Bài giảng Chương trình giải tích mạch - Chương 8: Biến đổi Fourier

Chương8: Biến đổi Fourier  8.1. Phân tích chuổi Fourier  8.2. Các hệ số khai triển Fourier  8.3. Biến đổi dạng lượng lượng giác 3 thành phần  8.4.Áp dụng chuổi Fourier để phân tích mạch  8.5.Trị hiệu dụng hàm tuần hoàn  8.6.Công suất trung bình P  8.7.Chuổi Fourier dạng hàm mũ  8.8.Phổ biên độ và phổ pha rời rạc CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 8.1.Phân tích chuổi Fourier f(t): Hàm tuần hoàn có chu kỳ T có thể được biểu diễn bởi chuỗi Fourier dạng lượng giác 3 thành phần (dạng chuẩn): *Với n là các số nguyên 1,2,3, *av , an , bn gọi là các hệ số khai triển Fourier. *ω0 = 2л/T: gọi là tần số cơ bản ; các tần số là bội của ω gọi là sóng hài như 2ω là sóng hài bậc 2; 3ω là sóng hài bậc 3..v.v.. *Ta có thể phân tích nguồn kích thích tuần hoàn thành chuổi Fourier gồm thành phần một chiều av + tổng các thành phần điều hòa (an và bn ) và dùng nguyên lý xếp chồng để tìm đáp ứng xác lập. Ta xác định các hệ số khai triển Fourier như sau: )1.9(sincos)( 0 1 0 tnbtnaatf n n nv      CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 8.2. Các hệ số khai triển Fourier Ta lưu ý các trị giá của các tích phân sau: )4.9(sin)( 2 )3.9(cos)( 2 )2.9()( 1 0 0 0 0 0 0 0 0 dttktf T b dttktf T a dttf T a Tt t k Tt t k Tt t v            CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt nm T nmdttntm nm T nmdttntm dttntm dttm dttm Tt t Tt t Tt t Tt t Tt t                  ; 2 ;0coscos ; 2 ;0sinsin 0sincos 0cos 0sin 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 00 00 0 0      CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ví dụ tìm chuổi Fourier của dạng sóng cho trước  Để tính các av; ak; bk ta phải chọn to .Trong trường hợp này ta nên chọn t0 = 0. Biểu thức v(t) trong khoảng 0 và T:v(t) = (Vm /T)t v(t) Vm 0T T 2T   012cos 12 sincos 12 cos)( 2 2 1 )( 1 2 0 22 00 0 02 0 22 0 0 0                    k kT V tk k t tk kT V dttkt T V T a Vtdt T V T a m Tm T m k m T m v        CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chuổi Fourier của v(t) là: k V k k T T V tk k t tk kT V dttkt T V T b mm Tm T m k                              2cos0 2 cossin 12 sin)( 2 0 2 00 0 02 0 22 0 0 ...3sin 3 2sin 2 sin 2 sin 1 2 )( 000 0 1      t V t V t VV tn n VV tv mmmm n mm         CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt  Tính các hệ số khai triển Fourier av; ak; bk của hàm điện áp khi Vm = 9 л V  Trả lời: av= 21,99 V; ak = (6/k)sin4kл/3 V;  bk = (6/k)(1- cos4kл/3) V Ví dụ tìm chuổi Fourier của dạng sóng cho trước Vm Vm /3 2T/3T/3 T CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Các hàm đối xứng *Hàm chẳn: Nếu f(t) = f(-t ). Các hệ số Fourier rút gọn: 0 cos)( 4 )( 2 2/ 0 2/ 0 0      k T k T v b dttktf T a dttf T a  CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Các hàm đối xứng *Hàm lẻ: Nếu f(t) = -f(-t ). Các hệ số Fourier rút gọn: dttktf T b a a T k k v 0 2/ 0 sin)( 4 0 0    CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Các hàm đối xứng  Tùy thuộc vào điểm t = 0 nằm ở vị trí nào mà hàm tuần hoàn có thể không đối xứng như hình a; hoặc đối xứng chẳn (hàm chẳn) như hình b hay đối xứng lẻ (hàm lẻ) như hình c A AA 0 0 0 H.a H.b H.c T T T CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Các hàm đối xứng *Hàm đối xứng bán sóng: Nếu f(t) = -f(t - T/2 ). Khi dịch hàm nữa chu kỳ và đổi dấu hàm sẽ giống như hàm gốc. Các hệ số Fourier rút gọn: av = 0 ak = 0 với k chẳn bk = 0 với k chẳn oddkfortdtktf T a T k 0 2/ 0 cos)( 4  oddkfortdtktf T b T k 0 2/ 0 sin)( 4  CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Các hàm đối xứng  *Hàm đối xứng ¼ sóng : Là hàm đối xứng bán sóng cộng thêm mỗi bán kỳ âm và dương đối xứng qua điểm giữa của nó.  Hình a cho ta hàm đối xứng ¼ sóng  Hình b không phải hàm đối xứng ¼ sóng mặc dù nó là hàm đối xứng bán sóng T/4 T/4T/2 T/2 T T H.a H.b CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Hàm đối xứng ¼ sóng *Hàm đối xứng 1/4 sóng: Trong trường hợp này phụ thuộc vào việc ta chọn điểm t = 0 mà hàm có thể là hàm chẳn hoặc lẻ. Trong ví dụ này ta chọn điểm t = 0 để có hàm chẳn. Các hệ số Fourier rút gọn có được trong ví dụ này là: av = 0 (do cũng đối xứng bán sóng) ak = 0 với k chẳn (do cũng đối xứng bán sóng) bk = 0 (vì là hàm chẳn trong ví dụ này) oddkfortdtktf T a T k 0 4/ 0 cos)( 8  CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ví dụ tìm chuổi Fourier của hàm lẻ và đối xứng  Việc chọn điểm t = 0 theo hình trên , ta có đây là hàm lẻ lại là hàm đối xứng bán sóng và ¼ sóng nên : av = 0 ; ak = 0 (do hàm lẻ). Vì đối xứng bán sóng nên bk = 0 với k chẳn. Vì đối xứng ¼ sóng nên biểu thức bk với k lẻ là: i(t) Im -Im 0 T/2 T oddkfortdtkti T b T k 0 4/ 0 sin)( 8  CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Trong khoảng: 0 ≤ t ≤ T/4; Biểu thức dòng i(t) là: i(t) = (4Im/T)t. Nên:                        ...7sin 49 1 sin 25 1 3sin 9 1 sin 8 sin 2 sin 18 )( 2 sin 8 cossin32 sin 48 00002 0 ...5,3,1 22 22 4/ 0 0 0 2 0 2 0 2 0 4/ 0 tttt I tn n n I ti k k I k tkt k tk T I oddkfortdtkt T I T b m n m m Tm T m k             CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ví dụ tìm chuổi Fourier của dạng sóng cho trước  Trả lời: Vm -Vm 0 T/6 T/3 T/2 T vg(t) tn n nV tv n m g 0 ...5,3,1 22 sin )3/sin(12 )(        CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 8.3.Dạng sóng hài Trong phân tích mạch ứng dụng chuổi Fourier , chúng ta gom các thành sine và cosine lại thành 1 thành phần duy nhất là cosine. Việc làm như thế cho phép ta biểu diển mỗi sóng hài của v(t) hoặc i(t) bởi 1 ảnh phức duy nhất trong việc tìm đáp ứng xác lập. Như vây chuổi Fourier dạng lương giác trở nên như sau (dạng sóng hài): Với An và θn được xác định như sau: )6.9()cos()( 1 0 n n nv tnAatf      nnnnnnn Abajba   22 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ví dụ về dạng sóng hài của chuổi Fourier  A) Tính ak ; bk của hàm tuần hoàn cho như hình?  B) Viết 4 thành phần đàu tiên của chuồi Fourier của v(t) dưới dạng chỉ có thành phần cosine?  Giải:  A)Hàm này không phải hàm chẳn cũng không phải hàm lẻ; nó cũng không đối xứng bán sóng và ¼ sóng. Ta tính các hệ số ak và bk Vm v(t) T/2 T 3T/4T/40 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt B)Ta tính trị trung bình: av = Vm (T/4)/T = Vm /4 ) 2 cos1( )cos(2 sin 2 2 sin sin2 cos 2 4/ 00 0 0 4/ 0 4/ 00 0 4/ 0 0           k k V k tk T V dttkV T b k k V k tk T V dttkV T a m T m T mk m T m T mk        CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt *a1 -jb1 = Vm /л - jVm /л = √2Vm /л /-45 0 ; *a2 -jb2 = 0- jVm /л = Vm /л /-90 0 ; *a3 -jb3 = -Vm /3л - jVm /3л = √2Vm /3л /-135 0 ; Vậy 4 số hạng đầu của chuổi Fourier của v(t): ...)1353cos( 3 2 )902cos()45cos( 2 4 )( 0 0 0 0 0   t V t V t VV tv m m o mm       CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ví dụ về biến đổi dạng lượng giác chuổi Fourier  A)Tính: A1 đến A5 và θ1 đến θ5 ? Biết Vm = 9л V  B) Viết chuổi Fourier của v(t) (dạng chỉ có thành phần cosine) đến sóng hài bậc 5. Biết T = 125,66ms  Trả lời: A) 10,4; 5,2; 0; 2,6; 2,1; V và -1200 ; -600 ; không xác định; -1200 ; -600 ;  B) v(t) = 21,99 + 10,4cos(50t – 1200 ) + 5,2cos(100t – 600 )  +2,6cos(200t – 1200 ) + 2,1cos(250t – 600 ) V v(t) Vm Vm /3 T/3 2T/3 T 5T/3 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 8.4.Áp dụng chuổi Fourier để phân tích mạch  *Ta đi tìm đáp ứng xác lập do nguồn kích thích tuần hoàn được phân tích Fourier. Hàm kích thích là hàm lẻ, đối xứng bán sóng và ¼ sóng, như vậy chỉ có thành phần bk với k là số lẻ Vm -Vm T 2T R Cvg vg+ v0 - tn n V v k V tdtkV T b n m g m T mk 0 ..5,3,1 0 4/ 0 sin 14 4 sin 8           CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Đáp ứng ngõ ra ứng với sóng hài bậc k trong miền ảnh phức: = /(1+jkω0RC) Đáp ứng ngõ ra tương ứng với thành phần tần số cơ bản: Đáp ứng ngõ ra tương ứng với thành phần họa tần bậc 3: )sin( 1 4 ; 1 )4( 10 222 0 01 0 1 1 222 0 1 01              t CR V v RCtg CR V V m m )3sin( 913 4 3; 913 )4( 30 222 0 03 0 1 33 222 0 03            t CR V v RCtg CR V V m m k V 0  gk V CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Đáp ứng ngõ ra tương ứng với thành phần bậc k: *Đáp ứng ngõ ra tương ứng với hàm kích thích vg: )sin( 1 4 ; 1 )4( 0 222 0 2 0 0 1 222 0 2 0 k m k kk m k tk CRkk V v RCktg CRkk V V                  ..5,3,1 2 0 0 0 )(1 )sin(4 )( n nm RCnn tnV tv    CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ví dụ áp dụng chuổi Fourier để phân tích mạch  *Sóng vuông được cung cấp cho mạch như hình. Hãy viết 4 thành phần đầu tiên của chuổi Fourier đáp ứng ngõ ra v0 xác lập? Biết Vm = 210л V; T = 0,2л ms  Trả lời: 17,5cos(10000t+ 88,810 ) + 26,14cos(30000-95,360 )  + 168cos(50000t) + 17,32cos(70000t + 98,300 ) + V Vm -Vm vg TT/2 + vg - 10kΩ + v0 - 20nF 20mH CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ví dụ áp dụng chuổi Fourier để phân tích mạch  *Sóng tam giác được cung cấp cho mạch như hình. Hãy viết 3 thành phần đầu tiên khác không của chuổi Fourier đáp ứng ngõ ra v0 xác lập? Biết Vm = 281,25л 2 mV; T = 200л ms  Trả lời: 2238,83cos(10t - 5,710 ) +239,46cos(30t -16,700 ) +  80,50cos(50t – 26,570 )+ mV Vm -Vm vi T/2 T0 100kΩ 100nF + v0 - + vi - CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 8.5.Trị hiệu dụng hàm tuần hoàn Trị hiệu dụng của hàm tuần hoàn f(t) được định nghĩa: )8.9( 22 )cos( 1 )( 1 1 2 2 1 2 2 2 1 0 2 0 0 0 0                            n n v n n vrms Tt t n nnvrms Tt t rms A a A aF dttnAa T F dttf T F  CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ví dụ tính trị hiệu dụng hàm tuần hoàn *Giả sử tín hiệu tuần hoàn gồm các thành phần: Vdc = 15V V1 = 27,01/√2 V: Trị hiệu dụng của tần số cơ bản V2 = 19,10/√2 V: Trị hiệu dụng sóng hài bậc 2 V3 = 9/√2 V: Trị hiệu dụng sóng hài bậc 3 V5 = 5,4/√2 V: Trị hiệu dụng sóng hài bậc 5 Vậy trị hiệu dụng của tín hiệu tuần hoàn là: V F rms 76,28 2 40,5 2 9 2 10,19 2 01,27 15 2222 2                           CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 8.6.Công suất trung bình P của hàm tuần hoàn Gọi v và i là áp và dòng ở 2 đầu của 1 phần tử ; giả sử v và i là những hàm tuần hoàn. Công suất P của phần tử sẽ là: )cos()( )cos()( 0 1 0 1 in n ndc vn n ndc tnIIti tnVVtv           )cos( 2 )()( 11 1 0 0 0 0 invn n nn dcdc Tt t Tt t IV IVP dttitv T pdt T P         CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ví dụ về công suất P của các hàm tuần hoàn  Giả sử tín hiệu áp như hình cung cấp 2 đầu 1 điện trở 15Ω. Biết Vm = 60V và T = 5ms.  A) Viết 5 thành phần đầu khác không của chuổi Fourier của v(t)  B) Tính công suất trung bình ứng với mỗi thành phần?  C) Tính công suất P tổng cộng của điện trở  D) Công suất do 5 thành phần đầu tiên bằng bao nhiêu phần trăm công suất tổng cộng?  Giải: Vm v(t) T/2 T 3T/4T/40 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt *Theo kết quả của ví dụ trước ta có: A) Thành phần DC của v(t): av = 60(T/4)/T = 15 V A1 = √2(60)/л = 27,01 V ; θ1 = -45 0 ; A2 = 60/л = 19,10 V; θ2 = -90 0 ; A3 = (20)√2/л = 9 V; θ3 = -135 0 ; A4 = 0 V; θ4 = 0 0 ; A5 = 5,40 V; θ2 = -45 0 ; ω0 = 2л/T = 2л(1000)/5 = 400л rad/s B) Pdc = 15 2 /15 = 15 W P1 = 27,01 2 / (2x15) = 24,32 W P2 = 19,10 2 / (2x15) = 12,16 W P3 = 9 2 / (2x15) = 2,7 W P5 = 5,4 2 / (2x15) = 0,97 W CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt C) Ta đi tính trị hiệu dụng của tín hiệu: Công suất PT của điện trở: PT = 30 2 /15 = 60 W D) Công suất của 5 thành phần đầu khác không là: P = Pdc +P1 + P2 + P3 + P4 = 55,15 W → (55,15/60) x 100 = 91,92% V T T V rms 30900 )4/()60( 2  CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Công suất phản kháng, công suất biểu kiến, công suất méo dạng của các hàm tuần hoàn *Công suất biểu kiến: Là tích của trị hiệu dụng của điện áp và dòng điện S = Vrms Irsm •Công suất phản kháng của hài thứ k: Qk = Vrmsk Irmsk sin φk •*Công suất phản kháng toàn bộ: •*Công suất méo dạng T: S2 = P2 + Q2 +T2 •Ta chứng minh được rằng muốn cho công suất méo dạng bằng không thì trổ kháng của mạch không phụ thuộc vào ω nghĩa là trở kháng tương đương của mạch thuần trở     1k k QQ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Hàm lượng sóng hài, hệ số sóng hài,hệ số công suất, hệ số méo dạng *Hàm lượng sóng hài: Là tỉ số giữa biên độ của thành phần thứ k>1 và thành phần tần số cơ bản: hk = Ak /A1 (k > 1) •Hệ số sóng hài: *Hệ số công suất cosφ = P/S *Trên thực tế thường là nguồn kích thích là điều hòa còn dòng trong mạch bị méo dạng nên : Cosφ = V1rms I1rms cos φ1/Vrms Irms ; Mà V1 = V → cos φ = k0 cosφ1 ; k0 = I1rms /Irms < 1 : gọi là hệ số méo dạng     2 2 k k hh CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 8.7.Chuổi Fourier dạng hàm mũ Chuổi Fourier dạng hàm mũ: Ta có sự quan hệ giữa dạng mũ và dạng lượng giác như sau: *Trị hiệu dụng: dtetf T CeCtf Tt t tjn n tjn n n       0 0 00 )( 1 ;)(      Tt t v n n nnn adttf T C n A jbaC 0 0 )( 1 ...3,2,1; 2 )( 2 1 0      1 22 0 2 n nrms CCF CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ví dụ về chuổi Fourier dạng hàm mũ  Tìm chuổi Fourier dạng hàm mũ của hàm v(t)?  Giải:  Ta tính tích phân Cn bắt đầu tại điểm t = -∆/2 như sau: v(t) Vm TT-∆/2 T+∆/2- ∆/2 ∆/20   2/sin 2 1 0 0 2/2/ 0 2/ 2/ 0 00 0 0 0 0                         n Tn V ee Tn jV jn e T V dteV T C mjnjnm tjn m Tt t tjn mn CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ví dụ về chuổi Fourier dạng hàm mũ Bởi vì v(t) là hàm chẳn nên các số hạng bn = 0 như vậy ta đoán Cn sẽ là số thực. Hơn nữa biên độ của Cn có dạng (sin x)/x khi ta viết lại như sau: 2/ 2/sin 0 0      n n T V C m n tjn n m tjn n m e n n T V e n n T V tv 0 0 2/ 2/sin 2/ 2/sin )( 0 0 0 0                                 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 8.8.Phổ biên độ và phổ pha rời rạc  *Biên độ của hệ số triển khai Fourier là hàm của n và gọi là phổ biên độ rời rạc của tín hiệu tuần hoàn.  *Pha của hệ số triển khai Fourier cũng là hàm của n và gọi là phổ pha rời rạc.  Hình trên cho ta phổ biên độ và phổ pha của hệ số Fourier trong thí dụ trên với Vm = 5V; ∆= T/5. Phổ biên độ có dạng sinx/x ; trong khi phổ pha thì bằng 0 tại n = -1;-2;-3;-4;1;2;3;4; không xác định tại -5 và +5 và =1800 tại -6;-7;-8;-9;6;7;8;9.v.v 1800 1-1 2-2 5-5 6-6 7-7 9-9 ICnI θn 1 0,2 0,8 0-л л-2л 2л CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt