Bài giảng Sức bền vật liệu - Chương 9 Tính chuyển vị bằng phương pháp năng lượng

LOGO trangtantrien@hcmute.edu.vn https://sites.google.com/site/trangtantrien/ Chương 9: Tính Chuyển Vị Bằng Phương Pháp Năng Lượng 1 Các Khái Niệm 2 Thế Năng Biến Dạng Đàn Hồi 3 Định Lý Castigliano 4 Công Thức Mohr 5 Nhân Biểu Đồ Vêrêxaghin 1 Các Khái Niệm z L L * Thanh chịu kéo_nén đúng tâm có biến dạng dài dọc trục: ; ;z z n z L N LL dz EF L            A B 'B O * Thanh chịu xoắn thuần túy có góc xoay tương đối giữa hai mặt cắt: ;z L M dz GJ G     yz y y * Thanh chịu uốn phẳng: y- Chuyển vị thẳng của trọng tâm mặt cắt ngang theo phương vuông góc với trục thanh. - Chuyển vị xoay của mặt cắt ngang quanh một trục nằm trong mặt cắt ngang. 1 Các Khái Niệm 1 2 3 4 2P 3P 4P 1 2 4 34 1P 1M * Kí hiệu cho các đại lượng lực (bao gồm lực và ngẫu lực): P * kí hiệu cho lực tại vị trí và theo phương kkP * Kí hiệu cho các đại lượng chuyển vị (bao gồm chuyển vị thẳng và chuyển vị xoay):  + kí hiệu cho chuyển vị tại vị trí và theo phương kk + kí hiệu cho chuyển vị tại vị trí và theo phương k do nguyên nhân m gây ra km * kí hiệu cho chuyển vị đơn vị tại vị trí và theo phương k do lực gây ra km 1mP  1 Các Khái Niệm 2 Thế Năng Biến Dạng Đàn Hồi 222 2 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 . . 2 2 n n n n yxz z i i i ix yLi Li Li Li n n y x x y i iLi Li MMN MU dz dz dz dz EF EJ EJ GJ Q Qk dz k dz GF GF                         F C C y y y F C C x x x dFh S J FkdF b S J Fk 2 2 22 2 2 ;Với * Đối với dầm uốn phẳng, bỏ qua ảnh hưởng lực cắt: 2 1 1 2 n x i xLi M U dz EJ  * Đối với thanh chịu kéo-nén đúng tâm: 2 2 1 2 n z i Li N U dz EF  * Đối với thanh chịu xoắn thuần túy: 2 3 1 2 n z i Li MU dz GJ  3 Định Lý Castigliano k k P U    => Trong heä ñaøn hoài tuyeán tính, chuyeån vò taïi một vò trí vaø theo moät phöông naøo ñoù baèng ñaïo haøm rieâng cuûa theá naêng bieán daïng ñaøn hoài tích luõy trong heä laáy ñoái vôùi bieán soá laø löïc taïi vò trí vaø theo phöông caàn tính chuyeån vò. * Đối với thanh chịu kéo-nén đúng tâm: , , 1 1 i z i z in n i k k i ik i iL N N U P dz P E F           2 1 2 n z i Li NU dz EF  in 1i ii k i,z i,z k LFE P N N      * Nếu tại vị trí và theo phương cần tính chuyển vị không có lực Pk ta đặt một lực Pg tại vị trí và theo phương cần tính chuyển vị. Sau khi đạo hàm ta cho Pg=0/z gN P  3 Định Lý Castigliano * Đối với hệ dàn (hệ thanh-khớp) chỉ chịu kéo hoặc nén đúng tâm và có Nz/(EF) = const trên suốt chiều dài Li Ví Dụ: Thanh ABC tuyệt đối cứng có liên kết, chịu lực và kích thước như hình vẽ. Các thanh BD và CE làm bằng thép có mô đun đàn hồi E và có diện tích mặt cắt ngang lần lượt là F và 2F. Tính chuyển vị thẳng đứng tại A 2a 2a a 2aP 030 A B C D E A C B 1P 060 030 060 030 D Hình 9.4 a 2P Ví Dụ: Cho hệ dàn như hình vẽ. Các thanh trong dàn làm bằng thép có mô đun đàn hồi E và có cùng diện tích mặt cắt ngang là F. Tính chuyển vị thẳng đứng tại A EF 2E F A B C a a P 030 060 030 060 PABN ACN A * Tách nút tại A 0 0 0 0 cos30 cos 60 0 sin 30 sin 60 0 AB AC AB AC X N N Y N N P            1 2 3 2 AB AC N P N P       * Theo điều kiện bền ứng suất pháp     2 z z max max N P F F         2 2150 3,57 2 2.21 PF cm cm      Chọn 23,6F cm * Chuyển vị thẳng đứng tại A: áp dụng định lý Castigliao , , 1 z i ACABz in AB AC k k i AB AC i i i AB AB AC AC N NNN N NP P PL L L E F E F E F         1 3 3 4 4 3 3 4 3 3 150.2002 2 2 2 2 5,267 2 2100.3,63 4 3 4 3yA P P a Paa cm EF E F EF          * Chuyển vị theo phương ngang tại A: Đặt thêm lực Pg theo phương ngang tại A 030 060 gP ABN ACN A P 1 3 2 2 3 1 2 2 AB g AC g N P P N P P         * Áp dụng định lý Castigliao , , 1 z i ACAB z i AB ACn g g g k i AB AC i i i AB AB AC AC N NNN N N P P P L L L E F E F E F          3 3 1 2 2 4 3 4 3 4 150.2002 2 2 2,25 2 4 4 2100.3,63xA P P a Paa cm EF E F EF              a2a 2a q P qa A B C D E ,E F * Xét cân bằng thanh ABCD * Theo điều kiện bền ứng suất pháp    5 2 z z max max N qa F F       Chọn 26,98F cm a 2a 2a q P qa A B C D E AX AY B EN 045 00 .2 . sin 45 .2 .3 0 3 52 2 2 A BE BE m q a a N a P a N qa P qa             25 5.15.2,5 6,978 2 2.19 qaF cm      * Biến dạng dài dọc trục của thanh EB 2 2 5 .2 2 10 10.15.2,5 .1002 0,639 21000.6,98 BE BE BE qa a N L qaL cm EF EF EF           * Chuyển vị thẳng đứng tại A: áp dụng định lý Castigliao 2 2 5 3 15 2 15 2.15.2,5 .1002 2 2 2 1,357 21000.6,98 BE BE D BE BE BE qaNN qaP L a cm E F EF EF        4 Công Thức Mohr * Công thức Mohr: + Trạng thái “m”: là trạng thái chịu tải + Trạng thái “k”: là trạng thái đơn vị bằng cách bỏ tải và đặt một lực Pk=1 tại vị trí và theo phương cần tính chuyển vị * Tạo hai trạng thái      n 1i L ii m,yik,yi x n 1i L xii m,xik,xi n 1i L ii m,zik,zi km iii dz FG QQ kdz JE MM dz FE NN  * Đối với hệ dàn (hệ thanh-khớp) chỉ chịu kéo hoặc nén đúng tâm và có Nz/(EF) =const trên suốt chiều dài Li 1 n zi zi km i i i i N N L E F   + : nội lực ở trạng thái “m”zN + : nội lực ở trạng thái “k”zN Ví Dụ: Thanh ABCD tuyệt đối cứng có liên kết, chịu lực và kích thước như hình vẽ. Thanh AE và BE làm bằng thép có mô đun đàn hồi E, ứng suất cho phép và có diện tích mặt cắt ngang lần lượt là 2F và F. a 2a 2a q P qa A B C D E ,E F , 2E F 060 + Xác định ứng lực trong các thanh AE và BE. + Xác định diện tích mặt cắt ngang F để hai thanh AE và BE cùng bền + Tính chuyển vị thẳng đứng tại D   4 2 2 35 / ; 2 2.10 / 21 / q kN m a m E kN cm kN cm       Ví Dụ: Thanh ABC tuyệt đối cứng có liên kết, chịu lực và kích thước như hình vẽ. Thanh CD làm bằng thép có mô đun đàn hồi E và có diện tích mặt cắt ngang F. Tính chuyển vị thẳng đứng tại A a a P 060 A B C D 045 a 2a 2a q P qa A B C D E ,E F 060 Ví Dụ: Thanh ABCD tuyệt đối cứng có liên kết, chịu lực và kích thước như hình vẽ. Thanh BE làm bằng thép có mô đun đàn hồi E và có diện tích mặt cắt ngang F. Tính chuyển vị thẳng đứng tại D Ví dụ: Thanh AB tuyệt đối cứng chịu liên kết gối cố định tại A và được giữ bởi thanh CD, hệ chịu lực và có kích thước như hình vẽ. Thanh CD có mặt cắt ngang không đổi diện tích F và làm bằng thép có mô đun đàn hồi E, ứng suất cho phép + Xác định diện tích mặt cắt ngang F để thanh CD bền. + Tính biến dạng dài dọc trục của thanh CD   2 4 221 / , 2,1.10 /kN cm E kN cm    . Cho: A B 2,5m 25 /q kN m 0,5m 030 C D + Xác định phản lực liên kết tại B và ứng lực trong thanh CD. + Tính chuyển vị thẳng đứng tại A. m2 m2 m1 m2P 060 A B C D E * Xét cân bằng thanh ABC * Theo điều kiện bền ứng suất pháp    3 2 z z max max N P F F       Chọn 29,63F cm   23 3.200 9,62 2 2.18 PF cm      * Theo điều kiện cứng m2 m2P 060 A B C CEN BDN BY 0 0 30 sin 60 .2 .2 0 2 3 10 cos 60 0 2 B CE CE x BD CE BD m P N N P F P N N N P                      3 3 2 3,6.10CE CE CE P L N L L EF EF L         2 4 3 3 3.200 2,4 2.2.10 .3,6.102 . PF cm LE L           * Tính chuyển vị thẳng đứng tại C + Ta có: 3 3 1; 2 2CE BD N P N P   + Tạo trạng thái “k”: m2 m2 m1 m2 A B C D E m2 m2 1kP  A B C CEN BDN BY 1kP  10 1.2 .2 0 2 10 0 2 B CE CE x BD CE BD m N N F N N N                     + Áp dụng công thức Mohr, chuyển vị thẳng đứng tại C: 4 4 1 1 3 11 3 200. 200 2 22 2 3000 2000 1,73 2.10 .9,63 2.10 .9,63 n zi zi CE CE BD BD km i CE BD i i i CE CE BD BD N N N N N NL L L mm E F E F E F              EF 2EF EF 2EF 3EF EF A P BC DE a a a * Trạng thái “m” hệ chịu tác dụng của tải trọng P. Sử dụng phương pháp tách nút ta xác định được ứng lực trong các thanh như bảng bên dưới P A ABN ADN 045 BBCN BDN BAN 045 DDE N DAN DBN DCN 045 * Trạng thái “k” như hình vẽ. Tương tự sử dụng phương pháp tách nút ta xác định được ứng lực trong các thanh như bảng bên. * Chuyển vị thẳng đứng tại A: 1 7,16 y n zi zi A i i i i N N PaL E F EF    EF 2EF EF 2EF 3EF EF A 1kP  BC DE a a a 5 Nhân biểu đồ Vêrêxaghin + Trạng thái “m”: là trạng thái chịu tải + Trạng thái “k”: là trạng thái đơn vị bằng cách bỏ tải và đặt * Tạo hai trạng thái . Một lực Pk=1 tại vị trí cần tính chuyển vị thẳng . Một ngẫu lực Mk=1 tại vị trí cần tính chuyển vị xoay 1 1 i i n n i c i c km i ii i i i f f E F E J         NL z z C cf  NL " "m " "k * Chuyển vị tại một vị trí và theo một phương + : diện tích biểu đồ nội lực ở trạng thái “m” + : Cao độ của biểu đồ nội lực ở trạng thái “k” lấy tại trọng tâm biểu đồ nội lực ở trạng thái “m” cf 5 Nhân biểu đồ Vêrêxaghin * Những lưu ý khi thực hiện phép nhân biểu đồ A B P l Pl xM A B q l 2 2 ql xM A B l M M xM A B P l Pl xM A B l M M xM A B l M M xM A B l M M xM A Bl 2 / 8ql xM q A B M l M xM A B q l 2 2 ql xM A B l M M xM A B 1l  1 2 1 2/Pl l l l xM P 2l * Biểu đồ nội lực của một số dạng đơn giản B1l 1Pl xM P 2l B 1l 2Pl xM P 2l A C A C A B 1l  1 1 2/Ml l l xM 2l M  2 1 2/Ml l l B 1l xM 2l B 1l M xM 2l A C A C MM M * Biểu đồ nội lực của một số dạng đơn giản A B 1l  1 2 1 2/Pl l l l xM P 2l * Diện tích, trọng tâm của một số hình thường gặp C d l h C d l h C d l h l d C 1 2 1 3 hl d l       1 3 3 4 hl d l       2 3 3 8 hl d l       2 3 1 2 hl d l       * Cách chia diện tích của hình phức tạp xM 1M 2M 2M 1 2M M  A B P M A B M A B P xM 1M 2M 1M 2M  A B 1M A B A B 2M 1M 2 M xM 1M 2M 1M 2M   A B 1M A B A B 2M 1M 2 M * Cách chia diện tích của hình phức tạp 1M 2M 1M  2M  2 / 8ql l A B 1M A B 2M A Bl q A Bl q 1M 2M 1M 2M l 1M 2M   A B 2M A B 1M 2 / 8ql A Bl q A Bl q 1M 2M * Cách chia diện tích của hình phức tạp M l   2 / 8ql M A Bl qM A B M A Bl q 1M 2M l 1M 2M   A B 2M A B 1M 2 / 8ql A Bl qA Bl q1M 2M Ví dụ: Dầm AD có độ cứng chống uốn EJ=const. + Tính chuyển vị thẳng đứng của mặt cắt tại B, C. + Tính chuyển vị xoay của mặt cắt tại A, B, C, D. 3P a 2a A B C D P 3a A B C D 3a2aa P 2P Ví dụ: Dầm AD có độ cứng chống uốn EJ=const. + Tính chuyển vị thẳng đứng của mặt cắt tại A, C. + Tính chuyển vị xoay của mặt cắt tại A, B, C, D A B C D 3a2aa P 2P 2Pa Ví dụ: Dầm AC có độ cứng chống uốn EJ=const. + Tính chuyển vị thẳng đứng của mặt cắt tại C. + Tính chuyển vị xoay của mặt cắt tại A, B, C. P qa q 3a a A B C 3P a 2a A B C D P 3a * Phản lực liên kết tại A, D 50 . 3 .3 6 0 3 70 6 .5 3 .3 0 3 A D D D A A m P a P a Y a Y P m Y a P a P a Y P                     3P a 2a A B C D P 3a DYAY * Biểu đồ lực cắt, mômen uốn ở trạng thái “m” như hình b, c 3P a 2a A B C D P 3aAY DY 7 3 P 4 3 P 5 3 P yQ xM 7 3 Pa 5Pa 3a A C D 1kP  3a xM 1,5a 1 2 3 4 1c f 2c f 3c f 4cf )a )b )c )d )e 3a A C D 1kM  3a xM 1 1c f 2cf 3cf 4cf )f )g * Trạng thái “k” và biểu đồ mômen uốn khi tính chuyển vị thẳng đứng của mặt cắt tại C như hình d, e * Trạng thái “k” và biểu đồ mômen uốn khi tính chuyển vị xoay của mặt cắt tại A như hình f, g * Chuyển vị thẳng đứng của mặt cắt tại C 3P a 2a A B C D P 3aAY DY 7 3 P 4 3 P 5 3 P yQ xM 7 3 Pa 5Pa 3a A C D 1kP  3a xM 1,5a 1 2 3 4 1c f 2c f 3c f 4cf )a )b )c )d )e 3a A C D 1kM  3a xM 1 1c f 2cf 3cf 4cf )f )g 4 1 2 2 2 2 3 1 1 7 14 8 7 15. . . . 6 3 3 3 6 2 47 3 iC i c i f EJ a aPa Pa a Pa Pa a EJ Pa EJ               * Chuyển vị xoay của mặt cắt tại A 4 1 2 2 2 2 2 1 1 7 8 14 2 8 11 15 1. . . . 6 9 3 3 3 18 2 3 149 18 iA i c i f EJ Pa Pa Pa Pa EJ Pa EJ                 Pa 2a A B C 2a D M Pa * Biểu đồ mômen uốn ở trạng thái “m” như hình b * Trạng thái “k” và biểu đồ mômen uốn khi tính chuyển vị thẳng đứng của mặt cắt tại A như hình c, d * Trạng thái “k” và biểu đồ mômen uốn khi tính chuyển vị xoay của mặt cắt tại C như hình e, f Pa 2a A B C 2a D M Pa 0,5Pa Pa xM )a )b 1kP  a A B D )c xM a )d 1c f 2c f 3c f 4c f 1kP  a A B D )e xM 0,5)f 2c f 3c f 4c f 2a 2a C 1kM  0,5 1 2 3 4 * Chuyển vị thẳng đứng của mặt cắt tại A * Chuyển vị xoay của mặt cắt tại C 4 1 2 2 2 2 3 1 1 5 2. . 0,5 . 0,5 . 2 6 3 3 5 6 iA i c i f EJ a a aPa Pa a Pa Pa EJ Pa EJ               4 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1. 0,5 . 0,5 . 6 3 3 1 6 iC i c i f EJ Pa Pa Pa EJ Pa EJ              * Biểu đồ lực cắt, mômen uốn ở trạng thái “m” như hình b, c * Trạng thái “k” và biểu đồ mômen uốn khi tính chuyển vị thẳng đứng của mặt cắt tại C như hình d, e * Trạng thái “k” và biểu đồ mômen uốn khi tính chuyển vị xoay của mặt cắt tại C như hình f, g P qa2M qa q 3a a A B C * Chuyển vị thẳng đứng của mặt cắt tại C * Chuyển vị xoay của mặt cắt tại C P qa2M qa q 3a a A B C AY BY 5 6 qa 13 6 qa qa 2qa 297 /72qa yQ xM 2qa 1kP  3a a A B C xM a 1c f 2c f 3c f 4c f 1 2 3 4 a A B C xM 1 1c f 2c f 3c f 4c f 1kM  )a )b )c )d )e )f )g 4 1 3 3 3 3 4 1 1 3 9 3 2 2. . . 0,5 . 2 3 4 2 2 3 3 7 24 iC i c i f EJ a a a aqa qa qa qa EJ qa EJ                 4 1 3 3 3 3 3 1 1 3 1 9 1 3 2. . . 0,5 .1 2 3 4 2 2 3 1 8 iC i c i f EJ qa qa qa qa EJ qa EJ                 * Biểu đồ lực cắt, mômen uốn ở trạng thái “m” như hình b, c * Trạng thái “k” và biểu đồ mômen uốn khi tính chuyển vị thẳng đứng của mặt cắt tại D như hình d, e * Trạng thái “k” và biểu đồ mômen uốn khi tính chuyển vị xoay của mặt cắt tại B như hình f, g 2a a a A B C D P qa q 22M qa 2M qa * Chuyển vị thẳng đứng của mặt cắt tại D * Chuyển vị thẳng đứng của mặt cắt tại B 2a a a A B C D P qa q 22M qa 2M qa AY CY qa1 6 qa 17 6 qa 22qa25 3 qa yQ 21 3 qa 21 72 qa xM 2qa a A C D 1kP  a a A C D a2a 1kP  2 / 3a xM 1c f 2c f B 3c f 4cf 5cf 6cf 7cf 1c f 2cf 3cf 4cf 5cf )a )b )c )d )e )f xM 1 2 3 4 5 6 7 7 1 3 3 3 3 3 3 3 4 1 2 5 4 1 7 1 5. . . . 1 3 3 3 9 6 9 12 6 8 1 2. . . 9 2 3 2 49 24 iD i c i f EJ a a a aqa qa qa qa a a aEJ qa qa qa qa EJ                       7 1 3 3 3 3 3 4 1 2 5 4 1 4. . .1 3 3 3 9 6 9 1 2. . 12 3 9 23 36 iB i c i f EJ a a aqa qa qa a aEJ qa qa qa EJ                     * Biểu đồ mômen uốn, lực dọc ở trạng thái “m” như hình b, c * Trạng thái “k” và biểu đồ mômen uốn, lực dọc khi tính chuyển vị thẳng đứng của mặt cắt tại C như hình d, e, f P qa q 3a a A B C P qa q 3a a A B C 20,5qa 23,5qa 20,5qa xM qa zN 3a a A B C 1kP  a a xM 1 zN 1 1c f 2c f 2 3 3c f 4 4c f )a )b )c )d )e )f * Chuyển vị thẳng đứng của mặt cắt tại C 4 2 4 23 4 3 3 3 1 1 1 1 3 3 9 3 .1 3. . . 6,125 6 4 2 2i c C i c i f a qa qa qaf qa qa a qa a EJ EF EJ EF EJ EF                 