Giáo trình Cơ học lý thuyết (Tóm tắt lý thuyết & bài tập mẫu)

Ba¯i ta‰p 1.6, [1]). Hai va‰t kho·i lˆÙƠng m1 = 2 kg, m2 = 3 kg no·i vÙ˘i nhau baËng da‚y kho‚ng giaın, kho‚ng troƠng lˆÙƠng. Ke˘o va‰t m2 bÙ˚i lˆƠc 10 N theo phˆÙng tha˙ng Ịˆ˘ng. Haıy tÌnh gia to·c ca˘c va‰t va¯ lˆƠc caÍng da‚y ỊaỴt le‚n m1,m2. 27. Hai va‰t gio·ng nhau kho·i lˆÙƠng mo„i kho·i la¯ M, ỊˆÙƠc no·i vÙ˘i nhau baËng da‚y ma˚nh kho‚ng giaın va¯ co˘ the di chuyeÂn tre‚n maỴt pha˙ng nha˘m naËm ngang (hÏnh 9). Hai va‰t ỊˆÙƠc ke˘o vÙ˘i to·c Ịo‰ kho‚ng ỊoÂi theo ỊˆÙ¯ng tha˙ng baËng sÙƠi da‚y buo‰c va¯o mo‰t va‰t. Cho bie·t sˆ˘c caÍng trong da‚y ke˘o la¯ T0, tÏm sˆ˘c caÍng trong da‚y no·i. Ne·u sˆ˘c caÍng trong da‚y no·i ba·t thÏnh lÏnh taÍng tÙ˘i 4T0, thÏ gia to·c tˆ˘c thÙ¯i cu˚a hai kho·i va¯ sˆ˘c caÍng tˆ˘c thÙ¯i trong da‚y no·i baËng bao nhie‚u? Bài tập về phương trình vi phân chuyển động (bài toán ngược) Bài tập 25 Hình 9: Bài tập 27 28 (Mục 1.3.2 Chuyển động thẳng, [1]). Xác định chuyển động thẳng của cha·t ỊieÂm dˆÙ˘i ta˘c duƠng cu˚a lˆƠc: a) PhuƠ thuo‰c thÙ¯i gian F (t); b) PhuƠ thuo‰c vÚ trÌ F (x); c) PhuƠ thuo‰c va‰n to·c F (˙x). 29 (MuƠc 1.4.2 Dao Ịo‰ng tha˙ng, [1]). Mo‰t va‰t kho·i lˆÙƠng m treo va¯o Ịa‡u mo‰t lo¯ xo co˘ Ịo‰ cˆ˘ng k. a) Xa˘c ỊÚnh chuyeÂn Ịo‰ng cu˚a va‰t khi lo¯ xo ỊˆÙƠc ke˘o giaın mo‰t ỊoaƠn λ va¯ buo‚ng ra kho‚ng va‰n to·c Ịa‡u. b) VÙ˘i Ịie‡u kie‰n Ịa‡u nhˆ ca‚u a), tÏm chuyeÂn Ịo‰ng cu˚a va‰t trong trˆÙ¯ng hÙƠp va‰t chÚu lˆƠc ca˚n cu˚a mo‚i trˆÙ¯ng co˘ Ịo‰ lÙ˘n tÊ le‰ vÙ˘i va‰n to·c µx˙. ChuyeÂn Ịo‰ng cu˚a va‰t seı nhˆ the· na¯o ne·u va‰t co¯n chÚu the‚m lˆƠc kÌch Ịo‰ng tua‡n hoa¯n Q(t)= Q0 sin pt. 30. Ma˘y bay bo nha¯o tha˙ng Ịˆ˘ng ỊaƠt ỊˆÙƠc va‰n to·c 1000 km/h, sau Ịo˘ ngˆÙ¯i la˘i Ịˆa ma˘y bay ra kho˚i hˆÙ˘ng bo nha¯o va¯ vaƠch tha¯nh mo‰t cung tro¯n ba˘n kÌnh R = 600 m trong maỴt pha˙ng tha˙ng Ịˆ˘ng. TroƠng lˆÙƠng ngˆÙ¯i la˘i la¯ 800 N. Ho˚i ngˆÙ¯i la˘i Ịaı e˘p le‚n ghe· ngo‡i mo‰t lˆƠc cˆƠc ỊaƠi baËng bao nhie‚u. 31. ? Mo‰t qua˚ ca‡u kho·i lˆÙƠng m rÙi tha˙ng Ịˆ˘ng trong mo‚i trˆÙ¯ng cha·t lo˚ng va¯ chÚu lˆƠc ca˚n tÊ le‰ vÙ˘i va‰n to·c, FC = kv, k la¯ he‰ so· ca˚n, gia to·c troƠng trˆÙ¯ng g. Xa˘c ỊÚnh va‰n to·c, phˆÙng trÏnh chuyeÂn Ịo‰ng cu˚a qua˚ ca‡u. Gia˚ thie·t v(0) = 0,y(0) = 0. 32. ? Mo‰t va‰t naỴng P rÙi tˆƠ do kho‚ng va‰n to·c Ịa‡u. Sˆ˘c ca˚n cu˚a kho‚ng khÌ le‰ vÙ˘i bÏnh phˆÙng va‰n to·c, R = k2Pv2 (k la¯ haËng so·). Xa˘c ỊÚnh va‰n to·c vu˚a va‰t taƠi thÙ¯i ỊieÂm t va¯ va‰n to·c giÙ˘i haƠn cu˚a no˘. 33. ? Mo‰t vie‚n ỊaƠn chuyeÂn Ịo‰ng trong maỴt pha˙ng Oxy tˆ¯ go·c O vÙ˘i va‰n to·c Ịa‡u V0 le‰ch so vÙ˘i phˆÙng ngang go˘c α. Gia˚ sˆ˚ bo˚ qua lˆƠc ca˚n kho‚ng khÌ. a) TÏm va‰n to·c, quyı ỊaƠo chuyeÂn Ịo‰ng cu˚a vie‚n ỊaƠn. 2 2 b) Xa˘c ỊÚnh α Ịe vie‚n ỊaƠn baÈn tru˘ng muƠc tie‚u M(v0/2g, V0 /4g). Bài tập về các định lý tổng quát Bài tập 26 34. Chứng tỏ rằng, nếu một hệ di chuyển từ trạng thái nghỉ đe·n traƠng tha˘i kha˘c trong khoa˚ng thÙ¯i gian na¯o Ịo˘, thÏ trung bÏnh cu˚a lˆƠc ngoa¯i toa¯n phần trong khoảng thời gian này phải bằng không. Áp dụng: Một đồng hồ cát khối lượng m đặt trên mặt sàn cố định. Áp lực do đồng hồ lên mặt sàn là số đo trọng lượng biểu kie·n cu˚a Ịồng hồ. Cát ở trạng thái nghỉ trong khoang trên, lúc t = 0, bắt đầu chảy xuống khoang dưới. Cát đến trạng thái nghỉ ở khoang dưới sau khoảng thời gian τ. Tìm trung bình theo thời gian trọng lượng biểu kie·n cu˚a Ịồng hồ trong khoảng thời gian [0, τ]. Trọng lượng biểu kiến của đồng hồ không phải là hằng số! Hãy chứng minh, khi cát đang chảy, trọng lượng biểu kiến của đồng hồ lớn hơn trọng lượng thực (trọng lượng tĩnh). 35. ? Một tia nước chảy từ một vòi phun với vận tốc v = 10 m/s và trực giao với tường cứng. Đường kính vòi d = 4 cm. Bỏ qua sự nén được của nước. Hãy xác định áp lực của tia nước lên tường. Coi các phần tử nước sau khi va chạm có vận tốc hướng dọc theo tường. Hình 10: Bài tập 35 ? 36. Hai vật A và B có kho·i lˆÙƠng la‡n lˆÙƠt la¯ m1 va¯ m2 ỊˆÙƠc no·i vÙ˘i nhau bÙ˚i sÙƠi da‚y kho‚ng giaın kho‚ng troƠng lˆÙƠng vo¯ng qua ro¯ng roƠc. Va‰t A trˆÙƠt tre‚n maỴt KL va¯ va‰t B trˆÙƠt tre‚n maỴt EK cu˚a laÍng truƠ DEKL co˘ kho·i lˆÙƠng m3 va¯ naËm tre‚n maỴt nha¸n nằm ngang. Xác định dịch chuyển s của lăng trụ khi vật A trượt xuo·ng mo‰t ỊoaƠn l. Bie·t ban Ịa‡u he‰ Ịˆ˘ng ye‚n. 37. Mo‰t chie·c thuye‡n kho·i lˆÙƠng M Ịˆ˘ng ye‚n tre‚n maỴt nˆÙ˘c ye‚n tÛnh va¯ mo‰t ngˆÙ¯i Ịa¯n o‚ng kho·i lˆÙƠng m Ù˚ muıi thuye‡n. NgˆÙ¯i na¯y Ịˆ˘ng da‰y Ịi xuo·ng Ịuo‚i thuye‡n ro‡i ngo‡i xuo·ng. Ne·u nˆÙ˘c ca˚n chuyeÂn Ịo‰ng vÙ˘i lˆƠc tÊ le‰ vÙ˘i va‰n to·c cu˚a thuye‡n, chˆ˘ng to˚ raËng thuye‡n seı Ịe·n va¯ dˆ¯ng Ù˚ vÚ trÌ ban Ịa‡u cu˚a no˘. [Ke·t qua˚ na¯y Ịo‰c la‰p vÙ˘i haËng so· ca˚n va¯ chi thie·t chuyeÂn Ịo‰ng cu˚a ngˆÙ¯i.] Bài tập 27 Hình 11: Bài tập 36 Hình 12: Bài tập 37 38. ? Một ta·m tro¯n Ịo‡ng cha·t naỴng Q ba˘n kÌnh r co˘ the quay kho‚ng ma sa˘t quanh truƠc tha˙ng Ịˆ˘ng Oz trˆƠc giao vÙ˘i maỴt pha˙ng ỊÛa. Mo‰t ngˆÙ¯i troƠng lˆÙƠng P Ịi theo me˘p ta·m tro¯n vÙ˘i va‰n to·c tˆÙng Ịo·i u kho‚ng ỊoÂi. Ban Ịa‡u he‰ Ịˆ˘ng ye‚n, ho˚i ta·m tro¯n quay quanh truƠc vÙ˘i va‰n to·c go˘c ω baËng bao nhie‚u? HÏnh 13: Ba¯i ta‰p 38 39. ? TruƠc hÏnh truƠ troƠng lˆÙƠng P ba˘n kÌnh R quay ỊˆÙƠc xung quanh truƠc naËm ngang nhÙ¯ qua˚ ca‚n A co˘ troƠng lˆÙƠng Q treo va¯o sÙƠi da‚y qua·n quanh hÏnh truƠ (xem hÏnh 14). Bo˚ qua kho·i lˆÙƠng cu˚a da‚y va¯ ma sa˘t Ù˚ o truƠc. Haıy xa˘c Bài tập 28 định gia to·c go˘c trong chuyeÂn Ịo‰ng quay cu˚a hÏnh truƠ khi va‰t A co˘ chuyeÂn Ịo‰ng tha˙ng Ịˆ˘ng. HÏnh 14: Ba¯i ta‰p 39 ? 