Bài giảng Biến đổi Fourier rời rạc

Biến đổi Fourier rời rạc GV: Nguyễn Thị Phương Thảo Email: [email protected] Biến đổi Fourier rời rạc  Biến đổi Fourier 𝑋 𝜔 là hàm liên tục của tần số 𝜔  khó khăn khi xử lý trên máy tính hoặc các hệ thống số thiết kế đặc biệt  Giải pháp: rời rạc hóa phổ 𝑋 𝜔  biến đổi Fourier rời rạc (DFT)  Tín hiệu 𝑥 𝑛 có phổ  Lấy mẫu 𝑋 𝜔 với khoảng cách là 𝛿𝜔 rad.  Nếu lấy N mẫu  khoảng cách giữa các mẫu 𝛿𝜔 = 2𝜋/𝑁.  Phổ của tín hiệu tại các tần số 𝜔 = 2𝜋 𝑁 𝑘 là 5.1 Lấy mẫu miền tần số 5.1 Lấy mẫu miền tần số  Biến đổi DFT của 𝑥 𝑛  Khôi phục lại tín hiệu rời rạc thời gian Điều kiện: 𝑥 𝑛 là tín hiệu hữu hạn có chiều dài L và 𝐿 ≤ 𝑁 So sánh biến đổi FT và DFT  Ta biểu diễn biến đổi FT của x(n) như sau (L=10):  Biểu diễn phổ biên độ và phổ pha của tín hiệu x(n) So sánh biến đổi FT và DFT  Biến đổi DFT của tín hiệu x(n) lấy với N = 50  Chú ý: khi sử dụng biến đổi DFT với dãy hữu hạn có chiều dài L, ta phải lấy số mẫu N ≥ L thì mới đảm bảo khôi phục lai đúng x(n) Ta có thể hình dung DFT là sự rời rạc hóa hàm liên tục X(ω) với số mẫu N (trong khoảng từ 0:2π) So sánh biến đổi FT và DFT  Tương tự ta có biến đổi DFT của tín hiệu x(n) lấy với N = 100 Biểu diễn biến đổi DFT dưới dạng ma trận  Đặt  Ta có: nk N j e 2 nk NW   )1(001000 W)1(...W)1(W)0(W)()0(  NNNN n N NxxxnxX )1(111101 W)1(...W)1(W)0(W)()1(  NNNN n N NxxxnxX )1)(1(1)1(0)1(0 W)1(...W)1(W)0(W)()1(   NNN N N N N n N NxxxnxNX     1 0 W)()( N n kn NnxkX  Giả sử đặt:  𝑥𝑁 là ma trận có N phần tử là giá trị các xung của 𝑥 𝑛 với 𝑛 = 0,1,2 ,𝑁 − 1. 𝑋𝑁 là ma trận có N phần tử là giá trị các xung của 𝑋(𝑘) với k= 0,1,2 ,𝑁 − 1. Ma trận 𝑊𝑁 có 𝑁 × 𝑁 phần tử như sau Biểu diễn biến đổi DFT dưới dạng ma trận  Ta có công thức DFT N điểm như sau 𝑋𝑁 = 𝑊𝑁𝑥𝑁  Nghịch đảo của 𝑊𝑁 là 𝑊𝑁 −1, ta có 𝑥𝑁 = 𝑊𝑁 −1𝑋𝑁 Biểu diễn biến đổi DFT dưới dạng ma trận 5.2. Tính chất biến đổi DFT a. Tính chất tuyến tính b. Tính chất trễ + Khái niệm trễ vòng Xét dãy có chiều dài N, trễ vòng được định nghĩa như sau: các mẫu trễ ngoài khoảng từ 0 đến N-1 sẽ vòng quay trở lại Trễ vòng của dãy có chiều dài N chỉ xác định trong khoảng từ 0 đến N-1 Ký hiệu trễ vòng: x(n-n0)N 5.2. Tính chất (tiếp)  Tính chất trễ của DFT  Trễ theo thời gian  Trễ theo tần số  Đảo miền thời gian 5.2. Tính chất (tiếp) c. Tích chập vòng Khái niệm: Tích chập vòng của 2 dãy hữu hạn có chiều dài N là 1 dãy hữu hạn có chiều dài N được định nghĩa như sau: N N m NN NNN mnxmxnx nxnxnx )()()( )((*))()( 2 1 0 13 213      5.2. Tính chất (tiếp)  Cách tính tích chập vòng  Tính tương tự như tích chập thường  Tuy nhiên không dùng trễ tuyến tính mà dùng trễ vòng  Chú ý:  2 dãy tính tích chập phải là dãy hữu hạn có cùng chiều dài N  Dãy kết quả cũng là 1 dãy hữu hạn có chiều dài N  Biến đổi DFT với tích chập vòng NNN DFT NNN kXkXkXnxnxnx )()()()((*))()( 213213  5.3 Phân tích hệ thống sử dụng DFT  Xét hệ thống có đáp ứng xung ℎ 𝑛 có chiều dài hữu hạn M  Tín hiệu vào 𝑥 𝑛 có chiều dài L  Đáp ứng ra 𝑦 𝑛 = 𝑥 𝑛 ∗ ℎ 𝑛 có chiều dài 𝐿 +𝑀 − 1  DFT của 𝑦(𝑛) cần phải thực hiện với N ≥ 𝐿 +𝑀 − 1 điểm  Biểu diễn hệ thống miền tần số 𝑌 𝜔 = 𝐻 𝜔 𝑋 𝜔 DFT 𝑦(𝑛) Vậy {𝑋(𝑘)} và {𝐻(𝑘)} là DFT N điểm của các dãy 𝑥(𝑛) và ℎ(𝑛) tương ứng 5.3 Phân tích hệ thống sử dụng DFT  Vậy với việc tăng chiều dài các dãy 𝑥 𝑛 và ℎ 𝑛 ta có thể sử dụng DFT để phân tích và biểu diễn hệ thống tuyến tính bất biến (bộ lọc tuyến tính) 5.3 Phân tích hệ thống sử dụng DFT