Dao động của hệ có một bậc tự do

Chương 1. Dao động của hệ có một bậc tự do 1-1 Chương 1. DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO 1.1 Phương trình vi phân tổng quát của dao động Ta hãy nghiên cứu dao động của một khối lượng tập trung M, đặt trên dầm AB. Dầm này được xem là vật thể đàn hồi không có khối lượng (khối lượng phân bố của dầm xem như không đáng kể và tạm thời chưa xét tới). Giả sử hệ chịu tác động của lực kích thích thay đổi theo thời gian là P(t) (hình 1-1a). Vị trí của khối lượng M khi dao động được xác định bởi hàm số y(t). Giả thiết chuyển vị đứng y(t) hướng xuống dưới là dương và vị trí xuất phát của khối lượng M là vị cân bằng ban đầu tương ứng với khi y = 0. Dưới tác dụng của lực kích thích P(t), khối lượng M dao động và trên dầm chịu tác dụng của những lực sau đây : 1. Lực tác dụng P(t) 2. Lực quán tính của khối lượng yM.Z &&−= . Lực này đặt tại khối lượng M và có chiều hướng theo chiều của chuyển động tức là hướng xuống dưới, vì chiều của gia tốc y&& của khối lượng M luôn luôn hướng về vị trí cân bằng. 3. Lực cản R. Lực này phụ thuộc môi trường chuyển động (chất khí, chất lỏng...), ma sát của các liên kết tựa, hiện tượng ma sát trong của vật liệu, độ chuyển dời của khối lượng, và vận tốc của chuyển động. Đa số các trường hợp trong thực tế có thể xem lực cản R tỷ lệ bậc nhất với vận tốc chuyển động: yβ&=R , R có chiều ngược với chiều chuyển động tức là hướng lên trên. Trong đó : y& - vận tốc của khối lượng M ; β - hệ số tỷ lệ đặc trưng cho sự cản, có đơn vị là s cm KN . Gọi 1Pδ - chuyển vị tại điểm đặt khối lượng M do lực đơn vị tác dụng tĩnh tại điểm đặt của lực kích thích (hình 1-1b) gây ra; b, R δ1P c, 1 δ11 a, M P(t) y(t) y > 0 .. Z = -M.y .. x 1 Hình 1-1. Hệ có một bậc tự do. Chương 1. Dao động của hệ có một bậc tự do 1-2 11δ - chuyển vị theo phương chuyển động tại điểm đặt khối lượng M do lực đơn vị tác dụng tĩnh tại M (hình 1-1c) gây ra. Nếu coi chuyển vị của hệ là nhỏ thì ta có thể áp dụng được nguyên lý cộng tác dụng. Lúc này chuyển vị y(t) của khối lượng M là tổng các chuyển vị do lực quán tính Z, lực kích thích P(t) và lực cản R cùng tác dụng gây ra. Do đó ta có phương trình sau: .Rδ.Zδ.P(t)δy(t) 11111P −+= hay: yβδδδ &&& .y.M.P(t)y(t) 11111P −−= Chia cả hai vế cho 11δM và sau khi biến đổi ta được: .P(t).y2y 1P 22 δωωyα =++ &&& (1-1) trong đó 11 2 Mδ 1ω = ; M β2α = (1-2) Đó là phương trình vi phân tổng quát của dao động cưỡng bức có kể đến lực cản của hệ có một bậc tự do. Trong các mục dưới đây ta sẽ vận dụng phương trình vi phân tổng quát để nghiên cứu dao động của hệ có một bậc tự do tương ứng với các trường hợp cụ thể khác nhau. 1.2 Dao động tự do không có lực cản Như ta đã biết, dao động tự do của hệ là dao động sinh ra bởi một lực kích động bất kỳ tác dụng trên hệ rồi cất đi tức thời. Theo (1-1) phương trình vi phân của dao động tự do không có lực cản có dạng: 0.yy 2 =+ ω&& (1-3) Đây là phương trình vi phân cấp hai không có vế phải và có hệ số là hằng số. Nghiệm của phương trình (1-3) có dạng: ( ) ωtBsinωtAcosty += (1-4) Trong đó : A, B là những hằng số tích phân. Đạo hàm bậc nhất của chuyển vị y(t) (hình 1-2) theo thời gian, chính là vận tốc của khối lượng M t.cosB.t.sinA.v)t(y ωωωω +−==& (1-5) Các hằng số A và B trong (1-4) và (1-5) được xác định theo các điều kiện ban đầu: Khi 0=t ; 0yy = và 00 vyy == && . Thay các điều kiện này vào các phương trình (1-4) và (1-5) ta xác định được : 0yA = ; ω 0vB = . Như vậy phương trình dao động có dạng : Chương 1. Dao động của hệ có một bậc tự do 1-3 M y(t) y x a Hình 1.2 Hệ một bậc tự do y t t t T y 0 2ω π ωπ 2ω 2π T/4 T/4 T/4 T/4 v /ω0 ωπ 2ω 2π a, b, c, ε/ω T/4 T/4 T/4 t m y + ( )vω0 2 Hình 1-3. Các dao động thành phần 1 A C B BO A1 y v /ω 0y 0 ε ωt λ Hình 1-4. Véc tơ quay. t v tyy .sin.cos 00 ωωω += (1-6) Ta thấy trong trường hợp này, dao động của hệ gồm hai thành phần: dao động tỷ lệ với hàm coswt, phụ thuộc vào chuyển vị ban đầu y0 của khối lượng (hình 1-3a); dao động tỷ lệ với hàm sinwt phụ thuộc vào vận tốc ban đầu v0 (hình 1-3b). Chuyển vị của khối lượng M ở mỗi thời điểm bằng tổng các tung độ của hai đường cong ở thời điểm tương ứng. Đường biểu diễn của chuyển động của khối lượng M theo thời gian t có dạng như trên (hình 1-3c). Người ta còn dùng véc tơ quay để biểu diễn dao động. Xét véc tơ OA (hình1-4) có độ lớn bằng y0, quay quanh điểm cố định 0 với vận tốc góc ω không đổi, véc tơ OB có độ lớn là ω 0v vuông góc với véc tơ OA . Hình chiếu của véc tơ OA và OB lên trục y cho ta các số hạng của biểu thức (1-6). Cũng được kết quả như vậy, nếu thay cho hai véc tơ OA và OB , ta khảo sát véc tơ OC là tổng hình học của chúng và lấy hình chiếu của OC trên trục y. Theo hình (1-4) véc tơ OC có độ lớn là a bằng : 202 0 )(ω v ya += , (1-7) và hợp với trục y một góc bằng : )t.( εω − , trong đó : 0 0 .y v arctg ωε = . Vậy phương trình (1-6) có thể viết dưới dạng : ).cos( εω −= tay (1-8) Nếu gọi l là góc hợp giữa véc tơ OC và OB thì ta có thể biểu diễn (1-8) dưới dạng: Chương 1. Dao động của hệ có một bậc tự do 1-4 )] 2 (.cos[ λπω −−= tay hay ).sin( λω += tay (1-9) Trong đó: )( 0 0 v y arctg ωλ = (1-10) Các đại lượng a và l xác định theo biểu thức (1-7) và (1-10) là các hằng số phụ thuộc điều kiện ban đầu của chuyển động. Ta cần xác định chu kỳ và tần số của dao động : + Chu kỳ dao động là thời gian cần thiết để khối lượng M thực hiện một dao động toàn phần và được ký hiệu là T và bằng: )(2 sT ω π= + Tần số dao động là số lần dao động trong một giây : )/1( 2 1 s T f π ω== . Do đó suy ra : f.2πω = là số lần dao động trong π2 giây vàω còn được gọi là tần số vòng của dao động riêng. Trong thực tế ta hay dùng tần số vòng nên thường gọi tắtω là tần số dao động riêng. Từ biểu thức (1-2) ta dễ dàng xác định được các đại lượng trên như sau : 1. Tần số vòng của dao động riêng được xác định như sau: )/1( . 