40. Hai va‰t A va¯ B naỴng P1 va¯ P2 ỊˆÙƠc no·i vÙ˘i nhau baËng sÙƠi da‚y me‡m kho‚ng giaın kho‚ng troƠng lˆÙƠng va¯ vắt qua ròng rọc O bán kính r trọng lượng Q. Cho P1 > P2, kho·i lˆÙƠng ro¯ng roƠc pha‚n bo· Ịe‡u tre‚n va¯nh. Xa˘c ỊÚnh gia to·c va‰t A. HÏnh 15: Ba¯i ta‰p 40 41. ? Cho tay quay OA chie‡u da¯i r trong cÙ ca·u thanh truye‡n quay vÙ˘i va‰n to·c go˘c ω0. Thanh truye‡n OB cuıng co˘ chie‡u da¯i r. Tay quay va¯ thanh truyền là đồng chất và có kho·i lˆÙƠng rie‚ng la¯ ρ (tre‚n ỊÙn vÚ da¯i). TÌnh Ịo‰ng naÍng cu˚a cÙ he‰. HÏnh 16: Ba¯i ta‰p 41 Bài tập 29 42. ? Một dây không giãn, không trọng lượng được qua·n va¯o Ịa‡u ỊÛa tro¯n Ịồng cha·t kho·i lˆÙƠng m ba˘n kÌnh r, co¯n Ịa‡u kia buo‰c va¯o ỊieÂm co· ỊÚnh A. Khi da‚y lÙi ra, hÏnh truƠƠ rÙi xuo·ng kho‚ng va‰n to·c Ịa‡u. Xa˘c ỊÚnh va‰n to·c v cu˚a ta‚m ỊÛa tro¯n khi no˘ rÙi xuo·ng mo‰t ỊoaƠn h. Xa˘c ỊÚnh gia to·c ta‚m C va¯ sˆ˘c caÍng da‚y. HÏnh 17: Ba¯i ta‰p 42 43. Mo‰t hÏnh truƠ troƠng lˆÙƠng P1 co˘ cuo‰n xung quanh baËng mo‰t sÙƠi da‚y. Da‚y vaÈt qua ro¯ng roƠc co· ỊÚnh O ro‡i no·i vÙ˘i va‰t A naỴng P2. Va‰t A trˆÙƠt tre‚n maỴt pha˙ng naËm ngang co˘ he‰ so· ma sa˘t f. Bo˚ qua ma sa˘t Ù˚ o truƠc O, tÏm gia to·c cu˚a va‰t A va¯ cu˚a ta‚m C hÏnh truƠ. HÏnh 18: Ba¯i ta‰p 43 Cơ học giải tích Bài tập về phương trình Lagrange 44. ? Mo‰t haƠt kho·i lˆÙƠng m di chuyeÂn dˆÙ˘i ta˘c duƠng cu˚a lˆƠc ha·p da„n do kho·i lˆÙƠng M co· ỊÚnh ỊaỴt taƠi go·c. La·y toƠa Ịo‰ cˆƠc r, θ la¯m toƠa Ịo‰ suy ro‰ng, vie·t phˆÙng trÏnh Lagrange loaƠi hai cho chuyeÂn Ịo‰ng cu˚a haƠt. TÏm mo‰t tÌch pha‚n Ịa‡u va¯ gia˚i thÌch y˘ nghÛa cÙ hoƠc cu˚a no˘. Bài tập 30 Hình 19: Bài tập 44 Hình 20: Bài tập 45 45. ? Một hạt P kho·i lˆÙƠng m trˆÙƠt tre‚n maỴt trong trÙn cu˚a hÏnh no˘n tro¯n xoay co˘ go˘c Ù˚ ỊÊnh bằng 2α. Trục đo·i xˆ˘ng cu˚a hÏnh no˘n tha˙ng Ịˆ˘ng qua ỊÊnh O hˆÙ˘ng xuo·ng. ChoƠn ca˘c toƠa Ịo‰ suy ro‰ng: r, khoa˚ng ca˘ch OP , va¯ ϕ, go˘c phˆÙng vÚ Ịo·i vÙ˘i maỴt pha˙ng co· ỊÚnh Ịi qua truƠc hÏnh no˘n. Vie·t he‰ phˆÙng trÏnh Lagrange. Chˆ˘ng to˚ raËng ϕ la¯ toƠa Ịo‰ cyclic va¯ tÏm mo‰t tÌch pha‚n Ịa‡u. Gia˚i thÌch y˘ nghÛa cÙ hoƠc cu˚a tÌch pha‚n Ịa‡u na¯y. 46. ? Xe˘t va‰t kho·i lˆÙƠng m trˆÙƠt tre‚n mo‰t maỴt be‚n trÙn nghie‚ng go˘c α cu˚a ne‚mƠ kho·i lˆÙƠng M, ne‚m na¯y laƠi trˆÙƠt tre‚n maỴt pha˙ng trÙn naËm ngang nhˆ hÏnh 21. Toa¯n bo‰ chuyeÂn Ịo‰ng la¯ pha˙ng. Vie·t phˆÙng trÏnh Lagrange loaƠi HÏnh 21: Ba¯i ta‰p 46 hai cho he‰ na¯y va¯ suy ra (i) gia to·c cu˚a ne‚m, va¯ (ii) gia to·c tˆÙng Ịo·i cu˚a va‰t (Ịo·i vÙ˘i ne‚m). Bài tập 31 47. ? Hình 22 vẽ một hình trụ tâm G bán kính a lăn không trượt trên maỴt trong cu˚a mo‰t maỴt truƠ co· ỊÚnh ta‚m O ba˘n kÌnh b>a. Vie·t phˆÙng trÏnh Lagrange loaƠi hai, suy ra chu ky¯ dao Ịo‰ng be˘ cu˚a hÏnh truƠ quanh vÚ trÌ ca‚n baËng. HÏnh 22: Ba¯i ta‰p 47 48. ? Cho he‰ nhˆ hÏnh 23. —ˆÙ¯ng ray trÙn va¯ lˆƠc cho trˆÙ˘c F (t) ta˘c Ịo‰ng HÏnh 23: Ba¯i ta‰p 48 le‚n va‰t P2. Bo˚ qua troƠng lˆƠc. Vie·t he‰ phˆÙng trÏnh Lagrange loaƠi hai cho he‰. TrˆÙ¯ng hÙƠp tÌnh Ịe·n troƠng lˆƠc thÏ sao? 49. TÏm quy lua‰t chuyeÂn Ịo‰ng cu˚a vie‚n bi B chuyeÂn Ịo‰ng doƠc trong o·ng OA Ịang quay Ịe‡u trong maỴt pha˙ng naËm ngang vÙ˘i va‰n to·c go˘c ω. TaƠi thÙ¯i ỊieÂm ban Ịa‡u vie‚n bi ca˘ch O mo‰t ỊoaƠn baËng A va¯ co˘ va‰n to·c doƠc theo o·ng baËng kho‚ng. HÏnh 24: Ba¯i ta‰p 49 50. Vie·t phˆÙng trÏnh Lagrange loaƠi hai cho chuyeÂn Ịo‰ng cu˚a con laÈc ke˘p pha˙ng (xem hÏnh 25). Gia˚ sˆ˚ kho·i lˆÙƠng cu˚a A va¯ B baËng nhau va¯ baËng m. Bài tập 32 Hình 25: Bài tập 50 51. Vie·t phˆÙng trÏnh Lagrange loaƠi hai cho chuyeÂn Ịo‰ng cu˚a con lắc gồm cha·t ỊieÂm kho·i lˆÙƠng m treo tre‚n da‚y qua·n va¯o hÏnh truƠ co· ỊÚnh ba˘n kÌnh r (xem hÏnh 26). —o‰ da¯i cu˚a pha‡n da‚y buo‚ng thoıng taƠi vÚ trÌ ca‚n baËng la¯ l. Bo˚ qua kho·i lˆÙƠng cu˚a da‚y. HÏnh 26: Ba¯i ta‰p 51 52. Ca˘c Ịa‡u mu˘t cu˚a thanh Ịo‡ng cha·t AB, co˘ kho·i lˆÙƠng m, da¯i 2a trˆÙƠt kho‚ng ma sa˘t theo ca˘c thanh naËm ngang va¯ tha˙ng Ịˆ˘ng cu˚a mo‰t khung quay quanh thanh tha˙ng Ịˆ˘ng (xem hÏnh 27). Vie·t phˆÙng trÏnh Lagrange loaƠi hai cho chuyeÂn Ịo‰ng cu˚a thanh khi khung quay vÙ˘i va‰n to·c go˘c kho‚ng ỊoÂi ω. HÏnh 27: Ba¯i ta‰p 52 Lời giải một so· ba¯i ta‰p Trong Lời giải một so· ba¯i ta‰p thÊnh thoa˚ng chu˘ng to‚i co˘ chua the‚m gia˚i thÌch, nha‰n xe˘t, hoaỴc bÏnh lua‰n. Ca˘c no‰i dung na¯y ỊˆÙƠc ỊaỴt trong da·u ngoaỴc vuo‚ng va¯ ỊˆÙƠc in nghie‚ng Ịe pha‚n bie‰t. 14 Từ phương trình vi phân ta suy ra dr2 r˙ r = 2r r˙ = 0 r = R (const) (a) ⊥ ⇒ dt · ⇒ d(r c) r˙ c · = r˙ c = 0 r c = const (b) ⊥ ⇒ dt · ⇒ · Từ đẳng thức (b) ta tha·y hÏnh chie·u cu˚a P le‚n truƠc Ịi qua O co˘ vectÙ chÊ phˆÙng c la¯ ỊieÂm co· ỊÚnh, goƠi la¯ Q; hay no˘i ca˘ch kha˘c, P luo‚n luo‚n naËm tre‚n maỴt pha˙ng co· ỊÚnh Ịi qua ỊieÂm Q va¯ nha‰n c la¯m pha˘p vectÙ. Cu¯ng vÙ˘i Ịa˙ng thˆ˘c (a) ta ru˘t ra quyı ỊaƠo cu˚a P la¯ ỊˆÙ¯ng tro¯n. Ky˘ hie‰u v = r˙ la¯ va‰n to·c va¯ w = ¨r la¯ gia to·c. Ta co˘ [baËng ca˘ch la·y ỊaƠo ha¯m hai ve· phˆÙng trÏnh vi pha‚n] ¨r = r˙ c v w = 0. × ⇒ · Va‰y P chuyeÂn Ịo‰ng vÙ˘i to·c Ịo‰ kho‚ng ỊoÂi. 15 [Chu˘ y˘ Ịe·n ca˘c mo·i lie‚n he‰ giˆıa ỊieÂm M (ca‡n kha˚o sa˘t) vÙ˘i ca˘c ỊieÂm ma¯ gia˚ thie·t cu˚a ba¯i toa˘n cho bie·t chuyeÂn Ịo‰ng. Du¯ng toƠa Ịo‰ descartes.] Ta co˘: - OA = (2a cos ωt, 2a sin ωt), - OB = (2xA, 0) = (4a cos ωt, 0). 33 Lời giải một so· ba¯i ta‰p 34 Suy ra - 1 - - OM= (OA + OB)=(3a cos ωt,a sin ωt). 2 Phương trình chuyển động của M: x = 3a cos ωt y = a sin ωt  Quỹ đạo (khử t từ phương trình chuyển động): x2 y2 + = 1. 9a2 a2 Vận to·c: x˙ = 3aω sin ωt, y˙ = aω cos ωt. − Gia to·c: x¨ = 3aω2 cos ωt, y¨ = aω2 sin ωt. − − —e tÌnh gia to·c tie·p ta ca‡n tÌnh to·c Ịo‰ (mo‚Ịun vectÙ va‰n to·c) v = a ω 1 + 8 sin2 ωt. | | Gia to·c tie·p: p 4a ω ω sin 2ωt wt =v ˙ = | | . √1 + 8 sin2 ωt —e tÌnh gia to·c pha˘p ta ca‡n Ịe·n mo‚Ịun vectÙ gia to·c: w = aω2√1 + 8 cos2 ωt. Gia to·c pha˘p: aω2 9 12 sin2 2ωt w = w2 w2 = . n t − 2 − √p1 + 8 sin ωt p Lời giải một so· ba¯i ta‰p 35 Chu˘ y˘, gia to·c pha˘p luo‚n luo‚n la¯ so· dˆÙng! 16 Chuyển động của tâm C là chuyển động thẳng đều vận to·c v0. Do ba˘nh xe laÍn kho‚ng trˆÙƠt ne‚n Rϕ = v0t (gia˚ thie·t lu˘c t = 0 ỊieÂm M nằm ở go·c toƠa Ịo‰ O). - - He‰ thˆ˘c lie‚n he‰ OM vÙ˘i OC - - - OM=OC + CM . Chie·u he‰ thˆ˘c vectÙ xuo·ng ca˘c truƠc toƠa Ịo‰ 3π v0t x = xC + R cos 2 ϕ x = v0t R sin R − − v0t y = yC + R cos(π ϕ) ⇔ y = R R cos  −
