Chuyển vị lượng tử với trạng thái kết hợp hai mode thêm photon

CHUYỂN VỊ LƯỢNG TỬ VỚI TRẠNG THÁI KẾT HỢP HAI MODE THÊM PHOTON LÊ THỊ THU - TRƯƠNG MINH ĐỨC Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế Tóm tắt: Trong bài báo này, chúng tôi sử dụng mô hình chuyển vị biến liên tục được đưa ra bởi H. F. Hofmann, T. Ide, T. Kobayashi [1] để thực hiện chuyển vị trạng thái kết hợp với nguồn rối là trạng thái kết hợp hai mode thêm photon. Trước hết, chúng tôi sẽ chỉ ra rằng trạng thái kết hợp hai mode thêm photon bị đan rối. Sau đó, chúng tôi khảo sát quá trình chuyển vị lượng tử với trạng thái này và tính toán độ trung thực của chuyển vị. Kết quả cho thấy độ trung thực vượt qua giới hạn chuyển vị cổ điển (Fav = 1/2) và có thể lớn hơn 2/3. 1 GIỚI THIỆU Chuyển vị lượng tử hay viễn tải lượng tử (quantum teleportation) là quá trình truyền và nhận thông tin tức thời giữa người gửi Alice (A) và người nhận Bob (B). Dựa theo mô hình chuyển vị thì chuyển vị lượng tử gồm các bước sau: Đầu tiên, bên A và B cùng chia sẻ một trạng thái rối hai mode (nguồn rối) và bên A có trạng thái lượng tử cần chuyển vị. Bước tiếp theo, bên A thực hiện phép đo chung trên trạng thái cần chuyển vị và nguồn rối, kết quả của phép đo được gửi tới B. Tại đây, kết quả này được sử dụng để chuyển đổi trạng thái tại B thành trạng thái cần chuyển vị ban đầu. Quá trình chuyển vị lượng tử cần đảm bảo, trạng thái do B tái tạo lại phải là bản sao của trạng thái gốc. Mô hình về chuyển vị lượng tử được đưa ra đầu tiên bởi Bennett [3], là chuyển vị lượng tử được đề cập cho hệ các biến rời rạc trong không gian Hilbert hai chiều. Ngay sau khi Bennett trình bày về chuyển vị lượng tử cho biến rời rạc, ý tưởng về chuyển vị lượng tử biến liên tục được các nhà vật lý đặc biệt quan tâm, và chuyển vị lượng tử biến liên tục được đưa ra bởi Vaidman [5], trong không gian Hilbert vô hạn chiều. Tuy nhiên, chuyển vị biến liên tục lý tưởng [5] yêu cầu một trạng thái đan rối hoàn toàn (mức độ đan rối cao nhất), có năng lượng vô tận là nguồn rối, điều này là khó thực hiện. Sau đó, Braunstein và Kimble đa đưa ra mô hình chuyển vị biến liên tục vào năm 1997 [4], trong đó, tác giả chứng minh có thể chuyển vị thành công với các trạng thái lượng tử không rối cực đại. Bài báo này đã hoàn thiện chuyển vị lượng tử biến liên tục trong khuôn khổ quang học lượng tử. Gần đây, mô hình Tạp chí Khoa học và Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm Huế ISSN 1859-1612, Số 03(23)/2012: tr. 13-20 14 LÊ THỊ THU - TRƯƠNG MINH ĐỨC chuyển vị lượng tử đã được đưa ra dưới nhiều hình thức khác nhau, như hình thức luận hàm Wigner [4], trạng thái biên độ trực giao [6], trạng thái Fock [7] và trạng thái kết hợp [2]. Trong bài báo này, chúng tôi thực hiện mô hình chuyển vị biến liên tục để chuyển vị trạng thái kết hợp, sử dụng nguồn rối là trạng thái kết hợp hai mode thêm photon. 