Bài giảng Sức bền vật liệu 1 - Nguyễn Quốc Bảo

uyển trục song song và công thӭc xoay trục cӫa momen quán tính. 5. Cách xác định hệ trục QTCTT. D. TRҲC NGHIӊM 1. Khả nĕng chịu lực cӫa thanh phụ thuộc vào: a. Diện tích mặt cắt ngang. b. Hình dạng cӫa mặt cắt ngang. c. Cả 2 câu trên đều đúng. 2. Công thӭc tính momen quán tính : Jo = Jx + Jy áp dụng cho: a. Hình tròn. b. Hình phẳng có trục đối xӭng. c. Hình phẳng bất kỳ. 3. Khi trục x là trục trung tâm cӫa diện tích F thì: a. Sx = 0. b. Sy = 0. c. Sx = 0 và Sy = 0. 4. Khi C là trọng tâm cӫa diện tích F thì: a. 1 trục bất kỳ qua C là trục đối xӭng b. 1 trục bất kỳ qua C là trục trung tâm. c. Cả 2 câu trên đều sai. 5. Một mặt cắt F có trục y là trục đối xӭng và trục x bất kỳ vuông góc với trục y thì: a. Oxy là hệ trục đối xӭng. b. Oxy là hệ trục quán tính chính. c. Oxy là hệ trục quán tính chính trung tâm. 6. Thӭ nguyên cӫa momen quán tính hình phẳng là: a. [chiều dài] 2 . b. [chiều dài] 3 . c. [chiều dài] 4 . 7. Một mặt cắt F có tất cả các trục song song theo 1 phѭơng nào đó thì: a. momen quán tính đối với trục trung tâm là nhỏ nhất. 75 b. momen quán tính đối với trục trung tâm là lớn nhất. c. Cả 2 câu trên đều sai. 8. Mặt cắt hình tròn, hình vuông và hình chữ nhật có cùng diện tích và momen quán tính cӫa nó là J tr , J v và J cn (giá trị lớn nhất) thì: a. J v < J cn < J tr . b. J tr < J v < J cn . c. J cn < J tr < J v . 9. Phát biểu nào sau đây là đúng: a. momen tĩnh, momen quán tính ly tâm có giá trị dѭơng, âm hoặc bằng 0. b. momen quán tính đối với 1 trục, momen quán tính cực có giá trị không âm. c. Cả 2 câu trên đều đúng. 10. Khi dӡi trục song song từ hệ trục chính Oxy thì: a. momen quán tính đối với trục x và y tĕng. b. momen quán tính đối với trục x và y giảm. c. Cả 2 câu trên đều sai. 76 Chѭѫng 4. THANH CHӎU UӔN PHҶNG A. MӨC TIểU - Cung cấp những kiến thͱc khi khảo sát thanh thẳng, chịu uốn phẳng đó là: nội lực, biểu đồ nội lực, ͱng suất và xỨt điều kiện bền cͯa thanh chịu uốn phẳng. - Xác định được nội lực cͯa thanh, vẽ được biểu đồ nội lực, giải được các bài toán, xỨt điều kiện bền cho hai trường hợp thanh chịu uốn thuần tuý và thanh chịu uốn ngang phẳng. B. NӜI DUNG 4.1. KHÁI NIӊM 4.1.1. Đӏnh nghƿa Thanh chịu uốn là thanh có trục bị uốn cong dѭới tác dụng cӫa ngoại lực. Thanh chịu uốn ngang phẳng là thanh chịu tác dụng cӫa hệ lực phẳng (gồm những lực vuông góc với trục thanh hay những ngẫu lực) nằm trong mặt phẳng chӭa trục thanh z và một trục quán tính chính trung tâm x hoặc y (mặt phẳng này gọi là mặt phẳng quán tính chính) (H. 4.1). Ngoại lực tác dụng có thể là lực tập trung P, lực phân bố q hoặc mômen (ngẫu lực) tập trung M. Mặt phẳng chӭa ngoại lực và trục thanh gọi là mặt phẳng tải trọng   . Hình 4.1 1 P1 q M1 x z y 77 Trong thực tế kỹ thuật thѭӡng gặp các trѭӡng hợp thanh chịu uốn nhѭ: trục bánh xe lửa, trục ô tô, dầm cầu, (H. 4.2) Hình 4.2 * Chú ý: 1. Thanh chͯ yếu chịu uốn gọi là dầm. 2. Trục cͯa dầm sau khi chịu uốn cong (mặt phẳng uốn hay mặt phẳng tác dụng) vẫn nằm trong một mặt phẳng quán tính chính thì gọi là uốn phẳng. Nếu không thì gọi là uốn xiên. 3. Bài toán chỉ giới hạn đối với các thanh trên mặt cắt ngang có ít nhất 1 trục đối xͱng. Trục đối xͱng này và trục thanh lập thành mặt phẳng đối xͱng. Tải trọng nằm trong mặt phẳng này. Do đó, mặt phẳng tải trọng trùng với mặt phẳng đối xͱng. 4.1.2. Phơn loҥi Uốn phẳng chia làm 2 loại theo nội lực: - Uốn thuần tuý phẳng. - Uốn ngang phẳng. 4.2. DҪM CHӎU UӔN THUҪN TUụ PHҶNG 4.2.1. Đӏnh nghƿa Một dầm gọi là uốn thuần tuý phẳng khi trên mặt cắt ngang cӫa dầm chỉ có 1 thành phần nội lực là mômen uốn xM . Hình 4.3 P P P Mo Mo MX NZ Qy MX + 1 1 78 Ví dụ nhѭ dầm chịu tải trọng nhѭ hình 4.3. 4.2.2. Ӭng suҩt trên mһt cҳt ngang 4.2.2.1. Thí nghiệm và quan sát Quan sát 1 dầm chịu uốn thuần tuý phẳng có mặt cắt ngang hình chữ nhật (H. 4.4a). - Trѭớc khi dầm chịu lực, ta vạch: những đѭӡng thẳng song song với trục lên mặt bên cӫa nó, tѭợng trѭng cho các thớ dọc; và những đѭӡng thẳng vuông góc với trục biểu thị các mặt cắt ngang. - Sau khi dầm bị uốn, ta nhận thấy: + Trục cӫa dầm bị cong đi. + Các vạch song song với trục bị cong đi nhѭng vẫn song song với trục. + Các vạch vuông góc với trục vẫn thẳng và vuông góc với trục dầm đư bị cong. + Các góc vuông tại giao điểm các vạch dọc và ngang vẫn đѭợc duy trì là vuông (H. 4.4b) Hình 4.4 Tiếp tục quan sát biến dạng cӫa dầm ta thấy các thớ dọc ӣ phía trên cӫa dầm bị co lại và các thớ ӣ phía dѭới bị dưn ra. Nhѭ vậy tồn tại thớ có chiều dài không đổi và gọi là thớ trung hoà. Các thớ trung hoà tạo thành 1 mặt gọi là mặt trung hoà. Giao tuyến cӫa mặt trung hoà với mặt cắt ngang gọi là đường trung hoà. Đѭӡng trung hoà chia mặt cắt ngang làm 2 miền: một miền gồm các thớ bị co và 1 miền gồm các thớ bị dưn. Trong trѭӡng hợp biến dạng bé ( )0 yx  , có thể coi mặt cắt ngang sau biến dạng vẫn là hình chữ nhật và đѭӡng trung hoà vẫn là 1 đѭӡng thẳng. O x a) b) y x O y 79 4.2.2.2. Các giả thuyết Từ quan sát trên, ta đѭa ra các giả thuyết để tính toán: 1. Giả thuyết về mặt cắt ngang phẳng (Giả thuyết Bernoully): Trong quá trình biến dạng mặt cắt ngang vẫn luôn luôn phẳng và vuông góc với trục thanh. 2. Giả thuyết về thớ dọc: Trong quá trình biến dạng các thớ dọc không tác dụng lên nhau.  Nhѭ vậy, biến dạng trong uốn thuần tuý là biến dạng dọc, trên mặt cắt xuất hiện ӭng suất pháp (vì các mặt cắt ngang phẳng và các thớ dọc nhѭ bị kéo/nén đúng tâm). 