 − R Va‰n to·c: v t v t v t x˙ = v 1 cos 0 , y˙ = v sin 0 v = v 2 1 cos 0 . 0 − R 0 R ⇒ 0 − R   s   Gia to·c: v2 v t v2 v t v2 x¨ = 0 sin 0 , y¨ = 0 cos 0 w = 0 . R R R R ⇒ R —e tÌnh ba˘n kÌnh cong ta ca‡n bie·t gia to·c tie·p, 2 v0t v0 sin R wt =v ˙ = , R 2 1 cos v0t − R q
gia to·c pha˘p 2 2 2 v0 v0t wn = w wt = 2 1 cos . − 2Rs − R p   Lời giải một so· ba¯i ta‰p 36 Suy ra v2 v t v t ρ = = 2R 2 1 cos 0 = 4R sin 0 . w − R 2R n s     20 Vận to·c cu˚a (1): x˙ = 140t (cm/s). Do Ịai chuye‡n, ba˘nh xe (2) chuyeÂn Ịo‰ng quay vÙ˘i va‰n to·c go˘c ω2 tho˚a −1 ω2r2 = 140t suy ra ω2 = 14t/3 (s ) [va‰n to·c cu˚a ỊieÂm tre‚n va¯nh ba˘nh xe (2) baËng va‰n to·c cu˚a va‰t (1)]. Ba˘nh xe (3) chuyeÂn Ịo‰ng quay vÙ˘i va‰n to·c go˘c ω3 tho˚a ω2R2 = ω3R3 −1 suy ra ω3 = R2ω2/R3 = 35t/9 (s ) [ba˘nh xe (3) va¯ ba˘nh xe (2) no·i vÙ˘i nhau baËng Ịai chuye‡n. Du¯ng co‚ng thˆ˘c chuyền động]. —ieÂm M gaÈn vÙ˘i ba˘nh xe (3) chuyeÂn Ịo‰ng quay quanh truƠc. Va‰n to·c cu˚a M la¯ v = ω3r3 = 1400t/9 (cm/s). Gia to·c go˘c cu˚a ba˘nh xe (3) la¯ 3 = 2 2 35/9 (1/s ) ne‚n gia to·c tie·p cu˚a M la¯ wt = 3r3 = 1400/9 (cm/s ) va¯ gia to·c 2 2 2 pha˘p cu˚a M la¯ wn = ω3r3 = 19000t /81 (cm/s ) [xem lại các công thức liên quan đe·n chuyeÂn Ịo‰ng cu˚a co· the quanh mo‰t truƠc]. ThÙ¯i ỊieÂm (1) Ịi ỊˆÙƠc s =40 (cm) la¯ t = 2/√7, thay va¯o ca˘c bieÂu thˆ˘c tre‚n ta ỊˆÙƠc ke·t qua˚ ca‡n tÏm. [Chu˘ y˘, ke·t qua˚ tÌnh va‰n to·c, gia to·c tie·p, gia to·c pha˘p cu˚a ỊieÂm M chÊ la¯ Ịo‰ lÙ˘n. —e xa˘c ỊÚnh hˆÙ˘ng cu˚a ca˘c vectÙ na¯y ta ca‡n xe˘t the‚m chie‡u quay cu˚a ca˘c ba˘nh xe lie‚n ke·t vÙ˘i nhau!] 21 ChuyeÂn Ịo‰ng tˆÙng Ịo·i cu˚a M Ịo·i vÙ˘i hÏnh no˘n (he‰ toƠa Ịo‰ Ịo‰ng) la¯ chuyeÂn Ịo‰ng tha˙ng Ịe‡u ne‚n gia to·c tˆÙng Ịo·i wr baËng kho‚ng. ChuyeÂn Ịo‰ng theo la¯ chuyeÂn Ịo‰ng tro¯n vÙ˘i va‰n to·c go˘c ω -kho‚ng ỊoÂi ne‚n va‰n to·c theo cu˚a M la¯ ve = ~ω r, trong Ịo˘ ~ω = ωk, r =OM. Gia to·c theo (du¯ng co‚ng thˆ˘c Gibbs): × dv w = e =(~ω r)~ω ω2r. e dt · − —e y˘ raËng ~ω r = ωr cos α ne‚n · − w = ω2r cos αk ω2rr , e − − 0 trong Ịo˘ r0 la¯ vectÙ ỊÙn vÚ cu˚a r. Ne·u pha‚n tÌch vectÙ r0 tha¯nh r = cos αk + sin αu 0 − Lời giải một so· ba¯i ta‰p 37 với u là vectơ đơn vị trực giao với k (trục z) và nằm trong mặt phẳng (AOM), thì w = ω2r sin αu. e − Gia tốc Coriolis của M: w = 2~ω v = 2ωv sin αv, c × r r trong đó v là vectơ đơn vị của vectơ k v r, vectơ này vuông góc với maỴt pha˙ng (AOM). × AŸp duƠng co‚ng thˆ˘c co‰ng gia to·c, w = ω2r sin αu + 2ωv sin αv, a − r gia to·c na¯y naËm trong maỴt pha˙ng vuo‚ng go˘c vÙ˘i OA. TaƠi thÙ¯i ỊieÂm t, r = vrt + a, w = ω2(v t + a) sin αu + 2ωv sin αv. a − r r 23 He‰ toƠa Ịo‰ co· ỊÚnh Oxy gaÈn vÙ˘i ne‡n. He‰ toƠa Ịo‰ Ịo‰ng Cs gắn với mặt nghiêng của nêm. Hình 28 vẽ hai vị trí của nêm, trong đó hình vẽ không Hình 28: Hai vị trí trước và sau của nêm (bài tập 23). liền nét ứng với vị trí ban đầu của nêm. Thanh AB chuyển động tịnh tiến, vận tốc của thanh được cho bởi vận to·c cu˚a A. —ieÂm A0 la¯ vÚ trÌ ban Ịa‡u cu˚a A (trong he‰ co· ỊÚnh). Ta co˘: HA = ∆x, ∆yA = HA tan α = ∆x tan α, suy ra va‰n to·c tuye‰t Ịo·i cu˚a thanh AB: va(A)= v tan α, hˆÙ˘ng tha˙ng Ịˆ˘ng le‚n tre‚n. Ke·t qua˚ nha‰n ỊˆÙƠc baËng ca˘ch chia hai ve· cho ∆t, ro‡i qua giÙ˘i haƠn, ∆t 0. → —ieÂm A00 la¯ vÚ trÌ ban Ịa‡u cu˚a A tre‚n ne‚m. Ta co˘: A0A00 = ∆s cos α, 0 00 A A = HA = ∆x, suy ra va‰n to·c tˆÙng Ịo·i cu˚a A: vr(A) = v/cosα, hˆÙ˘ng ngˆÙƠc chie‡u vÙ˘i s. Du¯ng dˆı lie‰u so·: o o va(A) = 30 tan 30 = 10√3 (cm/s), vr(A) = 30/ cos 30 20√3 (cm/s). Lời giải một so· ba¯i ta‰p 38 Ta co˘ the gia˚i bằng công thức hợp vận to·c. TrˆÙ˘c he·t, Ịe y˘ raËng va‰n to·c cu˚a ne‚m v la¯ va‰n to·c theo cu˚a A, ve(A)= v. TÌnh va‰n to·c tˆÙng Ịo·i cu˚a A, vr(A) (nhˆ tre‚n) ro‡i du¯ng co‚ng thˆ˘c hÙƠp va‰n to·c tÌnh va‰n to·c tuye‰t Ịo·i cu˚a A, va(A). 24 Gọi I, ωAB lần lượt là tâm quay tức thời, vận to·c go˘c tˆ˘c thÙ¯i cu˚a thanh o AB. —ieÂm I chÌnh la¯ giao ỊieÂm cu˚a O1A va¯ O2B. ‘¤ vÚ trÌ α = β = 60 tam gia˘c O1IO2 la¯ tam gia˘c Ịe‡u, suy ra: IA = O1I O1A = 40 (cm), IB = O I O B =20(cm). Tˆ¯ co‚ng thˆ˘c va‰n to·c cu˚a chuyeÂn− Ịo‰ng quay cu˚a thanh 2 − 2 O1A va¯ thanh AB ta co˘ 10 10π = 40ω ω = 2, 5π (1/s). × AB ⇒ AB —ieÂm B chuyeÂn Ịo‰ng vÙ˘i va‰n to·c V = 20 2, 5π = 50π (cm/s). B × Va‰n to·c go˘c cu˚a thanh O2B sinh vie‚n tˆƠ la¯m. 31 Qua˚ ca‡u chÚu ta˘c duƠng cu˚a: troƠng lˆƠc P = mg, lˆƠc ca˚n cu˚a mo‚i trˆÙ¯ng F = kv (bo˚ qua lˆƠc ỊaÂy Archime¯de). —Únh lua‰t thˆ˘ hai cho C − mw = P + FC. ChoƠn he‰ truƠc Ịo‰ Oy tha˙ng Ịˆ˘ng hˆÙ˘ng le‚n. Chie·u he‰ thˆ˘c vectÙ le‚n truƠc Oy, ta ỊˆÙƠc: k my¨ = mg ky˙ y¨ + y˙ = g. (a) − − ⇒ m − Gia˚i phˆÙng trÏnh vi pha‚n (a) - ca˘ch 1. Ta˘ch bie·n (xem y˙ la¯ aÂn ha¯m), dy˙ k = dt, m y˙ + g − tÌch pha‚n hai ve· m k ln y˙ + g = t + C. (b) k m −   m Du¯ng Ịie‡u kie‰n Ịa‡u y˙(0) = 0, ta ỊˆÙƠc C = k ln g; thay va¯o (b), sau mo‰t so· bie·n ỊoÂi, ta thu ỊˆÙƠc va‰n to·c cu˚a qua˚ ca‡u: mg kt y˙ = exp 1 . (c) k −m −     Lời giải một so· ba¯i ta‰p 39 —e y˘ rằng khi t + , y˙ mg (vận to·c giÙ˘i haƠn). Va‰n to·c giÙ˘i haƠn na¯y → ∞ →− k cuıng co˘ the tÏm tˆ¯ phˆÙng trÏnh P + FC = 0. TÌch pha‚n (c) va¯ du¯ng Ịie‡u kie‰n Ịa‡u y(0) = 0 ta ỊˆÙƠc phˆÙng trÏnh chuyeÂn Ịo‰ng (lua‰t chuyeÂn Ịo‰ng): m2g kt mgt y = 1 exp . k2 − −m − k    Ca˘ch 2. PhˆÙng trÏnh (a) la¯ phˆÙng trÏnh vi pha‚n tuye·n tÌnh ca·p hai kho‚ng thua‡n nha·t. Nghie‰m toÂng qua˘t cu˚a phˆÙng trÏnh thua‡n nha·t kt y = C + C exp . 1 2 −m   TÏm nghie‰m phˆÙng trÏnh kho‚ng thua‡n nha·t dˆÙ˘i daƠng kt y = C (t)+ C (t)exp . 1 2 −m   0 0 C1(t),C2(t) tho˚a he‰ 0 kt 0 C1(t)+exp m C2(t) = 0 k exp − kt C0 (t) = g − m − m
2 −