2 KHẢO SÁT TÍNH ĐAN RỐI TRẠNG THÁI KẾT HỢP HAI MODE THÊM PHOTON Trạng thái kết hợp thêm photon được định nghĩa a†m|α⟩ a†m|α⟩ |α, m⟩ = √ = , (1) † 2 1/2 ⟨α|ama m|α⟩ [m!Lm(−|α| )] với ∑m (−x)nm! L (x) = , (2) m (n!)2(m − n)! n=0 là đa thức Laguerre bậc m theo x, |α⟩ là trạng thái kết hợp, m là số nguyên không âm. Trường hợp m = 1 thì (1) trở thành a†|α⟩ |α, 1⟩ |α, 1⟩ = √ = √ . (3) ⟨α|aa†|α⟩ 1 + |α|2 Mở rộng trạng thái (3) sang trường hợp hai mode ta thu được trạng thái kết hợp hai mode thêm photon † † |Ψ⟩ab = Nα,β(a + b )|α⟩a|β⟩b, (4) 2 − 1 trong đó Nα,β = (2 + |α + β| ) 2 là hệ số chuẩn hóa thu được từ điều kiện ab⟨Ψ|Ψ⟩ab = 1. Có thể viết trạng thái |Ψ⟩ab dưới dạng trạng thái Fock ( ) ∞ |α|2 + |β|2 ∑ αnβm |Ψ⟩ab = Nα,β exp − √ 2 n!m! (√ √n,m=0 ) × n + 1|n + 1, m⟩ab + m + 1|n, m + 1⟩ab . (5) Trạng thái kết hợp hai mode thêm photon là trạng thái phi Gauss, nên nó thể hiện tính phi cổ điển rất mạnh, một trong các tính chất đó là tính đan rối. Chúng tôi sẽ sử dụng tiêu chuẩn đan rối cho hệ hai mode do Hillery và Zubairy[8] đưa ra để dò tìm đan rối của trạng thái kết hợp hai mode thêm photon. Cụ thể, điều kiện đan rối cho bởi bất đẳng thức ˆ† 2 ⟨NaNb⟩ < |⟨aˆb ⟩| . (6) CHUYỂN VỊ LƯỢNG TỬ VỚI TRẠNG THÁI KẾT HỢP HAI MODE... 15 Sử dụng điều kiện rối (6), nghĩa là nếu một trạng thái hai mode thỏa mãn điều kiện † 2 ⟨NaNb⟩ − |⟨ab ⟩| < 0, (7) ta kết luận trạng thái này bị đan rối. † 2 Để tính ⟨NaNb⟩ − |⟨ab ⟩| , chúng tôi sử dụng các tích vô hướng sau { ( ) ℓ−k 2 ∗ℓ−k ℓ k!L −|α| α nếu ℓ > k, ⟨α|aka† |α⟩ = k ( ) (8) k−ℓ −| |2 k−ℓ ℓ!Lℓ α α nếu k > ℓ, trong đó ∑n (m + n)!(−x)k Lm(x) = , (9) n (m + k)!(n − k)!k! k=0 là đa thức Laguerre tổng quát bậc n theo x chứa tham số k. Kết quả 1 [ ⟨Nˆ Nˆ ⟩ − |⟨aˆˆb†⟩|2 = −4|α|2|β|2 a b |α + β|2 + 2 − (α∗β + αβ∗)(|α|2 + |β|2) − 2(α∗β + αβ∗) − 1] , (10) dựa vào điều kiện (7), nếu biểu thức (10) nhận giá trị âm thì trạng thái hai mode thêm photon bị rối. Chúng ta có thể thấy rằng, nếu chọn (α∗β +αβ∗) > 0 thì điều kiện trên thỏa mãn. Như vậy, trạng thái hai mode kết hợp thêm photon sẽ bị đan rối khi (α∗β +αβ∗) > 0. 3 CHUYỂN VỊ LƯỢNG TỬ BIẾN LIÊN TỤC VỚI TRẠNG THÁI KẾT HỢP HAI MODE THÊM PHOTON Khi thực hiện chuyển vị lượng tử phải chuẩn bị nguồn rối hai mode, chúng tôi xét nguồn rối là trạng thái kết hợp hai mode thêm photon. Bên A và B cùng chia xẻ trạng thái rối này, mode a (mode 2) được định vị bên A, mode b (mode 3) được định vị bên B. Tiếp theo, trạng thái đưa vào bên A là trạng thái kết hợp |ψ⟩in = |γ⟩1 chứa mode 1. Bên gửi xuất hiện trạng thái tổ hợp 3 mode |ψ⟩123 = |ψ⟩in|ψ⟩ab = |γ⟩1|ψ⟩23, (11) 16 LÊ THỊ THU - TRƯƠNG MINH ĐỨC suy ra ( ) ( ) 2 −1/2 2 |ψ⟩123 = |2α| + 2 exp −2|α| { ∑ αn(α∗)m √ × √ n + 1|n + 1⟩2|m⟩3|γ⟩1 (12) n,m n!m! √ } + m + 1|n⟩2|m + 1⟩3|γ⟩1 . A có trạng thái |γ⟩1 không xác định, A thực hiện phép tổ hợp hai mode 1 và 2 (mode 2 là do A chia xẻ trạng thái rối |ψ⟩23 với B) tức tìm trạng thái mode 1 và mode 2 rối với nhau, bằng cách đưa hai mode vào bộ tách tia (Beam-splitter). Phép đo chung của mode 1 và mode 2, tại đầu ra của bộ tách tia xuất hiện trạng thái tích ||X⟩1||P ⟩2 (kí kiệu ||...