Bài giảng Sức bền vật liệu – ck

T Ư/S là tìm đặc điểm và liên hệ giữa các ứng suất σ , τ, xác định ứng suất lớn nhất, nhỏ nhất để tính toán độ bền hay giải thích, đoán biết dạng phá hỏng của vật thể chịu lực. Định nghĩa: trạng thái ứng suất (TT Ư/S) tại một điểm là tập hợp tất cả những ứng suất trên các mặt đi qua điểm đó. 4.1.1. TT Ư/STẠI MỘT ĐIỂM 107 4.1. KHÁI NIỆM TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT Các thành phần của ứng suất +Ba ứng suất pháp: σx , σy , σz . + Sáu ứng suất tiếp τxy, τyx, τxz , τzx, τyz, τzy. 4.1.2. CÁC THÀNH PHẦN CỦA Ư/S Định luật đối ứng của ứng suất: Trên hai mặt vuông góc, nếu mặt này có ứng suất tiếp hướng vào cạnh ( hướng ra khỏi cạnh ) thì mặt kia cũng có ứng suất tiếp hướng vào cạnh ( hướng ra khỏi cạnh ), trị số hai ứng suất bằng nhau: [τxy]=[τyx],[τxz=[τzx],[τyz]=[τzy] 108 4.1.3. MẶT CHÍNH,PHƯƠNG CHÍNH, ỨNG SUẤT CHÍNH, PHÂN LOẠI TTUS • Mặt chính: Mặt có • Phương chính: Pháp tuyến ngoài của mặt chính • US chính: ứng suất pháp trên mặt chính • Phân tố chính: Cả 3 mặt là mặt chính • Phân loại TTUS:Cơ sở để phân loại: Dựa vào USC Phân loại: 3 loại: Khối (a), Phẳng (b), Đường (c) 0  1 2 3     a) b) c) 2 1 3 2 1 3 2 1 2 1  4.1. KHÁI NIỆM TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT 109 4.2.1. Ư/S TRÊN MẶT CẮT NGHIÊNG – PP GIẢI TÍCH 0z zy zx     xy yx  4.2. TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT PHẲNG 110 4.2.1. Ư/S TRÊN MẶT CẮT NGHIÊNG Xét cân bằng của phần phân tố bị cắt bằng mặt cắt nghiêng một góc α. Gọi u, v là pháp tuyến và tiếp tuyến với mặt nghiêng. Sử dụng quy ước dấu của ứng suất và hình chiếu của diện tích dA lên trục x và trục y: . os , .sinx ydA dA c dA dA   Điều kiện cân bằng của phần phân tố chiếu lên các trục u và v: yx. ( sin . os ). ( os .sin ). 0u xy x x y yU dA c dA c dA              yx. ( sin . os ). ( os .sin ). 0uv xy x x y yV dA c dA c dA              4.2. TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT PHẲNG 111 4.2.1. Ư/S TRÊN MẶT CẮT NGHIÊNG – PP GIẢI TÍCH x y x y u xy x y uv xy cos2 - sin 2 2 2 sin 2 cos2 2                    (3.1) (3.2) Tính σv: Xét mặt nghiêng có pháp tuyến v, vuông góc mặt có pháp tuyến u. Thay thế α bằng (α + 90°) vào (3.1) x y x y v xycos2 + sin 2 2 2           (3.3) Từ (3.2) và (3.3) => u v x y     4.2. TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT PHẲNG 112 4.2.2. Ư/S CHÍNH – PHƯƠNG CHÍNH – Ư/S CỰC TRỊ ỨNG SUẤT CHÍNH Gọi α0 là góc của trục x với phương chính, Đ/k để tìm phương chính là dτuv/d α0 = 0, Từ (3.2) ta có: xy 0 0 x y 2 tg2 tg k 2 2               =>có hai mặt chính vuông góc với nhau và song song với trục z => mỗi mặt chính có một U/S chính tác dụng, thay α0 vào 3.1 và 3.3: 2 x y x y 2 max xy min 2 2              0 0 02 2 0 0 tan 2 1 sin 2 , cos2 1 tan 2 1 tan 2            Trong đó: 4.2. TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT PHẲNG 113 4.2.2. Ư/S CHÍNH – PHƯƠNG CHÍNH – Ư/S CỰC TRỊ ỨNG TIẾP CỰC TRỊ Ứng suất tiếp cực trị là ứng suất tiếp có giá trị cực trị sao cho tạo với các ứng suất chính một góc 450, có độ lớn: Hay: 2 x y 2 max xy min 2            4.2. TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT PHẲNG 2 21 max     114 Xác định ứng suất trên mặt nghiêng, ứng suất chính   2 2 2 2x y x y2 2 2 2 u uv xy u uvC R 2 2                               x yC ,0 2        2 x y 2 xyR 2         xy O  // x P P’ C A B xy yx y x x+y 2 xy O  P C A B min x max L M y I E K u u uv   uv xy xy xy max max y x min tg            4.2.3. Ư/S TRÊN MẶT CẮT NGHIÊNG – PP ĐỒ THỊ (VÒNG TRÒN MO) 4.2. TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT PHẲNG 115 • Ví dụ : Phân tố cho trên hình 3-5 nằm trong trạng thái ứng suất phẳng. Hãy xác định các ứng suất trên mặt nghiêng m-m và các ứng suất chính. Hình 3-5 a) b) m m x u  uuv m m 60 0 50 MN/m2 12,5 MN/m2 25 MN/m2 y 0 x y xy50 25 12,5 30            2 2 0 max min max max20,4MN / m 27,3MN / m tg 0,1617 9 11'         Hình 3-9 a) b)  O  // x P CA BL M -25 50E -300 K uv= 39 u= 20 P’  O  // x P CA BL M N -25 50 P’ 3 1 1=523= 27 4.2.3. Ư/S TRÊN MẶT CẮT NGHIÊNG – PP ĐỒ THỊ (VÒNG TRÒN MO) 4.2. TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT PHẲNG 116 4.3.1. Định luật Hooke tổng quát: 4.3.2. Định luật Hooke khi trượt:  x x y z 1 E          y y z x 1 E          z z x y 1 E           E G G 2 1      4.3. QUAN HỆ GIỮA ỨNG SUẤT VÀ BIẾN DẠNG 117 - Ứng suất giới hạn của trạng thái ứng suất đơn dễ dàng xác định nhưng ứng suất giới hạn của trạng thái ứng suất phức tạp (phẳng, khối) cần làm thí nghiệm xác định phá hủy ở các trạng thái ứng suất. - Việc xác định trạng thái ứng suất giới hạn bằng thực tế rất khó khăn vì: + Số lượng thí nghiệm nhiều để tìm được các ứng suất chính. + Trình độ kỹ thuật và thiết bị chưa cho phép thí nghiệm ở trạng thái ứng suất phức tạp. => Các thuyết bền là các giả thiết về độ bền của vật liệu => trạng thái ứng suất phức tạp về dạng tương đương với ứng suất đơn 4.4. KHÁI NIỆM VỀ CÁC THUYẾT BỀN 118 4.5.1. TB US pháp lớn nhất (TB1): 4.5.2. TB biến dạng dài lớn nhất (TB2): 4.5.3. TB US tiếp lớn nhất (TB3): 4.5.4. TB Thế năng BĐHD cực đại (TB4): 4.5.5. TB Mo (TB5):   0ntd min 3 n n           0ktd max 1 k n           2 2tt 4        0Ktt 1 3 K 0N          4.5. CÁC THUYẾT BỀN   0Ktd 1 2 3 K( ) n             0ntd 3 2 1 n( ) n            2 2 2td 1 2 3 1 2 2 3 3 1 k               max 2    119 4.6.1. Trạng thái U/S đơn: TB1 4.6.2. Trạng thái U/S phức tạp: o Vật liệu dòn: TB5 hoặc TB2 o Vật liệu dẻo: TB3 hoặc TB4 4.6. ỨNG DỤNG CÁC THUYẾT BỀN 120 CHƯƠNG VI ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA MẶT CẮT NGANG 121 NỘI DUNG 6.1. KHÁI NIỆM 6.2. MOMENT TĨNH – TRỌNG TÂM 6.3. MOMENT QUÁN TÍNH – HỆ TRỤC QUÁN TÍNH CHÍNH TRUNG TÂM 6.4. CÔNG THỨC CHUYỂN TRỤC SONG SONG 6.5. CÁC BƯỚC GIẢI BT XÁC