0 0 Gia˚i ra C1(t),C2(t), ro‡i tÌch pha‚n theo t, cuo·i cu¯ng ta ỊˆÙƠc kt m2g mgt y = C exp + + C , 2 −m k2 − k 1   trong Ịo˘ C1,C2 la¯ ca˘c haËng so· tÌch pha‚n phuƠ thuo‰c Ịie‡u kie‰n Ịa‡u. Pha‡n co¯n laƠi sinh vie‚n tˆƠ la¯m. 33 a) LˆƠc ta˘c duƠng le‚n vie‚n ỊaƠn la¯ troƠng lˆƠc P. PhˆÙng trÏnh vi pha‚n chuyeÂn Ịo‰ng (ỊÚnh lua‰t thˆ˘ hai cu˚a Newton) mw = P. Lời giải một so· ba¯i ta‰p 40 Chie·u xuo·ng ca˘c truƠc toƠa Ịo‰: x¨ = 0 y¨ = g − TÌch pha‚n he‰ phˆÙng trÏnh tre‚n, ta ỊˆÙƠc va‰n to·c cu˚a vie‚n ỊaƠn (du¯ng Ịie‡u kie‰n Ịa‡u, va‰n to·c): x˙ = V0 cos α y˙ = gt + V sin α − 0 TÌch pha‚n la‡n nˆıa (du¯ng Ịie‡u kie‰n Ịa‡u, vÚ trÌ) ta ỊˆÙƠc phˆÙng trÏnh chuyeÂn Ịo‰ng cu˚a vie‚n ỊaƠn: x = V0t cos α y = 1gt2 + V t sin α − 2 0 Khˆ˚ t trong hai phˆÙng trÏnh tre‚n ta ỊˆÙƠc phˆÙng trÏnh quyı ỊaƠo cu˚a vie‚n ỊaƠn: g 2 y = 2 2 x + x tan α. −2V0 cos α b) —e vie‚n ỊaƠn baÈn tru˘ng ỊieÂm M ta pha˚i co˘ V 2 1 V 2 V 2 1 3 0 = (1 + tan2 α) 0 + 0 tan α tan2 α 2 tan α + = 0. 4g −2 4g 2g ⇔ 2 − 2 Nghie‰m: tan α = 1, tan α = 3. 35 CÙ he‰: kho·i nˆÙ˘c, ban Ịa‡u ỊˆÙƠc giÙ˘i haƠn bÙ˚i a b, sau khoa˚ng thÙ¯i gian 0 0 − ∆t giÙ˘i haƠn bÙ˚i a b (hÏnh 10). − LˆƠc ngoa¯i ta˘c duƠng: troƠng lˆƠc P, pha˚n lˆƠc R cu˚a tˆÙ¯ng ta˘c duƠng le‚n kho·i nˆÙ˘c. ChoƠn truƠc x naËm ngang va¯ a˘p duƠng ỊÚnh ly˘ bie·n thie‚n Ịo‰ng lˆÙƠng theo phˆÙng x. P P = R∆t. (a) 2x − 1x − Lời giải một so· ba¯i ta‰p 41 Kho·i nˆÙ˘c ban Ịa‡u va¯ kho·i nˆÙ˘c lu˘c sau co˘ pha‡n chung (2). Ne·u gia˚ thie·t chuyeÂn Ịo‰ng cu˚a kho·i nˆÙ˘c la¯ dˆ¯ng thÏ P P = P (1) = mv, (b) 2x − 1x − 1x − (1) trong Ịo˘ P1x la¯ Ịo‰ng lˆÙƠng lu˘c Ịa‡u cu˚a pha‡n (1) co¯n m la¯ kho·i lˆÙƠng cu˚a no˘. Ke·t qua˚ na¯y nha‰n ỊˆÙƠc la¯ do ca˘c pha‡n (3) co˘ va‰n to·c vuo‚ng go˘c vÙ˘i truƠc x. Thay (b) va¯o (a) ta suy ra mv R = . (c) ∆t Ne·u nˆÙ˘c co˘ ma‰t Ịo‰ kho·i la¯ ρ thÏ kho·i lˆÙƠng cu˚a pha‡n (1) la¯ πd2 m = ρ v∆t 4 va¯ nhˆ va‰y (ρ = 1), πd2v2 R = ρ = 125, 6 N. 4 36 He‰ quy chie·u: truƠc Ox naËm ngang co˘ chie‡u tˆ¯ tra˘i qua pha˚i. CÙ he‰: go‡m A, B, sÙƠi da‚y va¯ laÍng truƠ. Chu˘ y˘, Ù˚ Ịa‚y ta kho‚ng ke da‚y va¯ ro¯ng roƠc vÏ chu˘ng kho‚ng co˘ kho·i lˆÙƠng ne‚n chÊ co˘ ta˘c duƠng ra¯ng buo‰c (lie‚n ke·t) ca˘c va‰t trong he‰ (xem hÏnh 11). LˆƠc ngoa¯i ta˘c duƠng: ca˘c troƠng lˆƠc P, PA, PB, va¯ pha˚n lˆƠc N cu˚a maỴt sa¯n ta˘c duƠng le‚n laÍng truƠ. —e a˘p duƠng ỊÚnh ly˘ bie·n thie‚n Ịo‰ng lˆÙƠng tre‚n phˆÙng Ox, trˆÙ˘c he·t, ta tÏm lie‚n he‰ giˆıa ca˘c tha¯nh pha‡n va‰n to·c theo phˆÙng x cu˚a A, B va¯ laÍng truƠ. Ne·u goƠi v la¯ va‰n to·c cu˚a laÍng truƠ Ịo·i vÙ˘i O, v 0 la¯ tha¯nh pha‡n va‰n to·c theo phˆÙng x cu˚a B Ịo·i vÙ˘i laÍng truƠ. ThÏ tha¯nh pha‡n va‰n to·c theo phˆÙng x cu˚a A Ịo·i vÙ˘i laÍng truƠ (va‰n to·c tˆÙng Ịo·i) seı la¯ v 0 cos α (do da‚y kho‚ng giaın). Tˆ¯ co‚ng thˆ˘c co‰ng va‰n to·c, ta co˘ tha¯nh pha‡n va‰n to·c theo phˆÙng x cu˚a A, B Ịo·i vÙ˘i O (va‰n to·c tuye‰t Ịo·i) la‡n lˆÙƠt la¯ v 0 cos α + v, v0 + v. Do ban Ịa‡u he‰ Ịˆ˘ng ye‚n ne‚n Ịo‰ng lˆÙƠng baËng kho‚ng, P1x = 0. —o‰ng lˆÙƠng lu˘c sau (khi A Ịaı trˆÙƠt xuo·ng mo‰t khoa˚ng l doƠc theo caƠnh KL cu˚a laÍng Lời giải một so· ba¯i ta‰p 42 trụ): 0 0 0 P2x = m1(v cos α+v)+m2(v +v)+mv =(m1 cos α+m2)v +(m1 +m2 +m)v. Vì dây không trọng lượng nên mômen động lượng của nó bằng không. Như vậy, theo định lý biến thiên động lượng trên phương Ox, 0 0 (m1 cos α + m2)v (m1 cos α + m2)v +(m1 + m2 + m)v = 0 v = . ⇒ − m1 + m2 + m Ve· pha˚i cu˚a phˆÙng trÏnh tre‚n bằng không do ta·t ca˚ ca˘c lˆƠc ngoa¯i Ịều trực giao với Ox. La·y tÌch pha‚n hai ve· tˆ¯ 0 Ịe·n thÙ¯i ỊieÂm Ịang xe˘t, ta ỊˆÙƠc: (m cos α + m )l s = 1 2 . − m1 + m2 + m Da·u trˆ¯ trong phˆÙng trÏnh chÊ thÚ laÍng truƠ di chuyeÂn ngˆÙƠc hˆÙ˘ng di chuyeÂn cu˚a B. 38 CÙ he‰: ta·m tro¯n va¯ ngˆÙ¯i. LˆƠc ngoa¯i ta˘c duƠng: P, Q la¯ troƠng lˆƠc cu˚a ngˆÙ¯i va¯ ta·m tro¯n, RA, RB pha˚n lˆƠc lie‚n ke·t taƠi ca˘c o truƠc (xem hÏnh 13). (e) Ta co˘ mz(Fk ) = 0 ne‚n mo‚men Ịo‰ng lˆÙƠng cu˚a he‰ ỊˆÙƠc ba˚o toa¯n theo phˆÙng z. VÏ ban Ịa‡u he‰ Ịˆ˘ng ye‚n ne‚n Lz = 0 taƠi moƠi thÙ¯i ỊieÂm. P TaƠi thÙ¯i ỊieÂm ba·t ky¯, gia˚ ỊÚnh va‰n to·c cu˚a ngˆÙ¯i va¯ vectÙ va‰n to·c go˘c cu˚a ta·m tro¯n nhˆ hÏnh veı. Lu˘c Ịo˘ va‰n to·c tuye‰t Ịo·i cu˚a ngˆÙ¯i v = rω + u. Mo‚men Ịo‰ng lˆÙƠng cu˚a he‰ Ịo·i vÙ˘i truƠc z: P r2 P L = J ω + r(rω + u) = (Q + 2P )ω + ru, z z g 2g g ta·m tro¯n ngˆÙ¯i |{z} | {z } trong Ịo˘ ta Ịaı du¯ng co‚ng thˆ˘c tÌnh mo‚men qua˘n tÌnh cu˚a ta·m tro¯n Ịo·i vÙ˘i 2 truƠc z, Jz = Qr /2g. Tˆ¯ Lz = 0 ta suy ra 2Pu ω = . −r(Q + 2P ) Lời giải một so· ba¯i ta‰p 43 Chú ý, da·u trˆ¯ trong bieÂu thˆ˘c ω chˆ˘ng to˚ va‰n to·c go˘c co˘ chie‡u ngˆÙƠc vÙ˘i chie‡u gia˚ thie·t. 39 Xem hÏnh 14. ‘¤ Ịa‚y, vÏ ly˘ do tie·t kie‰m, chu˘ng to‚i kho‚ng veı hÏnh laƠi cuıng nhˆ kho‚ng the‚m nhˆıng chi tie·t bo sung trong qua˘ trÏnh gia˚i, cha˙ng haƠn nhˆ sÙ Ịo‡ ca˘c lˆƠc ngoa¯i ta˘c duƠng le‚n he‰, he‰ toƠa Ịo‰ ỊˆÙƠc du¯ng. Nhˆng trong khi trÏnh ba¯y lÙ¯i gia˚i ca˘c baƠn ne‚n veı ra Ịe lÙ¯i gia˚i ỊˆÙƠc roı ra¯ng hÙn. CÙ he‰: hÏnh truƠ, sÙƠi da‚y va¯ qua˚ ca‚n A. LˆƠc ngoa¯i: troƠng lˆƠc P va¯ pha˚n lˆƠc N ta˘c duƠng le‚n hÏnh truƠ, troƠng lˆƠc Q ta˘c duƠng le‚n qua˚ ca‚n A. He‰ toƠa Ịo‰: Go·c O "tâm" của hình tru, trục Ox hướng xuống dưới, trục Oy nằm ngang hướng từ phải qua trái, và như vậy trục Oz vuông góc và hướng vào trong mặt phẳng hình vẽ. ChoƠn he‰ toƠa Ịo‰ nhˆ the· na¯y thÏ hÏnh truƠ seı quay theo chie‡u thua‰n (ngˆÙƠc chie‡u kim Ịo‡ng ho‡).