⟩ để chỉ các trạng thái trực giao). Trạng thái tích này xây dựng trong không gian Hilbert của hệ hai mode, ||X⟩1 và ||P ⟩1 là hai trạng thái riêng trực giao. Vậy nên, trạng thái tích này chính là trạng thái rối hoàn toàn giữa mode 1 và mode 2. Theo phép chiếu của Von Neumann, trạng thái Bell được suy ra từ trạng thái tích này. Do đó, trạng thái Bell chính là trạng thái riêng trong phép đo tổ hợp hai mode 1 và 2 của người thực hiện là A. Trong trạng thái Bell xuất hiện trị riêng A(X, P ) (phức), A sẽ được gửi tới B qua kênh thông tin cổ điển. Phép đo tổ hợp trạng thái mode 1 và 2 thiết lập thái rối cực đại giữa hai mode là trạng thái Bell ∫ 2 |B(X, P)⟩ = D (2A)|B(0, 0)⟩ = D (2A) √ |γ⟩|γ∗⟩d2γ, ac c ac c π π và thu được thông tin về hệ thông qua trị riêng A(X, P ). Thực hiện đồng thời với quá trình này là sự hủy trạng thái của mode 2 và 3. Bây giờ, bên B còn trạng thái của mode 3 chứa các thông tin về mode 1 |ψ⟩B = |ψ⟩3 = 12⟨B(X, P )|ψ⟩123. (13) Trạng thái của mode 3 tại B có dạng [ ] 1 1 2 |Ψ⟩B = √ M exp − |γ − β| π 2 ( ∞ ∑ αn(α∗)m (γ − β)n+1 × √ √ |m⟩3 n!m! (n + 1)! n,m=0√ ) m + 1 + (γ − β)n|m + 1⟩ , (14) n! 3 CHUYỂN VỊ LƯỢNG TỬ VỚI TRẠNG THÁI KẾT HỢP HAI MODE... 17 với [ ] ( ) 1 ∗ ∗ 2 M = N ∗ exp (β γ − βγ ) exp −|α| α,α 2 ở đây chúng tôi đã chọn β = α∗. Khi B nhận được thông tin về X và P , B có thể dùng nó và trạng thái của mode 3 để khôi phục trạng thái ban đầu. Bằng cách sử dụng toán tử dịch chuyển D(β) (β = 2A) tác dụng lên trạng thái chứa mode 3. Trạng thái cuối cùng của quá trình chuyển vị kí hiệu là |ψ⟩out, ta có |Ψ⟩out = D(β)|Ψ⟩B. (15) Cụ thể, trạng thái cuối cùng của quá trình chuyển vị mà B nhận được có dạng [ ] 1 1 2 |Ψ⟩out = √ M exp − |γ − β| π 2( ∞ ∑ αn(α∗)m (γ − β)n+1 × √ √ D(β)|m⟩3 n!m! (n + 1)! n,m√ =0 ) m + 1 + (γ − β)nD(β)|m + 1⟩ . (16) n! 3 Để đánh giá mức độ chuyển vị lượng tử, độ trung thực chuyển vị được xác định bởi công thức ∫ 2 2 Fav = |in⟨Ψ|Ψ⟩out| d β. (17) Thay biểu thức của |Ψ⟩in, |Ψ⟩out vào (17) và áp dụng các tính chất của toán tử dịch chuyển, chúng tôi thu được kết quả ∫ 2 N ∗ ( ) [ ] F = α,α exp −2|α|2 exp −2|γ − β|2 av π ∞ ∑ n ∗ ℓ ∗ m p × α (α ) (α ) α n!m!ℓ!p! [n,m,ℓ,p=0 × 2(γ − β)n+p+1(γ∗ − β∗)m+ℓ+1 + (γ − β)n+p(γ∗ − β∗)m+ℓ+2 ] + (γ − β)n+p+2(γ∗ − β∗)m+ℓ d2(γ − β). (18) Để tính tích phân trong (18), chúng tôi sử dụng ∫ [ ] πj! I = exp −s|β|2 βiαjd2β = δ . (19) sj+1 i,j 18 LÊ THỊ THU - TRƯƠNG MINH ĐỨC Kết quả cuối cùng về độ trung thực chuyển vị có dạng { ∞ ∑ m∑+p m ∗ m+p−n ∗ m p N ∗ α (α ) (α ) α (m + p)! F = α,α av 2 m!n!p!(m + p − n)!2m+p m,p=0 n=0 } ∞ m+p+2 ∑ ∑ αm(α∗)m+p+2−n(α∗)mαp(m + p + 2)! + . (20) m!n!p!(m + p + 2 − n)!2m+p m,p=0 n=0 Để thuận lợi cho việc khảo sát, đảm bảo rằng trạng thái kết hợp hai mode thêm photon bị đan rối chọn α là thực, dương. Kết quả Fav được viết lại { ∞ m+p 1 ∑ ∑ α2(m+p)(m + p)! F = av 2(4α2 + 2) m!n!p!(m + p − n)!2m+p m,p=0 n=0 } ∞ m+p+2 ∑ ∑ α2(m+p+1)(m + p + 2)! + . (21) m!n!p!(m + p + 2 − n)!2m+p m,p=0 n=0 Phương trình (21) cho thấy rằng độ trung thực chuyển vị không phụ thuộc vào trạng thái chuyển vị |γ⟩, nó chỉ phụ thuộc vào biên độ kết hợp của nguồn rối. Như vậy, kết quả khảo sát độ trung thực được thể hiện trên Hình 1). 