Bài giảng Toán Kỹ Thuật - Chương 2 Tích phân Fourier & biến đổi Fourier (1)

Chương 2 Tích phân Fourier & biến ñổi Fourier Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012
2.1 Tích phân Fourier
2.2 Phép biến ñổi Fourier
2.3 Ứng dụng của tích phân Fourier và biến ñổi Fourier
2.4 Các hàm bất thường và biến ñổi Fourier của chúng 1
Hàm tuần hoàn 2 2.1 Tích phân Fourier
Hàm chỉ xác ñịnh trên khoảng kín
Chuỗi Fourier
Hàm không tuần hoàn
Chuỗi Fourier
Tích phân Fourier Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 3
Khác biệt giữa hàm tuần hoàn và không tuần hoàn ? Chu kỳ T hữu hạn và vô hạn 2.1.1 Tích phân Fourier →∞T T/2-T/2 T-T f(t) T/2-T/2 f(t) →∞T f(t)
Cần tìm khai triển Fourier cho f(t) trong khoảng (-∞,+∞) 4 2.1.1 Tích phân Fourier
Ta sẽ bắt ñầu từ fΤ(t) →∞T f(t) T/2-T/2 f T (t) t
Dễ thấy rằng →∞ =( ) lim ( ) TT f t f t Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012
Hàm tuần hoàn fT(t) có ñịnh nghĩa trong 1 chu kỳ là 5 2.1.1 Tích phân Fourier  − < < −  = − < <  < < 2 2 0 1 ( ) 1 1 1 0 1 T T T t f t t t
fT(t) có khai triển Fourier là : ω ω ω ω +∞ +∞ = = = + = +∑ ∑0 00 0 1 1 0 sin( )2 4 ( ) cos( ) cos( ) 2T nn n a n f t a n t n t T T n T/2-T/2 f T (t) 1-1 1 t Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 ω( )A ω pi 2 pi pi2ω 0 ω 0 2 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 6 0 0 sin( ) sin4 2 n n n n a T n ω ω ω ω pi ω = = ∆ 2.1.1 Tích phân Fourier ω ω ω ω = ∆ = 0 0 n n
ðặt
ðịnh nghĩa hàm biên ñộ ω piω ω ω pi ω  = =   >  2 0 ( ) 2 sin 0 A ω ω ω ω = sin( ) sinc( )=Sa( ) ω( )A ω pi 2 pi pi2ω 0 ω 0 2 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 7 2.1.1 Tích phân Fourier
Chu kỳ T kéo dài → các vạch (ñặc trưng cho biên ñộ ) chạy dồn về trục tung trên ñường biên ñộ A(ω) Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 8 sin2 n n n a ω ω pi ω = ∆ 2.1.1 Tích phân Fourier
Viết lại fT(t) ω ω ω +∞ = = +∑ 0 0 1 0 sin( )2 4 ( ) cos( ) T n n f t n t T T n ωω ω ω pi pi ω ω ω ω pi +∞ = +∞ = ∆ = + ∆   = + ∆    ∑ ∑ 1 1 sin( )2 ( ) {cos( )} 1 ( ) ( ){cos( )} n T n n n T n n f t t f t A t Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 9 2.1.1 Tích phân Fourier
Nếu xét t cố ñịnh và biến ω thay ñổi ta có: ω→∞ →; 0T ω ω ω +∞ →∞ = = ∫ 0 ( ) lim ( ) ( )cos( ) TT f t f t A t d ωω ω ω pi pi ω ω ω ω pi +∞ = +∞ = ∆ = + ∆   = + ∆    ∑ ∑ 1 1 sin( )2 ( ) {cos( )} 1 ( ) ( ){cos( )} n T n n n T n n f t t f t A t Tích phân Fourier Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 10 2.1.1 Tích phân Fourier
Lý luận tương tự khi dùng khai triển số mũ ta ñược tích phân Fourier mũ phức ω •+∞ =−∞ = ∑ 0( ) jn tT n n f t D e ω • − − = ∫ 2 0 2 1 ( ) T T jn t n D f t e dt T ω ω ω pi +∞ − =−∞ −   = ∆     ∑ ∫ 2 2 1 ( ) ( ) 2 T n n T j t j t T n f t f t e dt e ωω ω +∞ →∞ −∞ = = ∫( ) lim ( ) ( ) j t TT f t f t D e d Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 11
ðịnh lý : Nếu f(t) thỏa ñiều kiện Dirichlet trên mọi khoảng hữu hạn và nếu hội tụ thì: 2.1.1 Tích phân Fourier |f(t)|dt ∞ −∞ ∫ 1 1jωt j t + 2π 2f(t)e dt e dω f(t ) f(t ) ω +∞ +∞ − − −∞ −∞    = +      ∫ ∫ Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 12 Tích phân Fourier mũ phức ωω ω +∞ −∞ = ∫( ) ( ) j tf t D e d ωω pi +∞ − −∞ = ∫ 1 ( ) ( ) 2 j tD f t e dt Miền t: f(t) Miền ω: F(ω) F F−1 ( ) 2 ( )F Dω pi ω= Tương ñồng giữa chuỗi phức và tích phân phức Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 13 Chuỗi Fourier phức Tích phân Fourier phức ω +∞ =−∞ • − ∑ ∫ 2 2 0 1 T T n n D n dt T ω ω ω pi +∞ −∞ +∞ −∞ ∫ ∫ ( ) 1 2 d D dt Ví dụ tích phân Fourier mũ phức Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 14 Cho hàm f(t) ñịnh nghĩa bởi Tìm tích phân Fourier mũ phức biểu diễn cho f(t) ? 0 0( ) ( 0) 0at tf t a e t− < = > > ( ) 0 0 1 1 1( ) ( ) 2 2 2 ( ) j t at j t a j tD f t e dt e e dt e a j ω ω ωω pi pi pi ω +∞ +∞ +∞ − − − − + −∞ − = = = +∫ ∫ 1( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) j teD f t d a j a j ω ω ω pi ω pi ω +∞ −∞ = ⇒ = + +∫ Giải Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 15 2.1.2 Tích phân Fourier dạng chuẩn 1( ) ( ) co s ( )A f t t d tω ω pi +∞ −∞ = ∫
Nếu ñịnh nghĩa
Thì tích phân Fourier dạng chuẩn là 1( ) ( ) s in ( )B f t t d tω ω pi +∞ −∞ = ∫ [ ] 0 ( ) ( ) cos( ) ( )sin( )f t A t B t dω ω ω ω ω +∞ = +∫ Ví dụ tích phân Fourier dạng chuẩn Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 16 Tìm tích phân Fourier dạng chuẩn của f(t) ? 0 0( ) ( 0) 0at tf t a e t− < = > > 0 0 1 1( ) cos( ) ; ( ) sin( )at atA e t dt B e t dtω ω ω ω pi pi +∞ +∞ − − = =∫ ∫ 2 2 2 2( ) ; ( )( ) ( ) aA B a a ω ω ω pi ω pi ω = = + + 2 2 0 1 1( ) ( ) ( ) ( ) at j t a jA jB e e dt a j a ω ωω ω pi pi ω pi ω +∞ − + + = = = − +∫ 2 2 0 cos sin( ) ( ) a t tf t d a ω ω ω ω pi ω +∞ + ⇒ = +∫ Giải Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 17 2.1.3 Tích phân Fourier cos và sin 0 2( ) ( ) co s ( )A f t t d tω ω pi +∞ = ∫
Nếu f(t) chẵn
Thì tích phân Fourier cos là 0 ( ) ( ) cos( )f t A t dω ω ω +∞ = ∫ Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 18 2.1.3 Tích phân Fourier cos và sin 0 2( ) ( ) s in ( )B f t t d tω ω pi +∞ = ∫
Nếu f(t) lẻ
Thì tích phân Fourier sin là 0 ( ) ( )sin( )f t B t dω ω ω +∞ = ∫ Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 19 2.1.3 Tích phân Fourier cos và sin
ðịnh lý Nếu hàm f(t) = 0 khi t < 0 thì tích phân Fourier cos và tích phân Fourier sin lần lượt bằng hai lần số hạng thứ nhất và thứ hai trong tích phân Fourier dạng chuẩn.
Gợi ý :Thêm hàm ϕ(t) ñể f(t) thành chẵn hoặc lẻ Ví dụ tích phân Fourier cos và Fourier sin Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 20 Tìm tích phân Fourier cos , fourier sin của f(t) ? 0 0( ) ( 0) 0at tf t a e t− < = > > 2 2 0 1 cos sin( ) ( ) a t tf t d a ω ω ω ω pi ω +∞ + = +∫ Giải 2 2 0 2 cos( ) ( ) a tf t d a ω ω pi ω +∞ = +∫ 2 2 0 2 sin( ) ( ) tf t d a ω ω ω pi ω +∞ = +∫