Bài giảng Điều khiển số máy điện - Chương 2: Ổn định của các hệ thống điều khiển số - Nguyễn Thanh Sơn

11 Chương 2. Ổn định của các hệ thống điều khiển số Hàm truyền của các hệ thống điều khiển vòng kín có dạng như sau:            1 y z G z N z r z GH z D z     1 0GH z  được gọi là phương trình đặc tính Các giá trị của z ứng với được gọi là các không (zeros). Các giá trị của z ứng với được gọi là các cực (poles).   0N z    0D z  2 Chương 2. Ổn định của các hệ thống điều khiển số 2.1 Ánh xạ từ mặt phẳng p vào mặt phẳng z  Mặt phẳng p được sử dụng để xét ổn định của các hệ thống vòng kín liên tục.  Mặt phẳng z được sử dụng để xét ổn định của các hệ thống vòng kín rời rạc. 1 2 23 Chương 2. Ổn định của các hệ thống điều khiển số 2.1 Ánh xạ từ mặt phẳng p vào mặt phẳng z Nếu phương trình mô tả một điểm trong mặt phẳng p thì dọc theo trục ảo ta có: p j   j pT T j Tz e e e   Vì nên0  (2.1) cos sin 1j Tz e T j T T        (2.2) 4 Chương 2. Ổn định của các hệ thống điều khiển số 2.1 Ánh xạ từ mặt phẳng p vào mặt phẳng z  Vị trí của các cực trên trục ảo của mặt phẳng p đã được ánh xạ lên vòng tròn đơn vị trên mặt phẳng z.  Nếu một hệ thống liên tục được xem là ổn định nếu các cực nằm bên trái mặt p thì một hệ thống rời rạc được xem là ổn định nếu các cực nằm trong vòng tròn đơn vị. 3 4 35 Chương 2. Ổn định của các hệ thống điều khiển số 2.1 Ánh xạ từ mặt phẳng p vào mặt phẳng z Các cực trên trục ảo của mặt phẳng p đã được ánh xạ lên vòng tròn đơn vị của mặt phẳng z. 6 Chương 2. Ổn định của các hệ thống điều khiển số 2.1 Ánh xạ từ mặt phẳng p vào mặt phẳng z Ví dụ 2.1: Cho một hệ thống có dạng như trên hình 2.2 Xét hệ có ổn định hay không nếu chu kỳ lấy mẫu T=1 giây 5 6 47 Chương 2. Ổn định của các hệ thống điều khiển số 2.1 Ánh xạ từ mặt phẳng p vào mặt phẳng z Hàm truyền của hệ có dạng như sau:        1 y z G z r z G z   Ở đây              2 1 1 2 1 4 2 2 141 1 2 1 Tp T T eG z Z p p z e z Z z p p z z e                                8 Chương 2. Ổn định của các hệ thống điều khiển số 2.1 Ánh xạ từ mặt phẳng p vào mặt phẳng z     2 2 2 1 T T e G z z e      Với T=1 giây ta có:   1,7290,135G z z    1,729 1,5941 1 00,135 0,135 zG z z z        7 8 59 Chương 2. Ổn định của các hệ thống điều khiển số 2.1 Ánh xạ từ mặt phẳng p vào mặt phẳng z   1,729 1,5941 1 00,135 0,135 zG z z z        1,594z Hay nằm ngoài vòng tròn đơn vị nên hệ không ổn định 10 Chương 2. Ổn định của các hệ thống điều khiển số 2.1 Ánh xạ từ mặt phẳng p vào mặt phẳng z Ví dụ 2.1 Xác định chu kỳ lấy mẫu T sao cho hệ thống trong ví dụ 2.1 ổn định. Từ ví dụ 2.1 ta có hàm truyền của hệ có dạng như sau:     2 2 2 1 T T e G z z e      9 10 611 Chương 2. Ổn định của các hệ thống điều khiển số 2.1 Ánh xạ từ mặt phẳng p vào mặt phẳng z Ta có phương trình đặc tính như sau     2 2 2 2 2 1 3 21 1 0 T T T T e z eG z z e z e              23 2Tz e hay 23 2 1Tz e  Hệ ổn định nếu       12 ln 3 T 0,549T hay 12 Chương 2. Ổn định của các hệ thống điều khiển số 2.1 Ánh xạ từ mặt phẳng p vào mặt phẳng z  Từ mặt phẳng z chúng ta có thể phân tích ổn định của các hệ thống bằng cách sử dụng phương trình đặc tính.  Tuy nhiên phương pháp sử dụng mặt phẳng z không cho chúng ta biết hệ có ổn định hay không khi hệ bị tác động bởi các thông số khác. Khi đó chúng ta phải sử dụng các tiêu chuẩn ổn định như Jury, Routh-Hurwitz, Root Locus. 11 12 713 Chương 2. Ổn định của các hệ thống điều khiển số 2.2 Tiêu chuẩn Jury Để sử dụng tiêu chuẩn Jury, chúng ta cần biểu diễn phương trình đặc tính có dạng như sau   11 1 0...n nn nF z a z a z a z a     Ở đây .Từ đây ta có thể xây dựng các dãy như bảng 2.1 0na  (2.3) 14 Chương 2. Ổn định của các hệ thống điều khiển số 2.2 Tiêu chuẩn Jury 13 14 815 Chương 2. Ổn định của các hệ thống điều khiển số 2.2 Tiêu chuẩn Jury Các phần tử của dãy được định nghĩa như sau:  Các phần tử ở cuối hàng chẵn là các phần tử cuối của hàng trước theo thứ tự ngược.  Các phần tử hàng lẻ được định nghĩa như sau: 0 n k k n k a a b a a  0 1 1 n k k n k b b c b b     0 2 2 n k k n k c c d c c     16 Chương 2. Ổn định của các hệ thống điều khiển số 2.2 Tiêu chuẩn Jury Điều kiện cần và đủ để gốc của phương trình đặc tính nằm trong vòng tròn đơn vị là       0 1 0 1 1 0n n F F a a      0 1 0 2 0 1 0 2 ... ... n n n b b c c d d m m        (2.4) (2.5) 15 16 917 Chương 2. Ổn định của các hệ thống điều khiển số 2.2 Tiêu chuẩn Jury Khi áp dụng tiêu chuẩn Jury ta thực hiện các bước sau:  Kiểm tra ba điều kiện (2.4) và dừng nếu một trong ba điều kiện này được thỏa mãn.  Xây dựng dãy các số như bảng 2.1 và kiểm tra các điều kiện 2.5. Dừng lại nếu một trong các điều kiện (2.5) không được thỏa mãn. 18 Chương 2. Ổn định của các hệ thống điều khiển số 2.2 Tiêu chuẩn Jury  Tiêu chuẩn Jury sẽ trở nên phức tạp nếu bậc của hệ thống tăng lên. Đối với các hệ thống bậc 2 và bậc 3, tiêu chuẩn Jury sẽ trở nên đơn giản hơn rất nhiều. 17 18 10 19 Chương 2. Ổn định của các hệ thống điều khiển số 2.2 Tiêu chuẩn Jury Đối với hệ bậc 2 ta có dạng phương trình đặc tính có dạng như sau:   2 12 1 0F z a z a z a   Không có gốc nào nằm trên hoặc bên ngoài vòng tròn đơn vị nếu  1 0F   1 0F   0 2a a 20 Chương 2. Ổn định của các hệ thống điều khiển số 2.2 Tiêu chuẩn Jury Đối với hệ bậc 3 ta có phương trình đặc tính như sau   3 2 13 2 1 0F z a z a z a z a    3 0a Ở đây 19 20 11 21 Chương 2. Ổn định của các hệ thống điều khiển số 2.2 Tiêu chuẩn Jury Không có gốc nào nằm trên hoặc bên ngoài vòng tròn đơn vị nếu  1 0F   1 0F   0 3a a 0 3 0 1 3 0 3 2 det det a a a a a a a a            22 Chương 2. Ổn định của các hệ thống điều khiển số 2.2 Tiêu chuẩn Jury Ví dụ 2.3: Cho hàm truyền của một hệ thống có dạng như sau        1 y z G z r z G z     2 0,2 0,5 1,2 0,2 zG z z z    Ở đây Sử dụng tiêu chuẩn Jury kiểm tra hệ có ổn định hay không. 21 22 12 23 Chương 2. Ổn định của các hệ thống điều khiển số 2.2 Tiêu chuẩn Jury Lời giải: Phương trình đặc tính của hệ thống có dạng như sau:   2 0,2 0,51 1 0 1,2 0,2 zG z z z       hay 2 0,7 0z z   24 Chương 2. Ổn định của các hệ thống điều khiển số 2.2 Tiêu chuẩn Jury Áp dụng tiêu chuẩn Jury ta có:  1 0,7 0F    1 2,7 0F       0 20,7 1a a   Tất cả các điều kiện được thỏa mãn nên hệ ổn định. 23 24 13 25 Chương 2. Ổn định của các hệ thống điều khiển số 2.2 Tiêu chuẩn Jury Ví dụ 2.4: Cho một hệ thống có phương trình đặc tính như sau    2 0,2 0,5 1 1 0 1,2 0,2 K z G z z z        Xác định K để hệ ổn định. 26 Chương 2. Ổn định của các hệ thống điều khiển số 2.2 Tiêu chuẩn Jury Từ phương trình đặc tính của hệ thống ta có  2 0,2 1,2 0,5 0,2 0z z K K     Áp dụng tiêu chuẩn Jury ta có  1 0,7 0F K   1 0,3 2,4 0F K    0,5 0,2 1K   0 1,6K  Hệ ổn định nếu 25 26 14 27 Chương 2. Ổn định của các hệ thống điều khiển số 2.3 Tiêu chuẩn Routh-Hurwitz Ổn định của một hệ thống với các dữ liệu được lấy mẫu có thể được phân tích bằng cách biến đổi phương trình đặc tính của hệ thống sang mặt phẳng p rồi áp dụng tiêu chuẩn Routh- Hurwitz. 28 Chương 2. Ổn định của các hệ thống điều khiển số 2.3 Tiêu chuẩn Routh-Hurwitz Khi đó chúng ta sử dụng phương pháp Tustin và z được biểu diễn như sau: / 2 / 2 1 / 2 1 1 / 2 1 pT pT pT e pT wz e e pT w        (2.6) / 2w pTỞ đây 27 28 15 29 Chương 2. Ổn định của các hệ thống điều khiển số 2.3 Tiêu chuẩn Routh-Hurwitz Khi đó phương trình đặc tính của hệ thống ở dạng w như sau:   1 21 2 1 0...n n nn n nF w b w b w b w b w b        (2.7) 30 Chương 2. Ổn định của các hệ thống điều khiển số 2.3 Tiêu chuẩn Routh-Hurwitz Khi đó dãy Routh-Hurwitz được thiết lập như sau: 29 30 16 31 Chương 2. Ổn định của các hệ thống điều khiển số 2.3 Tiêu chuẩn Routh-Hurwitz Hai hàng đầu của dãy Routh-Hurwitz được xác định trực tiếp từ phương trình (2.7), còn các hàng khác được tính như sau: 32 Chương 2. Ổn định của các hệ thống điều khiển số 2.3 Tiêu chuẩn Routh-Hurwitz Tiêu chuẩn Routh-Hurwitz có nghĩa là gốc của phương trình đặc tính ở bên phải mặt phẳng p bằng số lần đổi dấu của các hệ số trong cột đầu của dãy. Do đó hệ được xem là ổn định nếu tất cả các hệ số trong cột đầu cùng dấu. 31 32 17 33 Chương 2. Ổn định của các hệ thống điều khiển số 2.3 Tiêu chuẩn Routh-Hurwitz Ví dụ 2.5: Cho phương trình đặc tính của một hệ thống điều khiển số có dạng như sau: Sử dụng tiêu chuẩn Routh-Hurwitz để xét xem hệ có ổn định hay không? 2 0,7 0z z   34 Chương 2. Ổn định của các hệ thống điều khiển số 2.3 Tiêu chuẩn Routh-Hurwitz Phương trình đặc tính trong mặt phẳng z có thể chuyển thành phương trình đặc tính trong mặt phẳng w có dạng như sau: 21 1 0,7 0 1 1 w w w w               22,7 0,6 0,7 0w w   33 34 18 35 Chương 2. Ổn định của các hệ thống điều khiển số 2.3 Tiêu chuẩn Routh-Hurwitz Ta có dãy Routh-Hurwitz có dạng như sau: Ta thấy tất cả các hệ số cột đầu cùng dấu nên hệ ổn định. 36 Chương 2. Ổn định của các hệ thống điều khiển số 2.3 Tiêu chuẩn Routh-Hurwitz Ví dụ 2.6: Một hệ thống điều khiển số có sơ đồ khối như hình 2.3. Sử dụng tiêu chuẩn Routh- Hurwitz để xác định giá trị của K để hệ ổn định. Giả thiết K>0 và T=1 giây. 35 36 19 37 Chương 2. Ổn định của các hệ thống điều khiển số 2.3 Tiêu chuẩn Routh-Hurwitz 38 Chương 2. Ổn định của các hệ thống điều khiển số 2.3 Tiêu chuẩn Routh-Hurwitz Lời giải: Phương trình đặc tính của hệ thống  1 0G p      1 1 Tpe KG p p p p   Ở đây 37 38 20 39 Chương 2. Ổn định của các hệ thống điều khiển số 2.3 Tiêu chuẩn Routh-Hurwitz       1 21 1 KG z z Z p p                0,368 0,264 1 0,368 K z G z z z     40 Chương 2. Ổn định của các hệ thống điều khiển số 2.3 Tiêu chuẩn Routh-Hurwitz Phương trình đặc tính có dạng như sau:      0,368 0,264 1 0 1 0,368 K z z z       2 1,368 0,368 0,368 0,264 0z z K     39 40 21 41 Chương 2. Ổn định của các hệ thống điều khiển số 2.3 Tiêu chuẩn Routh-Hurwitz Biến đổi phương trình đặc tính sang mặt phẳng w có dạng như sau:   21 1 1,368 0,368 0,368 0,264 0 1 1 w w K w w                    2 2,736 0,104 1,264 0,528 0,632 0w K w K K     42 Chương 2. Ổn định của các hệ thống điều khiển số 2.3 Tiêu chuẩn Routh-Hurwitz Dãy Routh-Hurwitz có dạng như sau : 41 42 22 43 Chương 2. Ổn định của các hệ thống điều khiển số 2.3 Tiêu chuẩn Routh-Hurwitz Để hệ ổn định các hệ số ở cột đầu phải cùng dấu. Do đó ta có: 0 2,393K Hay 44 Chương 2. Ổn định của các hệ thống điều khiển số 2.4 Quỹ tích gốc (Root Locus) Quỹ tích gốc là một trong những phương pháp mạnh dùng để xét ổn định của các hệ thống điều khiển vòng kín. Phương pháp này cũng được sử dụng để thiết kế các bộ điều khiển với đặc tính thời gian theo yêu cầu. 43 44 23 45 Chương 2. Ổn định của các hệ thống điều khiển số 2.4 Quỹ tích gốc (Root Locus)  Quỹ tích gốc là hình ảnh quỹ tích của các gốc của phương trình đặc tính khi hệ số khuyếch đại của hệ không thay đổi.  Cho hàm truyền của một hệ thống điều khiển kín có dạng như sau:    1 G z GH z 46 Chương 2. Ổn định của các hệ thống điều khiển số 2.4 Quỹ tích gốc (Root Locus) Chúng ta viết phương trình đặc tính có dạng như sau: Quỹ tích gốc được vẽ khi giá trị k thay đổi.  1 0kF z  45 46 24 47 Chương 2. Ổn định của các hệ thống điều khiển số 2.4 Quỹ tích gốc (Root Locus) Quy tắc xây dựng quỹ tích gốc được tóm tắt như sau: 1. Quỹ tích gốc bắt đầu từ các cực (poles) và kết thúc tại các không (zeros). 2. Quỹ tích gốc đối xứng qua trục thực. 3. Quỹ tích gốc bao gồm các điểm trên trục thực tới phần bên trái của số lẻ các cực và không. 48 Chương 2. Ổn định của các hệ thống điều khiển số 2.4 Quỹ tích gốc (Root Locus) 4. Nếu F(z) có các không ở vô cùng, quỹ tích gốc sẽ có các tiệm cận khi . Số các tiệm cận bằng số các cực trừ đi số các không Góc của các tiệm cận được xác định như sau: k  pn zn 180 p z r n n    Ở đây 1, 3, 5,...r     47 48 25 49 Chương 2. Ổn định của các hệ thống điều khiển số 2.4 Quỹ tích gốc (Root Locus) Các tiệm cận giao với trục thực tại trong đó 5. Các điểm tách ra trên trục thực của quỹ tích gốc là gốc của    0dF z dz  50 Chương 2. Ổn định của các hệ thống điều khiển số 2.4 Quỹ tích gốc (Root Locus) 6. Nếu một điểm nằm trên quỹ tích gốc, giá trị của k được tính như sau:  1 0kF z  Hay   1k F z   49 50 26 51 Chương 2. Ổn định của các hệ thống điều khiển số 2.4 Quỹ tích gốc (Root Locus) Ví dụ 2.7: Cho một hệ kín có phương trình đặc tính như sau:       0,368 0,717 1 1 0 1 0,368 z GH z K z z        Vẽ quỹ tích gốc để xác định ổn định của hệ thống 52 Chương 2. Ổn định của các hệ thống điều khiển số 2.4 Quỹ tích gốc (Root Locus) Các quy tắc để xây dựng quỹ tích gốc: 1. Phương trình đặc tính của hệ thống có thể được viết dưới dạng với: 1 0kF z        0,368 0,717 1 0,368 z F z z z     51 52 27 53 Chương 2. Ổn định của các hệ thống điều khiển số 2.4 Quỹ tích gốc (Root Locus) Hệ có 2 cực và Hệ có 2 zeros, một tại và hai tại âm vô cùng. Quỹ tích gốc sẽ bắt đầu tại hai cực và kết thúc ở hai zeros. 2. Phần trên trục thực giữa và là trên quỹ tích. Tương tự phần trên trục thực giữa và là trên quỹ tích. 1z 0,368z 0,717z  0,368z 1z z  0,717z  54 Chương 2. Ổn định của các hệ thống điều khiển số 2.4 Quỹ tích gốc (Root Locus) 3. Khi mà thì có một tiệm cận và góc của tiệm cận đó được tính như sau: 1p zn n  0180 180 p z r n n      đối với 1r   Chú ý rằng nếu góc của tiệm cận , điều đó không có nghĩa là tìm được giao của các tiệm cận trên trục thực. 0180 53 54 28 55 Chương 2. Ổn định của các hệ thống điều khiển số 2.4 Quỹ tích gốc (Root Locus) 4. Các điểm tách rời có thể được xác định từ phương trình sau:   0dF z dz       0,368 1 0,368 0,368 0,717 2 1,368 0z z z z      2 1,434 1,348 0z z  hay 56 Chương 2. Ổn định của các hệ thống điều khiển số 2.4 Quỹ tích gốc (Root Locus) 2 1,434 1,348 0z z   Phương trình trên có các gốc tại 2,08z  và 0,648z 5. Giá trị của tại các điểm tách rời có thể được xác định như sau: k 55 56 29 57 Chương 2. Ổn định của các hệ thống điều khiển số 2.4 Quỹ tích gốc (Root Locus)   2,08; 0,648 1 z z k F z     hay và 15k  0,196k  58 Chương 2. Ổn định của các hệ thống điều khiển số 2.4 Quỹ tích gốc (Root Locus) Quỹ tích gốc sẽ có dạng như hình dưới -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 Root Locus Real Axis Im ag ina ry A xi s Quỹ tích gốc là một vòng tròn bắt đầu từ các cực và tách ra tại và sau đó lại hội với trục thực tại . 0,648z 2,08z  57 58 30 59 Chương 2. Ổn định của các hệ thống điều khiển số 2.4 Quỹ tích gốc (Root Locus) Tại điểm này một phần quỹ tích dịch chuyển về phía cực và một phần dịch chuyển về phía . Phương trình đặc tính có thể viết lại như sau: 0,717z         2 0,368 0,717 0,368 0,263 1 0,368 1,368 0,368 z zF z z z z z        60 Chương 2. Ổn định của các hệ thống điều khiển số 2.4 Quỹ tích gốc (Root Locus) Hệ thống sẽ nằm ở biến giới ổn định nếu quỹ tích nằm trong vòng tròn đơn vị. Giá trị của các tại các điểm này có thể xác định theo tiêu chuẩn Jury hay Routh-Hurwitz. k 59 60