Dao động của hệ có một số hữu hạn bậc tự do

Chương 2. Dao động của hệ có một số hữu hạn bậc tự do 2-1 Chương 2 DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT SỐ HỮU HẠN BẬC TỰ DO 2.1 Phương trình vi phân tổng quát của dao động Ta nghiên cứu dao động của dầm có n khối lượng tập trung (hình 2-1). Giả thiết không để ý đến kích thước của khối lượng và bỏ qua trọng lượng bản thân dầm. Như vậy hệ có n bậc tự do. Hệ này dao động dưới tác dụng của các lực sau: - Các lực kích thích q(t), P(t), M(t); - Các lực quán tính do các khối lượng mk dao động: )(. tymZ kkK &&−= ; hướng theo chiều chuyển động. - Các lực cản đặt tại khối lượng RK(t) hướng ngược chiều chuyển động. Theo nguyên lý Đalambe, ta viết được phương trình chuyển động của các khối lượng: [ ] [ ] [ ] )()()(...)()()()()( 222111 ttRtZtRtZtRtZty kPnnKnKKk ∆+−++−+−= δδδ (2-1) (k = 1, 2, 3, ..., n). Trong đó: Kiδ - chuyển vị của khối lượng mK do lực đơn vị đặt tại khối lượng mi theo phương của chuyển vị yi gây ra trong hệ; )(tKP∆ - chuyển vị của khối lượng mK do các tải trọng q(t), P(t), M(t) gây ra với giả thiết mK = 0 (coi như bài toán tĩnh). Thay biểu thức của lực quán tính vào (2-1) và sau khi biến đổi, ta có: −−⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −−−⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −−− ...)()()()()( 22221111 tRtymtRtymty kkk &&&& δδ 0)()()( =∆−⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −−− ttRtym kPnnnkn &&δ . hay: ++⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ++⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ++ ...)()()()()( 22221111 tRtymtRtymty kkk &&&& δδ 0)()()( =∆−⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +++ ttRtym KPnnnKn &&δ (2-2) m1 km nm 1y (t) y (t)k y (t) n y z P(t) q(t) M(t) Hình 2-1. Sơ đồ tính Chương 2. Dao động của hệ có một số hữu hạn bậc tự do 2-2 (k = 1, 2,..., n) Đó là phương trình vi phân tổng quát của dao động hay còn gọi là phương trình chính tắc của hệ có n bậc tự do dùng để xác định các chuyển vị động y1(t),...,yn(t) của các khối lượng. Nếu không kể tới lực cản, hệ phương trình (2-2) có dạng: 0)()(...)()()( 22211 =∆−++++ ttymtymtymty kPnnknkkk &&&&&& δδδ , (2-3) (k = 1, 2,..., n) Khi xét dao động tự do, vì không có lực kích thích nên trong các phương trình vi phân (2-2) và (2-3) ta chỉ cần cho 0)( =∆ tkP . Ngoài ra, ta cũng có thể thiết lập phương trình vi phân của dao động đối với từng khối lượng riêng biệt, hoặc thay tác dụng của các lực quán tính và lực cản bằng phản lực của các liên kết đàn hồi đặt tại các vị trí có mang khối lượng, sau đó áp dụng các phương pháp tính toán tĩnh học đã quen biết để giải. 2.2 Dao động riêng của hệ có một số hữu hạn bậc tự do 2.2.1 Phương trình cơ bản của dao động riêng Khi không kể lực cản (RK = 0), từ phương trình (2-3) ta suy ra phương trình vi phân của dao động riêng đối với hệ có n bậc tự do như sau: 0)t(ym...)t(ym)t(ym)t(y nnkn222k111kk =δ++δ+δ+ &&&&&& (2-4) (k = 1, 2, ..., n). Giả sử nghiệm tổng quát của (2-4) có dạng: )()( 1 tyty n i KiK ∑ = = (2-5) Với các nghiệm riêng viết dưới dạng: )(.)( tFyty iKiKi = (2-6) (i = 1, 2, ..., n), trong đó: yki - các hằng số chưa biết; Fi(t) - các hàm số theo thời gian t, chưa xác định. Ta xét một nghiệm riêng thứ i tương ứng với các khối lượng: ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ = = = )(.)( )(.)( )(.)( 22 11 tFyty tFyty tFyty inini iii iii (2-7) m1 km nm 1iy yki yni (ω )i Hình 2-2. Các chuyển vị Chương 2. Dao động của hệ có một số hữu hạn bậc tự do 2-3 Từ (2-7) ta thấy tại mọi thời điểm, tỷ số giữa chuyển vị của các khối lượng là không đổi ( nghĩa là không phụ thuộc thời gian). Đường đàn hồi của dầm xác định bởi các đại lượng không đổi y1i, y2 i,..., yni gọi là dạng chính thứ i của dao động riêng (hình 2-2). Thay (2-7) vào (2-4) ta có: [ ] 0)t(Fym...ym)t(F.y iniKnni11K1iKi =δ++δ+ && Hay: niKnni11K1 Ki i i ym...ym y )t(F )t(F δ++δ−= && (2-8) Vế trái của (2-8) phụ thuộc t còn vế phải phụ thuộc vị trí và trị số của các khối lượng. Như vậy mỗi vế của đẳng thức này là một đại lượng không đổi và được ký hiệu là 2ω± . Vì dao động riêng là dao động điều hoà nên ở đây phải đặt là 2ω− . Do đó từ (2-8) ta rút ra được hai phương trình: 1) 0)()( 2 =+ tFtF iii ω&& (2-9) 2) 0... 