Bài giảng Cơ học vật liệu - Chương 2: Ứng suất và biến dạng - Tải trọng dọc trục - Dương Phạm Tường Minh

2 Ứng suất và Biến dạng – Tải trọng dọc trục Nội dung Ứng suất & Biến dạng: Tải trọng dọc trục Định luật Hooke tổng quát Biến dạng dọc Sự giãn nở: Mô đun đàn hồi khối Thí nghiệm Ứng suất-Biến dạng Biến dạng trượt Đồ thị Ứng suất-Biến dạng: Vật liệu dẻo Ví dụ 2.10 Đồ thị Ứng suất-Biến dạng: Vật liệu dòn Mối liên hệ giữa E, n, và G Định luật Hooke: Mô đun đàn hồi Bài tập ví dụ 2.5 Ứng xử đàn hồi và dẻo Vật liệu Composite Mỏi Nguyên lý Saint-Venant Biến dạng khi kéo nén Tập trung ứng suất: Lỗ Ví dụ 2.01 Tập trung ứng suất: Góc lượn Bài tập ví dụ 2.1 Ví dụ 2.12 Bài toán siêu tĩnh Vật liệu đàn dẻo Ví dụ 2.04 Biến dạng dẻo Ứng suất nhiệt Ứng suất dư Hệ số Poisson Ví dụ 2.14, 2.15 và 2.16 2 - 2 Ứng suất & Biến dạng: Tải trọng dọc trục • Việc thiết kế máy hoặc kết cấu cần phải quan tâm đến biến dạng và ứng suất sinh ra khi chúng chịu tác dụng của tải trọng. Vấn đề này chưa được quan tâm trong các bài toán tĩnh học. • Coi các kết cấu là các vật rắn biến dạng cho phép xác định được các lực và phản lực trong các bài toán siêu tĩnh. • Để xác định sự phân bố ứng suất trong một bộ phận kết cấu thì phải quan tâm đến các biến dạng của nó. • Chương này đề cập đến biến dạng của một bộ phận kết cấu chịu tác dụng bởi tải trọng dọc trục. Những chương tiếp theo sẽ giải quyết các bài toán xoắn và uốn thuần túy. 2 - 3 Biến dạng dọc Hình 2.1 Thanh chịu kéo P    Ứng suất 2P P P A      A  2A A    Biến dạng  2  L      L 2L L 2 - 4 Thí nghiệm xác định quan hệ Ứng suất-Biến dạng Hình 2.2 Máy thí nghiệm kéo Hình 2.3 Mẫu thí nghiệm kéo 2 - 5 Đồ thị Ứng suất-Biến dạng: Vật liệu dẻo (a) Thép các-bon thấp (b) Hợp kim nhôm Hình 2.4 Đồ thị ứng suất-biến dạng của 2 vật liệu dẻo điển hình 2 - 6 Đồ thị Ứng suất-Biến dạng: Vật liệu dòn Hình 2.5 Đồ thị ứng suất-biến dạng của vật liệu dòn điển hình 2 - 7 Định luật Hooke (Húc): Mô đun đàn hồi • Giai đoạn đàn hồi (phía dưới ứng suất chảy)  E  E = Mô đun đàn hồi • Độ bền bị ảnh hưởng bởi việc hợp kim hóa, xử lí nhiệt, quá trình sản xuất nhưng độ cứng (Mô đun đàn hồi) thì không. Hình 2.6 Đồ thị ứng suất-biến dạng của sắt và các loại thép khác nhau 2 - 8 Ứng xử Đàn hồi và Dẻo • Nếu biến dạng biến mất khi thôi tác dụng lực, thì ta nói vật liệu làm việc trong miền đàn hồi. • Giá trị ứng suất lớn nhất tương ứng với giai đoạn đàn hồi được gọi là giới hạn đàn hồi. • Nếu biến dạng không trở về vị trí ban đầu sau khi thôi tác dụng lực, thì ta nói vật liệu làm Hình 2.7 Quan hệ ứng suất-biến dạng của việc trong miền dẻo. vật liệu dẻo chịu tải vượt quá giới hạn chảy sau đó nhả tải 2 - 9 Mỏi • Đặc tính mỏi của vật liệu được biểu diễn trên đồ thị Ứng suất-số chu kỳ nghịch đảo. • Một chi tiết có thể bị phá hỏng ở giá trị ứng suất khá thấp so với giới hạn bền khi nó chịu tải trọng theo chu kỳ. Khi đó ta nói chi tiết bị phá hỏng do mỏi. • Khi ứng suất được giảm xuống dưới giới hạn bền mỏi, thì phá hỏng do mỏi sẽ không xảy ra với bất kỳ số chu kỳ nào. Hình 2.8 Các đường cong -n điển hình 2 - 10 Biến dạng khi kéo nén • Theo định luật Húc có:  P   E    E AE • Theo định nghĩa biến dạng có:    L • Suy ra: PL   AE • Nếu tải trọng, mặt cắt ngang hoặc các thuộc tính của vật liệu thay đổi thì, Hình 2.9 Biến dạng của P L thanh chịu tải trọng dọc trục    i i i Ai Ei 2 - 11 Ví dụ 2.01 HƯỚNG GIẢI: • Phân đoạn tải trọng cho thanh dựa theo vị trí đặt lực. • Áp dụng điều kiện cân bằng cho E  29106 psi mỗi đoạn để xác định nội lực D  1.07 in. d  0.618 in. • Tính tổng các biến dạng của từng Xác định biến dạng cho thanh đoạn. thép chịu lực như hình vẽ. 2 - 12 LỜI GIẢI: • Áp dụng các phương trình cân bằng tĩnh học cho mỗi đoạn để xác định các nội lực, • Chia thanh thành 3 đoạn: 3 P1  6010 lb 3 P2  1510 lb 3 P3  3010 lb • Tính chuyển vị tổng, PiLi 1  P1L1 P2L2 P3L3          i AiEi E  A1 A2 A3  1  60103 12 15103 12 30103 16          6   2910  0.9 0.9 0.3   75.9103in. L  L  12 in. L  16 in. 1 2 3   75.9103 in. 2 2 A1  A2  0.9 in A3  0.3 in 2 - 13 Bài tập ví dụ 2.1 HƯỚNG GIẢI: • Xét sự cân bằng cho thanh BDE để tìm nội lực trong các thanh AB và DC. • Xác định biến dạng của các thanh Thanh tuyệt đối cứng BDE được treo bởi 2 AB và DC hoặc chuyển vị của các thanh AB và CD và chịu tác dụng bởi 1 lực điểm B và D. 30 kN như hình vẽ. • Xét tương quan hình học để tìm Thanh AB bằng nhôm (E = 70 GPa) và có chuyển vị tại E theo các chuyển vị diện tích mặt cắt ngang là 500 mm2. tại B và D. Thanh CD bằng thép (E = 200 GPa) và có diện tích mặt cắt ngang là 600 mm2. Xác định chuyển vị của các điểm B, D, và E. 2 - 14 Bài tập ví dụ 2.1 LỜI GIẢI: Chuyển vị của điểm B: PL Vật thể tự do: Thanh BDE   B AE  60103 N 0.3m    50010-6 m2 70109 Pa  514106 m  B  0.514 mm  Chuyển vị của điểm D: M  0  B PL 0  30 kN  0.6 m F  0.2 m  D    CD AE F 90 kN kÐo CD 90103 N 0.4m     M0D  -6 2 9 60010 m 20010 Pa 0  30 kN  0.4 m FAB  0.2 m  300106 m FAB 60 kN nÐn  D  0.300 mm  2 - 15 Bài tập ví dụ 2.1 Chuyển vị của điểm D: BB BH  DD HD 0.514 mm 200 mm x  0.300 mm x x  73.7 mm EE HE  DD HD  400 73.7mm E  0.300 mm 73.7 mm  E  1.928 mm  E 1.928 mm  2 - 16 Bài toán siêu tĩnh • Các kết cấu chịu lực trong đó các nội lực và phản lực liên kết không thể xác định được từ các phương trình cân bằng tĩnh học đơn thuần được gọi là siêu tĩnh. • Một kết cấu được gọi là siêu tĩnh khi nó có số liên kết nhiều hơn số liên kết cần thiết để giữ nó cân bằng. • Các liên kết thừa được thay thế bằng các phản lực liên kết chưa biết, các phản lực này cùng với các tải trọng phải gây ra các biến dạng phù hợp. • Các biến dạng do tải trọng và liên kết thừa gây ra được xác định theo nguyên lý độc lập cộng tác dụng.   TT   LK  0 2 - 17 Ví dụ 2.04 Xác định các phản lực liên kết tại A và B cho thanh thép chịu tải như hình vẽ, giả thiết rằng không có khe hở tại các gối trước khi tác dụng lực. HƯỚNG GIẢI: • Coi liên kết tại B là thừa, giải phóng liên kết tại đó và giải tìm chuyển vị tại B do tải trọng gây ra. • Tìm chuyển vị tại B do phản lực liên kết thừa tại đó gây nên. • Điều kiện là chuyển vị do tải trọng và phản lực liên kết thừa gây ra phải phù hợp, tức là tổng chuyển vị của chúng phải bằng 0. • Xác định phản lực tại A do tải trọng và phản lực đã tìm được tại B. 2 - 18 Ví dụ 2.04 LỜI GIẢI: • Xác định chuyển vị tại B do riêng tải trọng gây ra, 33 PPPP10 2  3  600  10 N 4  900  10 N 6 2 6 2 AAAA1 2 400  10 m 3  4  250  10 m LLLL1 2  3  4  0.150 m 9 PLii 1.125 10 TT   i AEEii • Xác định chuyển vị tại B do liên kết thừa gây ra, PPR12   B 6 2 6 2 AA12400  10 m  250  10 m LL120.300 m 1.95 103 R PLii   B δLK    i AEEii 2 - 19 Ví dụ 2.04 • Lưu ý rằng các chuyển vị do tải trọng và liên kết thừa gây ra phải phù hợp, tức là:   TT   LK  0 9 3 1.125 10 1.95 10  RB     0 EE 3 RB 577  10 N  577 kN • Tìm phản lực tại A do tải trọng và phản lực tại B gây ra  Fy  0  RA  300 kN  600kN  577kN RA  323kN RA  323kN RB  577kN 2 - 20 Ứng suất nhiệt • Nhiệt độ thay đổi sẽ gây ra sự thay đổi chiều dài hoặc biến dạng nhiệt. Sẽ không có ứng suất sinh ra do biến dạng nhiệt nếu độ dãn dài không bị khống chế bởi các gối. • Coi liên kết tại gối là thừa và áp dụng nguyên lý độc lập tác dụng. PL    TL   TPAE  hÖ sè gi·n në nhiÖt • Biến dạng nhiệt và biến dạng do liên kết thừa gây ra phải phù hợp, tức là:   T  P  0   T  P  0 P  AET  PL T L   0 P AE    ET  A 2 - 21 Hệ số Poát-xông (Poisson) • Đối với một thanh mảnh chịu tải trọng dọc trục thì:    x     0 x E y z • Độ giãn dài theo phương x sẽ đồng thời kèm theo độ co lại theo các phương khác. Giả thiết rằng vật liệu là đẳng hướng thì,  y   z  0 • Khi đó hệ số poát-xông được định nghĩa là, biÕn d¹ng ngang   n   y   z biÕn d¹ng däc xx 2 - 22 Định luật Húc tổng quát • Xét phân tố của vật thể chịu nhiều tải trọng vuông góc, các thành phần biến dạng dài do ứng suất pháp gây ra có thể được xác định theo nguyên lý độc lập cộng tác dụng. Để thực hiện được điều này, cần phải có các giả thuyết: 1) biến dạng tuyến tính với ứng suất 2) các biến dạng là nhỏ • Quan hệ ứng suất – biến dạng:  n n    x  y  z x E E E n  n    x  y  z y E E E n n     x  y  z z E E E 2 - 23 Sự giãn nở: Mô đun khối • Xét phân tố hình hộp, khi bị biến dạng thì sự thay đổi thể tích so với ban đầu sẽ là: e 1  1  1   1 1   1  x y z  x y z  x   y   z 12n  x   y   z  E  sù gi·n në  thay ®æi thÓ tÝch trª n mét ®¬n vÞ thÓ tÝch • Đối với phân tố chịu áp lực thủy tĩnh đều, có 3 1n 2  p ep    Ek E k  m« ®un khèi 3 1n 2  • Khi chịu áp lực đều, sự giãn nở phải có giá trị âm, do đó 0 n  1 2 Biến dạng trượt • Phân tố hình hộp khi chịu ứng suất tiếp sẽ chỉ bị biến dạng góc. Biến dạng trượt là sự thay đổi góc giữa các mặt bên và phụ thuộc vào ứng suất tiếp  xy  f  xy • Biểu đồ quan hệ ứng suất tiếp - biến dạng trượt tương tự như biểu đồ ứng suất pháp - biến dạng dài, nhưng giới hạn đàn hồi thì gần bằng một nửa. Với các biến dạng nhỏ, ta có:  xy  G xy  yz  G yz  zx  G zx Trong đó G là mô đun đàn hồi trượt. 2 - 25 Ví dụ 2.10 HƯỚNG GIẢI: • Xác định biến dạng góc trung bình hoặc biến dạng trượt của khối. • Áp dụng định luật Húc cho ứng suất tiếp và biến dạng trượt để tìm ứng Một khối hộp chữ nhật có mô đun đàn suất tiếp tương ứng. hồi trượt G = 90 ksi được ghép với 2 tấm tuyệt đối cứng nằm ngang. Tấm bên dưới • Sử dụng định nghĩa ứng suất để tìm được giữ cố định, tấm bên trên chịu tác lực P. dụng bởi lực ngang P. Biết rằng sau khi chịu lực tấm trên di chuyển được 1 lượng 0.04 in. Hãy xác định: a) Biến dạng trượt trung bình trong vật liệu. b) Lực P tác dụng lên tấm. 2 - 26 • Xác định biến dạng góc trung bình hoặc biến dạng trượt của khối. 0.04in.   tan    0.020rad xy xy 2in. xy • Áp dụng định luật Húc cho ứng suất và biến dạng trượt để tìm ứng suất tiếp tương ứng. 3  xy  G xy  9010 psi0.020rad  1800psi • Sử dụng định nghĩa ứng suất trượt để xác định lực P. 3 P   xy A  1800psi8in.2.5in.  3610 lb P  36.0kips 2 - 27 Mối liên hệ giữa E, n, và G • Một thanh chịu kéo dọc trục sẽ bị giãn theo phương dọc trục và bị co lại theo phương vuông góc. • Một phân tố hình lập phương được định hướng như ở hình trên sẽ biến dạng thành hình hộp chữ nhật. Tải trọng dọc trục gây ra biến dạng dọc. • Nếu phân tố lập phương được định hướng như trong hình dưới thì nó sẽ biến dạng thành hình thoi. Tải trọng dọc trục cũng gây ra biến dạng trượt. • Các thành phần của biến dạng dọc và trượt được liên hệ với nhau bởi, E  1n  2G 2 - 28 Bài tập ví dụ 2.5 Vạch một đường tròn đường kính d = 9 in. lên một tấm nhôm có bề dày t = 3/4 in. Lực tác dụng lên các mặt của tấm gây ứng suất pháp x = 12 ksi và z = 20 ksi. Biết E = 10x106 psi và n = 1/3, xác định các thay đổi về: a) độ dài của đường kính AB, b) độ dài của đường kính CD, c) bề dày của tấm, và d) thể tích của tấm. 2 - 29 LỜI GIẢI: • Áp dụng định luật Húc tổng quát để • Tính các thành phần biến dạng. tìm 3 thành phần biến dạng dọc. 3  B A  xd   0.53310 in./in.9in.   4.8103in.  x n y n z B A  x     E E E 3 C D  zd  1.60010 in./in.9in. 1  1   12ksi  0  20ksi 6     3 1010 psi  3  C D  14.410 in. 3 3  0.53310 in./in. t   yt  1.06710 in./in.0.75in. n x  y n z 3      t  0.80010 in. y E E E  1.067103in./in. • Xác định sự thay đổi thể tích n n y     x   z e        1.067103 in3/in3 z E E E x y z 3 3  1.600103in./in. V  eV  1.06710 15150.75in V  0.187in3 2 - 30 Vật liệu Composite • Vật liệu composite cốt sợi được tạo thành từ lớp mỏng các sợi graphite, thủy tinh, hoặc polymer được kết hợp lại với nhau bởi chất kết dính. • Ứng suất pháp và biến dạng dọc được liên hệ với nhau bởi định luật Húc, nhưng theo các mô đun đàn hồi của các phương tương ứng,   x y  z EEEx;; y  z  x  y  z • Các biến dạng ngang được liên hệ với nhau bởi các giá trị của hệ số poát-xông theo các hướng tương ứng, chẳng hạn như,  y  z n xy   n xz    x  x • Các vật liệu có các thuộc tính cơ học phụ thuộc hướng được gọi là dị hướng. 2 - 31 Nguyên lý Saint-Venant • Tải trọng được truyền qua các tấm tuyệt đối cứng sẽ tạo ra sự phân bố đều ứng suất và biến dạng. • Tải trọng tập trung gây ra ứng suất lớn ở vùng lân cận của điểm đặt lực. • Sự phân bố ứng suất và biến dạng của các điểm trên mặt cắt sẽ dần đều tại một khoảng cách tương đối gần tính từ vì trí đặt lực. • Nguyên lý Saint-Venant: Sự phân bố ứng suất có thể được coi như không phụ thuộc vào dạng tải min  0.973 tb min  0.668 tb min  0.198 tb trọng tác dụng ngoại trừ vùng lân cận max 1.027 tb max 1.387 tb max  2.575 tb với điểm tác dụng lực. 2 - 32 Tập trung ứng suất: Lỗ Các thanh dẹt có lỗ Sự gián đoạn của mặt cắt ngang có thể dẫn đến  các ứng suất cục bộ lớn hoặc các ứng suất tập K  max trung. tb 2 - 33 Tập trung ứng suất: Góc lượn Các thanh dẹt có góc lượn 2 - 34 Ví dụ 2.12 HƯỚNG GIẢI: • Xác định các tỉ số hình học và hệ số tập trung ứng suất từ hình 2.64b. Xác định tải trọng cho phép tác dụng lên một thanh thép dẹt. Biết • Tìm ứng suất trung bình cho phép bằng thanh gồm có 2 phần đều có bề dày cách sử dụng ứng suất cho phép của 10 mm và có bề rộng lần lượt là 40 vật liệu và hệ số tập trung ứng suất. và 60 mm; chỗ nối giữa 2 phần được bo tròn với bán kính r = 8 • Áp dụng định nghĩa của ứng suất pháp mm; ứng suất cho phép của thanh là để tìm tải trọng cho phép. 165 MPa. 2 - 35 • Xác định các tỉ số hình học và tìm hệ số tập trung ứng suất từ hình 2.64b. D 60mm r 8mm   1.50   0.20 d 40mm d 40mm K  1.82 • Sử dụng ứng suất cho phép của vật liệu và hệ số tập trung ứng suất để xác định ứng suất trung bình cho phép.  165 MPa  max   90.7 MPa tb K 1.82 Các thanh dẹt có góc lượn • Áp dụng định nghĩa về ứng suất pháp để tìm tải trọng cho phép. PA tb  40 mm 10 mm 90.7 MPa 36.3 103 N P  36.3kN 2 - 36 Vật liệu đàn dẻo (Elastoplastic) • Trong miền đàn hồi thì quan hệ ứng suất- biến dạng là tuyến tính, tức là ứng suất nhỏ hơn giới hạn chảy với vật liệu dẻo; còn với vật liệu dòn thì chỉ có miền đàn hồi vì nó bị phá hỏng mà không có giai đoạn chảy. • Nếu ứng suất trong vật liệu dẻo vượt quá giới hạn chảy, thì biến dạng dẻo sẽ xảy ra. • Phân tích các biến dạng dẻo được đơn giản hóa bằng giả thiết một vật liệu đàn dẻo lí tưởng. • Các biến