Bài giảng Điều khiển số máy điện - Chương 1: Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z - Nguyễn Thanh Sơn

11 ĐIỀU KHIỂN SỐ MÁY ĐIỆN TS. Nguyễn Thanh Sơn Viện Điện ĐHBK Hà Nội 2 Chương 1. Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z 1.1 Tổng quan về các hệ thống điều khiển số  Các hệ thống điều khiển số hay còn gọi là các hệ thống điều khiển với dữ liệu lấy mẫu làm việc với các tín hiệu rời rạc theo thời gian.  Một máy tính số (vi điều khiển hoặc PC) sau khi được lập trình có thể được sử dụng như là một bộ điều khiển số. 1 2 23 Chương 1. Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z 1.1 Tổng quan về các hệ thống điều khiển số 4 Chương 1. Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z 1.2 Quy trình lấy mẫu và giữ mẫu Một bộ lấy mẫu được xem như là một công tắc đóng lại sau mỗi chu kỳ là T giây. Khi tín hiệu liên tục ký hiệu là , thì tín hiệu rời rạc đầu ra có dạng ký hiệu là  r t * ( )r t 3 4 35 Chương 1. Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z 1.2 Quy trình lấy mẫu và giữ mẫu Một quá trình lấy mẫu lý tưởng có thể xem như là tích của một chuỗi xung delta hay còn gọi là xung đơn vị nhân với tín hiệu tương tự:      *r t P t r t (1.1) Ở đây là xung delta hay là xung đơn vị. P t 6 Chương 1. Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z 1.2 Quy trình lấy mẫu và giữ mẫu 5 6 47 Chương 1. Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z 1.2 Quy trình lấy mẫu và giữ mẫu Xung delta được biểu diễn như sau:     n P t t nT     (1.2)      * n r t r t t nT     Do đó ta có: (1.3) 8 Chương 1. Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z 1.2 Quy trình lấy mẫu và giữ mẫu hoặc: (1.4) Khi ta có nên: 0t     0r t      * 0n r t r nT t nT     (1.5)      * n r t r nT t nT     7 8 59 Chương 1. Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z 1.2 Quy trình lấy mẫu và giữ mẫu (1.5) Biến đổi Laplace phương trình (1.5) ta có:      * 0n r t r nT t nT     (1.6)   * 0 pnT n R p r nT e     Phương trình (1.6) đặc trưng cho biến đổi Laplace tín hiệu liên tục được lấy mẫu  *r t 10 Chương 1. Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z 1.2 Quy trình lấy mẫu và giữ mẫu Một hệ thống lấy mẫu và giữ mẫu có thể được xem như là sự kết hợp giữa bộ lấy mẫu và giữ bậc không (Zero Order Hold/ZOH) như trên hình 1.5. 9 10 611 Chương 1. Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z 1.2 Quy trình lấy mẫu và giữ mẫu Một ZOH có khả năng nhớ thông tin cuối cùng cho đến khi thu được một mẫu mới. Đáp ứng xung của một ZOH có dạng như trên hình 1.6. 12 Chương 1. Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z 1.2 Quy trình lấy mẫu và giữ mẫu Một ZOH có dạng hàm truyền như sau:      G t H t H t T   (1.7) Ở đây là hàm bước nhảy. Biến đổi Laplace phương trình (1.7) ta có:  H t   1 1 Tp Tpe eG p p p p     (1.8) 11 12 713 Chương 1. Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z 1.2 Quy trình lấy mẫu và giữ mẫu Một bộ lấy mẫu và giữ bậc không thể hiện gần trung thực tín hiệu tương tự nếu thời gian lấy mẫu T là đủ nhỏ: 14 Chương 1. Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z 1.3 Biến đổi z Toán tử z được định nghĩa như sau: pTz e (1.9) Biến đổi z của hàm ký hiệu là  r t    Z r t R z        0 n n R z r nT z     (1.10) 13 14 815 Chương 1. Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z 1.3 Biến đổi z Khai triển (1.10) ta có:          1 2 30 2 3 ...R z r r T z r T z r T z       (1.11) Ở đây là các hệ số của chuỗi lũy thừa tại các thời điểm lấy mẫu khác nhau.  r nT 16 Chương 1. Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z 1.3 Biến đổi z 1.3.1 Hàm bước đơn vị: được định nghĩa như sau   0 01 0 n r nT n        1 2 3 0 0 1 ...n n n n R z r nT z z z z z                     1 zR z z 1z với 15 16 917 Chương 1. Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z 1.3 Biến đổi z 1.3.2 Hàm dốc: được định nghĩa như sau   0 00 n r nT nT n        1 2 3 0 0 2 3 ...n n n n R z r nT z nTz Tz Tz Tz                    21 TzR z z   1z với 18 Chương 1. Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z 1.3 Biến đổi z 1.3.3 Hàm mũ: được định nghĩa như sau với   0 00anT n r nT e n        1 2 2 3 3 0 0 1 ...n anT n aT aT aT n n R z r nT z e z e z e z e z                        1 1 1 aT aT zR z e z z e       1z  17 18 10 19 Chương 1. Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z 1.3 Biến đổi z 1.3.4 Hàm mũ tổng quát: được định nghĩa như sau với   0 00n n r n p n        1 2 2 3 3 0 0 1 ...n n n n n R z r nT z p z pz p z p z                    zR z z p  z p 20 Chương 1. Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z 1.3 Biến đổi z 1.3.5 Hàm sin: được định nghĩa như sau Trước tiên ta có:     0 0 sin 0 n r nT n T n     sin( ) 2 jx jxe ex j  19 20 11 21 Chương 1. Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z 1.3 Biến đổi z Cho nên   2 2 2 jn T jn T jn T jn Te e e er nT j j j        Mặt khác ta đã biết biến đổi z của một hàm mũ    anT aTzR e R z z e     22 Chương 1. Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z 1.3 Biến đổi z     2 1 1 1 1 2 2 1 j T j T j T j T j T j T z e e R z j z e z e j z z e e                          Cho nên ta có     2 sin 2 cos 1 z T R z z z T      hay 21 22 12 23 Chương 1. Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z 1.3 Biến đổi z 1.3.5 Hàm cos: được định nghĩa như sau     0 0 cos 0 n r nT n T n     Trước tiên ta có cos( ) 2 jx jxe ex  24 Chương 1. Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z 1.3 Biến đổi z   2 2 2 jn T jn T jn T jn Te e e er nT        Cho nên Mặt khác ta biết biến đổi z của hàm mũ    anT aTzR e R z z e     23 24 13 25 Chương 1. Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z 1.3 Biến đổi z Áp dụng trong trường hợp này ta có   1 1 12 j T j TR z z e z e             2 cos 2 cos 1 z z T R z z z T       hay 26 Chương 1. Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z 1.3 Biến đổi z 1.3.6 Hàm xung rời rạc: được định nghĩa như sau   1 00 0 n n n         0 0 1n n n n R z r nT z z           25 26 14 27 Chương 1. Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z 1.3 Biến đổi z 1.3.7 Hàm xung rời rạc có trễ: được định nghĩa như sau   1 00 n k n k n k           0 0 n n n n n R z r nT z z z            28 Chương 1. Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z 1.3 Biến đổi z 1.3.8 Bảng biến đổi z của các hàm thông dụng (1) 27 28 15 29 Chương 1. Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z 1.3 Biến đổi z 1.3.8 Bảng biến đổi z của các hàm thông dụng (2) 30 Chương 1. Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z 1.3 Biến đổi z 1.3.8 Bảng biến đổi z của các hàm thông dụng (3) 29 30 16 31 Chương 1. Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z 1.3 Biến đổi z Ví dụ: Cho biến đổi Laplace của hàm dưới đây   2 1 5 6 G p p p    Xác định biến đổi z tương đương sử dụng bảng biến đổi z. 32 Chương 1. Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z 1.3 Biến đổi z      1 1 1 3 2 2 3 G p p p p p        1 p a Mặt khác ta có theo bảng biến đổi z ta có Biến đổi z aT z z e 31 32 17 33 Chương 1. Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z 1.3 Biến đổi z 1 2p Biến đổi z 3T z z e 2T z z e 1 3p Biến đổi z       2 3 2 3 2 3 T T T T T T z e ez zG z z e z e z e z e               34 Chương 1. Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z 1.4 Biến đổi z ngược  Biến đổi z ngược tương tự như biến đổi Laplace ngược.  Bằng phép biến đổi z ngược, chúng ta có thể tìm được chuỗi kết hợp với đa thức biến đổi z đã cho.  Khi xác định được biến đổi z ngược, chúng ta quan tâm đến đáp ứng thời gian của từ  y t  Y z 33 34 18 35 Chương 1. Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z 1.4 Biến đổi z ngược Chúng ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau đây để tìm biến đổi z ngược:  Phương pháp chuỗi lũy thừa (chia dài).  Phương pháp khai triển thành các phân số từng phần và sử dụng bảng biến đổi z để biến đổi z ngược.  Phương pháp tích phân đảo.  Y z 36 Chương 1. Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z 1.4 Biến đổi z ngược Đối với một hàm biến đổi z cho trước chúng ta có thể xác định được các hệ số của chuỗi tổ hợp tại các thời điểm lấy mẫu khác nhau bằng biến đổi z ngược. Hàm thời gian khi đó được xác định như sau:  Y z  y nT  y t       0n y t y nT t nT     35 36 19 37 Chương 1. Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z 1.4 Biến đổi z ngược Ví dụ: Tìm biến đổi z ngược của đa thức sau:   2 2 3 2 z zY z z z    38 Chương 1. Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z 1.4 Biến đổi z ngược Lời giải: Chia mẫu số của hàm cho tử số ta có 37 38 20 39 Chương 1. Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z 1.4 Biến đổi z ngược Hệ số của chuỗi lũy thừa như sau: 40 Chương 1. Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z 1.4 Biến đổi z ngược Hàm thời gian có dạng: y t          4 8 2 8 3 ...y t t t T t T t T           39 40 21 41 Chương 1. Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z 1.4 Biến đổi z ngược Nhược điểm của phương pháp chuỗi lũy thừa là phương pháp này không đưa đến dạng biến đổi z ngược chính xác cần tìm. Khi đó chúng ta cần phải sử dụng phương pháp khác như phương pháp khai triển thành các phân số riêng. 42 Chương 1. Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z 1.4 Biến đổi z ngược Tương tự như kỹ thuật biến đổi Laplace ngược, một hàm có thể được khai triển bằng các phân số riêng. Sau đó chúng ta dùng bảng biến đổi z của các hàm thông dụng để tìm biến đổi z ngược. Để thuận tiện chúng ta tìm biến đổi z ngược của các phân số riêng của hàm và sau đó nhân các phân số riêng này với để xác định được .  y z   /y z z z  y z 41 42 22 43 Chương 1. Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z 1.4 Biến đổi z ngược Ví dụ: Tìm biến đổi z ngược của hàm sau      1 2 zy z z z         1 1 2 1 2 y z A B z z z z z        44 Chương 1. Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z 1.4 Biến đổi z ngược Các giá trị của và được xác định như sau Dễ dàng suy ra và do đó A B        2 1 2 1A z B z A B z A B        1A   1B    1 1 1 2 Y z z z z       1 2 z zY z z z     43 44 23 45 Chương 1. Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z 1.4 Biến đổi z ngược Mặt khác ta có Cho nên  n zR a z a    1 2ny nT    46 Chương 1. Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z 1.4 Biến đổi z ngược Ta có các hệ số của chuỗi lũy thừa như sau           0 0 1 2 3 3 7 4 15 ... y y T y T y T y T      45 46 24 47 Chương 1. Các hệ thống điều khiển số và phép biến đổi z 1.4 Biến đổi z ngược Hàm thời gian có dạng như sau:  y t          3 2 7 3 15 4 ...y t t T t T t T t T           47