Bài giảng Điều khiển số máy điện - Chương 2: Ổn định của các hệ thống điều khiển số - Nguyễn Thanh Sơn
Hệ thống sẽ nằm ở biến giới ổn định nếu quỹ tích nằm trong vòng tròn đơn vị.
Giá trị của các tại các điểm này có thể xác định theo tiêu chuẩn Jury hay Routh-Hurwitz.
30 trang |
Chia sẻ: Tiểu Khải Minh | Ngày: 20/02/2024 | Lượt xem: 134 | Lượt tải: 0
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Bài giảng Điều khiển số máy điện - Chương 2: Ổn định của các hệ thống điều khiển số - Nguyễn Thanh Sơn, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
11
Chương 2. Ổn định của các hệ thống
điều khiển số
Hàm truyền của các hệ thống điều khiển vòng
kín có dạng như sau:
1
y z G z N z
r z GH z D z
1 0GH z được gọi là phương trình đặc tính
Các giá trị của z ứng với được gọi là các
không (zeros). Các giá trị của z ứng với
được gọi là các cực (poles).
0N z
0D z
2
Chương 2. Ổn định của các hệ thống
điều khiển số
2.1 Ánh xạ từ mặt phẳng p vào mặt phẳng z
Mặt phẳng p được sử dụng để xét ổn định của
các hệ thống vòng kín liên tục.
Mặt phẳng z được sử dụng để xét ổn định của
các hệ thống vòng kín rời rạc.
1
2
23
Chương 2. Ổn định của các hệ thống
điều khiển số
2.1 Ánh xạ từ mặt phẳng p vào mặt phẳng z
Nếu phương trình mô tả một điểm
trong mặt phẳng p thì dọc theo trục ảo ta
có:
p j
j
pT T j Tz e e e
Vì nên0
(2.1)
cos sin 1j Tz e T j T T (2.2)
4
Chương 2. Ổn định của các hệ thống
điều khiển số
2.1 Ánh xạ từ mặt phẳng p vào mặt phẳng z
Vị trí của các cực trên trục ảo của mặt phẳng p
đã được ánh xạ lên vòng tròn đơn vị trên mặt
phẳng z.
Nếu một hệ thống liên tục được xem là ổn định
nếu các cực nằm bên trái mặt p thì một hệ
thống rời rạc được xem là ổn định nếu các cực
nằm trong vòng tròn đơn vị.
3
4
35
Chương 2. Ổn định của các hệ thống
điều khiển số
2.1 Ánh xạ từ mặt phẳng p vào mặt phẳng z
Các cực trên trục ảo của mặt phẳng p đã được
ánh xạ lên vòng tròn đơn vị của mặt phẳng z.
6
Chương 2. Ổn định của các hệ thống
điều khiển số
2.1 Ánh xạ từ mặt phẳng p vào mặt phẳng z
Ví dụ 2.1: Cho một hệ thống có dạng như trên
hình 2.2
Xét hệ có ổn định hay không nếu chu kỳ lấy mẫu
T=1 giây
5
6
47
Chương 2. Ổn định của các hệ thống
điều khiển số
2.1 Ánh xạ từ mặt phẳng p vào mặt phẳng z
Hàm truyền của hệ có dạng như sau:
1
y z G z
r z G z
Ở đây
2
1 1
2
1 4
2
2 141 1
2 1
Tp
T
T
eG z Z
p p
z e
z Z z
p p z z e
8
Chương 2. Ổn định của các hệ thống
điều khiển số
2.1 Ánh xạ từ mặt phẳng p vào mặt phẳng z
2
2
2 1 T
T
e
G z
z e
Với T=1 giây ta có:
1,7290,135G z z
1,729 1,5941 1 00,135 0,135
zG z
z z
7
8
59
Chương 2. Ổn định của các hệ thống
điều khiển số
2.1 Ánh xạ từ mặt phẳng p vào mặt phẳng z
1,729 1,5941 1 00,135 0,135
zG z
z z
1,594z Hay nằm ngoài vòng tròn đơn
vị nên hệ không ổn định
10
Chương 2. Ổn định của các hệ thống
điều khiển số
2.1 Ánh xạ từ mặt phẳng p vào mặt phẳng z
Ví dụ 2.1
Xác định chu kỳ lấy mẫu T sao cho hệ thống
trong ví dụ 2.1 ổn định.
