Bài giảng Cơ học vật liệu - Chương 4: Uốn thuần túy - Dương Phạm Tường Minh

4 Uốn thuần túy Nội dung Uốn thuần túy Tập trung ứng suất Các dạng chịu tải khác Biến dạng dẻo Uốn thuần túy các dầm đối xứng Dầm được tạo thành từ vật liệu đàn dẻo Biến dạng uốn Biến dạng dẻo của dầm có một mặt phẳng Biến dạng do uốn gây ra đối xứng Các thuộc tính mặt cắt của dầm Ứng suất dư Các thông số thép hình tiêu chuẩn Mỹ Ví dụ 4.05, 4.06 Biến dạng trong mặt cắt ngang Kéo nén lệch tâm trong mặt phẳng đối Bài tập ví dụ 4.2 xứng Uốn dầm được làm từ nhiều vật liệu Ví dụ 4.07 khác nhau Bài tập ví dụ 4.8 Ví dụ 4.03 Uốn xiên Dầm bê tông cốt thép Ví dụ 4.08 Bài tập ví dụ 4.4 Trường hợp tổng quát của kéo nén lệch tâm 4 - 2 Uốn thuần túy Uốn thuần túy: Dầm, đoạn dầm chịu tác dụng bởi cặp mô men uốn nội lực ngược chiều, cùng độ lớn nằm trong mặt phẳng đối xứng (mặt phẳng quán tính chính trung tâm). 4 - 3 Các dạng chịu tải khác • Kéo nén lệch tâm: Tải trọng dọc trục không đi qua tâm của mặt cắt sẽ sinh ra một lực dọc và một mô men uốn. • Tải trọng cắt ngang: Tải trọng ngang tập trung hoặc phân bố sẽ sinh ra lực cắt và mô men uốn. • Nguyên lý xếp chồng: Ứng suất pháp do uốn thuần túy gây ra có thể được cộng gộp với ứng suất pháp do kéo nén gây ra để xác định được trạng thái ứng suất tổng. 4 - 4 Uốn thuần túy các dầm đối xứng • Nội lực trên mặt cắt ngang bất kỳ tương đương với một ngẫu lực. Mô men của ngẫu lực này được gọi là mô men uốn. • Theo tĩnh học, một ngẫu lực M bao gồm 2 lực bằng nhau và ngược chiều. • Tổng các thành phần lực theo một phương bất kỳ phải bằng 0. • Mô men đối với trục bất kỳ vuông góc với mặt phẳng tải trọng đều bằng nhau và bằng 0 đối với trục bất kỳ nằm trong mặt phẳng tải trọng. • Các yêu cầu này được áp dụng để xác định các thành phần và mô men của nội lực phân tố chưa biết. Fx   x dA  0 M y   z x dA  0 M z    y x dA  M 4 - 5 Biến dạng uốn Uốn thuần túy dầm có một mặt phẳng đối xứng: • Dầm chịu uốn đều sẽ tạo thành một cung tròn • Mặt cắt ngang sẽ đi qua tâm của cung tròn và vẫn phẳng • Chiều dài của phần đỉnh giảm và chiều dài của phần đáy tăng Mặt cắt thẳng đứng và dọc (mặt phẳng đối xứng) • Sẽ tồn tại một mặt trung hòa song song với các mặt trên và dưới và chiều dài của nó không đổi • Ứng suất và biến dạng có giá trị âm (nén) ở phía trên và dương (kéo) ở phía dưới mặt trung hòa Mặt cắt nằm ngang và dọc 4 - 6 Biến dạng uốn Xét đoạn dầm chiều dài L. Sau khi biến dạng, chiều dài của thớ trung hòa vẫn duy trì là L. Tại các thớ khác, có: Ly     L  L  y  y yy       (biÕn d¹ng tuyÕn tÝnh ) x L   cc m  hay ρ  m y     xmc 4 - 7 Biến dạng uốn • Đối với vật liệu đàn hồi tuyến tính, y  EE     x xc m y    ()øng suÊt biÕn thiê n tuyÕn tÝnh c m • Điều kiện cân bằng, • Điều kiện cân bằng, y F  0   dA    dA y x  x  m M  y xm dA   y   dA c c  m I 0    y dA Mmm y2 dA c cc  Mô men tĩnh đối với mặt trung