Xử lý số tín hiệu - Chương 2: Tín hiệu rời rạc theo thời gian

Xử lý số tín hiệu Chương 2: Tín hiệu rời rạc theo thời gian Trang 8 GV: Phạm Hùng Kim Khánh Chương 2 TÍN HIỆU RỜI RẠC THEO THỜI GIAN 2.1. Tín hiệu rời rạc theo thời gian Tín hiệu tương tự thường liên tục theo thời gian. Bằng cách lấy mẫu tín hiệu, ta được tín hiệu rời rạc theo thời gian, còn gọi là tín hiệu số (digital signal). Chương này sẽ trình bày về hệ thống xử lý tín hiệu số (về phương diện mạch thì gọi là DSP – Digital Signal Processor). Trong chương 1, ta đã khảo sát tín hiệu rời rạc s(nT) với n là các số nguyên. Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử chu kỳ lấy mẫu T = 1. Từ đó, tín hiệu rời rạc là s(n). Một ví dụ của tín hiệu rời rạc thời gian như hình 2.1: tại thời điểm n, biên độ s(n) có thể dương, âm, thực hay phức. Tóm lại, s(n) có thể nhận giá trị bất kỳ, kể cả bằng 0 hay . Để biểu diễn tín hiệu rời rạc s(n), ta sử dụng chuỗi biên độ với ký hiệu  xác định gốc thời gian n = 0. Khi biểu diễn tín hiệu vô hạn, ta sử dụng dấu … ở hai đầu của chuỗi. a. Tín hiệu vô hạn b. Tín hiệu hữu hạn Hình 2.1 – Tín hiệu rời rạc thời gian -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 … … Xử lý số tín hiệu Chương 2: Tín hiệu rời rạc theo thời gian Trang 9 GV: Phạm Hùng Kim Khánh Hình 2.1a: s(n) = {…,-3,2,4,-2,1,1,-5,5,4,2,…}: tín hiệu vô hạn  Hình 2.1b: s(n) = {-3,2,4,-2,1,1,-5,5,4,2}: tín hiệu hữu hạn  Trong trường hợp tín hiệu s(n) bằng 0 khi n < 0 thì ta có thể biểu diễn như sau: s(n) = {-3,2,4,-2,1,1,-5,5,4,2,…}  2.1.1. Các tín hiệu rời rạc sơ cấp đặc biệt - Hàm xung đơn vị: còn gọi là mẫu đơn vị (n) =      0n0 0n1 (2.1) - Hàm bước đơn vị: u(n) =      0n0 0n1 (2.2) -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 Hình 2.2 – Hàm xung đơn vị -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 Hình 2.3 – Hàm bước đơn vị … Xử lý số tín hiệu Chương 2: Tín hiệu rời rạc theo thời gian Trang 10 GV: Phạm Hùng Kim Khánh - Hàm dốc đơn vị: r(n) =      0n0 0nn (2.3) - Hàm mũ: x(n) =      0n0 0na n (2.4) Trong trường hợp số mũ a là số phức, ta có thể biểu diễn như sau: a = re j -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6 Hình 2.4 – Hàm dốc đơn vị … -2 0 2 4 6 8 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 < a < 1 -2 0 2 4 6 8 10 0 1 2 3 4 5 6 a > 1 -2 0 2 4 6 8 10 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -1 < a < 0 -2 0 2 4 6 8 10 -6 -4 -2 0 2 4 6 a < -1 Hình 2.5 – Hàm mũ thực Xử lý số tín hiệu Chương 2: Tín hiệu rời rạc theo thời gian Trang 11 GV: Phạm Hùng Kim Khánh Khi đó: x(n) = r n e jn = r n (cosn + jsinn) (2.5) Do x(n) là hàm phức nên nó sẽ gồm 2 thành phần: phần thực xR(n) và phần ảo xI(n): xR(n) = r n cosn xI(n) = r n sinn (2.6) 2.1.2. Phân loại tín hiệu rời rạc Việc phân loại tín hiệu sẽ dựa vào đặc tính của tín hiệu. Tín hiệu có các cách phân loại sau: 2.1.2.1. Tín hiệu năng lượng và tín hiệu công suất Năng lượng của tín hiệu: E =   n 2 )n(x (2.7) Giá trị công suất trung bình định nghĩa là: P =     N Nn N nx N 2 )( 12 1 lim (2.8) Ta định nghĩa EN: EN =   N Nn 2 )n(x (2.9) là năng lượng của tín hiệu trong khoảng [-N,N] thì năng lượng E có thể biểu diễn như sau: E = N N Elim  (2.10) và công suất trung bình của tín hiệu là: P = N N E 1N2 1 lim  (2.11) Như vậy, nếu E hữu hạn thì P = 0 và tín hiệu x(n) gọi là tín hiệu năng lượng. Nếu P hữu hạn và khác 0 thì x(n) là tín hiệu công suất. VD: Xét hàm bước đơn vị u(n): EN =   N Nn 2 )n(x =   N 0n 2 1 = N + 1 P = N N E 1N2 1 lim  = 1N2 1N lim N    = 1/2  E vô hạn và P = ½  hàm bước đơn vị u(n) là tín hiệu công suất. Xử lý số tín hiệu Chương 2: Tín hiệu rời rạc theo thời gian Trang 12 GV: Phạm Hùng Kim Khánh 2.1.2.2. Tín hiệu tuần hoàn và không tuần hoàn Một tín hiệu s(n) gọi là tuần hoàn với chu kỳ N (N > 0) nếu và chỉ nếu: s(n) = s(n + N) n (2.12) Giá trị N nhỏ nhất gọi là chu kỳ cơ sở của tín hiệu tuần hoàn. Nếu không tồn tị giá trị N nào để phương trình (2.12) thỏa mãn thì tín hiệu gọi là không tuần hoàn. Năng lượng của tín hiệu tuần hoàn s(n) là hữu hạn trong một chu kỳ khi giá trị của tín hiệu là hữu hạn. Tuy nhiên, trên toàn bộ tín hiệu thì giá trị này là vô hạn. Mặt khác, công suất trung bình của tín hiệu là hữu hạn và tương đương với công suất trung bình của tín hiệu trong một chu kỳ . Công suất trung bình của tín hiệu tuần hoàn: P =    1N 0n 2 )n(s N 1 (2.13) là hữu hạn nên tín hiệu tuần hoàn là tín hiệu năng lượng. 2.1.2.3. Tín hiệu chẵn và lẻ Tín hiệu chẵn (đối xứng) nếu: s(n) = s(-n) (2.14) và lẻ (phản đối xứng) nếu: s(n) = - s(-n) (2.15) Chú ý rằng nếu s(n) lẻ thì s(0) = 0. Ta có: se(n) = [s(n) + s(-n)]/2 (2.16) là tín hiệu chẵn và: so(n) = [s(n) - s(-n)]/2 (2.17) Cộng 2 vế của (2.16) và (2.17), ta được: s(n) = se(n) + so(n) (2.18) Như vậy, bất kỳ tín hiệu nào cũng có thể biểu diễn ở dạng tổng của 2 tín hiệu khác: một tín hiệu chẵn và một tín hiệu lẻ. 2.1.3. Các phép toán đơn giản trên tín hiệu rời rạc 2.1.3.1. Biến đổi trên miền thời gian - Dịch: Tín hiệu s(n) được gọi là dịch trên miền thời gian nếu thay biến n bằng n-k với k là số nguyên. Nếu k > 0: tạo thành tín hiệu trễ Nếu k <0: tạo thành tín hiệu sớm Xử lý số tín hiệu Chương 2: Tín hiệu rời rạc theo thời gian Trang 13 GV: Phạm Hùng Kim Khánh - ảnh gương: tín hiệu s(-n) gọi là tín hiệu ảnh gương của s(n) Chú ý rằng hoạt động dịch và ảnh gương không có tính giao hoán. Gọi TD là hoạt động làm trễ tín hiệu (time delaying) và RT là hoạt động ảnh gương (reflection). Ta có: TDk[s(n)] = s(n – k), k >0 RT[s(n)] = s(-n) (2.19) Từ đó: TDk{RT[s(n)]} = TDk{s(-n)} = s(-n + k) RT{TDk[s(n)]} = RT{s(n – k)} = s(-n – k) (2.20)  TDk{RT[s(n)]}  RT{TDk[s(n)]} - Co: tín hiệu s(µn) với µ nguyên gọi là tín hiệu co của s(n) Ta có: s(n) là tín hiệu lấy mẫu của tín hiệu gốc s(t) với chu kỳ lấy mẫu 1 nên s(µn) cũng là tín hiệu lấy mẫu của s(t) nhưng sử dụng tần số lấy mẫu µ. Như vậy, quá trình co tín hiệu lấy mẫu thực chất là tăng chu kỳ lấy mẫu của tín hiệu µ lần  quá trình này còn gọi là giảm tần số lấy mẫu (downsampling). 2.1.3.2. Biến đổi biên độ Quá trình biến đổi biên độ của tín hiệu lấy mẫu bao gồm: cộng, nhân và co. Cộng tín hiệu: y(n) = x1(n) + x2(n) (2.21) Nhân tín hiệu: y(n) = x1(n)x2(n) (2.22) Co tín hiệu: y(n) = Ax(n), A là hằng số (2.23) 2.2. Hệ rời rạc 2.2.1. Mô tả Xét hệ thống nhận tín hiệu vào x(n), tác động lên x(n) và tạo thành tín hiệu ra y(n). Quá trình tác động của hệ thống lên x(n) thường biểu diễn là H. Quá trình này thường được ký hiệu là: y(n) = H[x(n)] (2.24) Hay: x(n) H y(n) Thông thường đối với các hệ thống, ta chỉ quan tâm đến quá trình biến đổi mà không cần quan tâm đến cấu trúc của hệ thống (hệ thống xem như là một "hộp đen" đối với người sử dụng)  ta chỉ cần biết quan hệ giữa ngõ vào và ngõ H x(n) y(n) Xử lý số tín hiệu Chương 2: Tín hiệu rời rạc theo thời gian Trang 14 GV: Phạm Hùng Kim Khánh ra của hệ thống (input-output relationship). Khi đó, hệ thống thường được mô tả bằng phương trình tín hiệu vào – ra. VD: Xét tín hiệu x(n) =     khác0 3nn x(n) = {3,2,1,0,1,2,3}  Đáp ứng của hệ thống ứng với các phương trình tín hiệu khác nhau: - y(n) = x(n – 1): Cách thức đơn giản để tính toán đáp ứng của hệ thống là thay tất cả các giá trị của n cho đến khi các giá trị này đều bằng 0. y(n) = {3,2,1,0,1,2,3}  - y(n) = x(n + 1): y(n) = {3,2,1,0,1,2,3}  - y(n) = [x(n – 1) + x(n) + x(n + 1)]/3 y(n) = {1,5/3,2,1,2/3,1,2,5/3,1}  - y(n) = max{x(n – 1), x(n), x(n + 1)} y(n) = {3,3,3,2,1,2,3,3,3}  - y(n) =    n i )in(x y(n) = {3,5,6,6,7,9,12}  Ngoài cách biểu diễn hệ thống bằng phương trình, ta còn có thể biểu diễn hệ thống bằng các sơ đồ khối: - Bộ cộng: Để tạo bộ trừ, ta có thể thêm dấu trừ vào trước khi đưa vào ký hiệu cộng - Bộ nhân với hằng số: x1(n) x2(n) y(n) = x1(n) + x2(n) x(n) y(n) = ax(n) a Xử lý số tín hiệu Chương 2: Tín hiệu rời rạc theo thời gian Trang 15 GV: Phạm Hùng Kim Khánh - Bộ nhân tín hiệu: - Bộ trễ đơn vị: Để tạo trễ nhiều hơn 1 có thể thực hiện bằng cách ghép nối tiếp nhiều bộ trễ đơn vị với nhau: Hay cũng có thể biểu diễn: - Bộ sớm đơn vị: Bộ sớm cũng có thể thực hiện giống như bộ trễ. VD: Biểu diễn các hệ thống theo sơ đồ khối:  y(n) = )1n(x 2 1 )n(x 2 1 )1n(x 4 1   y(n) = 2x1(n) – x2(n) + 2x1(n)x2(n)  y(n) = 3[x1(n) – 2x2 2 (n)] x1(n) x2(n) y(n) = x1(n)x2(n) x(n) z -1 y(n) = x(n - 1) x(n) z y(n) = x(n + 1) x(n) z -1 y(n) = x(n - 2) z -1 x(n) z -2 y(n) = x(n - 2) z -1 z x(n) y(n) 1/4 1/2 1/2 x1(n) x2(n) y(n) 2 -1 2 Xử lý số tín hiệu Chương 2: Tín hiệu rời rạc theo thời gian Trang 16 GV: Phạm Hùng Kim Khánh  y(n) = 2y(n – 1) + x(n) + 3x(n – 2) 2.2.2. Phân loại 2.2.1.1. Hệ thống động và hệ thống tĩnh Hệ thống tĩnh là hệ thống có ngõ ra là hàm của tín hiệu ngõ vào không trễ, không sớm. Ví dụ như hệ thống y(n) = ax(n) + bx3(n) là hệ thống tĩnh. Hệ thống này sử dụng tín hiệu vào trực tiếp, không cần biết đến các trạng thái sớm hay trễ nên còn được gọi là hệ thống không nhớ (memoryless). Hệ thống động hay có nhớ là hệ thống sử dụng thêm trạng thái sớm hay trễ của tín hiệu. Nếu ngõ ra tín hiệu chỉ xác định được khi phải biết tất cả các giá trị từ n – N đến n thì hệ thống được gọi là nhớ với chu kỳ N. - Nếu N = 0 thì hệ thống là tĩnh - Nếu 0 < N <: hệ thống nhớ hữu hạn - Nếu N = : hệ thống nhớ vô hạn VD: y(n) =    n 0k )kn(x là hệ thống nhớ hữu hạn y(n) =     0k )kn(x là hệ thống nhớ vô hạn 2.2.1.2. Hệ thống bất biến và hệ thống biến thiên theo thời gian Một hệ thống gọi là bất biến theo thời gian nếu đặc tính ngõ vào – ngõ ra không thay đổi theo thời gian. Định lý: Hệ thống H bất biến theo thời gian nếu và chỉ nếu: y(n) = H[x(n)]  y(n – k) = H[x(n – k)] (2.25) với mọi x(n) và khoảng dịch k. VD: Xác định các tín hiệu sau là bất biến hay biến thiên theo thời gian  y(n) = x(n) – x(n – 1) (bộ sai phân) y(n,k) = x(n – k) – x(n – k – 1) Xử lý số tín hiệu Chương 2: Tín hiệu rời rạc theo thời gian Trang 17 GV: Phạm Hùng Kim Khánh Tạo trễ tín hiệu y(n) một khoảng k: y(n – k) = x(n – k) – x(n – k – 1)  hệ thống bất biến theo thời gian  y(n) = nx(n) (bộ nhân thời gian) y(n,k) = (n – k)x(n – k) Tạo trễ tín hiệu y(n) một khoảng k: y(n – k) = nx(n – k)  hệ thống biến thiên theo thời gian  y(n) = x(-n) (bộ tạo ảnh gương) y(n,k) = (-n – k) Tạo trễ tín hiệu y(n) một khoảng k: y(n – k) = x(-(n – k)) = x(-n + k)  hệ thống biến thiên theo thời gian  y(n) = x(n)cosn (bộ điều chế) y(n,k) = x(n – k)cos(n – k) Tạo trễ tín hiệu y(n) một khoảng k: y(n – k) = x(n – k)cos(n – k)  hệ thống bất biến theo thời gian 2.2.1.3. Hệ thống tuyến tính và hệ thống phi tuyến Định lý: Hệ thống là tuyến tính nếu và chỉ nếu: H[a1x1(n) + a2x2(n)] = a1H[x1(n)] + a2H[x2(n)] (2.26) với mọi tín hiệu ngõ vào x1(n), x2(n) và các hằng số a1, a2. Từ phương trình (2.26), nếu a2 = 0: H[a1x1(n)] = a1H[x1(n)] = a1y1(n) (2.27)  hệ thống tuyến tính có tính tỉ lệ Xét trường hợp a1 = a2 = 1: H[x1(n) + x2(n)] = H[x1(n)] + H[x2(n)] = y1(n) + y2(n) (2.28)  hệ thống tuyến tính có tính cộng Xét trường hợp a1 = a2 = 0: H[0] = 0 (2.29) Nghĩa là nếu x(n) = 0 mà y(n)  0 thì hệ thống là phi tuyến. Hệ thống thỏa mãn phương trình (2.29) gọi là hệ thống lỏng (relaxed system). VD: Xác định các tín hiệu sau là tuyến tính hay phi tuyến  y(n) = nx(n) y1(n) = nx1(n) Xử lý số tín hiệu Chương 2: Tín hiệu rời rạc theo thời gian Trang 18 GV: Phạm Hùng Kim Khánh y2(n) = nx2(n) y3(n) = H[a1x1(n) + a2x2(n)] = n[a1x1(n) + a2x2(n)] = a1nx1(n) + a2nx2(n) = a1y1(n) + a2y2(n)  hệ thống tuyến tính  y(n) = x(n2) y1(n) = x1(n 2 ) y2(n) = x2(n 2 ) y3(n) = H[a1x1(n) + a2x2(n)] = a1x1(n 2 ) + a2x2(n 2 ) = a1y1(n) + a2 y2(n)  hệ thống tuyến tính  y(n) = x2(n) y1(n) = x1 2 (n) y2(n) = x2 2 (n) y3(n) = H[a1x1(n) + a2x2(n)] = [a1x1(n) + a2x2(n)] 2 = a1x1 2 (n) + a2x2 2 (n) + 2a1a2x1(n)x2(n)  a1y1(n) + a2y2(n)  hệ thống phi tuyến  y = Ax(n) + B y1(n) = Ax1(n) + B y2(n) = Ax2(n) + B y3(n) = H[a1x1(n) + a2x2(n)] = A[a1x1(n) + a2x2(n)] + B = a1Ax1(n) + a2Ax2(n) + B = a1y1(n) + a2y2(n) + B(1 – a1 – a2)  nếu B = 0: hệ thống tuyến tính, B  0: hệ thống phi tuyến  y(n) = ex(n) y1(n) = )n(x1e y2(n) = )n(x2e y3(n) = H[a1x1(n) + a2x2(n)] = )n(xa)n(xa 221ae  = )n(xa)n(xa 221a ee  a1 )n(x1e + a2 )n(x2e  hệ thống phi tuyến Ta có thể xác định hệ thống phi tuyến dựa vào (2.29) như sau: nếu x(n) = 0 thì y(n) = e x(n) = e 0 = 1  0 nên hệ thống là phi tuyến. 2.2.1.4. Hệ thống nhân quả và không nhân quả Định lý: Hệ thống là nhân quả nếu và chỉ nếu ngõ ra của hệ thống chỉ phụ thuộc vào các ngõ vào ở hiện tại và quá khứ (x(n), x(n – 1), x(n – 2), …) mà không phụ thuộc vào ngõ vào ở tương lai (x(n + 1), x(n + 2), …). Hệ thống không thỏa mãn điều kiện này gọi là không nhân quả. Xử lý số tín hiệu Chương 2: Tín hiệu rời rạc theo thời gian Trang 19 GV: Phạm Hùng Kim Khánh VD: y(n) = x(n) – x(n – 1) là nhân quả y(n) = x(n 2 ) là không nhân quả y(n) = x(2n) là không nhân quả 2.2.1.5. Hệ thống ổn định và hệ thống bất ổn Định lý: Một hệ thống lỏng là ổn định nếu và chỉ nếu bất kỳ ngõ vào bị chặn nào cũng sẽ có ngõ ra bị chặn, nghĩa là tồn tại 2 số Mx, My hữu hạn sao cho: |x(n)|  Mx  |y(n)|  My (2.30) VD: y(n) = 2x(n) là ổn định y(n) = y 2 (n – 1) + x(n) Giả sử x(n) = 2(n) và y(-1) = 0 y(0) = y 2 (-1) + x(0) = 2 y(1) = y 2 (1) + x(1) = 2 2 + 0 y(n) = y 2 (n – 1) + x(n – 1) = 22n không bị chặn  hệ thống bất ổn 2.3. Hệ LTI rời rạc (Discrete Time Linear Time Invariant) 2.2.3. Đáp ứng Thông thường ta giả sử hệ thống là tuyến tính và bất biến theo thời gian để thuận lợi trong việc phân tích và thiết kế. Hệ thống cũng thường xét là hệ thống nhân quả và lỏng (nghĩa là nếu ngõ vào bằng 0 thì ngõ ra cũng bằng 0). Xét tín hiệu rời rạc: x(n) = {1,4,-1,2,3}  Khi đó: x(n=0) = x(0)(0) = -1 x(n=1) = x(1)(1) = 2 x(n=-1) = x(-1)(-1) = 4 Như vậy, ngõ vào của hệ thống rời rạc x(n) có thể biểu diễn như sau: x(n) =     k )kn()k(x (2.31) Ta biểu diễn đáp ứng của hệ thống đối với ngõ vào đơn vị tại n = k là h(n,k): y(n,k) = h(n,k) = H{(n – k)} (2.32) Đáp ứng của hệ thống đối với tín hiệu x(n) bất kỳ là: Xử lý số tín hiệu Chương 2: Tín hiệu rời rạc theo thời gian Trang 20 GV: Phạm Hùng Kim Khánh y(n) = H{x(n)} =               kk )kn(H)k(x)kn()k(xH (2.33) y(n) =   k )k,n(h)k(x (2.34) Chú ý rằng (2.34) chỉ ứng dụng tính chất tuyến tính của hệ thống mà không dùng tính chất bất biến theo thời gian nên có thể áp dụng cho bất kỳ hệ thống tuyến tính lỏng nào. Trong hệ thống bất biến thời gian, đáp ứng xung của hàm trễ là: H{(n – k)} = h(n – k) (2.35) Theo (2.33) và (2.35): y(n) =     k )kn(h)k(x (2.36) Công thức (2.36) chính là tích chập của tín hiệu ngõ vào x(n) và đáp ứng xung đơn vị h(n). Quá trình tính tích chập y(n0) có thể mô tả như sau:  Tạo ảnh gương: tạo ảnh tại k = 0 để tạo thành h(-k).  Dịch h(-k) sang phải nếu n0 > 0 và sang trái nếu n0 < 0 để tạo thành h(n0 – k).  Nhân x(k) với h(n0 – k) để tạo chuỗi v(n0) = x(k)h(n0 – k).  Cộng tất cả các giá trị của chuỗi v(n0) để tính giá trị ngõ ra tại n = n0. VD: Xác định ngõ ra của hệ thống có đáp ứng xung h(n) = {1,2,1,-1} với ngõ vào x(n) = { 1,2,3,1}   Tính toán tại n = 0:  Tạo ảnh gương: h(-k) = {-1,1,2,1}   Do n = 0 nên không thực hiện dịch  Nhân với x(k): v(0) = {0,0,2,2,0,0}   y(0) =  )0(v = 4 Tính toán tương tự: y(n) = { 1,4,8,8,3,-2,-1}  2.3.1. Tính chất 2.3.1.1. Tính giao hoán Ta xét một biến m = n – k hay k = n – m. Thế vào (2.36): Xử lý số tín hiệu Chương 2: Tín hiệu rời rạc theo thời gian Trang 21 GV: Phạm Hùng Kim Khánh y(n) =     m ))mn(n(h)mn(x =     m )m(h)mx (2.37) Hay ta có thể viết: y(n) =     k )k(h)kn(x (2.38) Xét hai chuỗi: v(n) = x(k)h(n-k) (2.39) w(n) = x(n – k)h(k) = v(n – k) Như vậy, v(n) và w(n) là 2 chuỗi có số lượng phần tử giống nhau nhưng vị trí khác nhau. Do đó: y(n) =         kkk )n(v)kn(v)n(w (2.40) Từ (2.39) và (2.40): x(n) * h(n) = h(n) * x(n) (2.41) Hình 2.6 – Tính giao hoán VD: Xác định ngõ ra của hệ LTI với đáp ứng xung: h(n) = a n u(n), |a| < 1 và ngõ vào là hàm bước đơn vị: x(n) = u(n) Ta dùng phương trình (2.38), thực hiện tạo ảnh gương của x(k). x(-k) = {…,1,1,1,1,1,1}  h(k) = {1,a,a 2 ,a 3 ,a 4,…}  Tại n = 0: y(0) =     k )k(h)k(x = 1 Tại n = - 1: h(k) = {1,a,a 2 ,a 3 ,a 4,…}  x(-1-k) = {…,1,1,1,1,1,1,0}  h1(n) h2(n) x(n) y(n) h2(n) h1(n) x(n) y(n) Xử lý số tín hiệu Chương 2: Tín hiệu rời rạc theo thời gian Trang 22 GV: Phạm Hùng Kim Khánh y(-1) = 0 Tại n = 1: h(k) = {1,a,a 2 ,a 3 ,a 4,…}  x(1-k) = {…,1,1,1,1,1,1}  y(1) = 1 + a Tại n = 2: h(k) = {1,a,a 2 ,a 3 ,a 4,…}  x(2-k) = {…,1,1,1,1,1,1}  y(2) = 1 + a + a 2 Tương tự: y(n) = 1 + a + … + an = a1 a1 a 1nn 0k k       Từ đó: y() = a1 1 )n(ylim n    2.3.1.2. Tính kết hợp [x(n)*h1(n)]*h2(n) = x(n)*[h1(n)*h2(n)] (2.42) Hình 2.7 – Tính kết hợp VD: Xác định đáp ứng xung của hai hệ LTI ghép liên tầng có các đáp ứng xung lần lượt là: h1(n) = (½) n u(n) h2(n) = (¼) n u(n) Đáp ứng xung của 2 hệ là: h(n) =     k 21 )kn(h)k(h Xét chuỗi: v(n) = h1(k)h2(n – k) = (½) k (¼) n-k u(k)u(n-k) Như vậy, v(n)  0 khi k  0 và n – k  0  n  k  0. Nghĩa là v(n) = 0 khi n < 0. h1(n) h2(n) h1(n) * h2(n) x(n) y(n) y(n) x(n) Xử lý số tín hiệu Chương 2: Tín hiệu rời rạc theo thời gian Trang 23 GV: Phạm Hùng Kim Khánh Từ đó: h(n) =       n 0k kn 4 1k 2 1 =     n 0k kn 4 1 2 =    12 1nn 4 1  với n  0 Như vậy: h(n) =    12 1nn 4 1  u(n) 2.3.1.3. Tính phân phối [x(n)* [h1(n) + h2(n)] = x(n)*h1(n) + x(n)*h2(n) (2.43) Hình 2.8 – Tính phân phối Nếu có nhiều hệ LTI mắc song song thì đáp ứng tổng cộng của hệ thống là: h(n) =  1i i )n(h (2.44) 2.3.2. Hệ LTI nhân quả Hệ LTI nhân quả là hệ chỉ phụ thuộc vào trạng thái của hệ thống tại thời điểm hiện tại và quá khứ mà không phụ thuộc vào thời điểm tương lai. Do đó, tại n = n0: y(n0) =         0k 0 1 k 0 k 0 )kn(x)k(h)kn(x)k(h)kn(x)k(h không phụ thuộc vào các trạng thái n > n0 khi các hệ số h(k) = 0 với k < 0. Nghĩa là: h(n) = 0 khi n < 0 (2.45) Như vậy, hệ thống LTI là nhân quả nếu và chỉ nếu đáp ứng xung cũng là nhân quả. Từ đó, ngõ ra của hệ thống nhân quả là: y(n) =     0k )kn(x)k(h (2.46) Hay: y(n) =    n k )kn(h)k(x (2.47) Trong trường hợp tín hiệu ngõ vào là nhân quả, nghĩa là x(n) = 0 khi n < 0 thì: y(n) =    n 0k )kn(x)k(h (2.48) h1(n) h2(n) h1(n) + h2(n) x(n) y(n) y(n) x(n) Xử lý số tín hiệu Chương 2: Tín hiệu rời rạc theo thời gian Trang 24 GV: Phạm Hùng Kim Khánh Hay: y(n) =    n 0k )kn(h)k(x (2.49) VD: Xác định ngõ ra của hệ LTI với đáp ứng xung: h(n) = a n u(n), |a| < 1 và ngõ vào là hàm bước đơn vị: x(n) = u(n) Do h(n) và x(n) là nhân quả nên áp dụng (2.48): y(n) =    n 0k n )kn(u)n(ua = a1 a1 1n    2.3.3. Sự ổn định Hệ thống ổn định khi tín hiệu vào hữu hạn thì ngõ ra hữu hạn. Nghĩa là: nếu tồn tại số Mx sao cho: |x(n)|  Mx <  thì |y(n)|  My < . Từ (2.38), lấy trị tuyệt đối: |y(n)| =     k )kn(x)k(h      k )kn(x)k(h |y(n)|    k x )k(hM Để |y(n)| hữu hạn thì:   k )k(h hữu hạn (2.50) Như vậy, để hệ thống ổn định thì tổng giá trị tuyệt đối của đáp ứng xung tại tất cả các thời điểm là hữu hạn. Trường hợp   k )k(h vô hạn, xét ngõ vào: x(n) =       0)n(h0 0)n(h )n(h )n(*h Trong đó h*(n) là liên hiệp phức của h(n). Ta có: y(0) =     k )k(h)k(x =   k )k(h )k(h)k(*h =   k )k(h vô hạn Từ đó, y(n) không bị chặn. Như vậy, (2.50) cũng là điều kiện cần để hệ thống ổn định. VD: Xét điều kiện để hệ thống ổn định với đáp ứng xung: h(n) = a n u(n), |a| < 1 Do hệ thống là nhân quả nên (2.50) trở thành:   0k ka hữu hạn. Xử lý số tín hiệu Chương 2: Tín hiệu rời rạc theo thời gian Trang 25 GV: Phạm Hùng Kim Khánh Hay:         0k 1m m k a1 a1 lima hữu hạn Như vậy hệ thống ổn định khi |a| < 1. VD: Xét điều kiện để hệ thống ổn định với đáp ứng xung: h(n) =      0nb 0na n n Ta có:   k )k(h =   0k ka +    1 k kb =   0k ka + b 1 1 b 1 1 b 1 lim 1m m     =   0k ka + 1b b 1 1 lim 1m m     hữu hạn khi |a| 1 2.3.4. Đáp ứng xung vô hạn và hữu hạn Ở các phần trước, ta gọi đáp ứng xung của hệ thống là h(n). Để thuận tiện hơn, ta chia đáp ứng xung thành 2 phần: đáp ứng xung có thời gian hữu hạn (FIR – Finite duration Impulse Response) và đáp ứng xung có thời gian vô hạn (IIR – Infinite duration Impulse Response). Do hệ thống FIR chỉ có giá trị trong một khoảng thời gian xác định nên đối với hệ thống FIR: h(n) = 0 khi n < 0 và n ≥ M Ngõ ra của hệ thống FIR là: y(n) =     1M 0k )kn(x)k(h Như vậy, ngõ ra y(n) là kết hợp tuyến tính của các tín hiệu lấy mẫu x(n), x(n – 1), … x(n – M + 1). Ta gọi hệ thống FIR là hệ thống nhớ hữu hạn. 2.4. Phương trình sai phân 2.4.1. Hệ rời rạc đệ quy và không đệ quy Xét một hệ thống tính trung bình tích lũy của tín hiệu x(n): y(n) =   n 0k )k(x 1n 1 (2.51) Hay: (n + 1)y(n) =    1n 0k )k(x + x(n) = ny(n-1) + x(n) Xử lý số tín hiệu Chương 2: Tín hiệu rời rạc theo thời gian Trang 26 GV: Phạm Hùng Kim Khánh y(n) = )n(x 1n 1 )1n(y 1n n    (2.52) Như vậy ngõ ra y(n) có thể tính toán đệ quy thông qua y(n – 1) và ngõ vào x(n). Hệ thống như vậy được gọi là hệ đệ quy, trong đó tín hiệu ngõ ra tại thời điểm n y(n) phụ thuộc vào các giá trị ngõ ra ở quá khứ y(n – 1), y(n – 2), … y(n) = F{x(n),x(n – 1), …, y(n – 1), y(n – 2),…} (2.53) Ngược lại, nếu ngõ ra y(n) chỉ phụ thuộc ngõ vào thì hệ thống gọi là không đệ quy: y(n) = F{x(n),x(n – 1), …} (2.54) 2.4.2. Mô tả hệ LTI bằng phương trình sai phân hệ số hằng Giả sử ta có hệ thống đệ quy với phương trình: y(n) = ay(n – 1) + x(n) (2.55) Hình 2.9 – Hệ đệ quy đơn giản Ta có: y(0) = ay(-1) + x(0) y(1) = ay(0) + x(1) = a 2 y(-1) + x(1) + ax(0) y(n) = a n+1 y(-1) +    n 0k k )kn(xa , n ≥ 0 (2.56) Ngõ ra của hệ thống bao gồm 2 thành phần: điều kiện đầu y(-1) và đáp ứng của hệ thống đối với tín hiệu vào x(n). Nếu hệ thống lỏng (relaxed system) thì x(0) = 0  y(0) = 0 y(-1) = 0. Vậy, một hệ thống đệ quy là lỏng nếu điều kiện đầu = 0. Đáp ứng của hệ thống trong trường hợp này (zero – state response) là: yzs(n) =    n 0k k )kn(xa , n ≥ 0 (2.57) Chú ý rằng (2.57) là tổng chập của x(n) với đáp ứng xung h(n) = anu(n)  hệ thống mô tả bằng phương trình sai phân bậc 1 là hệ nhân quả và đáp ứng này gọi là đáp ứng buộc của hệ thống (forced response). Như vậy, hệ thống đệ quy lỏng mô tả bằng phương trình sai phân bậc 1 là hệ IIR LTI với đáp ứng xung h(n). Trong trường hợp hệ thống có y(-1) ≠ 0 và ngõ vào x(n) = 0 n. Đáp ứng của hệ thống trong trường hợp này (zero – input response) là: h(n) z -1 x(n) y(n) a Xử lý số tín hiệu Chương 2: Tín hiệu rời rạc theo thời gian Trang 27 GV: Phạm Hùng Kim Khánh yzi(n) = a n+1 y(-1), n ≥ 0 (2.58) Khi đó, đáp ứng này gọi là đặc tính của hệ thống do nó độc lập với ngõ vào và còn được gọi là đáp ứng tự do của hệ thống (free response). Tổng đáp ứng của hệ thống có thể mô tả như sau: y(n) = yzi(n) + yzs(n) Dạng phương trình sai phân tổng quát mô tả như sau: y(n) =    M 0k k N 1k k )kn(xb)kn(ya (2.59) Hay: 1a,)kn(xb)kn(ya 0 M 0k k N 0k k    (2.60) N gọi là bậc của phương trình sai phân (bậc của hệ thống). 2.4.3. Đáp ứng của hệ LTI đệ quy Đáp ứng xung của hệ thống LTI định nghĩa là đáp ứng của hệ thống với ngõ vào là hàm xung đơn vị. Trong trường hợp hệ thống đệ quy, h(n) chính là đáp ứng buộc của hệ thống khi ngõ vào là hàm xung đơn vị và giá trị đầu bằng 0. Với hệ thống đệ quy bậc 1, đáp ứng buộc của hệ thống (2.55): yzs(n) =    n 0k k )kn(xa (2.61) Khi x(n) = (n): yzs(n) =    n 0k k )kn(a = a n , n ≥ 0  Đáp ứng xung của hệ thống đệ quy bậc 1: h(n) = a n u(n) (2.62) Trong trường hợp bất kỳ: yzs(n) =    n 0k )kn(x)k(h (2.63) Khi x(n) = (n): yzs(n) =    n 0k )kn(x)k(h = h(n) 2.5. Thực thi của hệ thống rời rạc 2.5.1. Cấu trúc của hệ thống LTI Xét hệ thống bậc 1: y(n) = - a1y(n – 1) + b0x(n) + b1x(n – 1) (2.64) được mô tả như hình vẽ: Xử lý số tín hiệu Chương 2: Tín hiệu rời rạc theo thời gian Trang 28 GV: Phạm Hùng Kim Khánh Hình 2.10 – Dạng trực tiếp 1 Dạng biểu diễn của hệ thống sử dụng cả bộ trễ ở cả ngõ ra và ngõ vào gọi là cấu trúc dạng trực tiếp loại 1. Hệ thống trên hình 2.10 được biểu diễn ở dạng 2 hệ thống ghép liên tầng. Tầng đầu tiên không đệ quy mô tả như sau: v(n) = b0x(n) + b1x(n – 1) (2.65) Tầng thứ hai là tầng đệ quy: y(n) = - a1y(n - 1) + v(n) (2.66) Theo tính chất giao hoán của hệ LTI, ta có thể thay đổi vị trí của hai tầng đệ quy và không đệ quy: w(n) = - a1w(n – 1) + x(n) (2.67) y(n) = b0w(n) + b1w(n – 1) Hai phương trình sai phân (2.67) mô tả như hình vẽ sau: Hình 2.11 Theo hình 2.11, hai bộ trễ đều tạo thành tín hiệu w(n – 1) nên có thể ghép thành chỉ một bộ trễ như sau: Hình 2.12 Sơ đồ hình 2.12 được gọi là cấu trúc dạng trực tiếp loại 2 và thướng được sử dụng trong các ứng dụng thực tế. Dựa vào phân tích của hệ bậc 1 trên, ta xét hệ thống biểu diễn bằng phương trình sai phân sau: z -1 z -1 x(n) y(n) v(n) b0 b1 -a1 z -1 z -1 x(n) y(n) w(n) b0 b1 -a1 z -1 x(n) y(n) w(n) b0 b1 -a1 Xử lý số tín hiệu Chương 2: Tín hiệu rời rạc theo thời gian Trang 29 GV: Phạm Hùng Kim Khánh y(n) = − 𝑎𝑘𝑦(𝑛 − 𝑘) 𝑁 𝑘=1 + 𝑏𝑘𝑥(𝑛 − 𝑘) 𝑀 𝑘=0 (2.68) Cấu trúc trực tiếp loại 1 và loại 2 của (2.68) mô tả như sau; Hình 2.13 – Cấu trúc trực tiếp loại 1 Hình 2.14 – Cấu trúc trực tiếp loại 2 Xét trường hợp của phương trình (2.68) với ak = 0 (k = 1, …, N): y(n) = 𝑏𝑘𝑥(𝑛 − 𝑘) 𝑀 𝑘=0 (2.69) là hệ LTI không đệ quy. Hệ thống này dùng M+1 mẫu của tín hiệu ngõ vào và mỗi mẫu ứng với một bộ cộng có trọng số tương ứng là bk, nghĩa là ngõ ra là trung bình động (moving average) của ngõ vào. Hệ thống này còn được gọi là z -1 z -1 x(n) y(n) b0 b1 -a1 z -1 z -1 z -1 z -1 bM -aN b2 -a2   z -1 x(n) y(n) b0 b1 -a1 z -1 z -1 bM -aN -aM   Xử lý số tín hiệu Chương 2: Tín hiệu rời rạc theo thời gian Trang 30 GV: Phạm Hùng Kim Khánh hệ thống trung bình động (MA system). Hệ thống này chính là hệ thống FIR với đáp ứng xung: h(n) = 𝑏𝑛 0 ≤ 𝑛 ≤ 𝑀 0 𝑘ℎá𝑐 (2.70) Xét (2.68) với M = 0: y(n) = − 𝑎𝑘𝑦(𝑛 − 𝑘) 𝑁 𝑘=1 + 𝑏0𝑥(𝑛) (2.71) Hệ thống này gọi là hệ đệ quy thuần túy (purely recursive). Khi đó, ngõ ra của hệ thống là kết hợp tuyến tính giữa N ngõ ra trước đó và giá trị hiện tại của ngõ vào. 2.5.2. Hệ thống FIR đệ quy và không đệ quy Xét phương trình cơ bản của hệ thống nhân quả , đệ quy: y(n) = F[y(n – 1), …, y(n – N), x(n), …, x(M)] (2.72) Hay cụ thể hơn là phương trình sai phân biểu diễn hệ LTI: y(n) = − 𝑎𝑘𝑦(𝑛 − 𝑘) 𝑁 𝑘=1 + 𝑏𝑘𝑥(𝑛 − 𝑘) 𝑀 𝑘=0 (2.73) Mặt khác, hệ thống nhân quả không đệ quy mô tả bằng phương trình: y(n) = F[x(n), …, x(M)] (2.74) và hệ LTI biểu diễn bằng phương trình (2.73) với ak = 0 (k = 1, …, N). Xét hệ thống FIR: y(n) = 1 𝑀+1 𝑥(𝑛 − 𝑘)𝑀𝑘=0 (2.75) Đáp ứng xung của hệ thống: h(n) = 1 𝑀+1 0 ≤ 𝑛 ≤ 𝑀 (2.76) Cấu trúc của hệ thống mô tả như sau: Hình 2.15 – Cấu trúc không đệ quy của hệ FIR Từ phương trình (2.75): y(n – 1) = 1 𝑀+1 𝑥(𝑛 − 1− 𝑘)𝑀𝑘=0 z -1 x(n) y(n) 1 𝑀 + 1 z -1  Xử lý số tín hiệu Chương 2: Tín hiệu rời rạc theo thời gian Trang 31 GV: Phạm Hùng Kim Khánh y(n) = 1 𝑀+1 𝑥 𝑛 − 𝑘 𝑀𝑘=0 = 1 𝑀+1 𝑥(𝑛 − 1− 𝑘)𝑀𝑘=0 + 1 𝑀+1 𝑥 𝑛 − 𝑥(𝑛 − 1−𝑀) y(n) = y(n – 1) + 1 𝑀+1 𝑥 𝑛 − 𝑥(𝑛 − 1−𝑀) (2.77) Phương trình (2.77) chính là phương trình đệ quy của hệ FIR với cấu trúc sau: Hình 2.16 – Cấu trúc đệ quy của hệ FIR 2.6. Tương quan của tín hiệu rời rạc 2.6.1. Chuỗi tương quan chéo và tự tương quan Xét hai tín hiệu năng lượng x(n) và y(n). Tương quan chéo (crosscorrelation) giữa hai tín hiệu này rxy(l) định nghĩa như sau: rxy(l) =     n )ln(y)n(x (2.78) Hay: rxy(l) =     n )n(y)ln(x (2.79) Nếu thay đổi x(n) bằng y(n) và ngược lại: ryx(l) =     n )ln(x)n(y (2.80) Hay: ryx(l) =     n )n(x)ln(y (2.81) So sánh (2.65) và (2.66): rxy(l) = ryx(-l) (2.82) Như vậy, ryx(l) là ảnh gương của rxy(l). VD: Xác định chuỗi tương quan chéo của các chuỗi sau: x(n) = {2,-1,3,7,1,2,-3}  z -1 x(n) y(n) 1 𝑀 + 1 z -1  x(n – 1 – M) -1 z -1 Xử lý số tín hiệu Chương 2: Tín hiệu rời rạc theo thời gian Trang 32 GV: Phạm Hùng Kim Khánh y(n) = {1,-1,2,-2,4,1,-2,5}  Theo (2.64), tại l = 0: v0(n) = x(n)y(n) = {2,1,6,-14,4,2,6}  rxy(0) =   n )n(y)n(x =   n 0 )n(v = 7 Với l > 0, ta thực hiện dịch phải y(n) và tính vl(n) = x(n)y(n-l) rxy(1) = 13 rxy(2) = -18 rxy(3) = 16 rxy(4) = -7 rxy(5) = 5 rxy(6) = -3 rxy(l) = 0 , l  7 Với l < 0, ta thực hiện dịch trái y(n) và tính vl(n) = x(n)y(n-l) rxy(-1) = 0 rxy(-2) = 33 rxy(-3) = -14 rxy(-4) = 36 rxy(-5) = 19 rxy(-6) = -9 rxy(-7) = 10 rxy(l) = 0 , l  -8 Như vậy, chuỗi tương quan chéo của x(n) và y(n) là: rxy(l) = {10,-9,19,36,-14,33,0,7,13,-18,16,-7,5,-3} Trong trường hợp y(n) = x(n) thì tương quan chéo trở thành tự tương quan (autocorrelation):  rxx(l) =     n )ln(x)n(x (2.83) Hay: rxx(l) =     n )n(y)ln(x (2.84) Xử lý số tín hiệu Chương 2: Tín hiệu rời rạc theo thời gian Trang 33 GV: Phạm Hùng Kim Khánh 2.6.2. Tính chất của chuỗi tương quan và tương quan chéo Xét 2 tín hiệu năng lượng x(n), y(n) và kết hợp tuyến tính của 2 tín hiệu này ax(n) + by(n – l) trong đó a, b là các hằng số bất kỳ. Năng lượng của tín hiệu này là:      n 2 )ln(by)n(ax =       n 22 n 22 )ln(yb)n(xa     n )ln(y)(xab2      n 2 )ln(by)n(ax = a 2 rxx(0) + b 2 ryy(0) + 2abrxy(l) (2.85) Ta có: a 2 rxx(0) + b 2 ryy(0) + 2abrxy(l)  0 (2.86) Giả sử b  0: 0)0(r b a )l(r2 b a )0(r yyxy 2 xx             Đây là bất phương trình bậc 2 với các hệ số rxx(0), 2rxy(l) và ryy(0) thoả mãn với a, b tuỳ ý nên:   0)0(r)0(r)l(r4 yyxx 2 xy  Mà rxx(0) = Ex và ryy(0) = Ey là năng lượng của x(n) và y(n). Do đó: yxyyxxxy EE)0(r)0(r)l(r  (2.87) Trường hợp y(n) = x(n): xxxxx EEE)l(r  (2.88) Nghĩa là chuỗi tự tương quan có giá trị lớn nhất tại l = 0 và chuỗi tương quan chéo có giá trị lớn nhất theo (2.73). Chuỗi tự tương quan và tương quan chéo chuẩn hoá được định nghĩa như sau: )0(r )l(r )l( xx xx xx  (2.89) )0(r)0(r )l(r )l( yyxx xy xy  (2.90)  |xx(l)|  1 và |xy(l)|  1 Ta có: rxx(-l) =     n ))l(n(x)n(x =     n )n(x)ln(x = rxx(l)  chuỗi tự tương quan là chẵn  chỉ cần tính cho trường hợp l  0. VD: Tính chuỗi tự tương quan của x(n) = anu(n), 0 < a < 1 Xử lý số tín hiệu Chương 2: Tín hiệu rời rạc theo thời gian Trang 34 GV: Phạm Hùng Kim Khánh Hình 2.15 – Tính toán tự tương quan của chuỗi x(n) = anu(n) Xét l  0: rxx(l) =     n )ln(x)n(x =     ln lnnaa =     ln n2l aa rxx(l) = a -l (a 2l + a 2l+2 + …) = al(1 + a2 + a4 + …) = a1 a1 lima 2m2 m l     Do 0 < a < 1 nên: rxx(l) = a1 1 a l  = a1 1 a l  Xét l < 0: rxx(l) =     n )ln(x)n(x =     0n lnnaa =     0n n2l aa rxx(l) = a1 1 a l   = a1 1 a l  Như vậy: rxx(l) = a1 1 a l  -5 0 5 10 15 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -5 0 5 10 15 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -5 0 5 10 15 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -5 0 5 10 15 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 x(n) x(n – l) l  0 x(n – l) l < 0 rxx(l) Xử lý số tín hiệu Chương 2: Tín hiệu rời rạc theo thời gian Trang 35 GV: Phạm Hùng Kim Khánh rxx(0) = a1 1 a1 1 a 0     xx(l) = a |l| 2.6.3. Tương quan của chuỗi tuần hoàn Xét hai tín hiệu công suất x(n) và y(n). Tương quan chéo giữa hai tín hiệu này là: rxy(l) =      M Mn M )ln(y)n(x 1M2 1 lim (2.91) Tự tương quan: rxx(l) =      M Mn M )ln(x)n(x 1M2 1 lim (2.92) Nếu x(n) và y(n) là chuỗi tuần hoàn với chu kỳ N thì: rxy(l) =     1N 0n )ln(y)n(x N 1 (2.93) rxx(l) =     1N 0n )ln(x)n(x N 1 (2.94) Hai chuỗi tương quan rxy(l) và rxx(l) cũng là chuỗi tuần hoàn có chu kỳ N.