Bài giảng Biến đổi năng lượng điện cơ - Chương 5: Ổn định các hệ thống điện cơ - Nguyễn Quang Nam

Biến Đổi Năng Lượng Điện Cơ NQN-TCB, HCMUT, 2013 Ổn định các hệ thống điện cơ – Giới thiệu ĐH Bách Khoa TP.HCM – Khoa Điện-Điện Tử – Bộ Môn Thiết Bị Điện  Các mô hình động học của hệ thống điện được mô tả bởi Bài giảng: Biến đổi năng lượng điện cơ các phương trình vi phân. Tính ổn định của hệ thống phi Chương 5: tuyến trong vận hành được đặc biệt quan tâm. Một số công Ổn định các hệ thống điện cơ cụ phân tích tính ổn định sẽ được giới thiệu.  Nghiệm trong miền thời gian của bài toán động học hệ Biên soạn: Nguyễn Quang Nam thống có được bằng việc tính tích phân số và các điểm cân Cập nhật: Trần Công Binh bằng được xác định bằng đồ thị. Với các hệ thống bậc cao hơn, các kỹ thuật số được sử dụng để tính các điểm cân NH2012–2013, HK2 bằng. Ổn định các hệ thống điện cơ 1 Ổn định các hệ thống điện cơ 2 Ổn định các hệ thống điện cơ – Giới thiệu (tt) Tuyến tính hóa  Sẽ có ích nếu biết điểm cân bằng tĩnh là ổn định hay  Điểm cân bằng sẽ biểu diễn trạng thái vận hành xác lập không. Với các nhiễu mạnh của trạng thái x hay ngõ vào u, của hệ thống, chẳng hạn một lưới điện. Hệ vật lý có thể có luôn cần các mô phỏng trong miền thời gian. thay đổi nhỏ (ví dụ thay đổi tải), vốn có thể dẫn đến dao động  Với các thay đổi nhỏ quanh điểm cân bằng, một phân tích hay thậm chí sụp đổ hệ thống, hoặc gặp các nhiễu mạnh (ví tuyến tính hóa là đủ để xác định điểm cân bằng là ổn định dụ, sự cố hay sét đánh). hay không.  Với trường hợp vô hướng, mô hình hệ thống là  Đôi khi, các hàm năng lượng có thể được dùng để đánh x  f x,u giá tính ổn định của hệ thống đối với nhiễu mạnh mà không cần các mô phỏng trong miền thời gian. Ổn định các hệ thống điện cơ 3 Ổn định các hệ thống điện cơ 4 Tuyến tính hóa (tt) Tuyến tính hóa hệ bậc hai  Để tuyến tính hóa, khai triển f(x, u) thành 1 chuỗi Taylor x1  f1 x1, x2 ,u e quanh điểm cân bằng x và ngõ vào u ˆ không đổi, và chỉ giữ x2  f 2 x1, x2 ,u lại các số hạng bậc nhất e e  Gọi  x1  x 1  x 1 , x2  x2  x 2 , và  u  u  u ˆ . Tuyến f f f f f x,u  f xe ,uˆ x  xe  u  uˆ  f xe ,uˆ x  u tính hóa hệ quanh điểm cân bằng dẫn đến x 0 u 0 x 0 u 0 Hay  f1 f1  f1      f f x1  x1 x2 x1  u 0 e   0 0    u x  f x,u f x ,uˆ  x  u         x2  f 2 f 2 x2  f 2 x 0 u 0     x x  1 0 2 0   u 0  A Ổn định các hệ thống điện cơ 5 Ổn định các hệ thống điện cơ 6 1 Biến Đổi Năng Lượng Điện Cơ NQN-TCB, HCMUT, 2013 Tuyến tính hóa hệ bậc hai Ổn định của hệ bậc hai  Xét mô hình một hệ bậc hai  Để xét tính ổn định của hệ, cần tìm trị riêng của ma trận A. d 2 x dx M  B  f x,u dt 2 dt  Trị riêng của ma trận A có được bằng cách giải phương có dạng tuyến tính hóa trình det(A – lI) = 0. d 2x B d 1 f x  x  x   2x  Hệ thống là ổn định nếu tất cả các trị riêng nằm ở nửa trái 2 0 dt M dt M x 0 của mặt phẳng phức (nghĩa là, phần thực < 0).   Định nghĩa  x   x 1 và  x   x 2 , dạng không gian trạng thái trở thành x1   0 1 x1      2   x2  0  B M x2  Ổn định các hệ thống điện cơ 7 Ổn định các hệ thống điện cơ 8 Ổn định của hệ bậc hai (tt) Ổn định của hệ bậc hai (tt)  Phương trình đặc tính (để tìm trị riêng) có được  Trường hợp II (B > 0, M > 0, ): hệ không ổn định  l 1 B  0 l2  l   2  0 2 0  Trường hợp đặc biệt (B = 0, M > 0): hệ là không ổn định 0  B M  l M nếu 2 , hay ở biên ổn định nếu  2  0 .  Nghiệm tổng quát của phương trình đặc tính 0  0 0 B B 2 l ,l     2 1 2 2M 4M 2 0 2  Trường hợp I (B > 0, M > 0,  0  0 ) B 2 B 2 B 2   2   2   2 4M 2 0 4M 2 0 4M 2 0 Trong cả 3 trường hợp, hệ là ổn định. Ổn định các hệ thống điện cơ 9 Ổn định các hệ thống điện cơ 10 Ví dụ 5.1 Ví dụ 5.1 (tt) 2  Cho mạch từ giống như bài tập 4.15, với đồng năng lượng 1 L0 I0 1 Mg  2 1 L 2 1 x  a W  0 I 2 , x  0 a m 2 1 x  0 a 2  Giải theo x d x e và phương trình chuyển động M  Mg  f  L I 2  dt 2 xe  a1 0 0    e 2Mga Hãy tìm các điểm cân bằng x > 0, giá trị tối thiểu của I0 để tồn    L I 2  tại điểm cân bằng, và xác định tính ổn định của điểm cân bằng.  Chọn x > 0 như yêu cầu xe  a1 0 0     2Mga   Lực điện từ fe e  Để tồn tại x > 0, I0 cần thỏa điều kiện 2 e Wm 1 L0I0 1 f    2 2Mga x 2 1 x  a I  a 0 L  Để tìm điểm cân bằng, đặt các đạo hàm bằng 0, dẫn đến 0 Ổn định các hệ thống điện cơ 11 Ổn định các hệ thống điện cơ 12 2 Biến Đổi Năng Lượng Điện Cơ NQN-TCB, HCMUT, 2013 Ví dụ 5.1 (tt) Phương pháp hàm năng lượng cho hệ phi tuyến  Để xét tính ổn định tại xe, tuyến tính hóa pt chuyển động  Với nhiễu mạnh, việc phân tích ổn định của hệ phi tuyến 2 e 2 có thể cần đến các kỹ thuật tính số vốn rất tốn kém sức d x f L0I0 1 M 2  x  3 2 x mạnh tính toán. xe dt x e a xx 1 a   Trong nhiều trường hợp, thông tin hữu ích có thể thu được  Đây là trường hợp có B = 0, M > 0, và  2  0 . Do đó, hệ 0 bằng một phương pháp trực tiếp, tránh việc phải tính tích thống nằm trên biên ổn định tại x = xe. phân số.  Kỹ thuật này dựa trên các hàm năng lượng, và được gọi là phương pháp Lyapunov.  Có thể thu được các lời giải tốt với các hệ bảo toàn. Ổn định các hệ thống điện cơ 13 Ổn định các hệ thống điện cơ 14 Phương pháp hàm năng lượng cho hệ phi tuyến Hệ bảo toàn  Trong các hệ bảo toàn, tổng năng lượng là không đổi, và  Không có lực nào khác ngoài trọng lực, và hệ là bảo toàn, điều này được dùng trong phân tích ổn định các hệ này. vậy d 2q  Xét con lắc trong hình 5.2, bao gồm khối lượng M nối vào J  Mgl sinq  dt 2 một điểm tựa không ma sát bằng một thanh cứng.  Coi V(q) = 0 tại q = 0, khi đó tại vị trí bất kỳ q, thế năng  Vế phải có thể được biểu diễn như một đạo hàm âm của được cho bởi một hàm thế vô hướng. Trong trường hợp này, Vq   Mgl1 cosq   V q   Mgl sinq    Mgl1 cosq    q q Ổn định các hệ thống điện cơ 15 Ổn định các hệ thống điện cơ 16 Hệ bảo toàn (tt) Năng lượng của hệ d 2q V q  Dẫn đến  Xét J   0 dt 2 q d 2q V q  J   2 2 dq d q V q  dq dt q  Nhân với dq/dt để có J   0 dt dt 2 q dt  Các điểm cân bằng là nghiệm của  Tích phân theo t để thu được 2 V q  1  dq    Mgl sinq   0 J   V q   E 2 dt  q  Potential energy Kinetic energy  Dựa vào lược đồ, chỉ xét trong khoảng –p đến +p,  Việc phân tích ổn định có thể được thực hiện cho 3 trường e q  p, 0 hợp (xem sách), bằng khái niệm giếng thế năng. Ổn định các hệ thống điện cơ 17 Ổn định các hệ thống điện cơ 18 3 Biến Đổi Năng Lượng Điện Cơ NQN-TCB, HCMUT, 2013 Hàm năng lượng trong hệ điện cơ Hàm năng lượng trong hệ điện cơ  Xét hệ trong hình vẽ bên dưới, giả thiết cả hệ điện lẫn hệ  Lực cơ học gây tác động cơ đều không chứa các phần tử tiêu tán năng lượng. Uq  T m    Nếu l hoặc i ở mỗi cửa q được giữ không đổi, có thể I1 + l Te or fe  Thế năng tổng quát hóa: dự đoán một dịch chuyển đều _1 Ghép + Mech. trong hệ cơ. Không có dòng điện ' (dòng hằng i và i ) q or x system Vq   Uq Wm I1, I 2 ,q  1 2 I2 cơ _ chảy năng lượng hay đồng + l2 _ Vq   Uq W  , ,q  (từ thông móc vòng hằng l1 và l2) năng lượng vào cửa điện. Ở m 1 2 hệ cơ, giả thiết không có phần tử tiêu tán năng lượng. Ổn định các hệ thống điện cơ 19 Ổn định các hệ thống điện cơ 20 Quan hệ giữa ổn định tuyến tính hóa và thế năng Ví dụ 5.2 và 5.3 d 2q V q   Cho hệ phương trình d 2q  Phương trình mômen J   0  4 qi2 dt 2 q dt 2 V q  d  Các điểm cân bằng có được bằng cách giải  0 2qi iR  vt q với R = 1 W và v(t) = 2 V. dt  Tuyến tính hóa quanh một điểm cân bằng qe cho ta Hãy tìm các điểm cân bằng, tuyến tính hóa hệ phương trình, 2 2 d q  V q  biểu diễn dưới dạng không gian trạng thái và tìm trị riêng. J 2  2 q  0 dt q q q e  Đặt các đạo hàm bằng 0 để tìm điểm cân bằng, rút ra  2V q   qe là ổn định nếu  0 , qe là không ổn định nếu 2 i  vt/ R  2, q  4/i2 1 q q q e  2V q   0 2  Vậy, hệ có 1 điểm cân bằng (qe, ie) = (1, 2). q q q e Ổn định các hệ thống điện cơ 21 Ổn định các hệ thống điện cơ 22 Ví dụ 5.2 và 5.3 (tt) Ví dụ 5.2 và 5.3 (tt)  Tuyến tính hóa hệ phương trình tại điểm cân bằng x1  0 1 0 x1  2      d q x2  4 0 4 x2  i2 q  2qi i  4q  4i      2 0 0   dt x3  0  2  0.5x3  d 2i q  2q i i  0 dt 0 0  Dẫn đến phương trình đặc trưng để tìm trị riêng như sau 3 2  Phương trình đầu có bậc là 2, do đó sẽ dẫn đến hệ bậc 3. l  0.5l  4l  2  0   Giải ra ta được 3 trị riêng:  Định nghĩa các biến trạng thái x1, x2, x3 lần lượt là q,  q , và i, ta có mô hình không gian trạng thái như sau l1  0,4515, l2,3  0,4578  j2,0502 Ổn định các hệ thống điện cơ 23 Ổn định các hệ thống điện cơ 24 4 Biến Đổi Năng Lượng Điện Cơ NQN-TCB, HCMUT, 2013 Ví dụ 5.4 Ví dụ 5.4 (tt) W  Cho quan hệ dòng điện – từ thông của hệ trong hình f e   m  l2 1 x 2  2l2 1 x x i  l2  2l1 x2  Phương trình chuyển động Hãy viết phương trình chuyển động. Với l = 1, M = 1, và Mg = 2 d x e 2 2 trong một hệ đơn vị nhất quán nào đó, tìm điểm cân bằng. M  f  Mg  2l 1 x Mg dt 2 Viết phương trình thế năng của hệ và xác định tính ổn định  Điểm cân bằng sẽ thỏa mãn (với l, M, và Mg đã cho) của hệ tại điểm cân bằng trên. e  Tính lực điện từ theo hàm năng lượng 21 x 2  0  x  2 l 3  Hàm năng lượng tại l đã cho 2 2 l 2 2 W  l  2l1 x dl   l 1 x 2 m    W l, x 1/3 1 x 0 3 m l1 Ổn định các hệ thống điện cơ 25 Ổn định các hệ thống điện cơ 26 Ví dụ 5.4 (tt)  Chọn U(x) Ux   Mg  Ux  Mgx x  Xây dựng hàm thế năng V(x) V x U x W l, x  2x 1/3 1 x 2     m   l1    Tính đạo hàm cấp 2 của V(x) 2V  2  2  0 2   xe 2 x xe 2  Vậy hệ đã cho ổn định tại điểm cân bằng xe = 2. Ổn định các hệ thống điện cơ 27 5