Bài giảng Cơ học vật liệu - Chương 3: Xoắn thuần túy - Dương Phạm Tường Minh

3 Xoắn thuần túy Nội dung Giới thiệu Trục siêu tĩnh Tải trọng xoắn trong các trục tròn Bài tập ví dụ 3.4 Ứng suất tiếp do mô men xoắn gây ra Thiết kế trục truyền Các thành phần ứng suất tiếp dọc trục Tập trung ứng suất Biến dạng của trục Biến dạng dẻo Biến dạng trượt Vật liệu đàn dẻo Ứng suất trong miền đàn hồi Ứng suất dư Ứng suất pháp Ví dụ 3.08/3.09 Các dạng phá hỏng do xoắn Xoắn các trục không tròn Bài tập ví dụ 3.1 Trục rỗng thành mỏng Góc xoắn trong miền đàn hồi Ví dụ 3.10 3 - 2 Tải trọng xoắn trong các trục tròn • Nghiên cứu các ứng suất và biến dạng của trục tròn chịu các ngẫu lực xoắn hoặc mô men xoắn. • Động cơ tác dụng mô men xoắn T lên trục. • Trục truyền mô men xoắn đến tua- bin. • Tua-bin tạo một mô men xoắn bằng và ngược chiều T’ 3 - 3 Ứng suất tiếp do mô men xoắn gây ra • Hợp lực của ứng suất là mô men xoắn nội lực, bằng và ngược chiều với mô men xoắn ngoại lực, T    dF    dA • Mặc dù ứng suất tiếp do mô men xoắn gây ra có thể xác định được nhưng sự phân bố của ứng suất thì không. • Sự phân bố ứng suất tiếp không thể xác định được bằng tĩnh học đơn thuần – cần phải xét đến các biến dạng của trục. • Không giống như ứng suất pháp do tải trọng dọc trục gây ra, sự phân bố ứng suất tiếp do mô men xoắn gây ra không thể giả thiết là đều. 3 - 4 Các thành phần ứng suất tiếp dọc trục • Mô men xoắn tác dụng lên trục gây ra ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang. • Các điều kiện cân bằng đòi hỏi phải tồn tại các ứng suất có cùng giá trị trên 2 mặt chứa đường tâm trục. • Sự tồn tại ứng suất tiếp theo phương dọc trục được biểu thị bằng cách coi trục được tạo thành từ các thanh dọc trục. Các thanh sẽ trượt với nhau khi có mô men xoắn cùng giá trị và ngược chiều tác dụng tại 2 đầu. Nhưng trục đồng chất thì không  có xu hướng trượt  phải tồn tại ứng suất tiếp. 3 - 5 Biến dạng của trục • Theo quan sát, góc xoắn của trục tỉ lệ với mô men xoắn tác dụng và chiều dài của trục.   T   L • Khi chịu xoắn, mọi mặt cắt ngang của trục tròn vẫn phẳng và không biến dạng. • Các mặt cắt ngang của trục tròn rỗng và đặc vẫn phẳng và không biến dạng bởi vì trục tròn có tính chất đối xứng trục. • Các trục có mặt cắt ngang không tròn (không đối xứng trục) sẽ bị biến dạng (vênh) khi chịu xoắn. 3 - 6 Biến dạng trượt • Xét một mặt cắt trên trục. Khi tác dụng mô men xoắn, phân tố hình lập phương trên chu vi sẽ biến dạng thành hình thoi. • Vì các mặt bên của phân tố vẫn phẳng, nên biến dạng trượt sẽ bằng góc xoắn. • Theo đó có  L   hay   L • Biến dạng trượt tỉ lệ với góc xoắn và bán kính c   &    maxLc max 3 - 7 Ứng