Một phương pháp giải bài toán tối ưu hoá chế độ cắt khi mài tròn ngoài

T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 4 (44) /N¨m 2007 – Một ph ươ ng pháp gi ải bài toán t ối ưu hoá ch ế độ c ắt khi mài tròn ngoài Ngô C ường - Lê Vi ết B ảo (Tr ường Đại h ọc K ỹ thu ật công nghi ệp – ĐH Thái Nguyên ) 1. Đặt v ấn đề Khi nghiên c ứu th ực nghi ệm m ột đố i t ượng nào đó th ường ph ải gi ải bài toán th ươ ng lượng: tìm t ối ưu t ổng quát cho hai hay nhi ều hàm m ục tiêu m ột cách đồ ng th ời. Vì m ỗi ch ỉ tiêu có t ọa độ t ối ưu riêng nên khi ch ọn các thông s ố để đạ t c ực tr ị c ủa m ột ch ỉ tiêu nào đó thì có th ể làm các ch ỉ tiêu khác nh ận giá tr ị cách xa c ực tr ị c ủa chúng. Nh ư v ậy c ần ph ải th ươ ng l ượng m ức giá tr ị h ợp lý c ủa các ch ỉ tiêu để cu ối cùng có được giá tr ị t ối ưu c ủa ch ỉ tiêu t ổng h ợp là ch ỉ tiêu hi ệu qu ả kinh t ế - kỹ thu ật. Bài toán này qui v ề tìm c ực tr ị có điều ki ện c ủa hàm m ục tiêu c ơ s ở y1= f(x 1, x 2,..., x n) nào đó v ới các ràng bu ộc xác đị nh b ởi các hàm điều ki ện khác y z= f(x 1, x 2,..., xn), z = 2, 3,..., m. 2. Gi ải bài toán t ối ưu hoá t ổng quát b ằng ph ươ ng pháp qui ho ạch toàn ph ươ ng tu ần t ự (SQP) Ph ươ ng pháp SQP gi ải bài toán qua nhi ều b ước l ặp chính, ở m ỗi b ước l ặp chính s ẽ đưa v ề gi ải m ột bài toán con qui ho ạch toàn ph ươ ng (vi ết t ắt là bài toán QP). Thu ật toán SQP g ồm các bước sau: 1. Tính toán ma tr ận Hessian (H) c ủa hàm Lagrange Ở m ỗi b ước l ặp chính c ần tính toán ma tr ận H c ủa hàm Lagrange b ằng ph ươ ng pháp x ấp xỉ Newton: q q T H T H = + k k _ k k (1) H k +1 H k T T qk sk sk H k sk Trong đó: sk = xk +1 - xk n n ∇ λ . ∇ _ {∇ λ . ∇ } qk = f (xk +1 ) + ∑ i g i (xk +1 ) f (xk ) + ∑ i g i (x k ) i=1 i=1 λ i (i = 1,2,...m) là th ừa s ố Lagrange. H là ma tr ận d ươ ng hoàn toàn. Ma tr ận H k là T T xấp x ỉ d ươ ng c ủa H. Để cho H d ươ ng hoàn toàn thì qk sk ph ải d ươ ng hoàn toàn. N ếu qk sk không dươ ng hoàn toàn thì ph ải bi ến đổ i t ừng ph ần t ử c ủa qk theo công th ức: + ωυ qk = qk (2) Trong đó: ω là s ố vô h ướng. υ ∇ . _ ∇ . i = gi (xk+1) gi (xk+1) gi (xk ) gi (xk ) ω T Tăng d ần đến khi qk sk dươ ng. 2. Chuy ển bài toán v ề d ạng QP Ở m ỗi b ước l ặp chính c ần chuy ển bài toán ban đầu v ề d ạng QP b ằng phép x ấp x ỉ c ủa hàm Lagrange. Để tìm nghi ệm bài toán ban đầu ta chuy ển qua xét bài toán đối ng ẫu: 63 T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 4 (44) /N¨m 2007 – 1 min q(d) = d T Hd + cT d (d ∈ℜ n ) (3) 2 = Ai d bi i = 1,...,m e Ai d ≤bi i = m e + 1,...,m Trong đó A i là ma tr ận con c ủa ma tr ận A m ×n ph ần t ử. Ma tr ận H xác đị nh ở b ước 1. 