Kiến trúc xây dựng - Ổn định của các thanh thẳng

Ổn định của các thanh thẳng Chương 2 2.1. Ổn định của thanh thẳng có liên kết cứng ở hai đầu chịu lực nén đúng tâm ( lý thuyết Euler). 2.2. Ổn định của thanh thẳng chịu lực đặt bất kỳ dọc theo chiều dài thanh. 2.3. Ổn định của thanh thẳng chịu lực nén lệch tâm. 2.4. Ảnh hưởng của lực cắt đến các giá trị của lực tới hạn trong các thanh thẳng chịu nén uốn. 2.5. Ổn định của các thanh ghép. 2.6. Những giới hạn của lý thuyết Euler. 2.7. Sự phá hoại của cột có chiều dài cột bất kỳ : lý thuyết Rankin. 2.8. Ảnh hưởng của hình dạng của tiết diện ngang đến sự mất ổn định của cột. Nội dung 2.1. Ổn định của thanh thẳng chịu lực nén đúng tâm ( lý thuyết Euler) Các thanh thẳng chịu nén trong kết cấu công trình có thể là các cột, các dầm giằng hoặc các thanh chịu nén của dàn Khi lực nén đúng tâm tác dụng vào cột tăng dần đến một giá trị tới hạn  cột sẽ bị uốn theo một phương nào đó tùy thuộc vào hình dạng hình học của cột và các khiếm khuyết của vật liệu Lý thuyết Euler nghiên cứu sự mất ổn định uốn dọc của các thanh có độ mảnh lớn, tuyệt đối thẳng, vật liệu cấu tạo đồng nhất và lực tác dụng một cách chính xác dọc theo đường trục thẳng qua tâm của tiết diện Vật liệu làm việc trong giới hạn đàn hồi 2.1. Ổn định của thanh thẳng chịu lực nén đúng tâm ( lý thuyết Euler) 2.1.1. Thanh có hai đầu liên kết khớp Phương trình vi phân của đường đàn hồi : Moment uốn tại một mặt cắt Z bất kỳ M(z) = Pth v Phương trình đường đàn hồi: A, B : hằng số, Điều kiện biên : tại z = 0 và z = L, v = 0  B = 0 , A sinαL= 0, A ≠0  αL = k π (2.1) (2.2) Hình 2.1. 2.1. Ổn định của thanh thẳng chịu lực nén đúng tâm ( lý thuyết Euler) Khi k = 1  lực tới hạn Euler Hình 2.2. Các dạng mất ổn định của dầm hai đầu khớp ứng với k = 1, 2, 3. (2.3) (2.4) 2.1. Ổn định của thanh thẳng chịu lực nén đúng tâm ( lý thuyết Euler) 2.1.2. Thanh có hai đầu liên kết ngàm M(z) = Pv - Mo Moment uốn tại một mặt cắt Z bất kỳ Phương trình vi phân của đường đàn hồi: Nghiệm tổng quát của Pt. (2.5) Điều kiện biên: tại z = 0 và z = L, v(o) = 0, v’(o) = 0 và v(L) = 0, v’(L) = 0  A, B (2.5) Hình 2.3. 2.1. Ổn định của thanh thẳng chịu lực nén đúng tâm ( lý thuyết Euler) Phương trình đường đàn hồi: 2.1.2. Thanh có hai đầu liên kết ngàm Góc xoay tại một mặt cắt Z bất kỳ: Lực tới hạn: (2.6) (2.7) Thay v’(L) = 0 vào phương trình (2.7)   với k = 0, 2, 4 .... (2.8) 2.1. Ổn định của thanh thẳng chịu lực nén đúng tâm ( lý thuyết Euler) 2.1.3. Thanh có một đầu khớp, một đầu ngàm Moment uốn tại một mặt cắt Z bất kỳ M(z) = Pthv + F(L – z) Phương trình vi phân của đường đàn hồi: Nghiệm tổng quát của Pt. (2.9) (2.9) Điều kiện biên: tại z = 0, v(o) = 0, v’(o) = 0 và tại z = L, v(L) = 0,  A, B Hình 2.4. 