4.2.2.3. Thiết lập công thͱc a) Về biến dạng: Xét 1 đoạn dầm dz đѭợc cắt bӣi 2 mặt cắt 1-1 và 2-2 (H. 4.5). Sau biến dạng 2 mặt cắt hợp với nhau 1 góc d . Chiều dài lớp trung hoà vẫn O 1 O 2 = dz. Gọi  là bán kính cong cӫa thớ trung hoà, ta có: dz =  d. . Hình 4.5 Chiều dài cӫa thớ 21CC trѭớc khi biến dạng: dz =  d. . Chiều dài cӫa thớ 21CC sau khi biến dạng:  dy)(  . Biến dạng dài tѭơng đối cӫa 1 thớ 21CC nào đó cách thớ trung hoà 1 khoảng y là:  ymnmnnmz   1 2 y O1 1 2 dz a) y 1' 2' 2' C2' MX Thӟ trung hòa O O2' C1 C2 O2 C1 MX O1' Thӟ trung hòa b) d  80 Vậy:  yz  (a) b) Về ͱng suất: Xét 1 mặt cắt ngang nào đó và chọn hệ trục toạ độ Oxyz, với Ox là đѭӡng trung hoà, Oy là trục đối xӭng và Oz song song trục thanh. Tách 1 phân tố tại 1 điểm C trên mặt cắt cách trục trung hoà 1 đoạn y bằng các mặt phẳng song song với các trục toạ độ (H. 4.6). Trên mặt cắt chỉ tồn tại thành phần ӭng suất pháp  . Mà 0 yx  . Vậy trên mặt cắt ngang chỉ tồn tại z nên trạng thái ӭng suất cӫa phân tố trên là TTѬS đơn. Hình 4.6 Theo định luật Hooke ta có: z = E. z (b) Trong đó: - z biến dạng tѭơng đối theo phѭơng z. - z ӭng suất pháp theo phѭơng z - E môdun đàn hồi khi kéo (nén). Thế (a) vào (b) ta có:  .z E y  (c) Vậy: Ӭng suất z tỉ lệ bậc nhất với khoảng cách đến thớ trung hoà. c) Liên hệ giữa ͱng suất pháp z với lực dọc zN Ta có: . . 0.z z F F F E EN dF ydF ydF        z MX O x y C dF x dFZ y C Z Z 81 0x F ydF S   Do đó: trục trung hòa x đi qua trọng tâm cӫa mặt cắt ngang. Vậy: trục y là trục đối xӭng, thì hệ trục Oxy chính là hệ trục quán tính chính trung tâm. d) Liên hệ giữa ͱng suất pháp z với momen uốn nội lực M x Xét mặt cắt ngang có momen uốn M x . Lấy vi phân diện tích dF quanh C, ta có mômen uốn nội lực là:   FFF zx dFy EdFyEdFyM ..... 22  Đặt: x F JdFy  .2 : gọi là momen quán tính cӫa mặt cắt đối với trục trung hoà x.  x x xx J MEJEM   . Từ (c)  y E z  Do đó: yJ M z x x  Vậy: y J M x x z . (4.1) * Chú ý: 1. Khi y = y max , đặt: Wxy Jx  max : gọi là mômen chống uốn cͯa mặt cắt ngang và có thͱ nguyên là [chiều dài] 3  x maxmax W . x x x My J M  (4.2) 2. Ta có thể dùng công thͱc kỹ thuật sau để tính ͱng suất: y J M x x z . (4.3) Trong đó: + Dấu “+” khi momen gây kỨo M x tại vị trí cần tính ͱng suất. 82 + Dấu “-“ khi momen gây nỨn M x tại vị trí cần tính ͱng suất. 4.2.2.4. Biểu đồ ͱng suất pháp Biểu đồ ӭng suất pháp là đồ thị biểu diễn giá trị các ӭng suất tại các điểm trên mặt cắt ngang - Những điểm trên lớp thớ trung hoà: y = 0  0z . - Những điểm trên lớp thớ xa trục trung hoà nhất maxyy   max z . - Những điểm có cùng khoảng cách y (cùng 1 lớp) sẽ có cùng giá trị ӭng suất. Mặt cắt ngang có 2 trục đối xӭng (hình tròn, hình chữ nhật, ) có biểu đồ phân bố ӭng suất nhѭ hình 4.7. Hình 4.7 Mặt cắt ngang có 1 trục đối xӭng (hình I, T, U, ) có biểu đồ phân bố ӭng suất nhѭ hình 4.8. Hình 4.8 O x y A B max b a + - min Z O x y x O - + y min max 83 * Chú ý: Qua biểu đồ ͱng suất pháp ta thấy trên mặt cắt ngang được chia làm 2 miền: một miền chịu kỨo ( 0)z  và miền kia chịu nỨn ( 0)z  . 4.2.2.5. Ͱng suất pháp cực trị Ӭng suất cực trị khi kéo và nén ӣ tại những điểm xa đѭӡng trung hòa nhất. Gọi: ax ax,k nm my y là khoảng cách cӫa điểm chịu kéo và chịu nén ӣ xa đѭӡng trung hòa nhất. Do đó: - Ӭng suất kéo lớn nhất: ax max max k x . W x xk k m x M M y J     (4.4) - Ӭng suất nén lớn nhất: min max max n x . W x xn n x M M y J     (4.5) Với: ax Wk xx k m J y  ; ax Wn xx n m J y  4.2.3. Mômen chӕng uӕn W x cӫa mӝt sӕ mһt cҳt ngang đѫn giҧn 4.2.3.1. Mặt cắt hình chữ nhật Với: 2maxmax hyy nk  , với: 3 12x bh J = , 12 3hbJ y  Nên: 6 , 6 W 22 x hbWbh y  (4.6) 4.2.3.2. Mặt cắt hình vuông Với: 2maxmax ayy nk  , với: 12 4aJ x  nên: 6 W 3 x a (4.7) 4.2.3.3. Mặt cắt hình vành khĕn Với: 2maxmax Dyy nk  , với:  44 1 64   DJ x và Dd nên:    4343x 11,0132W   DD (4.8) 4.2.3.4. Mặt cắt hình tròn Trong (4.12) với d = 0   = 0. 84 nên: 3 3 x 1,032 W DD   (4.9) * Chú ý: Momen chống uốn cͯa 1 số thỨp định hình (chữ I, L, T, ) được cho sẵn trong các bảng tra ở các Sổ tay kỹ thuật. 4.2.4. Hình dáng hӧp lỦ cӫa mһt cҳt ngang - Hình dáng hợp lý cӫa mặt cắt ngang là hình dạng sao cho khả nĕng chống uốn cӫa thanh là lớn nhất đồng thӡi ít tốn vật liệu nhất. - Điều kiện về tỉ số ӭng suất: Ta có:  kk x x y J M   maxmax .  nn x x y J M   maxmin . Chia 2 vế cӫa các đẳng thӭc trên cho nhau ta đѭợc:   maxmaxk kn nyy    (4.10) + Đối với vật liệu dòn: max max1 k ny y    * Vậy: Mặt cắt ngang hợp lý có hình dạng sao cho đѭӡng trung hoà chia chiều cao cӫa mặt cắt theo tỉ số ӣ (4.10). VD nhѭ mặt cắt hình chữ T, chữ L, (H. 4.9) Hình 4.9 + Đối với vật liệu dẻo: 1  max maxk ny y  * Vậy: Mặt cắt ngang hợp lý có hình dạng sao cho đѭӡng trung hoà chia đều chiều cao cӫa mặt cắt. O x y x O - + y maxn maxk 85 Ví dụ nhѭ mặt cắt hình chữ I, chữ C, (H. 4.10). Hình 4.10 - Qua biểu đồ phân bố ӭng suất ta nhận thấy: Ӣ những điểm gần trục trung hoà trị số ӭng suất pháp nhỏ và càng xa trục trung hoà có ӭng suất càng lớn; vì vậy để tiết kiệm vật liệu, mặt cắt ngang nên có hình dạng sao cho phần lớn vật liệu phân bố xa trục trung hoà. - Đối với mặt cắt ngang là hình tròn để tĕng khả nĕng chống uốn ta giảm y max (H. 4.11) vì )( 2yfJ x  và khi giảm y một ít thì J x giảm nhanh  W x tĕng  tĕng khả nĕng chống uốn. Hình 4.11 4.2.5. Tính toán điӅu kiӋn bӅn 4.2.5.1. Điều kiện bền a) Đối với vật liệu dẻo: Vì:        nk , nên:    x x z W M maxmaxmax (4.11) b) Đối với vật liệu dòn: O x y x O - + y maxk maxn  x y Y 86 Vì:    nk   , nên có 2 điều kiện bền:      nn kk   minmax maxmax (4.12) 4.2.5.2. Ba bài toán cơ bản Từ điều kiện bền ta cũng có 3 dạng bài toán cơ bản: 1. Bài toán kiểm tra bền (bài toán thẩm kế): Kiểm tra theo (4.11) hoặc (4.12). * Chú ý: Trường hợp max lớn hơn không nhiều so với   thì cần kiểm tra sai số ͱng suất tương đối: Nếu:    100.% max   < 5% thì dầm vẫn bền. 2. Bài toán chọn kích thước mặt cắt ngang (bài toán thiết kế): Từ (4.11) hoặc (4.12), ta suy ra:   xMmaxWx  (4.13) Từ đó xác định hoặc chọn kích thѭớc mặt cắt. 3. Bài toán chọn tải trọng cho phỨp (bài toán sửa chữa, nâng cấp): Từ (4.11) hoặc (4.12), ta suy ra:  .WxxM (4.14) Từ đó suy ra [P]. 4.2.6. Các ví dө * Ví dụ 4.1: Dầm có mặt cắt chữ T và chịu mômen uốn xM = 55 kNm nhѭ hình vẽ (H. 4.12). a) Xác định momen quán tính chính trung tâm cӫa mặt cắt. b) Kiểm tra điều kiện bền cӫa dầm. Vật liệu có:  k = 1 kN/cm2,  n = 2 kN/cm2. Giải: a) Xác định yx JJ , . - Chọn hệ trục ban đầu nhѭ hình vẽ. - Chia hình làm 2 phần. 87 - Xác định tọa độ trọng tâm và diện tích từng phần cmxk , cmyk , 2 , cmFk I 0 5 30 II 0 25 30 - Trọng tâm mặt cắt: 0Cx . cmyC 1560 750150  - Momen quán tính chính trung tâm cӫa mặt cắt: 42 3 2 3 85000300.)1525( 12 3010300.)155( 12 1030 cm xxJ x  4 33 25000 12 3010 12 1030 cm xxJ y  Vây: 485000cmJ x  ; 425000cmJ y  Hình 4.12 b) Kiểm tra điều kiện bền cӫa dầm. Dầm chịu lực nhѭ hình vẽ. Ta có điều kiện bền:         nn x xn kk x xk W M W M   max max Trong đó : kNcmkNmMM ox 550055  10 10 30 30 z y x Mx 88 kymax = 15 cm. nymax = 25 cm. Do đó: W kx = 3 max 5667 15 000.85 cm y J k x  W kn = 3 max 3400 25 000.85 cm y J n x  Ta có đѭợc: 2 max /97,05667 5500 cmkN W M k x xk  2 max /62,13400 5500 cmkN W M n x xn  Kết luận: Dầm đӫ bền. * Ví dụ 4.2: Cho 1 dầm chịu lực nhѭ hình vẽ (H. 4.13). Dầm làm bằng 2 thép chữ I ghép song song và M 0 = 60 kNm,   = 16 kN/cm2. Hưy chọn số hiệu thép chữ I để thỏa mưn điều kiện bền. Giải: Hình 4.13 Muốn chọn số hiệu thép chữ I ta phải tìm momen chống uốn W x . Ta thấy dầm chịu uốn thuần túy phẳng, trên mặt cắt ngang cӫa dầm có 1 mômen uốn Mx = 60 kNm = 6000 kN.cm. Từ điều kiện bền ta suy ra:    3375166000 cmMW xx   . Mo Mo x a) Mo b) + MX 89 Tra bảng thép hình, đối với thép I No.20 có W x = 184 cm3  2 I No. 20 có 2.W x = 2 x 184 cm 3 = 368 cm 3 . Kiểm tra lại điều kiện bền ta có:   22max /16/3,163686000 cmkNcmkNWMxx   . Sai số: 100 16 163,16 x  = 2% < 5% . Kết luận: Vậy dầm vẫn đӫ bền  Chọn 2 thanh I số 20 * Ví dụ 4.3: Một dầm bằng gang có kích thѭớc và hình dáng mặt cắt ngang nhѭ hình vẽ (H. 4.14). a) Xác định trị số mômen uốn cho phép (chiều nhѭ hình vẽ). Biết gang có  k = 15 MN/m2 . b) Với trị số mômen uốn cho phép đó thì ӭng suất nén lớn nhất trong dầm là bao nhiêu ? Biết J x = 25470 cm4. Giải: Ta có: J x = 25470 cm 4 = 2547 x10 7 m 4 . 108max ky mm = 108 x 10 3 m nymax 192 mm = 192 x 10 3 m a) Xác định  xM : Hình 4.14 Từ điều kiện:  kk x x y J M max. y x z MX 10 8 19 2 90    mNxmMNx x x x y JM k x kx .1054,3.1054,310108 102547015. 423 8 max    b) Ӭng suất nén lớn nhất trong dầm: Tѭơng tự ta có: 23 7 2 maxmaxmin /2610192.102547 1054,3 . mMNx x xy J M n x xn   Kết quả:   mNM x .10.54,3 4 ; 2min /26 mMN 4.3. DҪM CHӎU UӔN NGANG PHҶNG 4.3.1. Đӏnh nghƿa Hình 4.15 Một dầm gọi là uốn ngang phẳng khi trên mặt cắt ngang cӫa dầm có 2 thành phần nội lực là momen uốn xM và lực cắt yQ . Ví dụ nhѭ dầm chịu tải trọng nhѭ Hình 4.15. 4.3.2. Ӭng suҩt trên mһt cҳt ngang 4.3.2.1. Thí nghiệm và quan sát biến dạng Làm thí nghiệm với thanh nhѭ dầm chịu uốn thuần túy phẳng nhѭng có liên kết nhѭ hình vẽ (H. 4.16). Sau khi biến dạng, các thớ dọc cũng cong theo trục thanh, có thớ co và thớ dưn; các góc vuông không còn vuông góc nữa. Vậy: biến dạng trong uốn ngang phẳng vừa có biến dạng dài vừa có biến dạng góc. Do đó trên mặt cắt mặt cắt cӫa dầm không những có ӭng suất pháp do momen uốn mà còn có ӭng suất tiếp do lực cắt gây ra. P - - MX QY 91 Hình 4.16 4.3.2.2. Ͱng suất pháp Ӭng suất pháp trên mặt cắt ngang vẫn đѭợc tính theo công thӭc (4.1): y J M x x z . 4.3.2.3. Ͱng suất tiếp Trong tính toán ngѭӡi ta thѭӡng bỏ qua ảnh hѭӣng cӫa ӭng suất tiếp do lực cắt. Khi cần kể đến ta sử dụng công thӭc Juravski: c c x x y zy b S J Q . (4.15) Trong đó: - zy là ӭng suất tiếp có phѭơng cӫa lực cắt Q y . - J x là momen quán tính cӫa mặt cắt ngang đối với trục trung hoà x. - b c là chiều rộng cӫa mặt cắt tại điểm tính ӭng suất tiếp. -  cF c x dFyS . * là momen tĩnh cӫa phần diện tích bị cắt đối với trục trung hoà x; ta cũng có thể tính: c C c x FyS . F - F Cy là khoảng cách từ trọng tâm C cӫa diện tích cắt cF đến trục trung hoà x. * Chú ý: Ͱng suất tiếp zy cùng chiều với lực cắt yQ . P P a) b) z yz zy z 92 4.3.2.4. Phân bố ͱng suất tiếp trên một số mặt cắt đơn giản a) Hình chữ nhật: Hình chữ nhật có kích thѭớc b x h (H. 4.17a). Ta có: x C C xy zy Jb SQ . . Trong đó: cCcx FyS .F F 1 1( ) ( ). 2 2 2 2 .( ) 2 C c h h y y y y h F b y = + - = + = - 2 2 3 ( ). 2 4 12 C x x b hS y bh J = - =    2 241 2 3 h y bh Qy zy (4.16) Biểu đồ phân bố ӭng suất tiếp trên mặt cắt ngang biến thiên theo qui luật parabol (bậc 2) dọc theo chiêù cao h cӫa mặt cắt ngang (H. 4.17b). - Tại 2 mép trên và dѭới cӫa mặt cắt   2hy có: xy = 0. - Tại các điểm trên trục trung hoà (y = 0) ӭng suất tiếp đạt gía trị lớn nhất : F Q bh Q yy . 2 3 . 2 3 max  (4.17) b) Hình tròn: Hình tròn có bán kính R (H. 4.18a). Hình 4.17 Hình 4.18 x O P y O y x F C y max max zy 93 Ta cũng tính đѭợc :  224 . . . 3 4 yR R Qy zy   (4.18) Biểu đồ phân bố ӭng suất tiếp trên mặt cắt ngang nhѭ hình 4.18b. Tại các điểm trên trục trung hoà ӭng suất tiếp đạt gía trị lớn nhất : 2max . . 3 4 . 3 4 R Q F Q yy   (4.19) c. Hình chữ I Chữ I nhѭ hình 4.19. - Ӭng suất tiếp trên phần thân: Với: dbc  22 . 2dySydySS xx c x  .  