Kiến trúc xây dựng - Phương pháp cơ bản giải bài toán lý thuyết đàn hồi tuyến tính

Dựa vào hệ phương trình cân bằng tĩnh học Navier- Cauchy. 37 0         fx z Tzx y Tyx x y ;  fx x x z Tzx y Tyx           (1) 0         fy z Tzy y y x Txy  ;  fy x Txy y y z Tzy           (2) 0         fz z z y Tyz x Txz  ;  fz x Txz z z y Tyz           (3) Lấy đạo hàm bậc nhất (2) và (3) lần lượt theo y và z ta có : yx Txy y y yz Tzy         2 2 22  zx Txz z z zy Tyz         2 2 22                              z Tx y Txy xzy y yz Tzy zz 22 2 2 2 22 2  (4) Thay (1) vào (4) ta có : (4)                              fx x x xz z y y zy Tyz  2 2 2 22 2                     2 2 2 2 2 22 2 z z y y x x zy Tyz  (d) Thay (d) vào (c) ta có : (1 + ) 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2                                 z S y S y z zz z y y x x y    (1 + )                                                  2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 z x z x z x y x y x y x z x y x x x  -             2 2 2 2 y S z S = 0 (**) Trong đó : 2 = 2 2 2 2 2 2 zyx         S = x + y + z. (**)  (1 + ) 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2                              y S z S z S y S x   - (1 + )2x + 2 2 2 2 z S y S      + 0 2 2 2 2 2 2 2 2                       y S z S z S y S  + 38  - (1 + )2x + 2 2 2 2 y S x S      + 2 2 2 2 x S z S      = 0.  (1 + )2x + S x S 2 2 2    = 0 Theo Hệ quả (1) ta có 2S = 0  (1 + )2x + 2 2 x S   = 0 (1 + )2y + 2 2 y S   = 0 (5.5) (1 + )2z + 2 2 z S   = 0 (1 + )2Txy + yx S   2 = 0 (1 + )2Tyz + zy S   2 = 0 (5.6) (1 + )2Tzx + zx S   2 = 0 Hệ phương trình (5.5) và (5.6) là phương trình để giải bài toán đàn hồi theo ứng suất, đã tổng hợp các điều kiện về mặt tĩnh học, hình học và vật lý của môi trường. Giải (5.5) và (5.6) có được các ứng suất sau đó tìm các biến dạng theo định luật Hooke và tìm các chuyển vị theo hệ phương trình biến dạng Cauchy. Hệ (5.5) và (5.6) gọi là hệ phương trình Beltrmi II. Khi lực thể tích không phải là hằng số: ta cũng nhận được các phương trình tương tự nhưng có vế phải khác 0 : 2x + x x z fz y fy x fx x S                         2 1)1( 1 2 2    ; 2y + y y z fz y fy x fx y S                         2 1)1( 1 2 2    ; (5.7) 2z + z z z fz y fy x fx z S                         2 1)1( 1 2 2    ; (5.7) : Phương trình Beltrami-Michell. * Hệ quả 3 : Trường hợp fx, fy, fz = const. 39 Từ phương trình (5.5) Beltrmi, ta cũng suy ra được 1 hệ quả về tính chất của các n0 ứng suất Xét phương trình (1) của hệ phương trình (5.5) : (1 + ) 2x + 2 2 x S   = 0 (1) Lấy đạo hàm bậc 2 phương trình (1) lần lượt theo x,y,z ta có : (1 + )2 2 2 x x    + 4 4 x S   = 0 + (1 + )2 2 2 y x    + 22 4 yx S   = 0 (1 + )2 2 2 z x    + 22 4 zx S   = 0 (1 + ) 22x + 2 2 x S   2S = 0 Theo hệ quả 1 2S = 0 Ta có : 22x = 0. Tương tự ta có : 4ij = 0. ij gồm có (x, y, z, Txy, Tyz, Tzx).  Ứng suất là những hàm điều hòa kép (trùng điều hòa, bi điều hòa). Vì ứng suất tỉ lệ với biến dạng nên biến dạng cũng là những hàm điều hoà kép.  Phát biểu : Các nghiệm ứng suất , chuyển vị, biến dạng của bài toán đàn hồi tuyến tính khi lực thể tích là hằng số đều là những hàm điều hòa kép: 4ij = 0 ;  4ui = 0 ;  4ij = 0. (5.8) 5.4. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1. Phương pháp thuận : là phương pháp trực tiếp tính tích phân các phương trình Lamê (5.1) khi giải theo chuyển vị hay phương trình Beltrami (5.5) và (5.6) hay Beltrami Michell (5.7) khi giải theo ứng suất với các điều kiện biên xác định . Phương pháp này rõ ràng, minh bạch vê mặt toán học nhưng phức tạp khi thực hiện. 2.Phương pháp ngược : Theo phương pháp này ta cho trước chuyển vị hay ứng suất thỏa mãn các phương trình cơ bản, rồi bằng các điều kiện biên (2.3) tìm các ngoại lực tương ứng với các chuyển vị hay ứng suất cho 40 trước. Phương pháp này để tìm được nghiệm đúng thì phải thử nhiều hàm chọn, rất cồng kềnh và có khi không thực hiện được. 3. Phương pháp nửa ngược Saint - Venant : Theo phương pháp này ta cho trước một phần các ngoại lực và một phần các chuyển vị, tìm các yếu tố còn lại từ các điều kiện biên, chúng phải thỏa mãn các phương trình cân bằng. Phương pháp này mềm dẻo, khắc phục được những khó khăn mang tính toán học của phương pháp thuận và sự cồng kềnh của phương pháp ngược. 4. Nguyên lý Saint-Venant : Nhiều bài toán của lý thuyết đàn hồi khi giải hoàn toàn thỏa mãn điều kiện biên thường gặp nhiều khó khăn, đặc biệt cách giải bài toán về thanh, tấm, vỏ. Khi giải ta có thể sử dụng nguyên lý Saint-Venant đó là nguyên lý về hiệu ứng cần bằng cục bộ của ngoại lực.theo nguyên lý này, nếu trên 1 phần nhỏ nào đó của vật thể có tác dụng của 1 hệ lực cân bằng thì ứng suất phát sinh sẽ tắt dần khá nhanh ở những đểm xa miền đặt lực. Ví dụ : Khi dùng kìm để cắt 01 sợi dây thép, ta thấy trên sợi dây tại chổ cắt tác dụng 1 hệ lực cân bằng. Dựa vào qui luật đối với vật rắn tuyệt đối, nguyên lý cục bộ có thể phát biểu theo cách khác nhau: “Tại những điểm của vật rắn cách xa điểm đặt lực thì trạng thái ứng suất, biến dạng của vật phụ thuộc rất ít vào cách tác dụng của lực”. Ví dụ : F : Diện tích mặt cắt ngang. 5.5. ĐỊNH LÝ DUY NHẤT NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI Một vấn đề đặt ra là nghiệm của bài toán lý thuyết đàn hồi giải theo chuyển vị hay ứng suất có duy nhất không. Có nghĩa ứng với tải trọng hay chuyển vị đã cho ta chỉ nhận được một hệ ứng suất hay chuyển duy nhất hay ta nhận được vài hệ nghiệm khác nhau với cùng điều kiện đã cho. 41  * Nếu nhận được một vài hệ nghiệm thì nghiệm của bài toán lý thuyết đàn hồi đã cho là đa trị. * Định lý duy nhất về nghiệm : Nếu thừa nhận về trạng thái tự nhiên của vật và đinh luật độc lập tác dụng của lực thì nghiệm bài toán lý thuyết đàn hồi là duy nhất. Thực vậy xét bài toán cơ bản thứ nhất của lý thuyết đàn hồi. Dưới tác dụng của lực bề mặt  xf ,  yf ,  zf . Lực thể tích fx, fy, fz đã cho. Giả thiết ta nhận được 2 hệ nghiệm ứng suất khác nhau. x, y, z, Txy, Tyz, Tzx x, y, z, Txy, Tyz, Tzx Cả hai hệ ứng suất này đều phải thỏa mãn điều kiện cân bằng tĩnh học của Cauchy và điều kiện biên tĩnh học. 0         x zxyxx f z T y T x  0* ***          x zxyxx f z T y T x  (a) ...  xf = x.l + Tyx.m + Tzx.n  xf = x.l + Tyx.m + Tzx.n (b) ... Tương tự viết cho các phương trình còn lại. Trừ các phương trình tương ứng cho nhau, ta nhận được hệ phương trình và điều kiện mới. Ví dụ viết cho phương trình thứ nhất ta có : yx xx      )(  (Txy – Tyx) + z  (Tzx - Tzx)= 0 (x - x).l + (Tyx - Tyx).m + (Tzx - Tzx).n = 0 (c) Theo nguyên lý cộng tác dụng ta có thể xem các ứng suất trong hệ phương trìnhh (c) là một hệ ứng suất mới khi không có lực thể tích và lực bề mặt. Theo giả thiết về trạng thái tự nhiên của vật liệu, các ứng suất này phải bằng 0. Do đó : x - x = 0 ; y - y = 0 ; Tyx - Tyx = 0; ... Hay x = x ; y = y ; Tyx = Tyx Có nghĩa 2 hệ ứng suất này trùng nhau. Đó là điều cần chứng minh! 42 z y x z y CHƯƠNG 6 : BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES 6.1. HAI TRƯỜNG HỢP CỦA BÀI TOÁN PHẲNG I. Khái niệm : Trong nhiều bài toán kỹ thuật, vật thể chịu lực chỉ gây nên biến dạng hay ứng suất trong 1 mặt phẳng (Mặt phẳng này được qui ước là mặt phẳng oxy). Các bài toán này được gọi là các bài toán phẳng. Bài toán phẳng chia ra 2 loại : 1. Bài toán ứng suất phẳng : Nếu chỉ tồn tại ứng suất trong mặt phẳng xoy. 2.Bài toán biến dạng phẳng : Nếu chỉ tồn tại biến dạng trong mặt phẳng xoy. Hai bài toán này khác nhau về mặt vật lý song rất giống nhau về mặt toán học. Giải bài toán phẳng về mặt toán học được đơn giản rất nhiều so với bài toán không gian. II. Bài toán ứng suất phẳng : Xét những mặt phẳng, ví dụ tấm tường, đĩa mỏng chịu lực phân bố đều trên bề dày tấm và song song với mặt trung bình như hình vẽ. Ta nhận thấy mặt bên của tấm không có tải trọng, ứng suất là hằng theo bề dày. Do đó điều kiện của bài toán sẽ là : z = Txz = Tyz = 0 (a) Mặt khác, biến dạng dài theo phương bề dày là tự do nên : z  0 (b) Các điều kiện (a), (b) là định nghĩa của bài toán ứng suất phẳng. Ân số của bài toán gồm có: Các ứng suất : x, y, Txy. Các biến dạng : x, y, xy, z  0. Theo định luật Hooke, từ (a) ta có : 43 z 1 y z x 1 xz =yz = 0 ; y = E 1 (y - x) x = E 1 (x - y) ; z =- E  (x + y) (c) xy = G Txy = E )1(2  Txy Từ biểu thức (c) ta có các biến dạng đều tính theo 3 ẩn số ứng suất là x, y, Txy với E,  là 2 hằng số đàn hồi của vật liệu. III. Bài toán biến dạng phẳng : Khi tính những vật thể hình lăng trụ, có chiều dài lớn chịu tải trọng không đổi theo chiều dài, ví dụ đập chắn, tường chịu áp lực, đường ống dẫn, vỏ hầm... ta thường xét 1 đoạn vật thể có chiều dài bằng 1 đơn vị. Như thế, bài toán đối với vật thể lăng trụ trở thành bài toán tấm phẳng như biểu diễn trên hình vẽ sau : Nhận xét tấm bị kẹp giữa chiều dài của vật thể nên không thể có biến dạng dài theo phương bề dày z, và mặt bên của tấm sẽ chịu những áp lực pháp tuyến theo phương z. Do đó, điều kiện của bài toán đối với tấm trong trường hợp đang xét sẽ là : z = xz = yz = 0 (d) và z  0 (e) Các điều kiện (d), (e) là định nghĩa của bài toán biến dạng phẳng. Ẩn số của bài toán gồm có: Các ứng suất : x, y, Txy, z0 Các biến dạng : x, y, xy. Theo định luật Hooke, từ (d) ta có : - Các ứng suất tiếp Txz = Tyz = 0 - Còn ứng suất pháp z sẽ được tìm từ biểu thức z = 0 z =  )( 1 yxx E    = 0 Vậy y = (x + y). Quan hệ giữa các ứng suất và các biến dạng còn sẽ là : 44 x =  )( 1 zyx E    =  )(1 yxy E    x =          ) 1 1 2 yx E    Tương tự y =          ) 1 1 2 xy E    (*) xy = E )1(2  Txy Đặt E1 = 2 1  E ; 1 =   1 (g) (*) x = 1 1 E (x - 1y) ; y = 1 1 E (y - 1x) ; (f) xy = E )1(2  Txy = 1 1 )1(2 E  Txy IV. So sánh và kết luận chung : 1. Trong cả 2 bài toán phẳng, các ẩn số chính về ứng suất và về biến dạng là như nhau : x, y, Txy, x, y, xy.  Những ứng suất hay biến dạng còn lại đều có thể biểu diễn qua các ẩn số chính. 2. Quan hệ giữa các ứng suất hay biến dạng theo (c) hay (f) là hoàn toàn tương tự như nhau, sự khác nhau chỉ thể hiện ở chỗ : - Trong bài toán ứng suất phẳng ta dùng các hằng số đàn hồi E,  còn trong bài toán biến dạng phẳng ta dùng các hằng số đàn hồi E1, 1 theo cách đặt (g). 