2.1. Ổn định của thanh thẳng chịu lực nén đúng tâm ( lý thuyết Euler) Phương trình đường đàn hồi: 2.1.3. Thanh có một đầu khớp, một đầu ngàm Tại z = 0, v(0) = 0   Lực tới hạn: = 4.49 (2.10)  (2.12) (2.11) Hình 2.5. 2.1. Ổn định của thanh thẳng chịu lực nén đúng tâm ( lý thuyết Euler) 2.1.4. Thanh có một đầu liên kết ngàm, một đầu tự do M(z) = -Pth(δ – v) z Moment uốn tại một mặt cắt Z bất kỳ Phương trình vi phân của đường đàn hồi: Nghiệm tổng quát của Pt. (2.13) (2.13) Điều kiện biên: tại z = 0, v(o) = 0, v’(o) = 0 và tại z = L, v(L) = δ,  A, B Hình 2.6. 2.1. Ổn định của thanh thẳng chịu lực nén đúng tâm ( lý thuyết Euler) Phương trình đường đàn hồi: 2.1.4. Thanh có một đầu liên kết ngàm, một đầu tự do Lực tới hạn nhỏ nhất:  Tại z = 0, v’(0) = 0  Nếu αL= với k = 1, 3, 5 ....   (2.14) (2.15) (2.16) Ltt = μL : chiều dài tương đương tính toán của thanh μ là hệ số phụ thuộc vào dạng liên kết ở hai đầu thanh Thanh có hai đầu liên kết ngàm μ = 0.5 Thanh có một đầu liên kết ngàm, một đầu liên kết khớp, μ = 0.7 Thanh có hai đầu liên kết khớp, μ = 1 Thanh có một đầu liên kết ngàm, một đầu tự do , μ = 2 2.1. Ổn định của thanh thẳng chịu lực nén đúng tâm ( lý thuyết Euler) Lực tới hạn: (2.17) 2.2. Ổn định thanh thẳng chịu lực đặt bất kỳ dọc theo chiều dài thanh Phương pháp nghiên cứu: Chia thanh thành từng đọan trong đó chuyển vị và nội lực là liên tục Thiết lập các phương trình vi phân đường đàn hồi cho từng đọan thanh Căn cứ vào điều kiện biên ở các đầu thanh và điều kiện nối tiếp giữa các đọan thanh  thiết lập phương trình ổn định 2.2.1. Thanh thẳng có hai đầu liên kết khớp 2.2. Ổn định thanh thẳng chịu lực đặt bất kỳ dọc theo chiều dài thanh Thiết lập phương trình chuyển vị cho đọan thanh O1C ở trạng thái biến dạng: Moment tại một mặt cắt bất kỳ trong đọan O1C M1(z1 ) = Pv1 – QA z1 Phương trình vi phân của đường đàn hồi  Nghiệm tổng quát của Pt. vi phân (2.18) Điều kiện biên : tại z1 = 0, v1(0) = 0, v’1(0) A, B Pth Hình 2.7. 2.2. Ổn định thanh thẳng chịu lực đặt bất kỳ dọc theo chiều dài thanh 2.2.1. Thanh thẳng có hai đầu liên kết khớp Phương trình chuyển vị cho đọan thanh O1C: Thiết lập phương trình chuyển vị cho đọan thanh O2C ở trạng thái biến dạng: Moment tại một mặt cắt bất kỳ trong đọan O2C : M(z) = QB z2 Phương trình vi phân của đường đàn hồi : Nghiệm tổng quát của Pt. vi phân: Điều kiện biên : tại z =0, v2 = 0, v’2 (0), C1, C2 Phương trình chuyển vị cho đọan thanh O2C: (2.18) (2.19) 2.2. Ổn định thanh thẳng chịu lực đặt bất kỳ dọc theo chiều dài thanh 2.2.1. Thanh thẳng có hai đầu liên kết khớp Điều kiện nối tiếp giữa các đọan thanh  thiết lập phương trình ổn định Điều kiện cân bằng  Điều kiện liên tục v1(C) = v2(C) và v’1(C) = -v’2(C), và điều kiện cân bằng ta được:  v1(C) = v2(C)  v’1(C) = -v’2(C),  vc = v2(b)  (2.20) (2.21) (2.22) Hệ thống phương trình trên có nghiệm  Định thức = 0  tải trọng tới hạn 2.2. Ổn định thanh thẳng chịu lực đặt bất kỳ dọc theo chiều dài thanh 2.2.1. Thanh thẳng có hai đầu liên kết khớp  Và nếu a = b = L/2, và đặt αL = β  Nghiệm của Pt. (2.23) là = 4.23, vậy lực tới hạn nhỏ nhất sẽ là: (2.23) (2.24) 2.2.2. Thanh có một đầu ngàm chịu tác dụng của một số lực tập trung. 