d ydS J Q x x y zy   2.2. (4.20) Ta thấy biểu đồ zy có dạng đѭӡng cong bậc 2. Tại vị trí trục trung hòa (y = 0) : d S J Q x x y . max max  . (4.21) - Tại vị trí điểm K tiếp giáp giữa phần thân và đế (y = th  2 ), ta có : Hình 4.19 + Ӭng suất pháp:   thJMxzKz 2. (4.22) h b y t d O K x 94 + Ӭng suất tiếp: d t hdS J Q x x yK zy    2 22 . (4.23) 4.3.3. Tính toán điӅu kiӋn bӅn 4.3.3.1. Điều kiện bền Dựa vào biểu đồ phân bố ӭng suất pháp và ӭng suất tiếp dọc theo chiều cao mặt cắt, ta thấy có 3 loại trạng thái ӭng suất (H. 4.20): a) Trạng thái ͱng suất đơn: Tại mép A và B (điểm xa trung hoà nhất), xét tại mặt cắt có maxxM và áp dụng thuyết bền ӭng suất pháp cực đại. Điều kiện bền là các biểu thӭc (4.11) hoặc (4.12). b) Trạng thái trượt thuần tuý: Tại điểm 0 (trên trục trung hoà), xét tại mặt cắt có maxyQ .   max Để tính   ta dựa vào các thuyết bền. - Đối với vật liệu dẻo: + Thuyết bền ӭng suất tiếp lớn nhất:     2   (4.24) + Thuyết bền thế nĕng biến đổi hình dạng:     3   (4.25) - Đối với vật liệu dòn: Dùng thuyết bền Mohr.      1 (4.26) Với :   nk  c) Trạng thái ͱng suất phẳng (đặc biệt): 95 Tại điểm C (ӣ giữa O và A, B) có cả ӭng suất tiếp và ӭng suất pháp, ta xét tại mặt cắt có xM và yQ cùng lớn, chỉ cần thiết kiểm tra tại những nơi nguy hiểm nhѭ chỗ tiếp giáp giữa thân và đế cӫa mặt cắt chữ I, chữ C, ... Để kiểm tra bền ta phải xét độ bền cӫa trạng thái ӭng suất tѭơng đѭơng, điều kiện là :   maxtd (4.27) Để tính ӭng suất tѭơng đѭơng ta dựa vào các thuyết bền: + Thuyết bền ӭng suất tiếp lớn nhất: 22 3 4 zyzt   (4.28) + Thuyết bền thế nĕng biến đổi hình dạng: 22 4 3 zyzt   (4.29) Hình 4.20 * Chú ý: Thực tế trị số cͯa ͱng suất tiếp cͯa dầm chịu uốn thường rất bỨ so với trị số ͱng suất pháp nên nó thường được bỏ qua. Do đó điều kiện bền cơ bản là các biểu thͱc (4.15) và (4.16). 4.3.3.2. Ba bài toán cơ bản Ta cũng có 3 bài toán cơ bản: a) Bài toán kiểm tra bền. Kiểm tra điều kiện bền nhѭ ӣ tiểu mục 4.3.3.1. b) Bài toán chọn kích thước mặt cắt ngang. Ta tiến hành nhѭ sau: O B A A O B min max zy   96 - Dựa vào điều kiện bền cӫa phân tố ӣ trạng thái ӭng suất đơn để chọn kích thѭớc sơ bộ cӫa mặt cắt ngang. - Sau đó, kiểm tra bền đối với các phân tố ӣ trạng thái ӭng suất trѭợt thuần túy và trạng thái ӭng suất phẳng. Nếu không đạt thì ta thay đổi kích thѭớc mặt cắt ngang. c) Bài toán xác định tải trọng cho phỨp. Ta có 2 cách để giải quyết: - Cách 1: Ta tiến hành nhѭ sau: + Dựa vào điều kiện bền cӫa phân tố ӣ trạng thái ӭng suất đơn ta xác định sơ bộ tải trọng cho phép. + Sau đó, kiểm tra bền đối với các phân tố ӣ trạng thái ӭng suất trѭợt thuần túy và trạng thái ӭng suất phẳng. - Cách 2: Ta tiến hành nhѭ sau: + Từ điều kiện bền cӫa các phân tố ӣ 3 TTѬS ta xác định đѭợc các tải trọng cho phép cӫa các trạng thái: [P] 1 , [P] 2 , [P] 3 . + Chọn [P] = min ([P] 1 , [P] 2 , [P] 3 ). 4.3.4. Các ví dө * Ví dụ 4.4: Trục bánh xe lửa chịu lực nhѭ hình vẽ (H. 4.21a). Biết: P = 63 kN; a = 22,8 cm. Vật liệu có giới hạn chảy: 2/26 cmkNch  . Lấy hệ số an toàn n = 6,3. Xác định đѭӡng kính cӫa trục ӣ giữa 2 bánh xe. Giải: Do tính chất đối xӭng nên: kNPPPNN BA 632  Ta có biểu đồ lực cắt và momen uốn nhѭ hình vẽ. Đoạn nằm giữa 2 bánh chịu uốn thuần tuý phẳng. Giá trị momen uốn : M x = P.a = 63x22,8 = 1436,4 kNcm 97 Hình 4.21 Ta có điều kiện :   xx MW  Trong đó : - Momen chống uốn cӫa mặt cắt ngang tròn là : 3xW 0,1D= . - Trị số ӭng suất cho phép:   n ch  .  n MD ch x31,0  33 261,0 3,64,1436 .1,0 . x xnMD ch x   = 15,2 cm Vậy: D = 152 mm * Ví dụ 4.5: Cho dầm chữ I số hiệu 24 chịu tải trọng nhѭ hình vẽ (H. 4.22). Biết 1P = 30 kN, 2P = 100 kN, a = 1 m, b = 1,5 m,   = 16 2/cmkN . Kiểm tra điều kiện bền cӫa dầm. Giải: Do tính chất đối xӭng nên: P P P P P P 63 kN 1436,4 kNcm - + QY a) b) c) d) - 63 kN MX a a + 98 kNNN BA 802 3010030  . Tra bảng thép hình I số hiệu 24 có: h = 240 mm, b = 115 mm, d = 5,6 mm, t = 9,5 mm, 43460cmJ x  , 3289cmWx  , 2163cmSx  . Ta có biểu đồ lực cắt và momen uốn nhѭ hình vẽ. Dầm chịu uốn ngang phẳng, kiểm tra bền ta phải kiểm tra 3 loại phân tố TTѬS: Hình 4.22 - Phân tố ӣ TTѬS đơn: tại mặt cắt có 45max zM kN.m = 4500 kN.cm   22maxmax /16/57,152894500 cmkNcmkNWM xz   . - Phân tố ӣ TTѬS trѭợt thuần túy: tại mặt cắt có maxyQ = 50 kN. c c x x y b S J Q . max max  Mà: 2163cmSS xcx  . + _ + _ _ P1 P1 P2 a b a A B NA 30 50 30 NB Qy 30 45 50 b Mx kN kNm 30 99 dbc  = 5,6 mm = 0,56 cm. 43460cmJ x  Do đó:     22max /82162/21,456,0163.346050 cmkNcmkN   . - Phân tố ӣ TTѬS phẳng: tại mặt cắt có maxzM = 4500 kN.cm và maxyQ = 50 kN. Hình 4.23 Ta kiểm tra tại điểm K (H. 4.23) theo ӭng suất tѭơng đѭơng: 22 4 zyztd   Trong đó: 2max /37,1495,0 2 24 . 3460 4500 2 . cmkNth J M x zK z    . 291,12595,05,11 2 95,024 .. 2 cmxxtbthS cx  .  2/25,3 56,0 91,125 . 3460 50 cmkNKzy  Do đó:       2222 /16/77,1525,3437,14 cmkNcmkNxKtd   . Vậy dầm thỏa mưn điều kiện bền. * Ví dụ 4.6: Cho dầm tròn chịu tải trọng nhѭ hình vẽ (H. 4.24). Biết : P = 5 kN, a = 40 cm, b = 60 cm,   = 16 2/cmkN . Bỏ qua trọng lѭợng bản thân dầm. a) Vẽ biểu đồ nội lực b) Chọn đѭӡng kính cӫa dầm. Giải: h b y t d O K x 100 a) Vẽ biểu đồ nội lực: - Xác định phản lực tại A và B: Hệ lực tác dụng lên dầm gồm: tải trọng P và các phản lực đặt 2 gối đỡ A và B. Từ phѭơng trình cân bằng tĩnh học ta có:    0. 0.   bPbaNm baNaPm AB BA  kNx ba bPNA 36040 605.  . kNx ba aPNB 26040 405.  . - Chia đoạn và xác định trị số các nội lực: Ta chia dầm làm 2 đoạn: AC và CB. Muốn xác định trị số cӫa các nội lực trên từng đoạn ta dùng phѭơng pháp mặt cắt (H. 4.24b). + Đoạn AC: Thực hiện mặt cắt 1-1 (0  z  40), khảo sát sự cân bằng cӫa bên trái, ta phải đặt vào mặt cắt những nội lực: yQ và M x . cmkNzzNMzNMm kNNQNQY AxAx AyAy ..3.0. 