Bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi

Chương 5. Bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi 5-1 Chương 5 BÀI TOÁN PHẲNG CỦA LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI. 5.1 Các phương trình cơ bản của bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi. 5.1.1 Bài toán ứng suất phẳng. Như đã biết trong lý thuyết đàn hồi, một vật thể dạng tấm mỏng khi chịu tải trọng thay mặt phẳng của nó thì mọi điểm của tấm đều ở trạng thái ứng suất phẳng. Khi đó trạng thái ứng suất - biến dạng - chuyển vị của mọi điểm được biểu diễn bởi các vectơ sau đây: t y x z Hình 5-1. Phần tử chịu ứng suất phẳng. Vectơ ứng suất : { } [ ]Txyyx δδδδ ,,= Vectơ biến dạng : { } [ ]Txyyx εεεε ,,= Vectơ chuyển vị :{ } [ ]Tvuu ,= Các thành phần trong các vectơ này chỉ là hàm của 2 biến độc lập x,y. Phương trình định luật Hooke ở dạng ngược là : { } [ ] { }εδ .D= Trong đó ma trận các hằng số đàn hồi [ ]D có dạng như sau : [ ] ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 33 2221 1211 1 00 0 0 d dd dd CD ( 5-1) Ở đây trường hợp vật liệu là đẳng hướng thì : 2 1;;1 233221122211 CdCdddd −===== với 21 1 ν−= EC và ν=2C E - modun đàn hồi; ν - hệ số poison. 5.1.2 Bài toán biến dạng phẳng. Chương 5. Bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi 5-2 Nếu vật thể có hình lăng trụ dài vô hạn và chịu tải trọng phân bố không thay đổi theo chiều dài lăng trụ (ví dụ đập trọng lực). y x z Hình 5-2. Phần tử chịu biến dạng phẳng. Khi đó nếu chọn trục z là trục lăng trụ, thì mọi điểm của lăng trụ ở trạng thái biến dạng phẳng và vectơ biến dạng là : { } [ ]Txyyx εεεε ,,= vectơ chuyển vị : { } [ ]Tvuu ,= So với bài toán ứng suất phẳng, nếu bỏ qua sự khác biệt cụ thể đối với thành phần ứng suất và biến dạng theo phương z, thì các phương trình của 2 bài toán này rất giống nhau. Sự khác biệt chỉ có ở nội dung các thành phần ma trận các hằng số đàn hồi [ ]D trong công thức định luật Hoooke. Cụ thể, với vật liệu là đẳng hướng các giá trị 1C và 2C trong ma trận [ ]D được xác định theo các công thức sau : ν ν νν ν −=−+ −= 1 ; )21)(1( )1( 21 C EC ( 5-2) Do đó ta có thể thấy rằng trong cả 2 bài toán ứng suất phẳng và biến dạng phẳng trường chuyển vị được xác định duy nhất bởi 2 thành phần chuyển vị u và v theo 2 phương x và y của hệ toạ độ vuông góc. Các đại lượng này và cả ứng suất, biến dạng thành phần đều chỉ là hàm của hai toạ độ điểm x, y nên bài toán là bài toán 2 chiều. Ta có thể gọi chung là bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi. Khi giải bài toán bằng phương pháp phần tử hữu hạn theo mô hình chuyển vị, vật thể được rời rạc hoá bằng một tập hợp hữu hạn các phần tử phẳng liên kết với nhau tại một số xác định các điểm nút. Mỗi nút có 2 bậc tự do là 2 thành phần chuyển vị của nút đó theo 2 phương x và y. Số lượng và hình dạng các phần tử ảnh hưởng trực tiếp đến kết quả tính toán. Dạng của phần tử thường dùng là tam giác, tứ giác... 5.2 Bài toán phẳng với phần tử tam giác. 5.2.1 Các hàm dạng. Chương 5. Bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi 5-3 j q5 q1 i q2 k q6 q4 q3 y x Hình 5-3. Phần tử tam giác. Xét phần tử tam giác như hình bên. Đây là phần tử có 3 điểm nút i, j, k là các đỉnh của tam giác, mỗi nút có 2 bậc tự do là 2 thành phần chuyển vị cua nút đó theo 2 phương x, y. Tập hợp các bậc tự do của cả 3 nút này là vectơ chuyển vị nút của phần tử { }eq . { } [ ]Te qqqqqqq 654321= Chuyển vị tại một điểm (x,y) được biểu diễn theo các hàm chuyển vị sau : ( ) ( ) yxyxv yxyxu 654 321 , , ααα ααα ++= ++= ( )yxu , - chuyển vị theo phương x; ( )yxv , - chuyển vị theo phương y. Vectơ chuyển vị tại một điểm biểu diễn dưới dạng ma trận như sau : ( ){ } ⎪⎪ ⎪⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ⋅⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡= 