Bài giảng Biến đổi năng lượng điện cơ - Chương 4: Giải tích hệ thống điện cơ dùng các phương pháp năng lượng - Nguyễn Quang Nam

Biến Đổi Năng Lượng Điện Cơ NQN-TCB, HCMUT, 2013 ĐH Bách Khoa TP.HCM – Khoa Điện-Điện Tử – Bộ Môn Thiết Bị Điện Bài giảng: Biến đổi năng lượng điện cơ Chương 4: Giải tích hệ thống điện cơ dùng các phương pháp năng lượng Biên soạn: Nguyễn Quang Nam Cập nhật: Trần Công Binh NH2012–2013, HK2 Bài giảng 3 1 • Khởi động từ - Contactor – Đóng cắt điện cho phụ tải, bằng cuộn dây 1 Biến Đổi Năng Lượng Điện Cơ NQN-TCB, HCMUT, 2013 Mạch từ contactor Cuộn dây AC Cuộn DC tiêu thụ năng lượng thấp A1 A2 N S Nam châm vĩnh cửu Hệ thống điện cơ – Giới thiệu  Mạch từ với một phần tử chuyển động sẽ được khảo sát.  Mô hình toán cho các hệ thống điện cơ thông số tập trung sẽ được rút ra.  Một hay nhiều hệ cuộn dây tương tác để tạo ra lực hay mômen trên hệ cơ sẽ được khảo sát. Bài giảng 3 4 2 Biến Đổi Năng Lượng Điện Cơ NQN-TCB, HCMUT, 2013 Hệ thống điện cơ – Giới thiệu (tt)  Một cách tổng quát, cả dòng điện trong cuộn dây lẫn lực/mômen sẽ biến thiên theo thời gian.  Một hệ phương trình vi phân điện cơ có tương quan được rút ra, và chuyển thành dạng không gian trạng thái, thuận tiện cho việc mô phỏng trên máy tính, phân tích, và thiết kế. Bài giảng 3 5 Hệ tịnh tiến – Áp dụng các định luật điện từ  Xét hệ thống trong hình 4.1  Định luật Ampere S H  dl  J f   da C S trở thành Hl  Ni Đường kín C d  Định luật Faraday E  dl   B   da C dt S trở thành d d v  N  dt dt Bài giảng 3 6 3 Biến Đổi Năng Lượng Điện Cơ NQN-TCB, HCMUT, 2013 Hệ tịnh tiến – Áp dụng các định luật điện từ (tt)  Việc áp dụng định luật Gauss còn tùy thuộc vào hình dạng, và cần thiết cho hệ thống với các cường độ từ trường H khác nhau.  Định luật bảo toàn điện tích sẽ dẫn đến KCL. Bài giảng 3 7 Cấu trúc của một hệ thống điện cơ Hệ điện Ghép Hệ cơ (tập trung) điện cơ (tập trung) v, i,  fe, x or Te, q  Với các hệ chuyển động tịnh tiến,  = (i, x).  Khi hình dạng của mạch từ là đơn giản, theo định luật Faraday d  di  dx v    dt i dt x dt Điện áp biến áp Điện áp tốc độ Bài giảng 3 8 4 Biến Đổi Năng Lượng Điện Cơ NQN-TCB, HCMUT, 2013 Hệ tuyến tính về điện   Lxi Như vậy, di dLx dx v  Lx  i dt dx dt  Với hệ không có phần tử chuyển động di   Li và v  L dt  Với hệ có nhiều cửa d N  di M  dx v  k  k j  k j k 1,2,..., N k  j1  j1 dt i j dt x j dt  Lực và từ thông móc vòng có thể là hàm của tất cả các biến. Bài giảng 3 9 Ví dụ 4.1  Tìm H1, H2, , và v, với các giả thiết sau: 1) m =  với lõi, 2) g >> w, x >> 2w và 3) không có từ thông tản. Chọn mặt kín thích hợp, áp dụng định luật Gauss 2m0 H1 wd  m0 H 2 2wd   0 Dẫn đến Ni H  H  1 2 g  x Rút ra từ thông (tính theo từ cảm B1 chẳng hạn): 2wdm Ni   0 g  x Bài giảng 3 10 5 Biến Đổi Năng Lượng Điện Cơ NQN-TCB, HCMUT, 2013 Ví dụ 4.1 (tt) Từ thông móc vòng 2wdm N 2i   N  0 g  x Điện cảm (của hệ tuyến tính về điện) 2wdm N 2 Lx  0 g  x Điện áp cảm ứng 2wdm N 2 di 2wdm N 2i dx vt  0  0 g  x dt g  x2 dt Bài giảng 3 11 Hệ thống chuyển động quay  Vd. 4.2: Hình 4.7. Tìm s, r làm hàm của is, ir, và q, và tìm vs và vr của rôto hình trụ. Giả thiết m = , và g << R và l. Có thể chứng minh được: N i  N i N i  N i H  s s r r  H H  s s r r  H r1 g r3 r2 g r4 Sau khi tính được các cường độ từ trường, từ thông móc vòng được xác định bởi: s  Nss  Ns m0 H r1Rql  Ns m0 H r2 R q l Bài giảng 3 12 6 Biến Đổi Năng Lượng Điện Cơ NQN-TCB, HCMUT, 2013 Hệ thống chuyển động quay (tt)  Vd. 4.2 (tt) Rút gọn thành 2  2q  s  N s L0is  N s N r L0 1 ir 0  q      Tương tự,  2q  2 r  N s N r L0 1 is  N r L0ir    Tính đạo hàm các từ thông móc vòng sẽ có được điện áp. Trong các máy thực tế, người thường chế tạo để di di dq v t  L s  M cosq  r  i M sinq  s s dt dt r dt Bài giảng 3 13 Ví dụ 4.4  Tính 1 và 2 và xác định tự cảm và hỗ cảm cho hệ trong hình 4.14, dùng mạch từ tương đương. N1i1 N2i2 x x 1 2 Rx   2 m0 A m0W N1i1  2Rx1  Rx2 Rx Rx Rx N2i2  Rx1  2Rx2 m W 2   N   0 2N 2i  N N i  1 1 1 3x 1 1 1 2 2 m W 2   N   0  N N i  2N 2i  2 2 2 3x 1 2 1 2 2 Bài giảng 3 14 7 Biến Đổi Năng Lượng Điện Cơ NQN-TCB, HCMUT, 2013 Tính lực bằng khái niệm năng lượng  Lực fe = fe(i, x) = fe(, x) (vì i có thể được tính từ  = (i, x)) với hệ có một cửa điện và một cửa cơ.  fe luôn luôn tác động theo chiều dương của x.  Xét hệ trong hình 4.17, được chuyển thành sơ đồ trong hình 4.18. Gọi Wm là năng lượng lưu trữ, theo nguyên tắc bảo toàn năng lượng (viết dưới dạng công suất) Tốc độ thay đổi Công suất Công suất = _ năng lượng lưu trữ điện đưa vào cơ lấy ra Bài giảng 3 15 Tính lực bằng khái niệm năng lượng (tt) dW dx d dx m  vi f e  i  f e dt dt dt dt e hay dWm  id  f dx  Một biến điện và một biến cơ có thể được chọn tùy ý, mà không vi phạm các quy tắc vật lý của bài toán. Giả sử (, x) được chọn.  