Mô tả toán học hệ thống điều khiển rời rạc

CHƯƠNG 3 MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 3 1 Hà t ề đ t. m ruy n ạ 3.2 Phương trình trạng thái Hệ thố ời r(k) c(k) 3.1 HÀM TRUYỀN ĐẠT ố ng r rạc tín hiệu vào tín hiệu ra Quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra của hệ th ng rời rạc được mô tả bằng phương trình sai phân: )()1(...)1()( )()1(...)1()( 110 110 krbkrbmkrbmkrb kcakcankcankca mm nn ++++−+++ =++++−+++ − − ( )⎪⎧ Trong đó ( ):0 ),0( 0 ),0( 0 0 ⎪⎩⎨ ≠= ≠= bmjb ania j i thông số của hệ thống ốn ≥ m , n: bậc của hệ th ng [ ] [ ] )(...)(... 11101110 zRbzbzbzbzCazazaza mmnn ++++=++++ −− Thực hiện biến đổi Z hai vế phương trình sai phân ta được: mmnn −− hàm truyền Đặt mm mm bzbzbzbzCG ++++ − 1 1 10 ...)()( hệ thống rời rạcnn nn azazazazR z ++++== −− − 1 1 10 ...)( Biến đổi tương đương G(z) về dạng: ( ) ⎟⎟ ⎞ ⎜⎜ ⎛ ++++== −+− − − −− m m m mmn zbzbzbbzzCzG 11 1 1 1 10 ...)()( Hai cách biểu diễn trên tương đương nhau. ⎠⎝ ++++ −+−−− nnnn zazazaazR 110 ...)( Dạng thứ hai được sử dụng nhiều hơn. Tính hàm truyền hệ thống rời rạc từ sơ đồ khối Hệ thống Hình Hàm truyền Hai khâu nối tiếp cách nhau bởi khâ { } { }⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ = = = )()( )()( )()()( 11 21 sGzG sGzG zGzGzG Z Z u lấy mẫu Hai khâu ối tiế 22 n p không cách nhau bởi khâu { })()( )()( 21 21 sGsG zGGzG Z= = lấy mẫu Hệ thống hồi tiếp có khâu lấy mẫu trong { })( )(1 )()( sG zGH zGzGk Z += kênh sai số { })()(1 sHsGZ+= Tính hàm truyền hệ thống rời rạc từ sơ đồ khối Hệ thống Hình Hàm truyền ố ồ )(RGHệ th ng h i tiếp có khâu lấy mẫu trong òng hồi tiếp { } { }⎟⎟ ⎞ ⎜⎜ ⎛ = += )()()( )(1 )( sGsRzRG zGH zzC Z v Hai khâu hồi ế ⎠⎝ = )()()( sHsGzGH Z = )()( zGzGkti p có các khâu lấy mẫu đồng bộ trong há h th ậ { } { }⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ = = + )()( )()( )()(1 sHzH sGzG zHzG Z Z n n u n Hệ thống hồi tiếp có các += )()(1 )()()( 21 zHGzG zGzGzGk khâu lấy mẫu đồng bộ và các khâu nối { } { } { }⎟⎟ ⎟⎞ ⎜⎜ ⎜⎛ = = )()()( )()( )()( 22 11 21 GG sGzG sGzG Z Z Z tiếp ở nhánh thuận ⎠⎝ = 22 sHszH 3.2 PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 3 2 1 Thành lập phương trình trạng thái. . . từ phương trình sai phân Trường hợp 1 - Vế phải phương trình sai phân không chứa sai phân tín hiệu vào )()()1(...)1()( 011 krbkcakcankcankc nn =++++−+++ − Đặt các biến như sau: ),2( )1()( )()( 1 1 nikxkx kckx ii =+= = − Theo cách đặt biến trên, ta có: )()( kckx )2()()1()( )1()( )1()( 212 1 kckxkxkx kckxkxkx +=⇒+= +=⇒+= = )()1()1()()1()( 1 323 nkckxnkckxkxkx +=+⇒−+=⇒+= M nnnn − Phương trình sai phân trong slide trước thành: )()()(...)()()1( )()()(...)()1( 0112211 01211 krbkxakxakxakxakx krbkxakxakxakx nnnnn nnnn +−−−−−=+⇒ =+++++ −− − Kết hợp các quan hệ có được trong slide trước, ta có: ⎧ + )()1( kxkx ⎪⎪ ⎪ ⎨ =+ = )()1( 32 21 kxkx M ⎪⎪ ⎪ ⎩ +−−−−−=+ =+− )()()(...)()()1( )( )1( 0112211 1 krbkxakxakxakxakx kxkx nnnnn nn −− Hệ trên được viết lại: 0 0 )( )( 00100 00010 )1( )1( 2 1 2 1 kx kx kx kx ⎥⎥ ⎥⎤ ⎢⎢ ⎢⎡ ⎥⎥ ⎥⎤ ⎢⎢ ⎢⎡ ⎥⎥ ⎥⎤ ⎢⎢ ⎢⎡ ⎥⎥ ⎥⎤ ⎢⎢ ⎢⎡ + + K K )( 0 )( )(10000 )( )1( 11 kr bk kx k kx nn ⎥⎥ ⎥ ⎢⎢ ⎢+ ⎥⎥ ⎥ ⎢⎢ ⎢ ⎥⎥ ⎥ ⎢⎢ ⎢= ⎥⎥ ⎥ ⎢⎢ ⎢ + −− MM K MMKMMMM 1 01221 xaaaaax nnnnn ⎦⎣⎦⎣⎦⎣ −−−−−⎦⎣ + −− K Đáp ứng của hệ thống [ ] ⎥⎥ ⎥⎤ ⎢⎢ ⎢⎡ )( )( )()( 2 1 kx kx kk M ⎥⎥ ⎥ ⎦⎢ ⎢⎢ ⎣ ×== − )( )( 0001 1 1 kx kx xc n K Vậy hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống rời rạc: n ⎨⎧ +=+ )()()1( krBkxAkx dd⎩ = )()( kxCkc d 000010)( ⎤⎡⎤⎡⎤⎡ k trong đó ; 0 ; 00100 ; )( )( 2 1 MMMMMM K K M ⎥ ⎥⎥⎢⎢ ⎢ =⎥ ⎥⎥⎢⎢ ⎢ =⎥ ⎥⎥⎢⎢ ⎢ = BA kx x kx 010000 )( )( 01221 1 K K ⎥⎥ ⎥ ⎦⎢ ⎢⎢ ⎣⎥ ⎥⎥ ⎦⎢ ⎢⎢ ⎣ −−−−−⎥ ⎥⎥ ⎦⎢ ⎢⎢ ⎣ − baaaaakx kx dd n [ ]0001 K K = −− C nnnn Trường hợp 2 - Vế phải phương trình sai phân chứa sai phân tín hiệu vào )()1(...)1()( )()1(...)1()( 110 11 krbkrbnkrbnkrb kcakcankcankc nn ++++−+++ =++++−+++ − Đặt các biến như sau: )()()( krkckx = β nn− )()1()( )( )1()( 112 01 krkxkx krkxkx −+= −+= − β β )()1()( 11 223 krkxkx nnn −+= β M −− Từ cách đặt biến trạng thái trên ta rút ra phương trình sau: )()()(...)()()1( 112211 krkxakxakxakxakx nnnnnn β+−−−−−=+ −− Theo cách đặt biến trong slide trước, hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống: ⎨⎧ +=+ )()()1( krBkxAkx dd trong đó ⎩ += )()()( krDkxCkc dd 2 1 2 1 00100 00010 )( )( β β ⎥⎥ ⎥⎤ ⎢⎢ ⎢⎡ ⎥⎥ ⎥⎤ ⎢⎢ ⎢⎡ ⎥⎥ ⎥⎤ ⎢⎢ ⎢⎡ kx kx K K 11 ;; 10000 ; )( )( )( β β ⎥⎥ ⎥ ⎦⎢ ⎢⎢ ⎣ = ⎥⎥ ⎥ ⎦⎢ ⎢⎢ ⎣ = ⎥⎥ ⎥ ⎦⎢ ⎢⎢ ⎣ = −− n dd n BA k kx kx M K MMKMMMM [ ] 0 1221 ;0001 β== −−−−− −− dd nnnnn DC aaaaax K K ⎧ = 00β b ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎨ −−= −= 021122 0111 βββ ββ aab ab Các xác định theo:),0( nii =β ⎪⎪⎩ −−−−= −−− 0112211 βββββ nnnnnn aaaab K M Ch hệ thố ô tả bởi hà t ề 3.2.2. Thành lập phương trình trạng thái từ hàm truyền hệ rời rạc o ng m m ruy n: nn mm mm bzbzbzb R zCzG ++++ ++++== − − − 1 1 1 10 ... )( )()( nn azazazz −11 ... Ở hàm truyền trên a0 = 1. Nếu a0 ≠ 1 ta chia tử số và mẫu số cho ể ề Cách 1 ế ổ ề ề a0 đ được hàm truy n có dạng trên Bi n đ i tương đương hàm truy n v dạng phương trình sai phân ( ) ( ) )(...)(... 