suất trong miền đàn hồi • Nhân biểu thức trên với mô đun đàn hồi trượt,  G  G c max Theo định luật Húc,   G , ta có     c max Ta thấy ứng suất tiếp biến thiên tuyến tính J  1c4 2 với bán kính trên mặt cắt ngang. • Nhớ rằng tổng mô men của sự phân bố ứng suất có giá trị bằng mô men xoắn trên mặt cắt ngang,  2  T    dA  max   dA  max J c c • Các kết quả này được xem như là các biểu 1 4 4 thức xoắn đàn hồi, J   c2  c1  2 Tc T   & max JJ 3 - 8 Ứng suất pháp • Các phân tố có các mặt song song và vuông góc với đường tâm của trục chỉ chịu ứng suất tiếp. Ứng suất pháp, ứng suất tiếp hoặc kết hợp cả 2 có thể được xác định theo các định hướng khác. • Xét một phân tố hợp với đường tâm trục một góc 45o, F  2max A0 cos45  max A0 2 F  A 2    max 0   45o max A A0 2 • Phân tố a chịu cắt (trượt) thuần túy. • Phân tố c chịu ứng suất kéo trên 2 mặt và ứng suất nén trên 2 mặt còn lại. • Lưu ý rằng tất cả các ứng suất cho các phân tố a và c đều có cùng độ lớn. 3 - 9 Các dạng phá hỏng do xoắn • Các vật liệu dẻo thường bị phá hỏng do cắt. Vật liệu dòn chịu kéo kém hơn cắt. • Khi chịu xoắn, vật liệu dẻo sẽ bị phá hỏng theo mặt phẳng có ứng suất tiếp lớn nhất, tức là mặt cắt ngang. • Khi chịu xoắn, vật liệu dòn sẽ bị phá hỏng theo mặt phẳng vuông góc với phương có ứng suất kéo lớn nhất, tức là theo mặt hợp với đường tâm của trục một góc 45o. 3 - 10 Bài tập ví dụ 3.1 HƯỚNG GIẢI: • Dùng các mặt phẳng cắt qua các đoạn trục AB, BC và CD để xác định mô men xoắn nội lực cho từng đoạn. • Áp dụng các công thức cho xoắn đàn hồi để tìm ứng suất lớn nhất và nhỏ nhất trên trục BC Trục truyền ABCD chịu lực như hình vẽ. Biết đoạn BC rỗng có đường kính trong và • Từ biểu thức xoắn đàn hồi và ứng ngoài lần lượt là 90 mm và 120 mm. Các suất tiếp cho phép, tìm đường kính đoạn trục AB và CD đặc có đường kính d. cho phép. Xác định (a) ứng suất tiếp lớn nhất và nhỏ nhất trong trục BC, (b) đường kính cho phép d của trục AB và CD nếu ứng suất tiếp cho phép trong các đoạn trục là 65 MPa. 3 - 11 Bài tập ví dụ 3.1 LỜI GIẢI: • Dùng các mặt phẳng cắt trục qua các đoạn AB và BC và áp dụng các phương trình cân bằng tĩnh học để tìm mô men xoắn nội lực.  M x  0  6kN mTAB  M x  0  6kN m 14kN mTBC TAB  6kN m  TCD TBC  20kN m 3 - 12 Bài tập ví dụ 3.1 • Áp dụng các biểu thức xoắn đàn • Từ giá trị ứng suất tiếp cho phép và mô hồi để tìm ứng suất lớn nhất và men xoắn, xác định đường kính cho nhỏ nhất trong trục BC phép của trục.   J  c4  c4  0.0604  0.0454 Tc Tc 6kN m  2 1    max   65MPa  2 2 J  c4  c3 2 2  13.92106 m4 c  38.9103m TBCc2 20kN m0.060m max  2   J 13.92106 m4 d  2c  77.8mm  86.2MPa  c  45mm min  1 min  max c2 86.2MPa 60mm max  86.2MPa min  64.7MPa min  64.7MPa 3 - 13 Góc xoắn trong miền đàn hồi • Ta đã có mối quan hệ giữa góc xoắn và biến dạng trượt lớn nhất là, c   max L • Trong miền đàn hồi, biến dạng trượt và ứng suất tiếp liên hệ với nhau bởi định luật Húc,  Tc   max  max G JG • Cân bằng 2 biểu thức trên ta có, TL   JG • Nếu tải trọng xoắn hoặc mặt cắt ngang của trục thay đổi theo chiều dài, thì góc xoắn được xác định là tổng góc xoắn của từng đoạn: T L    i i i JiGi 3 - 14 Bài toán xoắn siêu tĩnh • Cho trục chịu mô men xoắn và kích thước như hình vẽ, xác định mô men xoắn phản lực tại A và B. • Từ phương trình cân bằng tĩnh học ta có: TA TB  90lbft ta thấy phương trình này không đủ để tìm 2 mô men phản lực tại 2 đầu. Bài toán này được gọi là bài toán siêu tĩnh. • Chia trục thành 2 phần, chúng phải có các biến dạng thích hợp, tức là: TAL1 TBL2 L1J2   1 2    0 TB  TA J1G J2G L2J1 • Thay vào phương trình cân bằng ở trên ta có: L1J2 TA  TA  90lbft L2J1 3 - 15 Bài tập ví dụ 3.4 HƯỚNG GIẢI: • Áp dụng phân tích cân bằng tĩnh trên 2 trục để tìm ra mối liên hệ giữa TCD và T0 • Áp dụng các phân tích động học để liên hệ các góc xoay của 2 bánh răng. • Tìm mô men xoắn cho phép tác dụng Hai trục thép truyền chuyển động cho lên mỗi trục – chọn giá trị nhỏ nhất. nhau thông qua các bánh răng. Biết • Tìm góc xoắn tương ứng cho mỗi trục rằng mỗi trục có G = 11.2 x 106 psi và và góc xoắn thực của đầu A ứng suất tiếp cho phép là 8 ksi, xác định (a) mô men xoắn lớn nhất T0 có thể tác dụng lên trục AB, (b) góc xoắn tại đầu A của trục AB. 3 - 16 Bài tập ví dụ 3.4 LỜI GIẢI: • Áp dụng phân tích cân bằng tĩnh trên • Áp dụng phân tích động học để liên hệ 2 trục để tìm mối liên hệ giữa TCD và các góc xoay của bánh răng. T0 rBB  rCC  M B  0  F0.875in.T0 rC 2.45in. B  C  C  MC  0  F2.45in.TCD rB 0.875in. TCD  2.8T0 B  2.8C 3 - 17 Bài tập ví dụ 3.4 • Tìm T0 theo mô men lớn nhất cho • Tìm góc xoắn cho mỗi trục và góc xoắn phép tác dụng lên mỗi trục – chọn thực của đầu A giá trị nhỏ hơn T L 561lb in.24in.   AB  A / B  4 6 J ABG 0.375in. 11.210 psi 2      0.387rad  2.22o TcAB T0 0.375 in.  max  8000 psi  4 TCDL 2.8561lb in.24in. J  0.375 in.    AB 2   C / D  4 6 JCDG 0.5in. 11.210 psi 2     T0 663 lb in. o TcCD 2.8T0  0.5 in.  0.514rad  2.95  max  8000 psi  J  0.5 in. 4 CD 2   o o B  2.8C  2.82.95  8.26 T0 561 lb in. o o o T0  561lbin A  B  A / B  8.26  2.22 A  10.48 3 - 18 Thiết kế các trục truyền • Xác định mô men xoắn tác dụng lên trục • Các đặc tính kỹ thuật chủ yếu theo tốc độ và công suất danh nghĩa, của trục truyền là: PP P T 2 fT  T   • Công suất 2 f • Tốc độ • Thực tế hay dùng công suất truyền của động cơ P(kW) và tốc độ vòng quay của • Người thiết kế phải chọn vật liệu trục n(vòng/phút), nên: chế tạo và mặt cắt ngang của trục P kW  để thỏa mãn các đặc tính kỹ T 9550 N . m thuật mà không vượt quá ứng n vòng phút suất tiếp cho phép. • Tìm mặt cắt ngang của trục để ứng suất không vượt quá ứng suất tiếp cho phép, Tc  max J JT c3 trôc ®Æc c 2 max JT 44 cc21   trôc rçng cc22 2 max 3 - 19 Tập trung ứng suất • Công thức xoắn, Tc   max J áp dụng cho một trục tròn có mặt cắt ngang không đổi chịu tải trọng thông qua tấm tuyệt đối cứng đặt ở đầu trục. • Việc sử dụng các mặt bích, bánh răng và pu- ly để lắp lên trục thông qua then, rãnh then, và mặt cắt ngang không liên tục có thể gây ra tập trung ứng suất. • Hệ số tập trung ứng suất được xác định bằng thí nghiệm hoặc mô phỏng số. Tc   K max J Hệ số tập trung ứng suất tại vị trí bo tròn của trục tròn chịu xoắn 3 - 20 Biến dạng dẻo • Với giả thuyết vật liệu đàn hồi tuyến tính, ta có: Tc   max J • Nếu giới hạn bền bị vượt quá hoặc vật liệu có đường cong ứng suất-biến dạng trượt phi tuyến, thì biểu thức này không còn đúng nữa. • Biến dạng trượt biến thiên tuyến tính không phụ thuộc vào các thuộc tính của vật liệu. Việc áp dụng đường cong ứng suất-biến dạng trượt cho phép xác định sự phân bố ứng suất. • Tích phân các mô men từ sự phân bố ứng suất sẽ cân bằng với mô men xoắn trên mặt cắt, c c 2 T    2 d  2    d 0 0 3 - 21 Vật liệu đàn dẻo (Elastoplastic) • Tại giá trị mô men xoắn đàn hồi lớn nhất, có J L T    1 c3   Y Y c Y 2 Y Y c • Khi mô men xoắn được tăng lên, một vùng dẻo (   Y ) sẽ phát triển xung quanh một lõi đàn hồi (  )   Y Y L   Y Y   3   3  T  2c3 1 1 Y   4 T 1 1 Y  3 Y  4 3  3 Y  4 3   c   c   3  T  4 T 1 1 Y  3 Y  4 3     • Khi  Y  0 , mô men xoắn sẽ tiến tới một giá trị tới hạn, 4 TPY3 T mo men xoan deo 3 - 22 Ứng suất dư • Vùng dẻo sẽ phát triển trong trục khi nó chịu một mô men xoắn đủ lớn. • Khi thôi tác dụng mô men xoắn, sự giảm ứng suất và biến dạng tại mỗi điểm sẽ xảy ra theo đường thẳng đến một giá trị ứng suất dư khác không. • Trên đường cong T-, trục sẽ hạ tải theo một đường thẳng đến một góc lớn hơn 0. • Ứng suất dư được xác định từ nguyên lý độc lập cộng tác dụng. Tc  dA  0   m J 3 - 23 Ví dụ 3.08/3.09 LỜI GIẢI: • Giải công thức (3.32) để tìm Y/c và xác định bán kính lõi đàn hồi. • Giải công thức (3.36) để tìm góc xoắn Một trục tròn đặc chịu mô men • Giải công thức (3.16) để tìm góc xoắn T  4 .6 kN  m tại 2 đầu. Giả thiết xoắn sau khi thôi tác dụng mô men rằng trục được làm bằng vật liệu đàn xoắn. Biến dạng dư là sự khác nhau dẻo với  Y  150 MPa và G  77 GPa giữa các góc khi xoắn và thôi xoắn. Xác định (a) bán kính của lõi đàn hồi, (b) góc xoắn của trục. Khi mô • Tìm sự phân bố ứng suất dư bằng sự men xoắn thôi tác dụng, hãy xác định xếp chồng ứng suất do xoắn và thôi (c) biến dạng xoắn vĩnh cửu, (d) sự xoắn gây ra. phân bố ứng suất dư. 3 - 24 Ví dụ 3.08/3.09 LỜI GIẢI: • Giải công thức (3.36) để tìm góc xoắn • Giải công thức (3.32) để tìm Y/c    và xác định bán kính lõi đàn hồi.  Y    Y 1  c  c  3    T  3 Y Y T  4 T 1 1 Y   Y  4  3  3 Y  4 3    3 c c  TY  T L 3.6810 N 1.2m     Y    Y -9 4 J  1 c4  1  25103m JG 61410 m 7710Pa 2 2     93.4103rad  614109 m4 Y 3 T c  J 93.410 rad 3 o   Y  T  Y    148.310 rad  8.50 Y J Y c 0.630 o 150106 Pa614109 m4    8.50 TY  25103m  3.68kN m 1   4.6  3 Y  4  3   0.630 c  3.68 Y 15.8mm 3 - 25 Ví dụ 3.08/3.09 • Giải công thức (3.16) để tìm góc • Tìm sự phân bố ứng suất dư bằng sự xoắn sau khi thôi tác dụng mô xếp chồng ứng suất do xoắn và thôi men xoắn. Biến dạng dư là sự xoắn gây ra. khác nhau giữa các góc khi xoắn 3 3 và thôi xoắn. Tc 4.610 N m2510 m max   J 61410-9 m4 TL    187.3MPa JG 4.6103 N m 1.2m    6.14109 m4 77109 Pa  116.8103rad φp     116.8103 116.8103rad  1.81o o  p  1.81 3 - 26 Xoắn thanh mặt cắt không tròn • Các công thức xoắn đã học chỉ đúng cho các trục tròn. • Mặt cắt ngang phẳng của các trục không tròn sẽ không còn phẳng và sự phân bố ứng suất-biến dạng sẽ không còn tuyến tính. • Đối với các mặt cắt ngang hình chữ nhật, T TL max    Các hệ số cho thanh c ab2 c ab3G chữ nhật chịu xoắn 1 2 • Với giá trị lớn của a/b, ứng suất tiếp lớn nhất và góc xoắn của các mặt cắt hở được tính giống như thanh mặt cắt chữ nhật. 3 - 27 Trục rỗng thành mỏng • Hợp lực theo phương x trên phân tố AB,  Fx0   A t A  x   B t B  x τAABB t = τ t = τt = q  luång c¾t ứng suất tiếp biến thiên tỉ lệ nghịch với bề dày • Xác định mô men xoắn từ tích phân mô men do ứng suất tiếp gây ra. dM0  pdF  p  tds  q pds  2 qdA T dM 22 qdA  qA 0 TT q     22A tA • Góc xoắn TL ds   4A2 G t 3 - 28 Ví dụ 3.10 Một ống nhôm có mặt cắt ngang hình chữ nhật chịu mô men xoắn 24 kip-in. Xác định ứng suất tiếp trong mỗi vách của mặt cắt nếu (a) bề dày của vách không đổi và bằng 0.160 in. và (b) các bề dày là 0.120 in. trên AB và CD và 0.200 in. trên CD và BD. HƯỚNG GIẢI: • Xác định luồng cắt trong thành ống. • Tìm ứng suất tiếp tương ứng trên mỗi bề dày thành. 3 - 29 Ví dụ 3.10 LỜI GIẢI: • Xác định ứng suất tiếp trong mỗi • Xác định luồng cắt trong thành ống. bề dày thành. Với bề dày thành không đổi, q 1.335kip in.    t 0.160in.   8.34ksi Với bề dày thành thay đổi, 1.335kip in.     AB AC 0.120in. A  3.84in.2.34in.  8.986in.2  AB  BC 11.13ksi T 24kip -in. kip q    1.335 2 1.335kip in. 2A 28.986in.  in.     BD CD 0.200in. BC  CD  6.68ksi 3 - 30