Chuyển động của bùn cát đáy

Chương 5: Chuyển động của bùn cát đáy. Chương 5 CHUYỂN ĐỘNG CỦA BÙN CÁT ĐÁY 5.1. Cân bằng và chuyển động của bùn cát đáy: 5.1.1. Vận tốc tác động vào hạt cát đáy: Khi bùn cát nằm trên đáy nhám vận tốc trung bình tác dộng lên hạt bùn cát tỉ lệ với lưu tốc ma sát: *~)( udu Khi bùn cát nằm trên đáy phẳng vận tốc trung bình tác dộng lên hạt bùn cát được xác định theo công thức: νµ ρ µ τ duududd dz uddu z * * 2 *0 0 )( ===⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= = do 0 0 = ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂= zz uµτ ở sát đáy Do: µτ 0 0 = ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= zdz ud và ρ τ 0 * == gHIu Kết hợp cả hai trường hợp ta có: ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= υ dufudu *1*)( (5- 1) Trong đó: f1 - hàm của υ du* ; - Khi đáy nhám: * )( u duf = ; - Khi đáy nhẵn: υ duf *1 = ; 5.1.2. Sự cân bằng của hạt bùn cát: Xét một hạt bùn cát nằm trên đáy sông, khi đó nó sẽ chịu các lực tác động như hình vẽ: Hình 5-1. Sơ đồ lực tác dụng lên hạt bùn cát. Trong đó: 5-1 Chương 5: Chuyển động của bùn cát đáy. O - trọng tâm của hạt bùn cát; A - điểm đặt lực Fz, Fx; G - trọng lượng của hạt; Fx- áp lực thuỷ động theo phương nằm ngang; Fz - lực nâng sinh ra do áp lực thuỷ động. Đặt giả thiết hạt bùn cát nằm ở vị trí cân bằng khi đó ta có các phương trình cân bằng cho các trường hợp. )( zfx FGkF −= - phương trình cân bằng trượt, (kf: Hệ số ma sát); zFG = - phương trình cân bằng theo phương thẳng đứng; 321 lFlFGl zx += - phương trình cân bằng lật quanh điểm B. Giá trị của các lực đó như sau: Lực Fx: 22 * 2 1 22 2 )( 2 1 duf C dudCF xxx ρρ == (5- 2) d - Đường kính hạt; ρ - Khối lượng riêng của nước; Cx - hệ số cản theo phương x (có tính đến ảnh hưởng của hình dạng hạt bùn cát). Đặt: 2 1 * 22 2 fCduff x=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= υ Ta có: 22 *2 dufFx ρ= (5- 3) Lực Fz - thông thường được xác định thông qua lực Fx nhưng chỉ khác là thay hàm ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ υ duf *2 bằng hàm ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ υ duf *3 : 22 *3 dufFz ρ= (5- 4) Lực G: (5- 5) )()( 31 ρρρρ −=−= ss gdCVgG Trong đó: C1 - hệ số hình dạng thể tích 31dCV = (với hình cầu 6/1 π=C ); ρs - khối lượng riêng của hạt bùn cát; ρ - khối lượng riêng của nước. Bùn cát có thể thoả mãn các điều kiện cân bằng không nhất thiết đồng thời, ứng với mỗi điều kiện cân bằng hạt bùn cát sẽ có các trạng thái cân bằng khác nhau. 5-2 Chương 5: Chuyển động của bùn cát đáy. 5.1.2.1. Trạng thái cân bằng trượt: )( zfx FGkF −= (5- 6) [ ]22*33122*2 )( dufgdCkduf sf ρρρρ −−=⇔ Chia cả hai vế cho 22*1 duCK f ρ 1 3 2 *1 2 1 C f u gd Ck f s f −⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ −=⇒ ρ ρ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +=⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ −⇔ 32 1 2 * 11 f K f Cu gd ms s ρ ρ Thay ghIu =* ta có: ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +=⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ − 32 1 11 f K f ChI d ms s ρ ρ (5- 7) Đặt: ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ −=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ 11 32 1 * 1 ρ ρ νϕ s f hI df k f C du (5- 8) 5.1.2.2. Trạng thái cân bằng lật: Phương trình cân bằng lật: 321 lFlFGl zx += 3 22 *32 22 *21 3 1 )( lduflduflgdC s ρρρρ +=−⇔ Chia cả hai vế cho ta có: 322*1 lduC ρ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −=⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ − 1 3322 1 2 * .. .11 l lflf Cu gd s ρ ρ Hay: ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −=⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ − 1 3322 1 ..11 l lflf ChI d s ρ ρ (5- 9) Đặt: ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ −=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ 1..1 1 3322 1 * 2 ρ ρ νϕ s hI d l lflf C du (5- 10) Đại lượng ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ −= 1 ρ ρϕ s hI d không thứ nguyên và được gọi là hệ số ổn định của bùn cát, giá trị tới hạn của ϕ ký hiệu là 0 ϕ . 5.1.2.3. Trạng thái cân bằng theo phương thẳng đứng: Theo điều kiện cân bằng theo phương đứng các hạt bùn cát chuyển động đều dưới tác dụng của lực cản FR và lực nâng Fz . 5-3 Chương 5: Chuyển động của bùn cát đáy. ZR FF = Mặt khác: ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= υρ dufduFz .* 3 22 * ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= υ ωρω dfdFR .0220 Trong đó: 0ω - độ thô thuỷ lực; Suy ra: ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ υρυ ωρω dufdudfd .*322*0220 (5- 11) ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ =⇒ υ ω υω df duf u 0 * 3 * 0 (5- 12) Đặt * 0 u ωξ = - hệ số ổn định không lắng đọng của bùn cát, giá trị tới hạn được ký hiệu là 0ξ . Các đại lượng ϕ/1 và ξ/1 được gọi là chỉ số chuyển động của bùn cát. Dựa vào thực nghiệm Krônốp thiết lập đồ thị 0 1 ξ theo υ du*Re = Hình 5-2. Đồ thị Crôznốp. Với đồ thị của Krônốp ta có thể giải được bài toán chuyển động của bùn cát: -Biết d: tìm 0τ (trạng thái cân bằng); -Biết 0τ : tìm d. Các bài toán được giải bằng phương pháp lặp. Ví dụ: tìm τ khi biết d. - Từ d đã cho ta biết được độ thô thuỷ lực ω0 5-4 Chương 5: Chuyển động của bùn cát đáy. - Cho u* một giá trị u*1 ta tìm được một giá trị ν dua 1*11 Re == , dựa vào đồ thị thực nghiệm tìm được một giá trị 1 1 1 b ξ= , từ đó có được 011* ' ωξ=u ( do * 0 u ωξ = ). Dùng v*1' để thử ... cứ tiếp tục cho đến khi có: ε≤− i ii u uu * ** ' : là một sai số cho phép thì dừng lại. Từ đó xác định được: 2*uρτ = 5.2. Vận tốc không xói: Trong các bài toán kỹ thuật, việc xác định trạng thái tới hạn theo suất tiếp là không thuận tiện, thông thường người ta dùng vận tốc tới hạn, vì đại lượng đễ xác định hơn. Từ đó yêu cầu đặt ra phải xác định một đại lượng có ý nghĩa lưu tốc đại diện cho khả năng ổn định cũng như bị bồi xói của các hạt bùn cát, đó là vận tốc không xói (hay còn gọi là vận tốc khởi động của