Các phương pháp tính truyền nhiệt - Bài toán biên phi tuyến

Điều kiện biên được mô tả bởi một phương trình vi phân phi tuyến gọi là điều kiện biên phi tuyến - Ví dụ: điều kiện biên loại 3, khi mặt vách tiếp xúc chất khí hoặc chân không, trao đổi nhiệt với môi trường chủ yếu bằng bức xạ, xác định nhờ định luật Stefan-Boltzmann, thì phương trình cân bằng nhiệt trên biên có dạng:

pdf64 trang | Chia sẻ: tlsuongmuoi | Lượt xem: 2006 | Lượt tải: 1download
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Các phương pháp tính truyền nhiệt - Bài toán biên phi tuyến, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
c x 2 +τ∂ ∂ρ F = ∫∫ λ=∂∂λ xxx dttdtxt = 2xt2 1)t(g λ+ So s¸nh hai tÝch ph©n cho thÊy hµm tÝch ph©n lµ: F= ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ∂ ∂+∂ ∂ 22 )( 2 1 x ttc λτρ Bµi to¸n biÕn ph©n t−¬ng øng víi bµi to¸n (t) lµ t×m hµm t = t(x,τ) sao cho t¹i thêi ®iÓm bÊt kú lµm lµm cùc tiÓu phiÕm hµm I = ∫ = ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ τ∂ ∂ρ+∂ ∂λ L 0x 2 2 tc) x t( 2 1 dx 6.4.3.Ph¸t biÓu phÇn tö h÷u h¹n (Finite Element Formulation) §Çu tiªn chia phiÕm hµm I thµnh tæng hai tÝch ph©n: I = Iλ+Ic víi Iλ = dx)x t( 2 1 2 L 0 ∫ ∂∂λ , Ic = dxtc21 2L 0 ∫ τ∂∂ρ 6.4.3.1. Ph©n ho¹ch c¸c phÇn tö h÷u h¹n TiÕp theo chia miÒn tÝch ph©n [0,L] ra E phÇn tö nhê M = E + 1 ®iÓm nót T¹i thêi ®iÓm τ bÊt kú, trong mçi phÇn tö e, ta coi nhiÖt ®é te thay ®æi tuyÕn tÝnh theo x tõ ti = t(xi) ®Õn tj = t(xj), tuy nhiªn ti vµ tj ch−a biÕt. Toµn bé t− t−ëng cña FEM lµ t×m c¸c nhiÖt ®é (t1, t2,...,ti,tj,...,tM) H45. FE formulation x 1 O t (1) x(2) (e) (E) x 2 x i x j x M i t2 ti tj tM te t1 1 2 i j M 87 sao cho phiÕm hµm I nhá nhÊt. PhiÕm hµm I thùc chÊt lµ sai sè cña phÐp xÊp xØ hµm t(x) bëi tËp gi¸ trÞ (t1, t2,...,ti,tj,...,tM) t¹i c¸c phÇn tö h÷u h¹n, so víi hµm t(x) chÝnh x¸c ch−a biÕt tháa m·n ph−¬ng tr×nh c©n b»ng nhiÖt 2 2 x ttc ∂ ∂λ−τ∂ ∂ρ = 0 . T¹i thêi ®iÓm bÊt kú, phiÕm hµm I lµ hµm cña M nhiÖt ®é nót I = I(t1, t2, ..., tM) nªn ®iÒu kiÖn cÇn ®Ó cùc tiÓu I lµ sù triÖt tiªu cña c¸c ®¹o hµm I lÇn l−ît theo mçi nhiÖt ®é nót ti. =∂ ∂ it I it I ∂ ∂ λ + i c t I ∂ ∂ = 0 , ∀i = 1÷ M §Þnh nghÜa ma trËn [t]  ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ M 2 1 t ... t t (1), th× ®iÒu kiÖn cùc tiÓu I lµ: = ][td dI ][td dIλ + ][td dIc = 0, trong ®ã ®Þnh nghÜa ][td dI  ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ M 2 1 t I ... t I t I BiÓu diÔn I nh− tæng c¸c Ie t¹i mçi phÇn tö e; I = ∑ = E 1e eI = ∑∑ == λ + E 1e e c E 1e e II víi dx) x t( 2 1I 2 x x e j i ∫ ∂∂λ=λ vµ dxtc21I 2 x x e c j i ∫ τ∂∂ρ= Chó ý: C¸c chØ sè e hiÓu lµ "cña phÇn tö e", kh«ng ph¶i sè mò. §Þnh nghÜa ma trËn (2x1) nhiÖt ®é nót cña ph©n tö e: [t]e  ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ j i t t (2) 88 vµ ma trËn (Mx2) ®Þnh vÞ phÇn tö e lµ: De  ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ 00 .. 10 01 .. 00 (3) ta cã: ]t[d dIλ = ∑ = λ E 1e e ]t[d dI = ∑ = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ ∂ ∂ E e j e i e t I t I 1 0 0 λ λ = ∑ = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ E 1e . 00 .. 10 01 .. 00 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ ∂ ∂ λ λ j e i e t I t I = ∑ = λ E 1e e e e ]t[d dI D T−¬ng tù cã: ][td dIc = ∑ = E e e e ce td dI D 1 ][ Nh− vËy, ®Ó cùc tiÓu I, ph¶i x¸c ®Þnh [t] sao cho: ]t[d dIλ = ∑ = λE 1e e e e ]t[d dI D + ∑ = E 1e e e ce ]t[d dI D = 0 6.4.3.2. M« tÈ hµm te: Gi¶ thiÕt t¹i thêi ®iÓm bÊt kú, nhiÖt ®é trong phÇn tö e thay ®æi nh− mét hµm tuyÕn tÝnh cña ti, tj vµ x (tøc lµ ®o¹n th¼ng qua xiti, xjtj), cho bëi: te = e2 e 1 ϕ+ϕ x= [1x] e 2 1 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ϕ ϕ  pT[ϕ]e , ë ®©y gäi ρT [1 x] (4), c¸c hÖ sè e2 e 1 ,ϕϕ x¸c ®Þnh theo: ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ϕ+ϕ= ϕ+ϕ= j e 2 e 1j i e 2 e 1i xt xt hay d¹ng ma trËn lµ: [t] e = e 2 1 j i x1 x1 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ϕ ϕ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡  Pe[ϕ]e Víi Pe  ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ j i x1 x1 (5). Tõ ®ã suy ra: [ϕ]e = Pe-1[t]e = Re[t]e víi Re Pe-1 = ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ −− 11 1 ij ij xx xx (6) lµ ma trËn nghÞch ®¶o cña Pe 6.4.3.3. TÝnh ]t[d dIλ = eE e e e 1 dID d[t] λ = ∑ : 1 . i j . M 89 Ta cã: ∫ ∂∂λ=λ ji x x 2 e e dx) x t( 2 1I = 2 )][( 2 ∫ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂ ∂j i x x eeT e tRp x λ dx = [ ] dxtRpj i x x eeT x e 2 )][ 2 ∫λ víi Txp  [ ] [ ]10x1x =∂∂ (7) - Ta sÏ ¸p dông quy t¾c ®¹o hµm cña hµm v« h−íng (tøc ma trËn (1x1) nh− lµ tÝch hai vect¬ )2x1( A )1x2( e]t[ ) theo ma trËn [t]e : ee e td d td tAd ][][ )][( = ([a1a2] )t t e j i ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ +∂ ∂ +∂ ∂ )tata( tj )tata( t j2i1 j2i1 i = ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 2 1 a a = AT Chó ý: Ký hiÖu AT hiÓu lµ chuyÓn vÞ cña ma trËn A, vµ quy t¾c chuyÓn vÞ tÝch (AB)T = BTAT (kh«ng giao ho¸n): - TÝnh e e ]t[d dIλ = 2 x x eeT xe e j i )]t[Rp( ]t[d d 2 ∫ λ dx= TeT x x x eeT x e RptRpj i )()][(2 2 ∫λ dx = )pR()]t[Rp( x ex x eeT x e Tj i ∫λ dx= ∫ j i Tx x eeT xx ee tRppR )][)((λ dx, v× Re, [t]e, px kh«ng phô thuéc vµo x nªn: ký hiÖu xij = (xj - xi) ta cã: ∫= j i Tx x eeT xx ee e e tRppRdx td dI ][. ][ λλ = .1 0 1 11 1 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ − − i j ij ij e x x x xλ .[01] eij ij ]t[ 11 xx x 1 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − − = e ij e ]t[ 11 11 x ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − −λ = ee ]t[K Víi Ke  ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − −λ 11 11 xij e (8) (®èi xøng) lµ ma trËn dÉn nhiÖt cña phÇn tö e. - Chó ý r»ng [t]e = ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ j i t t = ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 0..10.0 0..01.0 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ M j i t t t t1 = ]t[D Te ta cã: e eE 1e e ]t[d dID ]t[d dI λ = λ ∑= = ][ 1 tDKD Tee E e e∑ = = K[t] 90 Víi K lµ ma trËn vu«ng (MxM) ®èi xøng, gäi lµ ma trËn dÉn nhiÖt: K  Tee E 1e e DKD∑ = E e 1 0 0 . . 1 0 0 1 . . . . 0 0 = ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ∑ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 2221 1211 KK KK ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 0..10.0 0..01.0 =∑ = ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ E 1e 2221 1211 KK KK ji i j NÕu λe = const, ∀e xij = xj - xi = ∆x = const → K = E e 1x = λ ∆ ∑ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − 11 11 ji 6.4.3.4. TÝnh e e c E e ec td dID td dI ][][ 1 ∑ = = ta cã: ∫ τ∂∂= ji x x 2e e c dx )t( 2 1I = dx}]t[Rp{d d 2 )pc( j i x x 2eeT e ∫τ → e e c e dI ( C) d d[t] 2 d ρ= τ xj T e e T e T xi 2(p R [t] )(p R ) dx∫ = τρd )C( e T xj e T e e xi R pp R [t] dx∫ = =(ρC)e T xj e T e e xi d R pp dxR [t] d ⎧⎪⎨τ ⎪⎩ ∫ , ë ®©y: xj T xi pp dx∫ = [ ] xj xi 1 1.x dx x ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦∫ = xj 2 xi 1 x dx x x ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦∫ = 2 2 j i j i 2 2 3 3 j i j i 1(x x ) (x x ) 2 1 1(x x ) (x x ) 2 3 ⎡ ⎤− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦ = = xij j i 2 2 j i j j i i 11 (x x ) 2 1 1(x x ) (x x x x ) 2 3 ⎡ ⎤+⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥+ + +⎢ ⎥⎣ ⎦ . V× chØ [t]e phô thuéc thêi gian τ i j 91 nªn ta cã: e c e dI d[t] = (ρC)e j T i x e e T e x d[t]R pp dxR dτ∫ = =(ρC)e j ij i x 11 x x 1 −⎡ ⎤⎢ ⎥−⎣ ⎦ xij j i 2 2 j i j j i i 11 (x x ) 2 (x x ) (x x x x ) 2 3 ⎡ ⎤+⎢ ⎥⎢ ⎥+ + +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ x j i ij x x1 x 1 1 −⎡ ⎤⎢ ⎥−⎣ ⎦ t⎡ ⎤⎣ ⎦ & e = e ij( C) x 2 1 1 26 ρ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ t⎡ ⎤⎣ ⎦ & e = Ce t⎡ ⎤⎣ ⎦& e víi C =  e 2 1( C) xij ,(10) 1 26 ⎡ ⎤ρ ⎢ ⎥⎣ ⎦ lµ ma trËn nhiÖt dung phÇn tö e (®èi xøng). t⎡ ⎤⎣ ⎦& e = { }Te ed[t] d D [t]d d=τ τ = [ ]Te dD tdτ = TeD t⎡ ⎤⎣ ⎦& → VËy: cdI d[t] = T E e e e e 1 D C D = ∑ t⎡ ⎤⎣ ⎦& = C t⎡ ⎤⎣ ⎦& víi ®Þnh nghÜa: C Tee E 1e e DKD∑ = =∑ = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ E 1ª 00 .. .. 10 01 .. 00 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 2221 1211 CC CC ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 0..10.0 0..01.0 =∑ = ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ E 1e 2221 1211 CC CC ji j i ,(11) NÕu ρC)e = Const, ∀e x ij = ∆x = Const → C = 1 6 ρC∆x E e 1 i j 2 1 1 2= ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ∑ j i (lµ ma trËn ®èi xøng) 6.4.3.5. LËp hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n: Tãm l¹i, ®Ó cùc tiÓu I, th× [t] cÇn ph¶i x¸c ®Þnh theo: dI d[t] λ + cdI d[t] = K[t] + C[ t& ] = 0 hay C[ t& ] = -K[t] HÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n th−êng nµy ®−îc thiÕt lËp nhê m¸y tÝnh b»ng c¸ch ®−a vµo c¸c sè liÖu. VÝ dô khi E = 4 cã b¶ng sau (xem b¶ng 92 1). MT sÏ lÇn l−ît x¸c ®Þnh c¸c ma trËn K vµ C theo c«ng thøc (8), (9), (10), (11), ®−îc kÕt qu¶ nh− sau: K= x λ ∆ 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 10 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 10 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 ⎛ ⎞−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ − + − +⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠ = x λ ∆ 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 −⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦ t−¬ng tù cã C = 2 1 1 4 1 C x 1 4 1 6 1 4 1 1 2 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ρ ∆ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ Ma trËn K vµ C ®Òu ®èi xøng qua ®−êng chÐo chÝnh, do ®ã kh«ng cÇn ghi c¸c thµnh phÇn d−íi ®−êng chÐo. NÕu nh©n ph−¬ng tr×nh C[ t& ]=-K[t] víi sè 26L xλ∆ ta nhËn ®−îc hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n d¹ng ma trËn chuÈn ho¸ víi θ = o 1 o t t t t − − , F = 2CL λτ ρ , X = x L nh− sau: 2 1 1 4 1 1 4 1 1 4 1 1 2 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 1 2 3 2 4 5 d 6 dF ( X) θ⎡ ⎤⎢ ⎥θ⎢ ⎥⎢ ⎥θ = ∆⎢ ⎥θ⎢ ⎥⎢ ⎥θ⎣ ⎦ 1 2 3 4 5 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 θ− ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ θ− ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ − ⎥ θ⎢ ⎥⎢ ⎥− θ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥− θ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ,víi 2 6 ( X)∆ = 2 6 (1/ 4) = 96 B¶ng 1. C¸c sè liÖu Täa ®é nót Th«ng sè phÇn tö i xi e i j λ ρ C 1 0 1 1 2 λ ρ C 2 1 L 4 2 2 3 λ ρ C 3 1 L 2 3 3 4 λ ρ C 4 3 L 4 4 4 5 λ ρ C 5 L 93 6.4.4. Ph¸t biÓu sai ph©n Dïng phÐp sai ph©n thêi gian ®Ó chuyÓn thµnh hÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè: 6.4.4.1. Dïng phÐp xÊp xØ Euler: Thay C[ t& ]= -K[t] vµo c«ng thøc Euler: [t]k+1 = [t]k + [ t& ]k ∆τ cã: C[t]k+1 = C[t]k + C t⎡ ⎤⎣ ⎦& k∆τ = C[t]k - K[t]k ∆τ hay C[t]k+1 = (C - ∆τK) [t]k Kh¸c víi FDM, xÊp xØ Euler víi FEM lu«n cho 1 hÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè d¹ng Èn (®©y lµ chç bÊt tiÖn cña FEM). VÝ dô, khi E = 4, hÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè theo xÊp xØ Euler lµ: (khi chuÈn ho¸ nh− trªn vµ ®Æt p = 2 F ( X) ∆ ∆ ): 2 1 4 1 1 4 1 2 1 4 1 1 2 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 1 2 3 4 5 k 1+ θ⎡ ⎤⎢ ⎥θ⎢ ⎥⎢ ⎥θ⎢ ⎥θ⎢ ⎥⎢ ⎥θ⎣ ⎦ = (2 6p) (1 6p) (4 12p)(1 6p) (1 6p)(4 12p)(1 6p) (1 2p) (1 6p)(4 12p)(1 6p) (1 6p)(2 6p) − +⎡ ⎤⎢ ⎥− +⎢ ⎥⎢ ⎥+ − +⎢ ⎥+ + − +⎢ ⎥⎢ ⎥+ −⎣ ⎦ 1 2 3 4 5 k θ⎡ ⎤⎢ ⎥θ⎢ ⎥⎢ ⎥θ⎢ ⎥θ⎢ ⎥⎢ ⎥θ⎣ ⎦ Theo §KB t(0,τ) = to → θ1 (0, F) = 0→ HÖ ph−¬ng tr×nh cã d¹ng nh− trong khung trªn, bá Èn sè θ1. HÖ nµy gi¶i theo ®iÒu kiÖn ®Çu θ(X,0) = 1. §iÒu kiÖn chän ∆τ ®Ó æn ®Þnh nghiÖm lµ (2 - 6p) > 0 → p < 1 3 → ∆F < 1 3 21 1 4 48 ⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠ , tøc lµ 48 1 x a 2 <∆ τ∆ hay a48 x 2∆<τ∆ So víi FDM, FEM cã 2 nh−îc ®iÓm: HÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè lu«n ë d¹ng Èn, giíi h¹n chän ∆τ nhá h¬n. Chó ý: NÕu cho §KB lo¹i 1 t¹i x = 0 lµ θ1 = θ(0, F) = θo ≠ 0, th× cÇn söa ®æi ma trËn sao cho c¸c ma trËn vu«ng kh«ng mÊt tÝnh ®èi xøng. Ch¼ng h¹n, cã thÓ chØnh theo s¬ ®å sau: 1 (1+6p) 94 11 12 21 a a a ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 1 2 k 1 . . . + θ⎡ ⎤⎢ ⎥θ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ = 11 12 21 b b b ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 1 2 k . . . θ⎡ ⎤⎢ ⎥θ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ + 21 o 0 b . . . ⎡ ⎤⎢ ⎥θ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ - 21 o 0 a . . . ⎡ ⎤⎢ ⎥θ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ VÝ dô, hÖ ph−¬ng tr×nh trong khung nãi trªn cã thÓ viÕt (khi θ1= 0) 1 0 4 1 4 1 (DX) 4 1 2 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 1 2 3 4 5 k 1+ θ⎡ ⎤⎢ ⎥θ⎢ ⎥⎢ ⎥θ⎢ ⎥θ⎢ ⎥⎢ ⎥θ⎣ ⎦ = 1 0 (4 12p)(1 6p) (4 12p)(1 6p) (4 12p)(1 6p) (DX) (2 6p) ⎡ ⎤⎢ ⎥− +⎢ ⎥⎢ ⎥− +⎢ ⎥− +⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦ 2 3 4 5 k 0⎡ ⎤⎢ ⎥θ⎢ ⎥⎢ ⎥θ⎢ ⎥θ⎢ ⎥⎢ ⎥θ⎣ ⎦ 6.4.4.2. NÕu dïng phÐp xÊp xØ Crank-Nicolson, theo c«ng thøc: [t]k+1 = [t]k + 2 ∆τ ( t⎡ ⎤⎣ ⎦& k + t⎡ ⎤⎣ ⎦& k+1) → Thay vµo ph¸t biÓu biÕn ph©n C t⎡ ⎤⎣ ⎦& = -K[t] ta cã: C[t]k+1 = C[t]k + 2 ∆τ (C t⎡ ⎤⎣ ⎦& k + C t⎡ ⎤⎣ ⎦& k+1) = C[t]k + 2 ∆τ (-K[t]k - K[t]k+1) hay (C + 2 ∆τK)[t]k+1 = (C - 2 ∆τK)[t]k Sau khi chuÈn ho¸, thay θ1 = 0, hÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè cã d¹ng: 1 0 (4 6p)(1 3p) (4 6p)(1 3p) (4 6p)(1 3p) (sym) 2 3p ⎡ ⎤⎢ ⎥+ −⎢ ⎥⎢ ⎥+ −⎢ ⎥+ −⎢ ⎥⎢ ⎥+⎣ ⎦ 1 2 3 4 5 k 1+ θ⎡ ⎤⎢ ⎥θ⎢ ⎥⎢ ⎥θ⎢ ⎥θ⎢ ⎥⎢ ⎥θ⎣ ⎦ = 1 0 (4 6p)(1 3p) (4 6p)(1 3p) (4 6p)(1 3p) (sym) (2 3p) ⎡ ⎤⎢ ⎥− +⎢ ⎥⎢ ⎥− +⎢ ⎥− +⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦ 2 3 4 5 k 0⎡ ⎤⎢ ⎥θ⎢ ⎥⎢ ⎥θ⎢ ⎥θ⎢ ⎥⎢ ⎥θ⎣ ⎦ HÖ nµy cã thÓ gi¶i b»ng ph−¬ng ph¸p khö Gauss, b¾t ®Çu tõ ®iÒu kiÖn ®Çu θ (X, 0) = i o i o t t t t − − = 1 Khi sè phÇn tö M↑, nghiÖm cµng chÝnh x¸c Víi §KB lo¹i W2 (≠ 0) vµ W3, bµi to¸n cã thªm c¸c tÝch ph©n trªn biªn, gi¶i t−¬ng tù nh− vÝ dô sau. 01 0 01 0 θ0 95 H46. Bµi to¸n t(x, τ) W2/W3 O t (1) x(2) (3) (4) x1 x3 x4 Lx2 α ρ λct = tτ xx tf q x1 x2 x3 x4 x5 L 6.5. Bµi to¸n biªn T§N W2 + W3 6.5.1. Ph¸t biÓu vµ m« h×nh: T×m t(x,τ) cho bëi hÖ ph−¬ng tr×nh (t) nh− sau: [ ] xx x x f i Ct t qt (0, ) (t) t (L, ) t(L, ) t t(x,0) t τρ = λ⎧⎪⎪ τ =⎪ −λ⎨ α⎪ τ = τ −⎪ −λ⎪ =⎩ 6.5.2. Ph¸t biÓu biÕn ph©n: So s¸nh ph−¬ng tr×nh Euler-lagrange ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂=∂ ∂ tx F xt F víi c¸c ph−¬ng tr×nh cña hÖ (t) ta cã: - Víi c¸c nót trong, ph−¬ng tr×nh ρCtτ = λtxx t−¬ng øng víi F = ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂λ+τ∂ ∂ρ 22 x ttC 2 1 - T¹i x = 0, nót 1 cã biªn W2 víi q = x t1 ∂ ∂λ− , suy ra q t F =∂ ∂ ∫ ==→ 2w 1qtqdtFq - T¹i x = L, nót M cã biªn W3 víi M f M(t t ) ( t )x ∂α − = −λ∂ , suy ra: 3 2 M f M f M f M w F (t t ) F (t t )dt (t 2t t ) t 2α ∂ α= α − → = α − = −∂ ∫ . Do ®ã ViÖc gi¶i bµi to¸n (t) t−¬ng øng víi viÖc t×m hµm t(x, τ) lµm cùc tiÓu phiÕm hµm sau: I = 2 2L x 0 1 t tC dx 2 x= ⎡ ⎤∂ ∂⎛ ⎞λ + ρ⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂τ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫ + )tt2t(2 1 Mf 2 M −α + qt1 96 §Æt I = Iλ + Ic + Iα + Iq, trong ®ã: Iλ , Ic gièng nh− bµi to¸n (6.4) Iα = 2M f M(t 2t t )2 α − vµ Iq = qt1 víi t1 = t(0,τ) vµ tM = t(L,τ). 6.5.3. Ph¸t biÓu FEM: - Chia ®o¹n (0 ÷ L) ra E ph©n tö nh− h×nh 45, ph©n tÝch nh− bµi (2.1): - §iÒu kiÖn cùc tiÓu I lµ [ ] dI d t = 0 hay: [ ] [ ] [ ] [ ] qc dIdI dI dI d t d t d t d t λ α+ + + = 0, trong ®ã [ ] dI d t λ = K[t], [ ]c dI d t = C t⎡ ⎤⎣ ⎦& , cÇn tÝnh: - TÝnh [ ] dI d t α , víi Iα 2M f M(t 2t t ) 2 α= − lµ hµm phô thuéc nhiÖt ®é nót tM cña phÇn tö E ≡ 4 trªn biªn to¶ nhiÖt. §Þnh nghÜa ma trËn hµng (1xM) cã d¹ng dT∆ [00.......01M] (M ph©n tö) V× TM = [00..01] 1 2 M t t . . t ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ = dT[t], nªn ta cã: [ ] dI d t α = [ ] d d t [ ] [ ]T 2 Tf(d t ) t (d t )2 α⎡ ⎤− α⎢ ⎥⎣ ⎦ = 2 α 2(dT[t])d - αtfd, v× dT[t] = v« h−íng → ho¸n vÞ dT[t] vµ d ta cã: [ ] dI d t α = 2 α 2ddT[t] - αtfd → tøc lµ: 97 [ ] dI d t α = α ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ 1 0 . 0 0 [00..01][t] - α ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ft 0 . 0 0 ∆ αH [t] - α[tf] Víi Hα ∆ M0 00 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ α vµ [tf] = Mf t . 0 0 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ - TÝnh [ ] qdI d t , víi Iq = I [t(x = 0, τ)] = qt1 (1 phÇn tö) Gäi bT∆ [10...0] th× cã t1 = [10...0] 1 2 M t t . . t ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ = bT [t] → [ ] qdI d t = [ ] d d t (q(bT[t])) = qb = q 0 . 0 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ∆ [q] - §K cùc tiÓu I lµ chän [t] tho¶ m·n hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 1 sau: [ ] dI d t = K[t] + C t⎡ ⎤⎣ ⎦& + αH[t] - α[tf] + [q] = 0 hay C t⎡ ⎤⎣ ⎦& = - (K + αH)[t] + α[tf] - [q] 6.5.4. Ph¸t biÓu sai ph©n (theo Euler): Theo [t]k+1 = [t]k + ∆τ t⎡ ⎤⎣ ⎦& k cã: C[t]k+1 = C[t]k + ∆τ.C t⎡ ⎤⎣ ⎦& k → C[t]k+1 = C[t]k - ∆τ(K + αH)[t]k + ∆τα[tf] - [q]∆τ → 98 6p C[t]k+1 = [C - ∆τ(K + αH)[t]k + α∆τ[tf] - ∆τ[q] Khi ρ, C, λ kh«ng ®æi, thay C = 1 6 ρC∆x∑ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡E 21 12 ∆ 1 6 ρC∆xC' vµ K = Error!∑ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − −E 11 11 ∆ x λ ∆ K ' vµo ph−¬ng tr×nh trªn, ta thu ®−îc: 1 6 ρC∆xC'[t]k+1= 1 C xC' K ' H6 x ∆τλ⎡ ⎤ρ ∆ − − ∆τα⎢ ⎥∆⎣ ⎦ [t]k+α∆τ[tf]-∆τ[q]→ C'[t]k+1 = 2 6 6C' K ' H C xC x ⎡ ⎤∆τλ ∆τα− −⎢ ⎥ρ ∆ρ ∆⎢ ⎥⎣ ⎦ [t]k + 6 C x α∆τ ρ ∆ [tf] - 6 C x ∆τ ρ ∆ [q] → Thay ρC = a λ cã: C'[t]k+1 = 2 2 6a 6a xC' K ' H x x ⎡ ⎤∆τ ∆τ α∆⎢ ⎥− − λ⎢ ⎥∆ ∆⎣ ⎦ [t]k + 2 6a x ∆τ ∆ . xα∆ λ [tf] - 2 6a x ∆τ ∆ . x∆ λ [q]. §Æt p ∆ 2 a x ∆τ ∆ , B ∆ xα∆λ , ta thu ®−îc ph−¬ng tr×nh ®¹i sè lµ: C'[t]k+1 = [C' - 6pK' - 6pBH][t]k + 6pB[tf] - 6p x∆ λ [q] → Cô thÓ, hÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè d¹ng ma trËn cña bµi to¸n (6.5.1) lµ: 2 1 1 4 1 1 4 1 1 4 1 1 2 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 1 2 3 4 5 k 1 t t t t t + ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ = (2 6p)(1 6p) (4 12p)(1 6p) (4 12p)(1 6p) (4 12p)(1 6p) (Sym) (2 6p 6pB) − +⎡ ⎤⎢ ⎥− +⎢ ⎥⎢ ⎥− +⎢ ⎥− +⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦ 1 2 3 4 5 k t t t t t ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ + f x q 0 0 0 Bt −∆⎡ ⎤⎢ ⎥λ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ §iÒu kiÖn æn ®Þnh nghiÖm lµ: p < 1 3(1 B)+ hay ∆τ < 2x 3a(1 B) ∆ + 99 6.6. Ph−¬ng ph¸p phÇn tö h÷u h¹n gi¶i bµi to¸n kh«ng æn ®Þnh 2 chiÒu t(x, y,τ ) víi biªn c« lËp 6.6.1. Ph¸t biÓu m« h×nh: T×m t(x, y, τ) cho bëi hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n sau: ow 1 1 o tC div( gradt) gradt t 0(t) t(M w , ) t (x, y, ) t(x, y,0) t (x, y) ∂⎧ρ = λ⎪ ∂τ⎪⎪λ =⎨⎪ ∈ τ = τ⎪ =⎪⎩ uur ∀(x, y) ∈ miÒn D cã biªn d¹ng tuú ý, víi W0 ®−îc c¸ch nhiÖt, W1 cã nhiÖt ®é thay ®æi theo luËt cho tr−íc, 1w t = t1 (x, y, τ), vµ nhiÖt ®é ban ®Çu ph©n bè theo luËt t|τ = 0 = to (x, y) 6.6.2. Ph¸t biÓu biÕn ph©n: ChuyÓn bµi to¸n (t) thµnh bµi to¸n biÕn ph©n t−¬ng øng: * T×m hµm tÝch ph©n F b»ng c¸ch so s¸nh 2 ph−¬ng tr×nh vi ph©n: x y F F F 0 t x t y t ⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂− − =⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (Ph−¬ng tr×nh Euler-Lagrange) t t tC 0 x x y y ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ρ − λ − λ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂τ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (Ph−¬ng tr×nh vi ph©n DN) - TÝch ph©n c¸c ®¹o hµm cña F theo t, tx, ty: F tC t ∂ ∂= ρ∂ ∂τ → F = 2 x y t 1C dt C t g(t ) h(t ) 2 ∂ ∂ρ = ρ + +∂τ ∂τ∫ x F t t x ∂ ∂= λ∂ ∂ → F = 2 x y t 1 tdt f (t) h(t ) x 2 x ∂ ∂⎛ ⎞λ = + λ +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠∫ H47. BT t(x, y, τ) W0,W1 x t (x,y, )1 t(x,y,o)=t (x,y)0 D W0 gradtW =00 τ ρCt =div( gradt)τ λ W1 y t1(x,y,τ) x 100 y F t t y ∂ ∂= λ∂ ∂ → F = 2 y x t 1 tdt f (t) g(t ) y 2 y ⎛ ⎞∂ ∂λ = + + λ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠∫ - §ång nhÊt c¸c biÓu thøc cña F, nhËn ®−îc: F = 2221 t t tC 2 x y ⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎛ ⎞⎢ ⎥ρ + λ + λ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂τ ∂ ∂⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ * Bµi to¸n (t) theo quan ®iÓm biÕn ph©n, lµ t×m hµm t(x, y, τ) sao cho t¹i mçi thêi ®iÓm bÊt kú τ = const, lµm cùc tiÓu phiÕm hµm I[t] = x y D F(t, t , t )dxdy∫∫ = 2 2 2x y D 1 C t (t t ) dxdy 2 ∂⎡ ⎤ρ + λ +⎢ ⎥∂τ⎣ ⎦∫∫ , tøc lµ lµm cho biÕn ph©n δI[t] = 0 6.6.3. Ph¸t biÓu theo phÇn tö h÷u h¹n: EM formulation lµ c¸ch m« t¶ ®iÒu kiÖn δI[t] = 0 cho tËp c¸c nhiÖt ®é nót [t] cña c¸c phÇn tö h÷u h¹n e ∈ D. 6.6.3.1. Chia miÒn tÝch ph©n D ra E phÇn tö nhá h÷u h¹n, d¹ng ∆, bëi M nót. §¸nh sè phÇn tö tõ 1 ÷ E, lËp b¶ng ®Þa chØ nót (x, y)i,j,k t−¬ng øng phÇn tö ei,j,k vµ c¸c th«ng sè ρ, C, λ cña nã. (Xem h×nh 48) 6.6.3.2. X¸c ®Þnh hµm ph©n bè nhiÖt ®é te trong mçi phÇn tö e, b»ng c¸ch gi¶ thiÕt r»ng ë 1 thêi ®iÓm bÊt kú, hµm te lµ hµm tuyÕn tÝnh cña x, y vµ ti, tj, tk, tøc lµ: H48. C¸c phÇn tö e trªn miÒn D x o y W1 W0 q=0 W0 xi xj xk j i ky y k i D c 101 [ ] [ ] e 1 ee e e e T 1 2 3 2 3 e e e i 1 2 i 3 i e e e j 1 2 j 3 j e e e k 1 2 k 3 k t x y 1xy p t x y t x y t x y ⎧ ϕ⎡ ⎤⎪ ⎢ ⎥= ϕ + ϕ + ϕ = ϕ ϕ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎢ ⎥ϕ⎣ ⎦⎪⎨ = ϕ + ϕ + ϕ⎪⎪ = ϕ + ϕ + ϕ⎪⎪ = ϕ + ϕ + ϕ⎩ hÖ nµy cã d¹ng ma trËn nh− sau:[t]e ∆ i j k t t t ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ = i i j j k k 1 x y 1 x y 1 x y ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ e 1 2 q ⎡ ⎤ϕ⎢ ⎥ϕ⎢ ⎥⎢ ⎥ϕ⎣ ⎦ Xe [ϕ]e Suy ra [ϕ]e = 1eX − [t]e ∆ Re [t]e Víi Re ∆ 1eX − lµ ma trËn nghÞch ®¶o cña Xe, b»ng: Re = j k k j k i i k i j j i jk ik ij jk ik ij (x y x y )(x y x y )(x y x y ) y y y x x x ⎡ ⎤− − −⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦ x ij jk ik ij 1 x y x y− víi ký hiÖu xij = xj - xi, yjk = yk - yj, v.v... VËy ph©n bè nhiÖt ®é trong phÇn tö e lµ hµm tuyÕn tÝnh d¹ng: te = pTRe [t]e - ý nghÜa h×nh häc: te m« t¶ 1 "viªn ngãi" ph¼ng lîp d−íi "m¸i nhµ" cong m« t¶ bëi hµm t(x, y, τ = const) chÝnh x¸c cña hÖ ph−¬ng tr×nh (t), cã ®Ønh ®i qua c¸c "cét" nhiÖt ®é ti, tj, tk, dùng trªn c¸c ®Ønh cña"viªn g¹ch hoa" e dïng ®Ó l¸t "nÒn nhµ" D. Khe hë gi÷a c¸c c¹nh vµ mÆt viªn ngãi tíi m¸i cong m« t¶ biÕn ph©n δte trong ph¹m vi phÇn tö e, ®ã lµ sai sè cña phÐp xÊp xØ trong e. BiÕn ph©n δI lµ phÇn n¨ng l−îng tù do d− ra so víi ph−¬ng tr×nh c©n b»ng nhiÖt chÝnh x¸c, cã sè vµ H49. §Ó t×m hµm te trong phÇn tö e. o x y t t(x,y, =c )tτ ti tj tk tδ yi yj yk xi xj xk i j ke D ∆ 102 d− b»ng 0 (NhËn xÐt riªng cña t¸c gi¶). Do ®ã, khi max(e) cµng nhá, E cµng lín, th× nghiÖm t cµng chÝnh x¸c. 6.6.3.3. XÊp xØ tÝch ph©n: BiÓu diÔn phiÕm hµm I nh− tæng c¸c tÝch ph©n trªn mçi phÇn tö e khi e = 1 ÷ E I = E e e 1 I = ∑ = E e e 1 Iλ = ∑ + E ec e 1 I = ∑ víi eIλ = 2 2e e e 1 t t dxdy 2 x y ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂⎢ ⎥λ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ∫∫ , ecI = 2e D 1 tC dxdy 2 ∂ρ ∂τ∫∫ V× eIλ , ecI lµ hµm cña ti, tj, tk nªn I lµ hµm cña M nhiÖt ®é nót: I = I (t1, t2, ....., tM) vµ ®iÒu kiÖn cùc tiÓu I lµ: [ ] dI d t = 0 hay [ ] eE e 1 dI d t λ = ∑ + [ ] eE c e 1 dI d t= ∑ = 0 víi [t] = 1 2 M t t . t ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ §Þnh nghÜa (Mx3) ma trËn chuyÓn De ∆ 0 0 0 . . . 1 0 0 01 0 0 01 . . . 0 0 0 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ th× ®iÒu kiÖn cùc tiÓu cña I lµ: [ ] eE e e e 1 dID d t λ = ∑ + [ ] eE e c e e 1 dID d t= ∑ = 0 i j k M 103 6.6.3.4. TÝnh [ ] e e dI d t λ : Theo ®Þnh nghÜa eIλ vµ d¹ng te cã: eIλ= 2 2e e e 1 t t dxdy 2 x y ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂⎢ ⎥λ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ∫∫ = [ ] [ ] e e eT e 2 T e 2 x y e (p R t ) (p R t ) dxdy 2 λ ⎡ ⎤+⎣ ⎦∫∫ → [ ] e e dI d t λ = [ ] [ ]e e eT e T e T T e T e Tx x y y e 2(p R t )(p R ) 2(p R t )(p R ) dxdy 2 λ ⎡ ⎤+⎣ ⎦∫∫ = [ ]T ee e T T ex x y y e R (p p p p )R t dxdyλ +∫∫ = [ ]T ee e T T ex x y y e R (p p p p )dxdyR tλ +∫∫ , ë ®©y cã T x xp p + T y yp p = 0 1 0 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ [0 1 0] + 0 0 1 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ [0 0 1] = 0 0 0 0 1 0 0 0 1 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ kh«ng phô thuéc x, y nªn cã: e 0 0 0 0 1 0 dxdy 0 0 1 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫∫ = Se 0 0 0 0 1 0 0 0 1 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ víi Se = e 1 det X 2 lµ diÖn tÝch tam gi¸c e, Se = ij jk jk ij 1 x y x y 2 − → §Æt Ke∆ Te e eR Sλ 0 0 0 0 1 0 0 0 1 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ Re = = e e ij jk jk ij S x y x y λ − 2 2 jk jk ik jk ik jk ij jk ij jk 2 2 ik ik ij ik ij ik 2 2 ij ij (x y ) (x x y y )(x y y y ) (x y ) (x x y y ) (Sym) (x y ) ⎡ ⎤+ − + +⎢ ⎥⎢ ⎥+ − +⎢ ⎥⎢ ⎥+⎣ ⎦ th× cã: 104 [ ] e e dI d t λ = Ke[t]e. V× [t]e = TeD [t]e nªn: [ ] dI d t λ = TE e e e e 1 D K D = ∑ [t]= K[t] víi ®Þnh nghÜa: K∆ T E e e e e 1 D K D = ∑ =∑ 0 0 0 . . . 1 0 0 0 1 0 0 0 1 . . . 0 0 0 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 11 12 13 21 22 23 31 32 33 K K K K K K K K K ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 0.100.0 0.010.0 0.001.0 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ = ∑ = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ E 1e 333231 232221 131211 KKK KKK KKK kji M k j i lµ ma trËn dÉn nhiÖt, lµ ma trËn (M x M) ®èi xøng 6.6.3.5.TÝnh [ ]c dI d t : Cã ecI = 2e D 1 tC dxdy 2 ∂ρ ∂τ∫∫ = [ ] e eT e 2 e ( C) d (p R t ) dxdy 2 d ρ τ ∫∫ → [ ] e c e dI d t = [ ]e eT e T e T e ( C) d 2(p R t )(p R ) dxdy 2 d ρ τ ∫∫ = [ ]ee T T ee e d( C) (R p)(p R t )dxdy d ρ τ ∫∫ = [ ] T ee e T e e d( C) R pp dxdyR t d ⎡ ⎤ρ ⎢ ⎥τ ⎣ ⎦∫∫ ë ®©y tÝch ph©n Ve = T e pp dxdy∫∫ ®−îc tÝnh theo to¹ ®é träng t©m tam gi¸c e lµ G i j k G i j k 1x (x x x ) 3 1y (y y y ) 3 ⎧ = + +⎪⎪⎨⎪ = + +⎪⎩ nh− sau: 105 Ve ∆ T e pp dxdy∫∫ = [ ] e 1 x 1 x y dxdy y ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫∫ = 2 e 2 1 x y x x xy dxdy y xy y ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫∫ = = Se G G 3 3 2 2 2 n G G n G n G G n 1 n 1 3 2 n G G n 1 1 x y 1 1(x x ) x (x x )(y y ) y 12 12 1 (y y ) y 12 = = = ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + − − +⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤− +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ∑ ∑ ∑ V× Re vµ Ve kh«ng phô thuéc thêi gian τ, nªn: [ ] e c e dI d t = [ ]T ee e e e d( C) R V R t d ρ τ ∆ C e[ ]et& , víi ®Þnh nghÜa Ce ∆ Te e e e( C) R V Rρ = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ 333231 232221 131211 KKK KKK KKK kji (cô thÓ tù tÝnh) V× [ ]et& = TeD [ ]et& nªn cã: [ ]c dI d t = [ ] eE e c e e 1 dID d t= ∑ = [ ]E ee e e 1 D C t = ∑ & = [ ]TE e e e e 1 D C D t = ∑ & = C[ ]t& , víi C ∆ T E e e e e 1 D C D = ∑ = = E e 1= ∑ 0 0 0 . . . 1 0 0 0 1 0 0 0 1 . . . 0 0 0 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 11 12 13 21 22 23 31 32 33 C C C C C C C C C ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 0.100.0 0.010.0 0.001.0 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ =∑ = E 1e ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ 333231 232221 131211 CCC CCC CCC mkji gäi lµ ma trËn nhiÖt dung, lµ (M x M) ma trËn ®èi xøng. (®èi xøng) i j k M 106 Ph¸t biÓu phÇn tö h÷u h¹n cho kÕt qu¶ lµ: [ ] dI d t = K[t] + C[ ]t& = 0 hay C d dτ [t] = -K[t] §ã lµ hÖ M ph−¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 1 cña c¸c nhiÖt ®é nót. 6.6.4. Ph¸t biÓu sai ph©n: * NÕu sai ph©n theo ph−¬ng ph¸p Euler, [t]k+1 = [t]k + ∆τ[t]k , sÏ ®−îc hÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè M Èn cã d¹ng: C [t]k+1 = C[t]k - ∆τK[t]k = (C - ∆τK)[t]k HÖ ph−¬ng tr×nh d¹ng Èn C [t]k+1 = (C - ∆τK)[t]k ®−îc gi¶i tõ ®iÒu kiÖn ®Çu t (x, y, 0) = to (x, y), b»ng c¸ch thay [t]k=0 = [to(i∆x, j∆y)] vµo C[t]1 = (C - ∆τK)[t]o råi tÝnh [t]1, sau ®ã thay [t]1 vµo tÝnh [t]2, .v.v. 6.6.5. VÝ dô ¸p dông cô thÓ: Ta sÏ gi¶i bµi to¸n kh«ng æn ®Þnh 2 chiÒu víi biªn W20, W1 cho bëi hÖ ph−¬ng tr×nh sau ®©y: (t) 1 o tC div( gradt) gradt(0, y, ) 0 t(x,0, ) t (x, ) grad t(L, y, ) 0 3Lgrad(x, , ) 0 2 t(x, y,0) t (x, y) 0 x L D 0 y 1,5L ⎧⎪ ∂⎪ρ = λ∂τ⎪⎪λ τ =⎪ τ = τ⎪⎪λ τ =⎨⎪⎪λ τ =⎪⎪ =⎪ ≤ ≤⎧⎪ ⎨⎪ ≤ ≤⎩⎩ uur 1 2 3 4 7 10 5 8 11 6 9 12 0 0 x 0 L L L 2 L 2 L 3 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 H50. Ph©n ho¹ch m¹ng phÇn tö vµ nót cho BT(6.6.5) 1) Ph©n chia D ra 12 phÇn tö bëi 12 nót nh− trªn. (Chó ý: phÇn tö d¹ng  chÝnh x¸c h¬n , v× I cùc tiÓu h¬n). §¸nh sè phÇn tö vµ nót, theo ph−¬ng cã sè nót Ýt tr−íc. 2) LËp b¶ng th«ng tin vÒ täa ®é nót vµ c¸c th«ng sè cña phÇn tö (thø tù i j k trong mçi phÇn tö chän sao cho i < j < k ®Ó ma trËn ®èi 107 xøng). B¶ng nµy cã d¹ng nh− b¶ng 2 NÕu λ, ρ, C cho ë d¹ng ϕ = f(x, y) th× lÊy ϕe = f i j k i j k1 1(x x x ), (y y y )3 3 ⎡ ⎤+ + + +⎢ ⎥⎣ ⎦ 3) TÝnh Ke vµ K theo c¸c c«ng thøc ë môc (6.6.3.4) TÝnh Ce vµ C theo c¸c c«ng thøc ë môc (6.6.3.5) TÝnh hiÖu c¸c ma trËn A = (C - ∆τK): Lóc nµy cÇn chän ∆τ ®Ó nghiÖm æn ®Þnh, theo quy t¾c sao cho mäi sè h¹ng trªn ®−êng chÐo chÝnh cña ma trËn hÖ A ®Òu d−¬ng: min aii > 0, ∀aii ∈ ®−êng chÐo chÝnh cña A = C - ∆τK. 4) LËp hÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè, vÝ dô, d¹ng Euler: C[t]k+1 = (C - ∆τK) [t]k 5) Gi¶i hÖ pt trªn m¸y tÝnh theo ®iÒu kiÖn ban ®Çu t(x,y,0) = to(x,y) 6.7. Ph−¬ng ph¸p phÇn tö h÷u h¹n gi¶i bµi to¸n kh«ng æn ®Þnh t (x,y,τ) tæng qu¸t 6.7.1. Ph¸t biÓu m« h×nh: T×m trong D hµm t (x,y,τ) tho¶ m·n hÖ ph−¬ng tr×nh sau: To¹ ®é nót Th«ng tin phÇn tö i xi yi e i j k λ ρ C 1 0 0 1 1 2 4 λ1 ρ1 C1 2 L/2 0 2 2 4 5 λ2 ρ2 C2 3 L 0 3 2 3 5 λ3 ρ3 C3 4 0 L/2 4 3 5 6 λ4 ρ4 C4 5 L/2 L/2 5 4 5 7 λ5 ρ5 C5 6 L L/2 6 5 7 8 λ6 ρ6 C6 7 0 L 7 5 6 8 λ7 ρ7 C7 8 L/2 L 8 6 8 9 λ8 ρ8 C8 9 L L 9 7 8 10 λ9 ρ9 C9 10 0 3L/2 10 8 10 11 λ10 ρ10 C10 11 L/2 3L/2 11 8 9 11 λ11 ρ11 C11 12 L 3L/2 12 9 11 12 λ12 ρ12 C12 (V cã qv) (Wo) B¶ng 2: Nodal Coordinates & E.inf 108 (t) [ ] 2 v o 1 1 w 3 8 o tC div( gradt) q (x, y, ) gradtW 0 t(M W , ) t (x, y, ) gradt t q(x, y, ) gradtW (x, y, ) t(M W , ) tf (x, y, ) t(x, y, 0) t (x, y) ∂⎧ρ = λ + τ⎪ ∂τ⎪ =⎪⎪ ∈ τ = τ⎨⎪λ = − τ⎪λ = −α τ ∈ τ − τ⎪⎪ τ = =⎩ uur 6.7.2. Ph¸t biÓu biÕn ph©n: So s¸nh ph−¬ng tr×nh Euler - Lagrange ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂=∂ ∂ yx t F yt F xt F víi c¸c ph−¬ng tr×nh cña hÖ (t) ta cã: -Víi nót trong cã nguån nhiÖt qv, tõ ph−¬ng tr×nh VPDN ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂λ∂ ∂+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂λ∂ ∂=−τ∂ ∂ρ y t yx t x qtC v , suy ra: ,)t(h)t(gtqtC 2 1dtqtCFqtC t F yxv 2 vv ++−τ∂ ∂ρ=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −τ∂ ∂ρ=→−τ∂ ∂ρ=∂ ∂ ∫ )t(h x t 2 1)t(fdttF x t t F y 2 xx x +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂λ+=λ=→∂ ∂λ=∂ ∂ ∫ 2 xyy y y t 2 1)t(g)t(fdttF y t t F ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂λ+=λ=→∂ ∂λ=∂ ∂ ∫ . Do ®ã Ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt cho nót trong cã qv sÏ t−¬ng øng víi hµm tÝch ph©n F = tq y t x ttC 2 1 v 222 − ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂λ+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂λ+τ∂ ∂ρ Víi nót trªn biªn W2, ph−¬ng tr×nh q = -λgradt t−¬ng øng víi Fq = qt. Víi nót trªn biªn W3, ph−¬ng tr×nh α(t - tf)= -λgradt t−¬ng øng víi Fα= )tt2t(2 1 f 2 −α . Bµi to¸n (t) t−¬ng øng víi bµi to¸n biÕn ph©n sau: tW3 W3 tf 109 T×m trong D hµm sè t (x,y,τ) ®Ó t¹i τ = const bÊt kú lµm triÖt tiªu biÕn ph©n δI cña phiÕm hµm I sau ®©y: I = ∫∫ ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂λ D 22 y t z t 2 1 dxdy 2 D 1 tC dxdy 2 ∂+ ρ ∂τ∫∫ vD q tdxdy−∫∫ __ 2 w qtdS∫ 3 2 f w 1 (t 2t t)ds 2 + α −∫ (t−¬ng øng,®Æt I = Iλ + IC - Ig - Iq + Iα ) 6.7.3. Ph¸t biÓu phÇn tö h÷u h¹n: Chia D ra E phÇn tö, trong ®ã cã Eo phÇn tö ∈ Wo, E1 phÇn tö ∈ W1, Eq phÇn tö ∈ W2, Eα phÇn tö ∈ W3, bëi M nót. Thay t (x,y,τ) = TËp (c¸c hµm nhiÖt ®é nót ti (τ)) = [t]. §iÒu kiÖn cùc tiÓu δI = 0 sÏ lµ: [ ] dI d t = [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] g qc dI dIdI dI dI d t d t d t d t d t λ α+ − − + = 0 6.7.4. TÝnh [ ] dI d t λ = K[t], [ ]c dI d t = C[ ]t& = C d dτ [t] gièng nh− bµi (6.6) ®· lµm 6.7.5. TÝnh [ ] gdI d t nh− sau: Sö dông c¸c phÐp tÝnh nh− ë môc (6.6), ta cã: τ y o x t =(x,y, ) W1 W1 S q=0 W0 D qv (e) q=q(x,y, )τeq W3 e q = (x,x, )(t - tf)W3τα α tf= tf(x,y, )τ a W2 H51. PhÇn tö h÷u h¹n trªn miÒn D cña bµi to¸n kh«ng æn ®Þnh 2 chiÒu t (x,y,τ) tæng qu¸t 110 Ig = v D q (x, y, )t(x, y, )dxdyτ τ∫∫ =& E e g e 1 I = ∑ = E e 1= ∑ ev e q t dxdy∫∫ Dïng ®Þnh nghÜa ma trËn [t], [t]e, De nh− trong (6.6) cã: [ ] gdI d t = [ ] eE ge ee 1 dI D d t= ∑ , trong ®ã te = pTRe[t]e nªn: [ ] e g e dI d t = [ ]e d d t ∫∫ e eET v dxdy]t[Rpq = T e T v e q (p R ) dxdy∫∫ = Te v e q R pdxdy∫∫ = Tev e 1 q R x dxdy y ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫∫ = T e e e v G e G S q R x S y S ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ = Te e v G G 1 q R S x y ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ , víi Se = (diÖn tÝch phÇn tö e) = e 1 det X 2 vµ (xG, yG) lµ to¹ ®é träng t©m G cña phÇn tö e, gièng nh− (6.6). Thùc hiÖn phÐp nh©n c¸c ma trËn, ta cã: [ ] e gdI d t = Te e v G G 1 q R S x y ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ = ev 1 1 q S 1 3 1 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ∆ qe. Do ®ã: [ ] gdI d t = E e e e 1 D q = ∑ = 1E 2 e 1 3 0 0 0 . . . q1 0 0 0 1 0 q 0 0 1 q . . . 0 0 0 = ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ∑ = 1E 2 e 1 3 0 . q q q . 0 = ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ∑ ∆ qv 6.7.6. TÝnh [ ] dI d t α cho c¸c phÇn tö eα cã c¹nh ∈ W3: - Gi¶ thiÕt ph©n bè nhiÖt ®é est trong phÇn tö eα , chøa 1 c¹nh gi÷a i j k 111 x o α α α e 2 ®Ønh i, j cã dßng nhiÖt ®èi l−u qα ®i qua, lµ hµm tuyÕn tÝnh cña to¹ ®é cong s däc biªn vµ ti, tj, tøc lµ: { [ ]⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ ϕ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡∆→⎪⎭ ⎪⎬⎫ϕ+ϕ= ϕ+ϕ= ϕ=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ϕ ϕ=ϕ+ϕ= e j i j ie s j e 2 e 1 e j i e 2 e 1 e i eT 2 1e 21 e 1 e S ][ s1 s1 t t t st st ][s]s1[st Suy ra: [ϕ]e = [ ] 1 i e s j 1 s t 1 s −⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ = ij 1 s es e s ij ]t[S]t[ 11 ss ∆⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − − Do ®ã ph©n bè nhiÖt ®é trong eα lµ est = s TSe[ts] e - §Þnh nghÜa ∆esD 0 0 . . 1 0 0 1 . . 0 0 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ta cã [ ] dI d t α = [ ] eE e s ee 1 s dID d t α α = ∑ víi j 2 i s e e e s f s s 1I (t 2t t )ds 2α = α −∫ H52. PhÇn tö ®èi l−u eα → [ ] e e dI d ts α = [ ]e 1 d 2 d ts [ ] [ ]j i s e eT e 2 T e s (s S ts ) 2tf (s S ts ) ds⎡ ⎤α −⎢ ⎥⎣ ⎦∫ = [ ]j i se eT e T e T T e T s 2(s S ts )(s S ) 2tf (s S ) ds 2 α ⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦∫ = [ ]j jT T i i s s ee e T e e e s s S ss ds.S ts tfS sdsα −α∫ ∫ , i j M y w3 si qα tf sj i j k s 112 víi j i s T s ss ds∫ = [ ]j i s s 1 1 s ds s ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦∫ = s ij ij2 s 2 2i i i j j 11 (s s)1 s 2ds s 1s s (s s s s ) 3 ⎡ ⎤+⎢ ⎥⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥+ +⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫ vµ j i s s sds∫ = j i s s 1 ds s ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦∫ = ij i j 1 s 1 (s s ) 2 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥+⎣ ⎦ . Do ®ã cã: [ ] e e dI d ts α = [ ] [ ] e ij e ee e e ij s s s 2 1 1 ts tfs H ts h 1 2 16 α ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− α −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ V× [ts]e = Te sD [t] nªn cã: [ ] dI d t α = [ ]E ee e es s s e 1 D (H t h ) α = −∑ = [ ]TE e e es s s e 1 D H D t α = ∑ - E e es s e 1 D h α = ∑ = Hs[t] - hs, víi: hs ∆ TE e e e s s e 1 D H D α = ∑ = ∑α = ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡E 1e 2221 1211 HH HH lµ ma trËn hÖ sè táa nhiÖt α, M x M, ®èi xøng (§X) Hs ∆ E e e s e 1 D h α = ∑ = E 1 e 1 2 0 . h h . 0 α = ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ∑ M j i lµ ma trËn nhiÖt ®é m«i tr−êng tf, (1 x M). Chó ý: NÕu phÇn tö eα cã 2 c¹nh ∈ W3, th× tÝnh 2 lÇn. Eα lµ tæng c¸c c¹nh (cña c¸c phÇn tö eα ) ∈ W3. 6.7.7. TÝnh [ ] qdI d t cho c¸c phÇn tö eq cã c¹nh ∈ W2: Theo gi¶ thiÕt est = s TSe[t]e (t−¬ng tù nh− cho phÇn tö eα), trong phÇn §X j ∆ i j M ∆ 113 tö eq phiÕm hµm e qI cã d¹ng j i s e e q s s I qt ds= ∫ = [ ]j i s ee T e s q s S ts ds∫ . Do ®ã cã: [ ] e q e dI d ts = j i s e T e T s q (s S ) ds∫ = jT i s e e s q S sds∫ = jT i s e e s 1 q S ds s ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦∫ = e ij e s q s 1 q 12 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ → [ ] qdI d t = [ ] q eE qe s ee 1 dI D d ts= ∑ = q E e e s s e 1 D q = ∑ = q E 1 2e 1 0 . q q . 0 = ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ∑ ∆ qs Chó ý: Eq b»ng tæng c¸c phÇn tö cã c¹nh ∈ W2. NÕu phÇn tö e cã 2 c¹nh thuéc 2 biªn kh¸c nhau, th× tÝnh 2 lÇn. 6.7.8. Ph¸t biÓu phÇn tö h÷u h¹n: Theo FEM, ma trËn c¸c nhiÖt ®é nót [t] cÇn ®−îc x¸c ®Þnh theo hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 1 sau: [ ] dI d t = K[t] + C[ ]t& + Hs[t] - hs - qs - qv = 0 hay C[ ]t& = - (K + Hs)[t] + (hs + qs + qv ) 6.7.9. Ph¸t biÓu sai ph©n ®Ó ®−a vÒ hÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè: HÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n C[ ]t& = - (K + Hs)[t] + (hs + qs + qv ) sÏ cã d¹ng hÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè theo c¸c phÐp xÊp xØ [ ]t& nh− sau: * PhÐp xÊp xØ Euler dÉn tíi hÖ: C[t]k+1 = C[t]k + ∆τC[ ]t& k = C[t]k - ∆τ(K + Hs)[t]k + ∆τ(hs + qs+ qv) → C[t]k+1 = {C - ∆τ(K + Hs)}[t]k + ∆τ(hs + qs + qv ) i j M H53. Ptö eq cã c¹nh W2 k eq j s W2 sj qe si i x y o 114 * PhÐp xÊp xØ Crank - Nicolson cho phÐp thu ®−îc hÖ: C[t]k+1 = C[t]k + 2 ∆τ (C[ ]t& k + C[ ]t& k+1) = = C[t]k+ 2 ∆τ {-(K + Hs)[t]k+(hs+qs+qv)k-(K+Hs)[t]k+1+(hs + qs + qv)k+1} → {C+ 2 ∆τ (K + Hs)}[t]k+1= {C- 2 ∆τ (K+Hs)}[t]k+∆τ(hs + qs + qv)k+1} * PhÐp xÊp xØ thuÇn Èn sÏ cho hÖ: C[t]k+1 = C[t]k + ∆τC[ ]t& k+1 = C[t]k + ∆τ{- (K + Hs)[t]k+1 + (hs + qs + qv)} → {C + ∆τ(K + Hs)}[t]k+1 = C[t]k + ∆τ(hs + qs + qv) - NÕu c¸c th«ng sè λ, ρ, C, qv, q, α, tf phô thuéc to¹ ®é vµ thêi gian ë d¹ng hµm ϕ (x,y,z,τ) th× lÊy trÞ trung b×nh trong mçi phÇn tö e nh− lµ eϕ = i j k1 ( )3 ϕ + ϕ + ϕ hoÆc lÊy theo eϕ = ϕ (xG,yG,zG,τk) víi G ≡ (xG,yG,zG) lµ träng t©m cña phÇn tö e. - FEM rÊt tiÖn lîi cho bµi to¸n V bÊt quy t¾c, v× kh«ng cÇn xÐt tíi sù kh¸c biÖt vÒ h×nh häc cña biªn. 6.8. Ph−¬ng ph¸p phÇn tö h÷u h¹n gi¶i bµi to¸n cã λ = λ(t) Khi hÖ sè dÉn nhiÖt λ phô thuéc nhiÖt ®é λ = λ (t), ta ph¶i ®iÒu chØnh l¹i biÓu thøc cña [ ] dI d t λ . - Cã thÓ gi¶ thiÕt, r»ng trong phÇn tö e ®ñ bÐ, λ(t) lµ hµm tuyÕn tÝnh víi nhiÖt ®é te cña phÇn tö e, tøc λe = e e eo 1tλ + λ . Khi ®ã, trÞ trung b×nh cña λ trong phÇn tö (e) lµ = e e eo 1e e 1 ( t )dxdy S λ +λ∫∫ = e e1 o e e t dxdy S λλ + ∫∫ 115 = λo + e e e e1 i j k o 11. (t t t ) t3λ + + λ + λ - Thay nh− trªn vµ te = pTRe[t]e vµo eIλ ta cã: eIλ= 2 2e e e e 1 t t dxdy 2 x y ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂⎢ ⎥λ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫∫ = [ ] [ ]e ee T e 2 T e 2x y e 1 (p R t ) (p R t ) dxdy 2 ⎡ ⎤λ +⎢ ⎥⎣ ⎦∫∫ . V× = e e eo 1 tλ + λ phô thuéc [t]e nªn ta cã: [ ] e e dI d t λ = [ ] [ ]e ee T e T e T T e T e Tx x y y e (p R t )(p R ) (p R t )(p R ) dxdy⎡ ⎤λ +⎢ ⎥⎣ ⎦∫∫ + [ ] [ ] [ ] e e eT e 2 T e 2 x ye e d1 (p R t ) (p R t ) dxdy 2 d t λ ⎡ ⎤+⎢ ⎥⎣ ⎦∫∫ - Sè h¹ng ®Çu ®−îc kh¶o s¸t nh− môc (6.7), b»ng [t]e, víi e e 2 ij jk jk ij S (x y x y ) λ − 2 2 jk jk ik jk ik jk ij jk ij jk 2 2 jk jk ij ik ij ik 2 2 ij ij (x y ) (x x y y )(x y y y ) (x y ) (x x y y ) (DX) (x y ) ⎡ ⎤+ − + +⎢ ⎥+ − +⎢ ⎥⎢ ⎥+⎣ ⎦ - Sau ®©y xÐt sè h¹ng thø 2: §Çu tiªn cã [ ] e e d d t λ = [ ] e e e 1 1 o i j ke 1 d (t t t ) 1 3 3d t 1 ⎡ ⎤⎧ ⎫λ λ⎪ ⎪ ⎢ ⎥λ + + + =⎨ ⎬ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎢ ⎥⎣ ⎦ V× [ ]eT exp R t lµ ma trËn a h¹ng (1 x 1), tho¶ m·n [a]T = [a] nªn: ( [ ]eT exp R t )2 = ( [ ]eT exp R t )T ( [ ]eT exp R t ) = [ ]ee T x(R t ) p ( [ ]eT exp R t ) = [ ] [ ]T Te ee T ex xt R p p R t T−¬ng tù, cã ( [ ]eT eyp R t )2 = [ ] [ ]T Te ee T ey yt R p p R t Do vËy tÝch ph©n trong sè h¹ng thø 2 cã d¹ng: (§X) ∆ 116 [ ] [ ]e eT e 2 T e 2x y e (p R t ) (p R t ) dxdy⎡ ⎤+⎢ ⎥⎣ ⎦∫∫ = = [ ] T Te et R [ ]eT T ex x y y e (p p p p )dxdyR t+∫∫ = [ ] [ ] 0 0 0 010 0 01 T Te ee e et R S R t ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ∆ [ ] Tet [ ]eee1 K tλ , víi Ke = Te e e e 0 0 0 R S 01 0 R 0 01 ⎡ ⎤⎢ ⎥λ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ lµ ma trËn 3 x 3, ®èi xøng, cã d¹ng nh− ë môc (6.6) - Céng c¸c biÓu thøc trªn, ta ®−îc: [ ] e e dI d t λ = [ ] [ ] [ ]Te e ee e e1 e 1 1 1K t 1 t K t 6 1 ⎡ ⎤⎢ ⎥+ λ ⎢ ⎥ λ⎢ ⎥⎣ ⎦ - Sau cïng, thay [ ] [ ]Te et D t= vµo [ ] dI d t λ = [ ] eE e ee 1 dID d t λ = ∑ cã: [ ] dI d t λ = [ ]TE e e e e 1 D K D t = ∑ + [ ] [ ]T TeE ee e e1ee 1 1 1 D 1 t K D t 6 1= ⎡ ⎤ λ⎢ ⎥⎢ ⎥ λ⎢ ⎥⎣ ⎦ ∑ = [t] + Kt[t], ë ®©y ®Æt: ∆ TE e e e e 1 D K D = ∑ =∑ = ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ E 1ª 333231 232221 131211 KKK KKK KKK ,lµ ma trËn ®èi xøng MxM Kt = [ ] T TeE ee e e1ee 1 1 1 D 1 t K D 6 1= ⎡ ⎤ λ⎢ ⎥⎢ ⎥ λ⎢ ⎥⎣ ⎦ ∑ lµ ma trËn M x M, kh«ng §X - VÝ dô, bµi to¸n biªn c« lËp (6.6) víi λ = λ(t) cã ph¸t biÓu FEM lµ: i j k M 117 [ ] dI d t = [t] + Kt[t] + C[ ]t& = 0 hay C[ ]t& = - ( + Kt)[t] NÕu dïng xÊp xØ Euler ta cã hÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè sau: C[t]k+1 = {C - ∆τ( + Kt)}[t] Lóc nµy vµ Kt ®iÒu phô thuéc [t], nªn ph¶i gi¶i b»ng ph−¬ng ph¸p lÆp, vÝ dô theo s¬ ®å k[t]k+1 = -Ktk[t]k víi ph−¬ng tr×nh 0 = [t] + Kt[t] øng víi bµi to¸n æn ®Þnh. NÕu λ kh«ng phô thuéc t, e1λ = 0, ∀e → Kt = 0, lóc nµy gièng nh− ma trËn K trong (6.6) 6.9. Ph−¬ng ph¸p phÇn tö h÷u h¹n gi¶i bµi to¸n biªn phi tuyÕn: XÐt l¹i bµi to¸n (6.4.1) trong ®ã thay ®iÒu kiÖn biªn t¹i x = 0 lµ + λTx(0, τ) = εσo[T4(0, τ) - T 4f ], lµ §KB phi tuyÕn tÝnh, trong ®ã ε lµ ®é ®en bøc x¹ cña mÆt x = 0, σo = 5,67.10-8 w/m2 K4. Khi ®ã, theo quan ®iÓm biÕn ph©n, bµi to¸n (6.4.1) t−¬ng øng viÖc t×m hµm T (x, τ) trong x = [0 ÷ L] lµm cùc tiÓu phiÕm hµm I = Iλ + Ic + Ir víi Iλ , Ic nh− trong (6.4) vµ Ir = 5r E e e 4 e o f e 1 1 T T T 5= ⎛ ⎞ε σ −⎜ ⎟⎝ ⎠∑ víi T e lµ nhiÖt ®é tuyÖt ®èi, oK, trªn biªn, Er lµ tæng sè phÇn tö cã biªn bøc x¹. Tr−êng hîp trªn, víi bµi to¸n (6.4.1) söa ®æi, cã Er = 1 vµ Te = T1 nªn Ir = 5 4 1 f 1 1 T T T 5 ⎛ ⎞εσ −⎜ ⎟⎝ ⎠ §Þnh nghÜa ma trËn [d] = M 1 0 . . 0 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ , ta cã [ ]r dI d T = [ ] [ ]r1 dId d T . V× T1 = [d] T[T] nªn: 118 [ ]r dI d T = [ ] [ ]1 dd d T 5 4 1 f 1 1 T T T 5 ⎛ ⎞εσ −⎜ ⎟⎝ ⎠ = [ ] ( )4 41 fd T Tεσ − = [ ] 31 1d ( T )Tεσ - [ ] 4fd Tεσ = [ ] [ ] [ ]T31d ( T ) d Tεσ - [ ] 4fd Tεσ ∆ R[T] - r, ë ®©y ®Þnh nghÜa ma trËn R vµ r nh− sau: R∆ [ ] [ ]T31d ( T ) dεσ = 1 0 . 0 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ [ ]31( T ) 1 0 . . 0εσ = 1 M 3 1 0 ` ` ` 0 T ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡εσ lµ ma trËn vu«ng chØ cã 1 phÇn tö kh¸c 0, vµ r ∆ 14 f M T 0 . . 0 ⎡ ⎤εσ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ lµ ma trËn (Mx1). Do ®ã ph¸t biÓu biÕn ph©n lµ: [ ] dI d T = K[T] + C[T]& + R[T] - r = 0 hay C[T]& = -(K + R)[T] + r. PhÐp xÊp xØ Euler dÉn tíi hÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè sau: C[T]k+1 = C[T]k + ∆τ[r - (K + R)[T]]k hay C[T]k+1 = {C - ∆τ(K + R)}[T]k + ∆τ.r R lµ ma trËn phô thuéc T1 nªn hÖ nµy gi¶i b»ng ph−¬ng ph¸p lÆp. 6.10. Ph−¬ng ph¸p phÇn tö h÷u h¹n gi¶i bµi to¸n 3 chiÒu t (x,y,z,τ) kh«ng æn ®Þnh 119 6.10.1. Ph¸t biÓu bµi to¸n: T×m trong V hµm t (x,y,z,τ) tho¶ m·n hÖ ph−−¬ng tr×nh (t) nh− sau: (t) [ ] Wo 1 1 o tC div( gradt) gradt t 0 t (x, y,z) W , t (x, y,z, ) t(x, y,z,0) t (x, y,z) ∂⎧ρ = λ⎪ ∂τ⎪⎪−λ =⎨⎪ ∈ τ = τ⎪ =⎪⎩ uur víi ϕ, C, λ lµ c¸c th«ng sè vËt lý cña vËt V. 6.10.2. Ph¸t biÓu biÕn ph©n: - T×m hµm tÝch ph©n: So s¸nh ph−¬ng tr×nh vi ph©n DN vµ ph−¬ng tr×nh Euler - Lagrange: x y z F F F F 0 t x t y t z t ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂− − − =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ (ph−¬ng tr×nh E - L) t t t tC 0 x x y y z z ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ρ − λ − λ − λ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂τ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ (ph−¬ng tr×nh vi ph©n DN) TÝch ph©n c¸c ®¹o hµm cña F theo t, tx, ty, tz: F tC t ∂ ∂= ρ∂ ∂τ → F = tC dt∂ρ ∂τ∫ = 2 x y z 1 tC f (t ) g(t ) h(t ) 2 ∂ρ + + +∂τ x F t t x ∂ ∂= λ∂ ∂ → F = x xt dtλ∫ = 2 y z 1 te(t) g(t ) h(t ) 2 x ∂⎛ ⎞+ λ + +⎜ ⎟∂⎝ ⎠ y F t t y ∂ ∂= λ∂ ∂ → F = y yt dtλ∫ = 2 x z 1 te(t) f (t ) h(t ) 2 y ⎛ ⎞∂+ + λ +⎜ ⎟∂⎝ ⎠ z F t t z ∂ ∂= λ∂ ∂ → F = z zt dtλ∫ = 2 x y 1 te(t) f (t ) g(t ) 2 z ∂⎛ ⎞+ + + λ⎜ ⎟∂⎝ ⎠ W W0 ρ 1 c = dw( gradt)∂∂ t 0 τ λ t/ =0=t (x,y,z)τ ρcVλ y 0 x z H54. Bµi to¸n t(x,y,z,τ) 120 §ång nhÊt c¸c biÓu thøc, ta thu ®−îc hµm F(t, tx, ty, tz) ë d¹ng: F = 22 221 t t t tC 2 x y z ⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥ρ + λ + +⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂τ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭ - Ph¸t biÓu biÕn ph©n: Bµi to¸n (t) t−¬ng øng víi bµi to¸n biÕn ph©n sau: T×m trong V hµm t(x, y, z, τ) sao cho t¹i τ = const bÊt kú lµm cùc tiÓu phiÕm hµm cã d¹ng: 121 I = 2 V 1 tC dxdydz 2 ∂ρ ∂τ∫∫∫ + 22 2 V 1 t t t dxdydz 2 x y z ⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥λ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ ∫∫∫ (T−¬ng øng, ta sÏ ®Æt I = Ic + Iλ) 6 7 3 8 2 4 1 5 m i f e z y x 0 e v H55. Chia V ra c¸c phÇn tö h÷u h¹n d¹ng tø diÖn. 6.10.3. Ph¸t biÓu FEM: 1. Chia miÒn tÝch ph©n V ra E phÇn tö d¹ng tø diÖn, c¸c ®Ønh t−¬ng øng nót i, j, l, m, bëi hÖ thèng M nót. VÝ dô, khèi hép gi÷a 8 nót (12345678) ®−îc chia ra 5 tø diÖn sau: (2136), (4138), (7368), (1368), (5168). §¸nh sè nót, sè phÇn tö, ghi to¹ ®é nót vµ th«ng sè (i, j, l, m), ϕ, c, λ cña c¸c phÇn tö ®Ó lËp sè liÖu vµo. 2. X¸c ®Þnh hµm ph©n bè nhiÖt ®é te trong phÇn tö e d¹ng tø diÖn (i j l m) nh− 1 hµm tuyÕn tÝnh cña x, y, z vµ ti, tj, te, tm, cho bëi: → [ ] [ ]1e eeX t−ϕ = = Re[t]e víi 1 1 i i i j j je e l l l m m m 1 x y z 1 x y z R X 1 x y z 1 x y z − −⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ lµ ma trËn nghÞch ®¶o cña ma trËn täa té nót Xe cña phÇn tö e. VËy ta cã te = pTRe[t]e, trong ®ã pT = [1 x y z] lµ ma trËn (1x4) 3. §Þnh nghÜa ma trËn chuyÓn De cã d¹ng ∆ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎧ +ϕ+ϕ= +ϕ+ϕ= ϕ+ϕ+ϕ= ee i e 2 e i e 2 ee xt xt xt 1 1 122 e 0 0 0 0 . . . . 10 0 0 01 0 0 D 0 010 0 0 01 . . . . 0 0 0 0 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ lµ ma trËn M hµng 4 cét (Mx4) Khi ®ã, ®iÒu kiÖn cùc tiÓu cña phiÕm hµm I sÏ lµ: δI = 0 → [ ] dI d t = [ ] [ ] [ ] [ ] e e e eE E E Ee ec c e ee 1 e 1 e 1 dI dI dI dID D 0 d t d t d t d t λ λ = = = + = + =∑ ∑ ∑ ∑ 4. TÝnh [ ] edI d t λ : Ta cã eIλ = 2 2 2e e e e 1 t t t dxdydz 2 x y z ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎢ ⎥λ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫∫∫ [ ] e e dI d t λ = [ ]( ) [ ]( ) [ ]( )e 2 2 2e e eT e T e T ex y z e P R t P R t P R t dxdydz 2 ⎡ ⎤λ + +⎢ ⎥⎣ ⎦∫∫∫ = [ ]( )( ) [ ]( )( ) [ ]( )( )e T T Te e eT e T e e T e T e T ex x y y z z e 2 P R t P R 2 P R t P R 2 P R t P R dxdydz 2 ⎡ ⎤λ + +⎢ ⎥⎣ ⎦∫∫∫ = ( ) [ ]T ee e T T T ex x y y z z e R P P P P P P R t dVλ + +∫∫∫ = ( ) [ ]T ee e T T T ex x y y z z e R P P P P P P dxdydz.R tλ + +∫∫∫ , víi ( )T T Tx x y y z zP P P P P P+ + = [ ] [ ] [ ] 0 0 0 1 0 0 0100 0010 0001 0 1 0 0 0 1 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = 0 0 0 0 010 0 0 01 0 0 0 01 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ i j l m M ∆ 123 → e 0 0 0 0 010 0 dxdydz 0 010 0 0 01 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫∫∫ = e 0 0 0 0 01 0 0 V 0 01 0 0 0 01 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ , víi Ve = i i i j j j l l l m m m 1 x y z 1 x y z1 det 6 1 x y z 1 x y z lµ thÓ tÝch khèi tø diÖn cña phÇn tö e. §Æt: Te e e eK R Vλ e 0 0 0 0 010 0 R 0 010 0 0 01 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ = 11 12 13 14 22 23 24 33 34 44 K K K K K K K K K (DX) K ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ → [ ] e e dI d t λ = Ke[t]e V× [ ] [ ]Te et D t= nªn cã: [ ] dI d t λ = [ ] [ ]TE e e e e 1 D K D t K t = =∑ víi ®Þnh nghÜa: TE e e e e 1 K D K D = ∑ = ( ) E Mx4 0000 1000 0100 0010 0001 0000 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥∑⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ( ) 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 41 42 43 44 4x4 K K K K K K K K K K K K K K K K ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ( )4xM 010000 001000 000100 000010 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ = K= 11 12 13 14 E 22 23 24 33 34e 1 44 K K K K K K K K K K = ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ∑ O O lµ ma trËn dÉn nhiÖt, (MxM), §X i j l m M ∆ ∆ §X 124 5. TÝnh [ ]c dI d t = [ ] eE e c e dID d t ∑ ta cã: 2e e c e 1 tI C dxdydz 2 ∂= ρ ∂τ∫∫∫ = ( ) [ ]( )e 2eT e e C d P R t dxdydz 2 d ρ τ ∫∫∫ → [ ] e c e dI d t = ( ) [ ]( )( )e TeT e T e e C d 2 P R t P R dxdydz 2 d ρ τ ∫∫∫ = = ( ) [ ]T ee e T e e dC R pp dxdydzR t d ⎡ ⎤ρ ⎢ ⎥τ ⎢ ⎥⎣ ⎦∫∫∫ , ë ®©y ta ®Æt We T e pp dxdydz∫∫∫ = [ ] e 1 x 1 x y z dxdydz y z ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫∫∫ = 2 2 e 2 1 x y z x x xy xz dxdydz y xy y yz z xz yz z ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫∫∫ =Ve ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) G G G 4 4 42 2 2 2 i G G i G i G G i G i G G i 1 i 1 i 1 4 42 2 2 i G G i G i G G 4 2 2 i G G 1 x y z 1 1 1x x x x x y y y x x z z z 20 20 20 1 1y y y y y z z z 20 20 1 z z z 20 = = = ⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥− + − − + − − +⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤⎡ ⎤− + − − +⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤⎢ ⎥− +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ trong ®ã (xG = 4 i i 1 1 x 4 = ∑ , yG = 4 i i 1 1 y 4 = ∑ , zG = 4 i i 1 1 z 4 = ∑ ) lµ täa ®é träng t©m G cña phÇn tö e. V× Re, We kh«ng phô thuéc τ nªn cã [ ] e c e dI d t = ( ) [ ] [ ]T eee e e e edC R W R t C t d ρ τ & víi ®Þnh nghÜa (§X) ∆ ∆ xG yG zG 125 ( ) Tee e e eC C R W Rρ = 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 41 42 43 44 C C C C C C C C C C C C C C C C ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ lµ MT (4x4) §X. Do [ ] [ ]Te et D t=& & nªn cã: [ ]c dI d t = [ ] eE e c ee 1 dID d t= ∑ = [ ] [ ]TE e e e e 1 D C D t C t = =∑ & & víi TE e e e e 1 C D C D = ∑ = E 0 0 0 0 10 0 0 010 0 0 010 0 0 01 0 0 0 0 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥∑⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 11 12 13 14 22 23 24 33 34 44 C C C C C C C C C (DX) C ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 010 0 0 0 0 010 0 0 0 0 010 0 0 0 0 01 0 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ = C = 11 12 13 14 E 22 23 24 33 34e 1 44 C C C C C C C C C C = ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ∑ O O lµ ma trËn nhiÖt dung (MxM) §X 6. Ph¸t biÓu phÇn tö h÷u h¹n cho biÕt, [t] cÇn x¸c ®Þnh theo ®iÒu kiÖn [ ] [ ] [ ] dI K t C t C d t = + =& hay [ ] [ ]dC t K t d = −τ . §ã lµ hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 1 gåm M ph−¬ng tr×nh. 6.10.4. Ph¸t biÓu sai ph©n, vÝ dô theo Crank-Nicolson, ta ®−îc hÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè M Èn nh− sau: [ ] [ ] [ ] [ ]( )k 1 k k k 11C t C t C t C t2+ += + ∆τ +& & = [ ] [ ] [ ]( )k k k 11C t K t K t2 ++ ∆τ − − hay i j l m M (§X) ∆ 0 ∆ 126 [ ] [ ]k 1 kC K t C K t2 2+ ∆τ ∆τ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ , lµ hÖ M ph−¬ng tr×nh ®¹i sè d¹ng Èn. Toµn bé viÖc lËp ph−¬ng tr×nh vµ tÝnh to¸n cã thÓ ch−¬ng tr×nh ho¸ vµ do m¸y tÝnh thùc hiÖn. C¸c ®iÒu kiÖn biªn W2 vµ W3 xÐt t−−¬ng tù bµi (6.7), (6.8), (6.9) ®· nªu trªn. 127 Ch−¬ng 7: C¸c bµi to¸n biªn di ®éng 7.1. M« t¶ bµi to¸n biªn di ®éng 7.1.1. Kh¸i niÖm biªn di ®éng Khi hÖ vËt kh¶o s¸t cã sù thay ®æi khèi l−îng, g©y ra bëi sù trao ®æi chÊt, chuyÓn pha hay biÕn d¹ng, th× to¹ ®é cña biªn thay ®æi theo thêi gian. VÝ dô: NÕu ta liªn tôc cÊp nhiÖt vµo vËt r¾n ®ang xÐt, th× sÏ x¶y ra sù nãng ch¶y cña vËt nµy, vµ biªn giíi vËt r¾n sÏ di chuyÓn vÒ phÝa t©m cña nã. Ng−îc l¹i, nÕu ta liªn tôc thu nhiÖt tõ 1 hÖ chÊt láng hoÆc 1 vËt Èm nµo ®ã, th× sÏ x¶y ra sù ®«ng ®Æc hoÆc ho¸ r¾n cña hÖ nµy, vµ biªn giíi pha láng sÏ di chuyÓn vÒ phÝa t©m chÊt láng, tøc rêi xa t©m líp chÊt r¾n t¹o thµnh. 7.1.2. C©n b»ng nhiÖt trªn biªn chuyÓn pha: Kh¶o s¸t hÖ 2 pha gåm pha r¾n cã nhiÖt ®é T1(x, τ), λ1, ϕ1, C1 tiÕp xóc t¹i biªn x = ξ víi pha láng cña nã cã nhiÖt ®é T2(x, τ), λ2, ϕ2, C2. Gäi nhiÖt ®é chuyÓn pha lµ Ts. T¹i vïng chuyÓn pha, d−íi ¸p suÊt kh«ng ®æi, lu«n cã Ts = const. NÕu ( ) ( ) ( ) ( ) 2 s 1 2 s 1 T x, T T x, , x T , T T , ,x τ > > τ ∀ ≠ ξ⎧⎪⎨ ξ τ = = ξ τ = ξ⎪⎩ th× trªn biªn x = ξ x¶y ra sù chuyÓn pha, vµ biªn (lo¹i 5) nµy sÏ dÞch chuyÓn víi tèc ®é d d ξ τ nµo ®ã, sÏ ®−îc x¸c ®Þnh theo ph−¬ng tr×nh c©n b»ng nhiÖt cho 1 ph©n tè vËt chÊt trªn biªn. XÐt 1 ph©n tè dV = Sdx = S d d ξ τ dτ, cã nhiÖt chuyÓn pha lµ l [J/kg], trªn biªn x = ξ. Gäi dßng nhiÖt vµo ph©n tè lµ q2, ra khái ph©n tè lµ q1 th× l−îng nhiÖt ph¸t sinh trong ph©n tè lµ qe = q1 - q2 . Khi ®ã: , vµ 128 < 0 → dV to¶ nhiÖt → dV ®«ng ®Æc q1 - q2 = qe = 0 → kh«ng cã sù chuyÓn pha > 0 → dV nhËn nhiÖt → dV ho¸ láng ρ T l s 0 t x d d dτ τξ T (x )2 1τ T (x )1 1τ ρ 1 C λ2 2 lλ 11 q 1 q2 2 ξ Ts ρ 2cl 0 t x λ 2 2 l λ1 1ρ1 T (x )1 1τ q 2q 1 T (x )2 1τ d d dτ τ ξ ξ H56. §Ó c©n b»ng nhiÖt cho dV ∈ biªn nãng ch¶y H57. §Ó c©n b»ng nhiÖt cho dV ∈ biªn ®«ng ®Æc Ph−¬ng tr×nh c©n b»ng nhiÖt cho dV ∈ W5 sÏ lµ: * Víi dV ∈ W5 nãng ch¶y: q2 = qe + q1 hay - λ2 ( )2dT ,dx ξ τ = lρ1 dd ξ τ - λ1 ( )1dT , dx ξ τ → λ1T1x(ξ, τ) - λ2T2x(ξ, τ) = lρ1 dd ξ τ * Víi dV ∈ W5 ®«ng ®Æc: q2 + qe = q1 hay λ2 ( )2dT ,dx ξ τ + lρ2 dd ξ τ = λ1 ( )1dT , dx ξ τ → λ1T1x(ξ, τ) - λ2T2x(ξ, τ) = lρ2 dd ξ τ Do ®ã nãi chung, ®iÒu kiÖn biªn lo¹i 5 (hay biªn di ®éng do chuyÓn pha) sÏ cã d¹ng:

Các file đính kèm theo tài liệu này:

  • pdfCác phương pháp tính truyền nhiệt - Bài toán biên phi tuyến.pdf
Tài liệu liên quan