1 1111 s y g P g M t === δδω (1-11) Trong đó : g - gia tốc trọng trường; ty - chuyển vị của khối lượng M do lực P = M.g tác dụng tĩnh tại vị trí đặt khối lượng M, theo phương dao động gây ra (hình 1-5a, b). Đối với hệ trên (hình 1-5b), nếu kể đến hiện tượng uốn dọc ta có : gM P MgEJ lty leO . )1(3 )( ' 3 − = a, y t P = M g P = M g l y t b , Hình 1-5. Sơ đồ xác định chuyển vị tĩnh yt. Chương 1. Dao động của hệ có một bậc tự do 1-5 2. Tần số dao động riêng : ty gf ππ ω 2 1 2 == (1-12) 3. Chu kỳ dao động : g y T tπω π 22 == (1-13) Từ biểu thức (1-9) ta có thể xác định giá trị tuyệt đối lớn nhất của chuyển vị, vận tốc và gia tốc của khối lượng M. ).sin( λω += tay ; do đó ay =max (1-14) )t.sin(avy λωω +==& ; do đó ω.max av = (1-15) )t.sin(ay 2 λωω +−=&& ; do đó 2max .ay ω=&& (1-16) Ngoài ra ta còn có thể tìm được giá trị tm xác định toạ độ thời gian đầu tiên xảy ra chuyển vị lớn nhất của khối lượng M (hình 1-3c). Theo (1-9): atay m =+= ).sin(max λω do đó : 2 . πλω =+mt Vậy: ω ελπω =−= )2( 1 mt 1.3 Dao động tự do có lực cản Theo (1-1) phương trình vi phân của dao động tự do có lực cản có dạng : 0yy2y 2 =++ ωα&&& (1-17) Trong đó : M βα =2 và 11 2 1 δω M= Phương trình đặc trưng của phương trình vi phân (1-17) có dạng : 0.2 22 =++ ωα ss Nghiệm của phương trình đặc trưng này là: 221s ωαα −+−= , 222s ωαα −−−= Vậy nghiệm của phương trình (1-17) có dạng tổng quát : )eCeC(ey t2 t 1 t. 2222 ωαωαα −−−− += (1-18) Ta thấy nghiệm của phương trình vi phân phụ thuộc quan hệ tỷ lệ giữa α và ω . Nếu a ω (lực cản lớn) thì nghiệm là số thực . Ta lần lượt khảo sát các trường hợp sau : a) Trường hợp lực cản nhỏ (a <ω ): Các nghiệm của phương trình đặc trưng có dạng: 22 1 αωα −+−= is và 222 αωα −−−= is . Chương 1. Dao động của hệ có một bậc tự do 1-6 Nếu gọi 221 αωω −= thì phương trình (1-18) có dạng : )( 11 .2 . 1 . titit eCeCey ωωα −− += Hay có thể viết dưới dạng khác như sau : ).sin.cos( 11 . tBtAey t ωωα += − (1-19) Để xác định các hằng số tích phân, A và B, ta có các điều kiện ban đầu : Khi 0=t ; 0yy = và 00 vyy == && . Biểu thức vận tốc của chuyển động: )t.cosBt.sinA(e)t.sinBt.cosA(e.yv 11 t. 11 t. ωωωωα αα +−++−== −−& hay: )cossin(. 11.. 1 tBtAeyv t ωωα ωα +−+−= − . Từ các điều kiện ban đầu ta xác định được : 0yA = và 1 00 . ω α yv B += . Vậy: ]sin)sin(cos[ 1 1 0 1 1 10 . t v ttyey t ωωωω αωα ++= − hay: )sin . cos( 1 1 00 10 . t yv tyey t ωω αωα ++= − (1-20) Số hạng thứ nhất của biểu thức này tỷ lệ với hàm cosw1t và chỉ phụ thuộc chuyển vị ban đầu y0, còn số hạng thứ hai tỷ lệ với hàm sinw1t, phụ thuộc cả chuyển vị ban đầu y0 và vận tốc ban đầu v0. Từ (1-20) ta thấy dao động có lực cản là dao động tắt dần. Tương tự, ở đây ta cũng có thể dùng véc tơ quay để biểu thị chuyển động của dao động tắt dần. Xét véc tơ OA (hình 1-6) biểu thị đại lượng thay đổi t.0ey α− quay quanh tâm 0 với vận tốc 1ω không đổi. Nếu tính góc quay từ trục y theo chiều ngược chiều kim đồng hồ ω t1Α 1 Β1 S S N M C A O B 1 ϕ arctg( )αω y1 Hình 1-6. Biểu diễn bằng véc tơ quay Chương 1. Dao động của hệ có một bậc tự do 1-7 thì hình chiếu OA1 của véc tơ đó lên trục y bằng tcoseyy 1 t. 0 ωα−= và biểu diễn số hạng thứ nhất của (1-20). Cũng tương tự, xét véc tơ OB biểu thị đại lượng thay đổi bằng ) y.v (e 1 00t. ω αα +− và vuông góc với véc tơ OA ; hình chiếu OB1 của véc tơ này lên trục y là số hạng thứ hai của nghiệm (1-20). Biểu thức chung sẽ là hình chiếu trên trục y của véc tơ OC tức là véc tơ tổng của hai véc tơ OA và OB . Độ lớn của véc tơ OC đó bằng C : 2 1 002 0 .22 ) . ( ω αα yvyeOBOAC t ++=+= − . Nếu gọi góc hợp giữa véc tơ OB và véc tơ OC là ϕ thì góc hợp giữa véc tơ OC với trục y là: ) 2 (t1 ϕπω −− . Do đó biểu thức (1-20) có thể viết dưới dạng : )sin()] 2 (cos[ 11 ϕωϕπω +=−−= tCtCy hay: )sin(. ).( 12 1 2 002 0 . ϕωω αα +++= − tyvyey t (1-21) trong đó : 00 10 .yv y tg α ωϕ += hay 00 10 .yv y arctg α ωϕ += . (1-22) Khi véc tơ OC quay (hình 1-6), điểm C vẽ đường xoắn ốc lôgarít, tiếp tuyến của nó hợp với phương vuông góc với véc tơ OC một góc không đổi )( 1 arctg ω α− . Qua biểu thức (1-21) ta thấy dao động có lực cản ở đây là dao động tắt dần có dạng như trên (hình 1-7). n n+1 n n+1T1 T1 C C y y y y 1 m , m 3 ,2 m , y = c.e sin( t + ) α.t ω ϕ 1 y = -c.e −α.t 1 y = +c.e−α.t 1 m 1 m 2 3 m y Hình 1-7. Dạng dao động tắt dần. Chương 1. Dao động của hệ có một bậc tự do 1-8 Chu kỳ của dao động này là : )(22 22 1 1 sT αω π ω π − == . Tần số dao động : )/1( 22 1 221 1 s T f π αω π ω −=== . Tần số vòng : )/1(2. 1 sf ωπ = . Qua biểu thức (1-21) và đồ thị ta thấy dao động là điều hoà nhưng biên độ thay đổi theo thời gian tCe .α− , với 2 1 2 002 0 ).( ω α yv yOCC ++== . Vậy dao động tắt dần theo quy luật số mũ âm. Ta cũng có thể dùng đường cong hình sóng vẽ trên hình 1-8 biểu diễn phương trình (1- 21). Đường cong này tiếp xúc với đường cong tCey .α−−= tại các điểm 1m′ , 2m′ . Để nghiên cứu độ tắt dần, ta xét tỷ số giữa hai tung độ chuyển vị của khối lượng cách nhau một chu kỳ T1 : )( . 