hạt bùn cát). Vận tốc không xói: là vận tốc của dòng chảy tác dụng vào hạt bùn cát để hạt bùn cát ở trạng thái tới hạn. Xuất phát từ công thức: C UggHIu ==* (do theo Sedi: hC UI 2 2 = ) C - hệ số Sedi; U - vận tốc trung bình trên một thuỷ trực. Mặt khác theo phần trên ta có: ( ) * 0Re u ωξ = hay ( )Re0* ξ ω=u Từ đó ta có: ( ) C Ug= Re 0 ξ ω (5- 13) ( )Re0ξ ω g C U =⇒ Khi hạt bùn cát ở trạng thái tới hạn ta có: u=u0 - lưu tốc khởi động của bùn cát thì: ξ=ξ0 - hệ số ổn định không lắng đọng của hạt bùn cát, vậy: ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= νξ ω dug CU * 0 0 0 (5- 14) Dựa vào đồ thị thực nghiệm và các công thức của độ thô thủy lực, Krônốp xấp xỉ bằng các công thức toán học đơn giản ta có: - Khi d>1,5mm: ∆= hgdU 12lg3,10 (5- 15) 5-5 Chương 5: Chuyển động của bùn cát đáy. - Khi 1,5mm>d>0,25mm: ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −∆= d hdU 5,55,7lg32 25,00 (5- 16) - Khi d<0,25mm: 5,7 90 25,0 125,005,0 0 + = h hdU (5- 17) ∆ - độ nhám, thường lấy bằng d90%; h, d – có thứ nguyên là cm; U0 – có thứ nguyên là cm/s. Công thức trên cho kết quả chính xác nhưng không thống nhất gây bất tiện. Do đó Gôntrarôp đã đề nghị công thức: 2,0 90 50 2,0 %50 6,0 %50 4,0 0 )0014,0(96,0 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛+= d d d hdgdU (5- 18) d50 - đường kính hạt với suất đảm bảo 50% (m); d90 - đường kính hạt với suất đảm bảo 90% (m); h - độ sâu của dòng chảy tại vị trí của hạt bùn cát (m); U0 - có thứ nguyên là m. 5.3. Vận tốc xói: Khi vận tốc dòng chảy lớn hơn U0 hạt bùn cát sẽ chuyển động, vận tốc dòng chảy làm cho các hạt chuyển động một cách ồ ạt được gọi là vận tốc xói. Theo thực nghiệm vận tốc xói được lấy như sau: 03,1 UU x = (5- 19) 5.4. Các công thức tính lưu lượng bùn cát: 5.4.1. Công thức lưu lượng bùn cát như một hàm của lực kéo: 5.4.1.1. Công thức của Sills: dg qIq s C s s ρ ττ ρρ ρ 0010 −−= (5- 20) 5.4.1.2. Công thức của Egizarrop: C C s s Iqq 0 00015,0 τ ττ ρρ ρ − −= (5- 21) Trong đó: I - độ dốc mặt nước; q - lưu lượng đơn vị trên một thuỷ trực; C0 τ - ứng suất lúc bùn cát bắt đầu chuyển động; 5-6 Chương 5: Chuyển động của bùn cát đáy. dgu sCC )( 1 0 2 *0 ρρϕρτ −== ; 0ϕ - xác định từ đồ thị thực nghiệm của Kronốp phụ thuộc vào υ du*Re = . 5.4.2. Công thức tính lưu lượng bùn cát như là hàm của vận tốc dòng chảy: dm u q s s )1( ε−= (5- 22) ε - hệ số rỗng của lớp bùn cát đáy; m - hệ số mật độ của chuyển động; su - vận tốc chuyển động của bùn cát. Khi bùn cát chuyển động dưới đáy thì vận tốc di chuyển của bùn cát su tỉ lệ với hay: ( )0UU − ( 0~ UUus − ) (5- 23) Mặt khác theo thực nghiệm cho thấy: 3 0 ~ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ U Um (5- 24) Nếu kể đến độ nhám thì: 1 3 0 ~ n h d U Um ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ (5- 25) Vậy: )()1( 0 3 0 2 1 UUd h d U Unq n s −−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= ε (5- 26) n1, n2 - hệ số thực nghiệm; Dưới đây là một số công thức có dạng trên hoặc