Khảo sát tính đan rối và viễn tải lượng tử với trạng thái hai mode kết hợp đối xứng thêm hai Photon tích

KHẢO SÁT TÍNH ĐAN RỐI VÀ VIỄN TẢI LƯỢNG TỬ VỚI TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT HỢP ĐỐI XỨNG THÊM HAI PHOTON TÍCH NGUYỄN THỊ KIM THANH - TRƯƠNG MINH ĐỨC Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế Tóm tắt: Trong bài báo này chúng tôi khảo sát tính đan rối và quá trình viễn tải lượng tử với trạng thái hai mode kết hợp đối xứng thêm hai photon tích. Kết quả cho thấy, trạng thái này là một trạng thái đan rối thỏa mãn tiêu chuẩn đan rối Hyunchul Nha. Sau đó chúng tôi sử dụng trạng thái này làm nguồn rối để thực hiện quá trình viễn tải lượng tử một trạng thái kết hợp. Qua kết quả khảo sát độ trung thực trung bình trên đồ thị, chúng tôi nhận thấy quá trình viễn tải lượng tử là thành công với độ trung thực trung bình tiến gần đến 1. Từ khóa: tính chất đan rối, viễn tải lượng tử 1 GIỚI THIỆU Trong quá trình viễn tải lượng tử, nguồn đan rối dùng cho việc viễn tải là một phần không thể thiếu và mức độ đan rối của nguồn này ảnh hưởng đến mức độ thành công của quá trình viễn tải lượng tử. Do đó, trong bài báo này, chúng tôi sẽ sử dụng tiêu chuẩn đan rối Hyunchul Nha để kiểm tra tính đan rối của trạng thái hai mode kết hợp đối xứng thêm hai photon tích và đánh giá mức độ đan rối của nó. Sau đó chúng tôi dùng trạng thái này làm nguồn rối để thực hiện viễn tải một trạng thái kết hợp và dựa vào độ trung thực trung bình để đánh giá mức độ thành công của quá trình viễn tải. Trạng thái hai mode kết hợp đối xứng thêm hai photon tích có dạng như sau: |ψ〉ab = N aˆ†bˆ†(|α〉a|β〉b + |β〉a|α〉b), (1) trong đó N = 1√ 2(|α|2 |β|2 + |α|2 + |β|2 + 1 + (|α|2 |β|2 + α∗β + β∗α+ 1)x) , với x = |〈α|β〉|2 = exp(−|α− β|2), |α〉, |β〉 là trạng thái kết hợp và α, β là số phức. Tạp chí Khoa học và Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm Huế ISSN 1859-1612, Số 01(33)/2015: tr. 54-62 KHẢO SÁT TÍNH ĐAN RỐI VÀ VIỄN TẢI LƯỢNG TỬ... 55 2 TÍNH ĐAN RỐI CỦA TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT HỢP ĐỐI XỨNG THÊM HAI PHOTON TÍCH Tiêu chuẩn đan rối được chúng tôi sử dụng để khảo sát tính đan rối của trạng thái hai mode kết hợp đối xứng thêm hai photon tích là tiêu chuẩn do Hyunchul