Khảo sát các tính chất phi cổ điển của trạng thái hai mode kết hợp thêm hai Photon

KHẢO SÁT CÁC TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN CỦA TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT HỢP THÊM HAI PHOTON NGUYỄN THANH PHÁP - TRƯƠNG MINH ĐỨC Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế Tóm tắt: Trong bài báo này chúng tôi khảo sát các tính chất phi cổ điển của các trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon. Kết quả khảo sát cho thấy trong các trạng thái này tồn tại nén tổng và nén hiệu hai mode. Kết quả khảo sát còn cho thấy trong các trạng thái này tồn tại tính chất phản kết chùm và các trạng thái này vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. So với các trạng thái hai mode kết hợp thêm một photon thì trạng thái này thể hiện tính chất nén tổng và nén hiệu hai mode mạnh hơn, tuy nhiên sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz lại yếu hơn. Từ khóa: nén tổng hai mode, bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 1. GIỚI THIỆU Việc tạo ra các trạng thái phi cổ điển của trường điện từ được các nhà khoa học quan tâm hàng đầu, điển hình là trạng thái nén, trạng thái kết hợp chẵn, lẻ, đây là các trạng thái phi cổ điển vì chúng tuân theo các tính chất phi cổ điển. Vào năm 1991, Agarwal và Tara đã đề xuất ý tưởng về trạng thái kết hợp thêm photon [1] và cũng đã chứng minh được nó là một trạng thái phi cổ điển, thể hiện tính nén và tuân theo thống kê sub-Poisson. Việc thêm photon vào một trạng thái vật lý là một phương pháp quan trọng để tạo ra một trạng thái phi cổ điển mới. Trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon |ψ〉ab = Nα,β (aˆ+2 + bˆ+2)|α〉a|β〉b, (1) trong đó Nα,β = (√ |α2 + β2|2 + 4(|α|2 + |β|2) + 4 )−1 là hệ số chuẩn hóa, aˆ+ và bˆ+ lần lượt là toán tử sinh đối với mode a và mode b. Việc khảo sát tính chất đan rối và viễn tải lượng tử của trạng thái hai mode thêm hai photon đã được tác giả Nguyễn Thùy Dung [2] nghiên cứu. Tuy nhiên, việc nghiên cứu các tính chất phi cổ điển của trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon vẫn chưa được đề cập đến. Vì vậy, trong bài báo này chúng tôi tiến hành khảo sát các tính chất phi cổ điển của trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon. Tạp chí Khoa học và Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm Huế ISSN 1859-1612, Số 01(33)/2015: tr. 44-53 KHẢO SÁT CÁC TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN CỦA TRẠNG THÁI HAI MODE... 45 2. KHẢO SÁT TÍNH CHẤT NÉN CỦA TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT HỢP THÊM HAI PHOTON 2.1. Nén tổng hai mode Nén tổng