Giáo trình lý thuyết đàn hồi

CHƯƠNG 1 : KHÁI NIỆM CHUNG §1.1. LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI - MỘT NHÁNH CỦA CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG: Cơ học vật rắn biến dạng là một ngành học lớn, nghiên cứu sự làm việc của vật rắn về mặt cơ học như trạng thái ứng suất, trạng thái chuyển vị và biến dạng…dưới các tác dụng bên ngoài (tải trọng, sự thay đổi nhiệt độ, sự chuyển vị cưỡng bức… Do các đối tượng nghiên cứu, đều kiện làm việc và mức độ yêu cầu nghiên cứu khác nhau nên trong quá trình phát triển, ngành học lớn này chia thành nhiều môn học riêng như sau: 1.Sức bền vật liệu và cơ học kết cấu: (đàn hồi ứng dụng trong kỹ thuật): Chủ yếu nghiên cứu thanh và hệ thanh. Trong quá trình tính toán đã đưa ra các giả thiết để đơn giản việc nghiên cứu từ đó có những kết quả tiện lợi trong vấn đề tính toán. 2. Lý thuyết đàn hồi : Nghiên cứu các vật rắn đàn hồi có hình dạng bất kỳ. 3. Các lý thuyết khác : - Lý thuyết dẻo: Nghiên cứu sự làm việc của vật liệu ở giai đoạn biến dạng dẻo, sự hình thành biến dạng dẻo và các ứng suất tương ứng. - Lý thuyết từ biến: Nghiên cứu sự biến đổi theo thời gian của ứng suất và biến dạng của kết cấu dưới tác dụng của ngoại lực ban đầu (kể cả trường hợp ngoại lực không thay đổi theo thời gian). - Lý thuyết lưu biến (Nghiên cứu về sự chảy của vật chất): Nghiên cứu những định luật chung về sự phát sinh và phát triển của biến dạng theo thời gian của vật chất do những nguyên nhân khác nhau trong những điều kiện nhiệt động và hóa lý khác nhau. Nhìn chung các môn học này đều có đối tượng và phương pháp nghiên cứu khác nhau nhưng mang tính tương đối. Trong thực tế ranh giới giữa các môn học này nhiều khi bị xóa bỏ và xâm nhập lẫn nhau. §1.2. NỘI DUNG, ĐỐI TƯỢNG VÀ CÁC GIẢ THIẾT CỦA LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI 1. Nội dung: Nghiên cứu trạng thái ứng suất, biến dạng, chuyển vị của vật thể đàn hồi dưới các tác dụng bên ngoài (tải trọng, sự thay đổi nhiệt độ, sự chuyển vị cưỡng bức…) 2. Đối tượng: Các vật rắn thực tuân theo các giả thiết cơ bản sau: 3. Các giả thiết cơ bản: a. Vật liệu liên tục, đồng nhất và đẳng hướng: là vật liệu ở tại mọi điểm và theo mọi phương tính chất cơ lý của nó đều như nhau. b. Vật liệu có tính đàn hồi tuyệt đối: theo giả thiết này quá trình tăng tải và giảm tải hoàn toàn thuận nghịch, trong quá trình chịu tải năng lượng hoàn toàn được bảo toàn. c. Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng là bậc nhất tức là vật liệu làm việc tuân theo định luật Hooke. d. Vật liệu ở trạng thái tự nhiên trước khi chịu lực: Ở trạng thái ban đầu, khi vật thể chưa biến dạng thì trong vật thể không phát sinh ứng suất, nghĩa là bên trong vật thể không có ứng suất trước. e. Giả thiết biến dạng bé: theo giả thiết này biến dạng tương đối rất nhỏ so với 1 do đó tích các biến dạng có thể bỏ qua so với biến dạng và so với 1. * Giả thiết biến dạng bé cùng giả thiết quan hệ giữa ứng suất và biến dạng là bậc nhất cho phép ta áp dụng nguyên lý cộng tác dụng khi giải các bài toán. §1.3. NỘI LỰC - ỨNG SUẤT - HỆ THỐNG CÁC KÝ HIỆU 1. Khái niệm nội lực : Trong vật lý, giữa các phần tử vật chất của vật thể luôn luôn tồn tại các lực tương tác. Khi vật thể chịu tác dụng của ngoại lực như tải trọng, sự thay đổi nhiệt độ, sự chuyển vị cưỡng bức.... các lực tương tác này cũng sẽ thay đổi. Lượng thay đổi của các lực tương tác giữa các phần tử của vật thể được gọi là nội lực. 2. Phương pháp mặt cắt, ứng suất và hệ thống các ký hiệu : A B S n A S n dP dF M M - Phương pháp mặt cắt (Đã nghiên cứu trong SBVL và CHKC): là phương pháp làm xuất hiện và để tính các nội lực. Nếu ký hiệu là pháp tuyến ngoài của mặt cắt tại điểm M thì cường độ phân bố nội lực tại điểm M được ký hiệu là và gọi là ứng suất toàn phần. Định nghĩa: Ứng suất toàn phần là nội lực trên một đơn vị diện tích dF có pháp tuyến lấy tại điểm M(x, y, z) đang xét. Biểu thức định nghĩa : : Tổng nội lực trên diện tích vô cùng bé dF chứa điểm M thuộc mặt cắt S nên ứng suất toàn phần là một hàm chứa các biến là M và: * Các cách ký hiệu của ứng suất toàn phần: a. Trong hệ tọa độ Descartes : . sn tnt dF y x Pn Pny Pnx Pnz M(x,y) z n M n Pn t b. Trong Sức bền vật liệu: Trong đó: là ứng suất pháp, có một chỉ số chỉ phương pháp tuyến của mặt cắt. là ứng suất tiếp, có 2 chỉ số, chỉ số thứ nhất chỉ phương pháp tuyến của mặt cắt, chỉ số thứ hai chỉ phương song song với ứng suất tiếp hoặc chứa ứng suất tiếp. c. Trường hợp đặc biệt khi mặt cắt qua điểm M(x, y, z) đang xét lần lượt vuông góc với các trục tọa độ, các pháp tuyến tương ứng trùng với phương của các trục tọa độ: txz txz sx sy tyx tyz sz tzy tzx * Trên mặt cắt vuông góc với trục x : - Ưng suất pháp có phương theo trục x ký hiệu : sx. - Ứng suất tiếp nằm trong mặt phẳng này chia thành hai thành phần theo hai phương y, z: ký hiệu : txy , txz . s*x>0 sx>0 txy>0 t*xy>0 Tương tự : *Trên mặt cắt vuông góc trục y : sy , tyz , tyx . *Trên mặt cắt vuông góc trục z : sz , tzx , tzy. *Quy ước về dấu của các thành phần ứng suất : - Nếu pháp tuyến của mặt cắt hướng theo chiều dương của các trục tọa độ tương ứng, chiều của ứng suất cũng hướng theo chiều dương của các trục tọa độ tương ứng thì ứng suất là dương. - Nếu pháp tuyến của mặt cắt hướng theo chiều âm của các trục tọa độ tương ứng, chiều của ứng suất cũng hướng theo chiều âm của các trục tọa độ tương ứng thì ứng suất là dương. - Các trường hợp khác với những điều nêu trên thì ứng suất là âm. §1.4. CHUYỂN VỊ - BIẾN DẠNG - HỆ THỐNG CÁC KÝ HIỆU 1. Chuyển vị : a. Khái niệm: Chuyển vị là sự thay đổi vị trí của các phần tử vật chất trong vật thể khi vật thể bị biến dạng. b. Các thành phần chuyển vị và ký hiệu : Hình 1.1 Xét điểm M(x,y,z) trong vật thể V Sau khi vật thể biến dạng M(x,y,z) chuyển thành M1(x1, y1, z1) Vectơ là vectơ chuyển vị. Véc tơ chuyển vị có các hình chiếu lên ba trục tọa độ x, y, z là u, v, w. Các điểm M(x,y,z) khác nhau sẽ có các chuyển vị khác nhau nên u, v, w là hàm của điểm M hay là hàm của 3 biến x, y, z . u = u(x,y,z) v = v(x,y,z) w = w(x,y,z) Các chuyển vị bé tức là giá trị của nó nhỏ hơn rất nhiều so với kích thước của vật thể. 2. Biến dạng : a. Khái niệm: Biến dạng là sự thay đổi hình dáng, kích thước của vật thể hoặc của các yếu tố hình học trong vật thể. b. Các thành phần biến dạng và ký hiệu : Để định lượng biến dạng của vật thể, ta xét những thay đổi của các yếu tố hình học như chiều dài, góc, thể tích của vật thể . Biến dạng dài tương đối : Xét một phân tố chiều dài MN = ds theo phương Sau biến dạng MN = ds trở thành M1N1 = ds1 Định nghĩa: Biến dạng dài tương đối, ký hiệu en, là tỷ số Ý nghĩa: Biến dạng dài tương đối là biến dạng của một đơn vị chiều dài, có một chỉ số chỉ phương của biến dạng. Do đó biến dạng dài tương đối theo các phương x, y, z trong hệ tọa độ Descartes là : ex, ex, ez. Biến dạng góc : Xét góc vuông PMN Sau biến dạng PMN trở thành P1M1N1 Định nghĩa: Biến dạng góc, ký hiệu gmn là hiệu số gmn = PMN - P1M1N1 = - P1M1N1 = Ý nghĩa: Biến dạng góc là lượng thay đổi của một góc vuông trong mặt phẳng đang xét, có 2 chỉ số chỉ mặt phẳng xét biến dạng góc. => Biến dạng góc trong các mặt phẳng xoy, yoz, zox là : gxy, gyz, gzx. Biến dạng thể tích tương đối : Xét phân tố có thể tích dV sau biến dạng trở thành dV1. Định nghĩa: Biến dạng thể tích tương đối, ký hiệu q, là tỷ số : q= Ý nghĩa: Biến dạng thể tích tương đối là lượng thay đổi thể tích của một đơn vị thể tích. *Các hàm e, g, q là hàm của các biến x,y,z: e = e(x,y,z) g = g(x,y,z) q= q(x,y,z) Theo giả thiết biến dạng bé ta có: /e/<< 1, /g /<< 1, /q / << 1 Ý nghĩa : Có thể bỏ qua tích của biến dạng so với biến dạng và so với 1. * Qui ước dấu của các thành phần biến dạng - ex , ey , ez > 0 khi chiều dài đang xét dãn dài ra. Ngược lại < 0. - gxy, gyz, gzx > 0 khi các góc vuông bé lại. Ngược lại < 0. §1.5. PHƯƠNG PHÁP, MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU CỦA LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI 1.Phương pháp: Dựa trên cơ sở các phương trình toán học để mô tả các điều kiện cân bằng về mặt cơ học của vật thể, từ đó xác định các đại lượng như ứng suất, biến dạng và chuyển vị của vật thể. 2. Mục đích: Qua môn học này : - Có phương pháp giải các bài toán phức tạp : Như các bài toán có hình dạng và lực tác dụng vượt ra khỏi khuôn khổ của môn học SBVL, CHKC. Những bài toán không tuân theo các giả thiết tính toán cơ bản trong SBVL khi chịu tác dụng của ngoại lực . Các bài toán tấm, vỏ, khối. - Là “chiếc cầu” để đi tới những môn học xa hơn trong cơ học như: Lý thuyết dẻo, lý thuyết từ biến, cơ học phá hủy.....