11 )( 1 . 1 11 ])(sin[ )sin( Tt t Tt t n n e e TtCe tCe y y +− − +− − + =++ +== α α α α ϕω ϕωη ; 1 1 T n n e y y αη == + . Từ đó suy ra : χα == + )ln(. 1 1 n n y y T , trong đó χ là hệ số biểu thị tốc độ tắt dần, gọi là giảm lượng lôga của dao động. Hệ số χ có một ý nghĩa quan trọng, vì thông qua giá trị của nó xác định bằng thí nghiệm (đo yn và yn+1) ta có thể tìm được đại lượngα và từ đó suy ra hệ số cản β . Sau đây là một số kết quả thí nghiệm đo 1.Tαχ = 1. Đối với các kết cấu thép : 5,01,02)08,0016,0(. 1 ÷≈÷= πα T 2. Đối với các kết cấu gỗ : 15,003,02)022,0005,0(. 1 ÷≈÷= πα T 3. Đối với kết cấu bê tông cốt thép : 20,008,02)032,0016,0(. 1 ÷≈÷= πα T 4. Đối với cầu thép : )15,001,0(. 1 ÷=Tα trung bình 08,0 5. Đối với cầu bê tông cốt thép : 31,0. 1 =Tα 6. Đối với dầm bê tông cốt thép : )39,017,0(. 1 ÷=Tα trung bình 28,0 7. Đối với khung bê tông cốt thép : )16,008,0(. 1 ÷=Tα trung bình 12,0 Tần số góc 1ω thường xấp xỉ bằng tần sốω . Giả sử cứ sau mỗi chu kỳ, biên độ sau nhỏ hơn biên độ trước một nửa; có nghĩa là hiện tượng tắt dần xảy ra rất nhanh. Lúc này ta có : 5,01. == Teαη , nên : 693,05,0ln. 1 ==Tα . Do đó : 11 1 11,0 2 693,0693,0 ωωπα === T , ωωωαωω 994,0)11,0( 2 1 222 1 =−=−= . Ta thấy trường hợp hiện tượng tắt dần xảy ra rất nhanh, tần số 1ω giảm không đáng kể. Vì vậy trong thực tế tính toán người ta thường chọn 1ωω = . Chương 1. Dao động của hệ có một bậc tự do 1-9 Bây giờ ta nghiên cứu ảnh hưởng của lực cản đến chu kỳ dao động. Chu kỳ dao động tự do : ω π2 0 =T Chu kỳ dao động khi có lực cản : 2 221 1 )(1 1222 ω αω π αω π ω π − = − ==T Ta thấy : 1 )(1 1 20 1 > − = ω αT T . Như vậy lực cản làm cho chu kỳ dao động dài hơn; tất nhiên khi đó tần số sẽ giảm, nghĩa là dao động xảy ra chậm hơn dao động tự do không có lực cản. Trong thực tế η thường lớn, nhưng ω α thường lại nhỏ nên ta thấy: dao động tắt đi rất nhanh, nhưng chu kỳ dao động lại tăng rất ít so với chu kỳ dao động tự do. Vì vậy khi làm thí nghiệm để tìm chu kỳ dao động, ta bỏ qua lực cản của môi trường (khi lực cản yếu); điều đó có lợi vì hệ số cản thường chưa biết. b) Trường hợp lực cản lớn ( ωα > ): Ta đặt 2222 ωωα =− Theo (1.18) nghiệm của phương trình (1-17) có dạng : )()( 2221 . 21 . 22 tshCtchCeeeey tttt ωωγγ αωωα +=+= −−− hay có thể viết khác như sau : ).22.1 θωαα +−= − tsheay t (1-23) sau khi xác định C1 và C2 theo các điều kiện ban đầu ta được : tsh yv tchyey t 2 2 00 20 . .( ωω αωα ++= − . (1-24) Ta thấy chuyển động của khối lượng không tuần hoàn. Tuỳ theo điều kiện ban đầu, có thể xảy ra một trong ba dạng chuyển động sau : y t ym M y v 1 0 0 M1 t y v0 y0 y tm m y0 y o o o 0v = 0 Hình 1-8. Các dạng dao động tự do có lực cản lớn tuỳ thuộc điều kiện ban đầu. a) b) c) Chương 1. Dao động của hệ có một bậc tự do 1-10 + Khối lượng bắt đầu dao động từ y0 với vận tốc v0 hướng ra ngoài vị trí cân bằng (hình 1-8a). Do lực cản lớn khối lượng chuyển động đến M1 rồi quay trở lại và tiệm cận dần tới vị trí cân bằng ban đầu; + Khối lượng bắt đầu dao động từ y0 với vận tốc v0 hướng về vị trí cân bằng. Khối lượng M chuyển động qua vị trí cân bằng tới M1 thì quay lại và tiệm cận dần tới vị trí cân bằng (hình 1-8b); + Khối lượng được thả từ y0 không có vận tốc ban đầu, lúc này chuyển động sẽ giảm nhanh và tiệm cận dần tới vị trí cân bằng (hình 1-8c). c) Trường hợp ωα = : Phương trình đặc trưng có nghiệm kép α−== 21 ss . Vậy nghiệm của bài toán có dạng : )( 24 . CtCey t += −α . Chuyển động cũng không tuần hoàn, ta cũng có thể gặp một trong ba dạng chuyển động như trên. 1.4 Dao động cưỡng bức trong trường hợp tổng quát Trong mục này chúng ta sẽ nghiên cứu trường hợp dao động có lực cản, chịu lực kích thích bất kỳ P(t). Theo (1-1) phương trình vi phân thiết lập cho trường hợp tổng quát có dạng: )t(Pyy2y P1 22 δωωα =++ &&& . Trước tiên ta nghiên cứu trường hợp lực cản yếu )( βα < - là trường hợp hay gặp trong thực tế. Tương tự như ở Đ3, nghiệm của phương trình vi phân trên, nhưng không có vế phải có dạng (xem 1.20) : te v tteyy tt 1 . 1 0 11 . 0 sin)sin(cos ωωωω αω αα −− ++= . (1-26) Phương trình chuyển động (1-26) gồm hai số hạng : số hạng đầu là do chuyển vị ban đầu y0 so với vị trí cân bằng, số hạng sau là do ảnh hưởng của vận tốc ban đầu v0. Ngoài chuyển vị do dao động riêng, hệ còn chịu ảnh hưởng của lực kích thích P(t) nên chuyển vị tổng cộng có thêm một số hạng nữa. Ta xét tại thời điểm t bất kỳ ở giữa các thời điểm 0 và t, trong khoảng thời gian rất ngắn dt, do tác dụng của lực kích thích vận tốc v có số gia là dv. Số gia dv sẽ làm cho số gia dy của chuyển vị tổng cộng tại thời điểm t có thêm một lượng tương tự như số hạng thứ hai của biểu thức (1-26) tức là : { } )(sinsin)sin(cos 1)( 1 1 . 1 0 1 1 1 . 0 τωωωωωω αω τααα −+++= −−−− tedvtevtteyddy ttt (1-27) Sau đây ta đi tìm số gia của vận tốc dv Theo giáo trình Cơ lý thuyết, ta đã biết: xung lượng của lực tác động trong thời gian dt bằng độ biến thiên động lượng tại thời điểm đó: ).()( vMddPS == ττ (1-28) Chương 1. Dao động của hệ có một bậc tự do 1-11 Cần chú ý rằng ở đây P(t) là lực tác dụng trực tiếp tại khối lượng M. Trong trường hợp tổng quát, nếu P(t) tác động tại điểm bất kỳ trên hệ thì ta có thể tìm được lực tương đương )(τP đặt tại M. Lực này có trị số để sao cho chuyển vị tại M do nó gây ra bằng chuyển vị tại M do lực P(t) đặt bất kỳ gây ra. Ở đây có thể xem như các lực P tác dụng tĩnh, vì nếu ở trạng thái động, chuyển vị của hai hệ hơn nhau µ lần, thì ở trạng thái tĩnh cũng hơn nhau µ lần. Điều kiện này chỉ đúng với giả thiết là hệ áp dụng được nguyên lý cộng tác dụng ở trạng thái tĩnh cũng như ở trạng thái động. Đối với dầm vẽ trên (hình 1-9a), ta có: PP P 11 .δ=∆ Đối với dầm trên (hình 1-9b), ta có: 111 .δPP =∆ . Suy ra : 11 1 δ δ PPP = . Vậy xung lượng có dạng tổng quát như sau: τδ δτττ dPdPS P 11 1)()( == . (1-29) Thay (1-29) vào (1-28) ta có: ).()( 11 1 vMddP P =τδ δτ . Vì M là hằng lượng nên τδ δτ dP M dv P 11 1)(1= . Thay dv vào biểu thức (1-27), biến đổi ta được dy, rồi tích phân từ 0 đến t ta có: ττωτω δωωωωω αω τααα dtePtevtteyy t tPtt )(sin)(sinsincos. 0 1 )( 1 1 2 1 . 1 0 1 1 1 . 0 −++⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ += ∫ −−−− , (1-30) hay có thể biểu diễn dưới dạng tương tự như công thức (1-21) ta có ; ττωτω δωϕω ταα dtePteay t tPt )(sin)()sin(. 0 1 )( 1 1 2 1 . −++= ∫ −−− (1-31) trong đó : ap a P P ∆1P 1P∆ a, b, Hình 1-9. Sơ đồ tính dv Chương 1. Dao động của hệ có một bậc tự do 1-12 2 1 2 002 0 ).( ω α yv ya ++= ; 00 10 . . yv y tg α ωϕ += . Phương trình (1-31) thích hợp với trường hợp lực cản nhỏ ( ωα < ). Đối với trường hợp lực cản lớn căn cứ vào các công thức (1-23) và (1-25) ta có thể thiết lập được các phương trình chuyển động như sau : + Khi ωα > (lực cản lớn) ( ) ττωατωα δωθωα ταα dtshePtsheay t tPt )()(. 0 22)( 22 1 2 22. 1 −−− ++−= ∫ −−− (1-32) + Khi ωα = : ( ) ττδω ταα dtetPBtAey t tPt )()( 0 )( 1 2 22 . −++= ∫ −−− (1-33) Ta cũng có thể tìm nghiệm (1-30) bằng cách giải khác có tính chất toán học thuần tuý là dùng phương pháp biến thiên hằng số của Lagrăngiơ. Nghiệm của phương trình vi phân (1-1) có thể viết dưới dạng : )(.. tuey tα−= , (1-34) u(t) là hàm số phụ thuộc thời gian. Sau đây ta sẽ đi tìm hàm u(t). Sau khi đạo hàm (1-34) và thay vào (1-1) ta có : )t(Pe)t(u)t(u P1 2t.2 1 δωω α=+&& (1-35) Trong đó : 2221 αωω −= . Nghiệm của phương trình vi phân (1-35) khi lực cản nhỏ ( αω > ) có dạng : tBtAu 11 sincos ωω += . (1-36) Ta thấy biểu thức (1-36) có dạng tương tự như nghiệm (1-4) là nghiệm của trường hợp dao động tự do không có lực cản. Nhưng ở đây dao động là cưỡng bức, có lực cản; phương trình vi phân có vế phải, nên ta biến đổi các hằng số A và B thành các hàm số phụ thuộc thời gian. Theo Lagrăngiơ, hàm u phải thoả mãn điều kiện sao cho đạo hàm của nó cũng có dạng như khi B ,A là các hằng số : t dt BdtBt dt AdtAu 111111 sincoscossin ωωωωωω +++−=& (1-37) Khi A và B là các hằng số : tcosBtsinAu 1111 ωωωω +−=& (1-37)’ So sánh (1-37) và (1-37)’ ta thấy: 0sincos 11 =+ tdt Bdt dt Ad ωω (1-38) Từ (1-37)’ ta có : Chương 1. Dao động của hệ có một bậc tự do 1-13 tcos dt Bd tsinBtsin dt Ad tcosAu 111 2 1111 2 1 ωωωωωωωω +−−−=&& hay tcos dt Bd tsin dt Ad u.u 1111 2 1 ωωωωω +−−=&& (1-39) Thay biểu thức (1-39) vào (1-35) ta có : )(cossin 1 2. 1111 tPetdt Bdt dt Ad P t δωωωωω α=+− (1-40) Nhân cả hai vế của phương trình (1-40) với cosw1t và của phương trình (1-38) với w1sinw1t rồi cộng lại ta được : ttPedt Bd P t 11 2. 1 cos)( ωδωω α=− . Thay τ=t và lấy tích phân với cận từ 0=τ đến t=τ là thời gian đang xét dao động: BdPeB t P += ∫ ττωτω δω τα .cos)( 1 0 . 1 1 2 . (1-41) Tương tự nhân hai vế của phương trình (1-38) với w1cosw1t và của phương trình (1- 40) với sinw1t rồi trừ hai kết quả này với nhau ta có : ttPe dt Ad P t 11 2. 1 sin)( ωδωω α−=− . Suy ra : AdPeA t P +−= ∫ ττωτωδω τα .sin)(0 1 . 1 1 2 (1-42) Thay giá trị A , B ở biểu thức (1-42); (1-41) vào (1-36) và (1-34) ta được nghiệm toàn phần của phương trình vi phân (1-1). [ ]ττωτω ωδω ττωτω ωδωωω τα ταα dcos)(Pe tsin d.sin)(Pe tcos tsinBtcosAey 1 t 0 . 1 1P1 2 1 t 0 . P1 1P1 2 11 t. ∫ ∫ + +−+= − hay ( ) τττωω δωωω ταα dPtetBtAey t tPt )()(sinsincos 1 0 )( 1 1 2 11 . −++= ∫ −−− (1-43) Số hạng đầu của phương trình (1-43) chính là phần ảnh hưởng của dao động tự do có từ trước lúc đặt lực kích thích. Số hạng sau là phần ảnh hưởng của lực kích thích )(τP . Dựa vào điều kiện ban đầu, ta có thể tìm được trị số của A và B như trong phần dao động tự do ta có : 0yA = ; 1 00 . ω α yv B += . (1-44) Thay các trị số của A và B vào (1-43) ta lại tìm được kết quả hoàn toàn giống như nghiệm (1-30) của cách giải trên. Chương 1. Dao động của hệ có một bậc tự do 1-14 1.5 Dao động cưỡng bức không có lực cản chịu lực kích thích P(t) = Psinrt 1.5.1 Phương trình dao động . Theo (1-1) phương trình vi phân dao động có dạng : )(1 22 tPyy Pδωω =+&& (1-45) Trong mục 4 ta đã thiết lập công thức tổng quát của phương trình dao động chịu lực kích thích bất kỳ. Khi lực kích thích thay đổi tuần hoàn P(t) = Psinrt và không có lực cản, trong (1-43) thay P(t) = Psinrt và cho 0=α đồng thời chú ý là ωω =1 ta sẽ được phương trình dao động là nghiệm của phương trình vi phân (1-45) : ∫ −++= t P drtPtBtAy 0 1 .sin)(sin.sin.cos τττωωδωω Tính tích phân của biểu thức trên, thay kết quả này vào phương trình trên và theo (1- 44) ta được : rt r P tr r P t v tyy PP sin 1 .sin. 1 . .sin.cos 2 2 1 2 2 10 0 ω δωω ω δωωω − + − −+= (1-46) Tần số trong ba số hạng đầu của công thức (1-46) chính là tần số dao động tự do của hệ. Theo điều kiện ban đầu khi chuyển vị y0 = 0 và vận tốc ban đầu v0 = 0 thì hai số hạng đầu sẽ không tồn tại. Số hạng thứ ba luôn xuất hiện cùng với dao động cưỡng bức, và gọi là dao động tự do bán sinh. Còn số hạng cuối cùng có tần số là tần số của lực kích thích nên gọi là dao động thuần cưỡng bức. Nếu tại thời điểm t = 0; y0 = 0; v0 = 0, ta có : ).sin(sin 1 2 2 1 trrt r P y P ωω ω δ − − = (1-47) Ta nhận thấy *1. tP yP =δ (hình 1-10) là chuyển vị tại khối lượng M do biên độ P của lực kích thích tác dụng tĩnh gây ra, nên ).sin(sin 1 1 2 2 * trrt r yy t ωω ω − − = (1-48) a a p P(t)=Psinrt P yt* Hình 1-10. Sơ đồ xác định *ty Chương 1. Dao động của hệ có một bậc tự do 1-15 Ta thấy phương trình dao động (1-48) gồm hai phần: một phần dao động với tần số của lực kích thích r và một phần với tần số của dao động tự do. Khi có lực cản thì dao động tự do mất dần, lúc đó là chuyển sang thời kỳ bình ổn, hệ sẽ dao động theo chu kỳ và tần số hoàn toàn như chu kỳ và tần số của lực kích thích : rt r yy t sin 1 1 2 2 * ω− = (1-49) 1.5.2 Hệ số động. Công thức (1-48) có thể viết dưới dạng *. td yKy = với dK gọi là hệ số động và được xác định như sau : ).sin(sin 1 1 2 2* t rrt ry yK t d ωω ω − − == (1-50) Ta hãy nghiên cứu hệ số động dK trong trường hợp giới hạn khi ω=r . Lúc này xuất hiện hiện tượng cộng hưởng. Áp dụng quy tắc Lôpitan để tìm giới hạn của hệ số động khi ω=r ta có: ).cos..(sin 2 1 2 .sin1cos. lim 2 tttr trtt K r r d ωωω ω ωω ω ω −= ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ − − = = → Ta thấy hệ số động sẽ tăng lên vô hạn theo thời gian; đường biểu diễn của hàm số này vẽ trên (hình 1-12). Qua đồ thị ta thấy ngay trong trường hợp không kể đến lực cản, khả năng tăng biên độ lên vô hạn không xảy ra tức thời mà đòi hỏi phải có thời gian nhất định. Như vậy, đối với máy được thiết kế để làm việc trên miền cộng hưởng sẽ không gặp trở ngại gì khi cho máy tăng tốc qua miền cộng hưởng nếu thời gian vượt qua đủ nhanh để sao cho hiện tượng rung động lớn do cộng hưởng chưa kịp xảy ra theo (1-49), biên độ lớn nhất của chuyển vị động xuất hiện khi: 1sin =rt ; do đó: 2 2 * 1 1 ω r yy td − = , (1-51) trong trường hợp này hệ số động sẽ là : 2 2* 1 1 ω ry yK t d d − == . (1-52) Khi ω≈r ta thấy hệ số dK biến đổi rất nhạy. Sở dĩ có hiện tượng đó vì ta chưa xét đến tác dụng rất quan trọng của lực cản, mà lực cản lại làm cho dK giảm đi rất nhiều, đặc biệt là lúc gần cộng hưởng và cộng hưởng. Để tránh hiện tượng cộng hưởng ta phải thiết kế công trình để sao cho các tần số ω và r sai khác nhau tối thiểu là 25%. 1.6 Dao động cưỡng bức có lực cản chịu lực kích thích P(t) = Psinrt 1.6.1 Phương trình dao động Chương 1. Dao động của hệ có một bậc tự do 1-16 Trong trường hợp này hệ dao động với 0≠α , nên có thể dùng nghiệm là phương trình (1-43) đã giải dưới dạng tổng quát. ( ) τττωω δωωω ταα drtePtBtAey t tPt .sin)(sinsincos 1 0 )( 2 1 1 2 11 . −++= ∫ −−− (1-53) Ta cũng có thể tìm được nghiệm này bằng cách giải trực tiếp phương trình vi phân cân bằng (1-1). Trong trường hợp này (1-1) có dạng : rtPyyy P sin...2 1 22 δωωα =++ &&& (1-54) Nghiệm toàn phần : 21 yyy += . (1-55) Trong đó y1 là nghiệm tổng quát của phương trình vi phân thuần nhất và cũng là nghiệm của phương trình vi phân trong trường hợp dao động tự do có lực cản. Khi có lực cản nhỏ, nghiệm này có dạng : ( )tBtAey t 11.1 sincos ωωα += − , (1-56) với 221 αωω −= , y2 là nghiệm riêng của phương trình vi phân có vế phải : rtDrtCy sincos2 += (1-57) Sau khi lấy đạo hàm và thay kết quả vào phương trình (1-54), so sánh hai vế ta suy ra ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ +− −= +−−= 22222 22 1 2 22222 1 2 4)( )(. 4)( .2.. rr rPD r rPC P P αω ωδω ααω αδω (1-58) Như vậy nghiệm chung của phương trình (1-54) có dạng rtDrtCtBtAey t sincos)sincos( 11 . +++= − ωωα . Số hạng thứ nhất của vế phải chứa nhân tử te .α− , biểu diễn dao động tự do tắt dần, đã được khảo sát ở trên. Hai số hạng còn lại có cùng tần số với lực kích thích, biểu diễn dao động cưỡng bức. Cũng như trên có thể dùng véc tơ quay đề biểu diễn dao động (hình 1-11). Tổng đại số hai hình chiếu của hai véc tơ OD và OB có thể thay bằng hình chiếu của véc tơ tổng OC lên trục y. Từ tam giác ODC ta tìm được độ lớn của véc tơ đó và ký hiệu là a: r.t r.t-λ π/2-r t λ O B y P C D M r.t Hình 1-11. Véc tơ quay Chương 1. Dao động của hệ có một bậc tự do 1-17 4 222 2 2 122 41 . ω α ω δ rr PCDa P +⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − =+= (1-59) gọi λ - là góc hợp giữa véc tơ OD và OC ; ta có : 22 .2 r r D Ctg −=−= ω αλ . (1-60) Ta có thể viết nghiệm dưới dạng tổng quát: )sin()sincos( 11 . λωωα −++= − rtatBtAey t . (1-61). Đối chiếu kết quả (1-61) với phương trình (1-53) ta thấy số hạng đầu của phương trình (1-53) mới chỉ biểu thị phần dao động riêng khi tồn tại các sơ kiện y0 và v0; còn một phần dao động riêng nữa xuất hiện khi có P(t) nằm ở số hạng có dấu tích phân. Nhưng trong công thức (1-61) tất cả dao động riêng đều chứa ở trong số hạng đầu. Sau đây ta hãy xác định các hằng số trong phương trình (1-61) theo các sơ kiện khi 0=t ; 0yy = và 00 vyy == && . Thay vào các sơ kiện, giải ra ta được : ⋅−++=−= 1 00 0 cos.sin.;sin. ω λλααλ raayvBayA (1-62) Do đó theo (1-61) phương trình chuyển động toàn phần có dạng : ).sin(sincos.sin..cos)sin( 1 1 00 10 . λωω λλααωλα −+⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −++++= − rtatraayvtayey t (1-63) Nếu ở thời điểm đầu y0 = 0; v0 = 0 thì : )sin(sincos.sincossin 1 1 1 . λωω λλαωλα −+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −+= − rtatrataey t . Thay trị số của a xác định theo (1-59) ta được : ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −++ +− +⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − = − trte rt rr Py t P 1 1 1 . 4 222 2 2 1 sincossincossin )sin( 41 . ωω λλαωλ λ ω α ω δ α (1-64) Hay có thể viết : ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −++ +− +⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − = − trte rt rr yy t t 1 1 1 . 4 222 2 2 * sincossincossin )sin( 41 ωω λλαωλ λ ω α ω α (1-65) Ta thấy phương trình dao động gồm hai thành phần, một phần dao động riêng với tần số 1ω , còn một phần dao động cưỡng bức với tần số r của lực kích thích. Vì toàn bộ ảnh Chương 1. Dao động của hệ có một bậc tự do 1-18 hưởng của dao động riêng đều nhân với hàm số mũ giảm te .α− ; nên sau một thời gian, ảnh hưởng này sẽ tắt dần và chỉ còn : )sin( 41 4 222 2 2 * λ ω α ω − +⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − = rt rr y y t (1-66) Đây là phương trình dao động cưỡng bức trong thời kỳ bình ổn. Hình (1-15) biểu diễn dao động trong quá trình xảy ra từ lúc bắt đầu dao động đến khi bước sang thời kỳ dao động bình ổn (không còn ảnh hưởng của dao động riêng). Chuyển động toàn phần của hệ trong thời gian này là kết quả của sự phối hợp giữa hai dao động điều hoà khác nhau về biên độ, về tần số và về pha nên rất phức tạp. Quá trình chuyển tiếp này là giai đoạn đầu của chuyển động, chỉ tồn tại trong một khoảng thời gian ngắn sau vài chu trình đầu. Nếu trong (1-65) và (1-66) ta cho 0=α thì sẽ được kết quả hoàn toàn giống như (1- 48) và (1-49) đã thiết lập trong trường hợp không có lực cản. 1.6.2 Hệ số động : Từ phương trình (1-65) ta có : ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −++− +⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − == − )sincossincos(sin)sin( 1 1 1 1 1 . 2 2 2 2 2 2 * t rtert rry yK t t d ωω λλαωλλ ωγω α (1-67) Trong đó: ω αγ 2= . Gọi : T- chu kỳ dao động riêng không kể lực cản, thì ω π2=T ; TP - chu kỳ của lực kích thích r TP π2= . Ta có : Hình 1- 12. Dạng dao động thành phần và tổng cộng. t Dao động tự do t Dao động cưỡng bức t Dao động toàn phần Chương 1. Dao động của hệ có một bậc tự do 1-19 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −++− ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − = − )sincossincos(sin)sin( 1 1 1 1 1 . 2 2 2 2 2 2 trtert T T T T K t PP d ωω λλαωλλ γ α (1-68) Trong thời kỳ bình ổn không còn dao động riêng, hệ số động có dạng : )sin( 1 1 2 2 2 2 2 2 λ γ − ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − = rt T T T T K PP d (1-69) Hệ số động có trị số lớn nhất khi 1rt =− )sin( λ , và sẽ bằng ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − = 2 2 2 2 2 2 1 1 PP d T T T T K γ (1-70) So sánh (1-68) với (1-70) ta thấy trong thời kỳ đầu dao động chưa bình ổn (quá trình chuyển tiếp) có thể xảy ra những lúc dd KK >max , vì lúc này dao động riêng chưa kịp tắt dần, làm tăng dao động toàn phần. Hệ số động trong trường hợp cộng hưởng (tức là khi r=ω ): lúc này T = TP theo (1- 70) ta được : α ω γ 2 1 ==dK . (1-71) Hình 1-13. Sự thay đổi hệ số động theo tỷ số r/ω và hệ số cản. 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 Kđ ω r 502 ,== ω αγ g = 0,4 g = 0,3 g = 0,2 g = 0,1 g = 0,0 g = 0,1 g = 0,0 Chương 1. Dao động của hệ có một bậc tự do 1-20 Nếu 0=α thì ∞=dK . Trong thực tế có những công trình bị cộng hưởng nhưng chưa bị phá hỏng ngay, vì có hệ số cản 0≠α , nên ∞≠dK . Tuy vậy, hệ số dK cũng rất lớn nên phải hết sức tránh thiết kế công trình có tần số dao động riêng xấp xỉ tần số của lực kích thích. Trên hình (1-13) biểu diễn sự thay đổi của dK theo ω rz = , tương ứng với các môi trường cản khác nhau. Qua đồ thị ta thấy khi 4 3<ω r và 4 5>ω r thì ảnh hưởng của lực cản hầu như không đáng kể đến trị số của hệ số động dK . Vì vậy, khi tính ta có thể bỏ qua lực cản. Lực cản chỉ ảnh hưởng rõ rệt khi 4 5 4 3 ≤≤ ω r . Trong khoảng này hệ số động tăng rất nhanh nên khi thiết kế công trình phải tránh cả khoảng này. Ta gọi khoảng này là miền cộng hưởng. Khi 1>>ω r , hệ số động 1<dK ; do đó hệ làm việc lợi hơn cả trường hợp tĩnh. Muốn đạt được như vậy phải cho tần số r tăng thật nhanh qua vùng cộng hưởng, và có thiết bị giảm rung để công trình khỏi bị phá hỏng. 1.7 Dao động cưỡng bức khi lực kích thích đặt đột ngột Ở trên ta đã nghiên cứu dao động cưỡng bức do lực kích thích P(t) = P.sinrt gây ra. Trong mục này ta sẽ nghiên cứu dao động cưỡng bức do một số dạng lực kích thích khác gây ra. 1.7.1 Lực không đổi đặt đột ngột (hình 1-14a) Giả sử trước khi đặt lực, hệ đang ở trạng thái cân bằng, không có chuyển vị và dao động (y0 = 0, v0 = 0). Áp dụng phương trình dao động (1-30) cho trường hợp này ta có ττωτω δω τα dtePy t tP )(sin).( 1 0 )( 1 1 2 −= ∫ −− Bởi vì lực không đổi, nên constPP ==)(τ , do đó ττωω δω τα dtePy t tP )(sin. 1 0 )( 1 1 2 −= ∫ −− Nếu lực P tác dụng ngay tại khối lượng M thì : T T p maxy = 2yt p(t) t t o a) b) yt yt Hình 1-14. Lực kích thích và dạng dao động. Chương 1. Dao động của hệ có một bậc tự do 1-21 111 δδ =P và MP 1 11 2 1 2 == δωδω nên ττωω α dte M Py t t )(sin 1 0 . 1 −= ∫ − Lấy tích phân ta được ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +−+= − )sin(cos1. 1 1 1 . 2 1 2 1 1 tte M Py t ωω αωωα ω ω α , hay : ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +−= − )sin(cos1. 1 1 1 . 2 tteM Py t ωω αωω α , với 2122 ωαω += . Ngoài ra : tyPM P =+ 112 δω là chuyển vị của khối lượng của M do lực P tác dụng tĩnh tại đó gây ra, nên : ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +−= − )sin(cos1 1 1 1 . tteyy tt ωω αωα (1-72) Để tìm chuyển vị cực đại ymax ta lấy đạo hàm phương trình (1-72) theo t ta có: [ ++−−= − )cossin( 111. tteydtdy tt ωαωωα ])sin(cos. 111. tte t ωωαωα α +− , cho 0 dt dy = , ta có : 0sin)( 1221. =+− te t ωαωα . Suy ra 0sin 1 =tω , do đó 1ω π=t (ta không dùng nghiệm t = 0 vì lúc này y0 = 0). Vậy tại thời điểm 2 1 1 Tt == ω π (nửa chu kỳ dao động riêng có lực cản ) thì có ymax: ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ += − 2 . max 1 1 T t eyy α . - Trường hợp không có lực cản, 0=α : Từ công thức (1-72) ta suy ra : ).cos1( tyy t ω−= (1-73) Rõ ràng là khi 1.cos −=tω thì tyyty 2)( max == . Đường biểu diễn của phương trình chuyển vị (1-73) có dạng như trên hình (1-17b). Từ công thức (1-72) và (1-73) chúng ta có thể viết được ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +−=− − tteyyy ttt 1 1 1 . sincos ωω αωα , (1-74) và Chương 1. Dao động của hệ có một bậc tự do 1-22 tyyy tt .cosω−=− . (1-75) Ta thấy hai công thức (1-74) và (1-75) có dạng tương tự như công thức (1-20) và (1- 6) trong phần dao động tự do, chỉ khác là ở vế trái của đẳng thức này giảm đi một hằng số yt. Vì vậy, đối với trường hợp lực không đổi tác dụng đột ngột thì có thể xem phương trình dao động cưỡng bức của hệ như là phương trình dao động tự do quanh vị trí cân bằng mới cách vị trí cân bằng ban đầu là yt, với chuyển vị ban đầu bằng yt và vận tốc ban đầu là v0 = 0. 1.7.2 Lực không đổi tác dụng trong thời gian ngắn và lấy ra đột ngột Xét lực không đổi P tác dụng đột ngột trên hệ và sau một thời gian ngắn t1 lại được lấy ra đột ngột (hình 1-19a). - Khi 1tt ≤ theo (1-72) và (1-73) ta có : Trường hợp có lực cản : ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +−= − tteyy tt 1 1 1 . 1 sincos1 ωω αωα Trường hợp không có lực cản : ).cos1(1 tyy t ω−= - Khi ttt > phương trình dao động của hệ khi không có lực cản như sau: [ ]tttyy t .cos)(cos 1 ωω −−= . (1-76) Sau khi biến đổi ta có thể viết phương trình (1-76) dưới dạng khác như sau : ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −= 2 .sin 2 .sin2 11 tttyy t ωω . Do đó : T tytyy tt 11max .sin2 2 .sin2 πω == . Vậy: T t y y K t d 1max .sin2 π== . Từ công thức trên ta thấy, thời gian tác dụng của tải trọng càng ngắn thì trị số dK càng nhỏ. Trong phạm vi 21 Tt < thì trị số dK tăng lên liên tục theo t1. Bảng (1-1) ghi các giá trị của hệ số động dK tương ứng với các trị số T t1 (t1 - thời gian tác dụng ngắn của tải trọng). Bảng 1-1. Giá trị hệ số Kđ. t1/T 0,00 0,01 0,02 0,05 0,1 0,167 0,2 0,3 0,4 0,5 Kđ 0 0,052 0,126 0,313 0,618 1,00 1,175 1,617 1,902 2,00 Từ (bảng 1-1) ta thấy lúc 01,01 = T t thì 19 1052,0 ≈=dK , tức là chuyển vị do tải trọng tác dụng trong thời gian ngắn gây ra chỉ bằng 19 1 chuyển vị do lực tác dụng tĩnh. 1.8 Một vài ứng dụng trong kĩ thuật của lí thuyết dao động Chương 1. Dao động của hệ có một bậc tự do 1-23 a) Đệm đàn hồi của máy. Trong những máy quay, bộ phận quay không cân bằng sẽ chuyền vào móng những lực kích động tuần hoàn, gây ồn ào và tạo nên những dao động có hại cho máy. Để làm giảm hiện tượng có hại ấy người ta thường dùng đệm đàn hồi. Ta xem máy như vật có khối lượng m, quay với vận tốc góc r và gây ra lực ly tâm là P. Nếu đo các góc như trên (hình 1-22) ta có thành phần thẳng đứng và nằm ngang của lực kích động là Psinrt và Pcosrt. Nếu máy gắn chặt vào móng cứng (hình 1-22a) thì vật sẽ bất động đối với móng và toàn bộ lực ly tâm được chuyền vào móng. Để làm giảm lực tác dụng vào móng, người ta đặt máy trên đệm đàn hồi (hình 1-22b) và đặt các liên kết sao cho có thể hạn chế được chuyển động ngang của máy. Do cách bố trí như vậy nên ta có một hệ dao động gồm vật có khối lượng là m đặt trên các lò xo thẳng đứng. Muốn xác định được lực thẳng đứng thay đổi chuyền cho móng qua lò xo, cần phải khảo sát dao động của vật dưới lực kích động Psinrt. Trên cơ sở công thức (1-66) ta có thể viết được phương trình dao động của máy có tính đến lực cản: 2 2 2 2 2 1 1 )sin(. ωγω λδ rr rtPy P +⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − −= Muốn cho biên độ dao động nhỏ, thì tần số dao động tự do ω của khối lượng m đặt trên lò xo cần phải nhỏ hơn nhiều lần so với tần số r của lực kích động. Giả sử, nếu 10=ω r , thì ngay cả khi bỏ qua lực cản, ta có: 99 . 10.)101( . 1 222 1 max PP PPy δ γ δ ≈ +− = Điều đó chứng tỏ rằng khi lực cản rất nhỏ, biên độ dao động lớn nhất cũng chỉ bằng một phần trăm chuyển vị tĩnh PP.1δ của khối lượng dưới tác dụng của lực P. Như vậy, áp lực lên nền do lực Psinrt được xem như bằng không, nên áp lực của máy trên nền hầu như chỉ bằng trọng lượng tĩnh của nó. b) Máy ghi dao động (dao động ký). Đó là dụng cụ dùng để ghi lại dao động của công trình. Sơ đồ nguyên lý làm việc của máy được chỉ rõ trên (hình 1-23). Dụng cụ đó là một cái hộp có gắn một lò xo mềm; dưới lò xo có treo một vật nặng với khối lượng m. Trên khối lượng có gắn một bút tựa vào một cái tang trống quay đều theo thời gian. Căn cứ vào đường sóng ghi lại trên tang trống, ta có thể biết được biên độ và tần số dao động của công trình. c) Máy rung: máy rung là một loại máy dùng để xác định tần số riêng của các công trình. Máy gồm có hai đĩa quay ngược chiều nhau với vận tốc không đổi trong cùng mặt phẳng đứng. Trục quay của các đĩa đặt trên một khung cứng gắn chặt vào công trình cần m P m rt rt H×nh 1-15. S¬ ®å ph©n tÝch lùc t¸c dông ®éng cña m¸y ) m ∆(t) = asinrt Hình 1-16. Sơ đồ dao động Chương 1. Dao động của hệ có một bậc tự do 1-24 nghiên cứu. Trên mỗi đĩa có gắn một vật nặng lệch tâm đối xứng với trục thẳng đứng mn. Khi máy quay với vận tốc góc bất kỳ r thì lực ly tâm sẽ là P.r2. Tổng hợp lực tác dụng theo phương thẳng đứng sẽ là 2Pr2sinrt. Lực thay đổi này sẽ gây ra dao động cưỡng bức trong công trình và có thể dùng dao động ký để ghi lại dao động ấy. Từ từ thay đổi vận tốc quay của đĩa thì ứng với một vận tốc quay nào đó, công trình sẽ có biên độ dao động cưỡng bức cực đại tức là xảy ra hiện tượng cộng hưởng. Khi đó tần số dao động tự do của công trình sẽ bằng vòng quay tương ứng của đĩa. d) Tốc kế Phơram: Tốc kế Phơram (Frame) là một dụng cụ dùng để đo tần số dao động. Máy gồm có một dãy các thanh bằng kim loại bị kẹp chặt ở đầu dưới. Tại đầu trên của những thanh đó có gắn những khối lượng không lớn lắm và phải chọn sao cho tần số các thanh đó hợp thành một dãy các giá trị xác định. Độ chênh lệch tần số giữa hai thanh kề nhau thường vào khoảng nửa lần dao động trong một giây. 1.9 Tóm tắt nội dung bài toán động với hệ 1 bậc tự do 1.9.1 Công thức xác định tần số dao động riêng, chu kỳ dao động riêng 1.9.1.1 Tần số dao động riêng Ty g Q g MM K ==== 1111 1 δδω (1.81) trong đó M - là khối lượng tập trung của hệ, hoặc là khối lượng quy đổi của hệ về vị trí xác định cần thiết; K - là hệ số độ cứng đàn hồi của hệ tại điểm đặt khối lượng, là lực do chuyển vị đơn vị của khối lượng gây ra; d11 - là độ mềm đàn hồi của hệ tại vị trí đặt khối lượng M, là chuyển vị tại M do lực bằng đơn vị đặt tại đó, theo phương chuyển động gây ra; Q - là trọng lượng của khối lượng M; g - là gia tốc trọng trường (g = 9,81m/s2); yT - là chuyển vị tĩnh do trọng lượng bản thân khối lượng gây ra. 1.9.1.2 Chu kỳ dao động tự do ω π2=T (1.82) 1.9.2 Hệ số động, tải trọng tĩnh tương đương (xét trường hợp không cản) 1.9.2.1 Hệ số động. - Hệ số động học theo thời gian: ( ) ( ) ( )∫ −= t dtftK 0 sin ττωτω , (1.83) trong đó: f(t) - là quy luật thay đổi của tải trọng theo thời gian; ω - là tần số dao động riêng. Chương 1. Dao động của hệ có một bậc tự do 1-25 - Hệ số động là giá trị lớn nhất của K(t): Kđ = K(t)max. (1.84) Kđ phụ thuộc vào quy luật thay đổi của tải trọng động theo thời gian (dạng tải trong động), tỷ số giữa thời gian duy trì tải trọng và chu kỳ dao động riêng của hệ (θ/T, θ - là thời gian duy trì tải trọng). - Với tải trọng khác nhau, hệ số động cho trong bảng 1.2. 1.9.2.2 Tải trọng tĩnh tương đương - Khi hệ dao động, lực đàn hồi tương ứng với nội lực động của hệ sẽ là: )(.)(.)( tKPtyKtP mdh == (1.85) - Tải trọng tĩnh tương đương đối với hệ 1 bậc tự do là lực đàn hồi lớn nhất và bằng: Pđh = Pm.Kđ (1.86) - Khi hệ chịu tác dụng của tải trọng xung thì tải trọng tĩnh tương đương sẽ bằng: Ptđ = S.ω, khi θ/T ≤ 0,5 (1.87) trong đó: S - là xung lượng tác dụng vào hệ, là diện tích của biểu đồ tải trọng theo thời gian; T – là chu kỳ dao động tự do; θ - là khoảng thời gian tải trọng tác dụng. Ptđ = S.ω.ε, khi θ/T > 0,5 (1.88) trong đó ε - là hệ số xung, 2 sin2 ωθωθε = . 1.9.3 Chuyển vị và nội lực của hệ - Các giá trị chuyển vị động lớn và nội lực động lớn nhất đối với hệ có một bậc tự do được tính qua hệ số động, nghĩa là các giá trị này do tải trọng tĩnh tương đương gây ra: ymax = yT.Kđ; (MP)max = (MP)đ = (MT) Kđ. (1.89) Trong đó (MP)đ - là biểu đồ mô men do tải trọng tĩnh tương đương gây ra. - Phương trình dao động của hệ được xác định theo công thức tổng quát sau: ( ) ( ) ( ) ( )∫ −== t T dtPM tKyty 0 sin1. ττωτω . (1.90) - Khi hệ chịu tải trọng xung: ( ) t M Sty ωω sin= , (1.91) trong đó S - là xung lượng tác dụng lên hệ, nó được xác định bằng diện tích biểu đồ tải trọng theo thời gian. - Phương trình chuyển động tự do khi hệ chịu tác dụng của chuyển vị y0 và tốc độ bàn đầu v0: ( ) t ωωω sincos 00 v tyty += , (1.92) trong đó: y0 - là chuyển vị ban đầu của khối lượng tại thời điểm t = 0; Chương 1. Dao động của hệ có một bậc tự do 1-26 v0 - là vận tốc ban đầu của khối lượng. - Khi xét đến ảnh hưởng của lực cản, phương trình đao động của hệ khi chịu tác dụng của tải trọng xung được viết như sau: ( ) t M Sety t 1 1 sinωω α−= , (1.93) trong đó 221 αωω −= , với M2 βα = - là hệ số tắt dần; b - là hệ số cản; - Phương trình dao động của hệ trong trường hợp tổng quát khi xét ảnh hưởng của lực cản (lực cản nhỏ) có điều kiện ban đầu khác không: ( ) ( ) ( )∫ −+⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ++= −− t tt dteP M t vy tyety 0 1 1 1 1 00 10 sin 1sincos ττωτωωω αω αα (1.94) Bảng 1.2. Các công thức xác định hệ số động và tải trọng tĩnh tương đương Dạng tải trọng Ptđ và Kđ ( ) ⎩⎨ ⎧ > ≤= θ θ t khi0, t khi,mPtP .2;.;5,0)2 ; 2 .sin . 2;... ; 2 sin2;5,0)1 ==≥ === =< ddmtd dmtd d KKPP SKPP K T T Khi Khi θ θω θωεεω θωθ ( ) ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ > ≤⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −= θ θθ t khi0, t khi,1 tP tP m ( ) ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −=≥ −+−= < θω θωθ θω θω θω θω θ . .12;371,0)2 ;.cos12 . .sin21 ;371,0)1 22 arctgK K T d d T Khi Khi ( ) ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ > ≤= θ θθ t khi0, t khi,. tP tP m ( ) 22d 1121K θω θω θω θω .cos . .sin −+−= ( ) rtPtP m sin.= 2 2 1 1 ω r K d − = θ Pm 0 t θ Pm 0 t θ Pm 0 t Pm 0 t