3. Gi ải bài toán QP ^ Gi ải bài^ toán con QP (tìm d) ở m ỗi b ước l ặp chính nh ư sau: xu ất phát t ừ m ột x ấp x ỉ ban đầ u d 0 >0 (ch ọn d 0 từ m ột trong nh ững giá tr ị th ỏa mãn các ràng bu ộc đẳ ng th ức c ủa bài toán con QP), ^ ^ các thành ph ần c ủa x ấp x ỉ ti ếp theo d k (k = 1,2,...) được tìm b ằng cách làm c ực ti ểu q(d), d k xác định theo công th ức: ^ T d k = Z k p (4) Z Trong đó p là m ột véc t ơ, ma tr ận k tạo thành t ừ phân giã QR m-l cột cu ối c ủa ma tr ận A−T k (l là s ố ràng bu ộc và l < m): Z k = Q[ :,l +1 :m] (5) Trong đó: T −T  R  Q Ak =    0  Mỗi b ước l ặp tính theo công th ức: ^ = + α xk +1 xk d k (6) Trong đó: − (A x − b ) α = min  i k i  (i = 1,...,m)  Ai d k  Rút p t ừ (4) thay vào (3) ta được: 1 q(p) = pT Z T HZ p + cT Z p (7) 2 k k k Đạo hàm theo p được: ∇ = T + T q( p) Z k HZ k p Z k c (8) Với gi ả thi ết ma tr ận H d ươ ng hoàn toàn thì điều ki ện t ối ưu là: ∇ = T = − T q( p) 0 ⇒ Zk HZ k p Zk c (9) p d Từ (9) tính ra được k và k (là nghi ệm c ủa bài toán QP). 4. Xác định x ấp x ỉ ban đầ u và b ước l ặp chính c ủa bài toán SQP Xấp x ỉ ban đầ u x 1> 0 c ủa bài toán SQP có th ể ch ọn t ừ m ột trong nh ững giá tr ị th ỏa mãn 64 T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 4 (44) /N¨m 2007 – các ràng bu ộc đẳ ng th ức c ủa bài toán ban đầu. Nghi ệm d k của m ỗi bài toán con QP được dùng để xác định b ước l ặp m ới: = +α xk +1 xk d k (k = 1,2,...) (10) f (x ) q(d ) x(d ) Quá trình gi ải bài toán SQP s ẽ d ừng khi k , ho ặc k , ho ặc k thay đổi không đáng k ể. 3. Bài toán t ối ưu hoá ch ế độ c ắt khi mài tròn ngoài Mài tinh th ường được ch ọn làm nguyên công gia công l ần cu ối cho nên ch ất l ượng b ề mặt gia công là m ột trong nh ững yêu c ầu k ỹ thu ật quan tr ọng nh ất cần ph ải đạ t được. Khi mài đá sẽ mòn d ần theo th ời gian mài làm cho l ực c ắt, nhi ệt c ắt và độ nhám b ề m ặt gia công R a tăng dần, khi gi ới h ạn v ề cháy b ề m ặt và độ nhám b ề m ặt gia công b ị vi ph ạm thì ph ải s ửa đá. Vì điều ki ện c ắt g ọt khi mài tinh t ươ ng đối nh ẹ nhàng nên th ường l ực c ắt, nhi ệt c ắt nh ỏ, ràng bu ộc v ề độ nhám b ề m ặt gia công th ường b ị vi ph ạm tr ước khi vi ph ạm ràng bu ộc v ề cháy b ề m ặt. N ếu g ọi Rad là độ nhám b ề m ặt gia công ban đầu ( đạt được ở đầ u chu k ỳ mài sau khi s ửa đá ) và [R a] là gi ới h ạn độ nhám b ề m ặt gia công cho phép thì th ời gian mài để R a tăng t ừ R ad đến [R a] là tu ổi b ền của đá mài. Nh ư v ậy các thông s ố R ad và [R a] là các d ữ li ệu ban đầ u c ủa bài toán tối ưu hoá khi mài tinh theo ch ỉ tiêu tu ổi b ền đá mài. Gọi n T là s ố chi ti ết gia công được trong m ột chu k ỳ tu ổi b ền đá T, n T được xác đị nh theo công th ức sau [6]:  R − R  n = ()n −1 ln  a d a o  +1 (11) T 0  []−   Ra Ra o  Trong đó: n0 - hệ s ố th ực nghi ệm. Ra0 - độ nhám b ề m ặt gia công tươ ng ứng v ới tr ạng thái ổn đị nh c ủa độ nhám b ề m ặt đá. Quan h ệ gi ữa t ốc độ bóc v ật li ệu trên m ột đơn v ị chi ều rộng mài v ới Rad và [R a] nh ư sau [6]: y  R  Q' = K  a d  (12) w Q  []  Ra  Hệ s ố K Q và s ố m ũ y xác đị nh b ằng th ực nghi ệm (y = 1,1 ÷1,5). Các công th ức (11) (12) cho th ấy: n ếu ở đầ u chu k ỳ tu ổi b ền đá ta s ử d ụng ch ế độ c ắt để đạ t được R ad nh ỏ thì tu ổi b ền đá t ăng lên nh ưng c ũng đồ ng th ời làm gi ảm t ốc độ bóc v ật li ệu. Nh ư v ậy b ằng vi ệc xác định độ nhám b ề m ặt gia công ban đầ u h ợp lý ta s ẽ cân b ằng được yêu c ầu v ề n ăng su ất và tu ổi b ền đá. Độ nhám b ề m ặt gia công ban đầ u h ợp lý được xác định theo yêu c ầu k ỹ thu ật v ề ch ất l ượng b ề m ặt gia công và t ốc độ mòn c ủa đá mài. Nếu xác đị nh được m ối quan h ệ gi ữa tu ổi b ền đá mài T và độ nhám b ề m ặt gia công R a υ với ch ế độ c ắt d ưới d ạng T = f(x), R a = g(x), x = (t, S d, ct ) thì bài toán t ối ưu hoá ch ế độ c ắt khi mài tròn ngoài là: f(x) → max (13) g(x) ≥ Rad ≤ Với điều ki ện: g(x) [R a] x ∈ (x min , x max ) 65 T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 4 (44) /N¨m 2007 – 4. T ối ưu hoá ch ế độ c ắt khi mài tinh thép X12M b ằng đá mài H ải D ươ ng Cn46.CV 1.G.V 1.400x40x203.35m/s trên máy mài tròn ngoài Tác gi ả đã ti ến hành th ực nghi ệm mài tinh thép X12M trên máy mài tròn ngoài 3Б153 b ằng đá mài Cn46.CV 1.G.V 1.400x40x203.35m/s do Nhà máy đá mài H ải D ươ ng ch ế t ạo. Sau khi s ử lý s ố li ệu th ực nghi ệm đã nh ận được: - Mô hình tu ổi b ền đá mài: -1,49 -1,9 -2,35 T = 0,45.t Sd υct - Mô hình độ nhám b ề m ặt gia công: 0.41 0.5 0.38 Ra = 2.t Sd υct Với yêu c ầu v ề ch ất l ượng b ề m ặt khi mài tinh ch ọn [Ra] = 0,63 m, Rad = 0,32 m. Thay vào (13) thì bài toán t ối ưu là: 0,45.t-1,49Sd-1,9 υct-2,35 max Với điều ki ện 2.t0.41Sd0.5 υct0.38 ≤ 0,63 2.t0.41Sd0.5 υct0.38 ≥ 0,32 0,0025 ≤ t ≤ 0,0075 0,3 ≤ Sd ≤ 0,6 25,12 ≤ υct ≤ 