Tính độ cong bề mặt cho phân vùng bề mặt tự do dựa trên phần mềm matlab

Tạp chí Khoa học - Công nghệ Thủy sản Số 4/2014 THOÂNG BAÙO KHOA HOÏC TÍNH ĐỘ CONG BỀ MẶT CHO PHÂN VÙNG BỀ MẶT TỰ DO DỰA TRÊN PHẦN MỀM MATLAB SURFACE CURVATURE COMPUTATION FOR FREE-FORM SURFACE PARTITIONING BASED ON MATLAB PROGRAM Nguyễn Văn Tường1 Ngày nhận bài: 05/8/2014; Ngày phản biện thông qua: 11/8/2014; Ngày duyệt đăng: 01/12/2014 TÓM TẮT Có thể chia bề mặt tự do thành các vùng lồi, lõm, yên ngựa khác nhau nhờ vào đặc điểm độ cong bề mặt tại các điểm trên bề mặt. Bài báo này trình bày việc tính độ cong của bề mặt tự do cho mục đích phân vùng. Các thông số độ cong bề mặt được sử dụng làm dữ liệu cho quá trình phân vùng và xác định biên các vùng khi sử dụng các đặc tính hình học của bề mặt và kỹ thuật mã xích trong lĩnh vực xử lý ảnh. Quá trình tính toán được thực hiện nhờ chương trình được viết bằng phần mềm Matlab. Dữ liệu đầu vào cho chương trình là phương trình toán học của bề mặt tự do ở dạng tường minh hoặc bề mặt Bspline. Tọa độ các điểm trên bề mặt cũng như trên biên của các vùng trong dữ liệu đầu ra được sử dụng cho việc mô hình hóa bề mặt với các vùng riêng biệt trong môi trường CAD (Computer Aided Design). Từ khóa: Bề mặt tự do, độ cong bề mặt, phân vùng bề mặt ABSTRACT A free-form surface can be partitioned into different convex, concave and saddle regions thanks to the characteristics of surface curvatures at points on the surface. This paper presents the work of surface curvature computation for free-form surface partitioning. The surface curvatures are used as data for partitioning and defi ning the boundaries of regions on the surface when using the characteristics of surface geometry and the chain code technique in image processing fi eld. The computation process is performed by a Matlab program. The input data of the program are mathematical equations of free-form surfaces in explicit form or Bspline surfaces. The coordinates of points on the surface and on the region boundaries in the output data are used for modelling the surface with separate regions in CAD environment. Keywords: Free-form surface, surface curvatures, surface partitioning I. ĐẶT VẤN ĐỀ pháp véc tơ bề mặt để thành lập một véc tơ đa chiều Bề mặt tự do là mặt đều, trơn, thường được cho quá trình chia vùng bề mặt tự do. Phương pháp sử dụng trong các ngành thiết kế và chế tạo khuôn nhóm cụm mờ (fuzzy clustering) và phương pháp mẫu, thiết kế thân ô tô, tàu thủy, máy bay và trong C-means mờ (fuzzy C-means) đã được các tác giả các tác phẩm nghệ thuật. Quá trình gia công bề mặt sử dụng để chia bề mặt tự do thành các vùng lồi, tự do trên máy CNC (Computer Numerical Control) lõm và yên ngựa. Các tính chất hình học nói trên thường tốn nhiều thời gian do đường kính dao bị cũng được Roman và cs [7, 8] để xác định biên và hạn chế bởi bán kính cong nhỏ nhất của bề mặt phân vùng bề mặt tự do. cần gia công. Một trong những phương pháp nâng Bey và cộng sự [1] đã xấp xỉ bề mặt tự do thành cao năng suất gia công bề mặt tự do là chia bề mặt các tam giác. Các thông số pháp véc tơ và độ cong thành các vùng khác nhau và mỗi vùng có thể được bề mặt được tính để xác định hình dạng cục bộ vùng gia công bằng các dao có đường kính khác nhau. bề mặt tại các đỉnh tam giác. Từ đó, các đỉnh này Chen và cs [2] đã tính các tính chất hình được nhóm thành các vùng có đồ hình khác nhau. học của bề mặt tự do như độ cong Gauss, độ Để nâng cao hiệu suất gia công bằng cách sử cong trung bình, độ cong cực đại và cực tiểu và dụng dao lớn nhất có thể, Li và Zhang [4] cũng chia 1 TS. Nguyễn Văn Tường: Khoa Cơ khí – Trường Đại học Nha Trang TRƯỜNG ĐẠI HỌC NHA TRANG • 65 Tạp chí Khoa học - Công nghệ Thủy sản Số 4/2014 bề mặt tự do thành các vùng lồi, lõm và yên ngựa Véc tơ t bất kỳ vuông góc với nS được gọi là nhờ độ cong bề mặt. Họ gọi các vùng lõm và yên véc tơ tiếp tuyến với S(u,v) tại điểm p. Mặt phẳng ngựa là những vùng tới hạn mà ở đó có thể xảy ra chứa tất cả các véc tơ tiếp tuyến với mặt S tại điểm việc cắt lẹm. Các tác giả đã xây dựng chương trình p được gọi là mặt phẳng tiếp tuyến tại điểm p, và tính toán chia vùng và kiểm tra cắt lẹm bằng ngôn được ký hiệu là Tp(S) (hình 1). ngữ C++. Elber và Cohen [3] đã tiến hành phân tích độ cong của bề mặt tự do để nghiên cứu đặc tính đồ hình bề mặt. Họ đã phát triển một phương pháp lai sử dụng các toán tử ký hiệu và toán tử số để tính các độ cong bề mặt, từ đó xác định biên các đường biên của các vùng riêng biệt trên bề mặt. Tuy nhiên, các phương trình đường biên là những đa thức bậc cao, rất khó giải. Nói tóm lại, cho đến nay, có nhiều công trình nghiên cứu phân vùng bề mặt tự do dựa trên cách tiếp cận dùng độ cong bề mặt. Tuy nhiên đa số các phương pháp đã đưa ra là khá phức tạp, khó áp Hình 1. Pháp véc tơ đơn vị và mặt phẳng tiếp tuyến tại một điểm dụng. Tường và Pokorny [9] đã đưa ra một phương pháp đơn giản nhưng hiệu quả để phân vùng bề mặt b. Dạng toàn phương thứ nhất, F1 tự do. Ở đây, bề mặt tự do được chia thành các vùng Dạng toàn phương thứ nhất của một bề mặt tự lồi, lõm và yên ngựa dựa trên độ cong bề mặt. Đường do S biểu diễn các tính chất khối của bề mặt, được biên của các vùng được xác định nhờ áp dụng kỹ thuật mã xích dùng trong xử lý ảnh. Quá trình tính xác định bởi [6]: 2 2 toán phân vùng và xác định biên bề mặt được thực F1= dS.dS = Edu + 2Fdudv + Gdv (5) hiện nhờ một chương trình Matlab được viết cho bề trong đó mặt tự do ở dạng tường minh hoặc bề mặt Bspline. Bài báo này tập trung giới thiệu phương pháp tính (6) toán độ cong bề mặt tự do cho mục đích phân vùng là các hệ số của dạng toàn phương thứ nhất. với sự hỗ trợ của phần mềm Matlab. c. Dạng toàn phương thứ hai, F2: Dạng toàn phương thứ hai mô tả độ cong của II. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU VÀ PHƯƠNG PHÁP một bề mặt tự do, được xác định bởi [35]: NGHIÊN CỨU F2= −dnS .dS = Ldu2 + 2Mdudv + Ndv2 (7) 1. Thông số hình học của bề mặt tự do trong đó Bề mặt tự do có thể được biểu diễn theo: - Dạng ẩn: f(x, y, z) = 0 (1) (8) - Dạng tường minh: z = f(x, y) (2) là các hệ số của dạng toàn phương thứ hai. - Dạng tham số: d. Độ cong Gauss (K) và độ cong trung bình (H) S(u,v) = {S (u,v), S (u,v), S ( u , v ) } ( 3 ) x y z Cho một bề mặt tự do S(u,v) và p là một điểm Một số thông số hình học chủ yếu của bề mặt tự do là: bất kỳ trên nó. Gọi (Q) là mặt phẳng chứa pháp véc a. Pháp véc tơ tại một điểm tơ của mặt S tại điểm p. Giao tuyến của Q là S là Cho một bề mặt tự do S(u, v) và một điểm bất một đường cong có độ cong nhất định (hình 2). Khi kỳ trên bề mặt. Tại điểm này, Su và Sv là hai véc tơ mặt (Q) quay xung quanh pháp véc tơ nói trên thì tiếp tuyến theo hai phương tham số u và. Su và Sv độ cong của đường cong thay đổi. Ơ-le đã chính không song song nhau, và một véc tơ vuông góc với minh rằng tồn tại các hướng mà ở đó độ cong của cả hai véc tơ này là véc tơ đơn vị, được xác định bởi công thức (4) và được biểu diễn như trên hình 1 [6]. đường cong đạt đạt giá trị cực tiểu và cực đại [6]. Các độ cong ở các hướng này được gọi là các độ (4) cong chính tắc và các hướng độ cong chính tắc vuông góc nhau. 66 • TRƯỜNG ĐẠI HỌC NHA TRANG Tạp chí Khoa học - Công nghệ Thủy sản Số 4/2014 Các điểm không có tính chất này được mã hóa thành số 0. - Nếu K ≥ 0 và H > 0: lưu điểm vào ma trận các điểm vùng lõm, mã hóa điểm lưu thành số 2. Các điểm không có tính chất này được mã hóa thành số 0. - Nếu K < 0: lưu điểm vào ma trận các điểm vùng yên ngựa, mã hóa điểm lưu thành số 3. Các điểm không có tính chất này được mã hóa thành số 0. Cấu trúc ma trận các vùng riêng biệt nêu trên tương tự như cấu trúc của ma trận của ảnh nhị phân. Điều này tạo điều kiện dễ dàng cho việc áp Hình 2. Độ cong của bề mặt tự do dụng kỹ thuật mã xích trong xử lý ảnh để xác định Độ cong Gaussian (K), độ cong trung bình (H) và biên các vùng đã phân. Các điểm biên sẽ được các độ cong chính tắc Kmin và Kmax của bề mặt S(u, v), dùng để xây dựng các đường cong không gian ba tại điểm p, được tính bằng các công thức [6]: chiều dùng cho việc chia bề mặt tự do thành các vùng khác nhau trong môi trường CAD. (9) Để thực hiện tính toán theo thuật toán nói trên và căn cứ các phương trình (9) đến (12), các bước để tính độ cong của một bề mặt tự do được thực (10) hiện như sau: - Tạo tập hợp các điểm trên bề mặt tự do (11) đã cho. - Tính toán các pháp véc tơ đơn vị tại tất cả các (12) điểm trên bề mặt. Dựa vào các giá trị của độ cong Gauss, độ cong - Tính các hệ số dạng toàn phương thứ nhất trung bình và các độ cong chính tắc, các điểm trên và thứ hai. một bề mặt tự do có thể được chia thành sáu loại - Tính độ cong Gaussian, độ cong trung bình và như sau [5]: các độ cong chính tắc. - Điểm eliptic lõm: Nếu K > 0 và H > 0. Trong nghiên cứu này, việc tính toán phân vùng - Điểm eliptic lồi: Nếu K > 0 và H < 0. và xác định biên các vùng được thực hiện bằng một - Điểm hyperbolic: Nếu K <0. chương trình Matlab. Chương trình gồm các tập tin - Điểm parabolic lõm: Nếu K = 0 và H > 0. M-function và M-script để tạo mô hình toán của bề - Điểm parabolic lồi: Nếu K = 0 và H < 0. mặt, tính độ cong bề mặt, phân vùng và xác định - Điểm rốn phẳng: Nếu K = 0 và H = 0. biên các vùng. Hàm tính toán độ cong có nội dung Để chia một bề mặt tự do thành các vùng lồi (kể cơ bản như sau: cả vùng phẳng), vùng lõm và vùng yên ngựa, hình - Tính đạo hàm bậc nhất và đạo hàm bậc hai dạng bề mặt cục bộ quanh một điểm có thể được theo các biến u và v bằng cách sử dụng hàm tiêu chia thành ba loại vùng khác nhau như sau [5]: chuẩn gradient. * K ≥ 0 và H £ 0: hình dạng bề mặt cục bộ lồi. [Xu,Xv] = gradient(X); * K ≥ 0 và H > 0: hình dạng bề mặt cục bộ lõm. [Yu,Yv] = gradient(Y); * K < 0 và H ¹ 0: hình dạng bề mặt cục bộ yên ngựa. [Zu,Zv] = gradient(Z); 2. Tính độ cong của bề mặt tự do [Xuu,Xuv] = gradient(Xu); Trong nghiên cứu này, thuật toán phân vùng bề [Yuu,Yuv] = gradient(Yu); mặt tự do như sau: [Zuu,Zuv]= gradient(Zu); (a) Tạo tập hợp lưới điểm bề mặt {p} từ mô hình [Xuv,Xvv] = gradient(Xv); toán học của bề mặt S và lưu tất cả các điểm vào [Yuv,Yvv] = gradient(Yv); một ma trận chung. [Zuv,Zvv] = gradient(Zv); (b) Tính các thông số K and H tại mỗi điểm pi,j. X, Y và Z ở đây là những mảng 2 chiều của (c) Xét mỗi điểm pi,j thuộc tập {p}: các điểm trên bề mặt. Những mảng này phải được - Nếu K ≥ 0 và H £ 0: lưu điểm vào ma trận chuyển thành các véc tơ để thực hiện các phép tính các điểm vùng lồi, mã hóa điểm lưu thành số 1. về sau. TRƯỜNG ĐẠI HỌC NHA TRANG • 67 Tạp chí Khoa học - Công nghệ Thủy sản Số 4/2014 - Tính pháp véc tơ tại các điểm trên bề mặt: m = cross(Xu,Xv,2); q = sqrt(dot(m,m,2)); n = m./[q q q]; - Tính các hệ số dạng toàn phương thứ nhất: E = dot(Xu,Xu,2); F = dot(Xu,Xv,2); G = dot(Xv,Xv,2); - Tính các hệ số dạng toàn phương thứ hai: L = dot(Xuu,n,2); M = dot(Xuv,n,2); N = dot(Xvv,n,2); - Tính độ cong Gauss: K = (L.*N - M.^2)./(E.*G - F.^2); - Tính độ cong trung bình: H = (E.*N + G.*L - 2.*F.*M)./(2*(E.*G - F.^2)); - Tính độ cong chính tắc: Kmax = H + sqrt(H.^2 - K); Kmin = H - sqrt(H.^2 - K); III. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU VÀ THẢO LUẬN giá trị trong đoạn [-1,3]. Giả sử ma trận điểm lưới Trong nghiên cứu này, chương trình Matlab cần tạo trên bề mặt có cỡ là 41´41 theo hai phương được viết cho tường minh hoặc bề mặt Bspline. Bài x và y. Trong nghiên cứu này, chương trình Matlab báo này sử dụng bề mặt tự do ở dạng tường minh được chạy trên máy tính xách tay (Intel Core i5, để minh họa cho việc tính toán độ cong bề mặt. 1,80GHz, RAM 4 GB) cài đặt hệ điều hành Windows Ví dụ: Cho bề mặt tự do được biểu diễn bởi 7. Hình 3 và hình 4 trình bày kết quả tính K, H, Kmax phương trình , trong đó x và y có và Kmin tại một số điểm lưới trên bề mặt. Hình 3. Minh họa giá trị K, H tại một số điểm lưới Hình 4. Minh họa giá trị Kmax, Kmin tại một số điểm lưới 68 • TRƯỜNG ĐẠI HỌC NHA TRANG Tạp chí Khoa học - Công nghệ Thủy sản Số 4/2014 Kết quả tính toán cho thấy bề mặt đã cho có xây dựng hai đường cong không gian cho mục đích 2 vùng lõm, 1 vùng lồi và 3 vùng yên ngựa. Chương chia vùng bề mặt trong môi trường CAD. Trên hình 5 trình cũng cho kết quả tọa độ các điểm biên của là mô hình bề mặt đã cho với các điểm biên của 6 vùng này. Tuy nhiên, đối với ví dụ này, chỉ cần sử các vùng lõm và vùng lồi, được hiển thị trong môi dụng các điểm biên của các vùng lõm và vùng lồi để trường Matlab. Hình 5. Mô hình bề mặt với các điểm biên của vùng lồi, lõm Các điểm biên của vùng lồi được chứa trong mặt bằng các phần mềm CAD như Catia, Creo, NX, ma trận PB24, gồm 71 điểm (hình 6a). Ma trận SolidWorks, Trong môi trường CAD, các đường PB13cell{1,1} trên hình 6b là ma trận chứa 27 điểm cong biên sẽ được sử dụng làm công cụ xén bề mặt biên của vùng lõm thứ nhất và ma trận PB13cell{2,1} để chia bề mặt nguyên thành các vùng riêng biệt. trên hình 6c chứa 60 điểm biên của vùng lõm thứ Để tăng độ chính xác của các đường cong biên, hai. Trong các ma trận này, các cột 1, 2 và 3 tương có thể tạo ma trận điểm lưới bề mặt với mức độ ứng với tọa độ x, y và z của các điểm. điểm dày hơn. Khi đó số lượng các điểm trên các Trong chương trình tính toán này, các giá trị biên sẽ tăng. Tuy nhiên, lúc này máy tính sẽ tính tọa độ của các điểm trên bề mặt (ở một ma trận toán lâu hơn. Ở ví dụ này, với ma trận điểm 41´41 riêng) cũng như trên các biên có thể dễ dàng được thì thời gian chạy chương trình là 0,35 giây. Thời lưu ở dạng fi le Excel. Điều này tạo thuận lợi cho gian chạy chương trình khi ma trận điểm 201´201 việc nhập dữ liệu xây dựng bề mặt đã cho và các là 5,7 giây. Bề mặt có kích thước càng lớn thì thời đường cong biểu diễn biên của các vùng trên bề gian chạy chương trình của máy tính sẽ càng lâu. (a) (b) (c) Hình 6. Minh họa tọa độ các điểm biên trên các vùng lồi (a) và lõm (b, c) TRƯỜNG ĐẠI HỌC NHA TRANG • 69 Tạp chí Khoa học - Công nghệ Thủy sản Số 4/2014 Chương trình Matlab trong nghiên cứu này mới phân vùng bề mặt tự do thành các vùng lồi, lõm chỉ thực hiện tính toán phân tất cả các vùng hiện và yên ngựa. Việc tính toán được thực hiện bằng có trên bề mặt đã cho thành các vùng riêng biệt. chương trình Matlab. Dữ liệu đầu vào trong nghiên Chương trình chưa thực hiện việc tối ưu hóa quá cứu này là phương trình toán học của bề mặt tự trình phân vùng như kết hợp các vùng có diện tích do dạng tường minh hoặc bề mặt Bspline. Dữ liệu quá nhỏ, có bán kính cong nhỏ nhất khác biệt không đầu ra là tập hợp các điểm trên bề mặt và các điểm đáng kể so với bán kính cong nhỏ nhất của các trên biên các vùng của bề mặt này, để phục vụ cho vùng liền kề, thành một vùng lớn hơn nhằm nâng việc xây dựng bề mặt tự do với các vùng riêng biệt cao năng suất gia công. Hiện tại, việc kết hợp các trong môi trường CAD. Kết quả cho thấy chương vùng này có thể được thực hiện thủ công trong môi trình đã tạo được các dữ liệu cần thiết cho việc phân trường CAD bằng cách không sử dụng biên các vùng bề mặt phức tạp. Tuy nhiên, để nghiên cứu vùng có diện tích nhỏ để trong quá trình chia mặt. này hoàn thiện hơn, cần thực hiện tối ưu hóa quá IV. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ trình phân vùng theo tiêu chí thời gian gia công bé Trong nghiên cứu này, các thông số độ cong nhất trong trường hợp đã chọn đúng các dao khác của bề mặt được tính toán để phục vụ cho việc nhau để gia công các vùng. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Bey M., Bendifallah M., Kader S.and Boukhalfa K., 2008. Cutting tool combination and machining strategy affectation based on the determination of local shapes for free form surfaces. International Conference on Smart Manufacturing Application, 120-125. 2. Chen Z.C., Dong Z. and Vickers G.W., 2003. Automated surface subdivision and tool path generation for 3½½-axis CNC machining of sculptured parts. Computers in Industry, 50(3), 319-331. 3. Elber G. and Cohen E., 1993. Second order surface analysis using hybrid symbolic and numeric operators. Transactions on Graphics, 12(12), 60-178. 4. Li L. L. and Zhang Y. F., 2004. Cutter selection for 5-axis milling based on surface decomposition. 8th International Conference on Control, Automation, Robotics and Vision, Kunming, China, 3, 1863- 1868. 5. Makhanov S.S. and Anotaipaiboon W., 2007. Advanced numerical methods to optimize cutting operations of fi ve-axis milling machines. Springer-Verlag, Berlin. 6. Radzevich S..P., 2008. CAD/CAM of Sculptured surfaces on multi-axis NC machine: The DG/K-based approach. Morgan & Claypool, USA. 7. Roman A, Bedi S. and Ismail F. Three-half and half-axis patch-by-patch NC machining of sculptured surfaces. International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 2006, Vol 29, No 5-6, 524-531. 8. Roman A. Surface partitioning for 3+2-axis Machining. D.Phil. Thesis, University of Waterloo, Canada, 2007. 9. Tuong N.V. and Pokorny P., 2010. A practical approach for parttioning free-form surfaces. International Journal of Computer Intergrated Manufacturing, 23(11), 992-1001. 70 • TRƯỜNG ĐẠI HỌC NHA TRANG