Đề cương ngyên lý máy

Câu 1: Viết và giả thích biểu thức tính mômen quán tính thay thế trên khâu dẫn của cơ cấu. Nêu ý nghĩa của mô men quán tính thay thế? Trả lời: +)Biểu thức tính mômen quán tính thay thế trên khâu dẫn của cơ cấu Trong đó: mi: mômen quán tính khâu thứ i. Jsi : mômen quán tinhs khâu thứ I đối với trục đi qua trọng tâm si của khaau và vuông góc với mặt phẳng chuyển động. Vsi: vận tốc trọng tâm khâu thứ i. wt : Vân tốc góc của khâu thay thế. +)Ý nghĩa của mômen quán tính thay thế: Qua các phương trình chuyển động của máy ta thấy: khi nghiên cứu chuyển động thực, ngoài việc xét tới công của lực đã biết còn phải xét tới động năng của máy. Động năng của máy phụ thuộc vào khối lượng khâu và tình hình phân bố các khối lượng đó. Bởi vậy để tiện cho việc tính toán, ta có thể dùng một mômen quán tính của vật thể tưởng tượng quay cùng với khâu thay thế thay cho khối lượng và mômen quán tính của tất cả các khâu động trong máy. động năng của mômen quán tính thay thế đó phải bằng tổng động năng của tất cả các khâu động của máy. Câu 2: Các giai đoạn chuyển động của máy từ khi bắt đầu hoạt động tới khi dừng hẳn. Đặc điểm của từng giai đoạn.Viết phương trình chuyển động của máy dưới dạng tổng quát ( phương trình động năng). Trả lời: Các giai đoạn chuyển động của máy: Giai đoạn khưỏi động máy. Trong giai ddoanj khởi động, vận tốc của khâu dẫn tăng từ không(wkd=0) tới trị số vận tốc trung bình nào đó ứng với vận tốc làm việc bình thường của máy (wkd=wtb). Điều đó chỉ xảy ra khi công phát động phải lớn hơn công của lực cản sau toàn bộ thời gian khởi động.(Ad>Ac). biến thiên động năng dương nên động năng tang máy chuyển động nhanh dần.Công dư biến thành động năng. Giai đoạn chuyển động ổn định. Trong giai đoạn này thường vận tốc góc trung bình của khâu dẫn được duy trì ổn định. Đay là giai đoạn làm việc bình thường của máy nên là thời kì dài nhất. Trong phạm vi một chu kì chuyển động bình ổn thì:Ad=Ac. Giai đoạn ngừng máy. Trong giai đoạn ngừng máy vận tốc khâu dẫngiảm từ trí số wo=wtb tới không.Thời kì này thường bắt đầu khi ngừng cung cấp công phát dộng chô máy: Ad=o. Trong giai đoạn ngừng máy, nếu Ac càng lớn, giá trị tuyệt đối biến thiên động năng càng lớn, động năng giảm càng nhanh máy dừng càng chóng. Máy sẽ dừng hẳn khi toàn bộ động ngăng tích luỹ đựoc của máy dùng đẻ khắc phục công của lực cản. Để rút ngắn GĐ này người ta thường dùng hãm, nghĩa là tăng Ac. Phương trình chuyển động của máy dưới dạng tổng quát ( phương trình động năng) Trong đó: mti và mto là khối lượng thay thế tại hai vị trí của điểm thay thế. Ptd và Ptc là lực động thay thế và lực cản thay thế. S độ dịch chuyển của điểm thay thế. Hoặc jo trị số góc j ở thời điểm ban đầu. ji trị số góc j ở thời điểm đang xét. wto;wti vận tốc góc tại thời điểm tương ứng . Trong đ ó Mtd; Mtc mômen thay thế động và mômen thay thế cản. Câu 3: Công dụng của bánh đà và bộ điều tiết ly tâm? Trả lời w Công dụng của bánh đà: + Bánh đà dùng để điều chỉnh sự dao động chu kỳ của vận tốc khâu dẫn. + Bánh đà có khả năng làm đều chuyển động của máy bằng cách tích lũy và giải phóng năng lượng dưới dạng động năng, không làm thay đổi công cung cấp cho máy. Để ổn định chuyển động