hai mode được Hillery [3] đưa ra vào năm 1989. Một trạng thái được gọi là nén tổng nếu 〈(∆Vˆϕ)2〉 < 1 4 〈nˆa + nˆb + 1〉 , (2) trong đó 〈(∆Vˆϕ)2〉 = 〈 V 2ϕ 〉 − 〈Vϕ〉2, Vˆϕ = 1 2 ( eiϕaˆ+bˆ+ + e−iϕaˆbˆ ) , nˆa = aˆ+aˆ là toán tử số hạt mode a, nˆb = bˆ+bˆ là toán tử số hạt mode b, ϕ là góc bất kì, aˆ là toán tử hủy mode a và bˆ là toán tử hủy mode b. Để thuận tiện cho việc khảo sát ta đưa ra tham số S có dạng như sau: S = 〈(∆Vˆϕ)2〉 − 1 4 〈nˆa + nˆb + 1〉 . (3) Một trạng thái được gọi là nén tổng hai mode nếu tham số S < 0 và mức độ nén tổng càng mạnh nếu S càng âm. Đối với trạng thái |ψ〉ab = Nα,β (aˆ+2 + bˆ+2)|α〉a|β〉b, ta có S = [ 4( ∣∣α2 + β2∣∣2 + 4(|α|2 + |β|2) + 4) ]−1 × [ (2|α|6 + 16|α|4 + 28|α|2 + 8)|β|2 + (|α|4 + 4|α|2 + 2)(e2iϕβ∗4 + e−2iϕβ4) + (2|β|6 + 16|β|4 + 28|β|2 + 8)|α|2 + (|β|4 + 4|β|2 + 2)(e2iϕα∗4 + e−2iϕα4) + (|α|4 + |β|4 + 8(|α|2 + |β|2) + 24)(e2iϕα∗2β∗2 + e−2iϕα2β2) + (2|α|2|β|2 + 4(|α|2 + |β|2) + 8)(α2β∗2 + α∗2β2) ] − {[ (|β|2 + 2)(eiϕα∗3β + e−iϕα3β∗) + (|α|2 + 2)(e−iϕα∗β3 + eiϕαβ∗3) + (|α|4 + |β|4 + 6(|α|2 + |β|2) + 12)(eiϕα∗β∗ + e−iϕαβ)] × [2(∣∣α2 + β2∣∣2 + 4(|α|2 + |β|2) + 4) ]−1}2. (4) Để đơn giản chúng ta đặt α = ra exp (iϕa), β = rb exp (iϕb) và ϕ = ϕa − ϕb, đồng thời thay vào công thức (4) ta được S = [ 4(r4a + r 4 b + 4(r 2 a + r 2 b ) + 2r 2 ar 2 bCos(2ϕa − 2ϕb) + 4) ]−1 × [ (2r2ar 2 b + 4(r 2 a + r 2 b ) + 8)2r 2 ar 2 bCos(2ϕa − 2ϕb) + (r4a + 4r2a + 2)2r4aCos(2ϕa − 6ϕb) + (r4a + r 4 b + 8(r 2 a + r 2 b ) + 24)2r 2 ar 2 bCos(−4ϕb) + (r4b + 4r2b + 2)2r4bCos(−2ϕa − 2ϕb) 46 NGUYỄN THANH PHÁP - TRƯƠNG MINH ĐỨC + 2(r6a + 16r 4 a + 28r 2 a + 8)r 2 b + (2r 6 b + 16r 4 b + 28r 2 b + 8)r 2 a ] − {[ (r2a + 2)2r 3 braCos(2ϕa − 4ϕb) + (r4a + r4b + 6(r2a + r2b ) + 12)2rarbCos(−2ϕb) + (r2b + 2)2r 3 arbCos(−2ϕa) ]× [2(r4a + r4b + 4(r2a + r2b ) + 2r2ar2bCos(2ϕa − 2ϕb) + 4)]−1}2. Hình 1: Đồ thị khảo sát nén tổng hai mode của trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon (đường gạch gạch) và trạng thái hai mode kết hợp thêm một photon (đường liền nét). Đồ thị ở hình 1 khảo sát nén tổng hai mode của trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon (đường gạch gạch) và trạng thái hai mode kết hợp thêm một photon (đường liền nét) với điều kiện khảo sát là ra = 2rb, ϕa = 2ϕb và ϕb = pi 2 . Đồ thị cho thấy rằng trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon thể hiện nén tổng hai mode mạnh hơn trạng thái hai mode kết hợp thêm một photon. 2.2. Nén hiệu hai mode Nén hiệu hai mode được Hillery [3] đưa ra vào năm 1989. Một trạng thái được gọi là nén hiệu nếu 〈(∆Wˆϕ)2〉 < 1 4 〈nˆa − nˆb〉, (5) trong đó 〈(∆Wˆϕ)2〉 = 〈Wˆ 2ϕ〉 − 〈Wˆϕ〉2, Wˆϕ = 1 2 ( eiϕaˆbˆ+ + e−iϕaˆ+bˆ ) . Để thuận tiện cho việc khảo sát đưa ra tham số D có dạng như sau: D = 〈(∆Wˆϕ)2〉 − 1 4 〈nˆa − nˆb〉 . (6) KHẢO SÁT CÁC TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN CỦA TRẠNG THÁI HAI MODE... 47 Một trạng thái được gọi là nén tổng hai mode nếu tham số D < 0 và mức độ nén tổng càng mạnh nếu D càng âm. Đối với trạng thái |ψ〉ab = Nα,β (aˆ+2 + bˆ+2)|α〉a|β〉b, ta có D = [ 4(|α2 + β2|2 + 4(|α|2 + |β|2) + 4) ]−1 × [ (|α|4 + |β|4 + 8(|α|2 + |β|2) + 24)(e2iϕα2β∗2 + e−2iϕα∗2β2) + e2iϕα4β∗4 + (2|α|2|β|2 + 4|α|2 + 6|β|2 + 12)(α∗2β2 + α2β∗2) + e−2iϕα∗4β4 + 8 + (|α|4 + 4|α|2 + 2)(|β|4 + 4|β|2 + 2)(e2iϕ + e−2iϕ) + 2|β|6 + 16|β|4 + (2|α|6 + 18|α|4 + 32|α|2 + 40)|β|2 + (2|β|6 + 16|β|4 + 32|β|2 + 8)|α|2 ] − {[ (|α|4 + |β|4 + 6(|α|2 + |β|2) + 12)(eiϕαβ∗ + e−iϕα∗β) + e−iϕα∗3β3 + eiϕα3β∗3 + (|α|2|β|2 + 2(|α|2 + |β|2) + 4)(e−iϕαβ∗ + eiϕα∗β)]× [2(|α2 + β2|2 + 4(|α|2 + |β|2) + 4) ]−1}2. (7) Để đơn giản chúng ta đặt α = ra exp (iϕa), β = rb exp (iϕb) và ϕ = ϕa − ϕb, đồng thời thay vào (7) ta được D = [ 4(r4a + r 4 b + 4(r 2 a + r 2 b ) + 2r 2 ar 2 bCos(2ϕ) + 4) ]−1 × {[ (r4a + r 4 b + 8(r 2 a + r 2 b ) + 24)2r 2 ar 2 bCos(4ϕ) + 2r 4 ar 4 bCos(6ϕ) + 2r 6 b + 8r 2 a + (2r2ar 2 b + 4r 2 a + 6r 2 b + 12)2r 2 ar 2 bCos(2ϕ) + (2r 6 a + 18r 4 a + 32r 2 a)r 2 b + 16r 4 b + (r4a + 4r 2 a + 2)(r 4 b + 4r 2 b + 2)2Cos(2ϕ) + (2r 6 b + 16r 4 b + 32r 2 b )r 2 a + 40r 2 b + 8 ]} − {[ (r4a + r 4 b + 6(r 2 a + r 2 b ) + 12)2rarbCos(2ϕ) + 2rarb(r 2 ar 2 b + 2(r 2 a + r 2 b ) + 4) + 2r3ar 3 bCos(4ϕ) ]× [2(r4a + r4b + 4(r2a + r2b ) + 2r2ar2bCos(2ϕ) + 4)]−1}2. Đồ thị ở hình 2 khảo sát nén hiệu hai mode của trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon (đường gạch gạch) và trạng thái hai mode kết hợp thêm một photon (đường liền nét) với điều kiện khảo sát là ra = 2rb, 0 ≤ rb ≤ 4 và ϕ = pi 3 . Đồ thị cho thấy trong cùng một điều kiện khảo sát nhưng tính chất nén hiệu hai mode của trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon thể hiện mạnh hơn trạng thái hai mode kết hợp thêm một photon. 48 NGUYỄN THANH PHÁP - TRƯƠNG MINH ĐỨC Hình 2: Đồ thị khảo sát nén hiệu hai mode của trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon (đường gạch gạch) và trạng thái hai mode kết hợp thêm một photon (đường liền nét). 