2.2. Ổn định thanh thẳng chịu lực đặt bất kỳ dọc theo chiều dài thanh Hình 2.8. Các dạng mất ổn định H 2.8b. đoạn thanh O2C có đường biến dạng như thanh có một đầu ngàm, một đầu tự do. Tại C sẽ có điểm uốn và lực P1 sẽ đi qua điểm C H.2.8c: Đoạn thanh O1C có đường biến dạng giống như thanh có một đầu ngàm, một đầu tự do, tiếp tuyến tại C sẽ thẳng đứng. 2.2. Ổn định thanh thẳng chịu lực đặt bất kỳ dọc theo chiều dài thanh 2.2.2. Thanh có một đầu ngàm chịu tác dụng của một số lực tập trung. 2.2.2.1. Cách tính chính xác: chia thanh ra làm hai đoạn Đoạn thứ nhất: 0≤ z1 ≤ L1 ( gốc toạ độ đặt tại O1) Moment tại một mặt cắt bất kỳ trong đoạn này cho bởi: M1 = -P1(δ – v1) Phương trình vi phân của đường đàn hồi : Điều kiện biên :z1 = 0, v1(0) = δ, và v’1(0) = v’o, Phương trình vi phân của đường đàn hồi : , Trong đó: (2.25) (2.26) Đoạn thứ hai: 0≤ z2 ≤ L2 ( gốc toạ độ đặt tại O2) 2.2.2. Thanh có một đầu ngàm chịu tác dụng của một số lực tập trung. 2.2.2.1. Cách tính chính xác: chia thanh ra làm hai đoạn Moment tại một mặt cắt bất kỳ trong đoạn này cho bởi: Phương trình vi phân của đường đàn hồi : Điều kiện biên :: z2 = 0, v2 = v1 (L1) và v’2 (0) = v’1 (L1) Phương trình của đường đàn hồi : (2.27) (2.28) 2.2. Ổn định thanh thẳng chịu lực đặt bất kỳ dọc theo chiều dài thanh 2.2.2. Thanh có một đầu ngàm chịu tác dụng của một số lực tập trung. 2.2.2.1. Cách tính chính xác: chia thanh ra làm hai đoạn Thay vào phương trình (2.27) và (2.28) điều kiện biên ở ngàm: khi z2 = L2, v2 (0) = 0 và v’2 (0) = 0, Điều kiện tồn tại v’o và δ thì định thức của hệ phương trình (2.29) và (2.30) phải bằng không. Triển khai định thức ta tìm được phương trình ổn định: (2.29) (2.30) (2.31) Phương trình (2.31) thoả mãn với một trong ba trường hợp sau: 2.2.2. Thanh có một đầu ngàm chịu tác dụng của một số lực tập trung. 2.2.2.1. Cách tính chính xác: chia thanh ra làm hai đoạn 2.2. Ổn định thanh thẳng chịu lực đặt bất kỳ dọc theo chiều dài thanh a)  Lúc này hệ sẽ mất ổn định theo dạng như Hình 2.8a b)  Hệ sẽ mất ổn định theo dạng như Hình 2.8b b)  Hệ sẽ có dạng mất ổn định như Hình 2.8c (2.32) (2.33) (2.34) Hình 2.9. 2.2. Ổn định thanh thẳng chịu lực đặt bất kỳ dọc theo chiều dài thanh 2.2.2. Thanh có một đầu ngàm chịu tác dụng của một số lực tập trung. 