21211 =−++ KiniiKnniiK yymym ωδωδ (2-10) Phương trình (2-9) có dạng như phương trình vi phân dao động của hệ có một bậc tự do (xem chương 1), nên có nghiệm: tBtAtF iiiii ωω cossin)( += hay: )sin()( iiii tAtF λω += ∗ (2-11) trong đó: 22 iii BAA +=∗ ; i i i A B tg = λ . Như vậy nghiệm riêng thứ i của phương trình vi phân (2-4) chính là một hàm tuần hoàn có tần số vòng thứ i của dao động riêng là iω và pha ban đầu của dao động là i λ . Từ phương trình (2-10) lần lượt cho k = 1, 2, ..., n ta được hệ n phương trình chính tắc để xác định n các chuyển vị yki: ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ =−+++ =−+++ =−+++ 0... .......................................................................... 0... 0... 2 2 2 221 2 11 2 2 22 2 2221 2 211 1 2 12 2 1221 2 111 niniinnniiniin iniinniiii iniinniiii yymymym yymymym yymymym ωδωδωδ ωδωδωδ ωδωδωδ hay: Chương 2. Dao động của hệ có một số hữu hạn bậc tự do 2-4 ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ =−+++ =++−+ =+++− 0)1(... .......................................................................... 0...)1( 0...)1( 2 2 2 221 2 11 2 22 2 2221 2 211 2 12 2 1221 2 111 niinnniiniin niinniiii niinniiii ymymym ymymym ymymym ωδωδωδ ωδωδωδ ωδωδωδ (2-12) Chia tất cả các phần tử trong hệ (1-12) cho 2iω và đặt 21 i iu ω= ta có: ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ =−+++ =++−+ =+++− 0)(... .......................................................................... 0...)( 0...)( 222111 222221211 121221111 niinnninin ninniii ninniii yumymym ymyumym ymymyum δδδ δδδ δδδ (2-13) Hệ phương trình (2-12) và (2-13) là hệ phương trình thuần nhất đối với các ẩn số là chuyển vị y1i, y2 i, ..., yni. Đó là phương trình cơ bản của dao động riêng. Từ hệ này ta xác định được trị số của các tần số dao động riêng và phương trình dao động riêng, ta thấy nghiệm tầm thường với y1i= y2 i = ... = yn i= 0 không thích hợp với bài toán. Vậy, điều kiện tồn tại nghiệm (tức là tồn tại dao động) là định thức của hệ số các ẩn số bằng không: ( ) ( ) ( ) 0. 1ωδm...ωδmωδm .................. ωδm...1ωδmωδm ωδm...ωδm1ωδm D 2 innn 2 in22 2 in11 2 i2nn 2 i222 2 i211 2 i1nn 2 i122 2 i111 = − − − = (2-14) hay ( ) ( ) ( ) 0. uδm...δmδm .................. δm...uδmδm δm...δmuδm D innnn22n11 2nni222211 1nn122i111 = − − − = (2-15) Điều kiện này dẫn đến phương trình bậc n đối với ui. Từ phương trình này ta xác định được n nghiệm thực u1, u2, ..., un; tương ứng với các nghiệm đó ta suy ra một phổ của các tần số dao động riêng: 1ω , 2ω , ..., nω . Xếp thứ tự cấc iω từ trị số nhỏ đến trị số lớn và gọi 1ω là tần số thứ nhất hay tần số cơ bản. Phương trình (2-14) hay (2-15) gọi là phương trình tần số hay phương trình thế kỷ. Phương trình này tìm được đầu tiên trong thiên văn học, dùng để xác định chu kỳ chuyển động của các hành tinh đo bằng thế kỷ. Việc giải phương trình này khá phức tạp đặc biệt là khi số bậc càng lớn. Trong thức tế, thường chỉ cần tìm tần số thấp nhất, nên ta sẽ nghiên cứu cách tính gần đúng đơn giản để xác định 1ω (xem chương 4). Như vậy, đối với hệ có n bậc tự do, ta xác định được n trị số tần số dao động riêng, ứng với mỗi tần số dao động riêng iω , ta có một dạng chính của dao động. Chương 2. Dao động của hệ có một số hữu hạn bậc tự do 2-5 Tiếp theo là xác định phương trình chuyển động tổng quát của các khối lượng. Theo (2-7) và (2-11), phương trình chuyển động của các khối lượng ứng với tần số iω có dạng: ⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ += += += += ∗ ∗ ∗ ∗ )sin(.)( )sin(.)( ......................................... )sin(.)( )sin(.)( 1 22 11 iinini iiikiki iiiii iiiii tAyty tAyty tAyty tAyty λω λω λω λω . (2-16) Thay (2-16) vào nghiệm (2-5), ta được phương trình dao động tổng quát của khối lượng mk: ∑ = ∗ += n i iikik tAyty 1 1 )sin(.)