37,68 Ph ần m ềm MATLAB gi ải bài toán b ằng ph ươ ng pháp qui ho ạch toàn ph ươ ng tu ần t ự cho k ết qu ả: Tmax = 14,3 phút Với các thông s ố ch ế độ c ắt t ối ưu: t = 0,0028 mm, Sd = 0,3 m/ph, υct = 25,12 m/ph. 5. Kết lu ận Trong t ối ưu hoá có điều ki ện, m ục tiêu là chuyển bài toán v ề các bài toán ph ụ để dễ th ực hi ện các b ước l ặp. Có nhi ều ph ươ ng pháp gi ải bài toán này trong đó ph ươ ng pháp qui ho ạch toàn ph ươ ng tu ần t ự (SQP) có ưu điểm h ơn c ả vì s ố l ượng b ước l ặp ít h ơn, độ chính xác và t ỷ l ệ thành công cao. M ột ch ươ ng trình máy tính áp d ụng ph ươ ng pháp SQP đã được vi ết bằng ngôn ng ữ Matlab để gi ải bài toán t ối ưu hoá ch ế độ c ắt khi mài tròn ngoài. Tóm t ắt Bài báo trình bày m ột ph ươ ng pháp gi ải bài toán t ối ưu hoá t ổng quát cho nhi ều hàm m ục tiêu m ột cách đồ ng th ời. Ph ươ ng pháp này được ứng d ụng để gi ải bài toán t ối ưu hoá ch ế độ c ắt khi mài tròn ngoài: xác định ch ế độ c ắt để tu ổi b ền c ủa đá mài l ớn nh ất trên cơ s ở đả m b ảo yêu c ầu k ỹ thu ật v ề độ nhám b ề m ặt gia công. Summary This paper presents a method to solve the overall multi-purpose optimization problem concurrently. The method has been used to optimize the cutting regime for external round grinding: the cutting regime is determined to obtain the maximum tool life while satisfying the demand about the manufactured surface roughness. 66 T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 4 (44) /N¨m 2007 – Tài li ệu tham kh ảo [1]. Nguy ễn Tr ọng Bình (2003), Tối ưu hoá quá trình gia công c ắt g ọt, Nxb Giáo d ục, Hà N ội. [2]. Ya. L. Gurevits và các tác gi ả (1981), Ch ế độ c ắt các v ật li ệu khó gia công, biên d ịch: H ồng Nguyên, Nxb Khoa h ọc và K ỹ thu ật, Hà N ội. [3]. Ph ạm V ăn Lang, B ạch Qu ốc Khang (1998) , C ơ s ở lý thuy ết quy ho ạch th ực nghi ệm và ứng d ụng trong k ỹ thu ật nông nghi ệp, Nxb Nông nghi ệp, Hà N ội. [4]. Nguy ễn Nh ật L ệ, Phan M ạnh D ần (2005), Gi ải bài toán t ối ưu hoá ứng d ụng b ằng MATLAB- MAPLE (T ối ưu hoá t ĩnh và điều khi ển t ối ưu), Nxb Khoa h ọc và K ỹ thu ật, Hà N ội. [5]. Bùi Th ế Tâm, Tr ần V ũ Thi ệu (1998), Các ph ươ ng pháp t ối ưu hóa , Nxb Giao thông v ận t ải, Hà N ội. [6]. S. Malkin (1989), Grinding technology, Ellis Horwood Limited. [7]. Mathworks Inc (2002), Matlab optimisation toolbox , 3 Apple Hill Drive Natick, USA. [8]. Г.Ю. Якобс , Э. Якоб , Д. Кохан (1981), Оптимизация резания , «Машиностроение », Москва . 67