1110111 zRbzbzbzbzCazazaz mmmmnnnn ++++=++++ −−−− )(1(...)1()( )()1(...)1()( 110 11 krbkrbmkrbmkrb kcakcankcankc mm nn ++++−+++ =++++−+++⇔ − − S đó hà h lậ hệ h ì h hái ừ h ì h i hâau ta t n p p ương tr n trạng t t p ương tr n sa p n như mục trước. Cách 2 Đặt biến phụ E(z) thỏa ( )( ) )(...)( )(...)( 111 1 1 10 ⎩⎨ ⎧ ++++= ++++= − − − − zEazazazzR zEbzbzbzbzC nn nn mm mm Biến đổi Z ngược phương trình chứa R(z), ta có: )()()1(...)1()( 11 krkeakeankeanke nn =++++−+++ − Lúc này ta xem e như c và áp dụng cách thành lập phương trình trạng thái từ phương trình sai phân đối với trường hợp vế phải không chứa sai phân tín hiệu vào )()(1 kekx = Đặt biến: )2()( )1()( )1()( )1()( 323 212 kekxkxkx kekxkxkx +=⇒+= +=⇒+= M )()1()1()( )1()( 1 nkekxnkekxkxkx nnnn +=+⇒−+=⇒+= − Ta được phương trình: 0)(00010)1( kxkx ⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡ + )( 0)(00100)1( 2 1 2 1 kr kxkx ⎥⎥ ⎥ ⎢⎢ ⎢ +⎥ ⎥⎥⎢⎢ ⎢ ⎥⎥ ⎥ ⎢⎢ ⎢ =⎥ ⎥⎥⎢⎢ ⎢ + MMMMKMMM K K M 1 0 )( )(10000 )1( )1( 1 1221 1 kx kx aaaaakx kx n n nnnn n ⎥⎥ ⎥ ⎦⎢ ⎢⎢ ⎣⎥ ⎥⎥ ⎦⎢ ⎢⎢ ⎣⎥ ⎥⎥ ⎦⎢ ⎢⎢ ⎣ −−−−−⎥ ⎥⎥ ⎦⎢ ⎢⎢ ⎣ + + − −− − K K Biến đổi Z ngược phương trình chứa C(z) trong slide trước, ta có: ++++−+++= − )()1(...)1()()( 110 kebkebmkebmkebkc mm ⎥⎤⎢⎡ ++++=⇒ −+ )( )()(...)()()( 1 121110 kx kxbkxbkxbkxbkc mmmm [ ] ⎥⎥ ⎥ ⎢⎢ ⎢ =⇒ − )( 00)( 2 011 kx bbbbkc mm MKK ⎥⎥⎦⎢ ⎢ ⎣ − )( )(1 kx kx n n Cuối cùng ta được hệ phương trình trạng thái: ⎧ ++ )()()1( krBkxAkx Trong đó: ⎩⎨ = = )()( kxCkc d dd 0 0 00100 00010 )( )(1 K kx kx ⎥⎥ ⎤ ⎢⎢ ⎡ ⎥⎥ ⎤ ⎢⎢ ⎡ ⎥⎥ ⎤ ⎢⎢ ⎡ 0 ; 10000 ; )( )( 1 2 MMMKMMM K M BA kx kx dd ⎥⎥ ⎥ ⎢⎢ ⎢= ⎥⎥ ⎥ ⎢⎢ ⎢= ⎥⎥ ⎥ ⎢⎢ ⎢= 1)( 1221 K K aaaaakx nnnn n −− − ⎥⎦⎢⎣⎥⎦⎢⎣ −−−−−⎥⎦⎢⎣ [ ]00011 KK bbbbC mmd −= 3.2.3. Thành lập phương trình trạng thái hệ rời rạc từ phương trình trạng thái hệ liên tục Phương pháp này chỉ áp dụng cho hệ có sơ đồ khối: Phương pháp gồm 04 bước Bước 1 - Thành lập hệ phương trình trạng thái liên tục ⎧ ⎩⎨ = += )()( )()()( tCxtc tBetAxtx R& Bước 2 – Tính ma trận quá độ hệ liên tục [ ] ( )( )11 )()()( −−=ΦΦ=Φ AsIsst -L Bước 3 – Rời rạc hóa phương trình trạng thái ở bước 1 [ ]⎨⎧ +=+ )()()1( kTeBkTxATkx Rdd Với: ⎪⎪⎨ ⎧ Φ= Φ= ∫ BdB TA T d d )( )( ττ ⎩ = )()( kTxCkTc d ⎪⎪⎩ = CCd 0 Bước 4 – Hệ phương trình trạng thái của hệ rời rạc cần tìm với tín hiệu vào r(kT): [ ] [ ] ⎩⎨ ⎧ = +−=+ )()( )()()1( kTxCkTc kTrBkTxCBATkx d dddd 3.2.4. Tính hàm truyền hệ rời rạc từ hệ phương trình trạng thái Hệ thống rời rạc mô tả bởi hệ phương trình trạng thái: ⎩⎨ ⎧ = +=+ )()( )()()1( kxCkc krBkxAkx d dd zC )( Hàm truyền hệ rời rạc được tính theo công thức: [ ] ddd BAzICzRzG 1)()( −−==