Từ ví dụ 2.1 ta có hàm truyền của hệ có dạng
như sau:
2
2
2 1 T
T
e
G z
z e
9
10
611
Chương 2. Ổn định của các hệ thống
điều khiển số
2.1 Ánh xạ từ mặt phẳng p vào mặt phẳng z
Ta có phương trình đặc tính như sau
2 2
2 2
2 1 3 21 1 0
T T
T T
e z eG z
z e z e
23 2Tz e hay
23 2 1Tz e Hệ ổn định nếu
12 ln
3
T 0,549T hay
12
Chương 2. Ổn định của các hệ thống
điều khiển số
2.1 Ánh xạ từ mặt phẳng p vào mặt phẳng z
Từ mặt phẳng z chúng ta có thể phân tích ổn
định của các hệ thống bằng cách sử dụng
phương trình đặc tính.
Tuy nhiên phương pháp sử dụng mặt phẳng z
không cho chúng ta biết hệ có ổn định hay
không khi hệ bị tác động bởi các thông số khác.
Khi đó chúng ta phải sử dụng các tiêu chuẩn ổn
định như Jury, Routh-Hurwitz, Root Locus.
11
12
713
Chương 2. Ổn định của các hệ thống
điều khiển số
2.2 Tiêu chuẩn Jury
Để sử dụng tiêu chuẩn Jury, chúng ta cần biểu
diễn phương trình đặc tính có dạng như sau
11 1 0...n nn nF z a z a z a z a
Ở đây .Từ đây ta có thể xây dựng các dãy
như bảng 2.1
0na
(2.3)
14
Chương 2. Ổn định của các hệ thống
điều khiển số
2.2 Tiêu chuẩn Jury
13
14
815
Chương 2. Ổn định của các hệ thống
điều khiển số
2.2 Tiêu chuẩn Jury
Các phần tử của dãy được định nghĩa như sau:
Các phần tử ở cuối hàng chẵn là các phần tử
cuối của hàng trước theo thứ tự ngược.
Các phần tử hàng lẻ được định nghĩa như sau:
0 n k
k
n k
a a
b
a a
0 1
1
n k
k
n k
b b
c
b b
0 2
2
n k
k
n k
c c
d
c c
16
Chương 2. Ổn định của các hệ thống
điều khiển số
2.2 Tiêu chuẩn Jury
Điều kiện cần và đủ để gốc của phương trình
đặc tính nằm trong vòng tròn đơn vị là
0
1 0
1 1 0n
n
F
F
a a
0 1
0 2
0 1
0 2
...
...
n
n
n
b b
c c
d d
m m
(2.4) (2.5)
15
16
917
Chương 2. Ổn định của các hệ thống
điều khiển số
2.2 Tiêu chuẩn Jury
Khi áp dụng tiêu chuẩn Jury ta thực hiện các
bước sau:
Kiểm tra ba điều kiện (2.4) và dừng nếu một
trong ba điều kiện này được thỏa mãn.
Xây dựng dãy các số như bảng 2.1 và kiểm
tra các điều kiện 2.5. Dừng lại nếu một trong
các điều kiện (2.5) không được thỏa mãn.
18
Chương 2. Ổn định của các hệ thống
điều khiển số
2.2 Tiêu chuẩn Jury
Tiêu chuẩn Jury sẽ trở nên phức tạp nếu bậc
của hệ thống tăng lên. Đối với các hệ thống bậc
2 và bậc 3, tiêu chuẩn Jury sẽ trở nên đơn giản
hơn rất nhiều.
17
18
10
19
Chương 2. Ổn định của các hệ thống
điều khiển số
2.2 Tiêu chuẩn Jury
Đối với hệ bậc 2 ta có dạng phương trình đặc
tính có dạng như sau:
2 12 1 0F z a z a z a
Không có gốc nào nằm trên hoặc bên ngoài
vòng tròn đơn vị nếu
1 0F 1 0F 0 2a a
20
Chương 2. Ổn định của các hệ thống
điều khiển số
2.2 Tiêu chuẩn Jury
Đối với hệ bậc 3 ta có phương trình đặc tính
như sau
3 2 13 2 1 0F z a z a z a z a
3 0a Ở đây
19
20
11
21
Chương 2. Ổn định của các hệ thống
điều khiển số
2.2 Tiêu chuẩn Jury
Không có gốc nào nằm trên hoặc bên ngoài
vòng tròn đơn vị nếu
1 0F 1 0F 0 3a a
0 3 0 1
3 0 3 2
det det
a a a a
a a a a
22
Chương 2. Ổn định của các hệ thống
điều khiển số
2.2 Tiêu chuẩn Jury
Ví dụ 2.3:
Cho hàm truyền của một hệ thống có dạng như
sau
1
y z G z
r z G z
2
0,2 0,5
1,2 0,2
zG z
z z
Ở đây
Sử dụng tiêu chuẩn Jury kiểm tra hệ có ổn định
hay không.