gần với dạng trên. 5.4.2.1. Công thức của Levi: ( ) 25,00 3 00076,0 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= h dUUd gd Uqs (5- 27) Công thức này được dùng khi: d>0,5 ÷ 1mm và 4102 −⋅f h d 5.4.2.2. Công thức của Grisanhin: ( 0 3 0 015,0 UUd U Uqs −⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= ) (5- 28) Áp dụng khi 410.5 −p h d 5-7 Chương 5: Chuyển động của bùn cát đáy. 5.4.3. Công thức tính lưu lượng bùn cát theo quan điểm xác suất: 5.4.3.1. Công thức 1 của Axtanh Hình 5-3. Sơ đồ dịch chuyển bùn cát qua mặt cắt. Xét một dải dài vô hạn được phân thành các ô rộng 1m, dài x∆ . Gọi P1 là xác suất để hạt bùn cát trong ô đi được sau thời gian ∆t ta có: x∆ ),(11 xtPP ∆∆= Gọi Nd là số hạt nằm trên một đơn vị diện tích, ta có : Số hạt ở ô thứ nhất chuyển qua mặt 0-0 sau ∆t là: xNPN d∆= 11 Ô thứ hai: xNPN d∆= 22 ....... .......... Ô thứ n: xNPN dnn ∆= Vậy lượng hạt ở n ô chuyển qua mặt 0-0 sau ∆t là: 1 1 1 1 1 1 111 1 11 1 )...1( P PxN P PxPN PPxPNNN d n d n d n i i −∆=− −∆= ++∆== − = ∑ (5- 29) Số hạt Nd được xác định theo công thức: 2 3 1 dC Nd = (5- 30) 1 1 2 3 1 P P dC xN − ∆=⇒ (5- 31) Lưu lượng bùn cát trên một thuỷ trực sẽ là: t dNCqs ∆= 3 1 C1 - hệ số hình dạng để tính thể tích. Thay N vào công thức trên ta có: 1 1 3 1 1 P Pd t x C Cqs −∆ ∆= (5- 32) Dễ dàng thấy - bước nhảy của bùn cát và thời gian di chuyển thỏa mãn điều kiện sau: x∆ t∆ 5-8 Chương 5: Chuyển động của bùn cát đáy. 0 ~ ~ ω dt dx ∆ ∆ (5- 33) Suy ra: 1 1 04 1 P PdCqs −= ω ; 3 1 4 C CC = (5- 34) Hoặc: 1 1 4 0 1 P PC d qs −=ω Đặt: 0ωd qs=Φ (5- 35) - lưu lượng bùn cát không có thứ nguyên. Φ Mặt khác P1 là xác suất di chuyển của hạt bùn cát nên nó phải là hàm của hệ số ổn định của bùn cát ϕ . ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ −== hI dffP s 1)(1 ρ ρϕ ϕ - hệ số ổn định. Vậy: )(1 )( 4 ϕ ϕ f fC −=Φ (5- 36) Qua thực nghiệm xác định được: 17,24 =C ; ϕϕ 39,0)( −= ef Do đó: 1 17,2 39,0 −=Φ ϕe (5- 37) Trên đây là công thức Anhstanh I tính lưu lượng bùn cát theo quan niệm xác suất. Công thức của Anhstanh I chỉ đạt độ chính xác với điều kiện: 2,01 ≤ϕ và 0,3≤d≤5mm. 5-9 Chương 5: Chuyển động của bùn cát đáy. Hình 5-4. Đồ thị so sánh công thức Anhxtanh với thực nghiệm. Ngoài vùng 0,2 công thức Anhstanh I cho sai số lớn, đó là vì công thức này không tính đến các hạt nằm ở trạng thái bán lơ lửng. Để xác định lưu lượng bùn cát trong vùng 2,01 >ϕ Brown đề nghị công thức sau: 3 40 ϕ=Φ (5- 38) Trong đó xác suất P1 có dạng: 1 1 31 += ϕP (5- 39) 5.4.3.2. Công thức 2 của Anhxtanh Để khắc phục nhược điểm của công thức Anhstanh I, Anhstanh thiết lập công thức II dựa trên sự trao đổi bùn cát giữa dòng chảy và đáy. Nếu coi lưu lượng bùn cát không thay đổi theo chiều dài dòng chảy, N1 là số hạt lắng xuống đáy và N2 là số hạt được nâng lên khỏi đáy thì ta có: N1 = N2 trong một đơn vị thời gian trên một đơn vị diện tích. Tìm N1: số hạt N1 có thể được gắn liền với lưu lượng qs và chiều dài di chuyển trung bình của bùn cát x∆ : 3 