6 5 4 3 2 1 1000 0001 , α α α α α α yx yx yxu ( 5-3) gọn hơn: ( ){ } ( )[ ]{ }αyxPyxu ,, = Trong đó : ( )[ ] [ ] [ ][ ] [ ]⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡= ),(0 0),( , yxp yxp yxP ( 5-4) ( )[ ] [ ]yxyxp 1, = Nếu cho toạ độ lần lượt là toạ độ của các nút i, j, k của phần tử đang xét ta có mối quan hệ : Chương 5. Bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi 5-4 { } ⎪⎪ ⎪⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ = ⎪⎪ ⎪⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = 6 5 4 3 2 1 6 5 4 3 2 1 1000 0001 1000 0001 1000 0001 α α α α α α kk kk jj jj ii ii e yx yx yx yx yx yx q q q q q q q hay { } [ ]{ }αAq e = Trong đó ma trận [ ]A hoàn toàn xác định, các hệ số được xác định như sau : { } [ ] { }eqA 1−=α Ma trận nghịch đảo có dạng: [ ] ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ −−− −−− −−− −−− −−− −−− =− ijkjjk jiikkj ijjikiikjkkj ijkijk jiikkj ijjikiikjkkj xxxxxx yyyyyy yxyxyxyxyxyx xxxxxx yyyyyy yxyxyxyxyxyx A A 000 000 000 000 000 000 2 11 Trong đó: ( )ijjikiikjkkj kk jj ii yxyxyxyxyxyx yx yx yx A −+−+−= ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 2 1 1 1 1 det 2 1 ( 5-5) A - diện tích tam giác có 3 đỉnh i, j, k của phần tử. Ta có thể viết gọn như sau : [ ] ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ =− jiikkj ijkiik kji jiikkj ijkiik kji yyx yyy aaa xxx yyy aaa A A 000 000 000 000 000 000 2 11 Trong đó : ijjik kiikjjiij jkkjijiij yxyxa yxyxayyy yxyxaxxx −= −=−= −=−= Suy ra : ( ){ } ( )[ ][ ] { }ee qAyxPyxu 1,, −= hay : ( ){ } ( )[ ]{ }ee qyxNyxu ,, = ( )[ ]yxN , - ma trận các hàm dạng được xác định theo công thức sau : Chương 5. Bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi 5-5 ( )[ ] ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡= ),(0),(0),(0 0),(0),(0),( , yxNyxNyxN yxNyxNyxN yxN kji kji Trong đó : ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]jjijijk iikikij kkjkjki yyxxxy A yxN yyxxxy A yxN yyxxxy A yxN −+−= −+−= −+−= 2 1, 2 1, 2 1, ( 5-6) Dạng rút gọn : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )yxxya A yxN yxxya A yxN yxxya A yxN jiijkk ikkijj kjjkii ++= ++= ++= 2 1, 2 1, 2 1, Cũng như chuyển vị, các thành phần biến dạng của phần tử được biểu diễn theo vectơ chuyển vị nút { }eq như sau : { } [ ]{ }ee qB=ε Với ma trận biến dạng [B] được xác định như sau: [ ] [ ] ( )[ ]yxNB ,∂= Trong bài toán phẳng ma trận [ ]∂ được cụ thể hoá: [ ] ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ =∂ xy y x 0 0 Thực hiện phép đạo hàm dễ dàng nhận được: [ ] ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−− −− − = ijijikikjkjk ijikjk ijikjk yxyxyx xxx yyy A B 000 000 2 1 ( 5-7) Theo công thức trên thì thành phần của ma trận [ ]B là các hằng số nên các thành phần biến dạng ứng suất có giá trị không đổi trong phạm vi mỗi phần tử. 5.2.2 Ma trận độ cứng phần tử. Ma trận độ cứng phần tử được xác định bởi công thức : [ ] [ ] [ ][ ]dvBDBK V T e ∫= Chương 5. Bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi 5-6 Do độ dày của tâm là không đổi nên tích phân trên dễ dàng thực hiện được vì ma trận [ ]B và [ ]D chỉ gồm các hằng số, vì vậy : [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ]BDBAtdatBDBK T A T e ..== ∫ ( 5-8) Khai triển các phép nhân ma trận ta được : [ ] ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ = 66 5655 464544 36353433 2625242322 161514131211 1 4 k kk kkk kkkk kkkkk kkkkkk A tCk e ( 5-9) Trong đó các thành phần ijk có giá trị trong bảng sau : ijjkjkij ijjkijjk ikjkikjk jkikikjk jkjk jkijjk ijjkijjk jkkjjkik ikjkjkik jkjkjkjk jkjk yyxxk xyyxCk yyxxk xyyxCk yxk yxxyCk xxyyk xyyxCk xxyyk xyyxCk xyk λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ += −−= −−= += += −−= += += −−= −−= += 26 225 24 223 22 22 216 15 214 13 212 22 11 22 66 256 22 55 46 245 22 44 236 35 234 22 33 ijij ijijijij ijij ijikijik ijikijik ikik ijikikij ijikijik ikikikik ikik yxk yxyxCk xyk yyxxk xyyxCk yxk yxyxCk xxyyk xyyxCk xyk λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ += −−= += −−= += += += −−= −−= += ( 5-10) ở đây 2 1 2C−=λ đại lượng 1C và 2C được xác định tuỳ theo ứng suất phẳng hoặc biến dạng phẳng. 5.2.3 Vectơ tải trọng nút Vectơ tải trọng nút được xác định do các loại tải trọng sau gây ra : -Do lực thể tích :{ } ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧= y x g g g (gx,gy là không đổi) Ta có: Chương 5. Bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi 5-7 { } ( )[ ] { } ⎪⎪ ⎪⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = ⎪⎪ ⎪⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎧ == ∫∫ y x y x y x A yk xk yj xj yi xi V T e g g g g g g Attda gN gN gN gN gN gN dvgyxNp 3 , ( 5-11) Trong đó : A - diện tích tam giác i, j, k; t - bề dày phần tử. - Do lực bề mặt : { } ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧= y x p p p (giả sử px,py không đổi) Theo công thức : { } ( )[ ] { }dspyxNp S T e ∫= , hay : { } ⎪⎪ ⎪⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = ⎪⎪ ⎪⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = ∫ 0 0 2 . y x y x ij L yk xk yj xj yi xi e p p p p Lt tdl pN pN pN pN pN pN p ij ( 5-12) Trong đó ijL là chiều dài cạnh nối 2 đỉnh ij. Trong trường hợp có thêm 2 cạnh khác nhau chịu lực tác dụng bề mặt ta làm tương tự. Vectơ lực nút sẽ là tổng lực tác dụng trên mỗi cạnh. -Do nhiệt độ : { } [ ] [ ]{ } dvDBp e V T e 0ε∫= Trong đó : { } { } [ ] [ ]{ }tADBp T T e 0 0 0 1 1 ε αε = ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = Với vật liệu đẳng hướng ta có : Chương 5. Bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi 5-8 { } ( ) ⎪⎪ ⎪⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎧ − − − −= ij ij ik ik jk jk e x y x y x y TtEp ν α 12 . ( 5-13) α - hệ số giãn nở vì nhiệt; T - dộ biến thiên nhiệt độ. 5.2.4 Ma trận ứng suất. Do hàm chuyển vị là tuyến tính nên biến dạng là hằng số trong mỗi phần tử. Từ đó cũng thấy được ứng suất không đổi trong từng phần tử, ta có : { } [ ]{ } [ ][ ]{ } [ ]{ }eee xy y x e qSqBDD ===⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = ε σ σ σ σ ( 5-14) Trong đó: [ ] [ ][ ]BDS = [ ]S - ma trận ứng suất. Sau khi thực hiện phép nhân ma trận. [ ] ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−−− −− −−− = ijikijijjkjk ijikijikjkjk ijikijikjkjk e yyxxyx xxyCyCxyC xCxCyyxCy A CS λλλλλλ 222 222 1 2 ( 5-15) trong đó: 21,CC - là hằng số; 2 1 2C−=λ ; A - diện tích tam giác i, j, k. 5.3 Bài toán phẳng với phần tử hình chữ nhật. 5.3.1 Các hàm dạng Chương 5. Bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi 5-9 q3 q4 q3 q4 q3 q4 q3 q4 b a i j kl i (0,0) l (0,b) y j (a,0) x k (a,b) Hình 5-4. Phần tử hình chữ nhật. Xét phần tử chữ nhật trong mặt phẳng x, y như hình trên, phần tử có 4 điểm i, j, k và e là các đỉnh của hình chữ nhật. Mỗi nút có 2 bậc tự do là 2 thành phần chuyển vị theo x và y, tập hợp các bậc tự do này là vectơ chuyển vị nút của phần tử { }eq ta có : { } ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = 8 7 6 5 4 3 2 1 q q q q q q q q q e Hai chuyển vị thành phần của một điểm bất kỳ có toạ độ x,y được biểu diễn bằng hàm chuyển vị xấp xỉ sau: ( ){ } ( )( ) ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ +++ +++=⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧= xyyx xyyx yxv yxu yxu e e 8765 4321 , , , αααα αααα Hoặc ( ){ } { }α⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡= xyyx xyyx yxu e 10000 00001 , ( ){ } ( )[ ]{ }αyxPyxu ,, = Trong đó : ( )[ ] [ ] [ ][ ] [ ]⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡= ),(0 0),( , yxp yxp yxP Các ma trận: ( )[ ] [ ]xyyxyxp 1, = Thực hiện phép đồng nhất chuyển vị nút từ đó ta xác định được vectơ { }α . Chương 5. Bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi 5-10 { } ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 8 7 6 5 4 3 2 1 0010000 0000001 10000 00001 0010000 0000001 00010000 00000001 α α α α α α α α b b abba abba a a q e ( 5-16) Tức là : { } [ ]{ }αAq e = . Nghịch đảo của ma trận [ ]A ta có : [ ] ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− − − −− − − =− 10101010 000000 000000 0000000 01010101 000000 000000 0000000 11 aa bb ab aa bb ab ab A Véctơ { } [ ] { }eqA .1−=α Từ đây suy ra: { } [ ][ ] { }eqAyxPyxu ..),(),( 1−= Hay: { } [ ]{ }eqyxNyxu .),(),( = Trong đó [ ]),( yxN là ma trận hàm dạng. ( )[ ] ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡= lkji lkji NNNN NNNN yxN 0000 0000 , ( 5-17) Các hàm dạng thành phần có công thức như sau : ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −= b y a xNi 1.1 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −= b y a xN j 1. ( 5-18) ab xyNk = ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −= a x b yNl 1 Ma trận tính biến dạng xác định theo công thức : Chương 5. Bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi 5-11 [ ] [ ] ( )[ ]yxNB ,.∂= Cụ thể : [ ] ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ = lkji lkji NNNN NNNN xy y x B 0000 0000 .0 0 ( 5-19) Thực hiện phép đạo hàm đơn giản, ta có : [ ] ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−−−−−−− −−−− −−−− = yxayxybxybxa xaxxxa yyybyb ab B )()()()( )(000)(0 000)(0)( .1 5.3.2 Ma trận độ cứng Ma trận độ cứng được tính theo công thức : [ ] [ ] [ ][ ]∫= V T e dvBDBK Kết quả như sau : [ ] ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 88 7877 686766 58575655 4847464544 383736353433 28272625242322 1817161514131211 1 . k kk kkk kkkk kkkkk kkkkkk kkkkkkk kkkkkkkk ab tCK e ( 5-20) Trong đó các ijk được xác định như sau : 3 22 11 abk λ+= 1133 kk = 2266 kk = ( ) 4 2 12 Cabk += λ 1634 kk = 1867 kk = 6 2. 22 13 bak −= λ 1735 kk = 2468 kk = abCk 4 2 14 −−= λ 1436 kk = 1177 kk = 6 . 22 15 abk λ+−= 1537 kk = 1678 kk = Chương 5. Bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi 5-12 4 2 16 Cabk +−= λ 1238 kk = 2288 kk = 6 ..2 22 17 abk λ−= 2244 kk = 4 2 18 Cabk −= λ 1845 kk = 3 . 22 22 bak λ+= 2846 kk = 1823 kk = 1247 kk = 6 ..2 22 24 bak λ−= 2648 kk = 1625 kk = 1155 kk = 6 . 22 26 bak λ+−= 1256 kk = 1427 kk = 1357 kk = 6 .2. 22 28 abk −= λ 1458 kk = 5.3.3 Vectơ tải trọng nút Vectơ tải trọng nút của phần tử được xác định tương tự như phần tử tam giác. - Do lực thể tích : { } ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧= y x g g g (gx, gy không đổi) { } ( )[ ] { } ∫∫∫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ == b y x y x y x y x ye xe yk xk yj xj yi xi a V T e g g g g g g g g abtdytdx gN gN gN gN gN gN gN gN dvgyxNp 00 . 4 ..., ( 5-21) Do lực bề mặt: tương tự phần tử tam giác, các lực được chia đều cho hai đỉnh mà trên đó có lực chịu tác dụng của lực phân bố. Chương 5. Bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi 5-13 i j kl p2 p1 Hình 5-5. Sơ đồ quy tải trọng về nút. { } { } { } ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎧ =+= 2 0 2 2 0 2 0 0 1 1 1 1 ap ap bp bp ppp kee jk ee 5.3.4 Ma trận ứng suất Ma trận ứng suất : { } [ ] { }ee xy y x e qS .=⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = σ σ σ σ ( 5-22) trong đó : [ ] [ ] [ ]ee BDS .= công thức cụ thể như sau : [ ] ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−−−−−−− −−−−−−−− −−−−−−−− = yxayxybxybxa bayCxyCxybCxaybC xaCyxCyxCxbxaCyb ab CS e λλλλλλλλ )()()()( )()()()( )()()()( . 2222 2222 1 Như vậy với phần tử hình chữ nhật, ứng suất biến thiên theo x và theo y.