Bài giảng Toán Kỹ Thuật - Chương 3 Phép biến đổi Laplace

Phần 2 Toán tử Laplace
Phép biến ñổi Lapalace
Phép biến ñổi Lapalace ngược
Ứng dụng biến ñổi Lapace vào PT vi phân
Ứng dụng biến ñổi Lapace vào Giải tích Mạch ñiện Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 1 Chương 3 Phép biến ñổi Laplace ðịnh nghĩa  F(s) : ảnh Laplace  f(t) : gốc  Ký hiệu khác hay
Lưu ý trong phạm vi giáo trình ta chỉ xét các giá trị s trong khoảng tích phân là hội tụ Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 2 { } 0 ( ) ( ) ( ) stF s f t f t e dt − +∞ − = = ∫L
f(t) là hàm (có thể phức) của biến số thực t (t ≥ 0) sao cho tích phân hội tụ ít nhất với một số phức s = a + jb
Ảnh của hàm f(t) qua biến ñổi Laplace là hàm F(s) ñược ñịnh nghĩa ( ) ( )F s f t ( ) ( )f t F s Tính chất hàm gốc f(t) Tập hợp các hàm f(t) của biến số thực t sao cho tích phân hội tụ ít nhất với một số phức s gọi là lớp hàm gốc. Trong ñó tập hợp các giá trị của s sao cho tích phân tồn tại thì ñược gọi là miền hội tụ (hay miền qui tụ). Ta có thể chứng minh ñược lớp các hàm gốc phải thỏa mãn các tính chất sau.
f(t) = 0, với mọi t < 0.
Khi t ≥ 0, hàm f(t) liên tục cùng với các ñạo hàm cấp ñủ lớn trên toàn trục t, trừ một số hữu hạn ñiểm gián ñoạn loại một.
Khi t→∞ hàm f(t) có cấp tăng bị chặn, tức là tồn tại hằng số s>0 và M>0 sao cho Khi ñó so = inf ; {s} ñược gọi là chỉ số tăng của hàm f. (Tức là hàm f(t) không ñược tăng nhanh hơn hàm est ñể ñảm bảo tích phân Laplace hội tụ). Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 3 ( ) ; 0stf t Me t≤ ∀ >
Lưu ý trong phạm vi giáo trình ta chỉ xét các giá trị s trong khoảng tích phân là hội tụ Biến ñổi Laplace của một số hàm thông dụng Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 4
Hàm bước (nấc) ñơn vị : u(t) 0 0( ) 1 0 t u t t < =  > t ( )u t 1 00 0 1( ) ( ) st st st eF s u t e dt e dt s s − +∞+∞ +∞ − − − = = = = − ∫ ∫ { } 1( )u t s =L Miền hội tụ S > 0 Biến ñổi Laplace của một số hàm thông dụng Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 5
Hàm dirac : δ(t) 0( ) 0 0 t t t δ ∞ ==  ≠ t ( )tδ 0 00 ( ) ( ) ( ) 1stF s t e dt t e dtδ δ − +∞ +∞ − = = =∫ ∫ { }( ) 1tδ =L Biến ñổi Laplace của một số hàm thông dụng Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 6
Hàm mũ : e-at (a > 0) ( ) ( ) 00 0 1( ) ( ) s a t at st s a t eF s e e dt e dt s a s a − +∞+∞ +∞ − + − − − + = = = = − + +∫ ∫ { } 1ate s a − = + L Miền hội tụ S > -a Biến ñổi Laplace của một số hàm thông dụng Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 7
Hàm lượng giác : f1(t) = cos(at) { } 2 2cos( ) sat s a = + L Miền hội tụ S > 0
Hàm lượng giác : f2(t) = sin(at) { } 2 2sin( ) aat s a = + L Miền hội tụ S > 0 Biến ñổi Laplace của một số hàm thông dụng Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 8
Hàm lũy thừa : tn (n = 0,1, 2, 3, ) 1 1 0 0 00 ( ) n st st n st n n stt e e nF s t e dt nt dt t e dt s s s +∞+∞ +∞ +∞ − − − − − − = = − = − − ∫ ∫ ∫ { } 1!n nnt s + =L Miền hội tụ S > 0 { } { } { } { } { } 1 2 3 0 ( 1) ( 1) ( 2) ! ... n n n n n n n n t t t s s s n n n n t t s s s s − − − − ⇒ = = − − = = = L L L L L Biến ñổi Laplace của một số hàm thông dụng Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 9 f(t) F(s) Miền hội tụ ( )u t 1 s 0s > ( )tδ 1 at e − 1 s a+ s a> − cos( )at 2 2 s s a+ 0s > sin( )at 2 2 a s a+ 0s > nt 1 ! n n s + 0s > Các tính chất của phép biến ñổi Laplace Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 10
Tính tuyến tính ◦ Nếu ◦ Thì { } { }1 1 2 2( ) ( ) ; ( ) ( )f t F s f t F s= =L L { }1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )a f t a f t a F s a F s+ = +L 1 2( , :a a caùchaèngsoá) { } ( )1 1 2 2 1 1 2 2 0 1 1 2 2 1 1 2 2 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) st st st a f t a f t a f t a f t e dt a f t e dt a f t e dt a F s a F s +∞ − +∞ +∞ − − + = + = + = + ∫ ∫ ∫ L Ví dụ Tìm biến ñổi Laplace cho các hàm sau Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 11 4( ) 2 3cos5f t t t= − 2( ) 4 ( ) 6 tg t t eδ −= − 3( ) 3cos(6 )h t t pi= + { } 5 24!( ) 2 3 25 sf t s s = − + L { } 1( ) 4 6 2 g t s = − + L { } 23 3cos 6sin( ) 3 36 s h t s pi pi − = + L Các tính chất của phép biến ñổi Laplace Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 12
Tính dời theo s ◦ Nếu ◦ Thì { }( ) ( )f t F s=L { }( ) ( )ate f t F s a− = +L ( :a soá thöïc) { } 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) at at st s a t e f t e f t e dt f t e dt F s a +∞ +∞ − − − − + = = = + ∫ ∫ L Ví dụ Tìm biến ñổi Laplace cho các hàm sau Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 13 6 4 2( ) 2 3 cos5t tf t e t e t− −= − 10 3( ) 3 cos(6 )tg t e t pi−= + { } 5 24!( ) 2 3( 6) ( 2) 25 sf t s s = − + + + L { } 23 3( 10)cos 6sin( ) 3 ( 10) 36 s g t s pi pi+ − = + + L Các tính chất của phép biến ñổi Laplace Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 14
Tính dời theo t ◦ Nếu ◦ Thì { }( ) ( )f t F s=L { }0 0 0( ) ( ) ( )stf t t u t t e F s−− − =L 0( 0t > ) { } 0 0 0 0 0 ) 0 0 0 0( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) st st sts x t sx t f t t u t t f t t e dt f x e dx e f x e dx e F s +∞ +∞ +∞ − − − − + − − − = − = = = ∫ ∫ ∫ L 0 0 0 ( ) 1 o t t u t t t t < − =  > Ví dụ Tìm biến ñổi Laplace cho các hàm sau Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 15 4 6 6( ) 3( 2) ( 2) 3cos( ) ( )f t t u t t u tpi pi= − − − − − 10 3 18( ) 3 cos(6 )) (tg t e t u tpi pi−= − − { } 65 22 4!( ) 2 3 1 s s sf t e e s s pi− − = − + L { } 18 2( 10)( ) 3 ( 10) 36 s sg t e s pi− + = + + L