1 1 dCx qN s∆= (5- 40) Xét P2 là xác suất nâng hạt lên khỏi đáy ta có: [ ]GtFPP zd >= )(22 )(tFzd - lực nâng hạt có đường kính d trong thời gian t; ( ρρ −= sgdCG 31 ) - trọng lượng hạt bùn cát. Lúc đó 1-P2 sẽ là xác suất lắng đọng và: 5-10 Chương 5: Chuyển động của bùn cát đáy. x dP ∆− ~1 2 21 ~ P dx −∆⇒ (5- 41) Thay x∆ vào công thức tính N1 ta có: 4 2 1 )1( ~ d qP N s −⇒ (5- 42) Số hạt được nâng lên khỏi đáy được xác định theo công thức: 22 Pt N N d∆= Trong đó: Nd - số hạt nằm trên một đơn vị diện tích: 2 3 1 dC Nd = ; t∆ - thời gian hạt văng ra khỏi đáy (dịch chuyển được quảng đường d theo phương thẳng đứng): 0 ~ ω dt∆ . Suy ra: 3 02 2 3 2 2 ~ d P tdC PN ω∆=⇒ (5- 43) Từ các phần trên có: 3 02 2 ~ d P N ω ; 421 )1(~ d qP N s − ( ) *243 02 1 APd q d P s −=⇒ ω ( ) *2 02 1 AP dP qs −=⇒ ω (5- 44) A* - hệ số tỉ lệ được xác định bằng thực nghiệm. Tính P2 theo xác suất thống kê, ta có lực nâng: )1(' η+=+= zdzdzdzd FFFF với zd zd F F '=η (5- 45) zdF ' - mạch động; zdF - giá trị trung bình. Xét tỉ số: ηϕη +=+= 1 1 )1( * B F G F G zdzd để hạt bùn cát chìm xuống đáy ta phải có tỉ số này nhỏ hơn 1, hay: ( )[ ]10 1 11 *2*22 −≥>∞=⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ >+≥= ϕηηϕ BPBPP Coi lực nâng tuân theo quy luật phân bố chuẩn: ∫∞ − ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛−= 1 2 0 2 0 2 * 2 exp 2 1 ϕ ηη η ηπ B dP (5- 46) 5-11 Chương 5: Chuyển động của bùn cát đáy. Trong đó: 20 ηη = nếu đặt: 0η ηα = Thì: ∫∞ − ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛−= 11 2 2 * 0 2 exp 2 1 ϕη ααπ B dP ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −−=⇔ 0 * 2 2 11 2 1 η ϕBerfP (5- 47) Với: ∫ −= z dzzzerf 0 2 ).exp(2)( π - hàm sai số error function; zez =)exp( - hàm mũ. Từ đó có: ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −+ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −− == 0 * 0 * *0 2 1 1 2 11 1 η ϕ η ϕ ωϕ Berf Berf Ad qs (5- 48) Bằng thực nghiệm Anhstanh xác định được: B*=0,07; A*=43,5; η0=1/2 (5- 49) Công thức của Anhstanh đại diện cho trường phái xác suất, trong đó có hệ số thực nghiệm A* liên quan đến độ dốc. Việc áp dụng các công thức Anhstanh đòi hỏi phải biết độ dốc I trong khi xác định ϕ do đó khi không có I sẽ không sử dụng được do đó không được sử dụng rộng rãi, trong thực tế người ta thường sử dụng công thức tính lưu lượng theo vận tốc. 5-12 Chương 5: Chuyển động của bùn cát đáy. Chương 5 ...................................................................................................... 5-1 5.1. Cân bằng và chuyển động của bùn cát đáy: ......................................................5-1 5.2. Vận tốc không xói: ............................................................................................5-5 5.3. Vận tốc xói: .......................................................................................................5-6 5.4. Các công thức tính lưu lượng bùn cát: ..............................................................5-6 5-13