Bài giảng Toán Kỹ Thuật - Chương 1 Chuỗi Fourier (1)
Định lý 1.5:
Tích phân của một hàm f thỏa điều kiện Dirichlet có thể tìm
bằng cách lấy tích phân của từng số hạng chuỗi Fourier của nó.
Định lý 1.6:
Cho một hàm f tuần hoàn thỏa điều kiện Dirichlet và liên tục
khắp nơi; nếu f’ cũng thỏa điều kiện Dirichlet; và nếu f’(t) tồn
tại thì nó có thể tìm bằng cách lấy đạo hàm từng số hạng
chuỗi Fourier của hàm f.
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Bài giảng Toán Kỹ Thuật - Chương 1 Chuỗi Fourier (1), để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Phần 1: Giải tích Fourier
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012
Chương 0 : Ôn tập số phức
Chương 1 : Chuỗi Fourier
Chương 2 : Tích phân Fourier và biến đổi Fourier
1
Chương 1 Chuỗi Fourier
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012
1.1 Hàm tuần hoàn
1.2 Chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn
1.3 Các công thức khác để tính các hệ số Fourier
1.4 Khai triển bán kỳ
1.5 Các dạng khác của chuỗi Fourier
1.6 Ứng dụng của chuỗi Fourier
2
1.1 Hàm tuần hoàn
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012
Định nghĩa 1.1
hàm f(t) gọi là tuần hoàn
nếu và chỉ nếu tồn tại số dương T sao cho
f(t+T) = f(t)
với mọi t trong miền xác định của f(t)
T gọi là chu kỳ (chu kỳ cơ bàn )
Phân loại:
f(t) tuần hoàn sin
f(t) tuần hoàn không sin
3
Ví dụ
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 4
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 5
1.2 Chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn
0
0 0
1
( ) ( cos sin )
2 n nn
af t a n t b n tω ω
+∞
=
= + +∑
Vôùi : n = 1,2
ω0 = 2π/T = taàn soá cô baûn
a0, an , bn = caùc heä soá khai trieån chuỗi Fourier .
Chuỗi Fourier của haøm tuaàn hoaøn f(t) chu kyø T laø :
Giaù trò caùc tích phaân xaùc ñònh
2 2
0 0
2 2
2
0 0
2
2
0 0
2
2
0 0
2
cos( ) sin( ) 0 ,
cos( )sin( ) 0 ,
0
cos( )cos( )
2
0
sin( )sin( )
2
T T
T T
T
T
T
T
T
T
m t n t dt m n
m t n t dt m n
m n
m t n t dt T m n
m n
m t n t dt T m n
ω ω
ω ω
ω ω
ω ω
− −
−
−
−
= = ∀
= ∀
≠
=
=
≠
=
=
∫ ∫
∫
∫
∫
Caùc heä soá khai trieån Fourier
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 6
20
2
2 ( )
T
T
a f t dt
T
−
= ∫
2 2
0 0
2 2
cos( ) sin( ) 0 ,
T T
T T
m t n t dt m nω ω
− −
= = ∀∫ ∫
Caùc heä soá khai trieån Fourier
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 7
0
0 0
1
( ) ( cos sin )
2 n nn
af t a n t b n tω ω
+∞
=
= + +∑
20
2
2 ( ) cos( )
T
n
T
a f t n t dt
T
ω
−
= ∫
Caùc heä soá khai trieån Fourier
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 8
0
0 0
1
( ) ( cos sin )
2 n nn
af t a n t b n tω ω
+∞
=
= + +∑
2
0 0
2
2
0 0
2
cos( )sin( ) 0 ,
0
cos( )cos( )
2
T
T
T
T
m t n t dt m n
m n
m t n t dt T m n
ω ω
ω ω
−
−
= ∀
≠
=
=
∫
∫
20
2
2 ( )sin( )
T
n
T
b f t n t dt
T
ω
−
= ∫
Caùc heä soá khai trieån Fourier
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 9
0
0 0
1
( ) ( cos sin )
2 n nn
af t a n t b n tω ω
+∞
=
= + +∑
2
0 0
2
2
0 0
2
cos( )sin( ) 0 ,
0
sin( )sin( )
2
T
T
T
T
m t n t dt m n
m n
m t n t dt T m n
ω ω
ω ω
−
−
= ∀
≠
=
=
∫
∫
Điều kiện tồn tại
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 10
Định nghĩa 1.2:
Một hàm f thỏa điều kiện Dirichlet trên một khoảng I nếu và chỉ nếu
f bị chặn và cùng lắm là có một số hữu hạn điểm cực đại và cực tiểu
và một số hữu hạn điểm gián đoạn trên I.
a bt2t1
f(a+)
f(t1-)
f(t1+)
f(t2-)
f(t2+)
f(b-)
t
f(t)
● nếu f liên tục tại t.
● nếu f gián đoạn tại t.
Điều kiện tồn tại
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 11
Định lý 1.1: (Định lý Dirichlet)
Nếu hàm f tuần hoàn chu kỳ T và thỏa điều kiện Dirichlet
trên một khoảng I
Thì chuỗi Fourier của f hội tụ về :
( )f t
1 ( ) ( )
2 k k
f t f t+ − +
Ví dụ tìm chuỗi Fourier
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 12
a) Xác định chuổi Fourier ?
b) Kiểm lại dùng MATLAB ?
Giải
Chu kỳ và tần số cơ bản:
Các hệ số chuổi Fourier: a0 = 2,
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 13
pi = 3.14159; N = 100; T = 3; a0 = 1;
w0 = 2*pi/T;
t = linspace(0,2*T,600);
for n=1:N
a(n)= (3/(n*pi))*sin(4*n*pi/3);
b(n)= (3/(n*pi))*(1 - cos(4*n*pi/3));
end
for i=1:length(t)
f(i) = a0;
for n=1:length(a)
f(i) = f(i) + a(n)*cos(n*w0*t(i)) +
b(n)*sin(n*w0*t(i));
end
end
plot(t,f,'black');
xlabel('t(s)');
ylabel('f(t)');
Ví dụ tìm chuỗi Fourier
Ví dụ tìm chuỗi Fourier
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 14
Tìm chuỗi Fourier của các hàm sau
2
0 0
) ( ) ; 2
sin 0
) ( ) 4 2 2 ; 4
t
a f t T
t t
b f t t t T
π
π
π
− ≤ ≤
= = ≤ ≤
= − − ≤ ≤ =
2
1
1
2 2
1
1 sin 2 cos 2) ( )
2 4 1
8 16 ( 1)) ( ) cos
3 2
n
n
n
t nta f t
n
n tb f t
n
π π
π
π
+∞
=
++∞
=
= + −
−
−
= +
∑
∑
Kết quả
1.3 Các công thức khác để tính các hệ số Fourier
Nếu f(t) gián đoạn tại tk thì Jk ≠ 0
Nếu f(t) liên tục tại tk thì Jk = 0
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 15
Bước nhảy của một hàm:
Định nghĩa :
Bước nhảy của một hàm f tại tk là: Jk = f(tk
+) – f(tk-)
a bt2t1
f(a+)
f(t1-)
f(t1+)
f(t2-)
f(t2+)
f(b-)
t
f(t)
Hai công thức lặp để tính các hệ số Fourier
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 16
Định lý 1.2:
Nếu f là hàm tuần hoàn chu kỳ T, thỏa điều kiện Dirichlet
va ̀ có m bước nhảy J1, J2, , Jm tại m điểm gián đoạn
t1 < t2 < < tm trong một khoảng chu kỳ nửa hở [a, a + T) thì:
( n = 1, 2, )
( bn’ = hệ sô ́ chuỗi Fourier của hàm f’)
'
0
10
1 1 sin( )
m
n n k k
k
a b J n t
n n
ω
ω π =
−
= − ∑
Hai công thức lặp để tính các hệ số Fourier
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 17
Định lý 1.3:
Nếu f là hàm tuần hoàn chu kỳ T, thỏa điều kiện Dirichlet
va ̀ có m bước nhảy J1, J2, , Jm tại m điểm gián đoạn
t1 < t2 < < tm trong một khoảng chu kỳ nửa hở [a, a + T) thì:
( n = 1, 2, )
( an’ = hệ sô ́ chuỗi Fourier của hàm f’)
'
0
10
1 1 cos( )
m
n n k k
k
b a J n t
n n
ω
ω π =
= + ∑
Ví dụ tìm khai triển Fourier dùng công thức lặp
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 18
Xác định các hệ số chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn mà
định nghĩa trong 1 chu kỳ là
1 2 1
0 1 0
( )
1 0 1
0 1 2
t
t
f t
t
t
− − < <
− < <= < <
< <
-2 -1 0 1 2
1
-1
f(t)
t
Ví dụ tìm khai triển Fourier dùng công thức lặp
Bảng các điểm gián đoạn tk và bước nhảy Jk
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 19
-2 -1 0 1 2
1
-1
f(t)
t -2 -1 0 1 2
f'(t)
t
k 1 2 3 4
tk -2 -1 0 1
Jk -1 1 1 -1
f’(t) = 0 ⇒ an’ =bn’=0
Ví dụ tìm khai triển Fourier dùng công thức lặp
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 20
k 1 2 3 4
tk -2 -1 0 1
Jk -1 1 1 -1
'
0
10
'
0
10
'
'
1 1 sin( )
1 1 cos( )
2 1 ( 2) ( 1) (0) (1)( 1)sin (1)sin (1)sin ( 1)sin
2 2 2 2
2 1 ( 2) ( 1) (0)( 1)cos (1)cos (1)cos ( 1)cos
2 2 2
m
n n k k
k
m
n n k k
k
n n
n n
a b J n t
n n
b a J n t
n n
n n n na b
n n
n n nb a
n n
ω
ω π
ω
ω π
π π π π
π π
π π π
π π
=
=
−
= −
= +
− − − = − − + + + −
− −
= + − + + + −
∑
∑
(1)
2
nπ
Ví dụ tìm khai triển Fourier dùng công thức lặp
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 21
2 sin ( 2 1)
2
2 ( 2 1)
n
n
na n k
n
b n k
n
π
π
π
= = +
= = +
Đối với a0 ta tính trực tiếp
1 1
0
2 0
1 ( 1) (1) 0
2
a dt dt
−
−
= − + =
∫ ∫
Chuỗi Fourier của f(t) là :
1
2 1
2 1( ) sin cos sin
2 2 2n
n k
n n t n tf t
n
π π π
π
+∞
=
= +
= +
∑
Ví dụ tìm khai triển Fourier dùng công thức lặp
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 22
Xác định f’(t), tk và Jk:
Xác định các hệ số chuỗi Fourier
dùng công thức lặp ?
Giải
0
10
π 2π
f(t)
0
T
π 2π
f’(t)
0
T
t1
10
π 2π
t2
f(t) tk t2 = πt1 = 0
Jk 10 – 10
Ví dụ tìm khai triển Fourier dùng công thức lặp
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 23
Xác định các hệ số chuỗi Fourier
dùng công thức lặp ?
Giải
0
10
π 2π
f(t)
Xác định các hệ số chuỗi Fourier: 0
0
1 ( ) 5
2
Ta f t dt
T
= =∫
1
n nπa [10.sin(0) 10sin( )] 0nπ= − − =
1 20
(n:odd)n nπ nπb [10.cos(0) 10cos( )]nπ= − =
Tốc độ tiến về 0 của các hệ số Fourier
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 24
Định lý 1.4:
1. Khi n → ∞, các hệ số an và bn trong chuổi Fourier của hàm
tuần hoàn f thỏa điều kiện Dirichlet tiến đến 0 ít nhất cũng
nhanh như c/n, với c = hằng số không phụ thuộc n.
2. Nếu trong 1), f gián đoạn trong [a, a + T) thì an hoặc bn, và
thường là cả hai, không thể → 0 nhanh hơn c/n.
3. Nếu f, f’, , f(k) thỏa điều kiện Dirichlet và liên tục khắp nơi
thì an và bn → 0 ít nhất cũng nhanh như c/nk+2.
4. Nếu trong 3), f gián đoạn trong [a, a + T) thì an hoặc bn, và
thường là cả hai, không thể → 0 nhanh hơn c/nk+2.
Hàm càng trơn thì tốc độ hội tụ càng nhanh
Đạo hàm và tích phân của chuỗi Fourier
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 25
Định lý 1.5:
Tích phân của một hàm f thỏa điều kiện Dirichlet có thể tìm
bằng cách lấy tích phân của từng số hạng chuỗi Fourier của
nó.
Định lý 1.6:
Cho một hàm f tuần hoàn thỏa điều kiện Dirichlet và liên tục
khắp nơi; nếu f’ cũng thỏa điều kiện Dirichlet; và nếu f’(t) tồn
tại thì nó có thể tìm bằng cách lấy đạo hàm từng số hạng
chuỗi Fourier của hàm f.
Các file đính kèm theo tài liệu này:
- chuong_1_3292.pdf