Nha [1] đưa ra, một trạng thái gọi là đan rối khi trung bình trong trạng thái đó thỏa mãn bất đẳng thức sau: [1− 〈aˆ†2bˆ2 + aˆ2bˆ†2 − aˆ†aˆbˆbˆ† − aˆaˆ†bˆ†bˆ〉+ 〈aˆ†bˆ− aˆbˆ†〉2] × [1 + 〈aˆ†2bˆ2 + aˆ2bˆ†2 + aˆ†aˆbˆbˆ† + aˆaˆ†bˆ†bˆ〉 − 〈aˆ†bˆ+ aˆbˆ†〉2] < (1 + 〈aˆ†aˆ+ bˆ†bˆ〉)2 + 16 ( 1 2i 〈aˆ†aˆ†bˆbˆ− aˆaˆbˆ†bˆ†〉+ 1 4i 〈aˆ†bˆ+ aˆbˆ†〉〈aˆ†bˆ− aˆbˆ†〉 )2 , (2) trong đó aˆ†, bˆ† là toán tử sinh hạt và aˆ, bˆ là toán tử hủy hạt. Để thuận lợi cho việc khảo sát, chúng tôi đưa vào tham số đan rối R dưới dạng R = [1− 〈aˆ†2bˆ2 + aˆ2bˆ†2 − aˆ†aˆbˆbˆ† − aˆaˆ†bˆ†bˆ〉+ 〈aˆ†bˆ− aˆbˆ†〉2] × [1 + 〈aˆ†2bˆ2 + aˆ2bˆ†2 + aˆ†aˆbˆbˆ† + aˆaˆ†bˆ†bˆ〉 − 〈aˆ†bˆ+ aˆbˆ†〉2]− (1 + 〈aˆ†aˆ+ bˆ†bˆ〉)2 − 16 ( 1 2i 〈aˆ†aˆ†bˆbˆ− aˆaˆbˆ†bˆ†〉+ 1 4i 〈aˆ†bˆ+ aˆbˆ†〉〈aˆ†bˆ− aˆbˆ†〉 )2 . (3) Một trạng thái bất kỳ được gọi là trạng thái đan rối nếu tham số đan rối R < 0, và R càng âm nghĩa là mức độ đan rối càng tăng và ngược lại nếu R ≥ 0 thì trạng thái đó không đan rối. Với trạng thái hai mode kết hợp đối xứng thêm hai photon tích, chúng tôi thu được tham số đan rối R dưới dạng tường minh như sau: R = [ 1− 2|N |2 { (β∗2α2 + α∗2β2) ( 9 + 3(|α|2 + |β|2) + |α|2|β|2 ) + (|α|4 + |β|4) ( 9 + 3(α∗β + β∗α) + |α|2|β|2 ) x − ( 4 + (|α|2 + |β|2)(10 + 7 |α|2 |β|2) + 3(|α|4 + |β|4) + 24 |α|2 |β|2 + 2 |α|4 |β|4 + ( 4 + (β∗α+ α∗β)(10 + 7 |α|2 |β|2) + 3(α∗2β2 + β∗2α2) + 24 |α|2 |β|2 + 2 |α|4 |β|4 ) x )}] × [ 1 + 2|N |2 { (β∗2α2 + α∗2β2) ( 9 + 3(|α|2 + |β|2) + |α|2|β|2 ) + (|α|4 + |β|4) ( 9 + 3(α∗β + β∗α) + |α|2|β|2 ) x + ( 4 + (|α|2 + |β|2)(10 + 7 |α|2 |β|2) + 3(|α|4 + |β|4) + 24 |α|2 |β|2 + 2 |α|4 |β|4 + ( 4 + (β∗α+ α∗β)(10 + 7 |α|2 |β|2) + 3(α∗2β2 + β∗2α2) + 24 |α|2 |β|2 + 2 |α|4 |β|4 ) x )} − 4|N |4 { (α∗β + αβ∗) ( 4 + 2(|α|2 + |β|2) + |β|2 |α|2 ) 56 NGUYỄN THỊ KIM THANH - TRƯƠNG MINH ĐỨC + (|α|2 + |β|2) ( 4 + 2(α∗β + β∗α) + |β|2 |α|2 ) x }2] − [ 1 + 2|N |2 { 2 + (|α|2 + |β|2)(4 + |α|2 |β|2) + 6 |α|2 |β|2 + |α|4 + |β|4 + ( 2 + (α∗β + β∗α)(4 + |α|2 |β|2) + 6 |α|2 |β|2 + α∗2β2 + β∗2α2 ) x }]2 . (4) Vì α, β là hai số phức nên chúng tôi chọn α = |α| exp(iϕ1), β = |β| exp(iϕ2) và ϕ = ϕ1 − ϕ2. Xét trường hợp ϕ = 0, kết quả khảo sát sự phụ thuộc của tham số đan rối R vào biên độ kết hợp |α| và |β| được thể hiện trên hình 1. Hình 1: Sự phụ thuộc của tham số đan rối R vào biên độ kết hợp |α| với |β| = 0.8|α| và |β| = 1.2|α| theo thứ tự từ trên xuống. Hình 1 cho thấy sự phụ thuộc của tham số đan rối R vào biên độ kết hợp |α| với |β| = 0.8|α| và |β| = 1.2|α|. Với các giá trị |β| đã chọn thì tham số đan rối R luôn âm với mọi giá trị của |α| và |α| càng tăng thì R càng âm. Như vậy trạng thái hai mode kết hợp đối xứng thêm hai photon tích là trạng thái rối hoàn toàn theo tiêu chuẩn đan rối Hyunchul Nha khi ta chọn các tham số |β| thích hợp. Do đó, trạng thái này có thể sử dụng làm nguồn rối để thực hiện viễn tải lượng tử. 3 QUÁ TRÌNH VIỄN TẢI LƯỢNG TỬ VỚI TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT HỢP ĐỐI XỨNG THÊM HAI PHOTON TÍCH Qua kết quả khảo sát tính đan rối chúng tôi thấy rằng trạng thái hai mode kết hợp đối xứng thêm hai photon tích là một trạng thái đan rối. Do đó, chúng tôi sẽ sử dụng trạng thái này làm nguồn rối để viễn tải lượng tử một trạng thái kết hợp. Trạng thái hai mode kết hợp đối xứng thêm hai photon tích biểu diễn theo trạng thái Fock có dạng KHẢO SÁT TÍNH ĐAN RỐI VÀ VIỄN TẢI LƯỢNG TỬ... 57 |ψ〉ab = N exp ( −|α| 2 + |β|2 2 ) × ∞∑ n,m=0 αnβm√ n!m! [√ (n+ 1)(m+ 1)|n+ 1,m+ 1〉ab + √ (m+ 1)(n+ 1)|m+ 1, n+ 1〉ab ] . (5) Theo mô hình viễn tải biến liên tục [2], trạng thái hai mode kết hợp đối xứng thêm hai photon tích có hai mode a và b, trong đó mode a được đưa tới Alice và mode b được đưa tới Bob, trạng thái được viễn tải là trạng thái kết hợp |γ〉c. Tại nơi gửi thông tin, trước khi thực hiện phép đo Bell [3], Alice sẽ thực hiện tổ hợp một trạng thái ba mode có dạng |ψ〉abc = N exp ( −|α| 2 + |β|2 2 ) × ∞∑ n,m=0 αnβm√ n!m! [√ (n+ 1)(m+ 1)|n+ 1,m+ 1〉ab|γ〉c + √ (m+ 1)(n+ 1)|m+ 1, n+ 1〉ab|γ〉c ] . (6) Tiếp theo, Alice dùng phép đo Bell tổ hợp trên hai mode a và c. Khi phép đo tổ hợp hoàn thành, trạng thái tích |ψ〉abc sụp đổ. Do Bob và Alice cùng chia sẻ trạng thái rối nên Bob có trạng thái sau: |ψ〉B = N exp ( −|α| 2 + |β|2 2 ) ∞∑ n,m,k=0 αnβm√ n!m! 2√ pi × [√ (n+ 1)(m+ 1)a〈k|c〈k|Dˆc(−2A)|n+ 1〉a|m+ 1〉b|γ〉c + √ (m+ 1)(n+ 1)a〈k|c〈k|Dˆc(−2A)|m+ 1〉a|n+ 1〉b|γ〉c ] . (7) Áp dụng tính chất của toán tử dịch chuyển và thực hiện các bước biến đổi ta thu được |ψ〉B = 2N√ pi exp ( −|α| 2 + |β|2 2 ) exp(A∗γ −Aγ∗) exp(−1 2 |γ − 2A|2) × ∞∑ n,m=0 αnβm√ n!m! [√(m+ 1)√ n! (γ − 2A)n+1|m+ 1〉b + √ (n+ 1)√ m! (γ − 2A)m+1|n+ 1〉b ] . (8) Bây giờ, bên Bob tồn tại trạng thái ứng với mode b chứa các thông tin về mode c. Bob sẽ thực hiện phép dịch chuyển Dˆ(g2A) để xây dựng lại trạng thái được viễn tải ban đầu |γ〉c, trạng thái cuối cùng thu được trong quá trình viễn tải sẽ là 58 NGUYỄN THỊ KIM THANH - TRƯƠNG MINH ĐỨC |ψ〉out = Dˆ(g2A)|ψ〉B = 2N√ pi exp ( −|α| 2 + |β|2 2 ) exp(A∗γ −Aγ∗) exp(−1 2 |γ − 2A|2) × ∞∑ n,m=0 αnβm√ n!m! [√(m+ 1)√ n! (γ − 2A)n+1Dˆ(g2A)|m+ 1〉b + √ (n+ 1)√ m! (γ − 2A)m+1Dˆ(g2A)|n+ 1〉b ] . (9) Đến thời điểm này, quá trình viễn tải lượng tử đã hoàn thành. Mức độ thành công của quá trình viễn tải lượng tử được đánh giá dựa vào độ trung thực trung bình Fav. Độ trung thực trung bình được xác định thông qua biểu thức Fav = ∫ |in〈ψ|ψ〉out|2d2A, (10) với Fav = 1/2 là giới hạn viễn tải cổ điển, Fav = 1 là độ trung thực trung bình của quá trình viễn tải hoàn hảo. Vì vậy, độ trung thực trung bình của quá trình viễn tải lượng tử phải thoả mãn điều kiện 1/2 < Fav ≤ 1. Để xác định Fav ta tính in〈ψ|ψ〉out = 2N√ pi exp ( −|α| 2 + |β|2 2 ) exp(A∗γ −Aγ∗) × exp(−1 2 |γ − 2A|2) ∞∑ n,m=0 αnβm√ n!m! × [√(m+ 1)√ n! (γ − 2A)n+1〈γ|Dˆ(g2A)|m+ 1〉 + √ (n+ 1)√ m! (γ − 2A)m+1〈γ|Dˆ(g2A)|n+ 1〉 ] . (11) Sử dụng tính chất của toán tử dịch chuyển và khai triển trạng thái kết hợp theo trạng thái Fock, ta được in〈ψ|ψ〉out = 2N√ pi exp ( −|α| 2 + |β|2 2 ) exp(A∗γ −Aγ∗) × exp(−1 2 |γ − 2A|2) exp [g(γ∗A−A∗γ)] exp(−1 2 |γ − g2A|2) × ∞∑ n,m=0 αnβm n!m! [ (γ − 2A)n+1(γ∗ − g2A∗)m+1 + (γ − 2A)m+1(γ∗ − g2A∗)n+1 ] . (12) Từ đó ta có KHẢO SÁT TÍNH ĐAN RỐI VÀ VIỄN TẢI LƯỢNG TỬ... 59 |in〈ψ|ψ〉out|2 = 4|N | 2 pi exp(−|α|2 − |β|2) exp(−|γ − 2A|2 − |γ − g2A|2) × ∞∑ n,m,l,p=0 αnβmα∗lβ∗p n!m!l!p! × { (γ − 2A)n+1(γ∗ − g2A∗)m+1 + (γ − 2A)m+1(γ∗ − g2A∗)n+1 } × { (γ∗ − 2A∗)l+1(γ − g2A)p+1 + (γ∗ − 2A∗)p+1(γ − g2A)l+1 } . (13) Như vậy, biểu thức độ trung thực trung bình được viết lại như sau: Fav = 4|N |2 pi ∫ exp[−|α|2 − |β|2 − |γ − 2A|2] × exp[−|γ − g2A|2] ∞∑ n,m,l,p=0 αnβmα∗lβ∗p n!m!l!p! × [ (γ − 2A)n+1(γ∗ − g2A∗)m+1(γ∗ − 2A∗)l+1(γ − g2A)p+1 + (γ − 2A)n+1(γ∗ − g2A∗)m+1(γ∗ − 2A∗)p+1(γ − g2A)l+1 + (γ − 2A)m+1(γ∗ − g2A∗)n+1(γ∗ − 2A∗)l+1(γ − g2A)p+1 + (γ − 2A)m+1(γ∗ − g2A∗)n+1(γ∗ − 2A∗)p+1(γ − g2A)l+1 ] d2A. (14) Biểu thức (14) xác định độ trung thực trung bình dưới dạng tổng quát, với g là hệ số điều khiển Bob dùng để hoàn thiện độ trung thực của quá trình viễn tải, vì vậy ta có thể chọn g để điều khiển độ trung thực trung bình. Chọn trường hợp g = 0, thực hiện biến đổi d2A = d 2(γ−2A) 4 , biểu thức độ trung thực trung bình sẽ có dạng Fav = |N |2 pi exp(−|α|2 − |β|2) exp(−|γ|2) × ∞∑ n,m,l,p=0 αnβmα∗lβ∗p n!m!l!p! ∫ exp(−|γ − 2A|2) × [ (γ∗)m+1γp+1(γ − 2A)n+1(γ∗ − 2A∗)l+1 + (γ∗)m+1γl+1(γ − 2A)n+1(γ∗ − 2A∗)p+1 + (γ∗)n+1γp+1(γ − 2A)m+1(γ∗ − 2A∗)l+1 + (γ∗)n+1γl+1(γ − 2A)m+1(γ∗ − 2A∗)p+1 ] d2(γ − 2A). (15) Áp dụng công thức I = ∫ exp(−s|β|2)βi(β∗)jd2β = pii! si+1 δi,j , và thực hiện các bước biến đổi, ta thu được 60 NGUYỄN THỊ KIM THANH - TRƯƠNG MINH ĐỨC Fav = |N |2 exp(−|α|2 − |β|2) exp(−|γ|2) × [ ∞∑ n,m,p=0 αnβmα∗nβ∗p n!m!p! (n+ 1)(γ∗)m+1γp+1 + ∞∑ n,m,l=0 αnβmα∗lβ∗n n!m!l! (n+ 1)(γ∗)m+1γl+1 + ∞∑ n,m,p=0 αnβmα∗mβ∗p n!m!p! (m+ 1)(γ∗)n+1γp+1 + ∞∑ n,m,l=0 αnβmα∗lβ∗m n!m!l! (m+ 1)(γ∗)n+1γl+1 ] . (16) Để thuận lợi cho việc khảo sát, chúng tôi sẽ khảo sát theo biên độ kết hợp |α| với |β| = |γ| = k|α|, trong đó k là hệ số tỉ lệ. Từ đó, biểu thức độ trung thực trung bình có dạng như sau: Fav = exp(−|α|2 − 2k2|α|2) 2(k2|α|4 + |α|2 + k2|α|2 + 1 + x(k2|α|4 + 2k|α|2 + 1)) × [ ∞∑ n,m,p=0 |α|2n(k|α|)2(m+p+1) n!m!p! (n+ 1) + ∞∑ n,m,l=0 |α|n+l(k|α|)2m+n+l+2 n!m!l! (n+ 1) + ∞∑ n,m,p=0 |α|n+m(k|α|)m+n+2p+2 n!m!p! (m+ 1) + ∞∑ n,m,l=0 |α|n+l(k|α|)2m+n+l+2 n!m!l! (m+ 1) ] . (17) Kết quả khảo sát độ trung thực trung bình Fav theo biên độ kết hợp |α| được thể hiện trên hình 2. Các đường cong trên đồ thị cho thấy quá trình viễn tải là thành công. Với k = 0.8 và k = 1.2, độ trung thực Fav không ổn định và có xu hướng giảm khi |α| tăng. Độ trung thực Fav ổn định và tiến gần đến 1 khi k = 1, điều này cho thấy rằng khi các biên độ kết hợp |α| = |β| = |γ| thì quá trình viễn tải lượng tử là tốt nhất. Như vậy, độ trung thực trung bình phụ thuộc vào các giá trị tham số đưa vào. KHẢO SÁT TÍNH ĐAN RỐI VÀ VIỄN TẢI LƯỢNG TỬ... 61 Hình 2: Sự phụ thuộc của độ trung thực trung bình Fav vào biên độ kết hợp |α| với các giá trị của k = 1.2; k = 1; k = 0.8 theo thứ tự từ trên xuống. 4 KẾT LUẬN Trong bài báo này chúng tôi đã sử dụng tiêu chuẩn đan rối của Hyunchul Nha để khảo sát tính đan rối với trạng thái hai mode kết hợp đối xứng thêm hai photon tích và thu được kết quả trạng thái này là một trạng thái rối hoàn toàn theo các điều kiện đã chọn. Sau đó chúng tôi sử dụng trạng thái hai mode kết hợp đối xứng thêm hai photon tích làm nguồn rối để thực hiện viễn tải một trạng thái kết hợp và đánh giá mức độ thành công của quá trình viễn tải thông qua độ trung thực trung bình Fav. Kết quả cho thấy với các giá trị g, k thích hợp thì quá trình viễn tải lượng tử là thành công. Do đó trạng thái hai mode kết hợp đối xứng thêm hai photon tích là một trạng thái phù hợp để viễn tải một trạng thái kết hợp bất kỳ. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nha H. and Kim J. (2006), Phys. Rev. A 74, 012317. [2] Agarwal G.S., Gasbris A. (2007), Int. Journal of Quant. Inf. 5(1-2), 17. [3] Janszky J., Koniorczyk M., Gabris A. (2001), Phys. Rev. A 64, 034302. [4] Bennett C.H., Brassard G., Crepeau C., Jozsa R., Peres A., and Wootters W.K. (1993), Phys. Rev. Lett. 70, 1895. [5] Braunstein S.L and Kimble H.J. (1998), Phys. Rev. Lett. 80(4), 869. [6] Cochran P.T., Ralph T.C and Milburn G.J. (2002), Phys. Rev. A, 65(6), 062306. [7] Hofmann H. F., Toshiki Ide, Takayoshi Kobayashi (2000),Phys. Rev. A 62, 062304. [8] Milburn G.J and Braunstein S.L. (1999), Phys. Rev. A 60(2), 937. 62 NGUYỄN THỊ KIM THANH - TRƯƠNG MINH ĐỨC Title: INVESTIGATING ENTANGLEMENT AND QUANTUM TELEPORTATION WITH MULTIPLE-PHOTON-ADDED TWO-MODE SYMMETRIC COHERENT STATES Abstract: In this paper, we investigate entanglement property of multiple-photon-added two- mode symmetric coherent states. The obtained results show that this state is entangled satisfying Hyunchul Nha entangled conditions. This state is used as an entangled resource for quantum tele- portation of a coherent state. Considering the average fidelity on the graphs, we found that the teleportation process is successful with Fav approaches 1. Keywords: entanglement conditions, quantum teleportation. NGUYỄN THỊ KIM THANH Học viên Cao học, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế PGS. TS. TRƯƠNG MINH ĐỨC Khoa Vật lý, Trung tâm Vật lý lý thuyết và VLTT, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế