Bài giảng Cơ lý thuyết 1 - Nguyễn Quốc Bảo

ìn từ ngọn của trục quay ta nhìn thấy vật quay cùng chiều kim đồng hồ. Đơn vị của góc quay φ là radian (rad). (rad là góc phẳng chắn trên đường tròn 3600 một cung bằng bán kính). 1 rad = = 570 17’ 44,8”. 2 * Chú ý: Trong kỹ thuật góc quay  còn được tính theo số vòng quay N 70  N  (5.3) 2 5.2.2.2. Vận tốc góc (ω) Trong chuyển động quay, góc φ là một hàm số phụ thuộc vào thời gian. Để đặc trưng cho chiều quay và tốc độ nhanh chậm của chuyển động, người ta dùng khái niệm vận tốc góc ω. Giả sử trong khoảng thời gian Δt = t1 - t, góc quay biến đổi một lượng Δφ = φ1 - φ.  Ta gọi:   là vận tốc góc trung bình của vật rắn. tb t Khi Δt → 0, ωtb → ω. ω gọi là vận tốc góc tức thời của vật tại thời điểm t: d lim tb  lim    (5.4) tt 00   t dt Vậy: Vận tốc góc của vật rắn quay quanh một trục cố định có giá trị bằng đạo hàm bậc nhất theo thời gian của góc quay φ. Quy ước dấu của ω: + ω > 0: nếu nhìn từ ngọn của trục quay ta nhìn thấy vật quay ngược chiều kim đồng hồ. + ω < 0: nếu nhìn từ ngọn của trục quay ta nhìn thấy vật quay cùng chiều kim đồng hồ. Đơn vị tính vận tốc góc là: rad/s hoặc 1/s hoặc s-1. Vectơ vận tốc góc  : Để biểu thị độ nhanh chậm, chiều quay, trục quay thì ta dùng véctơ : + Phương ở trên trục quay + Chiều dương sao cho nhìn từ ngọn của trục quay thấy vật quay ngược chiều kim đồng hồ. d + Trị số  dt * Chú ý: trong kỹ thuật người ta còn biểu diễn vận tốc góc bằng số vòng quay trong một phút, kí hiệu là n (vòng/phút). Biểu thức liên hệ giữa n và ω là: 2nn  (rad/s) (5.5) 60 30 71 5.2.2.3. Gia tốc góc (ε) Để đặc trưng cho sự biến đổi của vận tốc góc theo thời gian ta có khái niệm gia tốc góc. Giả sử trong khoảng thời gian: Δt = t1 - t, vận tốc góc biến đổi một lượng: Δω = ω1 - ω.  Ta gọi:   là gia tốc góc trung bình của vật rắn. tb t Khi Δt → 0, εtb → ε . ε là gia tốc góc tức thời của vật tại thời điểm t: d lim tb  lim      (5.6) tt 00   t dt Vậy: Gia tốc góc của vật rắn quay quanh một trục cố định có giá trị bằng đạo hàm bậc nhất theo thời gian của vận tốc góc hay đạo hàm bậc hai theo thời gian của góc quay. Đơn vị tính gia tốc góc là: rad/s2 hoặc 1/s2 hoặc s-2. Vectơ gia tốc góc  : Gọi k là véctơ đơn vị của trục quay z, ta có  k . Khi dd đó:  kk  . Vậy có: dt dt + Phương: ở trên trục quay + Chiều dương: sao cho nhìn từ ngọn của trục quay thấy vật quay ngược chiều kim đồng hồ. d + Trị số:  dt 5.2.2.4. Tính chất của chuyển động quay - Nếu ε = 0: chuyển động quay đều. d 2 - Nếu ε = const (  0) , ta xét dấu:  2 dt2 + Nếu ω.ε > 0: chuyển động quay nhanh dần đều + Nếu ω.ε < 0: chuyển động quay chậm dần đều. 5.2.2.5. Các chuyển động quay đặc biệt a) Chuyển động quay đều Vật rắn chuyển động quay đều khi ε = 0 và ω = const, phương trình chuyển động: φ = φ0 + ω0t 72 Trong đó: φ0 là góc quay ban đầu lúc t = 0. φ là góc quay tại thời điểm t lúc khảo sát. b) Chuyển động quay biến đổi đều Vật rắn chuyển động quay biến đổi đều khi ε = const Vận tốc góc của vật rắn: ω = ω 0 + εt 1 Phương trình chuyển động:    tt   2 002 Trong đó: φ0, ω0 lần lượt là góc quay và vận tốc góc ban đầu. ε là gia tốc của vật đang xét ε > 0: vật chuyển động nhanh dần đều. ε < 0: vật chuyển động chậm dần đều. 5.2.3. Khảo sát chuyển động của các điểm thuộc vật 5.2.3.1. Quỹ đạo và phương trình chuyển động Giả sử xét vật rắn chuyển động quay quanh một trục z cố định. Ta lấy một điểm M bất kỳ trên vật cách trục quay một đoạn CM = r. Khi chuyển động quay chất điểm M vạch ra quỹ đạo là một đường tròn tâm C (hình 5.7). z V r M C O Hình 5.7 Vậy: Các điểm trên vật quay có quĩ đạo là những đường tròn vuông góc với trục quay có tâm nằm trên trục quay, có bán kính là khoảng cách từ các điểm đó tới trục quay. Chọn điểm O trên đường tròn tâm C bán kính r làm gốc, chiều dương ngược chiều với kim đồng hồ. Điểm M được xác định bởi cung: 73 OM = s = r.φ(t) (5.7) Phương trình (5.7) là phương trình chuyển động của điểm thuộc vật rắn quay quanh một trục cố định. 5.2.3.2. Vận tốc của điểm ds Ta có: v  r  r (5.8) dt Vậy: Vận tốc của điểm có trị số bằng tích của vận tốc góc của vật rắn và khoảng cách từ điểm đó đến trục quay. Vận tốc của điểm v có: + Phương: vuông góc với bán kính + Chiều: cùng chiều với vận tốc góc ω. + Trị số: * Chú ý: 1) Xét các điểm nằm trên cùng một vật rắn đang chuyển động quay, tỉ số của vận tốc và khoảng cách từ các điểm đó đến trục quay là bằng vận tốc góc ω. Chẳng hạn như hình 5.8 ta có: vv MN OM ON 2) Trên cùng một vật rắn chuyển động quay, khoảng cách từ điểm đến trục quay càng lớn thì giá trị vận tốc của điểm càng lớn và ngược lại (hình 5.8). vM vN   s 0 R M O Hình 5.8 3) Vận tốc của điểm trên vật quay còn có thể tính theo công thức:  n v = r. = r. 30 74 rn Dn Hay: v  (5.9) 30 60 5.2.3.3. Gia tốc của điểm Gia tốc của điểm M được chia thành hai thành phần: gia tốc pháp tuyến và gia tốc pháp tuyến: w w wn (5.10) MMM  - Gia tốc tiếp w M có: + Phương: vuông góc với bán kính của quỹ đạo. + Chiều: cùng với chiều quay của vật rắn dv d() r + Trị số: w    r M dt dt n - Gia tốc tiếp w M có: + Phương: theo bán kính của quỹ đạo. + Chiều: hướng vào tâm quay. v2 R.2 + Trị số: w    R.2 . n R R - Gia tốc toàn phần: có trị số: w (w )2  (wn ) 2 r  2  4 (5.11) MMM * Chú ý: 1) Xét các điểm nằm trên cùng một vật rắn đang chuyển động quay, tỉ số của vận tốc và khoảng cách từ các điểm đó đến trục quay bằng hệ số 24 . Chẳng hạn như hình 5.9 ta có: w.OA 24 A 24 w.B OB  ww AB  24  OA OB 75 w M w M M w n 0 M Hình 5.9 n 2) Gọi α là góc hợp bởi gia tốc toàn phần w M với phương bán kính của quỹ đạo,  w M r ta có: tanα = n 22 w M r 5.3. BÀI TOÁN CHUYỂN ĐỘNG CƠ BẢN CỦA VẬT RẮN 5.3.1. Các dạng bài toán Có hai dạng bài toán: - Dạng 1: Biết phương trình chuyển động hoặc các điều kiện của chuyển động quay của vật rắn (hoặc điều kiện chuyển động của điểm thuộc vật). Xác định các yếu tố động học của toàn vật (,) hoặc của điểm thuộc vật (v,w)? - Dạng 2: Bài toán truyền động (sẽ được nghiên cứu trong học phần Nguyên lý máy). 