Mc M m   hòa phải bằng 0. Do đó, mặt phẳng IS trung hòa phải đi qua trọng tâm của y Thay vµo xm    mặt cắt. c My     x I 4 - 8 Các thuộc tính mặt cắt của dầm • Ứng suất pháp lớn nhất do uốn gây ra, Mc M   m IS I  m« men qu¸n tÝnh cña mÆt c¾t I S m« ®un chèng uèn cña mÆt c¾t c  Dầm có mô đun chống uốn lớn sẽ có ứng suất nhỏ. • Xét một mặt cắt ngang hình chữ nhật, có: I 1 bh3 S 12 11 bh2  Ah ch2 66 Giữa 2 dầm có cùng diện tích mặt cắt ngang, dầm nào có chiều cao lớn hơn sẽ chịu uốn tốt hơn. • Dầm kết cấu được chế tạo để có mô đun chống uốn lớn. 4 - 9 Các thông số của thép hình tiêu chuẩn Mỹ 4 - 10 Biến dạng ngang của mặt cắt • Biến dạng do mô men uốn M gây ra được xác định bởi độ cong của mặt trung hòa 1   1 Mc  m  m   c Ec Ec I M  EI • Mặc dù mặt cắt ngang vẫn phẳng khi chịu mô men uốn, nhưng biến dạng trong mặt cắt lại khác 0, yy    ;     y x z x • Sự phình ra ở phía trên và co lại ở phía dưới tạo ra độ cong trong mặt cắt, 1   ®é cong ®èi ®o¹n  4 - 11 Bài tập ví dụ 4.2 HƯỚNG GIẢI: • Từ hình dáng của mặt cắt ngang, xác định vị trí trọng tâm và mô men quán tính.  yA 2 Y  Ix  I  Ad   A • Áp dụng biểu thức uốn đàn hồi để tìm các ứng suất kéo và nén lớn nhất. Mc   m I Dầm gang chịu mô men 3 kN-m như hình vẽ. Biết E = 165 GPa và bỏ qua • Tính độ cong ảnh hưởng của các góc lượn, xác định 1 M  (a) ứng suất kéo và nén lớn nhất, (b)  EI bán kính cong của dầm. 4 - 12 Bài tập ví dụ 4.2 LỜI GIẢI: Từ hình dáng của mặt cắt ngang, xác định vị trí trọng tâm và mô men quán tính. DiÖn tÝch, mm23y , mm yA , mm 1 20 90  1800 50 90  103 2 40 30  1200 20 24  103 A3000 yA  114  103  yA 114103 Y    38 mm  A 3000 I  I  Ad 2  1 bh3  Ad 2 x   12   1 90 203 1800122  1 30 403 1200182 12  12  I  868103mm  86810-9 m4 4 - 13 Bài tập ví dụ 4.2 • Áp dụng biểu thức uốn đàn hồi để tìm các ứng suất kéo và nén lớn nhất. Mc   m I M cA 3 kN m0.022m   76.0 MPa  A   A I 868109 mm4 M cB 3 kN m0.038m  B      B  131.3 MPa I 868109 mm4 • Tính bán kính cong 1 M   EI 3 kN m 1 3 -1   20.9510 m 165 GPa86810-9 m4     47.7 m 4 - 14 Uốn dầm composite • Xét dầm composite được tạo bởi 2 lớp vật liệu có E1 và E2. • Biến dạng dọc biến thiên tuyến tính. y    x  • Ứng suất pháp biến thiên tuyến tính trên từng lớp. E y E y   E    1   E    2 1 1 x  2 2 x  Trục trung hòa không đi qua trọng tâm của mặt cắt. • Các lực phân tố trên mặt cắt là E y E y dF   dA   1 dA dF   dA   2 dA 1 1  2 2  My    • Xác định một mặt cắt chuyển đổi x I      n nE1y E1y E2 1 x 2 x dF2   dA   ndA n    E1 4 - 15 Ví dụ 4.03 HƯỚNG GIẢI: • Chuyển đổi thanh thực thành thanh đồng nhất tương đương được làm toàn bộ bằng đồng • Xác định các thuộc tính của mặt cắt chuyển đổi • Tính ứng suất lớn nhất trong mặt cắt chuyển đổi. Đây chính là ứng suất lớn nhất trong phần bằng đồng của thanh thực. Thanh được làm từ các vật liệu là 6 thép (Ethép = 29x10 psi) và đồng • Xác định ứng suất lớn nhất trong phần 6 (Eđồng = 15x10 psi) như hình vẽ. thép của thanh thực bằng cách nhân ứng Xác định ứng suất lớn nhất trong suất lớn nhất của mặt cắt chuyển đổi với thép và đồng khi có một mô men tỉ lệ của mô đun đàn hồi. 40 kip*in tác dụng. 4 - 16 Ví dụ 4.03 LỜI GIẢI: • Chuyển đổi thanh thực thành thanh đồng nhất tương đương được làm toàn bộ bằng đồng. 6 EthÐp 29 10 psi n  6 1.933 E®ång 15 10 psi bCh 0.4 in  1.933  0.75 in  0.4 in  2.25 in • Xác định các thuộc tính của mặt cắt chuyển đổi 113 3 I12 bCh h 12 2.25 in. 3 in  5.063 in4 • Tính ứng suất lớn nhất Mc 40 kip in1.5 in  m    11.85 ksi I 5.063 in4 b max   m  11.85 ksi  ®ång max    n  1.93311.85 ksi s max m   22.9 ksi  thÐp max 4 - 17 Dầm bê tông cốt thép • Dầm bê tông chịu uốn được gia cường bởi các thanh thép. • Các thanh thép phía dưới mặt trung hòa hoàn toàn chịu kéo và phía trên sẽ chịu nén. • Trong mặt cắt chuyển đổi, diện tích mặt cắt ngang của thép, Athép, được thay thế bởi diện tích tương đương nAthép với n = Ethép/Ebê tông. • Xác định vị trí của trục trung hòa, x bx  nA d  x  0 2 thÐp 1 2 2 bx nAthÐp x  nA thÐp d  0 • Ứng suất pháp trong bê tông và thép là My   x I bª t«ng xx&  thÐp n  4 - 18 Bài tập ví dụ 4.4 HƯỚNG GIẢI: • Chuyển đổi thành một dầm được làm hoàn toàn bằng bê tông. • Xác định các thuộc tính của mặt cắt chuyển đổi. • Tìm ứng suất lớn nhất trong bê tông và thép. Một sàn bê tông được gia cường bởi các thanh thép có đường kính 5/8 in. Biết mô đun đàn hồi của thép là 29x106psi và của bê tông là 3.6x106psi. Mô men uốn tác dụng trên 1-ft chiều rộng của sàn là 40 kip*in, xác định ứng suất lớn nhất trong bê tông và thép. 4 - 19 Bài tập ví dụ 4.4 LỜI GIẢI: • Chuyển đổi thành dầm được làm bằng bê tông. 6 EthÐp 29 10 psi n  6  8.06 Ebª t«ng 3.6 10 psi 2 nA 8.06  2 5 in  4.95 in2 thÐp 48  • Xác định các thuộc tính của mặt cắt chuyển đổi.  x  12x   4.954  x  0 x  1.450in  2 I  1 12in 1.45in 3  4.95in2 2.55in 2  44.4in4 3       • Tìm ứng suất lớn nhất trong bê tông và thép. Mc1 40 kip in 1.45 in    bª t«ng 1.306 ksi bª t«ng I 44.4 in4 Mc2 40 kip in 2.55 in  thÐp n 8.06 I 44.4 in4  thÐp 18.52 ksi 4 - 20 Tập trung ứng suất Mc   K Tập trung ứng suất có thể xảy ra: m I • Tại vùng lân cận của điểm đặt lực • Tại vùng lân cận của mặt cắt thay đổi đột ngột. 4 - 21 Biến dạng dẻo • Uốn thuần túy thanh bất kỳ y     biến dạng biến thiên tuyến tính x c m • Nếu thanh được làm từ vật liệu đàn hồi tuyến tính, thì trục trung hòa sẽ đi qua trọng tâm của mặt cắt My và    x I • Nếu vật liệu có quan hệ ứng suất-biến dạng là phi tuyến, thì vị trí của trục trung hòa phải thỏa mãn Fx   x dA  0 M    y x dA • Với thanh có 2 mặt phẳng đối xứng và vật liệu có quan hệ ứng suất – biến dạng về kéo và nén tương tự nhau, thì trục trung hòa sẽ đi qua trọng tâm của mặt cắt và mối quan hệ ứng suất – biến dạng có thể được sử dụng để biểu diễn sự phân bố biến dạng từ sự phân bố ứng suất. 4 - 22 Biến dạng dẻo • Khi ứng suất lớn nhất bằng độ bền tới hạn của vật liệu, phá hỏng sẽ xảy ra và mô men tương ứng Mu được xem như là mô men uốn tới hạn. • Giới hạn bền uốn, RB, được xác định từ một giá trị thực nghiệm của Mu và giả thiết ứng suất phân bố tuyến tính. Mc R  u B I • RB có thể được sử dụng để xác định Mu của thanh bất kỳ được làm bằng cùng một loại vật liệu và có cùng hình dáng mặt cắt ngang nhưng kích thước khác nhau. 4 - 23 Các dầm làm từ vật liệu đàn dẻo • Dầm chữ nhật được tạo thành từ vật liệu đàn dẻo Mc      x Y m I I    M    maximum elastic moment m Y Y c Y • Nếu mô men tăng vượt quá mô men đàn hồi lớn nhất, vùng dẻo sẽ phát triển xung quanh một lõi đàn hồi.  y2  M  3 M 1 1 Y  y  elastic core half - thickness 2 Y  3 2  Y  c  • Khi mô men uốn tăng thêm nữa, thì bề dày của lõi đàn hồi sẽ tiến dần tới 0, tương ứng với biến dạng dẻo hoàn toàn. M  3 M  plastic moment p 2 Y M k  p  shape factor (depends only on cross section shape) MY 4 - 24 Biến dạng dẻo của thanh chỉ có một mặt đối xứng • Biến dạng dẻo hoàn toàn của một dầm chỉ có một mặt phẳng đối xứng. • Trục trung hòa không thể coi là đi qua trọng tâm của mặt cắt. • Hợp lực R1 và R2 của các lực phân tố chịu kéo và nén tạo thành một ngẫu lực. R1  R2 A1Y  A2Y Trục trung hòa chia mặt cắt thành 2 phần có diện tích bằng nhau. • Mô men dẻo của thanh, M  1 A d p 2 Y  4 - 25 Ứng suất dư • Vùng dẻo sẽ phát triển trong dầm làm bằng vật liệu đàn dẻo nếu mô men uốn đủ lớn. • Do quan hệ tuyến tính giữa ứng suất pháp và biến dạng tại mọi điểm trong suốt quá trình nhả tải, nên nó có thể được sử dụng bằng cách giả thiết dầm đàn hồi hoàn toàn. • Ứng suất dư đạt được bằng cách áp dụng nguyên lý xếp chồng để xác định các ứng suất do chất tải bởi mô men M gây nên (biến dạng đàn dẻo) và nhả tải bởi mô men -M (biến dạng đàn hồi). • Giá trị cuối của ứng suất tại một điểm trong trường hợp tổng quát sẽ không bằng 0. 4 - 26 Ví dụ 4.05, 4.06 Một dầm mặt cắt ngang hình chữ nhật chịu mô men uốn M = 36.8 kN-m như hình vẽ. Biết dầm được tạo thành từ vật liệu đàn dẻo có giới hạn bền là 240 MPa và mô đun đàn hồi là 200 GPa. Xác định (a) bề dày của lõi đàn hồi, (b) bán kính cong của mặt trung hòa. Sau khi tải trọng được giảm về 0, xác định (c) sự phân bố của ứng suất dư, (d) bán kính cong. 4 - 27 Ví dụ 4.05, 4.06 • Bề dày của lõi đàn hồi:  y2  M  3 M 1 1 Y  2 Y  3 2   c   y2  36.8kN m  3 28.8kN m1 1 Y  2  3 2   c  y y Y  Y  0.666 2y  80mm c 60mm Y • Bán kính cong: • Mô men đàn hồi lớn nhất:  240106 Pa   Y  Y 9 I 2 E 20010 Pa  2 bc2  2 50103m60103m c 3 3  1.2103 6 3  12010 m yY Y  I 6 3  MY  Y  12010 m 240MPa c y 40103m   Y   28.8 kN m 3   33.3m Y 1.210 4 - 28 Ví dụ 4.05, 4.06 • M = 36.8 kN-m • M = -36.8 kN-m • M = 0 yY  40mm Mc 36.8kN m At the edge of the elastic core,  m     240MPa I 120106 m3 6 Y  x  35.510 Pa  x    306.7MPa  2 Y E 200109 Pa  177.5106 y 40103m    Y  6  x 177.510   225m 4 - 29 Kéo nén lệch tâm trong mặt phẳng đối xứng • Ứng suất do kéo nén lệch tâm gây ra được xác định bằng cách xếp chồng ứng suất phân bố đều do kéo nén đúng tâm gây ra và ứng suất phân bố tuyến tính do uốn thuần túy gây ra    x xkÐo nÐn x  uèn P My  AI • Kéo nén lệch tâm • Nhận xét: Để sử dụng được biểu thức trên, ứng F  P suất phải nhỏ hơn giới hạn đàn hồi, biến dạng M  Pd ảnh hưởng không đáng kể đến hình dáng, và không xác định ứng suất ở gần điểm đặt tải. 4 - 30 Ví dụ 4.07 HƯỚNG GIẢI: • Xác định tải trọng dọc trục và mô men uốn tương đương. • Xếp chồng ứng suất phân bố đều do kéo đúng tâm gây ra và ứng suất phân bố tuyến tính do uốn gây ra. • Tính ứng suất kéo và nén lớn nhất tại các cạnh trong và ngoài theo nguyên lý xếp chồng. Một mắt xích hở được tạo thành bằng cách uốn các thanh thép thành hình dạng như hình vẽ. Với tải trọng 160 lb, xác • Xác định trục trung hòa bằng cách định (a) ứng suất kéo và nén lớn nhất, tìm vị trí có ứng suất pháp bằng 0. (b) khoảng cách giữa tâm mặt cắt với trục trung hòa. 4 - 31 Ví dụ 4.07 • Ứng suất pháp do kéo đúng tâm gây ra A  c2   0.25in2  0.1963in2 P 160lb  0   A 0.1963in2  815psi • Tải trọng đúng tâm và mô • Ứng suất pháp do mô men uốn tương đương men uốn gây ra P  160lb I  1 c4  1  0.25 4 4 4   M  Pd  160lb0.6in  3.068103 in4  104lbin Mc 104lbin0.25in  m   I .068103 in4  8475psi 4 - 32 Ví dụ 4.07 • Ứng suất kéo và nén lớn nhất • Vị trí trục trung hòa P My     0   0 t 0 m A I  815 8475 t  9260psi P I 3.068103in4     y   815psi c 0 m 0 A M 105lbin  8158475 c  7660psi y0  0.0240in 4 - 33 Bài tập ví dụ 4.8 Ứng suất cho phép lớn nhất về kéo và nén của thanh gang lần lượt là 30 MPa và 120 MPa. Xác định tải trọng lớn nhất P tác dụng lên thanh. HƯỚNG GIẢI: • Xác định tải trọng dọc trục và mô men uốn tương đương. • Xếp chồng các ứng suất do kéo đúng tâm và uốn gây ra. • Xác định tải trọng tới hạn theo ứng suất Từ bài tập mẫu 4.2, cho phép về kéo và nén. 3 2 A  310 m • Tải trọng lớn nhất cho phép là giá trị nhỏ Y  0.038m hơn trong số các tải trọng tới hạn. I  868109 m4 4 - 34 Bài tập ví dụ 4.8 • Xác định tải trọng đúng tâm và mô men uốn tương đương. dm0.038  0.010  0.028 P  t¶i träng ®óng t©m M Pd 0.028 P  m« men uèn • Xếp chồng các ứng suất do kéo đúng tâm và uốn gây ra PPMc 0.028P 0.022    A     377P A AI 3 1039 868 10 PPMc 0.028P 0.038    B     1559P B AI 3 1039 868 10 • Tính tải trọng tới hạn theo ứng suất cho phép.  A  377PP  30 MPa   79.6 kN  B  1559PP   120 MPa   77 kN • Tải trọng cho phép lớn nhất P  77.0 kN 4 - 35 Uốn xiên • Phân tích uốn thuần túy mới chỉ giới hạn cho các dầm chịu các ngẫu lực nằm trong mặt phẳng đối xứng. • Các dầm vẫn đối xứng và uốn trong mặt phẳng đối xứng. • Trục trung hòa của mặt cắt ngang luôn vuông góc với mặt phẳng chứa ngẫu lực (mặt phẳng tải trọng) • Ta sẽ xét trường hợp mô men uốn không nằm trong mặt phẳng đối xứng. • Ta không thể giả thiết rằng dầm sẽ bị uốn trong mặt phẳng tải trọng. • Trong trường hợp tổng quát, trục trung hòa của mặt cắt sẽ không vuông góc với mặt phẳng tải trọng. 4 - 36 Uốn xiên Các điều kiện cân bằng: y • 0 Fx  x dA   m dA c hay 0   ydA  trục trung hòa đi qua trọng tâm Ta đề xuất xác định được điều kiện để y trục trung hòa của mặt cắt có hình dạng • M Mzm   y   dA  c bất kỳ luôn vuông góc với mặt phẳng tải σIm trọng như hình vẽ. hay M víi I  Iz  m « men qu¸n tÝnh c  xác định sự phân bố ứng suất • Hợp lực và mô men từ sự phân bố y lực phân tố trên mặt cắt ngang 0 M  z dA  z  dA • y x m phải thỏa mãn: c hay 0 yz dA  I  m« men qu¸n tÝnh ly t©m FMMM0    ngÉu lùc t¸c dông  yz x y z  véc tơ mô men phải trùng với trục quán tính chính trung tâm. 4 - 37 Uốn xiên Nguyên lý xếp chồng được sử dụng để xác định ứng suất trong hầu hết các bài toán uốn xiên. • Phân tích véc tơ ngẫu lực thành 2 thành phần theo các trục quán tính chính trung tâm. M z  M cos M y  M sin • Xếp chồng các thành phần ứng suất phân bố Mz Myz y  x    IIzy • Trên trục trung hòa, Mz Myz y Mcos y M sin  z  x 0       IIIIz y z y y I tanz tan zIy 4 - 38 Ví dụ 4.08 HƯỚNG GIẢI: • Phân tích véc tơ mô men thành các thành phần theo các trục quán tính chính trung tâm và tính các ứng suất tương ứng. M z  M cos M y  M sin • Kết hợp các ứng suất từ các ứng suất thành phần. M z y M y y  x    Dầm gỗ hình chữ nhật chịu mô men Iz I y uốn 1600 lb-in trong mặt phẳng tạo một góc 30° so với phương thẳng đứng. Xác • Xác định góc của trục trung hòa. định (a) ứng suất lớn nhất trong dầm, y I tan   z tan (b) góc hợp bởi trục trung hòa với mặt z I y phẳng ngang. 4 - 39 Ví dụ 4.08 • Tách véc tơ mô men thành các thành phần theo các trục quán tính chính trung tâm và tính ứng suất lớn nhất. M z 1600 lb  in cos30  1386 lb  in M y 1600 lb  in sin 30  800 lb  in 1 3 4 I z 12 1.5 in 3.5 in 5.359 in 1 3 4 I y 12 3.5 in 1.5 in 0.9844 in øng suÊt kÐo lín nhÊt do Mz g©y ra nºm däc theo c¹nh AB Myz 1386 lb in 1.75 in 1  4  452.6 psi I z 5.359 in øng suÊt kÐo lín nhÊt do My g©y ra nºm däc theo c¹nh AD Mzy 800 lb in 0.75 in  2  4  609.5 psi I y 0.9844 in • Ứng suất kéo lớn nhất do uốn xiên gây ra tại điểm A. max  1 2  452.6  609.5 max 1062psi 4 - 40 Ví dụ 4.08 • Xác định góc của trục trung hòa. I 5.359in4 tan  z tan  tan 30 4 I y 0.9844in  3.143   72.4o 4 - 41 Trường hợp tổng quát của kéo nén lệch tâm • Xét một thanh thẳng chịu 2 lực lệch tâm có giá trị bằng nhau và ngược chiều. • Lực lệch tâm tương đương với một hệ gồm một lực đúng tâm và 2 mô men. P  lùc ®óng t©m Myz Pa M Pb • Sử dụng nguyên lý xếp chồng, ứng suất tổng sẽ là P M z y M y z  x    A Iz I y • Nếu trục trung hòa nằm trên mặt cắt ngang, thì nó có thể được xác định từ biểu thức M M P z y  y z  Iz I y A 4 - 42