30   + Đoạn CB: Mặt cắt 2-2 (0  z 60), khảo sát sự cân bằng cӫa phần bên phải, ta có: cmkNzzNMm kNNQY Bx By .2.0 20   - Vẽ biểu đồ nội lực: Ta có biểu đồ nội lực nhѭ hình vẽ (H. 4.24d,e). M x đạt giá trị lớn nhất cmkNM x .120max  tại vị trí yQ đổi dấu. b) Xác định đѭӡng kính cӫa dầm: Qua biểu đồ, ta nhận thấy dầm AB chịu uốn ngang phẳng, do đó ta xác định đѭӡng kính cӫa dầm theo điều kiện bền cӫa ӭng suất pháp và kiểm tra lại điều kiện bền theo ӭng suất tiếp. - Ta có điều kiện bền theo ӭng suất pháp: 101        3 3 x x 1,0 1,0W W   x xxx MD MDMM    cm x D 2,4 161,0 120 3  . Hình 4.24 - Kiểm tra lại độ bền cӫa dầm theo điều kiện ӭng suất tiếp lớn nhất:    F . 3 4 max yQ Trong đó: kNNQ Ay 3max  ;   222 84,13 4 2,414,3 4 cm xDF       2/8 2 16 2 cmkN  A B C NA z Mx Qy Mx Qy NB z 3 2 120 P b a NB + _ + Qy Mx kN kNcm a) b) c) d) e) 102    22max /8/3,084,13334 cmkNcmkNx   : Dầm đӫ bền Vậy: đѭӡng kính cӫa dầm D = 4,2 cm = 42 mm. * Ví dụ 4.7: Cho dầm chữ I số hiệu 20 chịu tải trọng nhѭ hình vẽ (H. 4.25). Biết a = 1 m,   = 16 2/cmkN . Bỏ qua trọng lѭợng bản thân dầm. a) Vẽ biểu đồ nội lực theo P. b) Xác định tải trọng cho phép  P . Giải: a) Vẽ biểu đồ nội lực: Hình 4.25 - Xác định phản lực liên kết tại A và B:  Bm = N A .4a – P.3a – 2P.a = 0  PNA 75 . PPPNB .4 7 4 53  . - Phân đoạn thanh: n = 3. - Xác định nội lực trên từng đoạn thanh: 2P A B P + _ + NA NB Qy Mx a 2a a P 4 5 4 P P 4 7 aP. 4 5 aP. 4 7 C D a) b) c) 103 + Đoạn AC. + Đoạn CD. + Đoạn DB. - Vẽ biểu đồ: ta có biểu đồ nội lực nhѭ hình vẽ (H. 4.25b,c). b) Xác định tải trọng cho phép  P : Tra bảng thép I số hiệu 20 có: 3184 cmWx  , 41840cmJ x  , h = 200 mm = 20 cm, t = 8,4 mm = 0,84 cm, b = 100 mm = 10 cm, d = 5,2 mm = 0,52 cm. - Điều kiện bền theo ӭng suất pháp cực đại:   x x W M max Với: aPM x ..4 7 max  .    xW aP 4 ..7    1007 184164. . 7 4 x xx a WP   = 16,82 kN Vậy:  P = 16,82 kN. - Kiểm tra TTѬS trѭợt thuần túy: Kiểm tra tại mặt cắt D có 82,16 4 7 xQy  = 29,435 kN. Ta có: c c x x yD zy b S J Q . Trong đó: 3104cmSS x c x  . dbc  = 0,52 cm. Do đó:     22max /82162/2,352,0104.1840435,29 cmkNcmkN   . - Phân tố ӣ TTѬS phẳng: Kiểm tra tại mặt cắt có 10082,16 4 7 .. 4 7 max xxaPM z  = 2943,5 kN.cm và maxyQ = 29,435 kN. Ta kiểm tra tại điểm K (H. 4.23) theo ӭng suất tѭơng đѭơng: 22 4 zyztd   104 2max /64,1484,0 2 20 . 1840 5,2943 2 . cmkNth J M x zK z    247,8084,010 2 84,020 .. 2 cmxxtbthS cx  . 2/48,2 52,0 47,80 . 1840 475,29 cmkNKzy  Do đó:       2222 /16/47,1548,2465,14 cmkNcmkNxKtd   . Kết luận : Dầm thỏa mưn điều kiện bền. C. CÂU HӒI ỌN TҰP 1. Thế nào là mặt phẳng tải trọng, đѭӡng tải trọng? 2. Thế nào là uốn thuần tuý thẳng, uốn ngang phẳng? 3. Thiết lập công thӭc tính ӭng suất pháp trên mặt cắt ngang cho thanh chịu uốn thuần tuý phẳng? Qui ѭớc dấu cӫa ӭng suất? 4. Hình dáng hợp lý cӫa mặt cắt ngang khi uốn thuần tuý phẳng là gì? 5. Điều kiện bền cӫa thanh khi uốn thuần tuý phẳng đối với vật liệu dẻo, dòn? 6. Điều kiện bền cӫa thanh khi uốn ngang phẳng đối với vật liệu dẻo, dòn? D. TRҲC NGHIӊM 1. Hình tròn, hình vuông và hình chữ nhật có cùng diện tích, với các momen chống uốn là Wt, Wv và Wcn (lấy giá trị lớn nhất) thì: a. Wt < Wv < Wcn. b. Wv < Wt < Wcn. c. Wt < Wcn < Wv. 2. Phần tử biên cӫa dầm chịu uốn ngang đѭợc kiểm ra bền theo: a. Ӭng suất pháp. b. Ӭng suất tiếp. c. Theo thuyết bền. 3. Phần tử trên thớ trung hoà cӫa dầm chịu uốn ngang đѭợc kiểm ra bền theo: a. Ӭng suất pháp. b. Ӭng suất tiếp. c. Theo thuyết bền. 4. Phần tử bất kỳ cӫa dầm chịu uốn ngang đѭợc kiểm ra bền theo: 105 a. Ӭng suất pháp. b. Ӭng suất tiếp. c. Theo thuyết bền. 5. Phần tử biên cӫa dầm chịu uốn thuần tuý đѭợc kiểm ra bền theo: a. Ӭng suất pháp. b. Ӭng suất tiếp. c. Theo thuyết bền. 106 Chѭѫng 5. THANH TRọN CHӎU XOҲN THUҪN TỎY A. MӨC TIểU - Cung cấp các kiến thͱc về nội lực, biểu đồ nội lực, ͱng suất, biến dạng, các điều kiện bền và cͱng cͯa thanh tròn chịu xoắn thuần tuý. - Giải quyết được các bài toán liên quan đến thanh chịu xoắn thuần tuý như: xác định nội lực, vẽ được biểu đồ nội lực, đánh giá được giá trị cͯa nội lực trên các mặt cắt cͯa thanh, xác định được ͱng suất và biến dạng, bài toán về điều kiện bền và cͱng. B. NӜI DUNG 5.1. KHÁI NIӊM 5.1.1. Đӏnh nghƿa Một thanh đѭợc gọi là chịu xoắn thuần túy khi trên mặt cắt ngang cӫa thanh chỉ có một thành phần nội lực là mômen xoắn zM . Thanh chịu xoắn đѭợc gọi là trục. VD: Các chi tiết chịu xoắn nhѭ: trục động cơ, trục hộp số, thanh chịu lực không gian, lò xo, ... Hình 5.1 Hình 5.2 * Chú ý: 1. Ngoại lực là cho thanh chịu xoắn có thể là những momen tập trung M hoặc những momen phân bố m(z) nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục thanh. Những momen này được gọi là momen xoắn ngoại lực. 2. Dấu cͯa mômen xoắn nội lực được qui ước như sau (H. 5.2): 0ZM MZ x z a) b) 0ZM y 107 - Dấu “+” (M z > 0): Khi ta nhìn vào mặt cắt ta thấy mômen xoắn nội lực quay cùng chiều kim đồng hồ. - Dấu “-“ (M z < 0): Khi ta nhìn vào mặt cắt ta thấy mômen xoắn nội lực quay ngược chiều kim đồng hồ. 5.1.2. BiӇu đồ nӝi lӵc Biểu đồ nội lực là biểu đồ momen xoắn nội lực, ӣ đó biểu diễn trị số M z cӫa các mặt cắt dọc theo trục thanh. Biểu đồ nội lực cӫa zM đѭợc vẽ nhѭ các thành phần nội lực khác, nghĩa là dùng phương pháp mặt cắt biến thiên và xét sự cân bằng cӫa một phần nào đó và viết các phuơng trình cân bằng tĩnh học, rồi tìm giá trị nội lực. 5.1.3. Quan hệ giữa momen xoắn ngoại lực M với công suất N và số vòng quay n cͯa trục Ta có: Công A do momen M (Nm) thực hiện khi trục quay 1 góc  (radian) trong thời gian t là: .MA  Công suất:  .. M t M t AN   M = N Trong đó: - M là mômen xoắn ngoại lực (Nm). - N là công suất (N.m/s) -  là vận tốc góc, 30 n (rad/s) - n là tốc độ quay (v/ph). Do đó: 30 . NM n * Chú ý: 1. Trong kỹ thuật với N tính bằng kW, người ta còn tính bằng công thͱc: M = 9,55. 310 n N , (Nm) (5.1) 2. Công suất có thể được tính bằng mã lực (HP, CV): 1 HP = 0,736 kW 108 5.2. ӬNG SUҨT TRểN MҺT CҲT NGANG CӪA THANH TRọN 5.2.1. Thí nghiӋm vƠ quan sát Quan sát một thanh tròn chịu xoắn thuần tuý: - Trѭớc khi thanh chịu xoắn (H. 5.3a): Ta kẻ những đѭӡng // với trục thanh (đѭӡng sinh) biểu thị cho các thớ dọc và những đѭӡng tròn vuông góc với trục thanh biểu thị cho các mặt cắt ngang. Hệ các đѭӡng thẳng và đѭӡng tròn tạo thành các lѭới hình chữ nhật. Hình 5.3 - Sau khi thanh chịu xoắn (H. 5.3b), ta thấy: + Các đѭӡng tròn vuông góc với trục thanh vẫn tròn và vuông góc với trục, khoảng cách giữa chúng vẫn không thay đổi. + Trục thanh vẫn thẳng, chiều dài thanh không đổi. + Các đѭӡng // với trục thanh trӣ thành các đѭӡng xoắn ốc. + Mạng lѭới ô vuông trӣ thành gần nhѭ mạng lѭới hình bình hành. 5.2.2. Các giҧ thuyӃt Từ quan sát trên, ta đѭa ra các giả thuyết để tính toán: 1. Giả thuyết về mặt cắt ngang: Trѭớc và sau biến dạng các mặt cắt ngang vẫn phẳng, vuông góc với trục thanh, khoảng cách không đổi trong quá trình biến dạng. 2. Giả thuyết về bán kính: Trѭớc và sau biến dạng các bán kính vẫn thẳng và độ dài không thay đổi. 4. Giả thuyết về các thớ dọc: Trong quá trình biến dạng các thớ dọc không ép lên nhau hoặc đẩy nhau. * Kết luận: Trên mặt cắt ngang cͯa thanh chịu xoắn chỉ có thành phần ͱng suất tiếp mà không có thành phần ͱng suất pháp (Vì thanh không có biến dạng dọc mà chỉ có biến dạng góc) z y x x y z M z dz a) b) 109 5.2.3. ThiӃt lұp công thӭc Xét tại điểm bất kỳ trên mặt cắt ngang có bán kính  . 5.2.3.1. Về biến dạng Ta tѭӣng tѭợng tách 1 phân tố cӫa thanh chịu xoắn giới hạn bӣi các mặt cắt (H. 5.4a): - 2 mặt cắt ngang 1-1 và 2-2 cách nhau 1 đoạn dz vô cùng bé. - 2 mặt trụ đồng tâm có bán kính  và (  d ). - 2 mặt phẳng chӭa trục thanh và hợp với nhau 1 góc d Sau khi biến dạng, mặt cắt 2-2 sẽ xoay đi tѭơng đối 1 góc d so với mặt 1- 1. Ta có  là góc trượt tỉ đối cӫa phân tố cách trục 1 bán kính  . Theo định luật Hooke khi trѭợt: Mà: 'tan .AA d AD dz      ) (a) (vì  bé) 5.2.3.2. Về ͱng suất Theo định luật Hooke khi trѭợt:   .G (b) Thế giá trị  ӣ (a) vào (b), ta có: dz dG   .. (5.2) Trong đó:   dz d là 1 hằng số đối với 1 mặt cắt ngang gọi là góc xoắn tỉ đối. 5.2.3.3. Quan hệ giữa ͱng suất tiếp  và momen xoắn nội lực zM Xét trên mặt cắt ngang có momen xoắn nội lực là zM (H. 5.4b). Ӭng suất tiếp  tác dụng trên phân tố diện tích dF quanh điểm khảo sát gây ra 1 momen xoắn đối với trục z là: dFdM z ..  Tổng momen đối với trục z cӫa các ӭng suất tiếp trên tiết diện F chính là momen xoắn zM . 110  F z dFM ..  (c) Thế giá trị  ӣ (5.2) vào (c), ta có: dz dJGdF dz dGdF dz dGM o FF z  ....... 22   (d) Với:  F o dFJ . 2 : gọi là mômen quán tính độc cực cӫa mặt cắt ngang. Từ (d)  o z JG M dz d .  (e) Thế (e) vào (5.2), ta đѭợc:   . o z J M (5.3) Hình 5.4 * Nhận xỨt: 1. Từ biểu thͱc (5.3) ta nhận thấy giá trị  là hàm phân bố bậc nhất đối với  (Hình 5.5a). Hình 5.5 A B C D A' d  d d  dZ  dZ d  d  Mz  axm Mz min axm 111 - Tại trục thanh (  = 0) không bị xoắn ( 0 ). - Tại các điểm trên chu vi )( R ͱng suất tiếp có giá trị lớn nhất ( max   ) o z o z W MR J M  .max (5.4) Với: R JW oo  : mômen chống xoắn cͯa mặt cắt ngang, có thͱ nguyên là [chiều dài] 3 , đặc trưng cho khả nĕng chịu xoắn cͯa mặt cắt. 2. Phương cͯa ͱng suất tiếp tại 1 điểm nào đó trên mặt cắt ngang vuông góc với bán kính đi qua điểm đó. Ta có biểu đồ ͱng suất tiếp như hình vẽ (H. 5.5b). 5.2.4. BiӇu thӭc tính momen quán tính đӝc cӵc vƠ momen chӕng xoҳn đӕi với mһt cҳt tròn a) Mặt cắt là hình vành khĕn: Có đѭӡng kính ngoài là D và đѭӡng kính trong là d và D d )1(1,0)1( 32 444 4   DDJo (5.5) )1(2,0)1( 16 434 3   DDWo (5.6) b) Mặt cắt là hình tròn: Ta coi hình tròn là hình vành khĕn có đѭӡng kính D, d = 0, 0 D d Từ (5.5), ta có: 4 4 1,0 32 DDJo  (5.7) Từ (5.6), ta có: 3 3 2,0 16 DDWo  (5.8) 5.2.5. Hình dҥng hӧp lỦ cӫa mһt cҳt ngang Đối với thanh tròn chịu xoắn, phần vật liệu nằm gần tâm mặt cắt làm việc nhẹ hơn phần vật liệu nằm gần chu vi mặt cắt (vì có  bé). Vậy muốn tiết kiệm 112 vật liệu ta có thể khoét bỏ phần vật liệu ӣ tâm. Nhѭng để oW vẫn nhѭ cũ ta phải tĕng đѭӡng kính ngoài D và đѭӡng kính trong d một cách thích hợp (chọn  thích hợp). * Vậy: Mặt cắt ngang hợp lý cͯa thanh chịu xoắn là hình vành khĕn. Để đánh giá mӭc độ hợp lý ta dùng một hệ số để so sánh là: 3 o m WK F  (5.9) Trong đó: - oW là momen chống xoắn. - F là diện tích mặt cắt ngang. Khi mK càng lớn thì mặt cắt ngang càng hợp lý. * Chú ý: Trường hợp có cùng tiết diện (F = Cte) thì ta so sánh momen chống xoắn oW . oW càng lớn thì mặt cắt ngang chịu xoắn càng tốt. 5.3. BIӂN DҤNG CӪA THANH TRọN CHӎU XOҲN 5.3.1. Góc xoҳn tӍ đӕi  Góc xoắn tỉ đối là góc xoắn trên 1 đơn vị chiều dài. Từ (e), ta có: o z G.J M dz dθ   (rad/m) (5.10) 5.3.2. Góc xoҳn tѭѫng đӕi  Góc xoắn tѭơng đối là góc xoay tѭơng đối giữa 2 mặt cắt. Ta có góc xoắn tѭơng đối d là góc xoay giữa 2 mặt cắt cách nhau 1 đoạn dz. Từ (e) ta có: dz JG Md o z . .   .dz G.J ML 0 o z (rad) (5.11) Trong đó: oJG. là độ cͱng cͯa thanh chịu xoắn. * Chú ý: 1. Khi thanh có o z JG M . = Cte trên suốt chiều dài thanh l, ta có: 113 o z JG lM . . (rad) (5.12) 2. Khi ko z GJ M  = const trong từng đoạn thanh l k , khi đó ta có:   nk kkoz lJGM1 .. (rad) (5.13) 3. Khi tính góc xoắn cần phải chú ý đến dấu cͯa momen xoắn và kích thước mặt cắt ngang trong đoạn cần tính. 5.4. TệNH TOÁN THANH TRọN CHӎU XOҲN 5.4.1. ĐiӅu kiӋn bӅn vƠ điӅu kiӋn cӭng 5.4.1.1. Điều kiện bền Nếu mặt cắt ngang cӫa trục không đổi thì điều kiện là:  maxmax z o M W    (5.14) * Chú ý: 1. Nếu đường kính cͯa thanh thay đổi thì điều kiện bền sẽ là:  max max z o k M W       (5.15) 2. Quan hệ giữa   và   tuỳ theo các thuyết bền ta có như sau: - Theo thuyết bền ͱng suất tiếp lớn nhất (thuyết bền thͱ ba):     2   (5.16) - Theo thuyết bền thế nĕng biến đổi hình dáng (thuyết bền thͱ tư):     3   (5.17) 5.4.1.2. Điều kiện cͱng Khi biến dạng, nếu mặt cắt ngang cӫa trục không đổi ta có điều kiện:  maxmax . z o M G J    (rad/m) (5.18) Thѭӡng:   215,0  (độ/m). * Chú ý: Nếu  tính bằng đơn vị là độ/m thì: 1 rad = 180 độ. Do đó: 114    180..max ozJGM (độ/m) (5.19) 5.4.2. Ba bƠi toán cѫ bҧn Từ điều kiện bền và điều kiện cӭng trên ta có 3 dạng bài toán cơ bản: 5.4.2.1. Kiểm tra bền và cͱng Thoả mưn các điều kiện theo (5.14) và (5.18). 5.4.2.2. Chọn kích thước mặt cắt ngang - Theo điều kiện bền: Từ (5.14)    1DMW zo   (5.20) - Theo điều kiện cӭng: Từ (5.18)    2. DGMJ zo   (5.21) Từ các điều kiện trên ta chọn đѭӡng kính có trị số lớn hơn: D = max  21, DD . 5.4.2.3. Tìm tải trọng cho phỨp - Theo điều kiện bền: Từ (5.14)    1. zoz MWM   - Theo điều kiện cӭng: Từ (5.18)    2. zoz MJGM   Từ các điều kiện trên ta chọn tải trọng có trị số bé hơn:  21,min zzz MMM  . 5.5. BĨI TOÁN XOҲN SIểU TƾNH Cách giải bài toán xoắn siêu tĩnh tѭơng tự nhѭ cách giải bài toán kéo (nén) siêu tĩnh. Để giải bài toán này ta lập thêm phѭơng trình biến dạng (góc xoắn). 5.6. CÁC Vệ DӨ * Ví dụ 5.1: Cho trục chịu lực nhѭ hình vẽ (H. 5.6a). Biết: M1 = 750 N.m; M2 = 500 N.m; l = 0,5 m. a) Xác định momen m để trục cân bằng. b) Vẽ biểu đồ mômen xoắn nội lực cӫa trục Giải: a) Xác định momen m để trục cân bằng. 115 Momen phân bố m đѭợc xác định khi toàn bộ thanh đѭợc cân bằng:  mNmMMm /500 5,0 500750 5,0 21  . b) Vẽ biểu đồ mômen xoắn nội lực cӫa trục: Cĕn cӭ vào tải trọng tác dụng ta chia thanh làm 4 đoạn: - Đoạn AB: Dùng mặt cắt 1-1 cách đầu trục 1 đoạn z trên đoạn AB )5,00(  z và xét sự cân bằng phần bên trái cӫa thanh: 0z zm mz M     M z = m.z = 500.z (Nm). Hình 5.6 - Đoạn BC: Dùng mặt cắt 2-2 trên đoạn BC và xét sự cân bằng phần bên trái cӫa thanh:   05,0 21 MMmM 500 Nm M1 A m M2 E B C D m MZ a) b) m m m MZ M1 MZ M1 M2 MZ c) d) e) 250 Nm f) + - MZ l l l l 116 0,5 0z zm m M     M z = 0,5m = 0,5 x 500 = 250 (Nm). - Đoạn CD: Dùng mặt cắt 3-3 trên đoạn CD và xét sự cân bằng phần bên trái cӫa thanh: 10,5 0z zm m M M      M z = 0,5m - M 1 = - 500 (Nm). - Đoạn DE: Dùng mặt cắt 4-4 trên đoạn DE và xét sự cân bằng phần bên trái cӫa thanh: 1 20,5 0z zm m M M M       M z = 0. Ta có biểu đồ nội lực nhѭ hình 5.5f. Qua biểu đồ ta nhận thấy: Tiết diện trên thanh không đổi nên mặt cắt trên đoạn thanh CD là mặt cắt nguy hiểm nhất vì có momen xoắn lớn nhất: NmM z 500max  . * Nhận xỨt: 1. Tại mặt cắt có momen xoắn ngoại lực tập trung thì biểu đồ M z có bước nhảy tương ͱng, trị số cͯa bước nhảy bằng trị số mômen cͯa ngoại lực và ngược chiều với vector momen này. Nói cách khác: trên đoạn thanh không có momen ngoại lực (tập trung hoặc phân bố) thì trị số nội lực là không đổi. Còn đối với đoạn thanh có momen ngoại lực phân bố thì nội lực thay đổi liên tục. 2. Từ nhận xỨt trên ta có phương pháp vẽ thực hành biểu đồ nội lực qui ước như sau: + Vẽ biểu đồ từ trái sang phải. + Xác định chiều cͯa biểu đồ là chiều cͯa ngoại lực được nhìn từ phải sang trái. * Ví dụ 5.2: Trên trục truyền nhѭ hình vẽ (H. 5.7a), có P là puly chӫ động truyền cho trục công suất là N = 90 kW. Puly P 1 nhận đѭợc 1 công suất là N 1 = 40 kW và puly P 2 nhận đѭợc 1 công suất là N 2 = 50 kW; các puly này truyền công suất đến các nguồn tiêu thụ. Vẽ biểu đồ momen xoắn. Biết trục truyền quay đều với vận tốc n = 120 vg/ph. Giải: 117 Ta có momen tác dụng lên trục: )(.10.55,9 3 Nm n NM  . Tại puly chӫ động: )(5,162.7 120 90 .10.55,9 3 NmM  . Tại puly 1: )(3,183.3 120 40 .10.55,9 31 NmM  . Tại puly 2: 32 509,55.10 . 3.979,2 ( )120M Nm  . Trục quay đều nên xem trục cân bằng dѭới tác dụng cӫa các momen 21,, MMM . Biểu đồ momen xoắn đѭợc biểu diễn nhѭ hình vẽ (H. 5.6c) Hình 5.7 * Ví dụ 5.3: Một trục truyền chịu mômen xoắn M z = 300 Nm có đѭӡng kính 4 cm. a) Tính ӭng suất tiếp tại điểm cách tâm trục 1 đoạn là 1 cm. b) Tính ӭng suất tiếp lớn nhất cӫa trục. Giải: a) Ӭng suất tiếp tại điểm cách tâm 1 cm: Ta có: o z W M = . o z J M Trong đó: M z = 300 (Nm) = 3 x 104 (N.cm) 3979,2 Nm c) P2 P1 P n M1 M M2 b) a) - + 3183,3 Nm MZ 118 J o = 0,1 d 4 = 0,1 x 44 = 25,6 (cm3).   = )/(11706,2510.3 24 cmN b) Ӭng suất tiếp lớn nhất cӫa trục. Ta có: o z W Mmax Trong đó: W o = 0,2 d3 = 0,2 x 43 = 12,8 (cm3).  8,12 10.3 4 max  = 2340 (N/cm 2 ). Kết quả: a.  )/(1170 2cmN ; b. max = 2340 (N/cm 2 ). * Ví dụ 5.4: Một trục rỗng có đѭӡng kính ngoài 10 cm, đѭӡng kính lỗ 5 cm chịu tác dụng cӫa tải trọng nhѭ hình vẽ (H. 5.8a), với 1M = 20 kNm, 2M = 10 kNm, 3M = 40 kNm, l = 20 cm, G = 8.10 4 MN/m2. Hãy: a) Vẽ biểu đồ momen xoắn nội lực b) Tính ӭng suất lớn nhất cӫa trục. c) Góc xoắn tѭơng đối giữa 2 đầu trục. Giải: a) Biểu đồ momen xoắn: Ta áp dụng phѭơng pháp cộng tác dụng để vẽ biểu đồ. Ta phân tích ngoại lực thành 3 trѭӡng hợp tác dụng riêng lẻ. Mỗi trѭӡng hợp gây nên 1 momen xoắn nội lực nhѭ trên hình 5.8b,c,d. Biểu đồ zM cӫa thanh là tổng đại số đại số cӫa 3 biểu đồ trên (H. 5.8e ) b) Ӭng suất tiếp lớn nhất: Muốn xác định ӭng suất lớn nhất ta cần xác định momen nội lực lớn nhất. Theo biểu đồ nội lực nhѭ hình vẽ ta có: 3ax 30 . 3.10 .mM kN m kN cm  . Ta có: 3 max max max 3 4 34 3 2 300 3.10 0,2 (1 ) 0,2.10 0,93750,050,2.10 1 0,1 16 ( / ) o M M W D x kN cm              c) Góc xoắn giữa 2 đầu trục: 119 Góc xoắn giữa 2 đầu trục AD là: CDBCABAD   = )...( . 1 332211 lMlMlMJG zzzo  Mà: 4 4 40,050,1.(0,1) 1 937,5( ) 0,1o J cm           Do đó: 31 ( 2000.20 3000.20 1000.20)8.10 .937,5AD     = 00,01( ) 0,57rad   Vậy góc xoắn giữa 2 đầu trục là: 00,57AD   Kết quả: 00,57AD   . Hình 5.8 * Ví dụ 5.5: Một thanh tròn chịu tác dụng bӣi mômen xoắn M z = 2 kN.m. Mặt cắt có đѭӡng kính là 6,5 cm. Kiểm tra độ bền và độ cӭng cӫa thanh. Biết:   = 40 MN/m2; G = 8.104 MN/m2 và   = 0,012 rad/m. M2 M3 Mz L L L kNm a) b) _ _ + + _ D C B A M3 M2 M1 20 M2 M1 10 40 M3 10 30 20 M1 c) d) e) 120 Giải: - Kiểm tra điều kiện bền:    o z W M max Mà: M z = 2 (kN.m) = 2 x 10-3 (MN.m) W o = 0,2 d 3 = 0,2 (65 x 10-3)3 = 5,5 x 10-5 (m3)    )/(40)/(3,36 105,5 102 22 5 3 max mMNmMN x x    : * Kết luận: Đảm bảo điều kiện bền. - Kiểm tra điều kiện cӭng:     JGMz.max Mà: J  = 0,1 d4 = 0,1 (65 x 10-3)4 = 18 x 10-7 m4 .   3max 4 72 10 1 0,013( / ) 0,012( / )8 10 18 10 4 18x rad m rad mx x x x       * Kết luận: Không đảm bảo điều kiện cӭng. * Ví dụ 5.6: Một trục bằng thép có công suất N = 30 kW quay với vận tốc n = 300 vg/ph. Tính đѭӡng kính trục theo điều kiện bền và cӭng. Biết:   = 80 MN/m2; G = 8.104 MN/m2 và   = 0,65 độ/m. Giải: Ta có: M z = 955300 30 .10.55,9.10.55,9 33  n N (Nm) = 955 x 10-6 (MN.m). - Theo điều kiện bền:   o z W M   o MzW   0,2 D3  Mz    23 10.9,3.2,0  zMD (m) = 39 (mm) - Theo điều kiện cӭng:  180.. ozJGM   .. 180. GMJ zo  0,1 D4  .. 180. GM z 121    )(10.7,51,0.65,0.14,3.10.8 180.10.9551,0... 180. 24 4 64 mGMD z    = 57 (mm) Vậy để thỏa mưn cả 2 điều kiện thì D = 57 mm. * Ví dụ 5.7: Một thanh tròn bị ngàm ӣ 2 đầu chịu tác dụng cӫa ngẫu lực OM nhѭ hình vẽ (H. 5.9a). Vẽ biểu đồ nội lực cӫa thanh. Giải: Dѭới tác dụng cӫa OM tại 2 đầu ngàm phát sinh các phản ngẫu lực AM và BM . Ta có phѭơng trình cân bằng tĩnh học: 0 BOA MMM (a) Phѭơng trình (a) không đӫ để xác định đѭợc phản lực AM và BM . Đây là bài toán siêu tĩnh. Để giải bài toán siêu tĩnh ta phải dựa vào điều kiện biến dạng cӫa thanh để lập phѭơng trình điều kiện biến dạng. Trình tự giải nhѭ sau: - Giả sử bỏ ngàm A và thay thế bằng phản ngẫu lực AM , ta đѭợc thanh tĩnh định (H. 5.9c). - Phѭơng trình điều kiện biến dạng: Điều kiện góc xoắn 0AB . Áp dụng nguyên lý cộng tác dụng, ta có biểu đồ momen xoắn do từng tải trọng gây ra nhѭ hình vẽ (H. 5.9d) do đó:  2 .2. 0 . . A Oz AB o o ok M a a M aM l GJ G J G J         (b) - Giải hệ phѭơng trình (a) và (b): (b)  2 3A O M M (c) Thay (c) vào (a), ta đѭợc: 1 3B O M M Ta có biểu đồ nhѭ hình vẽ (H. 5.9e). a) b) a 2a A Mo C B MA Mo MB 122 Hình 5.9 C. CÂU HӒI ỌN TҰP 1. Thế nào gọi là thanh chịu xoắn thuần túy? 2. Trình bày sự liên hệ giữa mômen xoắn, công suất và số vòng quay. 3. Thiết lập công thӭc tính ӭng suất tiếp trên mặt cắt ngang cӫa thanh tròn chịu xoắn thuần túy. 4. Biểu đồ phân bố ӭng suất tiếp trên mặt cắt ngang cӫa thanh tròn chịu xoắn thuần túy. 5. Hình dạng hợp lý cӫa thanh tròn chịu xoắn là gì? Để đánh giá mӭc độ hợp lý ta dùng hệ số gì? 6. Thế nào là góc xoắn tѭơng đối, góc xoắn tỉ đối? Thiết lập công thӭc tính góc xoắn tѭơng đối giữa 2 mặt cắt ngang. 7. Kiểm tra theo điều kiện bền và điều kiện cӭng đối với thanh tròn chịu xoắn thuần túy. 8. Cách giải bài toán xoắn siêu tĩnh. D. TRҲC NGHIӊM 1. Khi thanh tròn chiu xoắn: 123 a. mặt cắt ngang không có biến dạng dọc. b. mọi phân tố chỉ có biến dạng trѭợt. c. Cả 2 câu trên đều đúng. 2. Độ cӭng xoắn cӫa thanh mặt cắt ngang tròn là: a. G. b. GJ. c. 1/GJ. 3. Dùng trục rỗng thay cho trục đặc để: a. tiết kiệm vật liệu. b. để tĕng độ cӭng xoắn. c. Cả 2 câu trên đều đúng. 4. Cho trục rỗng và trục đặc có cùng diện tích mặt cắt ngang: a. Trục rỗng có biến dạng xoắn nhỏ hơn biến dạng xoắn trục đặc. b. Trục rỗng có biến dạng xoắn lớn hơn biến dạng xoắn trục đặc. c. Trục rỗng và trục đặc có biến dạng xoắn nhѭ nhau. 5. Trên mặt cắt ngang cӫa thanh tròn chịu xoắn có: a. Ӭng suất tiếp. b. Ӭng suất pháp. c. Ӭng suất tiếp và ӭng suất pháp. Phө lөc 01. 124 Các đѫn vӏ đo thông dөng Đҥi lѭӧng đo Đѫn vӏ đo Kí hiӋu Qui đổi Khối lượng kg Thời gian Giây s Chiều dài m cm 1 m = 10 2 cm mm 1 m = 10 3 mm Lực Newton N 1 N = 0,102 kG kN 1 kN = 10 3 N daN 1 daN = 10 N  1,02 kG MN 1 MN = 10 6 N Kilogam lực kG 1 kG = 9,81 N = 0,981 daN Tấn lực T 1 T = 10 3 kG ΀ng suất, Áp lực 2N/m 1 2N/m  1,02.10 25 kG/cm 2MN/m 222 kG/cm 10,2kN/cm 0,1 MN/m 1  2daN/cm 22 kG/cm 1,02bar 1daN/cm 1  Pascal Pa 1 Pa = 1 N/m 2 2kG/cm 1 2kG/cm  0,0981 2MN/m Công, Nĕng lượng Joule J 1 J  0,102 kGm kGm 1 kGm  9,81 J Công suất Watt W 1 W  102 kGm/s = 1,36 HP kW 1 kW = 10 3 W Mã lực HP 1 HP  0,736 kW  75 kGm/s Phө lөc 02. Bҧng tra HӋ sӕ môđun đƠn hồi dӑc 125 Vұt liӋu E (MN/m2) Thép lò xo 22.104 Thép C 20.104 Thép Niken 19.104 Gang xám 11,5.104 Đồng 12.104 Đồng thau (10 – 12).104 Nhôm và đura (7 – 8).104 Bê tông (1,5 – 2,3).104 Gỗ (0,8 – 1,2).104 Cao su 8 Phө lөc 03. Bҧng tra hӋ sӕ biӃn dҥng dӑc (hệ số Poisson)  . Vұt liӋu  Thép 0,25 – 0,33 Gang 0,23 – 0,27 Đồng 0,31 – 0,34 Thuỷ tinh 0,25 Đất sét 0,20 – 0,40 Nhôm 0,32 – 0,36 Đá hộc 0,14 – 0,16 Bê tông 0,08 – 0,18 Cao su 0,47 Phө lөc 04. Bҧng tra ӭng suҩt cho phép khi kéo  k 126 vƠ ӭng suҩt cho phép khi nén  n Vұt liӋu  k MN/m2  n MN/m2 Thép xây dựng (1,4 – 1,6).102 Thép chế tạo máy (1,4 – 1,6).102 Gang xám (0,28 – 0,8).102 (1,2 – 1,5).102 Đồng (0,3 – 1,2).102 Nhôm (0,3 – 0,8).102 Đura (0,8 – 1,5).102 TÀI LIӊU THAM KHҦO 127 [1] Đặng Việt Cѭơng, Nguyễn Nhật Thĕng, Nhữ Phѭơng Mai; Sͱc bền vật liệu tập 1; NXB Khoa học và Kỹ thuật, 2003. [2] Đỗ Tấn Dân; Sͱc bền vật liệu tập 1; Trѭӡng ĐH Cần Thơ, 2000. [3] Lê Viết Giảng, Phan Kỳ Phùng; Sͱc bền vật liệu tập 1; NXB Giáo dục, 1997. [4] Thái Thế Hùng; Sͱc bền vật liệu; NXB Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội, 2006. [5] Lê Thanh Phong; Sͱc bền vật liệu; Trѭӡng ĐH SP Kỹ thuật Tp. HCM, 2005. [6] Thái Hoàng Phong; Sͱc bền vật liệu Phần 1; Trѭӡng ĐH Bách Khoa Đà Nẵng, 2007. [7] Đỗ Sanh, Nguyễn Vĕn Vѭợng; Cơ học ͱng dụng, NXB Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội, 1995.