( λω (2-17) Đặt: i ki ki y y 1 =µ (2-18) Trong đó: k = 1, 2, ..., n chỉ thứ tự khối lượng (mk); i = 1, 2, ..., n chỉ thứ tự tần số riêng ( iω ). Lúc này phương trình (2-17) có dạng : )sin()( 1 1 iii n i ikik tAyty λωµ += ∗ = ∑ (2-19) hay: )sin()( 1 ii n i ikik tCty λωµ += ∑ = (2-20) với : ∗= iii AyC .1 . Đó là phương trình tổng quát của dao động tự do tại khối lượng km ; trong đó các đại lượng kiµ , iC , i λ xác định như sau: a) Xác định các tỷ số chuyển vị i ki ki y y 1 =µ . Từ (2-12) sau khi chia tất cả các phần tử cho iy1 ta được: ( ) 0...1 1 2 1 1 22 122 2 111 =+++− i ni inn i i ii y y m y y mm ωδωδωδ ( ) 0...1 1 2 2 1 22 222 2 211 =++−+ i ni inn i i ii y y m y y mm ωδωδωδ Chương 2. Dao động của hệ có một số hữu hạn bậc tự do 2-6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ( ) 01... 1 2 1 22 22 2 11 =−+++ i ni innn i i inin y y m y y mm ωδωδωδ Nếu chú ý đến (2-18), ta có: ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ =−+++ =++−+ =+++− 0)1(... .......................................................................... 0...)1( 0...)1( 2 2 2 22 2 11 2 22 2 222 2 211 2 12 2 122 2 111 niinnniinin niinniii niinniii mmm mmm mmm µωδµωδωδ µωδµωδωδ µωδµωδωδ (2-21) Ta thấy ứng với mỗi giá trị iω , hệ n phương trình đại số tuyến tính (2-21) chỉ có (n - 1) ẩn kiµ (vì đã biết 1 1 1 1 == i i k y yµ ). Do vậy, ta chỉ cần lấy (n -1) phương trình bất kỳ trong hệ phương trình (2-21) để xác định các ẩn số. Điều đó có nghĩa là một phương trình bất kỳ trong hệ trên phụ thuộc tuyến tính vào các phương trình còn lại. b) Xác định iC và i λ . Sau khi tính được các trị số kiµ , trong phương trình chuyển vị của khối lượng km (2-20) chỉ còn n trị số iC và n trị số i λ là chưa biết. Đó là các hằng số phụ thuộc các điều kiện ban đầu của dao động tự do. Ta có 2n điều kiện ban đầu: - Khi t = 0, thì ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ = = ∑ ∑ = = n i iiikik n i iikik Cv Cy 1 1 cos)0( sin)0( λωµ λµ (k = 1, 2, ..., n) (2-22) Từ hệ 2n phương trình trên ta xác định được 2n trị số iC và i λ . Trường hợp có kể lực cản, nếu quan niệm gần đúng là lực cản tỷ lệ với vận tốc: )()( tytR kkk &β= , thì theo (2-2), phương trình vi phân của dao động riêng có dạng: [ ] [ ] 0)t(y)t(ym...)t(y)t(ym)t(y nnnnkn11111kk =β+δ++β+δ= &&&&&& Cũng dùng nghiệm theo dạng (2-5); tương tự như trên, ta có phương trình viết cho nghiệm riêng thứ i: 0)()(...)()()(. 1 1 1 11 =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +++⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ++ nii n n iknniiikiki ytFm tFmytF m tFmtFy &&&&&& βδβδ Giả sử αβ 2== const mi i Phương trình trên có thể viết dưới dạng tương tự (2-8): niknni11k1 ki i ii ym...ym y )t(F )t(F2)t(F δ++δ−= α+ &&& Chương 2. Dao động của hệ có một số hữu hạn bậc tự do 2-7 Cũng lý luận tương tự như trên, sau khi cho đẳng thức này bằng 2iω− , ta rút ra được hai phương trình: 1. 0)()(2)( 2 =++ tFtFtF iiii ωα &&& (a) 2. 0... 2121 =−++ kiniiknniiki yymym ωδωδ (b) Phương trình (a) có dạng giống như phương trình dao động của hệ một bậc tự do có kể tới lực cản. Do đó nghiệm của phương trình này khi lực cản nhỏ, có dạng: )cossin()( . tBtAetF iiii t i ∗∗− += ωωα Trong đó: 22 αωω −=∗ ii Phương trình (b) có dạng giống như (2-10), nên các tần số riêng iω cũng có giá trị giống như trên và được xác định theo phương trình tần số (2-14). Phương trình chuyển động của khối lượng km , khi có kể tới lực cản, có dạng: [ ]∑ ∑ = = ∗∗− +== n i n i iiii t kiikik tBtAeytFyty 1 1 . cossin.)(.)( ωωα hay: )sin(..)( 1 . iii n i t kik tCety λωµ α += ∗ = −∑ (2-23) trong đó các đại lượng kiµ , iC , i λ cũng được xác định như trên. 2.2.2 Cách sử dụng tính chất đối xứng của hệ. Tương tự như bài toán ổn định, trong bài toán dao động của hệ đối xứng, dạng chính của dao động riêng có hai loại: dao động có dạng đối xứng và dao động có dạng phản xứng. Khi hệ dao động với dạng đối xứng, các lực quán tính cũng đối xứng; còn khi hệ dao động với dạng phản xứng, các lực quán tính cũng phản xứng. Do đó, để đơn giản việc tính toán ta có thể tìm cách tách bài toán thành hai loại bài toán riêng biệt, và tìm các tần số dao động riêng ứng với từng loại. Cách tính theo một nửa hệ. Tương tự ứng với mỗi dạng dao động đối xứng hoặc phản xứng, thay thế hệ đã cho bằng một nửa hệ có sơ đồ phù hợp với biến dạng đối xứng hoặc phản xứng. Cách thay thế này đã được trình bày như phần I. Trên (hình 2-7) trình bày một vài thí dụ về cách biến đổi sơ đồ tương ứng với dạng dao động đối xứng và phản xứng. Sau đó ta lần lượt xác định các tần số dao động riêng cho từng nửa hệ riêng biệt. 2.3 Các dạnh chính của dao động riêng, khai triển tải trọng và chuyển vị theo các dạng chính 2.3.1 Các dạng chính của dao động riêng Tại một thời điểm bất kỳ, dạng dao động của kết cấu được xác định theo vị trí của khối lượng, tính theo công thức (2-20). Đối với hệ có n bậc tự do, khi dao động riêng, chuyển vị của từng khối lượng là tổng hợp của n dao động, ứng với các tần số riêng 1ω khác nhau. Dạng dao động ứng với Chương 2. Dao động của hệ có một số hữu hạn bậc tự do 2-8 iω nào đó gọi là dạng chính thứ i của dao động riêng. Như vậy, một hệ có n bậc tự do, cũng có n dạng dao động chính. Từ (2-6), ta thấy ứng với mỗi dạng chính của dao động riêng tỷ số giữa chuyển vị của các khối lượng )( )( )( )( ty ty ty ty j k ji ki = là đại lượng không đổi. Do đó ta có thể xác định được dạng chính thứ i của dao động theo đường đàn hồi của dầm (hình 2-10a) gây ra bởi biên độ của các lực quán tính sau khi đã giảm đi S lần. Để tiện lợi cho việc tính toán ta có thể chọn S bằng trị số biên độ của một trong các lực quán tính. Thí dụ chọn iii ymZS 1211 ω== . Như vậy dạng chính thứ i của dao động riêng chỉ phụ thuộc vào tỷ số của chuyển vị i ki ki y y 1 =µ (xem hình 2-10b). Nếu nhân cả hai vế của phương trình (2-9) với kiy , ta có: 0)()(. 2 =+ tFytFy ikiiiki ω&& hay theo (2-6): 0)()( 2 =+ tyty kiiki ω&& (2-24) Ta thấy phương trình vi phân (2-24) có dạng tương tự như phương trình (1-3) trong chương 1. Do đó có thể khảo sát chuyển động của khối lượng bất kỳ mk trong dạng chính thứ i như khảo sát bài toán dao động của hệ một bậc tự do tượng trưng; trong đó theo (2-10) ta có : niknnikik ki ymymym y δδδω +++= ...222111 2 1 (2-25) Ngược lại, nếu biết một dạng chính nào đó ta có thể tính được tần số riêng của hệ ứng với dạng dao dao động đó. Từ (2-31) ta có: kkkiM δω 12 1 = (2-26) trong đó: ki ni kk kn nk ki i kk k ki i kk k ki y ymm y ym y ymM ........ 222111 δ δ δ δ δ δ +++++= (2-27) Hình 2-3. Dạng chính m 1 km nm 1iy yki yni m n m 1 µni µm m k ki 1 1 Z =mω y2i1i 1i Z =mω yki kii2 Z =mω yni i ni2 a, b, Chương 2. Dao động của hệ có một số hữu hạn bậc tự do 2-9 Ta thấy (2-25) có dạng tương tự như công thức (1-2) trong chương 1 dùng để tính tần số dao động riêng của hệ có một bậc tự do, với khối lượng quy ước là Mki xác định theo(2-27) đặt tại vị trí mk. 2.3.2 Tính chất trực giao của các dạng chính Ta sẽ chứng minh rằng các dạng chính của dao động có tính chất trực giao nghĩa là công của ngoại lực (hay nội lực) của một dạng chính này trên chuyển vị (hay biến dạng) của một dạng chính khác bằng không. Xét hai dạng chính của dao động ứng với các tần số iω và jω . Để cho gọn ta có thể chọn sơ kiện sao cho các phương trình chuyển vị có dạng: - Đối với dạng chính thứ i (hình 2-11a) tyty kiki 1sin)( ω= ; do đó lực quán tính: )(sin)( 2 tymtZ ikiikki ωω= - Đối với dạng chính thứ j (hình 2-11b). tyty jkjkj ωsin)( = ; do đó lực quán tính )(sin)( 2 tymtZ jkjjkkj ωω= . Khi đó biểu thức công tương hỗ của các ngoại lực có dạng: ∑ ∑ = = = n k n k ikijkjjkjkjikiik tytymtytym 1 1 22 sin.sinsin.sin ωωωωωω Như vậy, với bất kỳ thời điểm nào ta cũng có điều kiện: ( )∑ = =− n k kjkikji yym 1 22 0.ωω Vì ji ωω ≠ , nên ta suy ra: m 1 km nm 1i y (t) Z (t)=m ω y sinω t1i 1 1i 2 i i Z (t)ki Z (t)ni (t)kiy (t)ni y Z (t)=m ω y sinω t1j 1j j1 2 j (t)njy kj (t)y (t) 1j y Z (t)kj j(ω ) (ω ) i a) b) Hình 2-4. Tính chất trực giao Chương 2. Dao động của hệ có một số hữu hạn bậc tự do 2-10 ∑ = = n k kjkik yym 1 0 (2-28) Biểu thức (2-28) biểu thị tính chất trực giao của các dạng dao động chính đối với hệ có một số hữu hạn bậc tự do. Kết quả này không phụ thuộc sơ kiện. Tính chất trực giao cũng có thể biểu thị dưới dạng công của ngoại lực như sau: ∑∫ ∑ ∑∫∫ =++ 0. dsGF QQ ds EF NN ds EJ MM jijiji µ (2-29) 2.3.3 Khai triển tải trọng và chuyển vị theo các dạng chính vào các khối lượng. 2.3.3.1 Khai triển tải trọng : Giả sử có hệ tải trọng Pk(t) đặt tại vị trí của các khối lượng mk (hình 2-12). Ta sẽ phân tích các tải trọng này theo dạng chính tức là dưới dạng tổng của các thành phần tải trọng được biểu diễn theo dạng chính của các dao động riêng: ∑ = = n i kik tPtP 1 )()( (2-30) trong đó: )()( tHymtP ikikki = (2-31) i - chỉ số biểu thị tần số dao động riêng thứ i; k - chỉ số biểu thị khối lượng thứ k; Hi(t) - hàm chưa biết. Nhân hai vế của (2-30) với yki, sau đó lập tổng theo tất cả các khối lượng, ta có: ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = +== n k n k n k n k kkkiikikkikik tHymytHymyytP 1 1 1 1 11 )([)(.).( )](...)()(22 tHymtHymtHym nknkikikkk +++⋅⋅⋅++ . Sử dụng tính chất trực giao (2-28), ta được: ∑ ∑ = = = n k n k kikikik ymtHytP 1 1 2)()( suy ra: ∑ ∑ = == n k kik n k kik i ym ytP tH 1 2 1 )( )( (2-32) m 1 P (t)1 P (t)k P (t)n km nm Hình 2-5.Khai triển tải trọng Chương 2. Dao động của hệ có một số hữu hạn bậc tự do 2-11 Vậy theo (2-31) thành phần Pki(t) có dạng: ∑ ∑ = == n k kik n k kik kikki ym ytP ymtP 1 2 1 )( )( (2-33) Từ công thức (2-33) ta tìm được n hệ lực Pki(t) thay cho hệ lực Pk(t) (xem hình 2- 13a, b, c). Để kiểm tra kết quả tính toán ta có biểu thức: ∑ = = n k kki tPtP 1 )()( (k = 1, 2, ..., n) Từ (hình 2-13a), ta thấy các lực Pki(t) (tính theo công thức (2-31), hoặc (2-33) gây ra các chuyển vị trên hệ trùng với dạng chính thứ i (ứng với iω ) của dao động riêng. Do vậy, với hệ tải trọng này ta có thể khảo sát như bài toán có một bậc tự do. Đây chính là ý nghĩa của việc khai triển tải trọng đã cho theo các dạng chính vào các khối lượng. Trường hợp tổng quát, ta có n lực Pi(t) không đặt đúng tại vị trí khối lượng (H. 2-14), ta thay hệ này bằng một hệ mới gồm các lực )(tPi∗ tác dụng tại các khối lượng và coi chuyển vị tĩnh của các khối lượng do hai hệ tải trọng đó gây ra phải bằng nhau: ∑ = ∗∗∗ =+++ n i ikPnknkk tPtPtPtP i 1 1211 )()(...)()( δδδδ , (k = 1, 2, ... , n) Từ hệ phương trình trên, ta sẽ tìm được n lực: )(),....,(1 tPtP n∗∗ . Sau đó ta lại phân tích theo trình tự như trên. Do cách làm như vậy, nên cách giải ở đây cũng chỉ là gần đúng. 2.3.3.2 khai triển chuyển vị: Ta gọi )(tkp∆ là chuyển vị của khối lượng mk do tải trọng gây ra (theo cách tính toán tĩnh) trong hệ dao động (xem công thức 2-1). Cũng tương tự như khi phân tích P (t) 11 (ω )1 k1 P (t) n1 P (t) P 1i P (ω ) ni ki P i P 1n P (ω ) kn P nn n a, b, c, Hình 2-6. Trình tự khai triển 1P (t) P (t)nkP (t) m1 m k m n 1P (t) P (t)k P (t)n* * * Hình 2-7. Kết quả Chương 2. Dao động của hệ có một số hữu hạn bậc tự do 2-12 tải trọng, ta có thể viết biểu thức chuyển vị )(tkp∆ dưới dạng tổng của n chuyển vị thành phần: ∑ ∑ = = ∗=∆=∆ n i n i ikikikp tHytt 1 1 )()()( (2- 34) Nhân cả hai vế của (2-34) với mkyki, sau đó lập tổng theo tất cả các khối lượng: [ ]∑ ∑ ∑ ∑ = = = = ∗∗∗∗ ++++==∆ n k n k n k n k nknikikkikikikikkikkP tHytHytHyymtHyymymt 1 1 1 1 11 )(...)(...)()()( Sử dụng tính chất trực giao, ta có: ∑ ∑ = = ∗=∆ n k n k kikikikkp ymtHymt 1 1 2)()( Ta rút ra: ∑ ∑ = =∗ ∆ = n k kik n k kikkp i ym ymt tH 1 2 1 )( )( (2-35) Như vậy các chuyển vị thành phần )(tki∆ tính được theo biểu thức: ∑ ∑ = = ∆ =∆ n k kik n k kikkp kiki ym ymt yt 1 2 1 )( )( (2-36) Chú ý. Trong công thức (2-36), )(tkp∆ là chuyển vị của khối lượng mk của hệ dao động cưỡng bức do tải trọng động P(t), hoặc cũng có thể do các liên kết tựa chuyển vị động )(t∆ gây ra. 2.4 Dao động cưỡng bức của hệ khi không kể lực cản và chịu lực kích thích bất kỳ P(t) Giả sử có một hệ tải trọng đặt tại vị trí các khối lượng, hay đã quy về vị trí đó: P1(t), P2(t), .., Pn(t). Theo (2-3) phương trình vi phân của dao động có dạng: )()(...)()( 11 ttymtymty kPnknnkik ∆=+++ &&&& δδ (2-37) Trong đó: )(...)()()( 2211 tPtPtPt nknkkkP δδδ +++=∆ . Ta tìm nghiệm của phương trình trên dưới dạng ∑ = = n i ikik tFyty 1 )(.)( (2-38) Sau đây ta sẽ xác định Fi(t). Phân tích các tải trọng Pk(t) theo các dạng chính (xem công thức 2-36 và 2-37): Chương 2. Dao động của hệ có một số hữu hạn bậc tự do 2-13 ∑ = = n i ikikk tHymtP 1 )()( (2-39) Thay trị số của một thành phần tổng quát thứ i trong (2-38) và (2-39) vào (2-37) )(...)()(...)()( 11111 tHymtHymtFymtFymtFy ininkniikiiniknniikiki δδδδ ++=+++ &&&& , hay: )(]...)[(]...)[( 11111 tFyymymtHymymtF ikininknikiiniknniki −++=++ δδδδ&& Sau khi biến đổi ta có: niknnik ki i i i i ymym y tF tH tF tF δδ ++−=− ...)( )( )( )( 111 && (2-40) Cũng tương tự như (2-8) và (2-10), ta ký hiệu: 2 111 ... i niknnik ki ymym y ωδδ =++ . (2-41) Lúc này phương trình (2-40) có dạng: )()()( 2 tHtFtF iiii =+ω&& . (2-42) Phương trình vi phân (2-42) có dạng tương tự như phương trình vi phân trong bài toán dao động của hệ có một bậc tự do, nên ta có thể dùng được nghiệm đã khảo sát trước đây trong chương 1. Nghiệm tổng quát của (2-42) có dạng: ∫ −++= t ii i iiiii duutuHtBtAtF 0 )(sin)(1cossin)( ωωωω Khi có kể đến ảnh hưởng của lực cản (dù là nhỏ) thì sau một thời gian dao động, phần dao động riêng sẽ mất đi, cho nên, nếu chỉ xét đến nghiệm riêng của (2-42), ta có: ∫ −= t ii i i duutuHtF 0 )(sin)(1)( ωω (2-43) Sau khi thay (2-32) vào (2-43) ta được: duut ym yuP tF i t n k kik n k kik i i )(sin )( 1)( 0 1 2 1 −= ∫ ∑ ∑ = = ωω Như vậy, phương trình chuyển động của khối lượng mk trong hệ chịu các lực kích thích Pk(t) đặt tại vị trí các khối lượng, được viết dưới dạng: duut mmm uPuPuP ty i t nini nin n i i ki k )(sin... )(...)()( )( 0 22 221 2121 1 −+++ +++= ∫∑ = ωµµ µµ ω µ (2-44) trong đó: i ki ki y y 1 =µ . Chương 2. Dao động của hệ có một số hữu hạn bậc tự do 2-14 Áp dụng công thức (2-44) cho trường hợp hệ có ba bậc tự do, chịu tải trọng P1(t), P2(t) và P3(t) đặt tại vị trí 3 khối lượng m1, m2 và m3 ta có: ∫ +−++ ++= =++= t ki kkkk duut mmm uPuPuP tytytyty 0 12 313 2 2121 3132121 1 321 )(sin )()()( )()()()( ωµµ µµ ω µ +−++ +++ ∫ duutmmm uPuPuP t k )(sin )()()( 2 0 2 323 2 2221 3232221 2 2 ωµµ µµ ω µ duut mmm uPuPuPtk )(sin )()()( 3 0 2 333 2 2321 3332321 3 3 −++ +++ ∫ ωµµ µµωµ , (k = 1, 2, 3). Nếu cho biết các chuyển vị )(tkp∆ thì sau khi sử dụng các công thức (2-34), (2- 36), và cũng thực hiện như trên, ta sẽ tìm được phương trình )(tyk theo )(tkp∆ như sau: ∑ ∫ = − +++ ∆++∆+∆ = n i t i ni n i ni n nPiPP ikik duut m m m m m m m muu ty 1 0 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 21 )(sin ...1 ...)()( )( ω µµ µµ ωµ (2-45) Tóm lại thứ tự nghiên cứu bài toán dao động cưỡng bức của hệ có n bậc tự do chịu tải trọng P(t) bất kỳ như sau: 1. Quy các tải trọng về vị trí các khối lượng, để có một hệ gồm n lực P1(t), P2(t),..., Pn(t). 2. Phân tách hệ lực trên theo các dạng chính của dao động riêng (xem 2-36, 2-39). 3. Viết nghiệm phương trình vi phân của chuyển động dưới dạng tổng của n thành phần (xem 2-38): ∑ = = n i ikik tFyty 1 )()( . 4. Tìm Fi(t). Sau khi biểu diễn các lực động theo các dạng chính và biểu thức của nghiệm dưới dạng tổng, ta đưa phương trình vi phân tổng quát về dạng như của hệ có một bậc tự do. )()()( 2 tHtFtF iiii =+ω&& . Nghiệm của hệ 1 bậc tự do đã được nghiên cứu ở chương 1. Đây chính là ý nghĩa chủ yếu của việc khai triển tải trọng đã cho theo các dạng dao động chính. 5. Cuối cùng, ta tìm được chuyển vị động của khối lượng mk là yk(t) theo (2-44). 2.5 Dao động của hệ có một số hữu hạn bậc tự do dưới dạng ma trận 2.5.1 Phương trình vi phân dao động của hệ (tương tự phương trình 2.2): [ ] ( ){ } [ ] ( ){ } [ ] ( ){ } ( ){ }tPtYKtYCtYM =++ &&& , (2.46) trong đó: Chương 2. Dao động của hệ có một số hữu hạn bậc tự do 2-15 [ ] [ ] [ ]KCM ,, - là ma trận khối lượng, ma trận tắt dần và ma trận độ cứng của hệ; { })(tP - là véc tơ tải trọng; { })(tY - là véc tơ chuyển vị, véc tơ vận tốc và véc tơ gia tốc của các khối lượng của hệ. Kích thước các ma trận và véc tơ phù hợp với bậc tự do của hệ. 2.5.2 Phương trình xác định tần số dao động riêng của hệ (tương tự 2.15): [ ][ ] [ ] 0=− EMF λ , (2.47) Hoặc [ ] [ ] 02 =− MK ω , (2.48) trong đó: [F] – là ma trận độ mềm của hệ; [K] – là ma trận độ cứng của hệ; [E] – là ma trận đơn vị cùng cấp với ma trận [F], [M] và [K]. 2.5.3 Các dao động riêng của hệ (tương tự 2.13): { } ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ = ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧= ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧= ∗ ni i i i i i i ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕϕ ... 1 2 1 * 1 , (2.49) trong đó: { } [ ] { } )(11)(11* iii BB −−=ϕ , (2.50) [B11](i) – là ma trận được suy ra từ ma trận [ ] [ ]( )MK i2ω− sau khi bỏ đi hàng một, cột một, hoặc suy ra từ ma trận [ ][ ] [ ]( )EMF 2λ− sau khi bỏ đi hàng một, cột một; [ ] 1)(11 −iB - là ma trận nghịch đảo của ma trận [ ] )(11 iB , { } )(1 iB - là véc tơ tương ứng với cột thứ nhất của ma trận [ ] [ ]( )MK i2ω− hoặc ma trận [ ][ ] [ ]( )EMF 2λ− sau khi bỏ đi phần tử đầu tiên. Các dạng dao động có tính chất trực giao, được biểu thị theo quan hệ sau: { } [ ]{ } 0=jTi M ϕϕ , (2.51) Hoặc { } [ ]{ } 0=jTi K ϕϕ . (2.52) 2.5.4 Phương trình dao động tự do của hệ có hữu hạn bậc tự do: { } [ ]{ } [ ]{ })()()( tvookhtyookh KVKYtY += , (2.53) trong đó: [ ]okhY - là ma trận chuyển vị ban đầu khai triển (phân tích) theo các dạng dao động riêng, Chương 2. Dao động của hệ có một số hữu hạn bậc tự do 2-16 [ ] { } { } { } { }[ ]onoioookh YYYYY ,...,,...,, 21= , (2.54) { } { } { }{ } [ ]{ }[ ]{ }iiTi oT io i MM Y Y ϕϕϕ ϕ= , (2.55) { }oY - là véc tơ chuyển vị ban đầu; [ ]okhV - là ma trận tốc độ ban đầu khai triển (phân tích) theo các dạng dao động riêng, [ ] { } { } { } { }[ ]onoioookh VVVVV ,...,,...,, 21= , (2.56) { } { } { }{ } [ ]{ }[ ]{ }iiTi oT io i MM V V ϕϕϕ ϕ= , (2.57) { }oV - là véc tơ vận tốc ban đầu. 2.5.5 Phương trình dao động của hệ có hữu hạn bậc tự do chịu tác dụng của tải trọng động có quy luật thay đổi theo thời gian { } { } )(.)( tfPtP = , với điều kiện ban đầu bằng không { } { } { } { }0,0 == oo VY , khi không xét tới lực cản: 2.5.5.1 Theo phương pháp khai triển tải trọng theo các dạng dao động riêng: { } [ ] [ ]{ })( )( ... )( ... )( )( )( 1 2 1 tKPM ty ty ty ty tY aikh n k −= ⎪⎪ ⎪⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = , (2.58) Kai(t) – là véc tơ có các phần tử xác định như sau: ( ) ( ) ( )∫ −= t i i ai dtftK 0 sin1 ττωτω , (2.59) đó là hệ số ảnh hưởng động học theo thời gian ứng với dạng dao động riêng thứ i; [Pkh] – là ma trận tải trọng khai triển vào các khối lượng theo các dạng dao động riêng của hệ, xác định như sau: [ ] { } { } { } { }[ ] ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ == nnnn n n nikh PPP PPP PPP PPPPP ... ............ ... ... ,..,,...,, 21 22221 11211 21 , (2.60) { } { } { }{ } [ ]{ }[ ]{ }iiTi T i i MM P P ϕϕϕ ϕ= , (2.61) Các hàng của ma trận tải trọng khai triển được xác định theo công thức sau: { } [ ][ ] { }ktkik PP ,1* −Φ= ϕ , (2.62) Chương 2. Dao động của hệ có một số hữu hạn bậc tự do 2-17 trong đó: [F] – là ma trận các dạng dao động riêng; [ ] ( )kiki diag ϕϕ = , (ma trận chéo chính) (2.63) { } ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ = nn kkt mP mP mP mP / ......... / / 22 11 , (2.64) Lực đàn hồi được tính từ ma trận cứng hoặc ma trận tải trọng khai triển: { } [ ]{ })(. )( ... )( )( )( 2 1 tYK tP tP tP tP dn d d d = ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ = , (2.65) Hoặc { } [ ]{ })()( tKPtP ikhd = , (2.66) { })(tKi - là véc tơ có các phần tử là Ki(t). Khi hệ chịu tác dụng của xung thì các biểu thức chuyển vị của hệ, lực đàn hồi, xung khai triển được viết tương tự như trên: - Chuyển vị của hệ: { } [ ] [ ]{ })()( 1 tKSMtY aikh−= , (2.67) trong đó: [ ] { } { } { } { }[ ]nikh SSSSS ,...,,...,, 21= , (2.68) { } { } { }{ } [ ]{ }[ ]{ }iiTi T i i MM S S ϕϕϕ ϕ= , (2.69) { })(tK ai - là véc tơ có các thành phần xác định theo công thức sau: i i ai t tK ω ωsin )( = , (2.70) - Lực đàn hồi khi hệ chịu tác dụng xung: { } [ ]{ })()( tKStP ikhd = , (2.71) trong đó: { })(tKi - là véc tơ có các phần tử xác định theo công thức sau: ttK iii ωω sin)( = , (2.72) - Ma trận xung khai triển có thể được tính từ các công thức tương tự như khi hệ chịu tác dụng của tải trọng. Ở trong các công thức (2.62), (2.64) ta thay { }*kP bằng { }*kS , { }ktP , bằng { }ktS , . Chương 2. Dao động của hệ có một số hữu hạn bậc tự do 2-18 - Chuyển vị của hệ (tại vị trí các khối lượng) có thể tính từ ma trận độ mềm khi đã xác định được lực đàn hồi theo (2.66): { } [ ]{ })()( tPFtY d= , (2.73) 2.5.5.2 Theo phương pháp toạ độ tổng quát: - Phương trình chuyển động: { } [ ]{ })()( tZtY Φ= , (2.74) trong đó: [F] – là ma trận các dạng dao động riêng của hệ; { })(tZ - là véc tơ có các thành phần là các toạ độ tổng quát: { } ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ = )( ...... )( )( )( 2 1 tZ tZ tZ tZ n , (2.75) )()( tK M P tZ ai i i i = , (2.76) { } { })(tPP Tii ϕ= - là tải trọng tổng quát của dạng chính thứ i; (2.76) { } [ ]{ }iTii MM ϕϕ= - là khối lượng tổng quát dạng chính thứ i; (2.77) )(tK ai - là hệ số ảnh hưởng động học theo thời gian ứng với dạng chính thứ i. - Khi tải trọng tác dụng có dạng điều hoà P(t) = P.sin(rt), hệ số ảnh hưởng động học theo thời gian ứng với dạng dao động riêng thứ i tính theo công thức (2.59) sẽ là: 22 sin)( r rttK i ai −= ω , (2.78) hệ số động học theo thời gian ứng với dạng dao động riêng thứ i tính theo công thức sau: 2 1 sin)( ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛− = i i r rttK ω , (2.79) 2.5.5.3 Theo biên độ của các lực quán tính tại các khối lượng, khi tải trọng tác dụng lên hệ có dạng hàm điều hoà: - Véc tơ biên độ của các lực quán tính được viết dưới dạng sau: { } [ ] { }pFQ ∆−= −1* , (2.80) [F] – là ma trận mềm có hiệu chỉnh các phần tử trên đường chéo chính theo công thức sau: ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −= 2* 1rmkkkkk δδ , (2.81) Chương 2. Dao động của hệ có một số hữu hạn bậc tự do 2-19 [ ] ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = * 21 2 * 2221 112 * 11 * ... ............... ... ... nnnn n n F δδδ δδδ δδδ , (2.81) { }P∆ - là véc tơ có các phần tử là DKP. 2.5.6 Phương pháp tích phân trực tiếp: Khi tính toán các hệ kết cấu phức tạp chịu tác dụng của tải trọng động ta phải giải đồng thời nhiều phương trình biến dạng. Trong các trường hợp này phải sử dụng công cụ máy tính điện tử và có thể áp dụng phương pháp tích phân trực tiếp phương trình vi phân chuyển động (2.46) để tìm nghiệm của hệ. Trước hết ta xem phương pháp chuyển vị là cơ sở để giải các bài toán hệ chịu tải trọng động. Ở dạng ma trận, ta có thể viết: [ ]{ } [ ]{ } { } { }0)()()( =++ tRtYKtYM && , (2.82) Việc giải hệ phương trình vi phân chuyển động (2.46) có thể được thực hiện bằng nhiều các phương pháp tích phân trực tiếp khác nhau, trong đó phương pháp gia tốc trung bình không đổi là một phương pháp có hiệu quả. Theo phương pháp này, ở mỗi bước thời gian , gia tốc chuyển động được xem là không đổi và bằng giá trị trung bình của hai giá trị ở hai đầu của khoảng thời gian Dt. Trình tự tiến hành: a) Tính các số liệu ban đầu: - Xác định các đặc trưng của hệ: ma trận cứng [K], ma trận tắt dần [C], ma trận khối lượng [M]. - Ghi các giá trị của các điều kiện ban đầu { } { } { }000 ,, YYY &&& . - Chọn bước thời gian Dt, các hằng số tích phân và các tham số tính toán. - Tính ma trận [ ]*K : [ ] [ ] [ ] [ ]CaMaKK 40* ++= . (2.83) b) Tính toán đối với mỗi bước thời gian: - Xác định tải trọng { }* ttP ∆+ { } { } [ ] { } { } { }( ) [ ] { } { }( ))()()()()( 4210* tYtYaCtYatYatYaMPP tttt &&&& +++++= ∆+∆+ , (2.84) - Xác định chuyển vị { }ttY ∆+ từ việc giải phương trình [ ]{ } { }** tttt PYK ∆+∆+ = , (2.85) - Tính tốc độ và giá tốc của hệ tại thời điểm (t + Dt) { } { } { }( ) { } { }ttttttt YaYaYYaY &&&&& 210 −−−= ∆+∆+ , (2.86) { } { } { } { }( ))()( 3 tYYatYY tttt &&&&&& ++= ∆+∆+ . (2.87)