của máy người ta còn dùng bộ điều chỉnh tốc độ (Bộ điều tiết ly tâm). w Công dụng của bộ điều tiết ly tâm: Khi tốc độ tăng lực ly tâm của các quả văng sẽ tác động qua hệ thống thành làm thay đổi lượng nhiên liệu cung cấp cho xi lanh. + Khi tăng thì lượng nhiên liệu sẽ giảm làm giảm. + Khi mở máy giảm thì quá trình xảy ra ngược lại. w Như vậy, sự khác biệt cơ bản giữa bánh đà không thay đổi năng lượng cung cấp cho máy, còn bộ điều tiết ly tâm làm thay đổi công cung cấp cho máy. Câu 4: Khi nào cần dùng tới bánh đà? Bánh đà thường đặt ở đâu? Tại sao? Trả lời w Khi nào cần dùng tới bánh đà? + Ngay cả khi đã cđ ổn định, vận tốc của máy vẫn không ổn định. Vì vậy khắc phục hoặc hạn chế tối đa ảnh hưởng xấu do máy làm việc không đều thì cần phải làm đều chuyển động của máy. + Làm đều cđ của máy thường được thực hiện bằng cách chọn thích hợp khối lượng của các khâu động của máy. Sự dao động của vận tốc khâu dẫn có thể được giảm thiểu nhờ tăng hợp lý khối lượng các khâu của cơ cấu. Trong thực tế, điều đó thường được thực hiện bằng cách lắp lên một trong các trục của máy một khối lượng phụ gọi là bánh đà. w Bánh đà thường đặt ở đâu? Ta thêm vào máy một mô men quán tính không đổi gọi là Jđ . Nó phụ thuộc vào , và . Thông thường thì Jđ được lắp vào khâu có vận tốc cao nhất của máy. w Tại sao? Tại vì khi máy cđ nhanh dần, động năng được tích lũy lại trong bánh đà và trả lại động năng cho máy khi máy chuyển động chậm dần à làm máy chuyển động ổn định hơn. Câu 5: ưu khuyết điểm và phạm vi sử dụng của cơ cấu gồn toàn khớp loại thấp. Bài làm: Ưu điểm: Do thành phần khớp động là mặt mặt nên lâu mồn, chịu được tải trọng lớn do áp suất nhỏ, khả năng truyền lực lớn. chế tạo đơn giản, dễ đạt độ chính xác cao. Không cần các thiết bị bảo toàn khớp động. chỉ cần thay đổi chiều dài tương đối của các khâu mà không cần thay đổi quy luật chuyển động của khâu dẫn có thể khiến khâu bị dẫn thực hiện các chuyển động theo yêu cầu khác nhau. Nhược điểm khó thiết kế chính xác cơ cấu theo các điều kiện cho trước và khó thực hiện chính xác các quy luật chuyển động phức tạp. khó cân bằng lực quán tính của các khâu chuyển động phức tạp, khi vận tốc cao sẽ gây ra tải trọng động lớn. Phạm vi sử dụng: Do có nhược điểm trên nên cơ cấu thanh thường dùng trong trường hợp vận tốc tương đối thấp. Câu 6: Các loại hình của cơ cấu thanh phẳng 4 khâu. Tay quay là gì, điều kiện tồn tại tay quay của cơ cấu 4 khâu bản lề phẳng. tay quay có thể là khâu dài nhất không? Bài làm: Các loại hình cảu cơ cấu thanh phẳng 4 khâu. Cơ cấu tay quay cần lắc: nếu trong số 2 khâu nối với giá của cơ cấu 4 khâu bản lề có 1 khâu là tay quay, 1 khâu là cần lắc thì cơ cấu đó được gọi là cơ cấu tay quay cần lắc. Cơ cấu 2 tay quay: khi 2 khâu nối với giá của cơ cấu 4 khâu bản lề đều là tay quay thì cơ cấu đó được gọi là cơ cấu tay quay. Cơ cấu 2 cần lắc: nếu 2 khâu nối giá của cơ cấu 4 khâu bản lề đều là cần lắc thì cơ cấu đó được gọi là cơ cấu 2 cần lắc. Tay quay: trong cơ cấu 4 khâu bản lề khâu cố định gọi là giá, khâu đối diện với giá gọi là thanh truyền, 2 khâu còn lại nối với giá cố định gọi là tay quay nếu quay được toàn vòng 360o. điều kiện tồn tại tay quay của cơ cấu 4 khâu bản lề phẳng(2 