1.0 0.8 0.6 av F 0.4 0.2 0.0 0 1 2 3 4 ÈΑÈ Hình 1: Đồ thị của hàm Fav được khảo sát theo biên độ kết hợp α, không phụ thuộc vào trạng thái |γ⟩. Đồ thị cho thấy độ trung thực chuyển vị Fav = 0.733878 tại giá trị α = 4.3. Điều kiện chuyển vị lượng tử xảy ra khi và chỉ khi 0.5 ≤ Fav ≤ 1. Kết quả khảo sát đồ thị cho thấy Fav đạt giá trị cực đại tại 0.733878 đối với trạng thái kết hợp hai CHUYỂN VỊ LƯỢNG TỬ VỚI TRẠNG THÁI KẾT HỢP HAI MODE... 19 mode thêm photon. Như vậy, chuyển vị lượng tử có điều khiển với trạng thái kết hợp hai mode thêm photon là hoàn toàn được phép khi độ trung thực trung bình Fav > 0.5. Độ trung thực trong quá trình chuyển vị không hoàn hảo F⊣⊑ < 1 nhưng khá ổn định. Điều đó rất thuận lợi trong việc chuyển vị các trạng thái có số photon lớn và cường độ cao. 4 KẾT LUẬN Như vậy, sử dụng mô hình chuyển vị lượng tử biến liên tục đối với các trạng thái hai mode, chúng tôi đưa ra quá trình chuyển vị một trạng thái kết hợp, sử dụng nguồn rối là trạng thái kết hợp hai mode thêm photon. Chúng tôi sử dụng tiêu chuẩn đan rối cho hệ hai mode do Hillery-Zubairy đưa ra để kiểm tra tính đan rối của trạng thái kết hợp hai mode thêm photon, kết quả nói lên rằng, sử dụng tiêu chuẩn Hillery và Zubairy để đánh giá tính chất rối của trạng thái kết hợp hai mode thêm photon là phù hợp. Sau đó, chúng tôi thực hiện quá trình chuyển vị lượng tử một trạng thái kết hợp. Kết quả cho thấy độ trung thực chuyển vị không phụ thuộc vào trạng thái chuyển vị và độ trung thực khá ổn định có thể đạt tới Fav(max) = 0.733878. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] H. F. Hofmann, T. Ide, T. Kobayashi (2000), Phys. Rev. A 62, 062304. [2] J. Janszky, M. Koniorczyk, A. Gabris (2001), Phys. Rev. A 64, 034302. [3] C. H. Bennett, G. Brassard, C. Crepeau, R. Jozsa, A. Peres, and W. K. Wootters (1993), Phys. Rev. Lett. 70, 1895. [4] S. L. Braunstein and H. J. Kimble (1998), Phy. Rev. Lett 80, 869. [5] L. Vaidman (1994), Phys. Rev. A 49, 1473. [6] G. J. Milburn and S. L. Braunstein (1999), Phys. Rev. A 60, 937. [7] S. J. van Enk (1999), Phys. Rev. A 60, 5095. [8] M. Hillery and M. S. Zubairy (2006), Phys. Rev. A 74, 032333. 20 LÊ THỊ THU - TRƯƠNG MINH ĐỨC Title: QUANTUM TELEPORTATION WITH TWO MODE PHOTON-ADDED CO- HERENT STATE Abstract: In this paper, we use the continuous variable teleportation scheme provided by H. F. Hofmann, T. Ide, T. Kobayashi [1] to teleport a coherent state with entangled resource state as two mode photon-added coherent state. We first show that two mode photon-added coherent state is entangled. We then study the teleportation process with this state and calculate the fidelity of teleportation. The result shows that fidelity is above classical teleportation limit (Fav = 1/2) and can be greater than 2/3. LÊ THỊ THU Học viên Cao học, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế ĐT: 01688.286.020, Email: lethu271987@gmail.com PGS. TS. TRƯƠNG MINH ĐỨC Khoa Vật lý, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế