Giải bài toán thủy lực hỗn hợp bằng công nghệ mạng Nơron tế bào (Cellular Neural Network – CNN) - Vũ Đức Thái

Vũ Đức Thái Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 58(10): 45 - 49 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên GIẢI BÀI TOÁN THỦY LỰC HỖN HỢP BẰNG CÔNG NGHỆ MẠNG NƠ RON TẾ BÀO (CELLULAR NEURAL NETWORK – CNN) Vũ Đức Thái* Khoa Công nghệ thông tin – Đại học Thái Nguyên TÓM TẮT Công nghệ mạng nơ ron tế bào là một kiến trúc tính toán song song tốc độ cao có thể giải quyết những bài toán tính toán khoa học phức tạp mà máy tính PC khó có thể thực hiện hiệu quả. Bài toán thủy lực hỗn hợp (1D+2D) kết nối hệ thống thủy lực một chiều và nhiều chiều mô tả một vùng hồ, vùng vịnh với một số con sông có dòng chảy đổ vào. Mô hình toán học của bài toán này là hệ phương trình đạo hàm riêng phức tạp. Bài báo này giới thiệu việc ứng dụng mạng nơ ron tế bào vào việc giải hệ phương trình mô tả bài toán. Nội dung bài báo gồm 6 phần. Phần 1 giới thiệu; phần 2 nêu khái quát về CNN; phần 3 giới thiệu bài toán thủy lực hỗn hợp; phần 4 mô phỏng kết quả; phần cuối kết luận và đánh giá. Từ khóa: Phương trình Saint venant (1D+2D), mạng nơ ron tế bào, phương trình thủy lực hỗn hợp. * 1. GIỚI THIỆU Mạng nơ ron tế bào là một mô hình tính toán song song của ma trận các chip gần giống mạng nơ ron chỉ khác là liên kết giữa các chip là liên kết cục bộ. Mô hình toán học ổn định có thể thực thi trên các chíp công nghệ cao VLSI được L. O. Chua và L. Yang đưa ra năm 1988. Từ đó máy tính CNN-UM đã được chế tạo thử nghiệm và đưa ra thị trường từ năm 1993[1,2]. Chúng có thể xử lí được tín hiệu số hoặc tương tự, việc xử lí thông qua các Template (A, B, z) trong phương trình trạng thái. Với tốc độ và khả năng tính toán song song của CNN việc giải phương trình vi phân mô tả các quá trình lí, hóa cho ta kết quả trong thời gian rất nhanh (bằng thời gian quá độ của mạch điện) nên rất thích hợp với nhu cầu xử lí thời gian thực là những bài toán hiện nay máy tính PC không đáp ứng được. Bài báo này giới thiệu việc áp dụng CNN vào bài toán giải phương trình Saint venant 1D + 2D. * Vũ Đức Thái, Tel: 0985158998 , Email: vdcthai@gmail.com 2. CÔNG NGHỆ MẠNG NƠ RON TẾ BÀO Cấu trúc của CNN như trong hình 1. Mỗi tế bào chỉ liên kết với các tế bào láng giềng xác định bởi bán kính ảnh hưởng r, (r là số tự nhiên). Nếu r=1, hệ CNN có dạng 3x3 tế bào và có 8 láng giềng; r = 2 dạng 5x5 có 24 láng giềng; r = 3 dạng 7x7 có 48 láng giềng. Hình 1. (a) Cấu trúc ma trận các tế bào, hình vuông màu là tế bào hiện thời C(I,j), hình vuông trắng là các láng giềng C(k,l) ở đây có 8 láng giềng; hình tròn là các tế bào trong hệ; Vũ Đức Thái Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 58(10): 45 - 49 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (b) Cấu trúc của một tế bào và các mẫu (templates A,B,z) đưa vào xử lý. Phương trình toán học mô tả hệ CNN: 2.1. Phương trình trạng thái: (1) Trong đó xij ÎR, ykl ÎR, ukl ÎR và zij ÎR theo thứ tự được gọi là trạng thái, đầu ra, đầu vào và ngưỡng của cell C(i,j). A(i,j;k,l) và B(i,j;k,l) được gọi là các templates hồi tiếp và tiếp hợp. 2.2. Phương trình đầu ra (2) Như vậy giá trị của yij nằm trong khoảng [-1,1] 2.2. Trạng thái khởi tạo (sơ kiện) xij(0)=x0 ; với i = 1,...,M; j = 1,,N (3) 3. BÀI TOÁN THỦY LỰC HỖN HỢP 3.1. Bài toán thủy lực một chiều Bài toán kênh thủy lực một chiều nghiên cứu kênh thủy lực hở là một hệ thống động rất phức tạp, tính động của nó do vận tốc dòng chảy, hiệu ứng sóng cuộn tùy theo sự lồi lõm của bờ kênh và lòng kênh. Dòng nước chảy trong kênh do hai nguồn động lực: lực đẩy của đầu nguồn nước, lực gây ra bởi trọng lượng của nước do sự chênh lệch độ cao của đầu nguồn và cuối nguồn. Nghiên cứu về kênh hở cần giải quyết những vấn đề: - Từ số liệu đo được trong những thời điểm bất kỳ về tốc độ dòng chảy và độ cao mực nước trong kênh tại một số trí quan sát nào đó, từ đó ta tính toán nội suy cho mọi điểm cần xét trong suốt chiều dài dòng kênh. - Xác định được tối ưu số điểm quan sát trên dòng kênh mà vẫn đảm bảo xác định được yêu cầu đặt ra ở trên. Để điểu khiển được lưu lượng nước qua kênh ta quan tâm đến các yếu tố: tốc độ lưu lượng chảy Q (m3/s); độ cao tương đối của mực nước h (m). Hai yếu tố này phụ thuộc vào các biến không gian nghĩa là vị trí xét trên kênh, và thời gian là thời điểm xét. Vậy các đại lượng cần tìm Q(x,t) và h(x,t) là hàm của biến không gian và thời gian. Bài toán này đã được nghiên cứu và giải thành công bằng nhiều phương pháp [ 3, 4, 5, 6] 3.2. Bài toán thủy lực hai chiều Bài toán thủy lực hai chiều đã được nhiều người nghiên cứu xây dựng mô hình toán học và tìm các phương pháp giải. Bài toán này xét trong một vùng vịnh hữu hạn có ảnh hưởng của dòng nước chảy rối trong vịnh do các yếu tố như nhiệt độ, gió, sóng, dòng nước bên ngoài có chung biên với vùng ta đang xét, không xét đến điều kiện có dòng nước từ sông đổ ra vịnh. Các yếu tố cần biết là độ cao mực nước và vận tốc theo hai phương 0x, 0y trong hệ tọa độ 0xy của mọi điểm trong miền xét [7, 8, 9, 10]. Bài toán này được mô tả bằng hệ phương trình vi phân đạo hàm riêng Saint venant 2D với các biến hàm là: mực nước h(x,y,t); vận tốc dòng nước theo phương x: u(x,y,t); vận tốc theo phương y: v(x,y,t); 3.3. Bài toán hỗn hợp Trong một số trường hợp một vùng thủy lực như của sông tiếp giáp với biển; sông tiếp giáp với hồ nước, chúng ta cần nghiên cứu ảnh hưởng của dòng nước từ các sông đổ vào hồ, biển. Với vùng thủy lực lớn (như một vùng vịnh ven biển nào đó) kích thước khoảng 100x100 (km) thì lượng nước đổ từ sông vào không ảnh hưởng nhiều đến mực nước và vận tốc tại các điểm trong vùng. Do vậy ta có thể coi lượng nước đổ vào vịnh từ sông là bằng không. Ta chỉ quan tâm đến ảnh hưởng của nhiệt độ, gió, sóng, lực quay của trái đất đến dòng hải lưu trong vịnh để dự báo ảnh hưởng nguy hiểm đến tàu bè đi lại trong vịnh (như trong các trận giông, bão). Với một hồ nước có diện tích và thể tích chứa nước hữu hạn, lượng nước từ các sông đổ vào có ảnh hưởng đáng kể đến mực nước và vận tốc tại các điểm ven bờ. Ảnh hưởng này có thể gây nên hiệu ứng tràn, hoặc vỡ đập. ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 1 ( , ; , ) ( , ; , ) r r ij ij kl kl ij C k l S i j C k l S i j x C x Ai j k l y B i j k l u z t R Î Î ¶é ù =- + + +ê ú¶ë û å å |1| 2 1|1| 2 1)( --+== ijijijij xxxfy Vũ Đức Thái Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 58(10): 45 - 49 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Trong bài báo này, chúng ta xét bài toán với một hồ nước với giả thiết có một số nhánh sông đổ vào hồ, mỗi nhánh sông có phương trình mô tả như bài toán 1D, trong hồ chứa có phương trình mô tả dạng 2D. Tại cửa sông tiếp giáp với hồ có dạng phương trình 1D liên thông với phương trình 2D [11, 12, 13, 14]. Hồ nước có đập chắn kích thước giới hạn, có một số nhánh sông liên thông với hồ có nước chảy vào hồ. Mỗi nhánh sông có phương trình mô tả để tính toán được vận tốc dòng nước và chiều cao mực nước tại điểm giao với hồ. Mục đích bài toán là xác định mực nước tại các điểm ven hồ dưới ảnh hưởng của vận tốc và mực nước ở các nhánh sông, mực nước và vận tốc dòng chảy nội tại trong lòng hồ dưới tác dụng của nhiệt độ, gió, dòng chảy nội tại. Từ kết quả tính toán, có biện pháp dự báo tình hình biến động của mực nước trong hồ và đưa ra giải pháp phòng chống vỡ đập. Việc dự báo này cần kịp thời trên nhiều điểm quanh bờ hồ do đó cần tốc độ tính toán nhanh và khối lượng tính toán nhiều trong thời gian ngắn nhất là khi đang có mưa lũ xảy ra. .Hình 2. Mô hình thực tế của bài toán Tham số cần quan tâm là mực nước h và vận tốc dòng nước theo chiều tác dụng vào đập chắn ngăn nước quanh hồ (H. 2). Giả sử có N nhánh sông liên thông với hồ, xung quanh hồ có M điểm cần dự báo vận tốc và mực nước (H.3). Như vậy, phương trình mô tả bài toán có dạng ghép nối giữa bài toán 1D và bài toán 2D. Chúng ta xét phương trình mô tả cho một điểm, các điểm khác có phương trình mô tả tương tự với giá trị các tham số khác nhau. Hình 3. Mô hình liên kết giữa sông và hồ chứa Ở bài toán riêng 1D và 2D chúng ta coi như lưu lượng trao đổi bằng không, trong bài toán này chúng ta ghép nối hai vùng nên lưu lượng trao đổi là đại lượng Fs. Để giải bài toán này chúng ta có các phương án sau: 1. Ghép nối hai hệ phương trình vi phân thông qua Fs thành một hệ PDE, cách này dẫn đến một hệ phương trình cực kỳ phức tạp và khó giải quyết. 2. Tính riêng kết quả từng bài toán thông qua đại lượng Fs, nghĩa là tính bài toán 1D để biết được Fs sau đó thế vào bài toán 2D để tính các nghiệm của bài toán 2D. Quá trình tính toán này độ phức tạp không cao tuy vậy cũng cần thời gian tính toán khá lâu. Đây là phương pháp mà nhiều tác giả nghiên cứu giải quyết đã mô phỏng thành công trên máy PC. 3. Sử dụng mô hình CNN đa lớp, trong đó một lớp tính cho bài toán 1D, một lớp tính cho bài toán 2D truyền kết quả cho nhau để giải đồng thời bài toán hỗn hợp. Như vậy hệ CNN sẽ là hai lớp CNN 1D và ba lớp CNN 2D. Việc phân rã bài toán có thể kế thừa mô hình của bài toán riêng 1D, 2D. Trong bài này, chúng tôi trình bày phương án thứ (3), dùng hệ CNN tính toán song song cho hai hai vùng trong sông và trong hồ. Để giải quyết bài toán chúng ta xét một số giả thiết: - Dòng nước chảy từ sông vào hồ có vận tốc vs gặp điểm tiếp giáp sẽ phân tách thành nhiều chiều khác nhau, mỗi chiều có thành phần vận tốc cụ thể. Nhiều nhánh sông đổ vào hồ sẽ tạo ra dòng chảy hỗn loạn trong hồ. Kết hợp với dòng chảy nội tại của hồ tác Vũ Đức Thái Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 58(10): 45 - 49 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên dụng lên bờ đập là một vận tốc tổng hợp nào đó vh theo phương vuông góc với mặt cắt của đập, mà vận tốc này có ảnh hưởng đến sức bền của đập chắn (Hình 4) Hình 4. Mô hình dòng chảy trong hồ có liên kết với sông 4. GIẢI BÀI TOÁN THỦY LỰC BẰNG CÔNG NGHỆ CNN Phương trình mô tả bài toán 1D: (4) (5) Trong đó x là trục tọa độ theo chiều dài sông; h là chiều cao mực nước; b là tiết diện cắt ngang dòng chảy; Q là lưu lượng nước, Fs là nguồn nước vào/ra kênh; g là gia tốc trọng trường K là hệ số ma sát lòng sông; I (m) độ dốc của dòng chảy; J được tính theo công thức Manning-Strickler: với: và: Biến đổi phương trình (4), (5) và áp dụng phương pháp xác định các template của CNN ta được các template cho CNN: Lớp h: chọn 1hC = ; 1hR = ; Ah = [0 1 0]; z = 0. Lớp Q: chọn CQ = 1; RQ =1; BQ = kqqi[ 0 1 0] ; z=0; Áp dụng hệ CNN 1D tính giá trị h, Q theo các template trên tại điểm tiếp giáp với hồ, có vai trò như giá trị biên của bài toán 2D cho hồ nước. Hình 5. Mô hình phân tích dòng chảy trong hồ có liên kết với sông Trong hình 5 ta thấy khi dòng nước từ sông đổ vào hồ theo phương nào đó ta chiếu theo hệ tọa độ 0xy. Ví dụ có hai điểm (1,2) ta có các vận tốc v1x, v1y; v2x, v2y. Tại điểm A mà ta muốn xác định vận tốc và độ cao của nước trong hồ ảnh hưởng đến đập. Ta áp dụng cách tính toán như bài toán 2D nhưng chú ý rằng giá trị tại một số điểm trên biên được tính thông qua bài toán 1D (điểm đen trong lưới sai phân). Phương trình mô tả bài toán 2D: sFx txQ t txhb = ¶ ¶ + ¶ ¶ ),(),( 2( , )[ ] ( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , )( , ) ( , ) ( ( , )q Q x t Q x t h x tS x t gS x t t x x Q x tgIS x t gJS x t k q S x t ¶ ¶ ¶ + + - ¶ ¶ ¶ + = 3/2)( p sKsD = 2 ||),( D QQSQJ = 1 1[ 0 ]; 2 2 QhA b x b x = - - D D ][ b qB ih 010= ] 2 0 2 1 1 1 1 - - + + D - D = i i i iQ xhb Q xhb QA ] 2 )( 2 [ x gbhJIgb x gbhA iihQ D --- D = sFy vh x uh t h = ¶ ¶ + ¶ ¶ + ¶ ¶ Vũ Đức Thái Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 58(10): 45 - 49 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (6) (7) (8) Trong đó h là độ sâu cột nước; u,v là vận tốc dòng chảy theo phương x,y; ∆x, ∆y là bước lưới sai phân; K hệ số ma sát; sx; sy độ dốc theo phương x,y. 5. Mô phỏng kết quả Áp dụng mô hình tính toán trên CNN và mô phỏng bằng công cụ Matlab, ta tính được kết quả của bài toán như trong bảng sau: Bảng 1. Giá trị ban đầu của các điểm trong hồ (trên lưới sai phân), điểm màu xanh là điềm tiếp giáp có giá trị trội hơn so với các điểm khác: Bảng 2. Giá trị sau khi tính toán, điểm ta cần quan tâm là điểm màu vàng Như vậy từ vận tốc, độ cao của các con sông đổ vào hồ tùy theo phương của vận tốc ta phân tích thành hai thành phần vận tốc x,y tính toán cho bài toán trong hồ ta được kết quả là giá trị vận tốc theo hai chiều x,y cho từng điểm cần quan tâm. Kết quả cho thấy vận tốc theo chiều y tăng lên rõ rệt so với các điểm bình thường tại điểm biên cần xét trong hồ (3,34). Tương tự ta có thể xét cho bất kỳ điểm nào sau một thời gian t (chỉ trong đơn vị là giây) là thời gian tính toán của mạch. 6. KẾT LUẬN Như vậy, việc giải phương trình Saint venat 1D+2D trên CNN hoàn toàn khả thi, tuy vậy do khuôn khổ bài báo mới trình bày mô hình của CNN, chưa nêu rõ được cấu trúc phần cứng cũng như chương trình tính toán cụ thể mà chỉ đưa ra kết quả tính toán mô phỏng cho một ví dụ nhỏ. Từ kết quả này, chúng ta cũng có thể khẳng định tính đúng đắn của phương pháp giải. Dùng CNN giải phương các phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng có ưu thế nhất định về tốc độ, độ phức tạp tính toán. Chúng ta có thể thiết kế nhiều mô hình CNN cho từng bài toán cụ thể t rong thực tế . TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. Chua L. O., and L. Yang (1998) "Cellular Neural Networks: Theory", IEEE Trans. Circuits Syst. Vol.35. Page 1257. [2]. Roska T., L. O. Chua, D. Wolf, T. Kozek, R. Tetzlaff and F. Puffer (1995) “Simulating Nonlinear Waves and Partial Differential 22 2/1222 2 )( 2 )( hK vugu x sgh yh uv x hg x h u t u x +- ¶ ¶ -= ¶ ¶ + ¶ ¶ + ¶ ¶ + ¶ ¶ 22 2/1222 2 )( 2 )( hK vugu y s gh yh uv x hg y h v t v x +- ¶ ¶ -= ¶ ¶ + ¶ ¶ + ¶ ¶ + ¶ ¶ Vũ Đức Thái Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 58(10): 45 - 49 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Equatinos via CNN – Part I: Basic Techniques” IEEE Transactions on Circuits and System-I: Fundamental theory and applications. Vol.42, Page 807. [3]. Georges D., J.F. Dulhoste and G. Besancon (2002) “A note on feedback Linearizing Control for Open-Channel Hydraulic System” Conference on Control Application Glasgow, Scotland UK. [4]. Zhuan X., X. Xia (2002) “Model and control methodologies in open water flow dynamics: A survey” Pretoria, South Africa. [5]. Besancon G., J.F. Dulhoste and D. Georges (2001) “Nonlinear Observer Design for Water Level Control in Irrigation Canals” Proceedings of the 40th IEEE Conference on Decision and Control, Orlando, Florida USA. Vũ Đức Thái Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 58(10): 45 - 49 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên SUMMARY SOLVING SHALLOW WATER EQUATION (1D+2D) USING CELLULAR NEURAL NETWORK Vu Duc Thai* Faculty of Information Technology, Thai Nguyen University Cellular Neural Network is the parallel architecture that especially useful for computing complex scientific problem. The Shallow Water Equation (SWE) 1D+2D consists of set of partial Differential equations describes the system involving the lake, gulf connected with some rivers. This paper introduces the application CNN for solving SWE. It has 6 parts; Introduction; some short view of CNN; mathematical model of problem; analyzing and simulating; conclusion. Keywords: Cellular Neural Network, Shallow water equation. * Vu Duc Thai, Tel: 0985158998 ,Email: vdcthai@gmail.com