ĐỊNH MMQTCTT CỦA HÌNH CÓ ÍT NHẤT 1 TRỤC(Y) ĐX 6.6. CÔNG THỨC XOAY TRỤC 6.7. CÁCH XÁC ĐỊNH MMQTCTT CỦA MỘT HÌNH PHẲNG BẤT KỲ 122  Chương 3 thanh chịu kéo nén đúng tâm:  Các chương sau: uốn, xoắn,: F và các đại lượng đặc trưng cho hình dạng và cách bố trí mặt cắt, gọi là đặc trưng hình học (ĐTHH) của mặt cắt ảnh hưởng đến khả năng chịu lực của kết cấu. N A   P P y y x x a) b) 6.1. KHÁI NIỆM 123 Khi Sx = Sy = 0 thì trục x và y là trục trung tâm, giao điểm của 2 trục trung tâm là trọng tâm của mặt phẳng, Ta có Trọng tâm C(xc, yc) của mặt cắt: x F S ydA y F S xdFA y x C C S S x , y A A   6.2. MOMENT TĨNH – TRỌNG TÂM 6.2.1. KHÁI NIỆM Mô men tĩnh hay moment diện tích cấp 1 là moment của hình phẳng đối với trục x, trục y. Đây là một đặc trưng hình học đề dự đoán khả năng chống chịu US cắt, ta có: 6.2.2. TỌA ĐỘ TRỌNG TÂM MMT của hình phức tạp bằng tổng MMT của các hình đơn giản => Tọa độ trọng tâm của hình phức tạp: n n i i i iy i 1 x i 1 C C i i x .A y .AS S x , y A A A A           A x y y x dA o A  6.2.3. TÍNH CHẤT 124 6.2. MOMENT TĨNH – TRỌNG TÂM VÍ DỤ Tính Sx,Sy và tọa độ trọng tâm C của hình sau: a= 10 cm, b=20cm c=2,5cm, d=0 D=5cm x y a b c d D 125 6.2. MOMENT TĨNH – TRỌNG TÂM VÍ DỤ Bước 1: Chia hình phức tạp thành hình đơn giản: Bước 2: Tính moment tĩnh của từng hình: x y a b 2 1 1 1 3 3 1 1 1 1 1 1 5 , 10 , . 200 , 2 2 . 2000 , . 1000x y a b x cm y cm A a b cm S y A cm S x A cm           Hình chữ nhật x y c d D Hình tròn  Hình chữ nhật 126 6.2. MOMENT TĨNH – TRỌNG TÂM VÍ DỤ Bước 2: Tính moment tĩnh của từng hình: Bước 3: Tính moment tĩnh của hình phức tạp/tìm tọa độ trọng tâm  Hình tròn 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 5 , 2,5 , .2,5 , 2 2 2 . .2,5 , . 2 .2,5x y D D D x c cm y d cm A cm S y A cm S x A cm                       Moment tĩnh 3 3 1 2 3 3 1 2 2000 .2,5 1951 , 1000 2 .2,5 902 x x x y y y S S S cm S S S cm              Tọa độ trọng tâm C: 1 2 1 2 1 2 1 2 5 , 10,8y y x xC C S S S S x cm y cm A A A A         127 6.3. MOMENT QUÁN TÍNH – HỆ TRỤC QUÁN TÍNH CHÍNH TRUNG TÂM 6.3.1. MOMENT QUÁN TÍNH (MMQT) 6.3.1.1. Khái niệm MMQT là moment diện tích cấp hai của hình phẳng đối với hệ trục tọa độ Oxy 6.3.1.2. MMQT độc cực MMQT độc cực là moment của diện tích F đối với điểm O: 2 F I dA   6.3.1.3. MMQT đối với trục x,y MMQT trục là moment của diện tích F đối với điểm trục x và y: 2 2x y F F I y dA, I x dA   y xI I I  A x y y x dA o A  128 6.3. MOMENT QUÁN TÍNH – HỆ TRỤC QUÁN TÍNH CHÍNH TRUNG TÂM 6.3.1. MOMENT QUÁN TÍNH (MMQT) 6.3.1.4. MMQT li tâm MMQT là moment diện tích cấp hai hỗn hợp của hình phẳng đối với hệ trục tọa độ Oxy: xy F I xydA 6.3.1.5. Tính chất MMQT của hình phức tạp bằng tổng MMQT của các hình đơn giản 129 6.3. MOMENT QUÁN TÍNH – HỆ TRỤC QUÁN TÍNH CHÍNH TRUNG TÂM 6.3.2. HỆ TRỤC QUÁN TÍNH CHÍNH TRUNG TÂM (QTCTT) 6.3.2.1. Khái niệm Hệ trục quán tính chính đi qua trọng tâm mặt cắt gọi là hệ trục QTCTT. Đối với hệ này ta có: x y xyS 0,S 0, I 0   6.3.2.2. Tính chất Khi diện tích A đối xứng thì bất kỳ hệ trục tọa độ vuông góc nào chứa trục đối xứng đều là hệ trục quán tính MMQT của A đối với HTQTCTT gọi là MMQTCTT 130 6.3. MOMENT QUÁN TÍNH – HỆ TRỤC QUÁN TÍNH CHÍNH TRUNG TÂM 6.3.3. MMQTCTT CỦA MỘT SỐ HÌNH ĐƠN GIẢN hh 3 222 2 x hF h 3 2 2 by I y dA y b bh 1 dy 3 2       0 3 x 3 x bh I 12 bh I 36     4 4 x y 4 4 D Tròn : I 2I 2I 0,1D 32 D d VK: I 1 32 D            Hình 5-6 y x dy y h b o Hình 5-7 y x dy y h b by o y xo  d d F Hình 5-8 C x0 dD 131 • Ứng dụng: trong quá trình tính moment quá tính của một hình phức tạp từ hình đơn giản ta phải xác định được moment QTCTT của hình đơn giản đó so với hệ trục QTCCT ta phải dời hệ trục của hình đơn giản đang tính về hệ trục quán tính chính trung tâm (song song với hệ trục ban đầu). 6.4. CÔNG THỨC CHUYỂN TRỤC SONG SONG A dA A x y o y x Hệ trục tọa độ ban đầu A X Y Y X dA O’ A x y o a b y x Chuyển hệ trục song song sang hệ trục mới 132 • Hệ xOy: Biết Ix,Iy,Ixy,Sx, Sy • Hệ XO’Y Tìm IX,IY, IXY=? • X=x+a Y=y+b • Moment QTCTT đối với hệ xCy:   22 2 2 X F F F F F 2 2 X x x Y y y XY xy x y I Y dA y b dA y dA 2b ydA b dA I I 2bS b A, I I 2aS a A, I I aS bS abA                     2 2 X x Y y XYI I b A, I I a A, I abA      A X Y Y X dA O’ A x y o a b y x 6.4. CÔNG THỨC CHUYỂN TRỤC SONG SONG Chú ý: dấu của khoảng cách a và b khi nằm ở các góc phần tư của các góc tọa độ khác nhau. Do đây là HTQTCCT nên Sx, Sy và Ixy bằng không 133 Bước 1: XÁC ĐỊNH C(XC,YC) • Chia F thành n hình đơn giản => Chọn hệ trục ban đầu => Tọa độ Ci(xci,yci) • Tính yc: xc=0, tính yc: Bước 2: KẺ xCy VÀ TÍNH MMQTCTT Ci i C1 1 C2 2 Cn nx n C i 1 2 n n y A y A y A ... y AS y A A A A ... A            i i i 2 i x x x xi i n I I , I I a A   6.5. CÁC BƯỚC GIẢI BT XÁC ĐỊNH MMQTCTT CỦA HÌNH CÓ ÍT NHẤT 1 TRỤC(Y) ĐX 134 • Ví dụ:Tính MMQTCTT của hình h1=2cm h2=14cm b1=14cm b2=2cm 6.5. CÁC BƯỚC GIẢI BT XÁC ĐỊNH MMQTCTT CỦA HÌNH CÓ ÍT NHẤT 1 TRỤC(Y) ĐX 135 Bước 1: Tính tọa độ trọng tâm C  Chia hình L phức tạp thành 2 hình đơn giản và chọn hệ trục ban đầu x1C1y1 như hình vẽ:  Tìm tọa độ trọng tâm C h1=2cm h2=14cm b1=14cm b2=2cm y1 x x1 C1 2 1 6.5. CÁC BƯỚC GIẢI BT XÁC ĐỊNH MMQTCTT CỦA HÌNH CÓ ÍT NHẤT 1 TRỤC(Y) ĐX 2 1 1 1 1 1 x1 1 1 x2 2 2 x 0, y 0, A b .h 14.2 28cm S y .A 0,S y .A 0          Đối với hình 1: Đối với hình 2: 2 1 2 2 2 2 2 2 x 2 2 2 x2 2 2 h h x 0, y 8, 2 2 A b .h 14.2 28cm S y .A 8.28 224,S y .A 0             Tọa độ điểm C y1 y2 C 1 2 x1 x 2 C 1 2 S S x 0 A A S S 0 224 y 4cm A A 28 28            136 Bước 2: Kẻ hệ trục QTCTT và tìm moment QTCTT  Kẻ hệ trục QTCTT Do m/c đối xứng qua trục y nên hệ trục tọa độ vuông góc với trục y là hệ trục QTCCT, kẽ hệ trục QTCCT qua tâm C như hình vẽ: 6.5. CÁC BƯỚC GIẢI BT XÁC ĐỊNH MMQTCTT CỦA HÌNH CÓ ÍT NHẤT 1 TRỤC(Y) ĐX h1=2cm h2=14cm b1=14cm b2=2cm Y X x1 C 2 1 137 Bước 2: Kẻ hệ trục QTCTT và tìm moment QTCTT  Tìm moment QTCTT 6.5. CÁC BƯỚC GIẢI BT XÁC ĐỊNH MMQTCTT CỦA HÌNH CÓ ÍT NHẤT 1 TRỤC(Y) ĐX h1=2cm h2=14cm b1=14cm b2=2cm Y X x1 C 2 1                 3 3 1 11 4 x 3 3 1 11 4 y 1 1 3 3 2 22 4 x 3 3 2 22 4 y 2 2 b . h 14. 2 28 I cm , 12 12 3 h . b 2. 14 1372 I cm 12 12 3 a 0, b 4cm b . h 2. 14 1372 I cm , 12 12 3 h . b 14. 2 28 I cm , 12 12 3 a 0, b 4cm                  b1 b2 138 Bước 2: Kẻ hệ trục QTCTT và tìm moment QTCTT  Tìm moment QTCTT 6.5. CÁC BƯỚC GIẢI BT XÁC ĐỊNH MMQTCTT CỦA HÌNH CÓ ÍT NHẤT 1 TRỤC(Y) ĐX 1 2 2 2 4 X x 1 1 x 2 2 1 2 2 2 4 Y y 1 1 y 2 2 28 1372 4088 I I b .A I b .A 4 .28 ( 4) .28 cm , 3 3 3 1372 28 1400 I I a .A I a .A 0 .28 0 .28 cm 3 3 3                    139 6.6. CÔNG THỨC XOAY TRỤC A x y x dA o A  • Hệ xOy: Biết Ix,Iy,Ixy,Sx, Sy • Hệ uOv Tìm Iu,Iv, Iuv=? x y x y u xy I I I I I cos2 I sin 2 2 2        x y x y v xy I I I I I cos2 I sin 2 2 2        x y uv xy I I I sin 2 I cos2 2      u v x yI I I I const    Cách xác định góc α: xy 0 0 x y 2I tan 2 ,cos2 0 2 90 , 45 I I            MMQT chính: x y 2 2 max x y xy min I I 1 I (I I ) 4I 2 2      v α u 140 6.7. CÁCH XÁC ĐỊNH MMQTCTT CỦA MỘT HÌNH PHẲNG BẤT KỲ • Bước 1: chọn hệ trục Oxy bất kỳ ban đầu, xác định trọng tâm của hình phẳng trong hệ trục này. • Bước 2: chuyển trục song song về trọng tâm xCy của hình, tính các moment quán tính đối với hệ trục trọng tâm. • Bước 3: xoay trục để tìm phương quán tính chính uCv đi qua trọng tâm. 141 6.7. CÁCH XÁC ĐỊNH MMQTCTT CỦA MỘT HÌNH PHẲNG BẤT KỲ • Ví dụ: tìm MMQTCTT của hình 20 4 20 O 142 6.7. CÁCH XÁC ĐỊNH MMQTCTT CỦA MỘT HÌNH PHẲNG BẤT KỲ Bước 1: chọn hệ trục Oxy bất kỳ như hình vẽ. - Chia mặt cắt thành 2 hình 1 và 2 như hình vẽ, tọa độ trọng tâm C. Ta có n i iy i 1 C i n i i x i 1 C i x .AS 2.64 10.80 58 x 6,44cm A A 64 80 9 y .AS 12.64 2.80 58 y 6,44cm A A 64 80 9                     20 4 20 y x 2 1 O 143 6.7. CÁCH XÁC ĐỊNH MMQTCTT CỦA MỘT HÌNH PHẲNG BẤT KỲ Bước 2: chuyển trục song song về trọng tâm của hình, tính các moment quán tính đối với hệ trục trọng tâm. Ta có: 20 4 20 y x II I C(58/9;58/9) O y x 3 3 1 4 1 4 x y 4.16 4096 16.4 256 I cm , I cm 12 3 12 3     3 3 2 4 2 4 x y 20.4 320 4.20 8000 I cm , I cm 12 3 12 3     1 2 1 2 58 50 58 40 b 12 cm,b 2 cm 9 9 9 9 58 40 58 32 a 2 cm,a 10 cm 9 9 9 9             144 6.7. CÁCH XÁC ĐỊNH MMQTCTT CỦA MỘT HÌNH PHẲNG BẤT KỲ MMQTT tại C: c 1c 2c xy xy xy 1 1 1 2 2 12 c xy I I I (0 0 a .b A ) (0 0 a .b A ) 40 50 40 32 I ( ). .4.16 .( ).4.20 2844, 44 9 9 9 9                c 1 2 1 2 2 2 x cx cx x 1 1 x 1 1 2 23 3 c 4 x I I I I (b ) .A I (b ) .A 4.16 50 20.4 40 I .4.16 .20.4 5027,56cm 12 9 12 9                        c 1 2 1 2 2 2 y cy cy y 1 1 y 1 1 2 23 3 c 4 y I I I I (a ) .A I (a ) .A 16.4 40 4.20 32 I .4.16 .20.4 5027,56cm 12 9 12 9                        Tìm góc quay α, ta có: => α1 = 45 0 , hoặc α2 = 135 0 Do Ixy tại mỗi hình bằng 0 và Sx Sy gây ra trên hệ trục xCy bằng 0 2 tan 2 ( ) c xy c c x y I I I     145 6.7. CÁCH XÁC ĐỊNH MMQTCTT CỦA MỘT HÌNH PHẲNG BẤT KỲ Bước 3: xoay trục để tìm phương quán tính chính uCv đi qua trọng tâm. 20 4 20 y x II I C(58/9;58/9) O y x u v c c u x xy 4 c c v x xy 4 I I I 5027,56 ( 2844, 44) 7872cm I I I 5027,56 ( 2844, 44) 2183cm             x y 2 2 max x y xy min 4 x xy I I 1 I (I I ) 4I 2 2 I I 5027,56 2844, 44(cm )          146 BÀI TẬP 6.1 – 6.6 (TRANG 134 – 136) 147 CHƯƠNG VII UỐN THẲNG THANH PHẲNG 148 NỘI DUNG UỐN THUẦN TÚY 7.1. KHÁI NIỆM THANH UỐN THUẦN TÚY 7.2. ỨNG SUẤT TRÊN THANH CHỊU UỐN THUẦN TÚY 7.3. BỐ TRÍ MẶT CẮT NGANG HỢP LÝ 7.4. KIỂM TRA ĐỘ BỀN TRÊN THANH CHỊU UỐN THUẦN TÚY UỐN NGANG PHẲNG 7.5. KHÁI NIỆM THANH UỐN NGANG PHẲNG 7.6. ỨNG SUẤT TRÊN THANH CHỊU UỐN NGANG PHẲNG 7.7 KIỂM TRA BỀN TRÊN THANH CHỊU UỐN NGANG PHẲNG 149 UỐN THUẦN TÚY 150 7.1.1. Định nghĩa Một dầm (đoạn dầm) gọi là chịu uốn thuần tuý nếu mọi tiết diện của nó chỉ có một thành phần mômen uốn nội lực Mx nằm trong mặt phẳng quán tính chính trung tâm 7.1. KHÁI NIỆM THANH UỐN THUẦN TÚY 151 7.1.2. Đường trung hòa Định nghĩa: Giao tuyến của mặt trung hoà với mặt phẳng tiết diện gọi là đường trung hoà (trục x). Trục y là giao tuyến của mặt phẳng tải trọng với mặt phẳng tiết diện nên gọi là đường tải trọng. (Đường trung hoà x luôn vuông góc với đường tải trọng y) 7.1. KHÁI NIỆM THANH UỐN THUẦN TÚY 152 7.2.1 Quan sát TN Nhận xét: 1. Các đường thẳng//zcong nhưng vẫn //z 2. Các đường thẳng vuông góc với zvẫn vuông góc với z Các góc vuông vẫn vuông y y x z Mx A Mx Mx 7.2. ỨNG SUẤT TRÊN MẶT CẮT NGANG 153 7.2.2. Các giả thiết 1. Giả thuyết I: Trước và sau biến dạng mặt cắt phẳng và vuông góc với trục thanh. 2. Giả thuyết II: các thớ dọc không đẩy và ép lẫn nhau 3. Giả thuyết III: Vật liệu làm việc trong giới hạn đàn hồi của định luật Hook 7.2. ỨNG SUẤT TRÊN THANH CHỊU UỐN THUẦN TÚY 154 7.2.3. Ứng suất trên mặt cắt ngang Xét điểm A bất kỳ trên mặt cắt ngang - Các thành phần ứng suất tại điểm A: + Dựa vào gia thuyết I: + Dựa vào gia thuyết II: ứng suất theo hai phương x, y bằng không => Duy nhất tại điểm A chỉ có - Chiều của ứng suất pháp: Giả thuyết theo chiều như hình vẽ, ta thấy các vi phân nội lực phải gây ra vi phân moment cùng chiều với Mx (là moment tổng hợp của các vi phân moment đó), hay: 0  x y 0    z x F y. .dF M   z z .dF zy. .dF 7.2. ỨNG SUẤT TRÊN THANH CHỊU UỐN THUẦN TÚY 155 7.2.3. Ứng suất trên mặt cắt ngang • Tính σz • Trục trung hòa là trục trung tâm. y là trục đ/xxy-HTQTCTT y y x z Mx A Mx Mx y  d O A A1 O1 dz 1 1OO =dz;AA dz dz    dz d ;dz dz y d        z z z d z y E y ; E d z           z z x F F F E N d F y d F 0 ; S y d F 0         2 x z x F F E E M y d F y d F I       7.2. ỨNG SUẤT TRÊN THANH CHỊU UỐN THUẦN TÚY x x z xx M1 E I M y I        156 7.2.3. Ứng suất trên mặt cắt ngang Trị số ứng suất pháp: Trong đó: Mx : moment uốn gây ra trên trục x Ix : momen quán tính mặt cắt ngang đối với trục trung hoà x. y: khoảng cách từ trục trung hòa đến vị trí cần tính ứng suất và sẽ đạt giá trị cực đại ở các thớ ngoài cùng của mặt cắt. Để tránh phải xét dấu của hai đại lượng Mx và y, người ta đưa ra công thức: σz lấy dấu + nếu điểm đang tính ứng suất là vùng kéo (dãn), lấy dấu - nếu điểm tính ứng suất là vùng nén (co). x z x M . y I   x z x M . y I    z 7.2. ỨNG SUẤT TRÊN THANH CHỊU UỐN THUẦN TÚY 157 7.2.4. Moment chống uốn Wx ĐN: là đại lượng đặc trưng cho khả năng chống uốn của tiết diện, khi Wx càng lớn thì nguy cơ phá hủy càng thấp. Độ lớn: Moment chống uốn của một số hình đơn giản: x x I W y  y x dy y h b o y xo  d d F dD 2 x b .h W 6      3 4 3 4 x D W 1 0,1D 1 32      7.2. ỨNG SUẤT TRÊN THANH CHỊU UỐN THUẦN TÚY W x x M  Từ đó ta có 158 7.3.1. Khái niệm Một mặt cắt của dầm chịu uốn thuần tuý gọi là được thiết kế hợp lý nếu điểm nguy hiểm về kéo (σmax) và điểm nguy hiểm về nén (σmin) bị phá hỏng cùng một lúc. Hay, khi σ max đạt tới [σ]k thì cùng lúc đó σmin cũng đạt tới [σ]n ax in . . x m k k x k k nx n m n n x M y I y yM y I                  .k k n n y y       Đặt => Một mặt cắt gọi hợp lý nếu nó thỏa mãn biểu thức bên trên 7.3. BỐ TRÍ MẶT CẮT NGANG HỢP LÝ 159 7.3.2. Đối với vật liệu dẻo Do [σ]k= [σ]k nên α = 1 nên cần bố trí mặt cắt sao cho |yk| = |yn| => Đó là các dạng mặt cắt có hai trục đối xứng, trục trung hòa x cũng là trục đối xứng 7.3. BỐ TRÍ MẶT CẮT NGANG HỢP LÝ 160 7.3.3. Đối với vật liệu dòn Do [σ]k<[σ]n nên α < 1 nên cần bố trí mặt cắt sao cho |yk| Đó là các dạng mặt cắt có một trục đối xứng, trục trung hòa x không phải là trục đối xứng 7.3. BỐ TRÍ MẶT CẮT NGANG HỢP LÝ 161 ĐIỀU KIỆN BỀN – BA BÀI TOÁN CƠ BẢN Để đảm bảo sự làm việc an toàn khi thanh chịu uốn thuần túy, ứng suất trong thanh phải đảm bảo điều kiện bền: Đối với vật liệu dẻo Đối với vật liệu dòn Từ bất đẳng thức trên ta có ba bài toán cơ bản: - Kiểm tra bền: - Chọn kích thước mặt cắt: - Xác định tải trọng cho phép: với 7.4. KIỂM TRA ĐỘ BỀN TRÊN THANH CHỊU UỐN THUẦN TÚY ax in [ ] W m x m nn x M   ax ax [ ] W m x m x M    ax ax [ ] W m x m kk x M    ax ax [ ] W m x m x M    ax W [ ] m x x M   ax [ ].Wmx xM  ax ( )mxM f P 162 UỐN NGANG PHẲNG 163 7.6.1. Khái niệm Một dầm (đoạn dầm) gọi là chịu uốn ngang phẳng nếu mọi mặt cắt ngang của nó xuất hiện một cặp nội lực là lực cắt Qy và mômen uốn Mx nằm trong mặt phẳng quán tính chính trung tâm: +Mômen uốn nội lực Mx sẽ gây ứng suất pháp. +Lực cắt Qy sẽ gây ứng suất tiếp. 7.5. KHÁI NIỆM THANH UỐN NGANG PHẲNG 164 7.6.2. Ứng suất pháp Mặt cắt ngang của dầm chịu uốn ngang phẳng không hoàn toàn phẳng và vuông góc và trục thanh như uốn thuần tuý, nhưng sự biến dạng của mặt cắt ngang dù là không đáng kể và có thể bỏ qua. Vì vậy, người ta vẫn dùng công thức ứng suất pháp của uốn thuần tuý: 7.6. ỨNG SUẤT TRÊN THANH CHỊU UỐN NGANG PHẲNG x z x M . y I    165 7.6.3. Ứng suất tiếp Công thức Jurapski: Trong đó: Qy: lực cắt tại mặt cắt đang xét Ix: moment quán tính chính trung tâm đối với trục x bc: bề rộng mặt cắt (biến đổi theo điểm cần tính ứng suất) Sx c: moment tĩnh của phần diện tích phía trên (dưới) đối với trục trung hòa x 7.6. ỨNG SUẤT TRÊN THANH CHỊU UỐN NGANG PHẲNG c y x x y x c Q .S I .b   h/2 h/2 y yc b x y AC y max Q3 2 F   166 7.6.4. Trạng thái Us phẳng đặc biệt - Mặt cắt có mômen uốn Mx và lực cắt Qy cùng lớn, (có thể nhiều mặt cắt). - Chọn điểm nguy hiểm trên mặt cắt để có σz và τzy tương đối lớn chỉ cần kiểm tra tại những nơi nguy hiểm (như nơi tiếp giáp giữa lòng và đế của mặt cắt chữ I, chữ C, T) chỗ thay đổi tiết diện. - Tính moment tương đương theo các thuyết bền. Lòng Đế Tiết diện thay đổi 7.6. ỨNG SUẤT TRÊN THANH CHỊU UỐN NGANG PHẲNG 167 7.6.4. Trạng thái US phẳng đặc biệt Trong đó: : khoảng cách từ điểm có tiết diện thay đổi đến trục trung hòa x : moment tĩnh của phần tiết diện bên dưới điểm có tiết diện thay đổi đến trục trung hòa x : bề rộng tiết diện tại vị trí có tiết diện thay đổi 7.6. ỨNG SUẤT TRÊN THANH CHỊU UỐN NGANG PHẲNG c y x x y x c Q .S I .b   x z c x M . y I   cy c xS cb 168 7.6.5. Các trạng thái ứng suất trên mặt cắt ngang của thanh chịu uốn ngang phẳng - Trạng thái ứng suất đơn: Những điểm ở biên trên và dưới τzy = 0, chỉ có σz = σmax ≠ 0 - Trạng thái trượt thuần túy: Những điểm nằm trên trục trung hòa (Ox) σz = 0, chỉ có τ zy = τ max ≠ 0 - Trạng thái ứng suất phẳng đặt biệt: Các điểm khác, σz ≠ 0 và τ zy ≠ 0 => Kiểm tra bền phải đảm bảo đủ 3 điều kiện trên. 7.6. ỨNG SUẤT TRÊN THANH CHỊU UỐN NGANG PHẲNG 169 7.7.1. Điều kiện bền đối với vật liệu dẻo Trạng thái ứng suất đơn: xét tại mặt cắt có Mmax Trạng thái trượt thuần túy: xét tại mặt cắt có Qmax TB US tiếp lớn nhất (TB3): Theo TB thế năng (TB4): Trạng thái Us phẳng đặc biệt: xét tại mặt cắt có Mx Qy lớn TB US tiếp lớn nhất: TB thế năng biến đổi hình dáng:     max 3          max 2       max   7.7. KIỂM TRA BỀN TRÊN THANH CHỊU UỐN NGANG PHẲNG  2 2tt z zy3        2 2tt z zy4       170 7.7.2. Điều kiện bền đối với vật liệu dòn Trạng thái ứng suất đơn: xét tại mặt cắt có Mmax Trạng thái trượt thuần túy: xét tại mặt cắt có Qmax TB5 Trạng thái Us phẳng đặc biệt: xét tại mặt cắt có Mx Qy lớn TB5    max k min n,            k max n [ ] , 1              2 2tt z z zy 1 1 4. 2 2            7.7. KIỂM TRA BỀN TRÊN THANH CHỊU UỐN NGANG PHẲNG 171 7.7.3. Ba bài toán cơ bản: - Kiểm tra bền. - Chọn kích thước mặt cắt. - Xác định tải trọng cho phép. - Trình tự: ở trạng thái ứng suất đơn=> trạng thái US trượt thuần túy=>trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt. 7.7. KIỂM TRA BỀN TRÊN THANH CHỊU UỐN NGANG PHẲNG 172 Các bước giải bài toán bền tổng quát: Bước 1: xác định moment quán tính Ix và ymax bằng đặc trưng hình học của mặt cắt ngang. Bước 2: xác định vị trí mặt cắt có giá trị Qmax, Mmax và vị trí có Mx và Qy lớn (nếu có) dựa vào biểu đồ moment và biểu đồ nội lực Bước 3: tìm giá trị ứng suất pháp cực đại σmax (TTUS đơn)và ứng suất tiếp cực đại τmax (TTUS trượt thuần túy) => Định tải trọng cho phép (tiết diện cho phép hoặc kiểm tra bền) Bước 4: kiểm tra bền đối với tải trọng hoặc tiết diện cho phép Nếu thanh có tiết diện thay đổi xác định vị trí có Mx và Qy lớn: tìm τ và σ tại vị trí thay đổi tiết diện (TTUS phẳng đặc biệt) 7.7. KIỂM TRA BỀN TRÊN THANH CHỊU UỐN NGANG PHẲNG 173 Cho dầm chịu tải trọng sau: Với: [σ] =16 KN/cm2, a = 1m, q=100kN/m, dầm làm bằng thép định hình I Xác định tiết diện cho phép của dầm theo thuyết bền 3. 7.7. KIỂM TRA BỀN TRÊN THANH CHỊU UỐN NGANG PHẲNG 174 Dùng PP mặt cắt ta có biểu đồ nội lực sau: 125 -275 300300 Qy kN Mx kN/m 1,25 -300 78,13 7.7. KIỂM TRA BỀN TRÊN THANH CHỊU UỐN NGANG PHẲNG 175 Dựa vào biểu đồ nội lực ta thấy tại vị trí mặt cắt tại B là nguy hiểm nhất với: Ở trạng thái ứng suất đơn: Tra bảng chọn thép có số hiệu N055, Wx = 2035 cm 3 Kiểm tra lại ở trạng thái ứng suất trượt thuần túy, theo thuyết bền 3 ta có: Do đó thanh đủ bền ở trạng thái trượt thuần túy. max max x yM 300kN.m,Q 300kN  ax ax 3 ax 300.100 [ ] W 1875 W [ ] 16 m m x x m x x M M cm             216 8kN/ cm 2 2        max c y x 2 max x c Q .S 300.1181 5,76kN/ cm I .b 55962.1,1       7.7. KIỂM TRA BỀN TRÊN THANH CHỊU UỐN NGANG PHẲNG 176 Do đây là thép hình chữ I nên có sự thay đổi tiết diện đột ngột, đồng thời ta thấy tại vị trí B cùng có lực cắt và moment uốn lớn nên ta kiểm tra thêm ở trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt, ta có: 2 . I 55 ( 1,65) 25,85 ; 300 . 2 2 300.100 25,85 13,9 / 55962 x z c x c x z M y h y t cm M kN m kN cm             7.7. KIỂM TRA BỀN TRÊN THANH CHỊU UỐN NGANG PHẲNG 177 Ta có: Theo TB3: Vậy thanh đủ bền.  2 2 2 2tt z zy4 13,5 4.3,9 15,9          c y x zy x c c 3 x c y 2 zy Q .S I .b h t 55 1,65 S A.y b.t. 18.1,65. 792cm 2 2 2 2 b s 1,1cm;Q 300kN 300.792 3,9kN/ cm 55962.1,1                          7.7. KIỂM TRA BỀN TRÊN THANH CHỊU UỐN NGANG PHẲNG 178 7.1 – 7.12 (TRANG 173 – 176) BÀI TẬP 179 CHƯƠNG VIII CHUYỂN VỊ CỦA DẦM CHỊU UỐN 180 NỘI DUNG 8.1. KHÁI NIỆM CHUNG 8.2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CỦA ĐƯỜNG ĐÀN HỒI 8.3. LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ĐÀN HỒI BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN 8.4. XÁC ĐỊNH ĐỘ VÕNG VÀ GÓC XOAY BẰNG PHƯƠNG PHÁP THÔNG SỐ BAN ĐẦU 8.5. XÁC ĐỊNH ĐỘ VÕNG VÀ GÓC XOAY BẰNG PHƯƠNG PHÁP TẢI TRỌNG GIẢ TẠO 8.6. XÁC ĐỊNH ĐỘ VÕNG VÀ GÓC XOAY BẰNG PHƯƠNG PHÁP MOMENT TIẾT DIỆN 8.7. BÀI TOÁN SIÊU TĨNH 181 Một dầm chịu uốn, ngoài điều kiện bền còn phải chú ý đến điều kiện cứng =>xét đến biến dạng của dầm. Xét dầm chịu uốn: 8.1. KHÁI NIỆM CHUNG u, v, φ: ba thành phần chuyển vị của mặt cắt ngang ở điểm K bất kỳ GT chuyển vị bé => u vô cùng bé so với v => cv của mặt cắt tại K chỉ có v, φ, φ có thể lấy gần đúng: tan dv dz    182 Chọn trục dầm là z, trục y vuông góc với trục dầm, thì chuyển vị v chính là tung độ y của điểm K’. Tung độ y cũng chính là độ võng của điểm K. Ta thấy rõ nếu K có hoành độ z so với gốc nào đó thì các chuyển vị y, φ cũng là những hàm số của z và phương trình đàn hồi là: y(z) = v(z) Phương trình của góc xoay sẽ là: Quy ước chiều dương của chuyển vị: - Độ võng y dương nếu hướng xuống. - Góc xoay φ dương nếu mặt cắt quay thuận chiều kim đồng hồ. Điều kiện cứng: Mục đích: tính độ cứng và giải bài toán siêu tĩnh 8.1. KHÁI NIỆM CHUNG '( ) ( ) dv dy z y z dz dz     1 1 300 1000 f L       183 Vì đường đàn hồi được biểu diễn bởi phương trình hàm số y(z) trong hệ trục (yz) nên độ cong của đồ thị biểu diễn của hàm số ở điểm K có hoành độ z được tính theo công thức: Mặt khác ta có: 8.2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CỦA ĐƯỜNG ĐÀN HỒI '' 3 '2 2 1 (1 ) y y    1 . x x M E I  '' 3 '2 2 . (1 ) x x yM E I y    184 Khảo sát một đoạn dầm bị uốn cong trong hai trường hợp sau: Moment uốn Mx và đạo hàm bậc hai y” luôn luôn trái dấu, cho nên phương trình vi phân của đường đàn hồi có dạng: Do GT chuyển vị là bé nên: y’2 <<1 suy ra: E.Ix: là độ cứng khi uốn của dầm 8.2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CỦA ĐƯỜNG ĐÀN HỒI '' 3 '2 2 . (1 ) x x y M E I y    '' . x x M y E I   185 Ta có: Đây là pt vi phần thường, lấy tích phân lần thứ nhất ta được pt góc xoay: Lấy tích phân lần thứ hai ta được pt đường đàn hồi: C và D là hai hằng số tích phân sẽ được xác định các điều kiện biên. 8.3 LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ĐÀN HỒI BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN '' . x x M y E I   ' . x x M y dz C E I      . . x x M y dz C dz D E I            186 8.3 LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ĐÀN HỒI BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN Điều kiện đối với một số dầm đơn giản: + Đầu ngàm của dầm console có góc xoay và độ võng bằng không: yA = φA = 0 + Các đầu liên kết khớp độ võng bằng không: yA = yB = 0 + Tại nơi tiếp giáp giữa hai đoạn dầm có phương trình đường đàn hồi khác nhau, độ võng và góc xoay bên trái bằng với độ võng và góc xoay bên phải: ,tr ph tr phC C C Cy y    187 8.3. LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ĐÀN HỒI BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN Nếu dầm có nhiều đoạn, cần phải lập phương trình vi phân đường đàn hồi cho nhiều đoạn tương ứng. Ở mỗi đoạn , phải xác định hai hằng số tích phân, nếu dầm có n đoạn thì phải xác định 2n hằng số, bài toán trở nên phực tạp nếu số đoạn n càng lớn. Vì vậy, phương pháp này ít dùng khi tải trọng phức tạp hay độ cứng dầm thay đổi. 188 Xét 02 đoạn liền kề thứ i và i+1 ta có: Khai triển theo chuỗi Taylo tại z=a Thay vào được: Trong đó : là các bước nhảy của moment, lực cắt, lực phân bố và số gia của đạo hàm lực phân bố tại z=a. là các thông số đầu mỗi đoạn, do đó phương pháp này còn được gọi là phương pháp thông số ban đầu. Có được y ta xác định được: (i) (i+1) a z yi( z) y (z) yi+1 (z) qi(z) qi+1(z) P a Ma ya a  y z !3 3)( . !2 2)( . !1 )( )()( 1 az EI a Qaz EI a Maz a a yz i yz i y xx         ... !5 )( . !4 )( . 5,4      az EI qaz EI q x a x a ' a a a a a ay , , M , Q , q , q :      ' a a a aM , Q , q , q :         i 1 iy z y z y z    8.4. XÁC ĐỊNH ĐỘ VÕNG VÀ GÓC XOAY BẰNG PHƯƠNG PHÁP THÔNG SỐ BAN ĐẦU y ' , M EJy '', Q EJy '''      189 Phương trình đàn hồi của đoạn thứ 1: Với: 8.4. XÁC ĐỊNH ĐỘ VÕNG VÀ GÓC XOAY BẰNG PHƯƠNG PHÁP THÔNG SỐ BAN ĐẦU '2 3 4 5 0 0 0 0 0 1 0 . . . . . 1! 2! 3! 4! 5!x x x x z M Q q qz z z z y y EI EI EI EI            y0≠0;φ0≠0; ΔM0=M; ∆Q0=-P y0 = 0; φ0≠0; ΔM0=0; ∆Q0≠0; ∆q=-q y0 = 0; φ0=0; ΔM0≠0; ∆Q0≠0; ∆q=0 Δy0 = 0; Δφ0≠0; ΔM0=-M; ∆Q0≠0; ∆q=0-(-q) Δy0 ≠0; Δφ0=0; ΔM0=0; ∆Q0≠-P; ∆q=-q-0 Thông số ban đầu của một số kết cấu: 0 0   190 Ví dụ:Viết phương trình y, φ và tính yB, φB: P=4qa a A B C D a a M=qa2 q VA=9qa/4 VC=11qa/4 Các thông số Đoạn AB z=0 Đoạn BC z=a Đoạn CD z=2a Δy 0 0 0 Δφ φ0 0 0 ΔM M=-qa2 0 0 ΔQ +9qa/4 -4qa 11qa/4 Δq 0 0 -q Δq’ 0 0 0 Bảng thông số ban đầu: 8.4. XÁC ĐỊNH ĐỘ VÕNG VÀ GÓC XOAY BẰNG PHƯƠNG PHÁP THÔNG SỐ BAN ĐẦU 191 Viết phương trình độ võng: Xác định Tại C: Phương trình độ võng:   32 2 3 2 0 x x x z aqa z 9qa z 4qa y z a z 2a EI 2! 4EI 3! EI 3!         3 2 2 3 1 x x x qa qa z 9qa z y z 0 z a 6EI EI 2! 4EI 3!            3 3 42 2 3 3 0 x x x x x z a z 2a z 2aqa z 9qa z 4qa 11qa q y z 2a z 3a EI 2! 4EI 3! EI 3! 4EI 3! EI 4!             0 3 2 0z 2a x qa y 0 6EI      2 2 3 1 0 x x qa z 9qa z y z 0 z a EI 2! 4EI 3!         33 2 2 3 2 x x x x z aqa qa z 9qa z 4qa y z a z 2a 6EI EI 2! 4EI 3! EI 3!              3 3 43 2 2 3 3 x x x x x x z a z 2a z 2aqa qa z 9qa z 4qa 11qa q y z 2a z 3a 6EI EI 2! 4EI 3! EI 3! 4EI 3! EI 4!            8.4. XÁC ĐỊNH ĐỘ VÕNG VÀ GÓC XOAY BẰNG PHƯƠNG PHÁP THÔNG SỐ BAN ĐẦU 192 Phương trình góc xoay: Xác định độ võng tại B và góc xoay tại A: y '  3 2 2 1 x x x qa qa z 9qa z 0 z a 6EI EI 1! 4EI 2!             2 2 33 2 2 3 x x x x x x z a z 2a z 2aqa qa z 9qa z 4qa 11qa q 2a z 3a 6EI EI 1! 4EI 2! EI 2! 4EI 2! EI 3!               23 2 2 2 x x x x z aqa qa z 9qa z 4qa a z 2a 6EI EI 1! 4EI 2! EI 2!         4 B 1 z a x 7qa y y 24EI    3 A 1 z 0 x qa 24EI      8.4. XÁC ĐỊNH ĐỘ VÕNG VÀ GÓC XOAY BẰNG PHƯƠNG PHÁP THÔNG SỐ BAN ĐẦU 193 8.5. LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ĐÀN HỒI BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN Các bước tính bài toán độ cứng bằng pp tích phân: Bước 1: phân đoạn tải trọng vẽ biểu đồ moment uốn Mx cho từng đoạn. Bước 2: viết phương trình đàn hồi và phương trình góc xoay dựa vào Mx. Bước 3: xác định các hằng số tích phân dựa vào các điều kiện biên. Nếu có nhiều phân đoạn thì xác định thêm điều kiện tại các điểm chuyển tiếp giữa các đoạn. Bước 4: tính độ võng và góc xoay cực đại. + Nếu dầm console thì tìm ymax dựa vào φmax. + Nếu dầm có gối tựa thì tìm ymax dựa vào đk φ=0. Nếu có nhiều phân đoạn thì xét chuyển vị góc ở đầu và cuối phân đoạn, nếu chuyển vị góc đổi dấu thì y đạt giá trị cực đại trong phân đoạn đó. ,tr ph tr phC C C Cy y    194 8.5. XÁC ĐỊNH ĐỘ VÕNG VÀ GÓC XOAY BẰNG PHƯƠNG PHÁP TẢI TRỌNG GIẢ TẠO Đối với việc khảo sát đường đàn hồi của dầm ta có phương trình vi phân: Mặt khác ta cũng có: => ta thấy có sự tương đồng 2 '' 2 . x x Md y y dz E I    2 2 x x dQ q dz dM Q dz d M q dz          195 8.5. XÁC ĐỊNH ĐỘ VÕNG VÀ GÓC XOAY BẰNG PHƯƠNG PHÁP TẢI TRỌNG GIẢ TẠO Tính lực cắt Qy và mômen uốn Mx theo tải trọng q từ việc khảo sát các phương trình cân bằng. => cũng có thể tính góc xoay φ và độ võng y theo hàm mà không cần tích phân. Đó là phương pháp tải trọng giả tạo. Phương pháp tải trọng giả tạo: Tưởng tượng một dầm giả tạo (DGT) có chiều dài giống dầm thực (DT), trên DGT có tải trọng giả tạo qgt giống như biểu đồ trên dầm thật, thì sẽ có sự tương đương: '' ', , . x gt gt gt x M y q y Q y M E I      196 8.5. XÁC ĐỊNH ĐỘ VÕNG VÀ GÓC XOAY BẰNG PHƯƠNG PHÁP TẢI TRỌNG GIẢ TẠO Cách chọn dầm giả tạo (DGT): - Điều kiện là nơi nào trên DT không có độ võng và góc xoay thì điều kiện liên kết của DGT ở những nơi đó phải tương ứng sao cho qgt không gây ra Mgt và Qgt. - Chiều dài của DT và DGT là như nhau. 197 8.5. XÁC ĐỊNH ĐỘ VÕNG VÀ GÓC XOAY BẰNG PHƯƠNG PHÁP TẢI TRỌNG GIẢ TẠO Một số DGT thường gặp 198 8.5. XÁC ĐỊNH ĐỘ VÕNG VÀ GÓC XOAY BẰNG PHƯƠNG PHÁP TẢI TRỌNG GIẢ TẠO Cách tìm tải trọng giả tạo qgt Vì , nên qgt bao giờ cũng ngược dấu với mômen uốn Mx. Do đó: - Nếu: Mx > 0 thì qgt < 0, nghĩa là nếu biểu đồ Mx nằm phía dưới trục hoành (theo qui ước Mx > 0 vẽ phía dước trục thanh) thì qgt hướng xuống. - Nếu: Mx < 0 thì qgt hướng lên. ⇔ qgt luôn có chiều hướng theo thớ căng của biểu đồ mômen Mx. . x gt x M q E I   199 8.5. XÁC ĐỊNH ĐỘ VÕNG VÀ GÓC XOAY BẰNG PHƯƠNG PHÁP TẢI TRỌNG GIẢ TẠO Để thuận tiện cho việc tính các nội lực Mgt, Qgt của DGT, cần phải tính hợp lực của lực phân bố qgt trên các chiều dài khác nhau ta dựa vào bảng sau: 200 8.5. XÁC ĐỊNH ĐỘ VÕNG VÀ GÓC XOAY BẰNG PHƯƠNG PHÁP TẢI TRỌNG GIẢ TẠO Các bước giải bài toán xác định độ võng và góc xoay dựa vào phương pháp tải trọng giả tạo: Bước 1: tách biểu tải trọng tác dụng và vẽ biểu đồ Mx cho từng thành các thành phần riêng biệt trên cũng một biểu đồ. Bước 2: thay thế dầm thực bằng DGT dựa vào bảng 8.1. Bước 3: tính Qgt và Mgt dựa vào độ lớn tải trọng giả tạo theo bảng 8.2. 201 8.6. XÁC ĐỊNH ĐỘ VÕNG VÀ GÓC XOAY BẰNG PHƯƠNG PHÁP MOMENT TIẾT DIỆN Xét dầm có đường đàn hồi và biểu đồ sau: . x x M E I Xét đoạn AB ta có: . . B B A A Z Z x x x xZ Z ABB A AB M M d dz d dz E I E I S                 ABS Diện tích của biểu đồ giữa 2 điểm A và B . x x M E I 202 8.6. XÁC ĐỊNH ĐỘ VÕNG VÀ GÓC XOAY BẰNG PHƯƠNG PHÁP MOMENT TIẾT DIỆN Định lý 1. Độ thay đổi góc xoay giữa hai mặt cắt của một dầm (thí dụ giữa A và B) thì bằng dấu trừ diện tích của biểu đồ giữa hai mặt cắt ấy: . x x M E I . . . B B A A Z Z x x C ABAB x xZ Z M M dt zd z dz t dt z dz z S E I E I           Cz khoảng cách từ trọng tâm của diện tích đến điểm B ABS 203 8.6. XÁC ĐỊNH ĐỘ VÕNG VÀ GÓC XOAY BẰNG PHƯƠNG PHÁP MOMENT TIẾT DIỆN Định lý 2. Độ sai lệch giữa tiếp tuyến ở một điểm B trên đường đàn hồi với một tiếp tuyến ở một điểm A khác cũng trên đường đàn hồi bằng với dấu trừ mômen tĩnh của diện tích của biểu đồ đối với đường thẳng đứng đi qua B . x x M E I . ( ) ( ) . . B A A AB AB A A B A AB C CAB ABB A A B A A A AB y y L t y z z t y y z z z S y L z S                    Tương tự ta có: . . ABA B B AB Cy y L z S   Với ZC là khoảng cách trọng tâm C của kể từ AABS 204 8.7. BÀI TOÁN SIÊU TĨNH Tương tự các bài toán về thanh chịu kéo, nén đúng tâm, ta còn có các BTST về uốn. Bài toán siêu tĩnh là bài toán mà ta không thể xác định toàn bộ nội lực hoặc phản lực chỉ với các phương trình cân bằng tĩnh học, vì số ẩn số phải tìm của bài toán lớn hơn số phương tĩnh cân bằng tĩnh học có được. => Để giải được các BTST, cần tìm thêm một số phương trình phụ dựa vào điều kiện biến dạng của dầm. 205 BÀI TẬP 8.1 – 8.6 (TRANG 206 – 207) 206 CHƯƠNG IX XOẮN THUẦN TÚY 207 NỘI DUNG 9.1. KHÁI NIỆM 9.2. XOẮN THUẦN TÚY THANH THẲNG TIẾT DIỆN TRÒN 9.3. XOẮN THUẦN TÚY THANH THẲNG TIẾT DIỆN CHỮ NHẬT 9.4. TÍNH LÒ XO TRỤ NGẮN CHỊU LỰC DỌC TRỤC 9.5. BÀI TOÁN SIÊU TĨNH 208 9.1.1. ĐỊNH NGHĨA Một dầm (đoạn dầm) gọi là chịu xoắn thuần tuý khi trên các mặt cắt ngang chỉ có một thành phần nội lực mômen xoắn Mz Qui uớc dấu của Mz > 0 khi từ mặt cắt nhìn vào thấy Mz quay cùng chiều kim đồng hồ. 9.1. KHÁI NIỆM 209 9.1.2. CÁC NGOẠI LỰC XOẮN THƯỜNG GẶP - Ngoại lực xoắn phân bố thường gặp ở dạng mũi khoan khoan và chi tiết. - - Ngoại lực xoắn tập trung thường gặn ở dạng các mômen xoắn tập trung, loại này thường ở dạng: + Do các ngẫu lực; + Do dời các lực vòng ở các bánh răng, bánh đai, bánh xích... + Do công suất (N) của động cơ truyền tới. 9.1. KHÁI NIỆM 210 9.1.2. CÁC NGOẠI LỰC XOẮN THƯỜNG GẶP Nhiều trường hợp ngoại lực xoắn được tính theo công suất và số vòng quay của trục: - Nếu tính theo mã lực thì: - Nếu tính theo Watt thì: M0: moment xoắn trên trục (N.m) N: công suất trục (Hp, kW) n: số vòng quay của trục (vòng/phút) 9.1. KHÁI NIỆM 0 7162.N M (N.m) n  0 9740.N M (N.m) n  211 9.1.3. BIỂU ĐỒ NỘI LỰC MOMENT XOẮN MZ Biểu đồ moment xoắn được vẽ dựa vào phương pháp mặt cắt và phương trình cân bằng tĩnh học. 9.1. KHÁI NIỆM 212 9.2.1. THÍ NGHIỆM THANH CHỊU XOẮN Xét thanh tiết diện tròn chịu xoắn. Kẻ các đường sinh và các đường tròn chu tuyến Cho thanh chịu moment xoắn M ở hai đầu, với biến dạng bé đàn hồi ta có nhận xét: - Chiều dài thanh và khoảng cách giữa các đường tròn hầu như không đổi, các góc vuông thay đổi. - Các đường tròn vẫn phẳng, bán kính không thay đổi. Mặt phẳng chứa các đường tròn xoay quanh trục, góc xoay của các vòng tròn khác nhau 9.2. XOẮN THUẦN TÚY THANH TIẾT DIỆN TRÒN 213 9.2.2. CÁC GIẢ THUYẾT - Khoảng cách giữa hai mặt cắt ngang, chiều dài của thanh trước và sau biến dạng luôn không đổi - Bán kính của một điểm bất kỳ trên mặt cắt luôn không đổi trước và sau biến dạng. - Các thớ dọc không tác dụng lẫn nhau trong khi biến dạng. - Vật liệu tuân theo định luật Hook Theo các giả thuyết trên: tại tiết diện chỉ tồn tại ứng suất tiếp τ các ứng suất pháp σ bằng không. 9.2. XOẮN THUẦN TÚY THANH TIẾT DIỆN TRÒN 214 9.2.3. ỨNG SUẤT TIẾP TRÊN TIẾT DIỆN Khảo sát biến dạng của một phân tố thanh có chiều dài dx. Tiết diện bên trái tại tọa độ x có góc quay là φ. Tiết diện bên phải tại tọa độ x+dx , góc quay là φ +d φ. Bán kính của tiết diện bên phải cũng quay đi một góc là d φ. Xét phân tố trụ tròn bán kính ρ, góc xoắn của bán kính ρ cũng là d φ 9.2. XOẮN THUẦN TÚY THANH TIẾT DIỆN TRÒN 215 9.2.3. ỨNG SUẤT TIẾP TRÊN TIẾT DIỆN Xét phân tố trụ tròn bán kính ρ, góc xoắn của bán kính ρ cũng là d φ Biến dạng góc vuông ở mặt bên của phân tố con: : góc xoắn tương đối giữa hai tiết diện cách nhau một đơn vị chiều dài (rad/m) 9.2. XOẮN THUẦN TÚY THANH TIẾT DIỆN TRÒN AB d . . dz dz        d dz    216 9.2.3. ỨNG SUẤT TIẾP TRÊN TIẾT DIỆN Theo định luật Hook ứng suất tiếp quan hệ với góc quay tương đối bằng: : module đàn hồi trượt Theo định nghĩa: Với: Vậy: 9.2. XOẮN THUẦN TÚY THANH TIẾT DIỆN TRÒN G. G. .      G 2 z A A M . .dA G. . .dA     G. const  z z 2 A M M G. .dA I     217 9.2.3. ỨNG SUẤT TIẾP TRÊN TIẾT DIỆN Trong đó: là moment quán tính độc cực của mặt cắt Ứng suất tiếp: : bán kính điểm cần tính ứng suất. ồ thị ứng suất tiếp: Vậy ứng suất tiếp cực đại: 9.2. XOẮN THUẦN TÚY THANH TIẾT DIỆN TRÒN 2 A I .dA   zM . I     218 9.2.4. ĐỒ THỊ ỨNG SUẤT TIẾP – MẶT CẮT NGANG HỢP LÝ Xét biểu thức: Ta thấy: nên có quan hệ bậc nhất đối với bán kính Đồ thị ứng suất tiếp: Từ đồ thị ta thấy được: : moment chống xoắn của m/c ngang, 9.2. XOẮN THUẦN TÚY THANH TIẾT DIỆN TRÒN zM . I    z M const I   z z max max z M M . I W     z max I W   max D 2   219 9.2.4. ĐỒ THỊ ỨNG SUẤT TIẾP – MẶT CẮT NGANG HỢP LÝ Mặt cắt ngang hợp lý: Nhìn biểu đồ ứng suất tiếp ta thấy: Tại chu vi mặt cắt vật liệu làm việc nhiều nhất (vì có τmax) còn phía trong chịu lực ít dần. Tới tâm thì không chịu lực. Do đó nếu có cùng tiết diện thì mặt cắt hình vành khăn sẽ chịu lực tốt hơn. Moment chống uốn của hình tròn và hình vành khăn: 9.2. XOẮN THUẦN TÚY THANH TIẾT DIỆN TRÒN     4 4 z 4 4 4 4 z D I D32Tròn : W D D 16 2 2 D 1I D d32VK: W 1 ; D D 16 D 2 2                y y xo  d d F Hình 5-8 dD 220 9.2.5. GÓC XOẮN Từ liên hệ vi phân ta có: Góc xoắn tuyệt đối trên thanh có chiều dài l: + Nếu Mz không đổi trong suốt chiều dài l: + Nếu thanh có nhiều đoạn chiều dài li , Mz không đổi, G.Iρ không đổi: 9.2. XOẮN THUẦN TÚY THANH TIẾT DIỆN TRÒN z zM Md d d dz dz dz G.I G.I          l z 0 M dz(rad) G.I   zM .l G.I   n zi i i 1 i M .l G.I    221 9.2.5. ĐIỀU KIỆN BỀN – BA BÀI TOÁN CƠ BẢN Để đảm bảo sự làm việc an toàn khi thanh chịu xoắn thuần túy, ứng suất trong thanh phải đảm bảo điều kiện bền: Từ bất đẳng thức trên ta có ba bài toán cơ bản: - Kiểm tra bền: - Chọn kích thước mặt cắt: - Xác định tải trọng cho phép: 9.2. XOẮN THUẦN TÚY THANH TIẾT DIỆN TRÒN zM . [ ] I      max z max max M . [ ] I      hay z z M [ ] W     max z z M W [ ]   max z zM [ ].W  222 9.2.6. ĐIỀU KIỆN CỨNG – BA BÀI TOÁN CƠ BẢN Ngoài điều kiện cứng, ứng suất trong thanh phải cũng đảm bảo điều kiện cứng: Từ bất đẳng thức trên ta có ba bài toán cơ bản: - Kiểm tra cứng: - Chọn kích thước mặt cắt: - Xác định tải trọng cho phép: 9.2. XOẮN THUẦN TÚY THANH TIẾT DIỆN TRÒN zM .l [ ] G.I     max z max M .l [ ] G.I     max zMI .l G.[ ]    max z I .G.[ ] M l   hay z M [ ] G.I     223 9.3.1. ỨNG SUẤT TRÊN MẶT CẮT NGANG Khi xoắn thanh mặt cắt chữ nhật ta thấy mặt cắt ngang của thanh không còn phẳng mà bị vênh đi: 9.3. XOẮN THANH THẲNG TIẾT DIỆN CHỬ NHẬT 224 9.3.1. ỨNG SUẤT TRÊN MẶT CẮT NGANG Mọi giả thuyết dùng để tính cho thanh mặt cắt tròn đây không dùng được. Từ lý thuyết đàn hồi người ta chứng minh được: - Tại tâm và các góc ứng suất tiếp bằng 0 - Tại điểm giữa cạnh dài ứng suất tiếp cực đại: - Tại điểm giữa cạnh ngắn ứng suất tiếp cực đại: 9.3. XOẮN THANH THẲNG TIẾT DIỆN CHỬ NHẬT max z max 2 M .h.b    1 max.    225 9.3.2. GÓC XOẮN TƯƠNG ĐỐI TRÊN MẶT CẮT NGANG Góc xoắn tương đối: : các hệ số phụ thuộc vào tỉ số cạnh dài (b) chia cho cạnh ngắn (h) được cho trong bảng: 9.3. XOẮN THANH THẲNG TIẾT DIỆN CHỬ NHẬT max z 3 M .h.b    , ,   226 9.4.1. KHÁI NIỆM Trong thực tế ta hay gặp nhiều lò xo xoắn ốc hình trụ để giảm chấn như ở các phương tiện giao thông, máy, động cơ điện, chúng thường ở dạng chịu kéo (nén) liên tục. Các thông số đặc trưng của lò xo: + D : đường kính trung bình của ống lò xo + d: đường kính của dây lò xo. + n : số vòng quấn của lò xo. + h : bước quấn của lò xo. + α: góc nghiêng của vòng lò xo. 9.4. TÍNH LÒ XO XOẮN ỐC HÌNH TRỤ CÓ BƯỚC NGẮN 227 9.4.2. NỘI LỰC Tưởng tượng dùng một mặt cắt qua trục của ống lò xo chia lò xo làm hai phần và khảo sát một trong hai phần đó: Vì bước của lò xo là ngắn nên góc nghiêng α của vòng lò xo rất nhỏ tức là ta có thể coi các vòng lò xo cuốn như nằm ngang. Do đó mặt cắt lò xo một cách gần đúng có thể coi như tròn.. Khảo sát sự cân bằng của các thành phần nội lực trên mặt cắt của lò xo: + Lực cắt: + Moment xoắn: 9.4. TÍNH LÒ XO XOẮN ỐC HÌNH TRỤ CÓ BƯỚC NGẮN z D M P. 2  yQ P 228 9.4.3. ỨNG SUẤT Lực cắt Qy và mômen xoắn Mz đều gây nên ứng suất tiếp ứng suất tiếp do lực cắt trong lò xo 1 cách gần đúng có thể coi như phân bổ đều theo chiều Qy. Tức là: Ứng suất tiếp do mômen xoắn Mz có giá trị cực đại tại chu vi mặt: 9.4. TÍNH LÒ XO XOẮN ỐC HÌNH TRỤ CÓ BƯỚC NGẮN y Q 2 Q P 4P A A d      3 z 3 z M P.D d 8P.D : W 2 16 d          229 9.4.3. ỨNG SUẤT Biểu đồ ứng suất do lực cắt Qy và Mz gây ra trên mặt cắt lò xo Trên đồ thị ta thấy điểm K là điểm nguy hiểm nhất vì Qy và Mz cùng chiều, ứng suất tổng có giá trị: 9.4. TÍNH LÒ XO XOẮN ỐC HÌNH TRỤ CÓ BƯỚC NGẮN max K 2 3 3 4P 8P.D 8P.D d 1 d d d 2D                230 9.4.3. ỨNG SUẤT Do D = (5 ÷ 10) d nên tỷ số là rất nhỏ so với 1 nên ta có thể bỏ qua, mặt cắt gần đúng ta có: Ta nhận thấy công thức trên là công thức gần đúng bỏ qua ảnh hướng góc nghiêng của lò xo và bỏ qua τQ. Để bù vào 2 sai số trên người ta dùng công thức chính xác: K: hệ số điều chỉnh xác định bằng thực nghiệm: Trong đó: 9.4. TÍNH LÒ XO XOẮN ỐC HÌNH TRỤ CÓ BƯỚC NGẮN d 2D max 3 8P.D d    max 3 8P.D K. d    m 0, 25 K m 1    d m D  231 9.4.4. BIẾN DẠNG CỦA LÒ XO Gọi λ là độ dãn (hay co) của lò xo. Khi lò xo chịu kéo (nén) đúng tâm bởi lực P nó sẽ tích luỹ một năng lượng, dưới dạng thế năng biến dạng đàn hồi U: Xem dây lò xo có thể coi như 1 thanh tròn: + Moment xoắn: + Chiều dài dây lò xo: + Moment quán tính độc cực: 9.4. TÍNH LÒ XO XOẮN ỐC HÌNH TRỤ CÓ BƯỚC NGẮN 4.d I 32    z P.D M 2  l .D.n  2 zM .lU 2G.I  232 9.4.4. BIẾN DẠNG CỦA LÒ XO Mặt khác khi lực P chuyển dời trên biến dạng λ của lò xo sẽ sinh công biến dạng T: Theo định luật bảo toàn năng lượng: U=T Với C là độ cứng của lò xo: G: module biến dạng đàn hồi của vật liệu làm lò xo 9.4. TÍNH LÒ XO XOẮN ỐC HÌNH TRỤ CÓ BƯỚC NGẮN P. T 2   2 z 2 3 z 4 M .lP. 2 2G.I P.M .l 8P.D .n P G.I G.d C           4 3 G.d C 8D .n  233 9.4.5. ĐIỀU KIỆN BỀN, ĐIỀU KIỆN CỨNG – BA BÀI TOÁN CƠ BẢN Để đảm bảo sự làm việc an toàn khi thanh chịu xoắn thuần túy, ứng suất trong thanh phải đảm bảo điều kiện bền và điều kiện cứng: Từ hai bất đẳng thức trên ta có ba bài toán cơ bản: - Kiểm tra bền (cứng) - Chọn kích thước mặt cắt theo điều kiện bền (cứng) - Xác định tải trọng cho phép theo điều kiện bền (cứng) 9.4. TÍNH LÒ XO XOẮN ỐC HÌNH TRỤ CÓ BƯỚC NGẮN max 3 8P.D K. [ ] d      3 4 8P.D .n [ ] G.d     234 9.5.1. THANH CHỊU XOẮN Tương tự như ở chương kéo nén đúng tâm, bài toán siêu tĩnh là bài toán có nhiều ẩn hơn các phương trình cân bằng tĩnh học mà ta xác định được, các bước giải tương tự đối với thanh chịu xoắn, Điều kiện biến dạng đối với thanh chịu xoắn: Chuyển vị tại ngàm bằng không hay tổng chuyển vị trên thanh bằng không: 9.5.2. LÒ XO CHỊU NÉN ĐÚNG TÂM Đối với lò xo chịu nén đúng tâm, ta cần phải xét thêm mối quan hệ biến dạng giữa các lò xo hay tỉ lệ: 9.5. BÀI TOÁN SIÊU TĨNH n i 0 0     i k   235 7.1 – 7.12 (TRANG 173 – 176) BÀI TẬP 236