5.3.2. Các ví dụ Ví dụ 5.1. Trục một động cơ trong giai đoạn khởi động máy chuyển động biến đổi đều. Sau 5 phút đạt vận tốc n =120 vòng/phút. Tính gia tốc góc của trục và số vòng quay được trong thời gian đó? Bài giải:  0 Gia tốc góc của trục động cơ:   tt 0 Với: t = 5 phút = 300s, t0 = 0. n120    4 rad/s 30 30   0 (lúc khởi động máy). 0 76  40   Do đó:  0   rad/s2 > 0 tt0 300 0 75  Trục động cơ quay nhanh dần đều. Phương trình chuyển động quay của trục: 11    tt  22 0  0  300  600  rad 002 2 75 600 Số vòng trục động cơ quay được: N 300 vòng. 2  Vậy:   rad/; s2 N  300 vòng. 75 vvvvvbbbbnnnn Ví dụ 5.2. Một vô lăng đang quay với vận tốc n = 60 vòng/phút thì chuyển động quay chậm dần đều và sau 16s thì dừng hẳn. Tìm gia tốc góc của vô lăng và số vòng vô lăng quay được trong 18s đó? Bài giải:  0 Gia tốc góc của vô lăng:   tt 0 Với: t = 16s; t0 = 0; n60      2  0 30 30   0 (lúc vô lăng dừng hẳn).  02   Do đó:  0    rad/s2 < 0 tt 0 16 8 Vô lăng quay chậm dần đều Phương trình chuyển động quay của trục: 11    tt  22 0  2  .16  16  16  rad. 002 2 8 16 Số vòng trục động cơ quay được: N 8vòng. 2  Vậy:   rad/; s2 N  8vòng. 8  Ví dụ 5.3. Một thanh OA quay quanh trục đi qua O theo quy luật   t3 (t: s, 8 φ: rad). 77 a) Xác định thời gian để thanh OA quay được 32 vòng. b) Tính chất chuyển động ở thời điểm thanh quay được 32 vòng. c) Tìm vận tốc, gia tốc tiếp, gia tốc pháp và gia tốc toàn phần của A tại thời điểm thanh quay được 32 vòng. Biết OA = 10cm. v A w A A w A n w A 0 Hình 5.10 Bài giải: a) Thời gian để thanh OA quay được N = 32 vòng: Góc quay: φ = 2 N = 2 .32 = 64 rad. 8  8.64  Ta có:  t3  t 33   8 s 8  Vậy: Sau t = 8s thanh OA quay được N = 32 vòng b) Tính chất chuyển động ở thời điểm thanh quay được 32 vòng: Theo câu a, thời điểm thanh quay được 32 vòng là t = 8s 3 Ta có:  t 2 (rad/s). 8 63  tt  (rad/s2). 84 3 6  3  3  .  tt2 .  8 2 . 8  144.  2  0 8 8 8 4  Thanh OA quay nhanh dần đều c) Tìm vận tốc, gia tốc tiếp, gia tốc pháp và gia tốc toàn phần của A - Vận tốc của A: 3 v OA.  10. 82  240 cm / s A 8 78 - Gia tốc tiếp của A w có:  A  + Phương: theo OA + Chiều: hướng vào tâm quay O 66 + Trị số: w OA .  10. t  10. 8  60 cm/s2. A 88 wn - Gia tốc pháp của A  A  có: + Phương: vuông góc OA + Chiều: theo chiều quay của ω (ngược chiều kim đồng hồ như hình 5.10) 33 + Trị số: wn OA .2  10.( t 2 ) 2  10.( 8 2 ) 2  5760. 2 cm/s2. A 88 - Gia tốc toàn phần của A w A  : Ta có: w w wn được xác định: AAA , + Phương: hợp với OA một góc α thỏa: 6  t wA OA . 8 2 2 1 1 0 tanα = n 22       arctan  14,04 wOA .3 2 t 8 4 4 A t  8 + Chiều: theo chiều quay (ngược chiều kim đồng hồ như hình 5.10) + Trị số của gia tốc toàn phần:  2n 2 2 2 2 2 wAAA (w )  (w )  (60 )  (5760.  )  18.086,5 cm / s .  2 n 22 Vậy: vA  240 cm / s ; wA  60cm / s ; wA  5760. cm / s ; w 18.086,5cm / s2 A C. CÂU HỎI ÔN TẬP 1. Khái niệm chuyển động tịnh tiến? tính chất cơ bản của chuyển động tịnh tiến? 2. Trình bày phương trình chuyển động, vận tốc góc, gia tốc góc của vật rắn quay quanh một trục cố định? 3. Phương trình chuyển động của vật rắn quay đều, quay biến đổi đều? 4. Trình bày phương trình chuyển động, vận tốc, gia tốc tiếp, gia tốc pháp, gia tốc toàn phần của điểm thuộc vật rắn quay quanh một trục cố định? 79 Chƣơng 6. CHUYỂN ĐỘNG PHỨC HỢP CỦA CHẤT ĐIỂM A. MỤC TIÊU - Nắm vững các khái niệm chuyển động (tương đối, tuyệt đối, kéo theo) và các đặc trưng động học của nó. - Nhớ công thức xác định các đại lượng đặc trưng động học của các chuyển động (vận tốc, gia tốc, ...). B. NỘI DUNG 6.1. CHUYỂN ĐỘNG PHỨC HỢP CỦA CHẤT ĐIỂM 6.1.1. Đặt vấn đề Chương trước ta đã nghiên cứu chuyển động của chất điểm đối với một hệ quy chiếu cố định. Trong thực tế, ta phải giải quyết trường hợp chất điểm chuyển động đối với một hệ quy chiếu mà bản thân hệ này lại chuyển động so với hệ quy chiếu khác xem là cố định. Chuyển động của điểm khi đó gọi là chuyển động phức hợp. Điểm M chuyển động trong hệ quy chiếu Oxyz. Hệ quy chiếu Oxyz cùng điểm M chuyển động so với hệ quy chiếu O1 x 1 y 1 z 1 (hình 6.1). z 1 z M r r 1 0 ro y x x 1 01 y 1 Hình 6.1 Hệ quy chiếu Oxyz gọi là hệ quy chiếu di động (hệ động). Hệ quy chiếu gọi là hệ quy chiếu cố định (hệ cố định). Khảo sát chuyển động của điểm M đối với hệ cố định và hệ động. 80 6.1.2. Các chuyển động 6.1.2.1. Chuyển động tương đối Định nghĩa: Chuyển động tương đối của điểm M là chuyển động của nó so với hệ quy chiếu động Oxyz . Véctơ định vị: r OM  xi  y j  zk (6.1) Trong đó: i,, j k là các véctơ đơn vị ứng với ba trục Ox, Oy, Oz. dr dx dy dz Vận tốc tương đối: v  i  j  k (6.2) r dt dt dt dt d2 r d 2 x d 2 y d 2 z Gia tốc tương đối: w  i  j  k (6.3) r dt2 dt 2 dt 2 dt 2 6.1.2.2. Chuyển động kéo theo Định nghĩa: Chuyển động theo (hay chuyển động kéo theo) của điểm M là chuyển động của hệ quy chiếu động Oxyz (mang theo điểm M) so với hệ quy chiếu cố định O1x1 y1z1. Để xác định được véctơ định vị, vận tốc kéo theo, gia tốc kéo theo, ta cần xác định trùng điểm M*. Trùng điểm M* là điểm cố định thuộc hệ động Oxyz mà tại thời điểm khảo sát điểm M chuyển động đến trùng với nó. ** Véctơ định vị: OM1 OO 1  OM  r 0 () xi  yj  zk (6.4) Trong đó: là các véctơ đơn vị ứng với 3 trục Ox, Oy, Oz. x, y, z là tọa độ của trùng điểm M * (x, y, z là các hằng số). Vận tốc kéo theo: d O M * d() r xi  y j  zk dr di d j dk v v 1 0 o  x  y  z (6.5) eM* dt dt dt dt dt dt Gia tốc kéo theo: d2* O M dr2 d2 x d 2 y d 2 z ww 1 0 i  j  k (6.6) eM* dt2 dt 2 dt 2 dt 2 dt 2 6.1.2.3. Chuyển động tuyệt đối Định nghĩa: Chuyển động tuyệt đối của điểm M là chuyển động của nó so với hệ quy chiếu cố định . 81 Vận tốc và gia tốc của điểm M trong hệ qui chiếu cố định O1 x 1 y 1 z 1 gọi là vận tốc tuỵệt đối va  và gia tốc tuỵệt đối wa  (vấn đề này được trình bày ở mục 6.2). 6.2. CÁC ĐỊNH LÝ HỢP VẬN TỐC VÀ GIA TỐC CỦA CHẤT ĐIỂM 6.2.1. Định lý hợp vận tốc Định lý: Tại mỗi thời điểm vận tốc tuyệt đối của điểm bằng tổng hình học vận tốc tương đối và vận tốc theo: va  vr  ve (6.7) Chứng minh: Gọi: + i,, j k là véctơ chỉ phương (đơn vị) của hệ động. + (x, y, z): là tọa độ của điểm M trong hệ động. + r1 : là véctơ định vị của M trong hệ trục tọa độ cố định O1x1 y1z1 là với: r1  ro r (6.8) + r : là véctơ định vị của M trong hệ trục tọa độ động Oxyz, theo (6.1): r OM  xi  y j  zk Hình 6.2 Đạo hàm hai vế của (6.8): dr dr dr 1 o dt dt dt dr dr di dj dk dx dy dz 1 o x  y  z  i  j  k dt dt dt dt dt dt dt dt dr Mà: 1  v dt a dr di d j dk o x  y  z  v dt dt dt dt e 82 dx dy dz i j  k  v dt dt dt r Vậy: va  vr  ve 6.2.2. Định lý hợp gia tốc 6.2.2.1. Định lý Định lý: Tại mỗi thời điểm gia tốc tuyệt đối của điểm bằng tổng hình học gia tốc tương đối, gia tốc theo và gia tốc Coriolis: wa  wr  we  wc (6.9) Trong đó: w c được gọi là gia tốc Coriolis: wc 2. ev r , với: e là véctơ vận tốc góc của hệ động. (Gaspard - Gustave de Coriolis_nhà toán học, vật lý học người Pháp) Chứng minh: Đạo hàm bậc nhất va ta được gia tốc tuyệt đối:  dvaod dr di dj dkdx dy dz wa   x  y  z  i  j  k dt dt dt dt dt dt dt dt dt 2 2 2 2 2 2 2 dro di dj dk dx dy dz 2 x 2  y 2  z 2  2 i  2 j  2 k dt dt dt dt dt dt dt dxdi dydj dzdk 2   dt dt dt dt dt dt Với: dr2 d2 i d 2 j d 2 k w o x  y  z e 2 2 2 2 dt dt dt dt d2 x d 2 y d 2 z wr 2i  2 j  2 k dt dt dt dx di dy d j dz dk dx dy dz w 2    2 i  j  k  2  v c e e r dt dt dt dt dt dt dt dt dt di d j dk (Áp dụng công thức Euler:  i,,    j    k ) dte dt e dt e Vậy: 6.2.2.2. Xác định gia tốc Coriolis Ta có: w  2.  v (6.10) c e r 83 w là véctơ vuông góc với mặt phẳng  ,v tạo thành tam diện thuận c  er e,v r , w c  Trị số của gia tốc Coriolis: w w2. . v .sin (với:  là góc hợp bởi  c c e r e và v ). r Ta có bốn trường hợp: a) Trường hợp 1: Hệ động chuyển động tịnh tiến Nếu hệ động chuyển động tịnh tiến (tức làe  0 ) nên; wc  0 b) Trường hợp 2:  // v e r Nếu thì   0 nên: Đối với trường hợp 1 và 2 thì công thức (6.9) sẽ là: wa w r w e c) Trường hợp 3: vr  e Ta xác định chiều của wc như sau: Nhìn từ ngọn của e , ta quay vr trong mặt o phẳng vuông góc với e một góc 90 ngược chiều kim đồng hồ như hình vẽ (hình 6.3) ta sẽ được chiều của wc ; và có trị số: wc  2e.vr (6.11) d) Trường hợp 4: hợp với một góc  e e v r2 v r o w c o 90 90 w c v r v r1 Hình 6.3. Hình 6.4. 84 Ta phân tích: v v v với: v   và v // , sau đó nhìn từ ngọn của r r12 r re1 re2  , ta quay v trong mặt phẳng vuông góc với  một góc 90o ngược chiều kim đồng e r1 e hồ như hình vẽ (hình 6.4) ta sẽ được chiều của wc và trị số là: wc  2e.vr .sin (6.12) 6.3. BÀI TOÁN CHUYỂN ĐỘNG PHỨC HỢP 6.3.1. Các dạng bài toán Có hai dạng bài toán: - Bài toán tổng hợp chuyển động: Biết chuyển động tương đối và chuyển động theo. Xác định chuyển động tuyệt đối? - Bài toán phân tích chuyển động: Biết chuyển động tuyệt đối. Xác định chuyển động tương đối và chuyển động theo? 6.3.2. Trình tự giải Để giải bài toán chuyển động phức hợp ta thực hiện các bước: 1) Xác định điểm chuyển động và các hệ quy chiếu. 2) Phân tích chuyển động: chuyển động nào là chuyển động tương đối, chuyển động theo, chuyển động tuyệt đối? 3) Tính toán: áp dụng công thức để tính. 6.3.3. Các ví dụ Ví dụ 6.1: Một xe ôtô đi trong trời đang mưa với vận tốc vxe  40 km / h . Trạm quan trắc Quảng Ngãi đo được vận tốc mưa là vm  30 km / h (hạt mưa rơi thẳng đứng so với mặt đất). Xác định vận tốc của hạt mưa đối với xe ôtô, góc nghiêng của hạt mưa so với phương thẳng đứng? Giải: M v e = vxe/d v r = vm/xe v = a vm/d Hình 6.5 85 - Xác định: + Ta coi hạt mưa là một chất điểm thực hiện chuyển động phức hợp. + Mặt đường là hệ cố định. + Xe ôtô là hệ động. - Các chuyển động: + Chuyển động của hạt mưa đối với xe ôtô là chuyển động tương đối: vr . + Chuyển động của xe ôtô đối với mặt đường là chuyển động kéo theo: vve xe = 40km/h. + Chuyển động của hạt mưa đối với mặt đường là chuyển động tuyệt đối: vvam = 30km/h. - Áp dụng định lý hợp vận tốc ta có: va  vr  ve 2 2 2 2 Vì: va v e  v r  v a  v e 30  40  50 km / h Khi đó, người ngồi trên xe ôtô nhìn thấy hạt mưa rơi so với phương thẳng đứng v 30 một góc α thỏa: tane   0,75   arctan0,75  36,90 . va 40 0 Vậy: vr  50 km / h ;   36,9 Ví dụ 6.2: Một con thuyền từ A muốn sang điểm B bên kia sông (hình 6.6). Vận tốc của nước là vn 10m/ ph , vận tốc của thuyền so với nước là vt  20m/ ph , chiều rộng của sông là AB = 250m. Hãy xác định: a) Góc lập bởi phương đi của thuyền và AB? b) Vận tốc tuyệt đối của thuyền và thời gian để thuyền đến điểm B? Giải: B v n v e v a v r A Hình 6.6 - Xác định: 86 + Ta coi thuyền như một chất điểm, thực hiện chuyển động phức hợp. + Bờ sông là hệ cố định. + Nước sông là hệ động. - Các chuyển động: + Chuyển động của thuyền so với nước là chuyển động tương đối: v r  vt . + Chuyển động của thuyền so với bờ là chuyển động tuyệt đối. + Chuyển động của nước so với bờ (coi thuyền không chuyển động so với nước) là chuyển động theo: ve  v n . AB là quĩ đạo tuyệt đối của thuyền. a) Góc lập bởi phương đi của thuyền và AB? v 10 Ta có: sine   0,5   300 vr 20 b) Vận tốc tuyệt đối và thời gian để thuyền đến điểm B ? 2 2 2 2 va  vr  ve  20 10 17,3m/ ph Gọi t là thời gian sang sông và thuyền chuyển động đều: AB 250 t  14,5 ph va 17,3 0 Vậy:   30 ; va 17,3 m / ph ; t14,5 ph 2 Ví dụ 6.3: Thanh AB chuyển động trong khớp trượt C với gia tốc wAB = 15cm/s . Cam là khối tam giác DEF chuyển động ngang sang bên phải. Mặt dẫn EF nghiêng một góc   300 (hình 6.7). Tìm gia tốc tương đối của thanh AB đối với cam DEF và gia tốc của cam DEF đối với nền ngang? Bài giải: Thanh AB chuyển động tịnh tiến theo phương thẳng đứng so với nền ngang. Nên gia tốc của thanh AB cũng chính là gia tốc của một điểm bất kỳ nằm trên thanh (xét điểm A): wwA AB - Xác định: + Điểm khảo sát là điểm A, thực hiện chuyển động phức hợp. + Nền ngang và khớp trượt C làm hệ quy chiếu cố định. 87 + Cạnh EF (cùng với cam DEF) làm hệ động. B C w F wr a v w 0 A e D E Hình 6.7 - Phân tích chuyển động: + Điểm A dọc theo EF là chuyển động tương đối. + Cam DEF chuyển động tịnh tiến sang phải là chuyển động kéo theo. + Chuyển động tịnh tiến thẳng đứng là chuyển động tuyệt đối: wa w A w AB - Áp dụng định lý hợp gia tốc ta có: wa w r  w e  w c 2 Trong đó: wa w AB 15 cm/s w0c  (vì chuyển động kéo theo là chuyển động tịnh tiến) Ta có: Gia tốc của cam DEF đối với nền ngang : w 15 wa   30cm / s2 e sin sin300 Gia tốc tương đối của thanh AB đối với cam DEF: w 15 wa   10 3cm / s2 . r ccos os300 2 2 Vậy: we  30cm / s ; wr  10 3cm / s Ví dụ 6.4: Một tấm hình chữ nhật ABCD có cạnh a x b = 20cm x 15cm quay 1 quanh trục thẳng đứng theo quy luật   t 2 (hình 6.8). Điểm M chuyển động dọc 2 theo BC theo quy luật s = BM = 3t 2 (s: cm, t: s). Tìm vận tốc tuyệt đối và gia tốc tuyệt đối của M tại thời điểm t = 2s. Giải: 88 - Xác định: + Khảo sát điểm M, thực hiện chuyển động phức hợp. + Chọn tấm ABCD là hệ động. + Chọn Oxyz (mặt đất) là hệ cố định. - Phân tích chuyển động: + Điểm M chuyển động trên BC là chuyển động tương đối (chuyển động thẳng) + Chuyển động tròn của tấm ABCD (có cả M) quay quanh Oz là chuyển động theo. + Chuyển động của M so với Oxyz là chuyển động tuyệt đối. z D C wr w r w e w e vr ve I e M M w n n w e e A B O x y Hình 6.8 - Vận tốc tuyệt đối và gia tốc tuyệt đối của M: + Vận tốc tuyệt đối của M: vM v r v e vr  s 6 t  6 x 2  12 cm / s  ve  b  b  bt 10 x 2  20 cm / s 2 2 2 2 Do đó: vM v r  v e 12  20  23,32 cm / s + Gia tốc tuyệt đối của M: n  wM w r  w e  w c  w r  w e  w e  w c 89 Với: 2 wr s 6 cm / s  2 wn b2  b   bt 2  15 x 4  60 cm / s 2 e   2 we b  b  b  15 cm / s  wc 0,vv ì:  e / / r 2  22n 2 2 2 2 wM  w r  w e  w e   6  60  10  3861  62,14cm / s 2 Vậy: vM  23,32 cm / s ; wM  62,14cm / s . * Chú ý: Nếu M chuyển động trên AB thì có w c không? Ví dụ 6.5: Đĩa tròn bán kính R, quay đều quanh A với vận tốc góc o . Điểm M chuyển động theo vành đĩa với vận tốc u = const. Tìm gia tốc tuyệt đối của điểm M tại vị trí như hình vẽ (hình 6.9a). Giải: - Xác định: + Khảo sát điểm M, thực hiện chuyển động phức hợp. + Chọn đĩa tròn là hệ động. + Chọn điểm A là hệ cố định. y 0 w c O n w e A w n 0 e 45 w n n r w r v M r M v x r a) b) Hình 6.9 - Phân tích chuyển động: + Điểm M chuyển động trên vành đĩa là chuyển động tương đối (chuyển động tròn) + Chuyển động tròn của đĩa (có cả M) quay quanh A là chuyển động theo. 90 + Điểm M chuyển động đối với điểm A là chuyển động tuyệt đối. - Gia tốc tuyệt đối của M tại vị trí điểm B: nn wM w r  w e  w c  w r  w r  w e  w e  w c Xác định w c như hình 6.9b. Ta có: 2  n u w r   R  w0r   n 2 we  R 2.0   w0  e w 2vu 2  c e r o  nn Do đó: wM w r  w e  w c Chiếu w B lên 2 trục: w wnocR os45  2  Mx e o 2  n o n 2 u wMy w e sin 45  w r  w c Ru o   2 o  R 2 2 2 2 2 4 2 u Do đó: wM w Bx  w By  Ro  R  o   2 u  o . R 2 2 2 4 2 u Vậy: w2MR o  R  o   u  o . R 2 Ví dụ 6.6: Trên xe đang chuyển động từ trái sang phải với gia tốc w0 = 40cm/s , đặt một động cơ điện có rôto quay theo quy luật   t 2 (φ: rad, t: s) quanh trục nằm ngang vuông góc với phương chuyển động. Bán kính rôto r = 20cm. Xác định gia tốc tuyệt đối của một điểm tên vành rôto tại vị trí A tại thời điểm t = 1s? Giải: - Xác định: + Khảo sát điểm A thực hiện chuyển động phức hợp. + Chọn toa xe là hệ động. 91 + Chọn mặt đất là hệ cố định. w r r w r O A O n A w r w e = w 0 w w 0 0 Hình 6.10 - Phân tích chuyển động: + Chuyển động của điểm A so với toa là chuyển động tương đối (cùng rôto quay quanh O). + Chuyển động của toa xe (mang theo điểm A) đối với mặt đất là chuyển động theo. + Chuyển động của điểm A đối với mặt đất là chuyển động tuyệt đối. - Gia tốc của điểm A: Áp dụng định lý hợp gia tốc ta có:  n wA w r  w e  w c  w r  w r  w e  w c (a) Trong đó:  2 wr r  r .(2. t )  20.2.1  40 cm / s n 2 2 2 2 wr r .  r  r .2  20.4  80 cm / s 2 we  w0 40cm / s w0c  (vì chuyển động kéo theo là chuyển động tịnh tiến: e  0 ) Chiếu (a) lên hệ trục tọa độ Oxyz ta được : w0ax  n 2 way   w+wre   8040    40cm / s  2 waz  wr 40cm / s 22 2 2 2 2 2 wa w ax  w ay  w az   0   40  40402/  cm s . 92 2 Vậy: wa  40 2cm / s . Ví dụ 6.7: Điểm M chuyển động trên thanh OA theo phương trình 1 OM x a t2 (x: cm), thanh OA quay đều quanh O với vận tốc góc  trong mặt 2 0 0 phẳng thẳng đứng. Xác định vận tốc tuyệt đối và gia tốc tuyệt đối của điểm M tại thời điểm t? x x w c v a A A v e w r v r y e M y e M n w e O O Hình 6.11 Giải : - Xác định: + Điểm M thực hiện chuyển động phức hợp. + Chọn tay quay OA là hệ động. + Chọn điểm O gắn với mặt đất là hệ cố định. - Phân tích chuyển động: + Chuyển động của điểm M dọc theo tay quay OA là chuyển động tương đối: 1 x x a t 2 . r 2 0 + Chuyển động quay của tay quay OA quanh trục O là chuyển động theo: 0  e . + Chuyển động của điểm M đối với điểm O (gắn với mặt đất) là chuyển động tuyệt đối. - Vận tốc tuyệt đối và gia tốc tuyệt đối của điểm M: + Vận tốc tuyệt đối của M: Áp dụng định lý hợp vận tốc: va v r v e 93 v x a t(/) cm s  r 0  1 v OM...(/) a t2 cm s  e 02 0 0 1 Vì: vv , ta có: v v2  v 2  a. t 4   2 t 2 ( cm / s ) re a r e 2 00 + Gia tốc tuyệt đối của M: - Áp dụng định lý hợp gia tốc ta có:  n wa w r  w e  w c  w r  w e  w e  w c (a) 2 wr x a0 ( cm / s )   n 21 2 2 2 we x0 a 0 . 0 . t ( cm / s )  2 w0   e 2 wc 2v r .00 2v r .t ( cm / s ) Chiếu (a) lên Oxy: 1 w w  wn a  a . 22 . t ax r e 02 0 0 way w c 2at00 . 1 Do đó: w ww2  2 a 414.  2 t 2  4 .(/) t 4 cm s 2 . a ax ay2 0 0 0 1 1 Vậy: v a t4 22 t ( cm / s ); wa 4  142 . t 2  4 . t 4 ( cm / s 2 ) a 2 00 a 2 0 0 0 Ví dụ 6.8: Cho cơ cấu tay quay culit (hình 6.12). Tay quay OA quay đều với vận tốc góc ω0 = 6rad/s làm con chạy A trượt theo culit O1B ở thời điểm OA nằm ngang α = 300. Biết OA = 10cm. Xác định: a) Vận tốc tuyệt đối, tương đối và kéo theo của con chạy A và vận tốc góc của culit O1B? b) Gia tốc tuyệt đối, tương đối, kéo theo và Coriolis của con chạy A và gia tốc góc của culit O1B? Giải: - Xác định: + Khảo sát con chạy A thực hiện chuyển động phức hợp. + Chọn culit O1B là hệ động. + Chọn trái đất (bao gồm các điểm cố định O và O1) là hệ cố định. 94 Hình 6.12 - Phân tích chuyển động: + Chuyển động của con chạy A so với culit O1B là chuyển động tương đối. + Chuyển động của culit O1B quay quanh O1 (O1 gắn với trái đất) là chuyển động kéo theo. + Chuyển động của con chạy A quay quanh O (O gắn với trái đất) là chuyển động tuyệt đối. a) Vận tốc va,, v r v e của con chạy A và vận tốc góc của culit O1B? Áp dụng định lý hợp vận tốc ta có: va v r v e Như hình 6.13, ta có: va  OA.0  10.6  60cm/s 0 vra v. c os  60. c os30  30 3 cm/s 0 vvea.sin  60.sin30  30 cm/s OA 10 OA    20 cm 1 sin sin300 ve 30 Vận tốc góc của culit O1B là: e    1,5 rad/s OA1 20 b) Gia tốc wa , w r , w e , w c của con chạy A và gia tốc góc của culit O1B? - Áp dụng định lý hợp gia tốc ta có: wa  w r  w e  w c 95 nn wa  w a  w r  (w e  w e )  w c (a) - Vì chuyển động tuyệt đối là chuyển động quay đều của con chạy A quay O  n nên: w0a  , do đó: wwaa . n wa có: + Phương: OA + Chiều: từ A đến O n 22 2 + Trị số: waa w OA .0  10.6  360cm/s - Vì chuyển động kéo theo của culit O1B là chuyển động quay quanh O1 nên:  n we w e w e Với: n w e có: + Phương: O1B + Chiều: từ A đến O1 n 22 2 + Trị số: weeOA1 .  20.1,5  45cm/s  w e có: + Phương: vuông góc O1B + Chiều: Giả thiết theo chiều dương (hình 6.13)  + Trị số: w e chưa biết (cần tìm) - Vì chuyển động tương đối là chuyển động tịnh tiến của con chạy A dọc theo O1B nên: w r có: + Phương: O1B + Chiều: Giả thiết theo chiều dương (hình 6.13) + Trị số: w r chưa biết (cần tìm) - Gia tốc Coriolis w c có: + Phương chiều: dọc theo chiều dương trục z (hình 6.13) 2 + Trị số: wc 2 e .v r  2.1,5.30 3  90 3 cm/s - Chiếu hai vế biểu thức (a) lên trục tọa độ Ay ta được: n wa sin   w e  w r n 0 2 wr  w e  w a sin  45  360.sin30   135cm/s (wr ngược chiều giả thiết) 96 Chiếu (a) lên trục tọa độ Az ta được:  wac os  w e w c  0 2 we  w acc os  w c  360. os30  90 3  90 3 cm/s Gia tốc góc của culit O1B là: w 90 3 9 3  e   rad/s2 (có chiều như hình 6.13) OA1 20 2 z B y va wr z wc y 0 we v v e r A w O a x n x w e 0 z 90 y v w r c A e  1 e O 1 e x e Hình 6.13 Vậy: a) va  60 cm/s; vr  30 3 cm/s; ve  30cm/s; e  1,5rad/s. n 2 n 2  2 2 b) waa w 360cm / s ; we  45cm / s ; we  90 3cm / s ; wr  135cm / s ; 93 w 90 3cm / s2 ;   rad/. s2 C 2 C. CÂU HỎI ÔN TẬP 1. Thế nào là chuyển động tuyệt đối, chuyển động tương đối và chuyển động theo? 2. Phát biểu định lý hợp vận tốc? 3. Phát biểu định lý hợp gia tốc? 4. Thế nào là gia tốc Coriolis? Xác định gia tốc Coriolis? 5. Các dạng bài toán và trình tự giải bài toán chuyển động phức hợp? 97 Chƣơng 7. CHUYỂN ĐỘNG SONG PHẲNG CỦA VẬT RẮN A. MỤC TIÊU - Nắm vững phương pháp phân tích chuyển động song phẳng là một chuyển động tổng hợp gồm chuyển động tịnh tiến cùng điểm cực và quay quanh cực. - Vận dụng phương pháp xác định tâm vận tốc tức thời để giải các bài toán về vận tốc. - Nắm vững công thức về quan hệ vận tốc, gia tốc giữa hai điểm để giải các bài toán liên quan đến chuyển động của một số cơ cấu, bộ phận của máy, thiết bị có chuyển động song phẳng. B. NỘI DUNG 7.1. ĐỊNH NGHĨA VÀ MÔ HÌNH KHẢO SÁT 7.1.1. Định nghĩa Định nghĩa: Chuyển động song phẳng của vật rắn là chuyển động mà mỗi điểm thuộc vật luôn luôn chuyển động song song trong một mặt phẳng với mặt phẳng qui chiếu cố định. Ví dụ: Bánh xe chuyển động lăn không trượt là chuyển động song phẳng (hình 7.1a). Cơ cấu tay quay - thanh truyền là chuyển động song phẳng (hình 7.1b). A O B O (a) (b) Hình 7.1 7.1.2. Mô hình khảo sát chuyển động song phẳng Xét một vật rắn (K) chuyển động song phẳng. Lấy đoạn thẳng AB bất kỳ trên vật rắn sao cho AB vuông góc với mặt phẳng (π0) cố định. Khi vật rắn chuyển động thì A, B luôn chuyển động trên hai mặt phẳng song song với mặt phẳng (π0). Do đó AB luôn 98 song song với vị trí ban đầu của nó mà AB = const nên AB sẽ chuyển động tịnh tiến. Gọi M là giao điểm của đoạn AB và mặt phẳng (π), chuyển động tịnh tiến của AB được đặc trưng bởi chuyển động của điểm M (hình 7.2a). Vật rắn (K) là tập hợp của nhiều đoạn thẳng AB nên chuyển động song phẳng của vật rắn (K) được đặc trưng bởi chuyển động của hình phẳng (S) là tiết diện của vật rắn (K) và mặt phẳng (π). Như vậy việc khảo sát vật rắn chuyển động song phẳng trong không gian được quy về khảo sát chuyển động của hình phẳng (S) trong mặt phẳng (π) (hình 7.2b). (K) A y1 M (S) O1 O B x 1 a) b) Hình 7.2 7.2. KHẢO SÁT CHUYỂN ĐỘNG CỦA HÌNH PHẲNG 7.2.1. Phân tích chuyển động song phẳng thành hai chuyển động cơ bản Xét chuyển động của hình phẳng (S) trong mặt phẳng (π). Chọn hệ trục cố định O1x1y1 (hình 7.3). y1 y (S) B A y A x O 1 xA x 1 Hình 7.3 99 Chọn AB trên hình phẳng. Vị trí của đoạn AB được xác định bởi tọa độ điểm A (xA, yA) và góc φ. Gắn vào AB hệ động Axy sao cho Ax // O1x1; Ay // O1y1. Lúc này chuyển động của hình phẳng được phân tích thành hai chuyển động thành phần: - Chuyển động tịnh tiến của hệ động Axy đối với hệ cố định O1x1y1. - Chuyển động quay quanh A của hình phẳng (S) đối với hệ động Axy. 7.2.2. Phƣơng trình chuyển động của hình phẳng Từ sự phân tích trên, ta thấy vị trí của hình phẳng (S) luôn được xác định bởi: - Tọa độ điểm A(xA, yA) để xác định được vị trí của hệ động Axy đối với hệ cố định O1x1y1. - Góc φ xác định vị trí của hình phẳng (có chứa AB) quay quanh A. Mà những yếu tố trên đều biến thiên theo thời gian, nên phương trình chuyển động song phẳng của vật rắn là: xAA x() t   yAA y() t (7.1)   ()t Phương trình (7.1) là phương trình chuyển động song phẳng của vật rắn. * Chú ý: Qua phân tích ở trên ta nhận thấy: 1) Chuyển động quay của vật rắn quanh một trục cố định là trường hợp riêng của chuyển động song phẳng. 2) Trong chuyển động tịnh tiến của vật rắn thì chỉ có chuyển động tịnh tiến phẳng mới là trường hợp riêng của chuyển động song phẳng. 7.2.3. Các thông số động học của hình phẳng Hệ động Axy có chuyển động tịnh tiến nên đặc trưng động học của nó xác định qua chuyển động của cực A bởi các yếu tố động học là: vận tốc cực A vA  và gia tốc cực A w A . Còn chuyển động quay của hình phẳng quanh cực A được xác định bởi các yếu tố động học là: vận tốc góc  và gia tốc góc    . Các đại lượng voo, w , , là các thông số động học của vật rắn chuyển động song phẳng. Trong đó vAA,w phụ thuộc việc chọn cực A còn , không phụ thuộc vào việc chọn cực A. 100 7.3. KHẢO SÁT CHUYỂN ĐỘNG CỦA ĐIỂM THUỘC VẬT (HÌNH PHẲNG) 7.3.1. Vận tốc của điểm thuộc vật 7.3.1.1. Định lý quan hệ vận tốc giữa hai điểm Định lý: Vận tốc của điểm bất kỳ trên vật chuyển động song phẳng bằng tổng hình học vận tốc của cực và vận tốc của điểm đó trong chuyển động quay quanh điểm cực. Với A là cực, vận tốc của điểm B là:    vB v A v BA (7.2) vBA là vận tốc của điểm B quay quanh cực A. y 1 B (S) vA v vB A BA vA O1 x 1 Hình 7.4 Chứng minh: Như đã phân tích ở mục trên, chuyển động song phẳng của hình phẳng (S) bao gồm hai chuyển động là chuyển động quay tương đối của hình phẳng (S) quay cực A và chuyển động tịnh tiến của hình phẳng (S) cùng với cực A. Khi đó vận tốc của B đối với hệ cố định O1x1y1 là vận tốc tuyệt đối vvaB , vận tốc của điểm B đối với cực A là vận tốc tương đối vvBA r . Với vBA có: + Phương: vuông góc AB. + Chiều: cùng chiều với ω + Trị số: v.BA   AB Chuyển động kéo theo là chuyển động tịnh tiến cùng với cực A nên vveA Theo định lý hợp vận tốc ta có: va v r v e hay vB v BA v A (7.2) 101 7.3.1.2. Định lý hình chiếu vận tốc Định lý: Hình chiếu vận tốc của hai điểm A, B thuộc hình phẳng lên phương nối hai điểm đó thì bằng nhau. hcAB v B  hc AB v A  (7.3) Chứng minh: B vA vB A vBA vA Hình 7.5 Vận tốc của hai điểm A, B bất kỳ thuộc hình phẳng là vvAB, , Gọi α, β lần lượt là góc hợp bởi vận tốc với phương AB (hình 7.5) Theo công thức (7.2) ta có: vB v BA v A Chiếu đẳng thức trên lên phương AB ta được: hcAB()()() v B hc AB v A hc AB v BA Mà hình chiếu của vBA lên AB là bằng không, nghĩa là hcAB( v BA ) 0 vvBA.cos .cos 7.3.1.3. Tâm vận tốc tức thời Định nghĩa: Tâm vận tốc tức thời là một điểm P nào đó thuộc mặt phẳng của hình phẳng (S) mà thời điểm khảo sát vận tốc bằng không. Chứng minh sự tồn tại của tâm vận tốc tức thời: Xét tại thời điểm t, vận tốc của cực A là vA , quay phương đường thẳng chứa vA một góc 900 ta có phương Ax (hình 7.6). Trên Ax ta lấy điểm P sao cho AP  ,  khi đó ta có vvPA A nên: vP v A  v PA  v A (  v A )  0 (7.4) 102 Biểu thức (7.4) chứng tỏ rằng luôn tồn tại duy nhất một tâm vận tốc tức thời P tại mỗi thời điểm khảo sát. Vậy: Vật rắn chuyển động song phẳng thực chất có thể coi như quay liên tục quanh những tâm tức thời khác nhau. v A A v PA P x Hình 7.6 * Chú ý: Trường hợp   0 tại thời điểm khảo sát, thì P  , nghĩa là hình phẳng chuyển động tịnh tiến tức thời. 7.3.1.4. Phân bố vận tốc của điểm thuộc hình phẳng Từ kết luận trên, việc xác định vận tốc của điểm thuộc vật chuyển động song phẳng hoàn toàn giống như vận tốc của điểm thuộc vật rắn quay quanh một trục cố định. Xét hai điểm M, N thuộc vật rắn chuyển động song phẳng có tâm vận tốc tức thời P (hình 7.7). M vM N vN P Hình 7.7   vM v P v MP vvM MP Với:  nhưng: vP  0 nên:  vN v P v NP vvN NP 103  vM  MP vM v MP MP. Mà:  nên:  v v NP. vM  MP  N NP vv  MN  MP NP Vậy: Vận tốc của của điểm trên hình phẳng chuyển động song phẳng tỉ lệ với khoảng cách từ điểm đó đến tâm vận tốc tức thời P. 7.3.1.5. Phương pháp thực hành xác định tâm vận tốc tức thời Phương pháp tìm tâm vận tốc tức thời P dựa trên tính chất cơ bản là tâm vận tốc tức thời P phải nằm trên đường thẳng vuông góc với phương vận tốc của điểm thuộc hình phẳng và giá trị của vận tốc tỉ lệ với khoảng cách từ điểm đó đến tâm vận tốc tức thời. Ta có bốn trường hợp cơ bản sau: a) Trường hợp 1: Biết phương vận tốc của hai điểm bất kỳ A và B. Tâm vận tốc tức thời P là giao điểm của đường thẳng vẽ từ các điểm đó và vuông góc với phương các vận tốc (hình 7.8). v A A v P B Hình 7.8 b) Trường hợp 2: Biết vận tốc hai điểm A, B bất kỳ và vận tốc các điểm vuông góc với đường thẳng AB. v v A A A A B vB P v B B P Hình 7.9 104 Tâm vận tốc tức thời được xác định dựa vào tính chất tỉ lệ: đường thẳng nối đầu mút hai vận tốc sẽ cắt đường thẳng AB tại P (hình 7.9). c) Trường hợp 3: Biết vận tốc hai điểm A, B bất kỳ mà vvAB Tâm vận tốc tức thời ở vô cùng, lúc đó hình phẳng chuyển động tịnh tiến tức thời (ω = 0). Tại thời điểm đang xét, mọi điểm thuộc hình phẳng có vận tốc như nhau (hình 7.10). vA vA vB vB P P 0 0 Hình 7.10 d) Trường hợp 4: Bánh xe lăn không trượt trên mặt tựa. Bánh xe lăn không trượt thì tâm vận tốc tức thời là điểm tiếp xúc của vật với mặt tựa (hình 7.11). P P (a) (b) Hình 7.11 7.3.2. Gia tốc của điểm thuộc vật 7.3.2.1. Định lý quan hệ gia tốc giữa hai điểm thuộc vật Định lý: Gia tốc của một điểm B thuộc hình phẳng bằng tổng hình học của gia tốc cực A và gia tốc của B khi hình phẳng quay quanh cực A (hình 7.12). wB w A w BA  n wB  w A  w BA  w BA (7.5) 105 B wA n wB w A B wBA wB wA Hình 7.12 Chứng minh: Xét hai điểm A, B bất kỳ thuộc hình phẳng (S) chuyển động song phẳng, giả sử ta chọn A làm cực có gia tốc wA , lúc này điểm B đồng thời thực hiện hai chuyển động thành phần (hình 7.12): + Chuyển động tịnh tiến cùng với điểm A (gắn với hệ động Axy). + Chuyển động quay quanh cực A với vận tốc góc ω, gia tốc góc ε. Theo định lý hợp gia tốc (ở chương 6) ta có: wa w r  w e  w c Trong đó: wwaB gia tốc của điểm B. wweA gia tốc của cực A (cực A với với hệ động Axy chuyển động tịnh tiến) wwr BA gia tốc của điểm B trong chuyển động tương đối của hình phẳng (S) quay quanh cực A. wc  0 vì hệ động Axy chuyển động tịnh tiến.  n Do đó: wa w r  w e  w c  w B  w BA  w A  w BA  w BA  w A Với:  w BA có: + Phương:  AB. + Chiều: cùng chiều với ε  + Trị số: w.BA   AB n w BA có: + Phương: AB. + Chiều: từ B đến A n 2 + Trị số: w.BA   AB 106 7.4. BÀI TOÁN CHUYỂN ĐỘNG SONG PHẲNG 7.4.1. Các dạng bài toán Trong chuyển động song phẳng có hai dạng bài toán cơ bản: - Bài toán tìm vận tốc: Biết vận tốc của một điểm thuộc vật tại một thời điểm đang xét. Tìm vận tốc của các điểm khác thuộc vật, vận tốc góc của vật tại thời điểm đó. - Bài toán tìm gia tốc: Biết gia tốc của một điểm thuộc vật tại một thời điểm đang xét. Tìm gia tốc của các điểm khác thuộc vật, gia tốc góc của vật tại thời điểm đó. 7.4.2. Phƣơng pháp giải a) Bài toán tìm vận tốc Có hai cách: - Tìm tâm vận tốc tức thời P. - Áp dụng định lý quan hệ vận tốc hoặc định lý về hình chiếu vận tốc. b) Bài toán tìm gia tốc Có hai cách: - Tìm tâm gia tốc tức thời Q. - Áp dụng định lý quan hệ gia tốc gồm các bước sau: + Chọn một điểm thuộc vật đã biết gia tốc làm cực. + Viết biểu thức quan hệ gia tốc đối với điểm chọn làm cực. + Vẽ và tính các vectơ gia tốc (giả thiết chiều của vectơ gia tốc nếu chưa biết). + Giải phương trình vectơ (có thể dùng phương pháp chiếu biểu thức vectơ lên một trục thích hợp). * Chú ý: 1) Cực O được chọn tuỳ ý, nên trong bài toán cụ thể cần chọn cực sao cho các đặc trưng chuyển động đã biết hoặc xác định một cách đơn giản. 2) Chuyển động tịnh tiến tức thời xảy ra (khi hình phẳng có   0 ), thì v của các điểm bằng nhau nhưng w của chúng khác nhau   0. 3) Khi xác định vận tốc, chỉ được xem (S) quay quanh tâm P và khi xác định gia tốc chỉ được xem (S) quay quanh tâm Q. 4) Để giải bài toán gia tốc, thường dùng định lý quan hệ gia tốc hai điểm chứ ít dùng tâm Q. 107 d 5) Nếu vận tốc góc của hình phẳng  t thì   . dt Đặc biệt, khi đĩa tròn bán kính R lăn không trượt trên đường cố định, tâm đĩa có dd v11 dv vận tốc là v thì:   oo   w o  o dt dt R R dt R 7.4.3. Các ví dụ Ví dụ 7.1: Cho cơ cấu hai con trượt (hình 7.13). Biết rằng con trượt A trượt trên phương y với vận tốc vA = 20cm/s, con trượt B trượt trên phương x. Cho AB = 40cm, α = 600. Tìm vận tốc của điểm B và vận tốc góc của thanh AB? Giải: y A AB P vA B O x vB Hình 7.13 - Xét cơ cấu hai con trượt: + Con trượt A, B chuyển động tịnh tiến. + Thanh AB chuyển động song phẳng. - Tìm vận tốc của điểm B và vận tốc góc của thanh AB: Tâm vận tốc tức thời P được xác định bằng phương pháp thực hành (hình 7.13) vv Ta có:  AB (a) AB AP BP Với: AP = AB. cosα = 40.cos600 = 20cm 3 BP = AB. sinα = 40.sin600 = 40. 20 3 cm 2 108 v. BP 20.20 3 Từ (a) v A   20 3 cm/s B AP 20 v 20  A   1/rad s AB AP 20 Vậy: vB  20 3 cm/s; AB 1/rad s Ví dụ 7.2. Một bánh xe lăn không trượt trên một đường ray thẳng có bán kính r = 0,5m (hình 7.14). Ở thời điểm khảo sát, vận tốc của tâm O là vo = 2m/s và gia tốc wo = 2m/s2. Hãy xác định: a) Vận tốc góc của bánh xe và vận tốc của các điểm M1, M2, M3, M4? b) Gia tốc góc của bánh xe và gia tốc của các điểm M1, M2, M3, M4? M3 0 vO M2 O M4 M 1 Hình 7.14 Giải: a) Vận tốc góc của bánh xe ωbx và vận tốc của M1, M2, M3, M4. Bánh xe lăn không trượt nghĩa là bánh xe đang chuyển động song phẳng Tâm vận tốc tức thời P là vị trí tiếp xúc của bánh xe với mặt đường ray (hình 7.15). M3 v 3 0 v 2 vO M2 O M4 v 4 M P 1 Hình 7.15 109 Vận tốc góc của bánh xe: v 2  0   4/rad s bx r 0.5 Vận tốc của điểm M1 là: v11 M P.  vp  0 m / s Vận tốc của điểm M2 là: v22 M P.  r 2.  0.52.4  22/ m s Vận tốc của điểm M3 là: v33 M P.  2. r .  2.0,5.4  4 m / s Vận tốc của điểm M4 là: v44 M P.  r 2.  0,52.4  22/ m s b) Gia tốc góc của bánh xe và gia tốc của M1, M2, M3, M4. M3 w M3 O w n M2 O w M3 O 0 w n M4 O M2 O M4 w n M2 O wO wM O w n 4 M 1O w M 1O M1 Hình 7.16 Ta có gia tốc góc của bánh xe được xác định bởi công thức: v d o d r 1 dv0 1 3 2     w   6/ rad s bx dt dt r dt r 0 0,5 Áp dụng định lý hợp gia tốc ta có:  n wM w O  w MO  w O  w MO  w MO  2 Với: wMO  r.  0,5.6  3 m / s n 2 2 2 wMO  r.  0,5.4  8 m / s 2 wO  3/ m s - Gia tốc tại M1: 110 w( w  w )(2  wn ) 2  (33)88/  2  2  m s 2 10MOMO11 - Gia tốc tại M2: w( w  wn )(2  w ) 2  (38)3  2  2  130/ m s 2 20MOMO22 - Gia tốc tại M3: w( w  w )(2  wn ) 2  (33)810/  2  2  m s 2 30MOMO33 - Gia tốc tại M4: w( w  wn )(2  w ) 2  (38)3  2  2  34/ m s 2 40MOMO44 Vậy: a) bx  4rad / s ; v1  0 m / s ; v2  2 2 m / s ; v3  4 m / s ; v4  2 2 m / s . 2 2 2 2 2 b) bx  6rad / s ; w1  8 m / s ; w2  130 m / s ; w3 10 m / s ; w4  34 m / s . Ví dụ 7.3: Cho cơ cấu tay quay - con trượt (hình 7.17). Tay quay OA = 20cm quay quanh O theo quy luật φ = 10t (t tính bằng giây) làm cho con chạy B chuyển động theo đường thẳng đứng nhờ thanh AB = 100cm. Tìm vận tốc và gia tốc của điểm B, vận tốc góc và gia tốc góc của thanh AB tại thời điểm tay quay OA AB và hợp với phương ngang góc α = 450. B A O Hình 7.17 Giải: - Khảo sát cơ hệ: + Tay quay OA chuyển động quay quanh O + Con trượt B chuyển động tịnh tiến theo phương thẳng đứng 111 + Thanh AB chuyển động song phẳng. * Xác định vận tốc của điểm B, vận tốc góc của thanh AB: - Xét tay quay OA chuyển động quay quanh O, ta có: 2 OA 10rad / s và OA 0/rad s vA có: + Phương: AB + Chiều: từ A đến B (hình 7.18a) + Trị số: vA  OA.  20.10  200 cm / s - Xác định tâm vận tốc tức thời P (sử dụng phương pháp thực hành). v w B P BA w n B AB B BA AB w AB vA B A y w n A OA A O O x a) b) Hình 7.18 Từ A và B kẻ hai đường thẳng lần lượt vuông góc với và vB , giao điểm P của hai đường thẳng là tâm vận tốc tức thời (hình 7.18a) vv Khi đó, ta có:  AB (a) AB AP BP Với: AP AB.tan  100.tan450  100 cm AB 100 BP   100 2 cm sin sin450 200 Từ (a)    2/rad s AB 100 112 v. BP 200.100 2 vA   200 2 cm / s B AP 100 * Xác định gia tốc của điểm B, gia tốc góc của thanh AB - Ta chọn A làm cực, giả thiết chiều wB, AB (hình 7.18b) - Gia tốc của điểm B được xác định bởi biểu thức: nn wB w A  w BA  w A  w A  w BA  w BA (b) Trong đó:   wA  0 (vì OA0 w A  OA . OA  0 ) n wA có: + Phương: OA + Chiều: từ A đến O (hình 7.18b) n 2 2 2 + Trị số: wA OA. OA  10 .20  2000 cm / s  wBA có: + Phương: vuông góc AB. + Chiều: cùng chiều  AB (hình 7.18b)  + Trị số: wBA  AB. AB n wBA có: + Phương: AB + Chiều: từ B đến A (hình 7.18b) n 2 2 2 + Trị số: wBA AB. OA  2 .100  400 cm / s - Chiếu hai vế biểu thức (b) lên Ax, ta được: wn 400 w.cos4502 wn  w BA   400 2 cm / s B BA B cos4500 cos45 - Chiếu hai vế biểu thức (b) lên Ay, ta được: 0 n  wB.sin 45   w A  w BA 2 w  wn  w.sin4502  2000  400 2.  1600 cm / s BA A B 2 w 1600  BA   16rad / s2 AB BA 100 2 2 Vậy: AB  2rad / s ; vB  200 2 cm / s ; wB  400 2 cm / s ;  AB 16rad / s 113 Ví dụ 7.4. Cho cơ cấu tay quay - con trượt có tay quay OA = 30cm quay đều với 0 vận tốc góc ω0 = 2rad/s. Tại vị trí thanh AB hợp với phương ngang một góc α = 30 (hình 7.19). Tìm: a) Vận tốc, gia tốc của điểm A? b) Vận tốc, gia tốc của điểm B và gia tốc góc của thanh AB? A 0 B O Hình 7.19 Giải: a) Vận tốc, gia tốc của điểm A Tay quay OA quay đều quanh quanh O, con chạy B chuyển động tịnh tiến, AB chuyển động song phẳng. A vA 0 B O vB P Hình 7.20 Vận tốc tại A: vA 0. R  2.30  60 cm / s  n Gia tốc tại A: wAAA w w  2 Với: wA  R.  R .0  0 cm / s n 2 2 2 wA  R.0  2 .30  120 cm / s n 2 wAA w120 cm / s b) Vận tốc, gia tốc của điểm B và gia tốc góc của thanh AB. 114 Xét thanh AB chuyển động song phẳng. Tâm vận tốc tức thời P được xác định như hình vẽ. Vì P → ∞ nên thanh AB chuyển động tịnh tiến tức thời (hình 7.20) vv  AB AB  0 * Tìm wB,: AB wA A n w A w n BA wBA o O B v B w B x y P Hình 7.21 - Chọn A làm cực. Áp dụng định lý hợp gia tốc ta có: nn wB w A  w BA  w A  w A  w BA  w BA  Mà: wA  0 (vì ω = const) n 2 wBA AB.0 AB (vì thanh AB chuyển động tịnh tiến tức thời có AB  0 ) n  wB  w A  w BA (a) Trong đó: n wA có: + Phương: OA, + Chiều: từ A đến O (hình 7.21) n 2 + Trị số: wA 120 cm / s  wBA có: + Phương: vuông góc AB + Chiều: cùng chiều  AB (hình 7.21)  + Trị số: wBA AB. AB 115 wB có: + Phương: ngang BO + Chiều: giả thiết như hình 7.21. + Trị số: wB chưa biết. - Chiếu biểu thức (a) lên trục x ta được: n wwBA.cos .sin n  wA.sin n 0 3 wwBA   .tan   120.tan30   120. cos 3  40 3cm / s2  0 Chiều của ngược chiều với giả thiết - Chiếu biểu thức (a) lên trục y ta được: n  wB.sin w A .cos w BA  n wBA  w A.cos  w B .sin 31 120.cos300  (  40 3).sin30 0  120.  40 3.  80 3cm / s 2 22 ww80 3 4 3 Mà: w  AB./  BA  BA   rad s2 BA AB AB AB OA / sin300 30 / 0.5 3 2 Vậy: a) vA  60 cm / s ; wA 120 cm / s . 43 b) w40 3 cm / s2 ;   rad/ s2 . B AB 3 C. CÂU HỎI ÔN TẬP 1. Thế nào là chuyển động song phẳng? Cho ví dụ? 2. Mô hình khảo sát chuyển động song phẳng? 3. Phương trình chuyển động song phẳng của hình phẳng? 4. Biểu thức xác định vận tốc của điểm thuộc vật chuyển động song phẳng? Định lý hình chiếu vận tốc? 5. Tâm vận tốc tức thời là gì? Trình bày bốn trường hợp xác định tâm vận tốc tức thời bằng phương pháp thực hành? 6. Biểu thức xác định gia tốc của điểm thuộc vật chuyển động song phẳng? 116 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phan Văn Cúc - Nguyễn Trọng, Giáo trình Cơ học lý thuyết, Nxb. Xây dựng – Hà Nội (2003). [2] Ninh Quang Hải, Cơ học lý thuyết, Nxb. Xây dựng - Hà Nội (1999). [3] Trần Trọng Hỉ - Đặng Thanh Tân, Giáo trình Cơ học lý thuyết, Nxb. Đại học Quốc gia TP. Hồ Chí Minh (2010). 4 Vũ Duy Cường, Giáo trình Cơ lý thuyết, Nxb. Đại học Quốc gia TP. Hồ Chí Minh (2003). 5 X. M. Targ, Giáo trình giản yếu cơ học lý thuyết (dịch), Nxb. ĐH & THCN - Hà Nội (1979). 6 Nguyễn Quốc Bảo, Đỗ Minh Tiến, Bài giảng Cơ lý thuyết (Cao đẳng), Trường ĐH Phạm Văn Đồng - Tài liệu lưu hành nội bộ (2016). 117