3. Do sự giống nhau về mặt toán học như vậy nên phép giải của 2 bài toán hoàn toàn như nhau. 6.2. CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN TRONG BÀI TOÁN PHẲNG 1. Về mặt tĩnh học : Phương trình cân bằng Cauchy : y Tyx x x      + fx = 0 y y x Txy       + fy = 0 (6.1) 2. Về mặt hình học : Phương trình biến dạng Cauchy : x = x u   ; y = y v   ; (6.2) xy = x u   + y v   . 45 Các biến dạng phải thỏa mãn điều kiện liên tục của biến dạng, trong bài toán phẳng điều kiện này chỉ còn 1 phương trình : yx xy x y y x          2 2 2 2 2 (6.3) 3. Về mặt vật lý : Phương trình định luật Hooke. a. Biểu thức biến dạng qua ứng suất : x = E 1 (x - y) y = E 1 (y - x) (6.4) xy = E )1(2  Txy b. Biểu thức ứng suất qua biến dạng : x = 2 1  E (x+ y) y = 2 1  E (y+ x) (6.5) Txy = )1(2  E xy Nếu giải bài toán biến dạng phẳng, chỉ cần thay E,  bằng E1, 1. Hệ tám phương trình độc lập trên, chứa 8 ẩn số là ba ứng suất, ba biến dạng và hai chuyển vị là một hệ khép kín, cho phép ta giải được bài toán. 4. Các điều kiện biên : a. Điều kiện biên tĩnh học : xl + Tyxm =  xf Txyl + ym =  yf (6.6) b. Điều kiện biên động học : Trên bề mặt S của vật thể cho trước các chuyển vị uo , vo hay các đạo hàm của các chuyển vị theo các biến số tọa độ. Nghiệm chuyển vị của bài toán phải thỏa mãn điều kiện : us = uo ; vs= vo . 6.3. PHÉP GIẢI BÀI TOÁN PHẲNG THEO ỨNG SUẤT - HÀM ỨNG SUẤT AIRY I. Phép giải theo ứng suất : - Chọn ẩn số chính là các ứng suất : x, y, Txy. Các ứng suất này phải thỏa mãn phương trình cân bằng (6.1) . y Tyx x x      = - fx 46 y y x Txy       = - fy Nghiệm của (6.1) sẽ là tổng của nghiệm tổng quát phương trình thuần nhất (6.8) y Tyx x x      = 0 y y x Txy       = 0 (6.8) và nghiệm riêng của phương trình (6.9) y Tyx x x      = - fx y y x Txy       = - fy (6.9) - Nghiệm riêng của phương trình (6.8) tìm được không khó khăn, nó phụ thuộc vào dạng cụ thể của các lực thể tích. Ví dụ nghiệm riêng có thể lấy là : * x = 0 ; y = 0 ; Txy = -Px khi fx = 0 ; fy = P = hằng số. * x = 2 2 ax + bx ; y = Txy = 0 khi fx = ax + b ; fy = 0 * x = 0 ; y = -a 6 3 y ; Txy = 2 2 axy khi fx = axy , fy = 0. II. Hàm ứng suất Airy : Để giải hệ (6.1) ta đưa ra một hàm ẩn mới gọi là hàm ứng suất Airy. Xét hệ phương trình phương trình vi phân thuần nhất (6.8): 0 )8.6(0             y y x Txy y Tyx x x   Điều kiện cần và đủ cho biểu thức p(x,y)dx + q(x,y)dy = du(x,y) tức p(x,y)dx + q(x,y)dy là vi phân toàn phần của 1 hàm u(x,y) nào đó thì giữa p và q phải có quan hệ : x q y p      . - Phương trình thứ (1) của hệ (6.8)  y Tyx x x      Tức (x.dy - Txy.dx) là vi phân toàn phần của 1 hàm A(x,y) nào đó. Nên ta có quan hệ x = y A   ; Tyx = - x A   (a) Tương tự, phương trình thứ 2 : x Txy y y       (y.dx - Txy.dy) là vi phân toàn phần của1 hàm B(x,y) nào đó : 47  Ta có quan hệ : y = x B   ; Txy = - y B   (b) So sánh (a) và (b) ta có : x A   = y B   (c)  (A.dy + B.dx) là vi phân toàn phần của 1 hàm (x,y) nào đó :  Ta có quan hệ : A = y  ; B = x  (d) Thay (d) vào (a) và (b) ta có: x = 2 2 y   ; y = 2 2 x   ; Txy = - yx   2 (6.10) Hàm (x,y) : Gọi là làm ứng suất Airy, là hàm để giải bài toán phẳng theo ứng suất. III. Phương trình hàm ứng suất Airy : - Trong chương 5 ta có hệ phương trình (5.5) Beltrmi là hệ phương trình giải bài toán đàn hồi theo ứng suất đã tổng hợp các điều kiện về mặt tĩnh học, hình học, và vật lý của môi trường. Sử dụng (5.5) để tính cho biểu thức ứng suất phẳng. (1 + )2x + 2 2 x S   = 0 + (1 + )2y + 2 2 y S   = 0 (1 + )2z + 2 2 z S   = 0 (1+)2S +2S = 0  2S = 0 Với S = x+ y+ z. Vì trong bài toán ứng suất phẳng z=0 nên S= x + y Trong bài toán biến dạng phẳng : S= x + y + z = x + y +(x + y) =(1+)(x + y). Nên trong bài toán đàn hồi phẳng ta đều có : 2S = 2(x + y) = 0 (6.11) (6.11) : Phương trình LêVy. Thay các ứng suất bởi hàm  thay (6.10) vào (6.11) ta có : 0 2 2 2 2 2 2 2 2                       xyyx   0 yyx 2 x 4 4 22 4 4 4          (6.12)  2(2) = 4 = 0 (6.13) 48 Phương trình (6.13) : phương trình trùng điều hòa. Hàm  = (x,y) : là hàm trùng điều hòa . Kết luận : - Bài toán đàn hồi phẳng giải theo ứng suất dẫn đến việc giải phương trình (6.12) sau đó tìm các ứng suất theo (6.10). + Nếu fx, fy  0  Cộng thêm các nghiệm riêng. - Theo (6.10) : Việc thêm hay bớt hàm  một lượng A+ Bx+Cy thì các ứng suất không thay đổi. - Các hệ số tích phân được xác định theo điều kiện biên tĩnh học :        xfm yx l y .. 2 2 2         yfm x l yx .. 2 22  (6.14) Nếu (6.13) đủ để xác định các hằng số tích phân thì các ứng suất theo (6.10); (6.12) & (6.14) hoàn toàn không liên quan đến các hệ số đàn hồi của vật liệu. Những bài toán như thế là bài toán có liên kết bên ngoài tĩnh định.  Định lý LeVy-Michell : Trong biểu thức đàn hồi phẳng tĩnh định, chịu các ngoại lực tác động trên biên thì sự phân bố ứng suất không phụ thuộc vào các hằng số đàn hồi và như nhau đối với tổng cả các vật liệu. + Âënh lyï âæåüc sæí duûng laìm cå såí cho 1 phæång phaïp thæûc nghiãûm coï tãn laì phæång phaïp âaìn häöi. 6.4. ĐIỀU KIỆN BIÊN CỦA HÀM ỨNG SUẤT AIRY. Việc giải bài toán phẳng theo ứng suất rút lại thành việc giải phường trình trùng điều hòa (6.12). Nghiệm của phương trình này là hàm ứng suất  phải thỏa mãn điều kiện biên.          ymTxylf Txyml.xf y x (6.15) Xét trường hợp fx = fy = 0 Thay (6.10) vào (6.11) ta có m yx l y f x         2 2 2 . m x l yx f y 2 22 .         (6.16) Theo (H.6.3) ta có : l = cos(n, x) = cos(900 + ) = - sin = - ds dy 49 m = cos(n, y) = cos = ds dx (6.15)  ds dy y f x .2 2      - ds dx yx . 2    = - ds dy yy .             - ds dx yx .             = -          yds d  . (6.17) ds dy yx f y . 2     + ds dx x . 2 2    =         xds d  . Lấy điểm so bất kỳ trên chu tuyến làm gốc : (6.17)   SS x XdsfA y      0   SS y YdsfB x      0  (6.18) Trong đó : A&B : Các hệ số tùy ý, biểu diễn giá trị của đạo hàm 00 , SS xy      của chu vi . X(S) , Y(S) : Ký hiệu mang ý nghĩa tĩnh học sẽ nói đến dưới đây. Để rõ ràng ta đưa ra sự tương tự như sau : Thay chu vi vật thể khảo sát bằng thanh có cùng dạng và cắt tại điểm S0 (H.6.4). Tại đó ta đặt các lực : A // S0x B // S0y Và ngẫu lực C như hình vẽ Như vậy : X(S) & Y(S) : Chính là tổng hình chiếu của các ngoại lực tác dụng lên đoạn S0S chiếu lên trục x & y. + Nếu chúng ta lấy trục t  trục tiếp tuyến ngoài tại điểm S n  pháp tuyến ngoại tại điểm S. Thì :    n  N(S) (6.19) st       = Q(S) (6.20) N(S) : Lực dọc cũng tại điểm S của thanh, được xem là dương  nếu là lực kéo. Q(S) : Lực cắt tại điểm s của thanh. So sánh quan hệ giữa nội lực là moment uốn và lực cắt trong sức bằng vật liệu: 50 x y y z o P x L 2 t  2 t   ds dM Q(s)  ds d Q(s)   = M (6.21) M(s) : Moment của lực đặt trên đoạn S0S của thanh đối với điểm s. Vậy tại điểm trên chu tuyến của vật thể ta có thể xác định giá trị của hàm ứng suất (x,y) và các đạo hàm theo phương pháp tuyến n  tại các điểm ở trên chu vi theo trọng đã cho dựa vào công thức (6.21) và (6.19) , quá trình ///đó giống như tìm moment uốn S lực dọc gây ra bởi tải trọng cho trước trên chu vi nếu tưởng tượng chu vi đó là ////mà cắt ra tại 1 tải diện bất kỳ.  có dạng bất kỳ : Chuỗ Taylor, Furiê, hàm phức,... chuổi đặc biệt.   có dạng đa thức. 6.5. HÀM ỨNG SUẤT DƯỚI DẠNG ĐA THỨC Việc giải bài toán phẳng theo ứng suất là tìm một hàm ứng suất  thỏa mãn 2 yêu cầu : - Phương trình trùng điều hòa - Điều kiện biên + Tính ứng suất trên tấm công chịu lực tập trung đặt tại đầu tự do như hình vẽ 1. Dạng hàm  + Theo kết quả ở sức bền vật liệu: x = y J M Z Z . theo hàm  : x = 2 2 y   (x,y) = ax2 + bxy + cy2 + dx3 + cx2y + fxy2 + gy3 + hx4 + ix3y + ix2y2 + kxy3 + ly4. (a)  phải thỏa mãn phương trình trùng điều hòa : 4 4 x   + 22 4 yx    + 4 4 y   = 0 4 4 x   = h ; 22 4 yx    = j ; 4 4 y   = l.  h + 2j + l = 0   là hàm đa thức bậc 4 đối với x, y 51  h = j =l = 0 (1) x = 2 2 x   = 2c + 2fx + 6gy + 6kxy. y = 2 2 x   = 2c + 6dx + 6ey + 6ixy. (b) Txy = - yx   2 =-(b + 2ex+ 2fy + 3ix2 + 3ky2 2. Các điều kiện : Xét điều kiện biên theo ứng suất : * Biên trên (y =  Lx t ,0; 2  : Txy = 0 , (c) y = 0 (d) * Biên dưới (y =-  Lx t ,0; 2  : Txy = 0 , (e) y = 0 (f) Từ (c) & (e) ta có : 2a +6dx +2e( 2 t )+6ix( 2 t ) = 0 2a + 6dx - 2e 2 t - 6ix 2 t = 0  e = i = 0 e = i=f=0 (2) Từ (d) & (f) ta có : a=d=0 (3) 0 0 2 33 2 22 0 2 33 2 22 2 2 2 2                                   f t kix t fexb t kix t fexb * Biên trái (x = 0, y      2 , 2 tt ) ta có : x= 0 (g) pdFTxy t t    2 2 . (h) Từ (g)  c = g = 0 (5)  Txy = - (- 4 3 kt2 + 3ky2) = 4 3 kt2 - 3ky2  2 2 2 2 2 2 3222 3 3 4 3 )3 4 3 ( t t t t t t kyyktdykyktTxydF              b + 3 4 2 kt =0  b = - 23 kt (4) 52 =                                    3 2 2 2 22 . 4 3 22 . 4 3 t k t kt t k t kt =                   44 3 82 . 4 3 82 . 4 3 3 3 3333 kt kt ktktktkt  = p kt  2 3   k = 3 2 t p  (6)  Txy = 22 3 4 3 kykt  x = 6kxy y = 0 x = 6. 12 )( 6 2 33 t Px xy t p   .y J3 = 12 3 t  x = y Jz Mz . (6.22) M3 = Px z : Trục trung hòa 53 y x z r dr 1 o  d o y x  r      d    dr r r r           d r r    rf drr r r        r R r f CHƯƠNG 7 : BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰC Khi giải bài toán phẳng lý thuyết đàn hồi, trong một số trường hợp dùng tọa độ độc cực sẽ tiện lợi hơn tọa độ Descartes, ví dụ khi nghiên cứu trạng thái ứng suất, biến dạng trong các ống dày, các đĩa quay, thanh cong, tại những miền cạnh lỗ tròn của tấm… Trong tọa độ cực, vị trí một điểm được xác định góc cực  và vectơ bán kính r. 7.1. CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN 1. Các phương trình vi phân cân bằng : Giả sử có vật thể chịu lực song song với mặt phẳng. Tại điểm A(r,,z), ta cắt ra 1 phân tố giới hạn bằng 6 mặt. - 2 mặt trụ đồng trục cách nhau một khoảng dr. - 2 mặt phẳng chứa trục z và tạo với nhau một góc d. - 2 mặt phẳng song song mặt phẳng oxy cách nhau 1 đơn vị Hình 7.1 + Ký hiệu: r là trục theo hướng bán kính,  là trục đi qua điểm đang xét A(r,,z) và vuông góc với r, ứng suất trên các mặt sẽ được ký hiệu như sau: - Các mặt nhận r làm pháp tuyến: + Trên mặt đi qua điểm A(r,,z) có các thành phần ứng suất: r, Tr. + Trên mặt đi qua điểm A(r, + d,z), khai triển theo Taylor có các thành phần ứng suấ:     drr    ,     d r Tr    - fr, f : Lực thể tích hướng tâm và tiếp tuyến tác dụng lên một đơn vị tiếp tuyến. Xét cân bằng của phân tố chịu lực như hình 7.1 : 54 o x y A B D C A1 C1 D1 B1 V U 0... 2 cos.1.)( 2 cos.1.. 2 sin.1.).( 2 sin.1..).)((1...0            drdrf d drd d dr d drd d drddrrdr r drr r r rr r rr                      Vì biến dạng bé nên 22 sin  dd  1 2 cos  d Sau khi bỏ qua các nguyên lượng vô cùng bé và chia cho r.dr.d ta được: 0 1         x r f r rT rr r     (7.1) Tương tự chiếu các lực lên phương  ta được 02 1             f T r T r r r r (7.2) + Định luật đối ứng của ứng suất tiếp : Tr = Tr (7.3) 2. Các phương trình hình học : Chuyển vị của điểm A(r,) theo phương r,  là u,v Chuyển vị của điểm B(r+dr, ) theo 2 phương r,  là : dr r u u    và dr r v v    Chuyển vị của điểm C(r,+d) theo 2 phương r,  là :   d u u    và   d v v    Biến dạng tương đối theo phương r,  là r,  Hình 7.2 *Trước tiên chỉ xét biến dạng do u gây ra khi giữ nguyên góc . Sau biến dạng ABCD  A’B’C’D’ : + Các biến dạng dài : 55 o C A B D x y A' B' D' C'E' U dr r u u      d u u    1 r = r u dr udr r u u AB ABBA          )( '' ; 2. Các phương trình hình học: Chuyển vị của điểm A(r, θ) theo phương r, θ là u, v. Chuyển vị của điểm B(r+dr, θ) theo 2 phương là: dr r u u    và dr r v u    Chuyển vị của điểm C(r, θ+dθ) theo 2 phương là:   d u u    và dv v v    Biến dạng dài tương đối theo phương r, θ là: εr, εθ * Trước tiên chỉ xét biến dạng do u gây ra khi giữ nguyên góc θ. Sau biến dạng ABCD trở thành A’B’C’D’: Hình 7.3 +Các biến dạng dài tương đối: r u dr drdru)dr r u u( AB AB'B'A r           ; r u rd rdd)ur( AB AC'C'A        ; +Biến dạng góc: (a)          u r 1 rd u)d u u( EAC ''' 1 * Xét biến dạng do chuyển vị v gây ra khi giữ nguyên dr. Sau biến dạng ABCD trở thành A’’B’’C’’D’’: 56 D C'' A C o D'' B'' BA'' x y M N v dr r v v   2 (Hình 5.4) + Biến dạng dài:              u rrd ddvd v v AB ACCA 1 )( '''' = + Biến dạng góc: γ2 = (B’’A’’M – NA’’M) (b) = r v r v r v dr vdr r v v         )( Có số hạng (NA”M) = r v trong γ2 là do sự quay toàn phân tố ABCD đối với điểm 0. Cộng (a) và (b) ta có được các quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị trong tọa độ cực: r v r vu r 1 v r 1 r u r u 21 r               (7.4) 3. Các phương trình vật lý: Trong tọa độ cực, có thể có được các phương trình của định luật Hooke trong tọa độ Descartes bằng cách thay x, y bằng r, θ: a. Biểu thức biến dạng qua ứng xuất: εr = E 1 (σr – μσθ) εθ= E 1 (σθ – μσr) (7.5a) γrθ = G 1 Trθ = E )1(2  Trθ 57 b. Biểu thức ứng suất qua biến dạng: σr = 21  E (εr – μεθ) σθ = 21  E (εθ – μεr) (7.5b) Trθ = G.γrθ Ở bài toán biến dạng phẳng thay E, μ bằng E1, μ1 theo cách đặt: 21 1   E E ;      1 1 $7.2. GIẢI BÀI TOÁN PHẲNG THEO ỨNG SUẤT: - Phương trình LeVy  2(σx + σy) = 0 là phương trình giải bài toán phằng theo ứng suất trong hệ tọa độ Descartes. Ta hãy biểu diễn phương trình đó trong hệ tọa độ cực:  2(σx + σy) = 0 σx + σy = σr + σθ = S   2(σr + σθ) = 0 * Liên hệ giữa các thành phần tọa độ Descartes và tọa độ cực: r2 = x2 + y2 (a) tgθ = x y (b) (a)  x r   )( 2 = 2r x r   = 2x  x r   = r x = cosθ y r   )( 2 = 2r y r   = 2y  y r   = r y = sinθ (b)  2 )( x y x x y     = 2cos 1 . x   x  = - 2x y   r x 2 = - r 1 . r y = - r sin (c) y x y   )( = x 1 = 2cos 1 . y   y  = x 1   r x 2 = r 1 . r x = r cos * Như vậy, đối với hàm f(x,y) bất kỳ, trong tọa độ cực: x f   = r f   . x r   +  f . r  = r f   .cosθ -  f . r sin y f   = r f   . y r   +  f . y  = r f   .sinθ -  f . r cos  2 2 x f   = r           r f r f    sin .cos. cosθ -            r f r f    sin .cos. . r sin 58 2 2 y f   = r           r f r f    cos .sin. sinθ -            r f r f    cos .sin. . r cos Sau biến đổi ta nhận được: 2 2 x f   = 2 2 r f   cos2θ -   r f2 . r 2sin +  f 2 2sin r  + r f   r 2sin + 2 2   f 2 2sin r  2 2 y f   = 2 2 r f   sin2θ -   r f2 . r 2sin +  f 2 2sin r  + r f   r 2cos + 2 2   f 2 2cos r  Lấy tổng hai biể thức ta được:  2f = 2 2 x f   + 2 2 y f   = 2 2 r f   + r 1 r f   + 2 1 r 2 2   f   2 = 2 2 r  + r 1 r  + r 1 2 2   (7.7) Thay (7.7) vào (7.6) 0)( 11 2 2 2 2                   r rrrr (7.8) Cũng tương tự như trong hệ tọa độ Descartes trong trường hợp lực thể tích bằng 0, lấy các ứng suất thỏa mãn phương trình cân bằng (7.1), (7.2): r r 1  2 2 2 1        rr 2 2       (7.9) 2 1 r Tr         rrr 21 Trong đó: φ(r, θ): Là hàm ứng suất trong tọa độ cực Thay (7.9) vào (7.8) ta có:               2 2 22 2 11 rrrr                2 2 22 2 11   rrrr = 0   2( 2φ) = 0 (7.10) (7.10): Phương trình trùng điều hòa của bài toán phẳng trong tọa độ cực. $7.3. TÍNH TÁC DỤNG CỦA MỘT LỰC TẬP TRUNG VÀO BIÊN CỦA MỘT TẤM BÁN VÔ HẠN ĐÀN HỒI (Bài toán PhơLamăng) Giả sử có một môi trường đàn hồi được giới hạn bằng một mặt phẳng gọi là không gian bán vô hạn đàn hồi. Trên mặt phẳng chịu tác dụng của tải trọng phân bố đều theo một đường thẳng. Để giải bài toán ta cắt ra một phân tố giới hạn bởi hai mặt phẳng song song và vuông góc với đường tải trọng và cách nhau một đơn vị. (H7.4) 59 1 1 Hình 7.4 Như vậy ta đã đưa bài toán không gian thành bài toán phẳng. Trong trường hợp không gian bán vô hạn giới hạn bởi 2 mặt phẳng song song gần nhau thì được xem là bản vô hạn đàn hồi. Nếu bản mỏng ta coi bài toán này như bài toán trạng thái ứng suất phẳng. Xét bản mỏng vô hạn đàn hồi chịu lực tập trung tác dụng ở biên. Do tính đối xứng qua trục x nên hàm ứng suất φ(r, θ) là 1 hàm chẵn đối với θ nên σr, σθ là hàm chẵn đối với θ. Chọn φ(r, θ) = C.r.θsinθ (7.11) C là hằng số phải xác định sao cho hàm φ(r, θ) thỏa mãn phương trình trùng điều hòa và điều kiện biên: Theo (7.9) ta có: r r 1     cos2 1 2 2 2 r C rr       0 2 2     r   (7.12) Trθ = 0 Qua (7.12) cho thấy trên mặt phẳng vuông góc với bán kính r chỉ có ứng suất pháp σr. σθ = Trθ = 0. Mặt vuông góc với này cũng không có ứng suất. Xác định hằng số C bằng cách tính tổng hình chiếu lên trục các lực pháp tuyến tác dụng lên nửa vòng tròn tâm 0. Σx = 0 0cos).( 2 2      rdFP với dF = r.dθ.1 (1 là bề dày của tấm)    2 2 cos..    rdrP 60 x y r d P o P P    2 2 .cos..cos 2    dr r C     2 2 2 2 2 2 2cos1 2cos2        dCdC 2 2C     C        2 2 2sin 2 1  P C  (7.13) Thay (7.13) vào (7.12) ta có:    cos 2 r P r  σθ = 0 (7.14) Trθ = 0 Từ (7.14) cho thấy: Tại điểm đặt lực P: r = 0 thì σr = ∞. Thực tế khi chịu lực tập trung ở điểm đặt lực có ứng suất cục bộ rất lớn làm cho khu vực tại những điểm xung quanh điểm đặt lực bị chảy dẻo. Ở đây ta không xét khu vực đó mà chỉ áp dụng nghiệm đã rút ra ở ngoài khu vực nói trên. + Tính chất nghiệm của σr: d.cosθ = r rd cos1  (a) Từ (7.14)  d P r P r     2 cos 2   d P r   2  (7.15) Công thức (7.15) cho thấy ứng suất σr của tất cả các điểm cùng một vòng tròn đều như nhau. Vòng tròn đó gọi là đường đẳng suất. Hình 7.15 Ví dụ: cấu kiện chịu nén đúng tâm 61 Tính bản trong hệ tọa độ Descartes: Ta có: f x * = σr.cos(n, x) = σr.l f y * = σr.m Mà: f x * = σx.l + Tyx.m = σx.l Nhân 2 vế của phương trình cho l f y * = Tyx.l + σy.m = σr.m Nhân 2 vế của phương trình cho m  σx.l 2 – σy.m 2 = σr.l 2 – σr.m 2 σx + σy = σr + σθ Ta có: l2 + m2 = 1 σθ = 0  σy = σr - σx.  σx.l 2 – (σr - σx)m 2 = σr.l 2 – σr.m 2  σx.l 2 – σr.m 2 – σx.m 2= σr.l 2 – σr.m 2  σx(l 2 + m2) = σr.l 2  σx = σr.l 2 σy = σr.(1 - l 2) = σrm 2 Txy = σr.l.m. Mà l = cosθ = r x = 22 yx x  m = cosβ = sinθ = 22 yx y   σx = σrcos 2θ = σr. 22 2 yx x  σy = σrsin 2θ = σr. 22 2 yx y  (7.16) Txy = σrsinθcosθ = σr. 22 yx xy  Thay σr = - r P  2 cosθ từ (7.14) vào (7.16) ta có:  yx x y xy r  y x n f*y f*x y x x y r P o r r rx r xy yx  62 x o P y x max 1 2 P1 y P2 Pn y xy yx 1y n 2y 3y x 1y σx = - r P  2 cos3θ = -  P2 .  222 3 yx x  σy = - r P  2 sin2θcosθ = -  P2 .  222 2 yx xy  (7.17) Txy = - r P  2 sinθcos2θ = -  P2 .  222 2 yx yx  Tính chất nghiệm của (7.17):      xx y 0  x P x   2max  * Trong trường hợp có nhiều lực tập trung như hình vẽ, để tính ứng suất tại 1 điểm ta có thể áp dụng nguyên lý cộng tác dụng để tính.   2 x     n i ii i n i i i yx x Pi r Pi 1 222 3 1 3 )( 2cos     2 y     n i ii ii n i i ii yx yx Pi r Pi 1 222 2 1 2 )( 2cossin   (7.18)  2 xyT   n i i ii r Pi 1 2cossin   2  ac yx yx Pi n i ii ii  1 222 2 )( 63 z x o y h dy dx z xb a x b a mÆt trung gian sau biÕn d¹ng tr­íc biÕn d¹ng CHƯƠNG 8 : TẤM MỎNG CHỊU UỐN $8.1. KHÁI NIỆM CHUNG Tấm là vật thể dạng hình trụ hay lăng trụ có chiều cao nhỏ hơn nhiều so với các kích thước ở đáy (h << a, h << b). (Hình 8.1) Hình 8.1 Tùy theo dạng của đáy mà người ta phân ra: tấm tròn, elip, vuông, đa giác, tam giác, chữ nhật… Mặt phẳng chia đôi chiều cao của tấm được gọi là mặt trung gian. Giao tuyến của mặt xung quanh với mặt trung gian gọi là chu tuyến của tấm. Khi nghiên cứu tấm ta chọn mặt tọa độ Oxy trùng với mặt trung gian trục z hướng xuống. Khi đó chuyển vị w theo phương trục z sẽ là độ võng của tấm. Việc chọn gốc tọa độ tùy theo trường hợp cụ thể của dạng chu tuyến và đặc tính liên kết biên. (Hiện nay, người ta đã sử dụng nhiều các tấm trong xây dựng: Tấm lát, tấm panen, các tấm bê tông và bê tông cốt thép để làm mái các nhà công nghiệp, làm móng các nhà lớn…) - Các tấm được dùng trong các kết cấu xây dựng là tấm mỏng. Tấm mỏng là tấm có tỷ số chiều dày h và kích thước nhỏ nhất ở đáy là: 100 1  b h  5 1 Hoặc h wmax  5 1 - Trường hợp b h > 5 1 : Được tính theo lý thuyết tấm dày - Các tấm có b h  100 1 được gọi là màng h wmax > 5 1 Tấm mỏng được tính theo lý thuyết gần đúng, còn gọi là lý thuyết kỹ thuật, dựa trên những giả thiết của (Kirchhoff). 1. Giả thiết pháp tuyến thẳng: Hình 8.2 64 Một phân tố thẳng vuông góc với mặt phẳng trung gian của tấm vẫn thẳng và vuông góc với mặt trung gian sau biến dạng, chiều dài của phân tố đó không thay đổi. Điều kiện pháp tuyến thẳng và vuông góc cho ta biết góc vuông giữa pháp tuyến và các trục x,y vẫn vuông góc. Do đó: γyz = γxz = 0 (8.1) Điều kiện chiều dài của phân tố không đổi: εz = 0 (8.2) 2. Giả thiết về các lớp của tấm không chèn ép lên nhau: Có nghĩa: σz = 0 (8.3) 3. Giả thiết về sự không co giãn của mặt trung gian: Tức mặt trung gian chỉ có chuyển vị theo phương vuông góc với nó, chuyển vị theo các phương khác nhau rất nhỏ nên có thể bỏ qua:      0w 0vu 00 (8.4) Các kết quả tính toán dựa trên các giả thiết trên cho thấy chúng khá phù hợp với thực nghiệm. $8.2 CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG TRONG TẤM CHỊU UỐN Giả sử tấm chịu tải trọng tác dụng vuông góc với mặt trung gian. Khi đó trong tấm phát sinh các chuyển vị. Ta sử dụng các giả thuyết để xác định chúng. Từ giả thuyết 1: εz = 0 hay εz = z w   = 0  Chuyển vị w là hàm không phụ thuộc z  w = w(x,y). Nghĩa là với mọi điểm nằm trên 1 đường vuông góc với mặt trung gian có chuyển vị như nhau. Vì vậy chỉ cần xác định độ võng của mặt trung gian là đủ. Từ (8.1) ta có:                     0 0 z u x w y w z v zx yz                    x w z u y w z v (8.5) Lấy tích phân (8.5) theo z ta có: u = -z x w   +f1(x,y) v = -z y w   +f2(x,y) Trong đó f1, f2 là các hàm của 2 biến (x,y). Để xác định f1(x,y), f2(x,y) Tại z = 0 ta có: u(0) = f1(x,y) ; v(0) = f2(x,y). Theo giả thiết 3 ta có u(0) = f1(x,y) = 0 ; v(0) = f2(x,y) = 0 65 x y yz yx y -h /2 h /2x dx dy z o xy xz            y w z- = v x w z- =u (8.6) Thay (8.6) vào phương trình biến dạng Cauchy ta có: εx = x u   =-z 2 2 x w   εy = y u   =-z 2 2 y w   (8.7) γxy = y u   + x u   =-2z yx w   2 Từ (8.6) và (8.7) cho thấy các thành phần chuyển vị và biến dạng trong tấm chỉ biểu diễn qua một hàm độ võng của mặt trung gian của tấm. $8.3 CÁC THÀNH PHẦN NỘI LỰC TRONG TẤM CHỊU UỐN Xét một phân tố được tách ra từ 2 mặt phẳng vuông góc với trục x cách nhau 1 đoạn dx và 2 mặt phẳng vuông góc với trục y cách nhau 1 đoạn dy. Chiều cao của phân tố bằng bề dày của tấm. Hình 8.3 + Tại điểm có tọa độ z: - Trên mặt vuông góc với trục x có các ứng suất: σx, Txy, Txz. - Trên mặt vuông góc với trục y có các ứng suất: σy, Tyx, Tyz. Theo giả thiết 1 => Txz = Tyz = 0 Trong thực tể các ứng suất này khác 0 vì nếu không có nó, sẽ không thõa mãn điều kiện cân bằng của phân tố được tách ra để khảo sát. Nhưng các ứng suất này nhỏ so với các ứng suất σx, σy, Txy nên có thể bỏ qua. + Khi đã biết biến dạng theo (8.7), dựa vào địng luật Hooke ta nhận được các ứng suất theo chuyển vị w: 66 y x z o dx dy h /2 -h /2 y x z o Mx My Mxy Myx o z x y σx = 21  E (εx + μεy) = 21 .   zE            2 2 2 2 y w x w  ; σy = 21  E (εy + μεx) = 21 .   zE            2 2 2 2 x w y w  ; (8.8) Txy = )1(2  E γxy=   1 Ez . yx w   2 Vì w không phụ thuộc vào z nên từ (8.8) ta thấy các ứng suất σx, σy, Txy là hàm bậc nhất của z. Tức là ứng suất phân bố tỉ lệ bậc nhất với khoảng cách tính từ mặt trung gian.(Góc tọa độ 0 nằm trên mặt trung gian) Hình 8.4 - Đối với ứng suất qui luật phân bố này tương tự như dầm phẳng. - Đối với ứng suất tiếp qui luật phân bố này tương tự như thanh bị xoắn có mặt cắt hình chữ nhật. Những ứng suất này hợp thành những moment uốn và những moment xoắn trên mặt cắt của bản. * Gọi Mx, My là các moment uốn tác dụng trên 1 đoạn mặt cắt ngang dài bằng 1 đơn vị và vuông góc với trục x, trục y. * Mxy và Myx là moment xoắn tác dụng trên 1 đoạn mặt cắt ngang dài bằng 1 đơn vị và vuông góc với trục x, trục y. Qui ước dấu: Mx, My > 0 : Khi căng thớ ở phía (+) của trục z Mxy, Myx > 0 : Khi ta nhìn theo chiều mặt cắt nó quay thuận chiều kim đồng hồ. Hình 8.5 67 * Để xét sự cân bằng của phân tố ta phải tính các nội lực của phân tố: Moment uốn, moment xoắn và các lực cắt tác dụng lên phân tố. 1. Tính moment uốn: a. Tính Mx: (Hình 8.3) Mx.dy =   2 2 h h (σx.dy.dz)(z + 2 dz ) (*) Bỏ qua thành phần VCB bậc cao σx.dy.dz.dz/2: (*)  Mx =   2 2 h h z.σx.dz thay σx = 21 .   zE            2 2 2 2 y w x w  từ (8.8): Ta có Mx = 21 .   zE            2 2 2 2 y w x w    2 2 h h z2dz. = )1(12 . 2 3   hE            2 2 2 2 y w x w  . Đặt: D = )1(12 . 2 3  hE (8.9) D: Độ cứng của bản khi chịu uốn Thay (8.9) vào Mx,ta có: Mx = -D            2 2 2 2 y w x w  (8.10) b. Tính My: (Hình 8.3) My.dx =   2 2 h h (σy.dx.dz)(z + 2 dz ) Tương tự ta có: My = -D            2 2 2 2 x w y w  (8.11) 2. Tính moment xoắn: a. Tính Mxy: Mxy.dy =   2 2 h h (Txy.dy.dz)(z + 2 dz ), bỏ qua cô cùng bé bậc cao 2 dz , ta có:  Mxy =   2 2 h h z.Txy.dz 68 Thay Txy =   1 Ez . yx w   2 từ (8.8) ta có: Mxy =   1 Ez . yx w   2   2 2 h h z2dz = )1(12 )1(. 2 3     hE . yx w   2 Mxy = -D(1-μ) yx w   2 (8.12) b. Tính Myx: Myx.dx =   2 2 h h (Txy.dy.dz)(z + 2 dz ) Tương tự ta có: Myx = + D(1-μ) yx w   2 (8.13) Từ (8.12) và (8.13) ta thấy: Mxy = - Myx (8.14) Kết quả (8.14): Định luật đối ứng của moment xoắn trong tấm mỏng chịu uốn. 3. Tính lực cắt:                 2 2 2 2 ... ... h h h h dzdxTyzdxQy dzdyTxzdyQx (8.15) Quan hệ giữa moment uốn và ứng suất: σx = 21 .   zE            2 2 2 2 y w x w  (a) (8.8)  σy = 21 .   zE            2 2 2 2 x w y w  (b) Từ (8.10)  Mx = )1(12 . 2 3   hE            2 2 2 2 y w x w  (c) (8.11)  My = )1(12 . 2 3   hE            2 2 2 2 x w y w  (d) Theo sức bền vật liệu ta có: σx = Jx Mx .z = 12 . 3h b Mx .z = 3.1 12 h Mx .z Từ (a) và (c) ta có: 69 dx x M M xx    dx x Q Q xx    dx x M M xy xy    dy y Q Q y y    dy y M M y y    dy y M M yx yx   y o z Qy My Myx Qx Mx Mxy dx dy A CB σx = 12 3h Mx .z = 21   E .z            2 2 2 2 y w x w  Từ (b) và (d) ta có: σy = 12 3h My .z = 21   E .z            2 2 2 2 x w y w  Các ứng suất đạt cực trị tại mặt có z = 2 h  Max |σx| = 12 || 3h Mx . 2 h = 2 ||6 h Mx (Wx = 6 .1 2h ) Max |σy| = 2 ||6 h My = My My || $8.4 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CỦA MẶT TRUNG GIAN KHI UỐN TẤM Xét một phân tố có cạnh là dx, dy của mặt trung gian, chịu tác động của ngoại lực phân bố q(x,y) vuông góc với mặt tấm. - Nội lực của phân tố được biễu diễn trên hình (Hình 8.6) Hình 8.6 - Nội lực trên các cạnh bao gồm: Các cạnh vuông góc với Ox: Cạnh OB: Qx, Mx, Mxy. Cạnh AC: Qx + x Qx   .dx, Mx + x Mx   .dx, Mxy + x Mxy   .dx Các cạnh vuông góc với Oy: Cạnh OA: Qy, My, Myx. 70 Cạnh BC: Qy + y Qy   .dy, My + y My   .dy, Myx + y Myx   .dy * Phân tố ở trạng thái cân bằng dưới tác dụng của ngoại lực và nội lực. Từ điều kiện cân bằng có tổng hình chiếu của các lực lên trục z: Σz = 0  - Qx.dy +(Qx + x Qx   .dx).dy – Qy.dx + (Qy + y Qy   .dy).dx + qdxdy = 0  x Qx   + y Qy   + q = 0 (8.16) Viết phương trình moment của các lực đối với trục y: ΣMy = 0  [- Mx +( Mx + x Mx   .dx)].dy + [Myx - (Myx + y Myx   .dy)].dx – (Qy + y Qy   .dy).dx. 2 dx + Qy.dx. 2 dx - (Qx + x Qx   .dx).dydx - qdxdy 2 dx =0 Bỏ qua các đại lượng vô cùng bé bậc cao và chia cho dxdy ta có: x Mx   - y Myx   - Qx = 0 (8.17) x Mx Q x    - y Myx   Thay Mx từ (8.10) và Myx từ (8.13) vào Qx ta có: Qx = - D x             2 2 2 2 y w x w  - D(1-μ) y  yx w   2 = - D x                        2 2 2 2 2 2 2 2 y w y w y w x w   Qx = - D x             2 2 2 2 y w x w (8.18) Tương tự: Qy = - D y             2 2 2 2 y w x w (8.19) Thay Qx và Qy từ (8.18) và (8.19) vào (8.16) ta có: - D 2 2 x             2 2 2 2 y w x w - D 2 2 y             2 2 2 2 y w x w = -q                                        D q y w yx w w x D q w yxyx 4 4 22 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Hay viết dưới dạng toán tử vi phần Laplace: D q )w( 22  (8.20) Phương trình (8.20) là phương trình vi phân của mặt trung gian của tấm khi chịu uốn được gọi là phương trình Sophie-Germain. 71 Khi tích phân (8.20) sẽ xuất hiện các hằng số tích phân, chúng được xác định từ các điều kiện biên. $8.5. CÁC ĐIỀU KIỆN BIÊN 1. Biên ngàm: Tại ngàm độ võng và góc xoay bằng 0:            0 y w 0w by by (8.21) 2. Biên gối khớp: Tại khớp độ võng và moment uốn My = 0. w by = 0 My by = 0  - D            2 2 2 2 x w y w by = 0 Theo phương trục x biên đều thẳng vì vậy độ cong 2 2 x w   = 0  2 2 x w   by = 0 Điều kiện gối khớp:            0 0 2 2 by by y w w (8.22) 2. Biên tự do: Tại biên moment, lực cắt, moment xoắn đều bằng 0.              0Myx 0Qy 0My by by by (8.23) y = b y yy = b y = b y x 72 y x o b b a a A ' A q h $8.6 TÍNH BẢN MỎNG HÌNH E-LIP NGÀM CHU TUYẾN CHỊU TẢI TRỌNG PHÂN BỐ ĐỀU Xét bản mỏng hình ellip ngàm chu tuyến chị tải trọng phân bố đều q. Phương trình Ellip: 01 2 2 2 2  b y a x Tìm hàm độ võng của bản dưới dạng: w(x,y) = C 2 2 2 2 2 1       b y a x (8.24) Trong đó C là hằng số cần xác định sao cho (8.25) thõa mãn phương trình Sophia-Germain D q w  )( 22  D q y w yx w x w          4 4 22 4 4 4 2 (*) Tính các đạo hàm:                                      44 4 443 3 4 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 24 168 8 1 4 1 4 a C x w a Cx a Cx x w a Cx b y a x a C x w b y a x a Cx x w 2222 4 222 3 ba C8 yx w ba Cy8 yx w        Tương tự: 44 4 24 b C y w    (*) D q b C ba C a C  4224 248 2 24  C =        4224 241624 bbaa D q (8.25) Phương trình độ võng w(x,y) phải thõa mãn các điều kiện biên sau: Khi x, y thõa mãn phương trình chu tuyến 01 2 2 2 2  b y a x Thì độ võng w = 0 (1) Các góc xoay 0      y w x w (2) Kiểm tra điều kiện biên: Từ (8.25) cho thấy khi x,y thỏa mãn phương trình chu tuyến thì w = 0 Điều kiện 2: ta có: 01 4 2 2 2 2 2          b y a x a Cx x w khi x, y thỏa mãn phương trình chu tuyến. 01 4 2 2 2 2 2          b y a x b Cy y w khi x, y thỏa mãn phương trình chu tuyến. Vậy các điều kiện biên (1) & (2) đều được thỏa mãn. 73 Phương trình độ võng: w(x,y) = 2 2 2 2 2 4224 1 241624                b y a x bbaa D q (8.26) Nhận thấy wmax của tấm ở tâm O tức là khi x=y=0.  |wmax| =        4224 241624 bbaa D q (8.27) Tính moment uốn trong tấm: Mx= - D            2 2 2 2 y w x w =- D                          1 b y a x b c4 b cy8 1 b y a x a c4 a cx8 2 2 2 2 24 2 2 2 2 2 24 2 My= - D            2 2 2 2 x w y w = - D                          1 b y a x a c4 a cx8 1 b y a x b c4 b cy8 2 2 2 2 24 2 2 2 2 2 24 2 Giá trị Mx tại tâm và 2 đầu trục ngắn:                  2 ax 0y 220xy a DC8 Mx b 1 a 1 DC4Mx (a) Giá trị My tại tâm và 2 đầu trục dài:                  2 by 0x 220xy b DC8 Mx a 1 b 1 DC4My (b) So sánh (a) & (b)  Max | M | = 2 8 a DC (Tại A & A’) Max | σ | = Wx |M|Max = 2h |M|max6 (h: bề dày bản)  Điều kiện: Max | σ | = ][ h |M|max6 2 