khâu có thể quay tròn vòng với nhau): là trong 2 khâu đó phải có 1 khâu ngắn nhất của chuỗi động và tổng chiều dài của của khâu ngắn nhất và dài nhất nhỏ hơn hoặc bằng 2 khâu còn lại. tay quay có thể là khâu dài nhất. Câu 7: Điều kiện quay toàn vòng của cơ cấu bốn khâu bản lề phẳng toàn khớp thấp? Bài làm: Điều kiện quay toàn vòng của cơ cấu bốn khâu bản lề phẳng toàn khớp thấp: là trong 2 khâu đó phải có 1 khâu ngắn nhất của chuỗi động và tổng chiều dài của của khâu ngắn nhất và dài nhất nhỏ hơn hoặc bằng 2 khâu còn lại. Câu 8: Định nghĩa hệ số về nhanh k, Cách xác định hệ số về nhanh k của cơ cấu 4 khâu tay quay cần lắc, tay quay con trượt và cơ cấu culít? Bài làm: Định nghĩa hệ số về nhanh k hệ số về nhanh k là tỉ số giữa vận tốc trung bình của khâu bị dẫn khi chạy không và vận tốc trung bình của khâu bị dẫn khi làm việc. Cách xác định hệ số về nhanh k của cơ cấu 4 khâu tay quay cần lắc với θ là góc cự vị là góc nhọn xen giữa 2 vị trí cực hạn. Cách xác định hệ số về nhanh k của cơ cấu 4 khâu tay quay con trượt Ta cũng dùng công thức sau: nếu là cơ cấu chính tâm thì θ =0 vậy k =1. vận tốc trung bình của con trượt khi đi và về là như nhau. với cơ cấu lệch tâm thì θ khác 0 nên k>1. cơ cấu có tác dụng về nhanh. Cách xác định hệ số về nhanh k của cơ cấu 4 khâu culít Góc θ trong cơ cấu culít luôn khác 0 và bằng góc góc lắc ψ. Nên . Cơ cấu culít k luôn lớn hơn 1 hay cơ cấu culít có tác dụng về nhanh. Câu 9: Điều kiện để cơ cấu tay quay con trượt có hệ số về nhanh k > 1. ý nghĩa của hệ số k khi thiết kế cơ cấu? Bài làm: Điều kiện để cơ cấu tay quay con trượt có hệ số về nhanh k > 1 Để cơ cấu tay quay con trượt có hệ số về nhanh k > 1 thì θ khác 0. vậy cơ cấu đó phải là cơ cấu lệch tâm. ý nghĩa của hệ số k khi thiết kế cơ cấu: khi đã biết hệ số k ta có thể tính được góc cực vị qua đó ta mới có thể thiết kế được cơ cấu thích hợp thoả mãn các điều kiện động học, động lực học hay điều kiện hình học. Câu 10: trình bầy cách xác định các kích thước cơ bản của cơ cấu tay quay con trượt lệch tâm khi đã biết: hệ số về nhanh k, hành trình con trượt h và đệ lệch tâm e, đặc điểm của cơ cấu tay quay con trượt khi k=1? Bài làm: cách xác định các kích thước cơ bản của cơ cấu tay quay con trượt lệch tâm khi đã biết: hệ số về nhanh k, hành trình con trượt h và đệ lệch tâm e Trước hết ta xác định góc cực vị: Dùng phương pháp đồ giải để giải bài toàn trên: đầu tiên dựng đoạn C1C2=H. qua C1 kẻ đường hợp bởi C1C2 1 góc 90O – θ. Qua C2 kẻ đường vuông góc với C1C2. 2 đường thẳng này cắt nhau tại P. dựng đường tròn đi qua 3 điểm P, C1, C2. vậy một điểm A bất kỳ thuộc đường tròn đều có góc C1AC2 bằng θ. Do đó tâm của trục quay phải thuộc đường tròn. Kẻ 1 đường song song với đường C1C2 cắt đường tròn tại tam quay A của trục quay AB. Sau khi tìm được A, dựa vào quan hệ hình học AB và BC tại 2 vị trí cực hạn ta dễ dàng tìm được chiều dài r cảu tay quay là chiều dài l của thanh truyền. đặc điểm của cơ cấu tay quay con trượt khi k=1: vận tốc trung bình của con trượt khi đi và về là như nhau cơ cấu này không có tính về nhanh khi chuyển động. Câu 11: Các loại hình của cơ cấu thanh phẳng 4 khâu. nội dung chính của thiết kế cơ cấu thanh là gì? lấy ví dụ? Bài làm: Các loại hình cảu cơ cấu thanh phẳng 4 khâu. Cơ cấu tay quay cần lắc: nếu trong số 2 khâu nối với giá của cơ cấu 4 khâu bản lề có 1 khâu là tay quay, 1 khâu là cần lắc thì cơ cấu đó được gọi là cơ cấu tay quay cần lắc. Cơ cấu 2 tay quay: khi 2 khâu nối với giá của cơ cấu 4 khâu bản lề đều là tay quay thì cơ cấu đó được gọi là cơ cấu tay quay. Cơ cấu 2 cần lắc: nếu 2 khâu nối giá của cơ cấu 4 khâu bản lề đều là cần lắc thì cơ cấu đó được gọi là cơ cấu 2 cần lắc. nội dung chính của thiết kế cơ cấu thanh là: dựa trên các yêu cầu chuyển động đặt ra, chon lược đồ cơ cấu thích hợp nhất trong số các phương án có khả năng đáp ứng được các nhu cầu đó rồi xác định các kích thước động học của lược đồ cơ cấu đã chọn. các điều kiện cho cho trước khi thiết kế thường gồm: điều điện động luẹc học. điều kiện hình học và điều kiện động học trong đó điều kiện động học là chủ yếu, 2 điều kiện còn lại là hỗ trợ. Câu 12: Định nghĩa góc áp lực, góc truyền động và hệ số về nhanh k của cơ cấu 4 khâu bản lề? ý nghĩa của các tham số đó. điểm chết của cơ cấu 4 khâu bản lề là gì? Xét điểm chết nhằm mục đích gì? Bài làm: Định nghĩa góc áp lực: là góc nhọn hợp bởi đường tác dụng của lực P với phương của vận tốc tuyệt đối Vc của điểm đặt lực C gọi là góc áp lực. ký hiệu là α. Ý nghĩa: góc áp lực càng nhỏ thì cơ cấu làm việc càng có lợi. Định nghĩa góc truyền động: là góc nhọn hợp bởi đường tác dụng của lực P với phương của vận tốc Pn gọi là góc truyền động. ký hiệu là γ. Ý nghĩa: Do α+γ=90O Nên góc truyền động càng lớn thì cơ cấu làm việc càng có lợi. Định nghĩa hệ số về nhanh k: hệ số về nhanh k là tỉ số giữa vận tốc trung bình của khâu bị dẫn khi chạy không và vận tốc trung bình của khâu bị dẫn khi làm việc. Ý nghĩa: Dùng trong sản suất khi thiết kế các máy có hành trình không làm việc về nhanh nhằn rút ngắn thời gian chạy không, nhờ đó nâng cao được năng suất lao động. điểm chết của cơ cấu 4 khâu bản lề: là vị trí mà khâu dẫn và thanh truyền cùng nằm trên 1 đường thẳng. (AB’C’D hay AB’’C’’D). Xét điểm chết nhằm mục đích: để có thể đưa ra các biện pháp để cơ cấu có thể vượt điểm chết giúp động cơ hoạt động bình thường. Ngoài ra trong kỹ thuật người ta còn lợi dụng vị trí chết để thực hiện một số yêu cầu làm việc nào đó. VD trong cơ cấu kẹp chặt phôi của máy khoan. Câu 13: Cam cần đẩy chính tâm và cam cần đẩy lệch tâm? Khi nào dùng cam cần đẩy lệch tâm? Định nghĩa góc áp lực? Trả lời w Cam cần đẩy chính tâm và cam cần đẩy lệch tâm? + Cam cần đẩy chính tâm (Hình a) là cơ cấu cam cần đẩy thực hiện cđ tịnh tiến qua lại khi phương trượt của cần đi qua tâm qay của cam. Hình a. + Cam cần đẩy lệch tâm (Hình b) là cơ cấu cam cần đẩy thực hiện cđ tịnh tiến qua lại khi phương trượt của cần không đi qua tâm quay của cam mà cách tâm quay đó một đoạn bằng e. Hình b w Khi nào dùng cam cần đẩy lệch tâm? Ta dùng cam cần đẩy lệch tâm để thiết kế biên dạng cam thích hợp để làm cho khâu bị dẫn có thể thực hiện bất cứ chuyển dộng cho trước nào. w Định nghĩa góc áp lực? Góc áp lực là góc hợp bởi véc tơ lực tác dụng từ cam lên cần và véc tơ vận tốc tại điểm đặt lực. Câu 14: Vai trò của góc áp lực khi thiết kế cơ cấu cam? Trình bày ngắn gọn các bước thiết kế cơ cấu cam cần đẩy mang con lăn khi biết quy luật cđ S2 = ; n1 ; e. ? Trả lời w Vai trò của góc áp lực khi thiết kế cơ cấu cam? Góc áp lực là tham số quan trọng phản ánh đặc trưng truyền lực của cơ cấu. Xét theo quan điểm giảm lực đẩy và tránh tự hãm. Góc áp lực càng nhỏ càng tốt. w Các bước thiết kế cơ cấu cam cần đẩy mang con lăn? + Vẽ 2 đường tròn đồng tâm bán kính r0 và e. Qua k kẻ phương chuyển động của tâm con lăn, tiếp xúc với đường tròn lệch tâm cắt vòng cơ sở tại điểm B0 (C0 : điểm này là vị trí ban đầu của tâm con lăn). + Chia góc tương ứng với hành trình đi xa và hành trình trở về của đồ thị chuyển vị S2 = f() thành một số phần bằng nhau. + Bắt đầu từ OC0 theo chiều ngược với lần lượt dựng các góc (1800), (300), (900), và (600), trên vòng cơ sở ta được các điểm C4, C5, C9. Chia các góc và thành một số phần bằng nhau ta được các điểm C1, C2, C3, C6, C7, C8 + Qua các điểm C1, C2, C3, … kẻ một loạt các tiếp tuyến với vòng tròn lệch tâm. Chúng chính là một loạt các vị trí của phương chuyển động của cần đẩy sau khi quay ngược. Dọc theo các tiếp tuyến vừa kẻ, đo từ vòng cơ sở các đoạn = , = … tương ứng với các chuyển vị cần tìm. Ta được một loạt vị trí của tâm con lăn B1, B2 … sau khi quay ngược. + Nối các điểm B1, B2 … bằng một đường cong tròn ta được biên dạng cam lý thuyết . Vẽ một loạt đường tròn có bán kính là bán kính con lăn tâm nằm trên biên dạng cam lý thuyết. Cuối cùng vẽ đường bao phía trong của một loạt đường tròn đó ta được biên dạng cam thực tế của cơ cấu cần đẩy mang con lăn. Vẽ hình 8.43 Câu 15: Trình bày các vẽ dạng cam cần lắc mang con lăn khi biết trước quy luật gia tốc của cần cho dưới dạng đồ thị ; ; góc áp lực cho phép ; chiều dài cần l ; chiều quay của cam là ngược chiều kim đồng hồ. Trả lời Các bước thiết kế biên dạng cam của cơ cấu: + Chia các góc của hành trình đi xa và của hành trình trở về trên đồ thị thành một số phần bằng nhau. + Dựa vào a để xác định vị trí của O và O2, Dựng vòng tròn tâm O1 bán kính ro và cung tròn tâm O2 bán kính l cắt nhau tại B0 (C0) . Nếu đòi hỏi khi đi xa cần lắc theo chiều ngược kim đồng hồ, B0 ở bên phải O1O2 ngược lại B0 ở bên trái O1O2 . Đó là vị trí ban đầu của tâm con lăn. + Vẽ vòng tròn tâm O1 bán kính bằng a. Theo chiều ngược kim đồng hồ lần lượt xác định các góc (=1800), (=300), (=900), (=600), Chia các góc và thành các phần bằng nhau ta được các điểm O21, O22,… là vị trí tâm con lăn của cần sau khi chuyển động ngược . + Lấy O21, O22,… làm tâm, dựng các cung tròn , … bán kính l lấy trên các cung tròn đó, lấy từ vòng tròn cơ sở các cung = , = … Nối các điểm B0 , B1 , B2,… bằng một đường cong trơn ta được đường cong L là biên dạng cam lý thuyết của cơ cấu cam cần lắc mang con lăn. Vẽ một loạt đường tròn có bán kính là bán kính con lăn tâm nằm trên biên dạng cam lý thuyết. Cuối cùng vẽ đường bao phía trong của một loạt đường tròn đó ta được biên dạng cam thực tế của cơ cấu cần lắc mang con lăn. Vẽ hình 4.46 Câu 16: Trình bày phương pháp thiết kế cơ cấu tay quay cần lắc khi biết góc lắc của cần, chiều dài l của cần lắc và hằng số năng suất k. Trả lời Trình tự thiết kế như sau: + Xác định góc cực vị theo công thức sau: + Chọn điểm D bất kỳ làm vị trí tâm khớp quay D. Dựng hai vị trí cực hạn của cần lắc DC1 và DC2 theo chiều dài của cần lắc DC và góc lắc + Nối C1 và C2 rồi dựng các góc C1C2O = C2C1O = 900 - , ta được giao điểm O của các cạnh C1O và C2O. Vẽ vòng tròn tâm O, bánh kính OC1. Do bất cứ điểm A nào nằm trên cung tròn C1C2 vừa dựng đều nhìn đoạn dưới góc , nên tâm khớp quay A phải nằm trên cung tròn đó. Bài toán sẽ có vô số lời giải. Nếu xét thêm các điều kiện phụ trợ khác như chiều dài lAD của giá cố định hoặc độ lớn góc truyền động tại vị trí C2 … thì vị trí điểm A hoàn toàn được xác định. Bài toán khi đó sẽ có lời giải duy nhất. + Gọi A là chiều dài của tay quay AB và b là chiều dài của thanh truyền BC. Sau khi xác định được vị trí của điểm A, dựa vào hai vị trí cực hạn ở đó tay quay và thanh truyền cùng nằm trên một đường thằng, ta có: và Từ hai đẳng thức trên, ta xác định được kích thước các khâu lAB = a và lBC = b của cơ cấu tay quay cần lắc cần thiết kế. Câu 18: Phát biểu chúng minh định lý cơ bản của sự ăn khớp. Tại sao cặp biên dạng thân khai thoả mãn định lý cơ bản của sự ăn khớp. Trả lời: Định lý: Để đảm bảo tỉ số truyền không đổi của hai cặp bánh răng ăn khớp khi truyền động, pháp tuyến chung của hai biên dngj răng tại bất cứ vị trí tiếp xúc nào đều phải đi qua một điểm cố định trên đường nối hai tâm quay và chia đường nối hai tâm quay đó thành hai đoạn tỉ lệ nghiach với vận tốc góc của các bánh răng. Chứng minh: Xét trường hợp hai bánh răng 1 và 2 quay quanh O1 và O2 với các vận tốc w1 và w2 Các biên dạng răng E1 và E2 thuộc các bánh răng 1 và 2 tiếp xúc với nhau ở K tại thời điểm đang xét.Qua K kẻ pháp tuyến chung nncủa hai biên dạng răng cắt đường nối tâm O1O2 tại P. Vận tốc điểm K của hai biên dạng răng khi đó: . Thành phần trên phương pháp tuyến N1N2 của cá vận tốc ;cần phải bằng nhau nếu không hai biên dạng sẽ lún vào nhau hoạc se tách rời nhau.Do đó: (*) Vẽ hình Ta có: Trong đó N1 và N2 là giao điểm của đường vuông góc chung nn kẻ từ O1 và O2. Theo điều kiện (*) ta có: Do hai tam giác PO1N1 và tam giác PO2N2 đồng dạng với nhau nên: Từ đó ta được (*)(*) Vees trái của (*)(*) chính là tỉ số truyền i12 cần phải đảm bảo luoon không đổi. Vì khoảng cách tâm O1O2 luôn không đổi nên tỉ số truyền i12 không đổi khi điểm P cố định. Đồng thờiđiểm P chia đoạn O1O2 thành những đoạn tỉ lệ với vận tốc góc của các bánh răng. Điểm P là tâm ăn khớp. Đường thân khai thoả mãn định lý cơ bản của sự ăn khớp: Dựa vào tính chất đặc trưng nhất của đường thân khai: pháp tuyến của đường thân khai là tiếp tuyến của vòng cớ sở, ta sẽ chứng minh điều này. Vẽ hình Xét hai bánh răng có vòng cơ sở là r01và r02 tiếp xúc với nhau tại K. Qua K kẻ pháp tuyến chung N1N2 của hai biên dạng răng đối tiếp.Theo tính chất của đường thân khai, pháp tuyến chung N1N2 đó phải là tiếp tuyến chung của hai vòng tròn cơ sở. Do hai vòng cơ sở có tâm và bán kính đều không đổi nên tiếp tuyến chung trong theo một hướng phải cố định. Do đó, cho dù hai biên dạng răng tiếp xúc ở đâu pháp tuyến chung N1N2 của hai biên dạng răng kẻ qua điểm tiếp xúc vẫn là một đường thẳng cố định cắt đường nối hai tâm O1O2 tại điểm P cố định. Điều đó chứng tỏ bánh răng thân khai thoả mãn định lý cơ bản của sự ăn khớp. Ta có: