Nén tổng hợp đa mode từ các hệ có ngõ vào là các đơn mode kết hợp và nén phụ thuộc tham số biến dạng

NÉN TỔNG ĐA MODE TỪ CÁC HỆ CÓ NGÕ VÀO LÀ CÁC ĐƠN MODE KẾT HỢP VÀ NÉN PHỤ THUỘC THAM SỐ BIẾN DẠNG VÕ TÌNH Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế ĐOÀN THỊ MỸ LIÊN Trường THPT Vinh Xuân, Thừa Thiên Huế Tóm tắt: Trong một môi trường phi tuyến, mối liên hệ giữa nén tổng đa mode từ các photon đơn mode ở ngõ vào với nén thông thường của photon có tần số tổng ở ngõ ra được thiết lập thông qua các phương trình chuyển động Heisenberg. Nén tổng đa mode tổng quát với các trạng thái kết hợp phụ thuộc tham số biến dạng và trạng thái nén phụ thuộc tham số biến dạng sẽ được trình bày trong bài báo này. 1 GIỚI THIỆU Năm 1963 R. I. Glauber và Sudarshan đã đưa ra khái niệm trạng thái kết hợp [5]. Đây là trạng thái có độ bất định tương ứng với giới hạn lượng tử chuẩn suy ra từ hệ thức bất định Heisenberg. Năm 1970, D. Stoler đã mô tả bằng lý thuyết một trạng thái đặc biệt mà sau này được gọi là trạng thái nén [7]. Trong trạng thái này, một trong hai biên độ trực giao có độ bất định nhỏ hơn giới hạn lượng tử chuẩn và là trạng thái mở đầu cho một lớp các trạng thái phi cổ điển, trạng thái kết hợp phụ thuộc tham số biến dạng [8] cũng nằm trong lớp trạng thái này. Về nguyên tắc nếu thành phần được nén hoàn toàn của trường có mang tín hiệu thì tín hiệu đó có thể được thu lại mà không bị nhiễu. Vì vậy các trạng thái nén không những có ý nghĩa quan trọng trong lĩnh vực quang lượng tử mà còn được áp dụng rộng rãi trong các lĩnh vực khác của vật lý. Do đó, nó được nhiều nhà khoa học quan tâm nghiên cứu. Yuen [9] đã nghiên cứu các trạng thái nén một mode tổng quát, Caves và Schumaker [4] đã khảo sát các trạng thái nén hai mode một cách chi tiết. Năm 1999 nén tổng đa mode đã được Nguyễn Bá Ân và Võ Tình khảo sát với các photon đơn mode kết hợp và đơn mode nén [3], Nguyễn Việt Cường [2] khảo sát nén tổng đa mode với các trạng thái đặc biệt. Bài báo này là mở rộng công trình trên về nén tổng đa mode từ các hệ có ngõ vào là các đơn mode kết hợp và nén phụ thuộc tham số biến dạng. Tạp chí Khoa học và Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm Huế ISSN 1859-1612, Số 01(17)/2011: tr. 21-28 22 VÕ TÌNH - ĐOÀN THỊ MỸ LIÊN 2 ĐIỀU KIỆN NÉN TỔNG TỔNG QUÁT Xét các mode không tương quan thì điều kiện để hệ đa mode có nén tổng được cho bởi biểu thức sau [1], [3]. V =< { ei2ϕ [ N∏ j=1 〈 Cˆ+2j 〉− N∏ j=1 〈 Cˆ+j 〉2]}+ [ N∏ j=1 〈 Nˆj 〉− N∏ j=1 〈 Cˆ+j 〉 N∏ j=1 〈 Cˆj 〉] . (1) Trong đó, Cˆ+j , Cˆj lần lượt là toán tử sinh, huỷ boson, nˆj là toán tử số boson. Dựa vào (1) ta sẽ khảo sát nén tổng đa mode với các trạng thái kết hợp phụ thuộc tham số biến dạng và trạng thái nén phụ thuộc tham số biến dạng. Nếu V < 0 thì hệ có nén tổng, còn nếu V ≥ 0 thì hệ không được nén tổng. 3 TRẠNG THÁI KẾT HỢP PHỤ THUỘC THAM SỐ BIẾN DẠNG Trong không gian Fock thì trạng thái kết hợp phụ thuộc tham số biến dạng được định nghĩa như sau [8]: |α〉 q = ℵ−1/2q (|α|2) ∞∑ n=0 αn√ [n]q! |n〉 (2) trong đó, α = reiθ là số phức đặc trưng cho trạng thái |α〉 q , r và θ lần lượt là biên độ kết hợp và pha; kí hiệu ℵq(|α|2) = ∞∑ m=0 |α|2m [m]q! = Eq[1− q)q|α|2]; [n]q = q −n − 1 q − 1 Gọi Cˆ và Cˆ+ lần lượt là toán tử huỷ và sinh boson, sử dụng (2) ta tính được một số giá trị trung bình sau: cq 〈 Cˆ 〉 cq = αℵ−1q (|α|2) ∞∑ n=0 |α|2n √ n+ 1 [n]q![n+ 1]q! (3) cq 〈 Cˆ+ 〉 cq = α∗ℵ−1q (|α|2) ∞∑ n=0 |α|2n √ n+ 1 [n]q![n+ 1]q! (4) cq 〈 Cˆ+2 〉 cq = α∗2ℵ−1q (|α|2) ∞∑ n=0 |α|2n √ (n+ 1)(n+ 2) [n]q![n+ 2]q! (5) cq 〈 nˆ 〉 cq =cq 〈 Cˆ+Cˆ 〉 cq = ∣∣α∣∣2ℵ−1q (|α|2) ∞∑ n=0 |α|2n n+ 1 [n+ 1]q! . (6) NÉN TỔNG ĐA MODE TỪ CÁC HỆ CÓ NGÕ VÀO LÀ CÁC ĐƠN MODE... 23 4 TRẠNG THÁI NÉN PHỤ THUỘC THAM SỐ BIẾN DẠNG Trạng thái nén phụ thuộc tham số biến dạng được tạo thành bằng cách lấy toán tử Sˆa(z) [6] tác dụng lên trạng thái |β, z〉 q , nghĩa là: |β, z〉 q = Sˆa(z)|β 〉 q (7) Trong đó β = ρeiχ là số phức đặc trưng cho trạng thái |β, z〉 q , ρ, χ lần lượt là biên độ và pha kết hợp. Sˆa(z) được định nghĩa như sau: Sˆa(z) = exp (z∗ 2 aˆ2 − z 2 aˆ+2 ) . (8) Sử dụng (9), ta tính được một số giá trị trung bình sau: sq 〈 Cˆ 〉 sq = ℵ−1q (|β|2) ∞∑ n=0 |β|2n √ n+ 1 [n]q![n+ 1]q! ( βcoshs− β∗exp(iφ)sinhs ) (9) sq 〈 Cˆ+ 〉 sq = ℵ−1q (|β|2) ∞∑ n=0 |β|2n √ n+ 1 [n]q![n+ 1]q! ( β∗coshs− βexp(−iφ)sinhs ) (10) sq 〈 Cˆ+2 〉 sq = ℵ−1q (|β|2) ∞∑ n=0 |β|2n √ (n+ 1)(n+ 2) [n]q![n+ 2]q! ( β∗2cosh2s+ β2exp(−2iφ)sinh2s ) − exp(−iφ)sinhscoshs− 2∣∣β∣∣2ℵ−1q (|β|2) ∞∑ n=0 |β|2n n+ 1 [n+ 1]q! exp(−iφ)sinhscoshs (11) sq 〈 nˆ 〉 sq = ∣∣β∣∣2ℵ−1q (|β|2) ∞∑ n=0 |β|2n n+ 1 [n+ 1]q! (cosh2s+ sinh2s) + sinh2s − ℵ−1q (|β|2) ∞∑ n=0 |β|2n √ (n+ 1)(n+ 2) [n]q![n+ 2]q! coshssinhs× ( β∗2exp(iφ) + β2exp(−iφ) ) . (12) 5 NÉN TỔNG ĐA MODE TỪ TRẠNG THÁI KẾT HỢP PHỤ THUỘC THAM SỐ BIẾN DẠNG Trong trường hợp này các mode ở ngõ vào đều thuộc trạng thái kết hợp phụ thuộc tham số biến dạng |α〉 q . Thay các trị trung bình đã tính từ biểu thức (3) đến (6) vào biểu thức (1), rồi xét trường hợp αj = α = reiθ ta thu được biểu thức sau: 24 VÕ TÌNH - ĐOÀN THỊ MỸ LIÊN V1 = r2N ({ Cos(2[ϕ− θN ]) ([ ℵ−1q (r2) ∞∑ n=0 r2n √ (n+ 1)(n+ 2) [n]q![n+ 2]q! ]N − [ ℵ−1q (r2) ∞∑ n=0 r2n √ n+ 1 [n]q![n+ 1]q! ]2N )} + [ ℵ−1q (r2) ∞∑ n=0 r2n n+ 1 [n+ 1]q! ]N − [ ℵ−1q (r2) ∞∑ n=0 r2n √ n+ 1 [n]q![n+ 1]q! ]2N ) . (13) a) Khảo sát sự phụ thuộc của điều kiện nén V1 vào các tham số 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 -10 -8 -6 -4 -2 0 r V 1 ´ 10 - 15 aL 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 q V 1 ´ 10 - 15 bL Hình 1: Với ϕ = 0, θ = 0. Đồ thị hàm V1× 10−15 được khảo sát theo các tham số với N = 4, 5, 6. Hình a) khảo sát theo r khi q = 0.6. Hình b) khảo sát theo q khi r = 2 (các tham số được chọn để khảo sát theo thứ tự tăng dần tương ứng với nét gạch, nét chấm chấm và nét liền). Từ đồ thị hình 1 ta thấy nén tổng luôn có thể xảy ra ứng với hai khoảng giá trị của r và q, một khoảng ứng với giá trị nhỏ của r, q còn một khoảng ứng với giá trị lớn hơn. Nếu mức độ nén tổng của hệ được tính theo giá trị âm của hàm được khảo sát thì hàm có giá trị âm càng lớn tức là mức độ nén càng lớn. Tương ứng với một số đơn mode nhất định thì mức độ nén tổng hầu như không thay đổi theo giá trị r, q trong khoảng thứ nhất nhưng lại tăng theo giá trị r, q trong khoảng giá trị thứ hai. Khi N tăng thì hai khoảng giá trị của r, q để có nén tổng tăng lên. b) Khảo sát sự phụ thuộc của điều kiện nén tổng V1 theo thừa số pha θ Từ đồ thị hình 2a) ta thấy hệ luôn đạt nén tổng cực đại tại θ = 0. Mức độ nén tổng cực đại tăng khi N tăng. Ngoài ra giữa ϕ và θ có mối liên hệ chặt chẽ với nhau, khi giá trị ϕ thay đổi thì mức độ nén tổng cực đại theo θ cũng thay đổi theo (hình 2b)). Vậy với một giá trị ϕ cho trước ta có thể chọn giá trị θ để hệ đạt nén tổng cực đại. NÉN TỔNG ĐA MODE TỪ CÁC HỆ CÓ NGÕ VÀO LÀ CÁC ĐƠN MODE... 25 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 -50 -40 -30 -20 -10 0 Θ V 1 aL 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 -8 -6 -4 -2 0 Θ V 1 ´ 10 - 14 bL Hình 2: Với r = 1, q = 0.6. Hình a) là đồ thị hàm V1 (×10−14), V1 (×10−16), V1 (×10−18) khảo sát theo θ với N = 6, 7, 8 và ϕ = 0. Hình b) là đồ thị hàm V1 (×10−14) khảo sát theo θ với ϕ = 0, pi/6, pi/3 và N = 6 (các tham số được chọn để khảo sát theo thứ tự tăng dần tương ứng với nét gạch, nét chấm chấm và nét liền). 6 NÉN TỔNG ĐA MODE TỪ CÁC TRẠNG THÁI KẾT HỢP PHỤ THUỘC THAM SỐ BIẾN DẠNG VÀ NÉN PHỤ THUỘC THAM SỐ BIẾN DẠNG 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 -10 -8 -6 -4 -2 0 r V 2 ´ 10 - 20 aL 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 -30 -20 -10 0 10 20 30 Ρ V 2 ´ 10 - 18 bL Hình 3: Trên hình a) là đồ thị hàm V2 (×10−20) khảo sát theo r khi K = 1, 2, 3 và q = 0.9, s = 2, ρ = 2. Trên hình b) là đồ thị hàm V2 (×10−18) khảo sát theo ρ khi q = 0.7, 0.71, 0.72, r = 1, s = 0.8 (các tham số được chọn để khảo sát theo thứ tự tăng dần tương ứng với nét gạch, nét chấm chấm và nét liền). Trong trường hợp này ta xét K mode ở trạng thái nén phụ thuộc tham số biến dạng |β, z〉 q và N - K mode còn lại ở trạng thái kết hợp phụ thuộc tham số biến dạng |α〉 q . Thay các giá trị trung bình từ biểu thức (9) đến (12) vào (1) sau đó ta xét trường hợp, các mode kết hợp phụ thuộc tham số biến dạng là giống nhau αj = α, các mode nén phụ thuộc tham số 26 VÕ TÌNH - ĐOÀN THỊ MỸ LIÊN biến dạng là giống nhau βj = β và θ = φ = χ = 0 ta thu được: V2 = Cos(2ϕ) {[ ρ2ℵ−1q (ρ2) ∞∑ n=0 ρ2n √ (n+ 1)(n+ 2) [n]q![n+ 2]q! ( cosh2s+ sinh2s ) − 2ρ2ℵ−1q (ρ2) ∞∑ n=0 ρ2n n+ 1 [n+ 1]q! sinhscoshs− sinhscoshs ]K × [ r2ℵ−1q (r2) ∞∑ n=0 r2n √ (n+ 1)(n+ 2) [n]q![n+ 2]q! ]N−K − [ ρℵ−1q (ρ2) ∞∑ n=0 ρ2n √ n+ 1 [n]q![n+ 1]q! ( coshs− sinhs )]2K × [ rℵ−1q (r2) ∞∑ n=0 r2n √ n+ 1 [n]q![n+ 1]q! ]2(N−K)} + {[ sinh2s+ ρ2ℵ−1q (ρ2) ∞∑ n=0 ρ2n n+ 1 [n+ 1]q! (cosh2s+ sinh2s) − ρ2ℵ−1q (ρ2) ∞∑ n=0 ρ2n √ (n+ 1)(n+ 2) [n]q![n+ 2]q! coshssinhs ]K × [ r2ℵ−1q (r2) ∞∑ n=0 r2n n+ 1 [n+ 1]q! ]N−K − [ ρℵ−1q (ρ2) ∞∑ n=0 ρ2n √ n+ 1 [n]q![n+ 1]q! ( coshs− sinhs )]2K × [ rℵ−1q (|α|2) ∞∑ n=0 r2n √ n+ 1 [n]q![n+ 1]q! ]2(N−K)} . (14) a) Khảo sát ảnh hưởng của các tham số đến điều kiện nén tổng V2. Từ đồ thị khảo sát điều kiện nén hiệu V2 theo K ở đồ thị hình 3, ta thấy ứng với một giá trị của K có hai khoảng giá trị của r thoả mãn điều kiện nén tổng. Khi K tăng thì cả hai khoảng giá trị r để có nén tổng tăng lên. Khi q tăng thì khoảng giá trị ρ tăng. Luôn có nén cực đại theo r, mức độ nén cực đại giảm khi q, s tăng. b) Khảo sát điều kiện nén V2 theo hướng nén ϕ Ta thấy hệ luôn đạt nén tổng cực đại tại ϕ = 0. Các giá trị của tham số trong trường hợp này không những ảnh hưởng đến khả năng có nén tổng hay không mà còn ảnh hưởng đến mức độ nén tổng. Cụ thể, khi giá trị của ρ, s tăng thì mức độ nén tổng cực đại theo hướng ϕ giảm và khoảng giá trị của ϕ thoả mãn điều kiện nén tổng cũng giảm. NÉN TỔNG ĐA MODE TỪ CÁC HỆ CÓ NGÕ VÀO LÀ CÁC ĐƠN MODE... 27 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 -150 -100 -50 0 50 r V 2 ´ 10 - 18 aL 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 -20 -10 0 10 20 r V 2 ´ 10 - 15 bL Hình 4: Với N = 8, K = 6, ϕ = 0. Hình a) là đồ thị hàm V2 (×10−18) khảo sát theo r khi s = 0.5, ρ = 1 và q = 0.62, 0.63, 0.64. Hình b) là đồ thị hàm V2 (×10−15) khảo sát theo r khi q = 0.8, ρ = 1.5 và s = 0.5, 0.6, 0.7 (các tham số được chọn để khảo sát theo thứ tự tăng dần tương ứng với nét gạch, nét chấm chấm và nét liền). 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 -4 -2 0 2 j V 2 ´ 10 - 14 aL 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 -3 -2 -1 0 1 2 j V 2 ´ 10 - 14 bL Hình 5: Với N = 8, K = 6 và r = 0.5, q = 0.87. Trên hình a) là đồ thị hàm V2 (×10−14) khảo sát theo ϕ khi s = 1.77 và ρ = 0.51, 0.52, 0.53. Trên hình b) là đồ thị hàm V2 (×10−14) khảo sát ϕ khi ρ = 0.52, và s = 1.75, 1,76, 1.77 (các tham số được chọn để khảo sát theo thứ tự tăng dần tương ứng với nét gạch, nét chấm chấm và nét liền). 7 KẾT LUẬN Các biểu thức của điều kiện nén tổng đa mode tổng quát với các trạng thái kết hợp phụ thuộc tham số biến dạng và trạng thái nén phụ thuộc tham số biến dạng được thiết lập trong trường hợp cụ thể: các mode không tương quan, ở cùng một trạng thái thì giống nhau. Các kết quả khảo sát nén tổng đa mode tổng quát với các trạng thái đơn mode kết hợp phụ thuộc tham số biến dạng và trạng thái nén phụ thuộc tham số biến dạng cho thấy, nén tổng đa mode luôn xảy ra nếu chọn các tham số đầu vào phù hợp, mức độ nén tăng hay giảm phụ thuộc mạnh vào giá trị các tham số đó. Do vậy sẽ có nén đơn mode có tần số tổng ở ngõ ra. 28 VÕ TÌNH - ĐOÀN THỊ MỸ LIÊN TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Võ Tình (2001). Một số hiệu ứng trong hệ photon-exciton-biexciton ở bán dẫn kích thích quang. Luận án tiến sĩ Vật lý, Trường ĐHSP Hà Nội. [2] Nguyễn Việt Cường (2008). Nén tổng đa mode với các trạng thái kết hợp đặc biệt. Luận văn Thạc sĩ Vật lý, Trường ĐHSP Huế - ĐH Huế. [3] Nguyen Ba An and Vo Tinh (2000). General multimode sum-squeezing. Physics Letters A, 261, pp. 34-39. [4] Caves M. C. and Schumaker L. B. (1985). New formalism for two photon quantum optics. I. Quadrature phases and squeezed states. Phys. Rev. A, 31, pp. 12-20. [5] Glauber R. J.(1963). Coherent and incoherent states of the Radiation field. Phys. Rev. B, 131(6), pp. 2766-2788. [6] M. O and Zubairy M.S, (2000). Quantum optics. Cambridge University Pres, Cam- bride. [7] Stoler (1970-1971). Equivalence classes of minimum-uncertainty. Phys. Rev. lett D, 1, pp. 37-45. [8] Quesne C 2001. Ann. Phys.. NY 293 147. [9] Yuen (1976). Two photon coherent states of the radiation field. Phys. Rev,13, pp. 240-255. Title: MULTIMODE SUM-SQUEEZING FROM COHERENT STATES AND Q - DE- FORMED SQUEEZING Abstract: In a nonlinear medium the relation between multi-mode sum-squeezing of input single-mode photons and normal squeezing of output sum frequency photon is established by Heisenberg motion equations. A general multi-mode sum-squeezing from q - deformed coherent states and q - deformed squeezing states is presented in this paper. TS. VÕ TÌNH Khoa Vật lý, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế ThS. ĐOÀN THỊ MỸ LIÊN Trường THPT Vinh Xuân, Thừa Thiên Huế