ï Mômen động lượng của hệ đối với trục z: Q R2ω(P + Q) L = J ω + v R = . z z g A g hình trụ quả cân A |{z} | {z } 2 Ở đây ta đã dùng công thức tính mômen quán tính của hình trụ Jz = P R /g, và liên hệ giữa vận to·c qua˚ ca‚n A vÙ˘i va‰n to·c go˘c cu˚a hÏnh truƠ, vA = ωR (do da‚y kho‚ng giaın). VÏ da‚y kho‚ng troƠng lˆÙƠng ne‚n mo‚men Ịo‰ng lˆÙƠng cu˚a no˘ bằng không. Mômen của lực ngoài đo·i vÙ˘i truƠc z (hai lˆƠc P, N co˘ ỊˆÙ¯ng ta˘c duƠng caỴt truƠc z ne‚n mo‚men cu˚a chu˘ng bằng không): Mz(Q)= RQ. Áp dụng định lý bie·n thie‚n mo‚men Ịo‰ng lˆÙƠng (daƠng vi pha‚n) ta ỊˆÙƠc: R2(P + Q) = RQ. g Suy ra gia to·c go˘c cu˚a hÏnh truƠ: gQ  = . R(P + Q) Lời giải một so· ba¯i ta‰p 44 40 Cơ hệ: ròng rọc, sợi dây và hai vật A, B. Lực ngoài tác dụng: P1, P2, Q và phản lực R (hình 15). Hệ tọa độ: Oxyz với Ox nằm ngang hướng từ trái qua phải, Oy thẳng đứng hướng lên và Oz vuông góc với mặt phẳng hình vẽ hướng ra ngoài (trang giấy). —e y˘ rằng, ne·u va‰t A (B) co˘ va‰n to·c v thÏ ro¯ng roƠc co˘ ω = v/r. Mo‚men Ịo‰ng lˆÙƠng cu˚a he‰ Ịo·i vÙ˘i truƠc z vuo‚ng go˘c vÙ˘i maỴt pha˙ng hÏnh veı P P rv(Q + P + P ) L = J ω + 1 vr + 2 vr = 1 2 . z z g g g ro¯ng roƠc va‰t A va‰t B |{z} | {z } | {z } 2 ‘¤ Ịa‚y ta Ịaı du¯ng co‚ng thˆ˘c Jz = Qr /2 tÌnh mo‚men qua˘n tÌnh cu˚a ro¯ng roƠc. VÏ da‚y kho‚ng troƠng lˆÙƠng ne‚n mo‚men Ịo‰ng lˆÙƠng cu˚a no˘ baËng kho‚ng. AŸp duƠng ỊÚnh ly˘ bie·n thie‚n mo‚men Ịo‰ng lˆÙƠng Ịo·i vÙ˘i truƠc z, ta co˘ r(Q + P + P ) L˙ =(P P )r 1 2 w =(P P )r (w =v ˙), z 1 − 2 ⇔ g 1 − 2 suy ra (P P )g w = 1 − 2 . Q + P1 + P2 41 Thanh OA thˆƠc hie‰n chuyeÂn Ịo‰ng quay quanh O vÙ˘i va‰n to·c go˘c ω0 ne‚n Ịo‰ng naÍng baËng 1 1 J ω2 = ρr3ω2. 2 1 0 6 0 1 2 ‘¤ Ịa‚y, ta Ịaı du¯ng co‚ng thˆ˘c J1 = 3 Mr vÙ˘i M = ρr. Thanh AB chuyeÂn Ịo‰ng song pha˙ng. ChuyeÂn Ịo‰ng tˆ˘c thÙ¯i cu˚a no˘ la¯ chuyeÂn Ịo‰ng quay quanh ta‚m quay tˆ˘c thÙ¯i I (hÏnh veı) vÙ˘i va‰n to·c go˘c ω1. Ta tha·y A la¯ trung ỊieÂm caƠnh huye‡n cu˚a tam gia˘c vuo‚ng ∆OBI vuo‚ng taƠi B, ne‚n IA = OA = r. VÏ v(A)= OAω0 = rω0 (trong chuyeÂn Ịo‰ng cu˚a thanh OA), v(A) = IAω1 = rω1 (trong chuyeÂn Ịo‰ng cu˚a thanh AB) ne‚n ω1 = ω0. —e tÌnh Ịo‰ng naÍng cu˚a thanh AB ta ca‡n tÌnh mo‚men qua˘n tÌnh J2 cu˚a no˘ Lời giải một so· ba¯i ta‰p 45 đo·i vÙ˘i truƠc Ịi qua I. TrˆÙ˘c he·t, xa˘c ỊÚnh IJ vÙ˘i J la¯ kho·i ta‚m (trung ỊieÂm) cu˚a AB. AŸp duƠng co‚ng thˆ˘c co‚sin cho tam gia˘c ∆IAJ, ta co˘: 5 IJ 2 = IA2 + AJ 2 2AI AJ cos ∠IAJ = r2 cos 2ϕ . − · 4 −   Do Ịo˘ theo co‚ng thˆ˘c Huygens 1 5 4 J = ρr3 + ρr3 cos 2ϕ = ρr3 cos 2ϕ . 2 12 4 − 3 −     —o‰ng naÍng cu˚a thanh AB baËng 1 4 ρr3 cos 2ϕ ω2. 2 3 − 0   To˘m laƠi, Ịo‰ng naÍng cu˚a he‰ baËng 1 1 4 5 1 ρr3ω2 + ρr3 cos 2ϕ ω2 = ρr3 cos 2ϕ ω2. 6 0 2 3 − 0 6 − 2 0     42 CÙ he‰: ỊÛa va¯ da‚y. LˆƠc ngoa¯i ta˘c duƠng: P troƠng lˆƠc ỊaỴt le‚n ỊÛa. He‰ toƠa Ịo‰ ỊˆÙƠc choƠn co˘ go·c ỊaỴt taƠi A, Ax tha˙ng Ịˆ˘ng hˆÙ˘ng xuo·ng dˆÙ˘i, Ay naËm ngang hˆÙ˘ng tˆ¯ tra˘i qua pha˚i, Az vuo‚ng go˘c vÙ˘i maỴt pha˙ng hÏnh veı (Ịa‡u ba¯i) hˆÙ˘ng tˆ¯ ngoa¯i va¯o trong (trang gia·p). VÙ˘i ca˘ch choƠn he‰ toƠa Ịo‰ na¯y thÏ ỊÛa quay theo chie‡u thua‰n. 0 0 0 —e tÌnh mo‚men Ịo‰ng lˆÙƠng cu˚a- he‰ ta du¯ng he‰ toƠa Ịo‰ K¨onig Cx y z (hÏnh tÚnh tie·n cu˚a Axyz theo vectÙ AC). —e y˘ raËng, ỊÛa thˆƠc hie‰n chuyeÂn Ịo‰ng song pha˙ng, do da‚y kho‚ng giaın, co˘ chuyeÂn Ịo‰ng tˆ˘c thÙ¯i la¯ chuyeÂn Ịo‰ng quay quanh truƠc Ịi qua ỵỊieÂm tie·p xu˘cỵ cu˚a dÛa vÙ˘i truƠc Ax vÙ˘i va‰n to·c go˘c ω, vC = rω. Ne·u xe˘t chuyeÂn Ịo‰ng cu˚a ỊieÂm na¯y Ịo·i vÙ˘i he‰ K¨onig (xem nhˆ Ịˆ˘ng ye‚n), thÏ no˘ chuyeÂn Ịo‰ng quay quanh C vÙ˘i cu¯ng va‰n to·c go˘c. Nhˆ va‰y, 3 L = mrv + J ω = mr2ω, z C C 2 Lời giải một so· ba¯i ta‰p 46 trong đó JC là mômen quán tính của đĩa đo·i vÙ˘i truƠc Ịi qua C va¯ cu¯ng hˆÙ˘ng 2 vÙ˘i Az. ‘¤ Ịa‚y ta Ịaı du¯ng co‚ng thˆ˘c JC = mr /2. VÏ da‚y kho‚ng troƠng lˆÙƠng ne‚n mo‚men Ịo‰ng lˆÙƠng cu˚a no˘ baËng kho‚ng. Mo‚men cu˚a lˆƠc ngoa¯i (ỊaỴt taƠi C): mgr. AŸp duƠng ỊÚnh ly˘ bie·n thie‚n mo‚men Ịo‰ng lˆÙƠng: 3 2g mr2ω˙ = mgr  =ω ˙ = . 2 ⇒ 3r VÏ C chuyeÂn Ịo‰ng tha˙ng Ịˆ˘ng ne‚n gia to·c cu˚a C: wC =v ˙C = 2g/3. —e tÏm lˆƠc caÍng ta xe˘t he‰ chÊ go‡m ỊÛa. Khi Ịo˘, lˆƠc ngoa¯i ta˘c duƠng le‚n he‰ go‡m P va¯ lˆƠc caÍng da‚y T. AŸp duƠng ỊÚnh ly˘ chuyeÂn Ịo‰ng kho·i ta‚m, ta co˘: 2mg mg mw = mg T T = mg = . C − ⇒ − 3 3 Ca˘ch gia˚i kha˘c Pha‡n Ịa‡u cu˚a ba¯i ta‰p na¯y co˘ the gia˚i baËng ca˘ch du¯ng ỊÚnh ly˘ bie·n thie‚n Ịo‰ng naÍng. ‘¤ Ịa‚y ta cuıng du¯ng he‰ toƠa Ịo‰ K¨onig khi tÌnh Ịo‰ng naÍng. —o‰ng naÍng cu˚a he‰: 1 1 3 T = mv2 + J ω2 = mr2ω2. 2 C 2 C 4 Co‚ng sua·t cu˚a lˆƠc ngoa¯i: W = mgvC = mgrω. AŸp duƠng ỊÚnh ly˘ bie·n thie‚n Ịo‰ng naÍng: 3 2g mr2ωω˙ = mgrω  =ω ˙ = . 2 ⇒ 3r 44 He‰ la¯ haƠt chÊ chuyeÂn Ịo‰ng trong maỴt pha˙ng qua go·c ne‚n co˘ 2 ba‰c tˆƠ do [ChuyeÂn Ịo‰ng cu˚a haƠt dˆÙ˘c ta˘c duƠng cu˚a lˆƠc xuye‚n ta‚m la¯ chuyeÂn Ịo‰ng pha˙ng. —a‚y la¯ ra¯ng buo‰c cu˚a haƠt]. ToƠa Ịo‰ suy ro‰ng (du¯ng toƠa Ịo‰ cˆƠc co˘ go·c ỊaỴt taƠi go·c). Lời giải một so· ba¯i ta‰p 47 —o‰ng naÍng cu˚a haƠt la¯ (xem hÏnh 19) 1 T = m(˙r2 + r2θ˙2). 2 The· naÍng cu˚a haƠt (Ịo·i vÙ˘i vo‚ cu¯ng) la¯ GMm V = . − r Ha¯m Lagrange L = T V : − 1 GMm L = m(˙r2 + r2θ˙2)+ . 2 r TÌnh ca˘c ỊaƠo ha¯m ro‡i thay va¯o he‰ phˆÙng trÏnh Lagrange, ta ỊˆÙƠc: MG mr¨ m rθ˙2 = 0, − − r2   d m(2rr˙θ˙ + r2θ¨) = 0 (r2θ˙) = 0. ⇒ dt TÌch pha‚n Ịa‡u: r2θ˙ =const. Chu˘ y˘, ta co˘ the nha‰n ra chuyeÂn Ịo‰ng co˘ mo‰t tÌch pha‚n Ịa‡u tˆ¯ nha‰n xe˘t ∂L/∂θ (ha¯m Lagrange kho‚ng phuƠ thuo‰c θ, nghÛa la¯ θ la¯ toƠa Ịo‰ cyclic). TÌch pha‚n Ịa‡u na¯y chÌnh la¯ mo‚men Ịo‰ng lˆÙƠng cu˚a haƠt mr2θ˙ ỊˆÙƠc ba˚o toa¯n. 45 He‰ la¯ haƠt. VÏ vectÙ ba˘n kÌnh cu˚a haƠt: r = rer, trong Ịo˘ er = (sin α cos ϕ, sin α sin ϕ, cos α), ne‚n he‰ co˘ 2 ba‰c tˆƠ do. ToƠa Ịo‰ suy ro‰ng: r, θ. Va‰n to·c cu˚a haƠt: r˙ =r ˙er + re˙ r. —e y˘ raËng, e˙ =ϕ ˙ sin α( sin ϕ, cos ϕ, 0)=ϕ ˙ sin αe . r − ϕ Lời giải một so· ba¯i ta‰p 48 Như vậy, động năng của hạt: 1 T = m(˙r2 + r2ϕ˙ 2 sin2 α). 2 The· naÍng cu˚a haƠt (Ịo·i vÙ˘i O): V = mgr cos α. Ha¯m Lagrange: 1 L = T V = m(˙r2 + r2ϕ˙2 sin2 α) mgr cos α. − 2 − He‰ phˆÙng trÏnh Lagrange (sv ne‚n tÌnh toa˘n tˆÙ¯ng minh) r¨ rϕ˙2 sin2 α + g cos α = 0, − 2rr˙ϕ˙ + r2ϕ¨ = 0 (sin α> 0). Do ha¯m Lagrange kho‚ng phuƠ thuo‰c ϕ ne‚n ϕ la¯ toƠa Ịo‰ cyclic. TÌch pha‚n Ịa‡u: r2varphi˙ = const. Sv tˆƠ gia˚i thÌch y˘ nghÛa va‰t ly˘. 46 He‰ hai ba‰c tˆƠ do. ChoƠn toƠa Ịo‰ suy ro‰ng: x, chuyeÂn dÚch cu˚a ne‚m Ịo·i vÙ˘i ỊieÂm co· ỊÚnh tre‚n sa¯n; y, chuyeÂn dÚch cu˚a va‰t Ịo·i vÙ˘i ỊieÂm co· ỊÚnh tre‚n ne‚m. —o‰ng naÍng va¯ the· naÍng cu˚a he‰: 1 1 T = Mx˙ 2 + m(˙x2 +y ˙2 +2˙xy˙ cos α), 2 2 V = mgy sin α. − Ha¯m Lagrange: 1 1 L = T V = Mx˙ 2 + m(˙x2 +y ˙2 +2˙xy˙ cos α)+ mgy sin α. − 2 2 TÌnh ca˘c ỊaƠo ha¯m ∂L ∂L d ∂L = 0, =(M + m)˙x +(m cos α)˙y, =(M + m)¨x +(m cos α)¨y; ∂x ∂x˙ dt ∂x˙ ∂L ∂L d ∂L = mg sin α, = my˙ +(m cos α)˙x, = my¨ +(m cos α)¨x. ∂y ∂y˙ dt ∂y˙ Lời giải một so· ba¯i ta‰p 49 Hệ phương trình Lagrange loại hai: (M + m)¨x +(m cos α)¨y = 0, my¨ +(m cos α)¨x mg sin α = 0. − Giải ra ta được mg sin α cos α (M + m)g sin α x¨ = , y¨ = . − M + m sin2 α − M + m sin2 α 47 Ne·u kho‚ng co˘ Ịie‡u kie‰n "lăn không trượt" thì hệ hai bậc tự do với các tọa độ suy rộng: θ, góc giữa OG và trục thẳng đứng hướng xuống; ϕ, góc quay của hình trụ (đối với vị trí tham chiếu nào đó). Điều kiện lăn không trượt cho (b a)θ˙ = aϕ˙ (b a)θ = aϕ. (a) − ⇒ − Ở đây ta đã chọn vị trí tham chie·u thÌch hÙƠp Ịe cho ϕ = 0 khi θ = 0. Va‰y he‰ mo‰t ba‰c tˆƠ do. ChoƠn toƠa Ịo‰ suy ro‰ng la¯ θ. —o‰ng naÍng cu˚a he‰: 1 1 T = m((b a)θ˙)2 + Jϕ˙ 2 2 − 2 3 = m(b a)2θ˙2 4 − trong Ịo˘ ta Ịaı du¯ng phˆÙng trÏnh lie‚n ke·t (a) va¯ co‚ng thˆ˘c tÌnh mo‚men qua˘n tÌnh cu˚a hÏnh truƠ J = ma2/2. The· naÍng: V = mg(b a) cos θ. − − Ha¯m Lagrange 3 L = T V = m(b a)2θ˙2 + mg(b a) cos θ. − 4 − − TÌnh ca˘c ỊaƠo ha¯m: ∂L ∂L 3 d ∂L 3 = mg(b a) sin θ, = m(b a)2θ,˙ = m(b a)2θ.¨ ∂θ − − ∂θ˙ 2 − dt ∂θ˙ 2 − Lời giải một so· ba¯i ta‰p 50 Phương trình Lagrange loại hai: 3 2g m(b a)2θ¨ + mg(b a) sin θ = 0 θ¨ + sin θ = 0. 2 − − ⇒ 3(b a) − (chú ý, phương trình này trùng với phương trình chính xác cho dao động con lắc đơn có chiều dài l = 3(b a)/2). − Với giả thiết dao động bé ta xa·p xÊ sin θ θ trong phˆÙng trÏnh Lagrange, ta ỊˆÙƠc ≈ 2g θ¨ + θ = 0. 3(b a) − Chu ky¯ cu˚a dao Ịo‰ng theo co‚ng thˆ˘c cu˚a con lắc đơn l 3(b a) 2π = 2π − . sg s 2g 48 Hệ hai bậc tự do. Chọn các tọa độ suy rộng: x, θ như trên hình 23. —ieÂm ỊaỴc bie‰t Ù˚ thÌ duƠ na¯y la¯ lˆƠc F ta˘c duƠng le‚n P2 ỊˆÙƠc cho phuƠ thuo‰c thÙ¯i gian (kho‚ng ba˚o toa¯n) ne‚n ta cần tính các lực suy rộng! Chuyển dịch ảo của P2 theo phương ngang: δx + a cos θδθ. nên công phân to· cu˚a lˆƠc chu˚ Ịo‰ng (chÊ co˘ lˆƠc F ) la¯ F (t)(δx + a cos θδθ)= Qxδx + Qθδθ, suy ra Qx = F (t), Qθ =(a cos θ)F (t). —o‰ng naÍng cu˚a he‰: 1 1 T = mx˙ 2 + m[(˙x + a cos θθ˙)2 +(a sin θθ˙)2] 2 2 1 = mx˙ 2 +(ma cos θ)˙xθ˙ + ma2θ˙2. 2 Lời giải một so· ba¯i ta‰p 51 Hệ phương trình Lagrange loại hai: d [2mx˙ +(ma cos θ)θ˙] = F (t), dt d [(ma cos θ)˙x + ma2θ˙] [ (ma sin θ)˙xθ˙] = (a cos θ)F (t). dt − − Phụ lục A —e‡ thi ma„u Ca‚u 1 (2đ) Một con ong bay trên một quỹ đạo theo luật chuyển động cho trong tọa độ cực là bt t r = (2τ t), ϕ = (0 t 2τ), τ 2 − τ ≤ ≤ trong đó b và τ là những hằng số dương. Chứng tỏ rằng tốc độ nhỏ nha·t cu˚a con ong la¯ b/τ. TÏm gia to·c cu˚a con ong taƠi thÙ¯i ỊieÂm na¯y. Ca‚u 2 (2Ị) Mo‰t cha·t ỊieÂm P kho·i lˆÙƠng m chuyeÂn Ịo‰ng dˆÙ˘i lˆƠc ha·p da„n HÏnh 1: Ca‚u 2 cu˚a va‰t co˘ kho·i lˆÙƠng M ỊaỴt taƠi O. Ban Ịa‡u P Ù˚ ca˘ch O khoa˚ng ca˘ch a, ỊˆÙƠc baÈn ra xa O vÙ˘i to·c Ịo‰ (2MG/a)1/2. TÏm khoa˚ng ca˘ch tˆ¯ P Ịe·n O taƠi thÙ¯i ỊieÂm t. Chˆ˘ng to˚ P chuyeÂn Ịo‰ng ra vo‚ cu¯ng. ‘¤ Ịa‚y G la¯ haËng so· ha·p da„n. Ca‚u 3 (1Ị) Cho ỊÛa tro¯n Ịo‡ng cha·t ba˘n kÌnh a, kho·i lˆÙƠng M. —e thay ỊoÂi mo‚men qua˘n tÌnh cu˚a ỊÛa ngˆÙ¯i ta gaÈn the‚m va¯o ỊÛa kho·i lˆÙƠng m ca˘ch ta‚m khoa˚ng ca˘ch a/2. TÌnh mo‚men qua˘n tÌnh cu˚a he‰ Ịo·i vÙ˘i truƠc Ịi qua ta‚m va¯ 52 PHỤ LỤC A. —E¿ THI MA√U 53 Hình 2: Câu 3 vuông góc với đĩa. Ne·u kho‚ng the‚m va¯ kho·i lˆÙƠng m thÏ truƠc pha˚i dÙ¯i song song Ịe·n ỊieÂm na¯o tre‚n ỊÛa Ịe mo‚men qua˘n tÌnh va„n baËng nhˆ trˆÙ¯ng hÙƠp trˆÙ˘c? Câu 4 (2.5Ị) Mo‰t ỊÛa tro¯n kho·i lˆÙƠng M ba˘n kÌnh a co˘ the quay kho‚ng ma HÏnh 3: Ca‚u 4 sa˘t quanh truƠc naËm ngang Ịi qua ta‚m cu˚a no˘. Mo‰t con boƠ kho·i lˆÙƠng m chaƠy vÙ˘i va‰n to·c kho‚ng ỊoÂi u quanh me˘p ỊÛa. Ban Ịa‡u ỊÛa ỊˆÙƠc giˆı Ù˚ traƠng tha˘i nghÊ va¯ ỊˆÙƠc tha˚ ra khi con boƠ Ù˚ vÚ trÌ tha·p nha·t. TÌnh mo‚men Ịo‰ng lˆÙƠng cu˚a he‰ (go‡m ỊÛa va¯ con boƠ) Ịo·i vÙ˘i truƠc quay. Vie·t phˆÙng trÏnh bie·n thie‚n Ịo‰ng lˆÙƠng cu˚a he‰. Chˆ˘ng to˚ raËng 4mg u2 ϕ˙ 2 = (cos ϕ 1) + . a(M + 2m) − a2 trong Ịo˘ ϕ la¯ go˘c xa˘c ỊÚnh vÚ trÌ con boƠ so vÙ˘i phˆÙng tha˙ng Ịˆ˘ng hˆÙ˘ng xuo·ng. Câu 5 (2.5Ị) Mo‰t o·ng truƠ ba˘n kÌnh a, trong lˆÙƠng P1 co˘ cuo·n xung quanh baËng mo‰t sÙƠi da‚y. Da‚y vaÈt qua ro¯ng roƠc co· ỊÚnh O ro‡i no·i vÙ˘i va‰t naỴng A troƠng lˆÙƠng P2. Va‰t A trˆÙƠt tre‚n maỴt pha˙ng ngang co˘ he‰ so· ma sa˘t f. Bo˚ qua ma sa˘t Ù˚ o truƠc O. Vie·t phˆÙng trÏnh Lagrange loaƠi hai cho he‰. TÏm gia to·c cu˚a A va¯ ta‚m C cu˚a o·ng truƠ. Chú thích —e‡ thi go‡m 5 ca‚u ỊˆÙƠc ca·u tru˘c nhˆ sau: Ca‚u 1 - —o‰ng hoƠc ỊieÂm; kieÂm tra kie·n thˆ˘c va¯ kyı naÍng tÌnh toa˘n ca˘c PHỤ LỤC A. —E¿ THI MA√U 54 Hình 4: Câu 5 khái niệm động học cơ bản: phương trình (luật) chuyển động, quỹ đạo, vận to·c, gia to·c, gia to·c tie·p, gia to·c pha˘p, ba˘n kÌnh cong. Ca‚u 2 - —o‰ng lˆƠc hoƠc ỊieÂm; kieÂm tra kha˚ naÍng thie·t la‰p phˆÙng trÏnh vi pha‚n chuyeÂn Ịo‰ng va¯ kyı naÍng gia˚i phˆÙng trÏnh vi pha‚n. Ca‚u 3 - KieÂm tra kie·n thˆ˘c ve‡ kho·i ta‚m, mo‚men qua˘n tÌnh. Ca‚u 4 - KieÂm tra kyı naÍng va‰n duƠng mo‰t trong ba ỊÚnh lua‰t toÂng qua˘t (Ịo‰ng lˆÙƠng, mo‚men Ịo‰ng lˆÙƠng va¯ Ịo‰ng naÍng). Ca‚u 5 - CÙ hoƠc gia˚i tÌch; kieÂm tra kyı naÍng pha‚n tÌch lie‚n ke·t, thie·t la‰p phˆÙng trÏnh Lagrange loaƠi hai. —a˘p a˘n Ca‚u 1 Va‰n to·c cu˚a con ong taƠi thÙ¯i ỊieÂm t: 2b bt v = (τ t), v = (2τ t). r τ 2 − ϕ τ 3 − To·c Ịo‰ cu˚a con ong taƠi thÙ¯i ỊieÂm t: b 2 1 2 2 v = 2 4(τ t) + 2 (2τt t ) , τ r − τ − b2 v2 = f(t). τ 4 2 1 2 2 ‘¤ Ịa‚y ta Ịaı ỊaỴt f(t)=4(τ t) + 2 (2τt t ) . —e tÏm to·c Ịo‰ nho˚ nha·t cu˚a − τ − PHỤ LỤC A. —E¿ THI MA√U 55 ong ta khảo sát hàm f(t). 2 f 0(t) = 8(τ t)+ (2τt t2)(2τ 2t) − − τ 2 − − 4 = (τ t)(t2 2τt + 2τ 2) −τ 2 − − Xét da·u f 0(t) trong khoa˚ng [0, 2τ] co˘ the tha·y f(t) nho˚ nha·t (va¯ nhˆ va‰y va‰n to·c nho˚ nha·t) khi t = τ. Va‰n to·c nho˚ nha·t baËng b/τ. Gia to·c cu˚a con ong taƠi thÙ¯i ỊieÂm t: 2b bt 4b w = (2τ t), w = (τ t). r −τ 2 − τ 4 − ϕ τ 3 − Lu˘c t = τ, 3b 3b w = , w = 0 w = . r −τ 2 ϕ ⇒ τ 2 Câu 2 ChoƠn he‰ toƠa Ịo‰ nhˆ hÏnh veı. LˆƠc ta˘c duƠng: lˆƠc ha·p da„n co˘ Ịo‰ lÙ˘n F = GMm/x2 va¯ hˆÙ˘ng ve‡ O. PhˆÙng trÏnh vi pha‚n chuyeÂn Ịo‰ng GMm GM mx¨ = x¨ = . − x2 ⇒ − x2 Ky˘ hie‰u v =x ˙ x¨ =v ˙. Nha‚n va¯o hai ve· phˆÙng trÏnh vÙ˘i vdt = dx, ta ỊˆÙƠc ⇒ 1 GMdx d(v2)= . 2 − x2 TÌch pha‚n hai ve· tˆ¯ thÙ¯i ỊieÂm Ịa‡u Ịe·n thÙ¯i ỊieÂm t: 1 1 v(t)2 v(0)2 = 2GM . − x(t) − x(0)   PHỤ LỤC A. —E¿ THI MA√U 56 Dùng điều kiện đầu, v(0)2 = 2MG/a, x(0) = a, ta suy ra 2GM v(t)= . s x(t) Nhân vào hai vế với dt, ta được 2GM dx = dt x1/2dx = √2GMdt. r x ⇒ Tích phân hai ve·, ta ỊˆÙƠc 3 3 2/3 x(t)3/2 x(0)3/2 = √2GM t x(t)= a3/2 + √2GMt . − 2 ⇒ 2   —a‚y chÌnh la¯ khoa˚ng ca˘ch tˆ¯ O Ịe·n P taƠi thÙ¯i ỊieÂm t. Cho t , x(t) , nghÛa la¯ P chuyeÂn Ịo‰ng ra vo‚ cu¯ng. →∞ →∞ Câu 3 Mo‚men qua˘n tÌnh cu˚a he‰ co˘ tÌnh cha·t co‰ng tÌnh. GoƠi ∆ la¯ truƠc Ịi qua ta‚m (kho·i ta‚m cu˚a ỊÛa), ta co˘ 1 a 2 a2(2M + m) J = Ma2 + m = . 2 2 4   GoƠi ∆0 la¯ truƠc ca‡n tÏm va¯ d la¯ khoa˚ng ca˘ch giˆıa hai truƠc. Theo ỊÚnh ly˘ Huygens, 2 1 2 2 J 0 = J + Md = Ma + Md . ∆ ∆ 2 —e mo‚men qua˘n tÌnh va„n baËng nhˆ trˆÙ¯ng hÙƠp trˆÙ˘c, ta pha˚i co˘ 1 a2(2M + m) a m Ma2 + Md2 = d = . 2 4 ⇒ 2 M r PHỤ LỤC A. —E¿ THI MA√U 57 Vậy trục ∆0 phải chọn đi qua điểm cách tâm đĩa khoảng cách d xác định như trên. Câu 4 Gọi θ là góc quay của đĩa (chiều chọn như hình vẽ). —Ûa thˆƠc hie‰n chuyeÂn Ịo‰ng quay ne‚n mo‚men Ịo‰ng lˆÙƠng Ịo·i vÙ˘i truƠc quay la¯ 1 L = Jθ˙ = Ma2θ.˙ Ị 2 ChuyeÂn Ịo‰ng cu˚a con boƠ go‡m: chuyeÂn Ịo‰ng tˆÙng Ịo·i - chuyeÂn Ịo‰ng tro¯n vÙ˘i va‰n to·c da¯i kho‚ng ỊoÂi u; chuyeÂn Ịo‰ng theo la¯ chuyeÂn Ịo‰ng quay quanh truƠc cu¯ng vÙ˘i ỊÛa. Va‰n to·c tuye‰t Ịo·i cu˚a con boƠ: u + aθ.˙ − (chu˘ y˘ kyı ca˘ch choƠn chie‡u quay dˆÙng). Mo‚men Ịo‰ng lˆÙƠng cu˚a con boƠ: L = ma(u aθ˙). b − − Mo‚men Ịo‰ng lˆÙƠng cu˚a he‰ Ịo·i vÙ˘i truƠc quay: 1 2 L = LỊ + L = Ma θ˙ ma(u aθ˙). b 2 − − LˆƠc ta˘c duƠng le‚n he‰: troƠng lˆƠc cu˚a ỊÛa va¯ cu˚a con boƠ. LˆƠc ta˘c duƠng le‚n ỊÛa quy ve‡ lˆƠc ỊaỴt taƠi ỊieÂm ma¯ truƠc quay Ịi qua ne‚n mo‚men cu˚a lˆƠc baËng kho‚ng. Mo‚men cu˚a lˆƠc ta˘c duƠng le‚n he‰ cuıng la¯ mo‚men cu˚a lˆƠc ta˘c duƠng le‚n con boƠ: MO = mga sin ϕ (chu˘ y˘ kyı ca˘ch choƠn chie‡u quay dˆÙng). ‘¤ Ịa‚y ϕ la¯ go˘c xa˘c ỊÚnh vÚ trÌ con boƠ Ịo·i vÙ˘i phˆÙng tha˙ng Ịˆ˘ng hˆÙ˘ng xuo·ng. AŸp duƠng ỊÚnh ly˘ bie·n thie‚n mo‚men Ịo‰ng lˆÙƠng cu˚a he‰, d 1 Ma2θ˙ ma(u aθ˙) = mga sin ϕ dt 2 − −   (M + 2m)a2θ¨ = mga sin ϕ. 2 PHỤ LỤC A. —E¿ THI MA√U 58 —e y˘ rằng góc chuyển động của con bọ tại thời điểm t so với vị trí ban đầu bằng θ + ϕ. Con bọ chuyển động đều nên a(θ + ϕ)= ut, suy ra θ˙ =(u/a) ϕ˙, − ϕ¨ = θ¨. Thay vào phương trình biến thiên mômen động lượng ta được sau một số− bie·n ỊoÂi: 2mg ϕ¨ = sin ϕ. −a(M + 2m) Nha‚n hai ve· vÙ˘i ϕdt˙ = dϕ, ta ỊˆÙƠc: 1 2mg d(˙ϕ)2 = sin ϕdϕ. 2 −a(M + 2m) TÌch pha‚n hai ve· tˆ¯ thÙ¯i ỊieÂm Ịa‡u Ịe·n thÙ¯i ỊieÂm t: 1 2mg [˙ϕ(t)2 ϕ˙(0)2]= [cos(ϕ(t)) cos(ϕ(0))]. 2 − a(M + 2m) − Du¯ng Ịie‡u kie‰n Ịa‡u, ϕ(0) = 0, ϕ˙(0) = u/a, ta suy ra: 4mg u2 ϕ˙ 2 = (cos ϕ 1) + . a(M + 2m) − a2 Câu 5 He‰: o·ng truƠ ta‚m C va¯ va‰t naÍng A Va‰t A thˆƠc hie‰n chuyeÂn Ịo‰ng tÚnh tie·n theo phˆÙng ngang. HÏnh truƠ thˆƠc hie‰n chuyeÂn Ịo‰ng song pha˙ng, bao go‡m: tÚnh tie·n theo phˆÙng tha˙ng Ịˆ˘ng (cu¯ng vÙ˘i A) va¯ quay (tˆ˘c thÙ¯i) quanh B. He‰ co˘ 2 ba‰c tˆƠ do. ToƠa Ịo‰ suy ro‰ng: x - vÚ trÌ A theo phˆÙng ngang, ϕ go˘c quay cu˚a o·ng truƠ. Ca˘c lˆƠc chu˚ Ịo‰ng: troƠng lˆƠc P1, lˆƠc ma sa˘t Fms = fP2, troƠng lˆƠc P2. —o‰ng naÍng cu˚a A: P T = 2 x˙ 2. A 2g —e tÌnh Ịo‰ng naÍng o·ng truƠ, du¯ng co‚ng thˆ˘c tÌnh Ịo‰ng naÍng theo kho·i ta‚m C, trˆÙ˘c he·t ta tÌnh va‰n to·c cu˚a C baËng co‚ng thˆ˘c Euler (ỊieÂm cˆƠc la¯ B - ta‚m PHỤ LỤC A. —E¿ THI MA√U 59 quay tức thời) v =x ˙ +aϕ˙ w =x ¨ + aϕ.¨ C ⇒ C vB |{z} —o‰ng naÍng o·ng truƠ (J = Ma2) P 1 P P T = 1 (˙x + aϕ˙)2 + Jϕ˙ 2 = 1 (˙x2 + 2ax˙ϕ˙ + a2ϕ˙ 2)+ 1 a2ϕ˙ 2. C 2g 2 2g 2g —o‰ng naÍng cu˚a he‰: P + P P a P a2 T = T + T = 1 2 x˙ 2 + 1 x˙ϕ˙ + 1 ϕ˙ 2. A C 2g g g Co‚ng cu˚a ca˘c lˆƠc chu˚ Ịo‰ng (giu˘p tÏm ca˘c lˆƠc suy ro‰ng): fP δx + P δx + P aδϕ Q = fP + P , Q = P a. − 2 1 1 ⇒ x − 2 1 ϕ 1 TÌnh ca˘c ỊaƠo ha¯m ro‡i thay va¯o phˆÙng trÏnh Lagrange, ta ỊˆÙƠc: P + P P a 1 2 x¨ + 1 ϕ¨ = fP + P , g g − 2 1 P a 2P a2 1 x¨ + 1 ϕ¨ = P a. g g 1 Gia˚i ra ta ỊˆÙƠc g(P 2fP ) x¨ = 1 − 2 (gia to·c cu˚a A), P1 + 2P2 gP2(1+2f) g(P1 + P2) ϕ¨ = wC = (gia to·c cu˚a C). a(P1 + 2P2) ⇒ P1 + 2P2 Phụ lục B —e‡ thi mo‚n CÙ hoƠc ly˘ thuye·t Thời gian: 120 phút Ngày thi: 4/6/2009 (Sinh viên được phép tham khảo tài liệu chỉ định) Ca‚u 1 (2đ) —ieÂm chuyeÂn Ịo‰ng tre‚n ỊˆÙ¯ng cycloid, x = a(θ sin θ), y = a(1 cos θ), − − theo lua‰t θ = bt/a, trong Ịo˘ a va¯ b la¯ nhˆıng hằng so· dˆÙng. ‘¤ thÙ¯i ỊieÂm ba·t ky¯, xa˘c ỊÚnh va‰n to·c, gia to·c cu˚a ỊieÂm va¯ ba˘n cong cu˚a quyı ỊaƠo taƠi vÚ trÌ cu˚a ỊieÂm. Ca‚u 2 (2.5Ị) Mo‰t va‰t kho·i lˆÙƠng m trˆÙƠt kho‚ng ma sa˘t tre‚n maỴt pha˙ng nghie‚ng mo‰t go˘c α (0 <α<π/2) so vÙ˘i phˆÙng ngang. Cho bie·t va‰t chÚu sˆ˘c ca˚n kho‚ng khÌ co˘ Ịo‰ lÙ˘n tÊ le‰ vÙ˘i bÏnh phˆÙng va‰n to·c, kv2. Ban Ịa‡u va‰t Ù˚ ỊÊnh do·c O va¯ ỊˆÙƠc buo‚ng ra kho‚ng va‰n to·c Ịa‡u. Vie·t phˆÙng trÏnh vi pha‚n chuyeÂn Ịo‰ng cu˚a va‰t. Chˆ˘ng minh va‰n to·c cu˚a va‰t bie·n thie‚n theo quy lua‰t mg sin α v = (1 e−2kx/m), r k − trong Ịo˘ x la¯ khoa˚ng ca˘ch tˆ¯ va‰t Ịe·n ỊÊnh do·c. TÏm va‰n to·c giÙ˘i haƠn cu˚a va‰t. Ca‚u 3 (1Ị) Mo‰t qua˚ laÈc Ịo‡ng ho‡ go‡m: thanh Ịo‡ng cha·t chie‡u da¯i 2a, kho·i lˆÙƠng m va¯ ỊÛa tro¯n Ịo‡ng cha·t ba˘n kÌnh a/2, kho·i lˆÙƠng M gaÈn vÙ˘i nhau nhˆ hÏnh 1. TÌnh mo‚men qua˘n tÌnh cu˚a qua˚ laÈc Ịo·i vÙ˘i truƠc Ịi qua O (ỊieÂm giˆıa cu˚a thanh), cho bie·t OC = 3a/4. 