dạng của một vật liệu đàn dẻo được chia thành các miền đàn hồi và dẻo. • Các biến dạng vĩnh cửu xảy ra khi tải trọng gây ra ứng suất vượt quá giới hạn chảy. 2 - 37 Biến dạng dẻo  A • Biến dạng đàn hồi xảy ra khi ứng PA   max tb K suất lớn nhất nhỏ hơn giới hạn chảy • Ứng suất lớn nhất bằng ứng suất  A P  Y chảy ứng với tải trọng đàn hồi lớn Y K nhất. • Với những tải trọng lớn hơn tải trong đàn hồi, một vùng biến dạng dẻo sẽ phát triển ở gần lỗ. • Khi tải trọng tăng, vùng đàn hồi sẽ PU  Y A mở rộng cho đến khi mặt cắt có ứng  K PY suất phân bố đều và bằng với ứng suất chảy 2 - 38 Ứng suất dư • Khi một phần tử chịu tải trọng không đổi vượt quá giới hạn chảy của nó và sau đó nhả tải, thì sẽ xuất hiện biến dạng dư (không trở về 0) mặc dù ứng suất đã trở về 0. Đây không phải là kết quả tổng quát. • Ứng suất dư sẽ duy trì trong kết cấu sau khi chất tải và dỡ tải nếu - Chỉ một phần của kết cấu chịu biến dạng dẻo - Các phần khác của kết cấu chịu các biến dạng dẻo khác • Ứng suất dư cũng được sinh ra khi các kết cấu bị nóng hoặc lạnh thất thường 2 - 39 Ví dụ 2.14, 2.15, 2.16 Thanh hình trụ được đặt bên trong một ống có cùng chiều dài. Một đầu của thanh và ống được ngàm chặt còn đầu kia được gắn với một đĩa tuyệt đối cứng. Tải trọng tác dụng lên thanh-ống được tăng từ 0 đến 5.7 kips và lại giảm về 0. a) Vẽ đồ thị quan hệ lực-biến dạng 2 2 cho tổ hợp thanh-ống. Ar  0.075in. At  0.100in. 6 6 b) Xác định độ giãn dài lớn nhất. Er  3010 psi Et  1510 psi σ  36ksi σ  45ksi c) Xác định biến dạng dư Y ,r Y ,t d) Tính toán ứng suất dư trong ống và thanh. 2 - 40 Ví dụ 2.14, 2.15, 2.16 a) Vẽ đồ thị lực-biến dạng cho tổ hợp thanh-ống 2 PY,r  Y ,r Ar  36ksi0.075in  2.7kips  36103psi δ   L  Y ,r L  30in.  3610-3in. Y,r Y,r 6 EY,r 3010 psi 2 PY ,t  Y ,t At  45ksi0.100in  4.5kips  45103psi δ   L  Y,t L  30in.  9010-3in. Y,t Y ,t 6 EY,t 1510 psi P  Pr  Pt   r  t 2 - 41 Ví dụ 2.14, 2.15,b,c) 2.16 determine the maximum elongation and permanent set • Với tải trọng P = 5.7 kips, thì thanh đã đạt tới miền dẻo trong khi ống vẫn ở miền đàn hồi. Pr  PY ,r  2.7 kips Pt  P  Pr  5.7  2.7kips  3.0kips P 3.0kips   t   30ksi t 2 At 0.1in  30103psi    L  t L  30in.     60103in. t t 6 max t Et 1510 psi • Tổ hợp thanh-ống khi dỡ tải sẽ đi theo đường song song với 0Yr 4.5kips m   125kips in.  slope 3610-3in. P 5.7kips     max    45.6103in. m 125kips in.       60 45.6 103in. 3 p max    p  14.410 in. 2 - 42 Ví dụ 2.14, 2.15, 2.16 • Tính toán ứng suất dư trong thanh và ống. Xác định ứng suất ngược trong thanh và ống gây ra bởi việc dỡ tải và cộng chúng vào ứng suất lớn nhất.    45.6103in.     1.52103 in. in. L 30in. 3 6  r  Er  1.5210 3010 psi 45.6ksi 3 6 t  Et  1.5210 1510 psi 22.8ksi  residual ,r   r  r  36 45.6ksi  9.6ksi  residual ,t  t t  30 22.8ksi  7.2ksi 2 - 43