3. KHẢO SÁT CÁC TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN CỦA TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT HỢP THÊM HAI PHOTON 3.1. Sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho trường hợp hai mode là I = [ 〈 aˆ+2aˆ2 〉 〈bˆ+2bˆ2〉] 12 |〈aˆ+aˆbˆ+bˆ〉| − 1 > 0. (8) Sự vi phạm bất đẳng thức xảy ra khi I < 0. Đối với trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon ta thu được kết quả sau: I = {[|α|8 + 12|α|6 + 38|α|4 + 32|α|2 + (|α|4 + 4|α|2 + 2)(α2β∗2 + α∗2β2) + (|β|4 + 4|β|2 + 2)|α|4 + 4 ]× [|β|8 + 12|β|6 + 38|β|4 + 32|β|2 + 4 + (|β|4 + 4|β|2 + 2)(β2α∗2 + β∗2α2) + (|α|4 + 4|α|2 + 2)|β|4 ]} 12 × { (|α|6 + 8|α|4 + 14|α|2 + 4)|β|2 + (|β|6 + 8|β|4 + 14|β|2 + 4)|α|2 + (|α|2|β|2 + 2|α|2 + 2|β|2 + 4)(α2β∗2 + α∗2β2) }−1 − 1. (9) Để đơn giản chúng ta đặt α = ra exp (iϕa), β = rb exp (iϕb) và ϕ = ϕa − ϕb, đồng thời thay vào công thức (9) ta được I = {[ r8a + 12r 6 a + 38r 4 a + 32r 2 a + 4 + (r 4 a + 4r 2 a + 2)2r 2 ar 2 bCos(2ϕ) + (r 4 b + 4r 4 b + 2)r 4 a ] KHẢO SÁT CÁC TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN CỦA TRẠNG THÁI HAI MODE... 49 × [r8b + 12r6b + 38r4b + 32r2b + 4 + (r4b + 4r2b + 2)2r2ar2bCos(2ϕ) + (r4a + 4r2a + 2)r4b ]} 12 × { (r6b + 8r 4 b + 14r 2 b + 4)r 2 a + (r 2 a + 2)(r 2 b + 2)2r 2 ar 2 bCos(2ϕ) + (r 6 a + 8r 4 a + 14r 2 a + 4)r 2 b }−1 . Hình 3: Đồ thị khảo sát sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz của trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon (đường gạch gạch) và trạng thái hai mode kết hợp thêm một photon (đường liền nét). Đồ thị ở hình 3 khảo sát sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz của trạng thái hai mode kết hợp thêm một photon (đường liền nét) và trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon (đường gạch gạch) với điều kiện khảo sát là ra = 100rb, 0 ≤ rb ≤ 0.5 và ϕ = pi 2 . Đồ thị cho thấy trong cùng một điều kiện khảo sát cả hai trạng thái đều vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, tuy nhiên sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ở trạng thái hai mode kết hợp thêm một photon là mạnh hơn trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon. 3.2 Tính phản kết chùm Tính phản kết chùm được Lee [4] đưa ra vào năm 1990. Điều kiện để tồn tại tính phản kết chùm là Rab (l,m) = 〈nˆ(l+1)a nˆ(m−1)b 〉+ 〈nˆ(m−1)a nˆ(l+1)b 〉 〈nˆ(l)a nˆ(m)b 〉+ 〈nˆ(m)a nˆ(l)b 〉 − 1 < 0, (10) với ` > m > 0; `, m là số nguyên, nˆa = aˆ+aˆ và nˆb = bˆ+bˆ. Sử dụng các tính chất của các toán tử [aˆ, aˆ+] = 1 và [bˆ, bˆ+ = 1] đối với mode a và mode 50 NGUYỄN THANH PHÁP - TRƯƠNG MINH ĐỨC b, ta chứng minh được Rab(`,m) = {( |α|2(`+3) + 4(`+ 2)|α|2(`+2) + (6(`+ 1)2 + 6(`+ 1) + 2)|α|2(`+1) + 4(`+ 1)3|α|2` + `2(`+ 1)2|α|2(`−1) ) |β|2(m−1) + ( |β|2(m+1) + 4m|β|2m + (6(m− 1)2 + 6(m− 1) + 2)|β|2(m−1) + 4(m− 1)3|β|2(m−2) + (m− 1)2(m− 2)2|β|2(m−3) ) |α|2(`+1) + ( |α|2(m+1) + 4m|α|2m + (6(m− 1)2 + 6(m− 1) + 2)|α|2(m−1) + 4(m− 1)3|α|2(m−2) + (m− 1)2(m− 2)2|α|2(m−3) ) |β|2(`+1) + ( |β|2(`+3) + 4(`+ 2)|β|2(`+2) + (6(`+ 1)2 + 6(`+ 1) + 2)|β|2(`+1) + 4(`+ 1)3|β|2` + `2(`+ 1)2|β|2(`−1) ) |α|2(m−1) + [( |α|2(`+1) + 2(`+ 1)|α|2` + `(`+ 1)|α|2(`−1) )( |β|2(m−1) + 2(m− 1)|β|2(m−2) + (m− 1)(m− 2)|β|2(m−3) ) + ( |α|2(m−1) + 2(m− 1)|α|2(m−2) + (m− 1)(m− 2)|α|2(m−3) )( |β|2(`+1) + 2(`+ 1)|β|2` + `(`+ 1)|β|2(`−1) )]( α2β∗2 + α∗2β2 )} × {( |α|2(`+2) + 4(`+ 1)|α|2(`+1) + (6`2 + 6`+ 2)|α|2` + 4`3|α|2(`−1) + `2(`− 1)2|α|2(`−2) ) |β|2m + ( |β|2(m+2) + 4(m+ 1)|β|2(m+1) + (6m2 + 6m+ 2)|β|2m + 4m3|β|2(m−1) +m2(m− 1)2|β|2(m−2) ) |α|2` + ( |α|2(m+2) + 4(m+ 1)|α|2(m+1) + (6m2 + 6m+ 2)|α|2m + 4m3|α|2(m−1) +m2(m− 1)2|α|2(m−2) ) |β|2` + ( |β|2(`+2) + 4(`+ 1)|β|2(`+1) + (6`2 + 6`+ 2)|β|2` + 4`3|β|2(`−1) + `2(`− 1)2|β|2(`−2) ) |α|2m + [( |α|2` + 2`|α|2(`−1) + `(`− 1)|α|2(`−2) ) × ( |β|2m + 2m|β|2(m−1) +m(m− 1)|β|2(m−2) ) + ( |α|2m + 2m|α|2(m−1) + m(m− 1)|α|2(m−2) )( |β|2` + 2`|β|2(`−1) + `(`− 1)|β|2(`−2) )] × ( α2β∗2 + α∗2β2 )}−1 . (11) Để thuận tiện cho việc khảo sát chúng ta đặt α = ra exp (iϕa), β = rb exp (iϕb) và ϕ = ϕa−ϕb, đồng thời thay vào công thức (11). Bây giờ chúng ta khảo sát tính phản kết chùm của trạng thái này. KHẢO SÁT CÁC TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN CỦA TRẠNG THÁI HAI MODE... 51 Hình 4: Đồ thị khảo sát sự phụ thuộc của Rab(2, 2), Rab(3, 3), Rab(4, 4) vào biên độ rb và ϕ, với ra = r 2 b , ϕ = pi 2 . Các tham số được chọn theo thứ tự tương ứng với đường gạch gạch, đường chấm chấm và đường liền nét. Đồ thị ở hình 4 khảo sát tính chất phản kết chùm của trạng thái kết hợp thêm hai photon trong trường hợp ` = m và cùng một điều kiện khảo sát là ra = r2b , 0 ≤ rb ≤ 0.6, ϕ = pi/2 thì Rab(2, 2) < Rab(3, 3) < Rab(4, 4). Như vậy trong trường hợp ` = m đồng thời khi `, m càng lớn thì trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon thể hiện tính chất phản kết chùm càng yếu. Hình 5: Đồ thị khảo sát sự phụ thuộc của Rab(3, 2), Rab(4, 3), Rab(5, 4) vào biên độ rb và ϕ, với ra = r 2 b , ϕ = pi 2 . Các tham số được chọn theo thứ tự tương ứng với đường gạch gạch, đường chấm chấm và đường liền nét. Đồ thị ở hình 5 khảo sát tính phản kết chùm của trạng thái hai mode kết hợp thêm 52 NGUYỄN THANH PHÁP - TRƯƠNG MINH ĐỨC hai photon trong trường hợp ` 6= m với hiệu số (`−m) không đổi và trong cùng một điều kiện khảo sát là ra = r2b , 0 ≤ rb ≤ 0.6, ϕ = pi/2. Đồ thị cho thấy rằng khi l và m càng tăng đồng thời hiệu số (` −m) không đổi thì Rab(3, 2) < Rab(4, 3) < Rab(5, 4). Như vậy tính phản kết chùm của trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon thể hiện càng yếu khi hiệu số (`−m) không đổi và `, m tăng. 4. KẾT LUẬN Trong bài báo này, chúng tôi đã khảo sát tính chất nén tổng hai mode, nén hiệu hai mode, sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và tính phản kết chùm của trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon. Kết quả cho thấy trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon thể hiện tính chất nén tổng và nén hiệu hai mode mạnh hơn trạng thái hai mode kết hợp thêm một photon, tuy nhiên sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz thì lại yếu hơn. Đối với tính phản kết chùm chúng tôi đã đưa ra tham số tổng quát, tiến hành khảo sát cho các trường hợp ` = m và hiệu số (`−m) không đổi. Kết quả khảo sát cho thấy, trong cả hai trường hợp khi ` và m tăng thì tính phản kết chùm của trạng thái này càng yếu. Như vậy, khi thêm photon vào trạng thái đã làm cho một số tính chất phi cổ điển của trạng thái đó thể hiện mạnh hơn tuy nhiên một số tính chất lại yếu hơn. Vậy trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon là một trạng thái phi cổ điển. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Agarwal. G. S. and Tara. K. (1991), Physical Review A, 43, 492 . [2] Nguyễn Thị Thùy Dung, (2013), Luận văn thạc sĩ, Đại học Sư phạm, Đại học Huế. [3] Hillery. M. (1989), Physical Review A, 40, 3147. [4] Lee. C. T. (1989), Physical Review A, 41, 1569. [5] Trương Minh Đức (1999), Luận văn thạc sĩ, Khoa học Toán Lý, Hà Nội. [6] Agarwal. G. S. (1988), J. Opt. Soc. Am. B, 5, 1940. [7] Sivakumar. S. (1999), J. Phys. A: Math. Gen, 32, 3441. [8] Stoler. D. (1970), Phys. Rev. D, 1, 3217. [9] Sudarshan. E. C. G. (1963), Phys. Rev. Lett, 10, 277. KHẢO SÁT CÁC TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN CỦA TRẠNG THÁI HAI MODE... 53 Title: NONCLASSICAL PROPERTIES OF THE TWO-PHOTONADDED TWO-MODE COHERENT STATES Abstract: In this paper we study the nonclassical properties of the two-photon added two-mode coherent states. The obtained results show that in these states there exist sum and difference squeezing. The results also indicate that in the states there exist antibunch- ing and they violate Cauchy-Schwarz inequality. Compared to one-photon added two-mode coherent states, these states reveal sum and difference squeezing properties more strongly but violate Cauchy-Schwarz inequality more weakly. Keywords: added two-mode coherent states, Cauchy-Schwarz inequality NGUYỄN THANH PHÁP Học viên Cao học, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế PGS. TS. TRƯƠNG MINH ĐỨC Khoa Vật lý, Trung tâm Vật lý lý thuyết và Vật lý tính toán, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế