Phương pháp phần tử hữu hạn - Chương 1: Lý thuyết đàn hồi

PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN CHƯƠNG 1 LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI B
môn K Thut Xây dng, Khoa Công Ngh TS. Trần Minh Thuận, Bộ môn Kỹ thuật xây dựng Ứng suất • Trạng thái ứng suất tại 1 điểm được xác định bằng 6 thành phần: • Ten xơ ứng suất này tạo ra bởi các nội lực do các ngoại lực tác dụng • Các ứng suất trong hình đều có giá trị dương • Có thể biểu diển theo dạng véc tơ: {σ}T = [σx σy σz σxy σxz σyz]           = zyzxz yzyxy xzxyx σσσ σσσ σσσ σ ][ y z x σy σx σz σyz σyx σxy σxz σzy σzx TS. Trần Minh Thuận, Bộ môn Kỹ thuật xây dựng Chuyển vị và Biến dạng • Định nghĩa: Khi vật thể bị biến dạng dưới tác dụng của ngoại lực hay nhiệt, nói chung một điểm trong vật này không còn đứng yên 1 chỗ, mà di chuyển đến 1 vị trí mới gọi là sự chuyển vị. Có 2 loại: – Chuyển vị dài : Mỗi điểm của vật thể sẽ chuyển vị đến một vị trí mới với 1 khoảng cách nối 2 điểm đó gọi là chuyển vị dài. • Véc tơ chuyển vị (dài): có 3 thành phần u, v và w song song với 3 trục x, y và z. vA uA A’ A x y x y A B A’ B’ uA vA L0 L vB uB B’ B x y    = ),( ),(),( yxv yxu yxur Au r Bu r Au r      = ),,( ),,( ),,( ),,( zyxw zyxv zyxu zyxur P(x,y,z) z x y o P’(x’,y’,z’) u v w uP r TS. Trần Minh Thuận, Bộ môn Kỹ thuật xây dựng Chuyển vị • Chuyển vị góc : Xét 1 đoạn thẳng trong vật thể ban đầu có chiều dài AB, sau khi biến dạng AB sẽ chuyển vị đến vị trí mới là A’B’ (giả sử khi biến dạng A’B’ vẫn thẳng). Góc tạo bởi AB và A’B’ gọi là chuyển vị góc. x y A B A’ B’ L0 L Chuyển vị góc Chuyển vị góc Thí dụ: Dầm chịu uốn Chuyển vị dài A B A’ B’ TS. Trần Minh Thuận, Bộ môn Kỹ thuật xây dựng Biến dạng 1 phương và 2phương Về bản thân biến dạng có thể phân ra 2 loại: – Biến dạng thẳng hay biến dạng dài tỉ đối: là các đại lượng biểu thị sự thay đổi về kích thước. – Biến dạng góc hay biến dạng trượt: là các đại lượng biểu thị sự thay đổi về hình dạng của vật thể. Lo A L A’ B’ u+∆u u δ x ∆x (a) (b)P B x y A B B’ uu ∆+ v D’ u D C C’ vv ∆+ dx A’ dy αy B’ x y A B dxx v ∂ ∂ D’ αx u D C C’ dy y u ∂ ∂ A’ dx dy 1). Biến dạng thẳng của bài toán 1 phương 2). Biến dạng thẳng của bài toán 2 phương 3). Biến dạng góc (BD trượt) của bài toán 2 phương dx du x u x x =∆ ∆ = →∆ lim 0 ε x u x ∂ ∂ =ε y v y ∂ ∂ =ε x v tg xx ∂ ∂ == αα y u tg yy ∂ ∂ == αα x v y u yxxy ∂ ∂ + ∂ ∂ =+= ααγ )(2 1 2 1 x v y u xyxy ∂ ∂ + ∂ ∂ == γε TS. Trần Minh Thuận, Bộ môn Kỹ thuật xây dựng Biến dạng 3 phương • Trường hợp phần tử 3 phương: – Xét khối lăng trụ chữ nhật có cạnh là dx, dy, dz, phân tích tương tự được các thành phần biến dạng thẳng và biến dạng trượt như sau: x u x ∂ ∂ =ε y v y ∂ ∂ =ε z w z ∂ ∂ =ε )(2 1 2 1 x v y u xyxyxy ∂ ∂ + ∂ ∂ === γγε )( 2 1 2 1 y w z v yzyzyz ∂ ∂ + ∂ ∂ === γγε )( 2 1 2 1 z u x w zxzxzx ∂ ∂ + ∂ ∂ === γγε           =           =           =⇒ zzyzx yzyyx xzxyx zzyzx yzyyx xzxyx zzyzx yzyyx xzxyx ij εεε εεε εεε εγγ γεγ γγε εγγ γεγ γγε ε 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ][ TS. Trần Minh Thuận, Bộ môn Kỹ thuật xây dựng Biến dạng Phân loại theo tác nhân gây ra biến dạng: • tác dụng của ngoại lực và nhiệt độ lên một vật thể sẽ làm cho vật thể bị biến dạng, tổng biến dạng là e. • Biến dạng tổng e gồm hai loại: biến dạng đàn hồi ε (do ngoại lực) và biến dạng do nhiệt εT. • Các loại biến dạng do 2 tác nhân trên có quan hệ: {e} = {ε } + {εT} α là hệ số giãn nở do nhiệt và δT là biến thiên nhiệt độ.           +           =           T T T eee eee eee zzyzx yzyyx xzxyx zzyzx yzyyx xzxyx αδ αδ αδ εεε εεε εεε 00 00 00 TS. Trần Minh Thuận, Bộ môn Kỹ thuật xây dựng Biến dạng • Các biến dạng có sáu thành phần phân biệt được viết theo dạng véc tơ: {e}T = [ ex ey ez 2exy 2exz 2eyz ] {ε}T = [εx εy εz 2εxy 2εxz 2εyz ] và {εT}T = [αδT αδT αδT 0 0 0 ] Hay:                     + + + =                     +                     =                     yz xz xy z y x yz xz xy z y x yz xz xy z y x T T T T T T e e e e e e ε ε ε αδε αδε αδε αδ αδ αδ ε ε ε ε ε ε 2 2 2 0 0 0 2 2 2 2 2 2 TS. Trần Minh Thuận, Bộ môn Kỹ thuật xây dựng Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng Định luật Hooke • Ứng suất và biến dạng được liên hệ bởi các hằng số trong định luật Hooke tổng quát • Các hệ số này được thiết lập bởi thí nghiệm đặt tải lên một vật thể để tạo ra sự phân bố ứng suất có thể xác định được và các biến dạng sẽ được tính toán từ việc đo các chuyển vị. Định luật Hooke tổng quát có dạng: {ε} = [C] {σ} hoặc {σ} = [D] {ε} TS. Trần Minh Thuận, Bộ môn Kỹ thuật xây dựng Định luật Hooke • Các hệ số trong [C] là: • trong đó E là mô đun đàn hồi, ν là hệ số Poisson.                   + + + −− −− −− = )1(200000 0)1(20000 00)1(2000 0001 0001 0001 1][ ν ν ν νν νν νν E C TS. Trần Minh Thuận, Bộ môn Kỹ thuật xây dựng Định luật Hooke • Các hệ số trong [D] là: trong đó:                   + = c c c dbb bdb bbd ED 00000 00000 00000 000 000 000 1 ][ ν ν ν 21 1 − − =d ν ν 21− =b c = ½ Chú ý: [D][C] = [C][D] = I và I là ma trận đơn vị. TS. Trần Minh Thuận, Bộ môn Kỹ thuật xây dựng Véc tơ chuyển vị điểm và Mô hình chuyển vị phần tử • Trong mặt phẳng x,y: Véc tơ chuyển vị tại điểm A có 2 thành phần u, v là hàm số của 2 toạ độ x,y: u = u(x, y); v = v(x, y); • Trong không gian 3 chiều: Véc tơ chuyển vị tại 1 điểm có 3 thành phần u, v, w là hàm số của 3 toạ độ x,y,z tại điểm đó: u = u(x, y, z); v = v(x, y, z); w =w(x, y, z) Au r x y A B A’ B’ uA vA Lo L vA uA A’ A x y P(x,y,z) z x y o P’(x’,y’,z’) u v w Pu r u r TS. Trần Minh Thuận, Bộ môn Kỹ thuật xây dựng Mô hình chuyển vị phần tử • Mục tiêu của phương pháp giải tích hay phần tử hữu hạn là xác định các hàm chuyển vị u, v, w: • Trong phần tử hữu hạn các hàm này được giả sử là hàm liên tục từng phần và được xác định theo từng phần tử riêng biệt, được gọi là mô hình chuyển vị của phần tử.           =           = ),,( ),,( ),,( zyxw zyxv zyxu w v u u r TS. Trần Minh Thuận, Bộ môn Kỹ thuật xây dựng Hàm nội suy chuyển vị của phần tử • Các mô hình chuyển vị này được viết dưới dạng hàm nội suy như sau: {U(e)}: là véc tơ chuyển vị của phần tử gồm các thành phần chuyển vị tại các nút (điểm toạ độ) của phần tử, [N]: là ma trận của các hàm cơ bản có 3 hàng và có số cột tuỳ vào thành phần chuyển vị trong {U(e)} }]{[ )(eUN w v u =           Tuyến tính Bậc 2 Bậc 3 Tam giác Tứ giác Tứ diện Lăng trụ Khối 6 mặt Phần tử 1 phương Phần tử 3 phương Phần tử 2 phương TS. Trần Minh Thuận, Bộ môn Kỹ thuật xây dựng Quan hệ của chuyển vị và biến dạng • Các thành phần biến dạng trong {e} và mô hình chuyển vị có quan hệ: • Quan hệ giữa Biến dạng với chuyển vị : {e} = [B]{U(e)} :Ma trận [B] có 6 hàng và số cột bằng với số hàng của véctơ chuyển vị {U(e)}. x u ex ∂ ∂ = y v ey ∂ ∂ = z w ez ∂ ∂ = x v y u exyxy ∂ ∂ + ∂ ∂ == 2γ x w z u exzxz ∂ ∂ + ∂ ∂ == 2γ y w z v eyzyz ∂ ∂ + ∂ ∂ == 2γ TS. Trần Minh Thuận, Bộ môn Kỹ thuật xây dựng Giải bài toán đàn hồi bằng phương pháp năng lượng • Phương pháp năng lượng dựa trên những nguyên lý về công và năng lượng • Các phương pháp số như phần tử hữu hạn đã phát triển dựa trên nguyên lý này rất phổ biến hiện nay. Khái niệm về công khả dĩ của ngoại lực: • Công khả dĩ là bằng lực nhân với chuyển vị khả dĩ δA=P.δu : Giá trị công khả dĩ • Nếu vật thể cân bằng dưới tác dụng của hệ lực Pi thì: δA={P}T.{δu} trong đó: {P}T=[P1, P2, P3,, Pn] {δu}=[δu1, δu2, δu3,,δun ]T Pi là các lực tập trung và δui là các chuyển vị tương ứng u P u δu W δW δ 2W P Hình 4.4 TS. Trần Minh Thuận, Bộ môn Kỹ thuật xây dựng Giá trị công khả dĩ • Nếu có lực khối phân bố trên thể tích là Pv(x,y,z) và lực mặt phân bố trên diện tích là Ps(x,y,z) và có hàm chuyển vị u(x,y,z) thì công khả dĩ được tính theo: • hay viết dưới dạng ma trận trong đó: [PV]T=[PV1, PV2, PV3] [Ps]T=[Ps1, Ps2, Ps3] [δu]=[δu1, δu2, δu3 ]T ∫∫ δ+δ=δ S SV V dSxxxuxxxPdVxxxuxxxPA ),,(),,(),,(),,( 321321321321 ∫∫ δ+δ=δ S TT SV T V dSuPdVuPA .].[][]..[][ TS. Trần Minh Thuận, Bộ môn Kỹ thuật xây dựng Giá trị công khả dĩ • Năng lượng biến dạng khả dĩ:
Uo là mật độ năng lượng biến dạng
U là năng lượng biến dạng của vật thể ∆Uo = {δUo} + {δ2Uo}
Gọi δUo = [σ]T[δε] là mật độ năng lượng biến dạng khả dĩ. ε σ ε δε Uo δUo δ 2Uo σ∫= V dVUU 0 TS. Trần Minh Thuận, Bộ môn Kỹ thuật xây dựng Giá trị công khả dĩ • Vậy năng lượng biến dạng khả dĩ là: trong đó: {σ}T = [ σx σy σz σxy σxz σyz] {δε}T = [ δεx δεy δεz δγxy δγxz δγyz ] • Trong hệ đàn hồi tuyến tính năng lượng biến dạng đàn hồi: ∫= V T dVU }{}{21 εσ ε σ ε δε Uo δUo δ 2Uo σ dVdVUU T VV }{}{0 δεσδδ ∫∫ == ∫ +++++= V yzyzxzxzxyxyzzyyxx dVU )(21 γσγσγσεσεσεσ TS. Trần Minh Thuận, Bộ môn Kỹ thuật xây dựng Nguyên lý công khả dĩ: • Đối với mọi trường hợp các biến dạng khả dĩ thoả mản điều kiện tương thích, thì điu kin cn và đ đ m
t vt th bin d ng  tr ng thái cân bng là tng công kh dĩ c a n
i lc và ngo i lc bng không: δ(A + An)=0 A, An : công do ngoại lực và nội lực tương ứng. • Giá trị năng lượng (thế năng) biến dạng đàn hồi được xác định bằng giá trị âm của công nội lực: An = - U suy ra: δ(A-U)=0 => δA = δU • Thay các biểu thức của δA và δU vào ta được: • Hay: * Biểu thức trên chưa kể c ng do lực tập trung ∫ ∫∫ +++++ =+++++ V S SSSV VVV dV dSuPuPuPdVuPuPuP )( )()( 313123231212332211 332211332211 δγτδγτδγτδεσδεσδεσ δδδδδδ ∫∫∫ δεσ=δ+δ V T S T SV T V dVdSuPdVuP ]..[][]..[][]..[][ TS. Trần Minh Thuận, Bộ môn Kỹ thuật xây dựng Định lý giá trị dừng của thế năng toàn phần • Gọi T là thế năng của ngoại lực, trong cơ học vật rắn công và thế năng của các ngoại lực thoả mản: T = -A => δT = -δA • Do nguyên lý công khả dĩ : δU + δT =δ(U +T)=0 • Gọi Π là thế năng toàn phần của hệ nội và ngoại lực: Π =U + T => δ(Π)=0 Là điều kiện cần cho thế năng của hệ đạt cực trị khi vật thể đàn hồi ở trạng thái cân bằng. Hay nói cách khác là thế năng sẽ cực tiểu nếu cân bằng là ổn định. • Định lý được phát biểu như sau: ”Trong tất cả các trường chuyển vị tương thích thoả mản các điều kiện biên, trường chuyển vị thoả mản điều kiện cân bằng tĩnh sẽ cho thế năng toàn phần một giá trị dừng”. TS. Trần Minh Thuận, Bộ môn Kỹ thuật xây dựng Ứng dụng trong phương pháp phần tử hữu hạn • Năng lượng biến dạng đàn hồi của phần tử: => Vì biến dạng đàn hồi: {ε} = {e} – {εT} Ta được: => Suy ra: ∫=Λ V Te dV}{}{21)( εσ ∫=Λ V Te dVD }]{[}{21)( εε ∫ −−=Λ V T T T Te dVeDe })(}]({)[}{}({21)( εε ∫∫ −=Λ V T T V Te dVDedVeDe }]{[}{}]{[}{ 2121)( ε ∫∫ +− V T T T V T T dVDdVeD }]{[}{}]{[}{ 2121 εεε ∫∫ −=Λ V T T V Te dVDedVeDe }]{[}{}]{[}{21)( ε TS. Trần Minh Thuận, Bộ môn Kỹ thuật xây dựng Tính các Ma trận phần tử • Thay vào quan hệ của biến dạng và chuyển vị: • Hay • Đặt : là Ma trận độ cứng phần tử • Và : là Véctơ lực do nhiệt phần tử => ∫= V Te dVBDBK ]][[][][ )( ∫=Λ V eTTee dVUBDBU }]{][[][}{ )()(21)( ∫− V T TTe dVDBU }]{[][}{ )( ε }{]][[][}{ )()(21)( e V TTee UdVBDBU       =Λ ∫ ∫− V T TTe dVDBU }]{[][}{ )( ε ∫= V T Te t dVDBf }]{[][}{ )( ε }{}{}]{[}{ )()()()()(21)( etTeeeTee fUUKU −=Λ TS. Trần Minh Thuận, Bộ môn Kỹ thuật xây dựng Tính công ngoại lực • Các số hạng công của ngoại lực: – Công do các lực thể tích X , Y, Z – Công do các lực mặt phân bố lên mặt ngoài [ ] dV Z Y X wvudVwZvYuXW VV e bf           =++= ∫∫ )()( = )(e bfW ∫V TTe NU ][}{ )( dV Z Y X           [ ] Γ           =Γ++= ∫∫ ΓΓ d p p p wvudwpvpupW z y x zyx e p )()( = )(e pW ∫Γ TTe NU ][}{ )( Γ           d p p p z y x TS. Trần Minh Thuận, Bộ môn Kỹ thuật xây dựng Tính thế năng toàn phần • Thế năng toàn phần của hệ: trong đó: Trong đó véc tơ lực là: Vậy: }{}{ 1 )( PU T n e e −Π=Π ∑ = )()()()( e p e bf ee WW −−Λ=Π =Π )(e }{]][[][}{ )()(21 e V TTe UdVBDBU        ∫      +− ∫ V T TTe dVDBU }]{[][}{ )( ε dV Z Y X N V T           ∫ ][      Γ           + ∫Γ d p p p N z y x T][ += ∫ V T Te dVDBf }]{[][}{ )( ε dV Z Y X N V T           ∫ ][ ∫Γ Γ           + d p p p N z y x T][ }{}{}]{[}{ )()()()()(21)( eTeeeTee fUUKU −=Π TS. Trần Minh Thuận, Bộ môn Kỹ thuật xây dựng Giải phương trình đạo hàm thế năng • Vậy phương trình thế năng toàn phần: • Hay: • Lấy đạo hàm phương trình thế năng toàn phần theo chuyển vị (Định lý giá trị dừng): i m i i n e eTeeeTe UPfUUKU ∑∑ == −−=Π 11 )()()()()( 2 1 }{}{}]{[}{ { } }0{}{}{}]{[ =−−=∂ Π∂ PFUK U }{}{}{}{}]{[}{21 PUFUUKU TTT −−=Π TS. Trần Minh Thuận, Bộ môn Kỹ thuật xây dựng Tính các thành phần ứng suất • Giải phương trình thế năng ta tìm được chuyển vị {U } => {U(e) } tại các phần tử. • Dùng Định luật Hooke {σ} = [D] {ε} • Các thành phần ứng suất sẽ được tính toán: • Hay: }){}]({[}{ TeD εσ −= }){}]{]([[}{ )( TeUBD εσ −= HẾT Ngoại lực phân bố dọc trục • Ngoại lực phân bố dọc trục qx trên phần tử thanh. • Ta có công thức tính công từ chương 1: 1 U1 2 U2 3 U3 (1) (2) qx(1) qx (2) = )( e bfW [ ] dV Z Y X wvu V       ∫ • Phần tử 1 phương chỉ chịu lực phân bố dọc trục: X = qx ; Y=Z= 0; và v= w= 0; với {U(e)}T =[Ui, Uj]; [N(e)]= [Ni, Nj] ∫=⇒ V TeTeebf NUW ][}{ )()()( dV Z Y X       ∫∫∫       === − − L L xx L xx x TeL Te x Te V Te x Tee bf dxqUdxNqUdxNqUW i j 0 )( )( )( 0 )()()()()( }{][}{][}{    − =    − = L xxN L xx N ij j i ;     =   =    − =     − = ∫ 2 2)( 2 2)( 02 2)( 0 )( }{}{}{1}{ 2 2 Lq Lq Te L L x Te L L x L x x TeL L x L x x Te x x UqU x qUdxqU }]{[],[)( )()( ee j i ji UNU U NNxu =     = Phương trình thế năng • Suy ra: • Vậy dạng tổng quát của phương trình năng lượng biến dạng: • Vậy dạng tổng quát của phương trình thế năng: { } { }       == 2 2)()()()( : có ta;}{ Lq Lq e qx e qx Tee bf x x ffUW ( ) ( ){ } ( )[ ] ( ){ } ( ){ } ( ){ } ( ){ } ( ){ }etTeeqxTeeeTee fUfUUKU −−⋅=Λ⇒ 21 • Trong đó: • và { } ( ) ( ){ } ∑∑ == − Λ = Π m i i n e e e P UU 11 ∂ ∂ ∂ ∂ [ ] { } { } { } { } { }0=−−−⋅= PFFUK tqx { } [ ]{ } { } { })()()()()( )( e t e qx ee e e ffUK U −−= ∂ Λ∂ ( )         − − = L AE L AE L AE L AE K e ][    − = TAE TAEf et δα δα][ )( [ ]∑ = = n e eKK 1 )(][{ }∑ = = n e e qxqx fF 1 )(}{ { }∑ = = n e e tt fF 1 )(}{ { }       = 2 2)( Lq Lq e qx x x f Nội lực • Nội lực phần tử: • Ứng dụng cho 1 phần tử chịu lực dọc trục: ( ){ } ( )( ){ } ( )[ ] ( ){ } ( ){ } ( ){ }eeqxeee e e ffUK U S −−⋅=Λ= ∂ ∂ ( ) ( )    − −       −        − − =   TAE TAE Lq Lq U U L AE S S x x j i e j e i δα δα 2 2 11 11 Trường hợp có lực phân bố đều dọc trục • Năng Lượng Biến dạng đàn hồi theo hệ là: • Đổi sang hệ toạ độ tổng quát x,y: ( ) ( ){ } ( ) ( ){ } ( ){ } ( ){ } ( ){ } ( ){ }eqxTeetTeeeTee fUfUUKU −−⋅=Λ 21 x ( ) ( ){ } [ ] [ ] [ ] ( ){ } ( ){ } [ ] { } ( ){ } [ ] { })()()(1 eTTeeTTeeeTTee fTUfTUUTKTU −−⋅⋅=Λ • Trong đó ta chỉ tính thêm véc tơ tải {fqx(e)} của ngoại lực phân bố đều dọc trục theo hệ (x,y): ( ){ } [ ] { }       =            ==⋅ θ θ θ θ θ θ θ θ sin cos sin cos 21 1 2 sin0 cos0 0sin 0cos )( LqLqfTf xxeqxTeqx 2 qx Trường hợp có lực phân bố đều dọc trục • Các nội lực dọc thanh được tính bởi phương trình được viết theo hệ tọa độ dọc thanh:x ( ) ( )       −   − −     ⋅   − − =     2 11 11 Lq Lq TAE TAE U U L AE S S x x j i e j e i δα δα • Hay: • Suy ra:  2 { }       −   − −          ⋅   − − = − − 2 2 sincos00 00sincos 11 11 2 12 2 12 )( Lq Lq TAE TAE U U U U L AES x x j j i i e δα δα θθ θθ ( ) ( ) ( )[ ] 2/sincos 221212 LqTAEUUUUL AES xijij e j −−−+−= −− δαθθ DẦM CHỊU LỰC PHÂN BỐ ĐỀU • Công do ngoại lực phân bố (Lực thể tích,lực mặt): • Được quy ra lực phân bố/chiều dài: ∫∫ += S SV V dSxxxuxxxPdVxxxuxxxPA ),,(),,(),,(),,( 321321321321 ∫∫    =++= L y x L zyx e q dxq q wvudxwqvquqW 00 )( ],,[)( • Do bài toán 1 phương chịu lực phân bố đều qy : dx N N N N qUdxqNUdxvqW L j j i i y TeL y TTeL y e q ∫∫∫       === − − 0 2 12 2 12 )( 0 )( 0 )( }{][}{  zq DẦM CHỊU LỰC PHÂN BỐ ĐỀU • Ta có: • Suy ra:    +−=−= +−=+−= − − 2 32 23 3 2 2 12 2 32 23 3 2 2 12 ; 23 2 ; 231 L x L xN L x L xN L x L x xN L x L xN jj ii  xx 32 23 ∫∫             +− − +− +− =       = − − L y TeL j j i i y Tee q dx L x L x L x L x L x L x x LL qUdx N N N N qUW 0 2 32 3 3 2 2 2 32 32 )( 0 2 12 2 12 )()( 23 2 1 }{}{ DẦM CHỊU LỰC PHÂN BỐ ĐỀU • Ta lấy tích phân cho từng số hạng của véc tơ hàm cơ bản [N], lần lượt ta được: 2 ] 2 [] 4 2 3 3[)231( 03 4 0 2 3 3 3 2 2 0 12 LLLL L x L x xdx L x L xdxN LLL i =+−=+−=+−=∫∫ − 12 ] 43 2 2 [] 43 2 2 [)2( 2222 02 4 0 32 2 32 0 2 LLLL L x L xxdx L x L x xdxN LLL i =+−=+−=+−=∫∫ 2 ] 2 [] 4 2 3 3[)23( 03 4 0 2 3 3 3 2 2 0 12 LLL L x L xdx L x L xdxN LLL j =−=−=−=∫∫ − 12 ] 43 [] 43 [)( 222 02 43 0 2 32 0 2 LLL L x L xdx L x L xdxN LLL j −=+−=+−=+−= ∫∫ DẦM CHỊU LỰC PHÂN BỐ ĐỀU • Vậy nếu cho qy = -q ta được: }{}{12 2 }{}{ )()( 2 )(2 12 )()( eTeTeL i i Tee fU qL qL Udx N N qUW =         − − =     = ∫ − • Đặt {fq(e)} là véc tơ lực do lực phân bố đều tác dụng trên phần tử (e) 12 2 2 0 2 12 q j j yq qL qL N N       −   − DẦM CHỊU LỰC PHÂN BỐ ĐỀU • Phương trình năng lượng phần tử: • Phương trình thế năng toàn phần: ( ) ( ){ } ( ){ } ( ){ } }{][ 2 1 )()()()( e q TeeeTee q ee fUUKUW −=−Λ=Π⇒ ( ) { } { } { } { } }{}{][1)( PUFUUKUUPW TTTmn en e −−=−−Λ=Π ∑∑∑ • Phương trình thế năng cực tiểu: • Phương trình tính nội lực: 2111 q i ii e q e === { } }0{}{}{][}{ =−−=∂ Π∂ PFUK U q { }       =−= ∂ Λ∂ = )( )( )( )( )()()( )( )( }{ }{][}{}{ e j e j e i e i e q ee e e e M Q M Q fUK U S