21
22
12
23
Chương 2. Ổn định của các hệ thống
điều khiển số
2.2 Tiêu chuẩn Jury
Lời giải:
Phương trình đặc tính của hệ thống có dạng
như sau:
2
0,2 0,51 1 0
1,2 0,2
zG z
z z
hay 2 0,7 0z z
24
Chương 2. Ổn định của các hệ thống
điều khiển số
2.2 Tiêu chuẩn Jury
Áp dụng tiêu chuẩn Jury ta có:
1 0,7 0F
1 2,7 0F
0 20,7 1a a
Tất cả các điều kiện được thỏa mãn nên hệ ổn
định.
23
24
13
25
Chương 2. Ổn định của các hệ thống
điều khiển số
2.2 Tiêu chuẩn Jury
Ví dụ 2.4:
Cho một hệ thống có phương trình đặc tính như
sau
2
0,2 0,5
1 1 0
1,2 0,2
K z
G z
z z
Xác định K để hệ ổn định.
26
Chương 2. Ổn định của các hệ thống
điều khiển số
2.2 Tiêu chuẩn Jury
Từ phương trình đặc tính của hệ thống ta có
2 0,2 1,2 0,5 0,2 0z z K K
Áp dụng tiêu chuẩn Jury ta có
1 0,7 0F K
1 0,3 2,4 0F K
0,5 0,2 1K
0 1,6K
Hệ ổn định nếu
25
26
14
27
Chương 2. Ổn định của các hệ thống
điều khiển số
2.3 Tiêu chuẩn Routh-Hurwitz
Ổn định của một hệ thống với các dữ liệu được
lấy mẫu có thể được phân tích bằng cách biến
đổi phương trình đặc tính của hệ thống sang
mặt phẳng p rồi áp dụng tiêu chuẩn Routh-
Hurwitz.
28
Chương 2. Ổn định của các hệ thống
điều khiển số
2.3 Tiêu chuẩn Routh-Hurwitz
Khi đó chúng ta sử dụng phương pháp Tustin
và z được biểu diễn như sau:
/ 2
/ 2
1 / 2 1
1 / 2 1
pT
pT
pT
e pT wz e
e pT w
(2.6)
/ 2w pTỞ đây
27
28
15
29
Chương 2. Ổn định của các hệ thống
điều khiển số
2.3 Tiêu chuẩn Routh-Hurwitz
Khi đó phương trình đặc tính của hệ thống ở
dạng w như sau:
1 21 2 1 0...n n nn n nF w b w b w b w b w b (2.7)
30
Chương 2. Ổn định của các hệ thống
điều khiển số
2.3 Tiêu chuẩn Routh-Hurwitz
Khi đó dãy Routh-Hurwitz được thiết lập như
sau:
29
30
16
31
Chương 2. Ổn định của các hệ thống
điều khiển số
2.3 Tiêu chuẩn Routh-Hurwitz
Hai hàng đầu của dãy Routh-Hurwitz được xác
định trực tiếp từ phương trình (2.7), còn các
hàng khác được tính như sau:
32
Chương 2. Ổn định của các hệ thống
điều khiển số
2.3 Tiêu chuẩn Routh-Hurwitz
Tiêu chuẩn Routh-Hurwitz có nghĩa là gốc của
phương trình đặc tính ở bên phải mặt phẳng p
bằng số lần đổi dấu của các hệ số trong cột đầu
của dãy. Do đó hệ được xem là ổn định nếu tất
cả các hệ số trong cột đầu cùng dấu.
31
32
17
33
Chương 2. Ổn định của các hệ thống
điều khiển số
2.3 Tiêu chuẩn Routh-Hurwitz
Ví dụ 2.5: Cho phương trình đặc tính của một
hệ thống điều khiển số có dạng như sau:
Sử dụng tiêu chuẩn Routh-Hurwitz để xét xem
hệ có ổn định hay không?
2 0,7 0z z
34
Chương 2. Ổn định của các hệ thống
điều khiển số
2.3 Tiêu chuẩn Routh-Hurwitz
Phương trình đặc tính trong mặt phẳng z có thể
chuyển thành phương trình đặc tính trong mặt
phẳng w có dạng như sau:
21 1 0,7 0
1 1
w w
w w
22,7 0,6 0,7 0w w
33
34
18
35
Chương 2. Ổn định của các hệ thống
điều khiển số
2.3 Tiêu chuẩn Routh-Hurwitz
Ta có dãy Routh-Hurwitz có dạng như sau:
Ta thấy tất cả các hệ số cột đầu cùng dấu nên
hệ ổn định.
36
Chương 2. Ổn định của các hệ thống
điều khiển số
2.3 Tiêu chuẩn Routh-Hurwitz
Ví dụ 2.6: Một hệ thống điều khiển số có sơ đồ
khối như hình 2.3. Sử dụng tiêu chuẩn Routh-
Hurwitz để xác định giá trị của K để hệ ổn định.
Giả thiết K>0 và T=1 giây.
35
36
19
37
Chương 2. Ổn định của các hệ thống
điều khiển số
2.3 Tiêu chuẩn Routh-Hurwitz
38
Chương 2. Ổn định của các hệ thống
điều khiển số
2.3 Tiêu chuẩn Routh-Hurwitz
Lời giải: Phương trình đặc tính của hệ thống
1 0G p
1
1
Tpe KG p
p p p
Ở đây
37
38
20
39
Chương 2. Ổn định của các hệ thống
điều khiển số
2.3 Tiêu chuẩn Routh-Hurwitz
1
21 1
KG z z Z
p p
0,368 0,264
1 0,368
K z
G z
z z
40
Chương 2. Ổn định của các hệ thống
điều khiển số
2.3 Tiêu chuẩn Routh-Hurwitz
Phương trình đặc tính có dạng như sau:
0,368 0,264
1 0
1 0,368
K z
z z
2 1,368 0,368 0,368 0,264 0z z K
39
40
21
41
Chương 2. Ổn định của các hệ thống
điều khiển số
2.3 Tiêu chuẩn Routh-Hurwitz
Biến đổi phương trình đặc tính sang mặt phẳng
w có dạng như sau:
21 1 1,368 0,368 0,368 0,264 0
1 1
w w K
w w
2 2,736 0,104 1,264 0,528 0,632 0w K w K K
42
Chương 2. Ổn định của các hệ thống
điều khiển số
2.3 Tiêu chuẩn Routh-Hurwitz
Dãy Routh-Hurwitz có dạng như sau :
41
42
22
43
Chương 2. Ổn định của các hệ thống
điều khiển số
2.3 Tiêu chuẩn Routh-Hurwitz
Để hệ ổn định các hệ số ở cột đầu phải cùng
dấu. Do đó ta có:
0 2,393K Hay
44
Chương 2. Ổn định của các hệ thống
điều khiển số
2.4 Quỹ tích gốc (Root Locus)
Quỹ tích gốc là một trong những phương pháp
mạnh dùng để xét ổn định của các hệ thống
điều khiển vòng kín.
Phương pháp này cũng được sử dụng để thiết
kế các bộ điều khiển với đặc tính thời gian theo
yêu cầu.
43
44
23
45
Chương 2. Ổn định của các hệ thống
điều khiển số
2.4 Quỹ tích gốc (Root Locus)
Quỹ tích gốc là hình ảnh quỹ tích của các gốc
của phương trình đặc tính khi hệ số khuyếch
đại của hệ không thay đổi.
Cho hàm truyền của một hệ thống điều khiển
kín có dạng như sau:
1
G z
GH z
46
Chương 2. Ổn định của các hệ thống
điều khiển số
2.4 Quỹ tích gốc (Root Locus)
Chúng ta viết phương trình đặc tính có dạng
như sau:
Quỹ tích gốc được vẽ khi giá trị k thay đổi.
1 0kF z
45
46
24
47
Chương 2. Ổn định của các hệ thống
điều khiển số
2.4 Quỹ tích gốc (Root Locus)
Quy tắc xây dựng quỹ tích gốc được tóm tắt
như sau:
1. Quỹ tích gốc bắt đầu từ các cực (poles) và kết
thúc tại các không (zeros).
2. Quỹ tích gốc đối xứng qua trục thực.
3. Quỹ tích gốc bao gồm các điểm trên trục thực
tới phần bên trái của số lẻ các cực và không.
48
Chương 2. Ổn định của các hệ thống
điều khiển số
2.4 Quỹ tích gốc (Root Locus)
4. Nếu F(z) có các không ở vô cùng, quỹ tích gốc
sẽ có các tiệm cận khi . Số các tiệm
cận bằng số các cực trừ đi số các không
Góc của các tiệm cận được xác định như sau:
k
pn zn
180
p z
r
n n
Ở đây 1, 3, 5,...r
47
48
25
49
Chương 2. Ổn định của các hệ thống
điều khiển số
2.4 Quỹ tích gốc (Root Locus)
Các tiệm cận giao với trục thực tại trong đó
5. Các điểm tách ra trên trục thực của quỹ tích
gốc là gốc của
0dF z
dz
50
Chương 2. Ổn định của các hệ thống
điều khiển số
2.4 Quỹ tích gốc (Root Locus)
6. Nếu một điểm nằm trên quỹ tích gốc, giá trị của
k được tính như sau:
1 0kF z Hay
1k
F z
49
50
26
51
Chương 2. Ổn định của các hệ thống
điều khiển số
2.4 Quỹ tích gốc (Root Locus)
Ví dụ 2.7: Cho một hệ kín có phương trình đặc
tính như sau:
0,368 0,717
1 1 0
1 0,368
z
GH z K
z z
Vẽ quỹ tích gốc để xác định ổn định của hệ thống
52
Chương 2. Ổn định của các hệ thống
điều khiển số
2.4 Quỹ tích gốc (Root Locus)
Các quy tắc để xây dựng quỹ tích gốc:
1. Phương trình đặc tính của hệ thống có thể
được viết dưới dạng với: 1 0kF z
0,368 0,717
1 0,368
z
F z
z z
51
52
27
53
Chương 2. Ổn định của các hệ thống
điều khiển số
2.4 Quỹ tích gốc (Root Locus)
Hệ có 2 cực và
Hệ có 2 zeros, một tại và hai tại
âm vô cùng. Quỹ tích gốc sẽ bắt đầu tại hai
cực và kết thúc ở hai zeros.
2. Phần trên trục thực giữa và
là trên quỹ tích. Tương tự phần trên trục thực
giữa và là trên quỹ tích.
1z 0,368z
0,717z
0,368z 1z
z 0,717z
54
Chương 2. Ổn định của các hệ thống
điều khiển số
2.4 Quỹ tích gốc (Root Locus)
3. Khi mà thì có một tiệm cận và
góc của tiệm cận đó được tính như sau:
1p zn n
0180 180
p z
r
n n
đối với 1r
Chú ý rằng nếu góc của tiệm cận ,
điều đó không có nghĩa là tìm được giao của
các tiệm cận trên trục thực.
0180
53
54
28
55
Chương 2. Ổn định của các hệ thống
điều khiển số
2.4 Quỹ tích gốc (Root Locus)
4. Các điểm tách rời có thể được xác định từ
phương trình sau:
0dF z
dz
0,368 1 0,368 0,368 0,717 2 1,368 0z z z z
2 1,434 1,348 0z z hay
56
Chương 2. Ổn định của các hệ thống
điều khiển số
2.4 Quỹ tích gốc (Root Locus)
2 1,434 1,348 0z z
Phương trình trên có các gốc tại
2,08z và 0,648z
5. Giá trị của tại các điểm tách rời có thể
được xác định như sau:
k
55
56
29
57
Chương 2. Ổn định của các hệ thống
điều khiển số
2.4 Quỹ tích gốc (Root Locus)
2,08; 0,648
1
z z
k
F z
hay và 15k 0,196k
58
Chương 2. Ổn định của các hệ thống
điều khiển số
2.4 Quỹ tích gốc (Root Locus)
Quỹ tích gốc sẽ có dạng như hình dưới
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Root Locus
Real Axis
Im
ag
ina
ry
A
xi
s
Quỹ tích gốc là một
vòng tròn bắt đầu từ
các cực và tách ra
tại và sau
đó lại hội với trục
thực tại .
0,648z
2,08z
57
58
30
59
Chương 2. Ổn định của các hệ thống
điều khiển số
2.4 Quỹ tích gốc (Root Locus)
Tại điểm này một phần quỹ tích dịch chuyển về
phía cực và một phần dịch chuyển
về phía .
Phương trình đặc tính có thể viết lại như sau:
0,717z
2
0,368 0,717 0,368 0,263
1 0,368 1,368 0,368
z zF z
z z z z
60
Chương 2. Ổn định của các hệ thống
điều khiển số
2.4 Quỹ tích gốc (Root Locus)
Hệ thống sẽ nằm ở biến giới ổn định nếu quỹ
tích nằm trong vòng tròn đơn vị.
Giá trị của các tại các điểm này có thể xác
định theo tiêu chuẩn Jury hay Routh-Hurwitz.
k
59
60
Các file đính kèm theo tài liệu này:
- bai_giang_dieu_khien_so_may_dien_chuong_2_on_dinh_cua_cac_he.pdf