2.2.2.2. Cách tính gần đúng Hình 2.9a  Hình 2.9b   (2.35) 2.3. Ổn định thanh thẳng chịu lực nén lệch tâm Hình 2.10. Moment uốn tại một mặt cắt bất kỳ cho bởi: M = P(e + v) Phương trình vi phân cuả đường đàn hồi: Điều kiện biên : tại z = 0, v(0) = 0 và khi z = L, v(L) = 0 Phương trình cuả đường đàn hồi: Độ võng lớn nhất (2.36) (2.37) 2.3. Ổn định thanh thẳng chịu lực nén lệch tâm Khi P = 0 thì và vo = 0 Khi P → thì → π/2 và sec → Khi bắt đầu chất tải xuất hiện vo. Khi P vo Khi P vo Vật liệu bị phá hủy ở một giá trị P nào đó < Hình 2.11. 2.4. Ảnh hưởng của lực cắt đến các giá trị của lực tới hạn trong các thanh thẳng Khi thanh bị uốn, ngoài moment uốn trong thanh còn có lực cắt, Gọi: y1 là độ võng của thanh do momem uốn và y2 là độ võng của thanh do lực cắt gây ra Góc trượt γ của phân tố có chiều dài dz do lực cắt Q gây ra: G là modul đàn hồi khi trượt, F là tiết diện mặt trượt, μ là hệ số phụ thuộc hình dạng tiết diện. Độ võng của thanh do momem uốn và lực cắt Hình 2.12. 2.4. Ảnh hưởng của lực cắt đến các giá trị của lực tới hạn trong các thanh thẳng Phương trình vi phân của đường đàn hồi có dạng  Moment tại một tiết diện cắt bất kỳ là:  M = Pv (2.38) Nghiệm của phương trình trên có dạng : Trong đó : 2.4. Ảnh hưởng của lực cắt đến các giá trị của lực tới hạn trong các thanh thẳng Từ các điều kiện biên khi z = 0 và z = L, v = 0, ta tìm được phương trình ổn định : Phương trình này được thỏa với αL = kπ , k = 1, 2, 3, …. k = 1 < 1 Trong đó : Nếu bỏ qua ảnh hưởng của lực cắt thì lực tới hạn sẽ nhỏ hơn lực Euler Ảnh hưởng của lực cắt đối với tải trọng tới hạn bé tính ổn định có thể bỏ qua (2.39) 2.5. Ổn định các thanh ghép Khi thiết kế các thanh chịu lực nén tương đối lớn  dùng các thanh cơ bản ghép lại với nhau để mở rộng tiết diện  ghép với nhau bằng các thanh giằng hay các bản giằng Dưới tác dụng của lực nén  hiện tượng trượt xảy ra trong các thanh giằng  kể đến lực cắt khi tính ổn định. S.P. Timoshenco đã đưa ra cách tính gần đúng: Xem thanh ghép như là thanh đặc nhưng phải kể đến ảnh hưởng của lực cắt. Nối bằng các thanh giằng ngang,  các mối nối được xem là liên kết khớp Nối với nhau bằng các bản giằng,  các mối nối được xem là liên kết ngàm Hình 2.13. 2.5. Ổn định các thanh ghép 2.4.1. Thanh ghép được liên kết bằng các thanh giằng : Góc trượt do lực cắt bằng một đơn vị gây ra : Vì biến dạng nhỏ  Chuyển vị do các lực dọc N trong các thanh giằng : Lực dọc Nn trong thanh giằng ngang : Nn = 1 Lực dọc Nx trong thanh giằng xiên : Nx = 1/cosα α Hình 2.14. Lực Q = 1  2.5. Ổn định các thanh ghép 2.4.1. Thanh ghép được liên kết bằng các thanh giằng : Trong đó: Fx diện tích mặt cắt ngang của thanh giằng xiên. Fn là diện tích mặt cắt ngang của thanh giằng ngang vào phương trình (2.39) Thay Trong đó:J là moment quán tính của tiết diện các thanh cơ bản (2.40) 2.5. Ổn định các thanh ghép Từ công thức (2.40 ): 2.4.1. Thanh ghép được liên kết bằng các thanh giằng :  Pth tỉ lệ với Fx và Fn  Các thanh xiên có tác dụng đảm bảo ổn định tốt hơn thanh ngang Ví dụ : nếu Fx = Fy và góc α = 45o thì Nếu trong mỗi khoang có hai thanh xiên:  một thanh xiên chịu kéo và một thanh xiên chịu nén  thanh ngang không chịu lực Công thức (2.40 )  (2.41) 2.5. Ổn định các thanh ghép 2.4.1. Thanh ghép được liên kết bằng các bản giằng : a) b) h/4 h/2 h/4 Giả thiết khi mất ổn định đường biến dạng của thanh cơ bản có điểm uốn ở giữa mỗi khoang Thay giá trị này vào phương trình (2.39) Jb : moment quán tính của tiết diện hai bản giằng Jc : moment quán tính của một bên thanh cơ bản đối với trục quán tính chính trung tâm của nó. Hình 2.15. 2.6. Những giới hạn của lý thuyết Euler Từ công thức tính lực tới hạn Euler (2.7) Với : J = Ar2 Trong đó λ = L / r là hệ số độ mảnh của cột. (2.42)  ứng suất tới hạn Lý thuyết Euler Ứng suất phá họai thực tế Cường độ phá họai của vật liệu σth λ λ lớn λ nhỏ Cột dài và mảnh: λ lớn  Phá họai do mất ổn định Cột ngắn, tiết diện lớn: λ nhỏ  Phá họai do vật liệu bị nén Hình 2.16. 2.7. Sự phá hoại của cột có chiều dài cột bất kỳ : lý thuyết Rankin Do sự hạn chế của lý thuyết Euler phương pháp thực nghiệm và nửa thực nghiệm dùng để tiên đoán sự phá hoại của cột có chiều dài bất kỳ Lý thuyết phù hợp với thực nghiệm là phương pháp của Rankin Với một lọai vật liệu, Rankin đề nghị rằng : Trong đó: Pn là tải trọng phá hoại của cột ngắn do nén Pth là tải trọng tới hạn do mất ổn định của cột dài và mảnh (2.43) Phương trình (2.43) đúng với cột có chiều rất dài ngắn vì khi đó 1/Pth → 0 thì Pph → Pn. Khi cột dài và mảnh thì 1/Pn rất bé so với 1/Pth và khi đó Pph → Pth phương trình (2.43) thoả cho hai cực của chiều dài cột. 2.7. Sự phá hoại của cột có chiều dài cột bất kỳ : lý thuyết Rankin cường độ của vật liệu do nén ứng suất tới hạn do mất ổn định Thay vào Pt. (2.43) ta được : Như vậy : Trong đó k là một hằng số phụ thuộc vào vật liệu Khả năng chịu nén của cột có chiều dài bất kỳ phụ thuộc vào hệ số độ mảnh của cột. (2.44) 2.8. Ảnh hưởng của hình dạng của tiết diện ngang đến sự mất ổn định của cột Tiết diện ngang của cột có hai trục đối xứng mất ổn định uốn sẽ xảy ra đối với trục có độ cứng nhỏ sự biến dạng võng thường xảy ra trong một mặt phẳng Ví dụ: uốn quanh trục Cx và võng trong mặt phẳng Cyz ( Hình 2.17) Hình 2.17. 2.8. Ảnh hưởng của hình dạng của tiết diện ngang đến sự mất ổn định của cột Diện ngang chỉ có một trục đối xứng, ví dụ Cy như trên Hình 2.18 Khi sự mất ổn định do uốn xảy ra quanh trục trọng tâm chính có độ cứng yếu hơn, thì sự xoắn cũng xảy ra đồng thời Ảnh hưởng của sự xoắn sẽ trở nên quan trọng nếu tâm của lực cắt không trùng với tâm của tiết diện. Hình 2.18. Dạng võng mất ổn định luôn luôn có liên quan đến xoắn Diện ngang không có trục đối xứng, ví dụ như Hình 2.19 Sự mất ổn định phần lớn gây ra do xoắn, uốn chỉ có một đóng góp nhỏ 2.8. Ảnh hưởng của hình dạng của tiết diện ngang đến sự mất ổn định của cột