Vì môi trường liên kết được bảo toàn, độ thay đổi năng lượng lưu trữ khi đi từ a đến b trong mặt phẳng  – x là độc lập với đường lấy tích phân (hình 4.19). Bài giảng 3 16 8 Biến Đổi Năng Lượng Điện Cơ NQN-TCB, HCMUT, 2013 Tính lực (tt)  Với đường A x  b e b Wm b , xb Wm a , xa    f a , xdx  i, xb d x  a a  Với đường B  x b b e Wm b , xb Wm a , xa   i, xa d  f b , xdx  x a a  Cả hai phương pháp phải cho cùng kết quả. Nếu a = 0, không có lực sinh ra bởi điện năng, khi đó đường A dễ tính hơn, với b Wm b , xb Wm 0, xa   i, xb d 0  Có thể tổng quát hóa thành  Wm , x  i, xd 0 Bài giảng 3 17 Quan hệ lực và năng lượng  Nhớ lại e dWm  id  f dx  Vì Wm = Wm(, x), vi phân của Wm có thể được biểu diễn W , x W , x dW  m d  m dx m  x  So sánh hai phương trình, cho ta W , x i  m  W , x f e   m x Bài giảng 3 18 9 Biến Đổi Năng Lượng Điện Cơ NQN-TCB, HCMUT, 2013 Ví dụ 4.5  Tính fe(, x) và fe(i, x) của hệ thống trong ví dụ 4.1. Từ ví dụ 4.1 2wdm N 2i 2wdm N 2 i i   N  0  0  L g  x g 1 x g 0 1 x g Để tính Wm, cần có i là một hàm của  và x  i  1 x g L0 Tính được 2     Wm  i, xd  1 x gd  1 x g 0 0 L0 2L0 Bài giảng 3 19 Ví dụ 4.5 (tt) Tính fe theo  và g W 2 f e   m , x   x 2L0 g Tính fe theo i và g (thay biểu thức của  theo i và g vào) 2 2 2 e L0i 1 L0i f i, x   2   2 2L0 g1 x g 2 1 x g Bài giảng 3 20 10 Biến Đổi Năng Lượng Điện Cơ NQN-TCB, HCMUT, 2013 Tính lực bằng khái niệm đồng năng lượng  Để tính Wm(, x), cần có i = i(, x). Việc này có thể không dễ dàng. Có thể sẽ thuận tiện hơn nếu tính fe trực tiếp từ  = (i, x). di  id  di  id  di di e  e dWm  di di  f dx di Wm   di  f dx  Định nghĩa đồng năng lượng là ' ' i Wm Wm Wm i, x Bài giảng 3 21 Tính lực bằng khái niệm đồng năng lượng (tt) e  Lấy tích phân dW’m dọc đường Ob’b (hình 4.21), f = 0 dọc Ob’ i ' Wm i, x  i, xdi 0  Về mặt toán học, W ' W ' dW '  m di  m dx m i x  Do đó (từ slide 19) W i, x W i, x   m f e  m i x Bài giảng 3 22 11 Biến Đổi Năng Lượng Điện Cơ NQN-TCB, HCMUT, 2013 Ví dụ 4.8  Tìm fe cho hệ trong hình 4.22. l 2x  R  c R  iron mA gap m A Ni 0 Riron Ni Ni Ni Rgap     lc 2x Riron  Rgap  Rx mA m0 A  Từ thông móc vòng và đồng năng lượng 2 2 2 i N i ' N i   N  Wm  i, xdi  Rx 0 2Rx  Lực điện từ (sinh ra bởi điện năng) W ' N 2i 2 d  1  N 2i 2 f e  m        2 x 2 dx  Rx m A lc  2x  0 mA m0 A Bài giảng 3 23 Biểu diễn hình học của năng lượng và đồng năng lượng  Trong các hệ tuyến tính (về điện), cả năng lượng lẫn đồng năng lượng đều bằng nhau về trị số. Trong hình 4.24,  i ' Wm  i, xd  Vùng A Wm  i, xdi  Vùng B 0 0  Nếu (i, x) là một hàm phi tuyến như minh họa trên hình 4.25, khi đó hai diện tích sẽ không có trị số bằng nhau. Tuy nhiên, fe rút ra bằng năng lượng hay đồng năng lượng sẽ như nhau. Bài giảng 3 24 12 Biến Đổi Năng Lượng Điện Cơ NQN-TCB, HCMUT, 2013 Biểu diễn hình học của năng lượng và đồng năng lượng  Có thể chứng minh như sau.  Trước tiên, giữ  cố định, năng lượng Wm được giảm một lượng –DWm như trên hình 4.26(a) đối với việc tăng một lượng Dx. Tiếp đó, giữ i không đổi, đồng năng lượng tăng một lượng DW’m khi x thay đổi 1 lượng Dx. Lực điện từ (do điện năng sinh ra) trong cả hai trường hợp DW DW ' f e   lim m f e  lim m Dx0 Dx Dx0 Dx Bài giảng 3 25 Lực trong hệ 2 cửa điện – 1 cửa cơ  Xét một hệ có 2 cửa điện và 1 cửa cơ, với 1 = 1(i1, i2, x) và 2 = 2(i1, i2, x). Tốc độ thay đổi năng lượng lưu trữ dW dx d d dx m  v i  v i  f e  i 1  i 2  f e dt 1 1 2 2 dt 1 dt 2 dt dt hay e dWm  i1d1  i2d2  f dx Xét i1d1  i2d2  d1i1  2i2  1di1  2di2 Bài giảng 3 26 13 Biến Đổi Năng Lượng Điện Cơ NQN-TCB, HCMUT, 2013 Lực trong hệ 2 cửa điện – 1 cửa cơ (tt) Như vậy, e d1i1  2i2 Wm   1di1  2di2  f dx ' Wm ' e dWm  1di1  2di2  f dx Sau cùng, i i ' 1 ' ' 2 ' ' Wm i1,i2 , x  1 i1,0, xdi1  2 i1,i2 , xdi2 0 0 Bài giảng 3 27 Lực trong hệ nhiều cửa tổng quát  Xét một hệ có N cửa điện và M cửa cơ, các từ thông móc vòng là 1(i1, ..., iN, x1, ..., xM), ..., N(i1, ..., iN, x1, ..., xM). e e dWm  d1i1 ...  dN iN  f1 dx1 ...  f M dxM d1i1 ...  N iN   d1i1 ...  dN iN  1di1 ...  N diN   Tương tự như với trường hợp có 2 cửa điện và 1 cửa cơ: N N M   e diii Wm   i dii  fi dxi i1  i1 i1 ' Wm Bài giảng 3 28 14 Biến Đổi Năng Lượng Điện Cơ NQN-TCB, HCMUT, 2013 Lực trong hệ nhiều cửa tổng quát (tt)  Rút ra công thức tổng quát để tính từ thông móc vòng và lực điện từ: ' Wm i  i  1,..., N ii ' e Wm fi  i  1,..., M xi Bài giảng 3 29 Tính đồng năng lượng W’m  Để tính W’m, việc tính tích phân được thực hiện trước tiên dọc các trục xi, rồi dọc mỗi trục ii. Khi tính tích phân dọc xi, e W’m = 0 vì f bằng 0. Khi đó, i ' 1 ' ' Wm  1i1,0,...,0, x1, x2 ,...xM di1 0 i 2 ' '  2 i1,i2 ,...,0, x1, x2 ,...xM di2 ... 0 i N ' '  N i1,i2 ,...,iN 1,iN , x1, x2 ,...xM diN 0 Bài giảng 3 30 15 Biến Đổi Năng Lượng Điện Cơ NQN-TCB, HCMUT, 2013 Tính đồng năng lượng W’m (tt)  Chú ý các biến dùng để tính tích phân. Với trường hợp đặc biệt của hệ 2 cửa điện và 2 cửa cơ, i i ' 1 ' ' 2 ' ' Wm  1 i1,0, x1, x2 di1  2 i1,i2 , x1, x2 di2 0 0 Và, ' e Wm f1  dx1 ' e Wm f 2  dx2 Bài giảng 3 31 Ví dụ 4.10  Tính W’m và mômen (do điện sinh ra) của một hệ 3 cửa điện và 1 cửa cơ, với các từ thông móc vòng cho trước. 1  L11i1  Mi3 cos   2  L22i2  Mi3 sin   3  L33i3  Mi1 cos   Mi2 sin   Đồng năng lượng: i i i ' 1 ' ' 2 ' ' 3 ' ' Wm  1 i1 ,0,0,, di1  2 i1 ,i2 ,0,, di2  3 i1 ,i2 ,i3 ,, di3 0 0 0 1 1 1  L i 2  L i 2  L i 2  Mi i cos   Mi i sin   2 11 1 2 22 2 2 33 3 1 3 2 3 Bài giảng 3 32 16 Biến Đổi Năng Lượng Điện Cơ NQN-TCB, HCMUT, 2013 Ví dụ 4.10 (tt) Mặc dù chỉ có 1 cửa cơ, hệ được mô tả bởi 2 biến cơ học (các góc quay). Do đó, các thành phần lực xoắn (mômen) là W ' T e  m  Mi i sin   Mi i cos     1 3 2 3 W ' T e  m  Mi i sin   Mi i cos     1 3 2 3 Bài giảng 3 33 Biến đổi năng lượng – Kiểm tra tính bảo toàn  Bỏ qua tổn thất trong từ trường, có thể rút ra quan hệ đơn giản cho hệ ghép, f ev S d e i T  dt dWm Nhớ lại dt W , x W , x f e   m i  m x  Và chú ý rằng  2W  2W m  m x x  Điều kiện cần và đủ để cho hệ là bảo toàn sẽ là i, x f e , x i, x f e i, x   hay  x  x i Bài giảng 3 34 17 Biến Đổi Năng Lượng Điện Cơ NQN-TCB, HCMUT, 2013 Hệ thống 2 cửa điện và 1 cửa cơ  Với hệ này ' e dWm  1di1  2di2  f dx  Các phương trình cho từ thông và lực (do điện sinh ra) là ' ' ' Wm Wm e Wm 1  2  f  i1 i2 x  Các điều kiện cho sự bảo toàn là  f e  f e   1  2  1  2 x i1 x i2 i2 i1  Điều này có thể mở rộng cho các hệ có nhiều cửa điện và nhiều cửa cơ. Bài giảng 3 35 Biến đổi năng lượng giữa hai điểm  Nhớ lại e dWm  i, xd   f , xdx  Khi đi từ a đến b trong hình 4.31, độ thay đổi năng lượng lưu trữ là  x b  b e  Wm b , xb Wm a , xa   id   f dx a  xa  DW  EFE  EFM m ab ab ab Bài giảng 3 36 18 Biến Đổi Năng Lượng Điện Cơ NQN-TCB, HCMUT, 2013 Biến đổi năng lượng giữa hai điểm (tt) Với EFE viết tắt cho “energy from electrical” (năng lượng từ hệ điện) và EFM viết tắt “energy from mechanical” (năng lượng từ hệ cơ).  Để đánh giá EFE và EFM, cần có một đường đi cụ thể. Khái niệm EFM này có ích trong việc nghiên cứu sự biến đổi năng lượng theo chu kỳ của thiết bị. Bài giảng 3 37 Biến đổi năng lượng trong 1 chu kỳ  Trong 1 chu kỳ, khi hệ thống trở về trạng thái khởi đầu, dWm = 0. 0  id   f edx  id    f edx  Từ hình 4.30, id = EFE, và –fedx = EFM. Như vậy, trong 1 chu kỳ, EFE  EFM  0 hay EFE  EFM  0   cycle cycle  Có thể tính EFE hoặc EFM trong 1 chu kỳ. Nếu EFE|cycle > 0, hệ thống đang hoạt động như một động cơ, và EFM|cycle < 0. Nếu EFE|cycle < 0, hệ thống đang vận hành như một máy phát, và EFM|cycle > 0. Bài giảng 3 38 19 Biến Đổi Năng Lượng Điện Cơ NQN-TCB, HCMUT, 2013 Động học của hệ tập trung – Hệ khối lượng-lò xo  Các phần tử tập trung của hệ cơ: khối lượng (động năng), lò xo (thế năng), và bộ đệm (tiêu tán). Định luật Newton được dùng cho phương trình chuyển động.  Xét khối lượng M = W/g được treo trên lò xo có độ cứng K. Ở điều kiện cân bằng tĩnh, trọng lực W = Mg được cân bằng bởi lực lò xo Kl, với l là độ giãn của lò xo gây ra bởi khối lượng W. Bài giảng 3 39 Động học của hệ tập trung – Hệ khối lượng-lò xo  Nếu vị trí cân bằng được chọn làm gốc, chỉ có lực sinh ra bởi dịch chuyển cần được xem xét. Xét mô hình vật tự do trong hình 4.35(c).  Định luật Newton: Lực gia tốc theo chiều dương của x bằng với tổng đại số tất cả các lực tác động lên khối lượng theo chiều dương của x. Mx  Kx hay Mx Kx  0 Bài giảng 3 40 20 Biến Đổi Năng Lượng Điện Cơ NQN-TCB, HCMUT, 2013 Hệ khối lượng-lò xo với phần tử tiêu tán  Nếu vị trí chưa biến dạng được chọn làm gốc (Hình 4.36), khi đó My  Ky  Mg My  Ky  Mg My  Ky  l  0  Chú ý rằng Mg  Kl  Xét khối lượng M được đỡ bởi lò xo (hình 4.37), và một tổ hợp lò xo-bộ đệm. f(t) là lực áp đặt. x được đo từ vị trí cân bằng tĩnh. Một bộ đệm lý tưởng sẽ có lực tỷ lệ với vận tốc tương đối giữa hai nút, với ký hiệu như trong hình 4.38. Bài giảng 3 41 Hệ khối lượng-lò xo với phần tử tiêu tán (tt)  Áp dụng định luật Newton, có thể viết được phương trình chuyển động của vật tự do như sau fK1 f(t) fB1 Mx  f t f K1  f K 2  f B dx  f t K x  K x  B M 1 2 dt x fK2 Bài giảng 3 42 21 Biến Đổi Năng Lượng Điện Cơ NQN-TCB, HCMUT, 2013 Ví dụ 4.17  Viết các phương trình cơ học cho hệ trong hình 4.40. x1 x2 K1x1 K2x K2x K3x2 M1 M2    B1 x1 B2 x B2 x B3 x2 f1(t) f2(t)  Định nghĩa x2 – x1 = x M1x1  f1 t K2 x2  x1  B2 x2  x1  B1x1  K1x1 M 2 x2  f 2 t B2 x2  x1  K2 x2  x1  B3 x2  K3 x2 Bài giảng 3 43 Mô hình không gian trạng thái  Mô tả động học hoàn chỉnh của hệ thu được từ việc viết các phương trình cho phía điện và phía cơ. Các phương trình này có liên kết, và tạo ra một hệ các phương trình vi phân bậc nhất dùng cho phân tích. Hệ phương trình này được coi là mô hình không gian trạng thái của hệ thống.  Vd. 4.19: Với hệ thống trong hình 4.43, chuyển các phương trình điện và cơ về dạng không gian trạng thái. Từ thông móc vòng từ vd. 4.8, 2 2 2 2 N i N i ' N i     Wm  Rc  Rg x Rx 2Rx Bài giảng 3 44 22 Biến Đổi Năng Lượng Điện Cơ NQN-TCB, HCMUT, 2013 Mô hình không gian trạng thái (tt)  Ở phía hệ điện, N 2 di N 2i 2 dx vs  iR   2 Rx dt R x m0 A dt  Ở phía hệ cơ, 2 2 2 d x dx e N i M 2  Kx l B  f   2 dt dt m0 AR x với l > 0 là điểm cân bằng tĩnh của phần tử chuyển động. Nếu vị trí của phần tử chuyển động được đo từ vị trí cân bằng, các phương trình cơ có biến (x – l) thay vì x. Bài giảng 3 45 Mô hình không gian trạng thái (tt)  Quan hệ trên có được dưới điều kiện sau, d 2 x  l dx  l   0 dt 2 dt  Mô hình không gian trạng thái của hệ thống là một hệ 3 phương trình vi phân bậc nhất. Ba biến trạng thái là x, dx/dt (hay v), và i. Ba phương trình bậc nhất có được bằng cách đạo hàm x, v, và i và biểu diễn các đạo hàm này chỉ theo x, v, và i, và ngõ vào bất kỳ của hệ thống. Do đó, các phương trình sau cho ta mô hình không gian trạng thái, Bài giảng 3 46 23 Biến Đổi Năng Lượng Điện Cơ NQN-TCB, HCMUT, 2013 Mô hình không gian trạng thái (tt) dx  v x  f x , x , x  dt 1 1 1 2 3 dv 1   N 2i 2    2  Kx  l Bv x2  f 2 x1, x2 , x3  dt M m0 AR x  di 1  N 2i 2    iR  2 v  vs  x3  f3 x1, x2 , x3 ,u dt Lx  R x m0 A  với N 2 Lx  Rx Bài giảng 3 47 Các điểm cân bằng  Xét phương trình x  f  x , u  . Nếu ngõ vào u là không đổi, khi đó bằng việc đặt x  0 , sẽ thu được các phương trình đại số 0  f  x , uˆ  . Phương trình này có thể có vài nghiệm, và được gọi là các điểm cân bằng tĩnh.  Trong các hệ thống ít chiều, có thể dùng đồ thị. Trong các hệ bậc cao, thường cần dùng các kỹ thuật tính số để tìm nghiệm. Chú ý các đại lượng có ký hiệu gạch dưới là các vectơ. Bài giảng 3 48 24 Biến Đổi Năng Lượng Điện Cơ NQN-TCB, HCMUT, 2013 Các điểm cân bằng (tt)  Với vd. 4.19, đặt các đạo hàm bằng 0 cho ta ve  0 e i  vs R 2 e 2 N i  e e  Kx  l  2   f i , x m0 AR x xe có thể tìm bằng đồ thị bằng cách tìm giao điểm của –K(x – l) và –fe(ie, x). Bài giảng 3 49 Tích phân số  Hai loại phương pháp: tường minh và ngầm định. Phương pháp Euler là dạng tường minh, dễ hiện thực cho các hệ thống nhỏ. Với các hệ lớn, phương pháp ngầm định tốt hơn nhờ tính ổn định số của nó.  Xét phương trình x  f x,u x0  x0 với x, f, và u là các vectơ.  Thời gian tích phân sẽ được chia đều thành những bước Dt (Hình 4.45). Bài giảng 3 50 25 Biến Đổi Năng Lượng Điện Cơ NQN-TCB, HCMUT, 2013 Tích phân số (tt)  Trong mỗi bước thời gian từ tn đến tn+1, biểu thức tích phân được coi là không đổi bằng giá trị ứng với thời điểm trước đó tn. Như vậy, t t n1 xtdt  n1 f x,udt t t n n xtn1  xtn   tn1 tn f xtn ,utn   Dtf xtn ,utn  Bài giảng 3 51 Ví dụ 4.21  Tính x(t) ở t = 0,1, 0,2, và 0,3 giây, biết rằng x  t  2x2 x0  1  Có thể chọn Dt = 0.1 s. Công thức tổng quát để tính x(n+1) là n1 n n x  x  Dtf x ,tn  n  0,1,2,...  Tại t0 0 0 2 x 1 f x ,t0  0  21  2 1 0 0 x  x  Dtf x ,t0 1 0,1 2 0,8 Bài giảng 3 52 26 Biến Đổi Năng Lượng Điện Cơ NQN-TCB, HCMUT, 2013 Ví dụ 4.21 (tt)  Tại t1 = 0,1 s 1 1 2 x  0,8 f x ,t1  0,1 20,8  1,344 2 1 1 x  x  Dtf x ,t1  0,8 0,11,344 0,6656  Tương tự, x3  0,5681 x4  0,4939 Bài giảng 3 53 Ví dụ 4.22  Tìm i(t) bằng pp Euler. R = (1 + 3i2) W, L = 1 H, và v(t) = 10t V. di di L  iR  vt  i1 3i 2   vt i0  0 dt dt  Đặt i = x, và v(t) = u dx 2 0  1 3x x  ut  f x,u,t x0  0  x dt n1 n n n x  x  Dtf x ,u ,tn  n  0,1,2,... 0 0 0 0  1 x  0 u  0 f x ,u ,t0  0 x  0 1 1 1 1 2 x  0 u  0,25 f x ,u ,t1  1 0 0 0,25  0,25 2 1  x  x  0,0250,25  0,00625 Bài giảng 3 54 27