60 PHỤ LỤC B. —E¿ THI MO¬N C‘ HOœC LYŸ THUYE¡T 61 Hình 1: a) Câu 3; b) Câu 5. Câu 4 (2đ) Một vật kho·i lˆÙƠng 4m Ù˚ traƠng tha˘i nghÊ (Ịˆ˘ng ye‚n) khi no˘ bÚ no tung tha¯nh ba ma˚nh co˘ kho·i lˆÙƠng la‡n lˆÙƠt la¯ 2m, m va¯ m. Sau khi no tung, hai ma˚nh kho·i lˆÙƠng m ỊˆÙƠc quan sa˘t tha·y chuyeÂn Ịo‰ng vÙ˘i cu¯ng to·c Ịo‰ u theo hai hˆÙ˘ng hÙƠp vÙ˘i nhau go˘c 120o. TÏm va‰n to·c cu˚a ma˚nh co˘ kho·i lˆÙƠng 2m. TÌnh Ịo‰ng naÍng toa¯n pha‡n cu˚a he‰ (go‡m ba ma˚nh). VÚ trÌ ban Ịa‡u cu˚a va‰t la¯ ỊieÂm gÏ cu˚a he‰? Câu 5 (2.5Ị) Con laÍn A laÍn kho‚ng trˆÙƠt tre‚n maỴt pha˙ng nghie‚ng mo‰t go˘c α so vÙ˘i phˆÙng ngang, la¯m va‰t C troƠng lˆÙƠng P ỊˆÙƠc na‚ng le‚n nhÙ¯ mo‰t sÙƠi da‚y vaÈt qua ro¯ng roƠc B. Con laÍn A va¯ ro¯ng roƠc B la¯ hai ỊÛa tro¯n Ịo‡ng cha·t co˘ cu¯ng troƠng lˆÙƠng Q va¯ ba˘n kÌnh R. Bo˚ qua ma sa˘t laÍn va¯ ma sa˘t cu˚a truƠc ro¯ng roƠc. Vie·t phˆÙng trÏnh Lagrange loaƠi hai cho he‰. Chˆ˘ng minh gia to·c cu˚a C baËng (Q sin α P )g w = − . C 2Q + P Haıy chÊ ra Ịie‡u kie‰n tre‚n ca˘c dˆı kie‰n cu˚a Ịa‡u ba¯i (kho‚ng ỊˆÙƠc cho mo‰t ca˘ch tˆÙ¯ng minh). —a˘p a˘n Ca‚u 1 Va‰n to·c: x˙ = b(1 cos θ), y˙ = b sin θ v = b 2(1 cos θ). − ⇒ − p Gia to·c: b2 b2 b2 x¨ = sin θ, y¨ = cos θ w = . a a ⇒ a PHỤ LỤC B. —E¿ THI MO¬N C‘ HOœC LYŸ THUYE¡T 62 Tính bán kính cong. Gia to·c tie·p: b2 sin θ wt =v ˙ = . a 2(1 cos θ) − p Gia to·c pha˘p: 2 2 2 b 1 cos θ wn = w wt = − . − a r 2 p Suy ra v2 ρ = = 2a 2(1 cos θ). wn − p Câu 2 HÏnh 1: Ca‚u 2. He‰ quy chie·u ỊˆÙƠc choƠn nhˆ hÏnh veı, truƠc Ox hˆÙ˘ng song song vÙ˘i maỴt nghie‚ng. LˆƠc ta˘c duƠng le‚n va‰t: troƠng lˆƠc P, pha˚n lˆƠc N va¯ lˆƠc ca˚n kho‚ng khÌ Fc. Chie·u phˆÙng trÏnh vi pha‚n chuyeÂn Ịo‰ng (ỊÚnh lua‰t thˆ˘ hai cu˚a Newton) le‚n truƠc x, ta ỊˆÙƠc: mx¨ = mg sin α kx˙ 2. − Nha‚n va¯o hai ve· vÙ˘i xdt˙ = dx, ta ỊˆÙƠc: m d(v2)=(mg sin α kv2)dx, 2 − trong Ịo˘ v =x ˙. Ta˘ch bie·n, md(v2) = dx, 2(mg sin α kv2) − PHỤ LỤC B. —E¿ THI MO¬N C‘ HOœC LYŸ THUYE¡T 63 rồi tích phân hai ve· (chu˘ y˘, bie·n la·y tÌch pha‚n be‚n ve· tra˘i la¯ v2), ta ỊˆÙƠc: m v2 ln mg sin α kv2 = x x(0). −2k | − | v2(0) − Du¯ng Ịie‡u kie‰n Ịa‡u, v(0) = 0,x(0) = 0, mg sin α kv2 2kx ln − = , mg sin α − m   suy ra mg sin α v = (1 e−2kx/m). r k − Qua giÙ˘i haƠn, t , ta thu ỊˆÙƠc (do x ): →∞ →∞ mg sin α mg sin α v = lim (1 e−2kx/m)= . gh →∞ x r k − r k Câu 3 Mo‚men qua˘n tÌnh cu˚a thanh Ịo·i vÙ˘i truƠc Ịi qua O: 1 4ma2 J = m(2a)2 = . t 3 3 Mo‚men qua˘n tÌnh cu˚a ỊÛa Ịo·i vÙ˘i truƠc Ịi qua O (du¯ng co‚ng thˆ˘c Huygens): 1 a 2 3a 2 11Ma2 J = M + M = . Ị 2 2 4 16     Va‰y, mo‚men qua˘n tÌnh cu˚a qua˚ laÈc Ịo·i vÙ˘i truƠc qua O: 4m 11M 2 J = J + JỊ = + a . t 3 16   PHỤ LỤC B. —E¿ THI MO¬N C‘ HOœC LYŸ THUYE¡T 64 Hình 2: Câu 4. Câu 4 Hệ gồm ba vật có kho·i lˆÙƠng lần lượt là m, m, 2m (ban đầu chúng kết dính với nhau). Theo giả thie·t ban Ịa‡u chu˘ng Ịˆ˘ng ye‚n, Ịiều đó có nghĩa là lực tác dụng lên chúng bằng không! Ta áp dụng định lý bảo toàn động lượng. Gọi v là độ lớn vận tốc của vật 2m. Do động lượng ban đầu của hệ bằng không nên động lượng của hệ lúc sau cũng vậy. Do đó vận tốc của vật 2m có phương chiều như hình vẽ, và độ lớn được tính nhờ sự bảo toàn động lượng u mu cos 60o + mu cos 60o 2mv = 0 v = . − ⇒ 2 Động năng của hệ: mu2 mu2 2m u 2 5mu2 T = + + = . 2 2 2 2 4   Vị trí ban đầu của vật (O) là khối tâm của hệ. Câu 5 Cơ hệ gồm: con lăn A, ròng rọc B, vật C. Lực chủ động tác dụng lên hệ: trọng lực Q, phản lực NA, trọng lực Q, phản lực NB, trọng lực P (xem hình vẽ). Liên kết: Con lăn A chuyển động song phẳng. Chuyển dịch tịnh tiến s và quay quanh tâm góc ϕ. Do lăn trượt nên δs = Rδϕ (s˙ = Rϕ˙). Ròng rọc B thực hiện chuyển động quay góc ϕ (chọn go·c thÌch hÙƠp). Va‰t C dÚch chuyeÂn tÚnh tie·n x. Do da‚y kho‚ng giaın δx = δs (x˙ =s ˙). Nhˆ va‰y, he‰ co˘ 1 ba‰c tˆƠ do, choƠn toƠa Ịo‰ suy ro‰ng la¯ x (toƠa Ịo‰ va‰t C). PHỤ LỤC B. —E¿ THI MO¬N C‘ HOœC LYŸ THUYE¡T 65 Hình 3: Câu 5. —o‰ng naÍng cu˚a con laÍn A: Q QR2 3Q T = s˙2 + ϕ˙ 2 = x˙ 2. A 2g 4g 4g —o‰ng naÍng cu˚a ro¯ng roƠc B: QR2 Q T = ϕ˙ 2 = x˙ 2. B 4g 4g —o‰ng naÍng cu˚a va‰t C: P T = x˙ 2. C 2g —o‰ng naÍng cu˚a he‰: P + 2Q T = T + T + T = x˙ 2. A B C 2g Co‚ng toa¯n pha‡n do lˆƠc chu˚ Ịo‰ng ta˘c duƠng le‚n he‰: δW = Q sin αδs Pδx =(Q sin α P )δx. − − Do Ịo˘, lˆƠc suy ro‰ng Q = Q sin α P . x − PHỤ LỤC B. —E¿ THI MO¬N C‘ HOœC LYŸ THUYE¡T 66 Tính các đạo hàm rồi thay vào phương trình Lagrange, ta được: P + 2Q (Q sin α P )g x¨ = Q sin α P w =x ¨ = − . g − ⇒ C P + 2Q —iều kiện: để vật C đi lên ta phải có điều kiện Q sin α P . ≥ Lời bàn Câu 4 Câu này thường làm cho các bạn lúng túng về lực tác dụng lên hệ. Tuy nhiên, nếu để ý đe·n cuƠm tˆ¯ "ở trạng thái nghỉ (đứng yên)" thì ta có thể xem, theo định luật thứ nhất của Newton, hệ không chịu tác dụng bởi lực nào cả, hay nói khác đi, các lực tác dụng lên hệ cân bằng. Câu 5 Một số bạn cho là hệ có 2 bậc tự do! Thật ra với điều kiện "lăn Hình 4: Tính động năng trong chuyển động song phẳng. không trượt" của con lăn thì bài này chỉ có 1 bậc tự do. Một số bạn áp dụng máy móc cách tính động năng của con lăn giống như cách tính động năng của ống trụ (câu 5 của đề thi mẫu). Như trên hình 4a), ống trụ thực hiện chuyển động song phẳng được phân tích bằng cách chọn B làm điểm cực, gồm: chuyển động tịnh tiến của điểm B và chuyển động quay quanh trục đi qua B của ống trụ. Còn trong bài này, hình 4b), chuyển động của con lăn gồm: chuyển động tịnh tiến của điểm A và chuyển động quay quanh A của con lăn. Các bạn nên đọc lại lời giải trong hai trường hợp để so sánh. Tài liệu tham khảo [1] —aỴng —Ïnh AŸng, TrÚnh Anh NgoƠc, Ngo‚ Tha¯nh Phong, Nhập môn Cơ học, NXB —aƠi hoƠc Quo·c gia TP. HCM 2003. [2] Nguye„n TroƠng Chuye‡n, Phan VaÍn Cu˘c, Bài tập cơ học lý thuye·t, NXB Khoa hoƠc va¯ Kyı thua‰t, Ha¯ no‰i, 1991. [3] R. Douglas Gregory, Classical Mechanics - An Undergraduate Text, Cambridge University Press, 2006. [4] R. Douglas Gregory, Classical Mechanics - Solution Manual, Cambridge Uni- versity Press, 2006. [5] X.M. Targ, Gia˘o trÏnh gia˚n ye·u cÙ hoƠc ly˘ thuye·t, NXB —aƠi hoƠc & Trung hoƠc Chuye‚n nghie‰p Ha¯ no‰i, Mir MatxcÙva 1979. 67