựa vào tính chất trên, khi tính ổn định của khung đối xứng chịu tải trọng đối xứng ta khảo sát hệ với hai trường hợp riêng biệt: hệ mất ổn định theo dạng đối xứng và hệ mất ổn định theo dạng phản đối xứng; đồng thời sử dụng được các phép đơn giản hoá đã nghiên cứu trong cơ học kết cấu phần II. Lực tới hạn của hệ đã cho là lực nhỏ nhất trong hai lực tới hạn tìm được tương ứng với hai dạng biến dạng nêu ở trên.