Phương pháp số trong tính toán kết cấu - Chương IV: Phần tử hai chiều chịu kéo và nén trong mặt phẳng phần tử

5/30/2015 1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC XÂY DỰNG Website:  Bộmôn Cầu và Công trình ngầm Website:  PHƯƠNG PHÁP SỐ  TRONG TÍNH TOÁN KẾT CẤU TS. NGUYỄN NGỌC TUYỂN Website môn học:  Link dự phòng: https://sites.google.com/site/tuyennguyenngoc/courses‐in‐ vietnamese/phuong‐phap‐so‐trong‐tinh‐toan‐ket‐cau Hà Nội, 5‐2015 202 CHƯƠNG IV Phần tử hai chiều chịu kéo và nén trong mặt phẳng phần tử 5/30/2015 2 203 Nội dung chương 4 • 4.1. Phần tử dạng tam giác chỉ chịu kéo nén trong mặt phẳng phần tử • 4.2. Phần tử dạng chữ nhật chỉ chịu kéo nén trong mặt phẳng phần tử 204 4.1. Phần tử dạng tam giác • Chọn đa thức xấp xỉ và ma trận hàm dạng – Xét phần tử dạng tam giác như hình vẽ. Phần tử có 3 nút i, j, k là các đỉnh của tam giác. Mỗi nút có 2 bậc tự do là 2 thành phần chuyển vị theo phương x và y – Véc tơ chuyển vị nút của phần tử là tập hợp các bậc tự do của cả 3 nút thuộc phần tử: x y i j vk = q6 ui = q1 k vj = q4 vi = q2 uk = q6 ui = q3 u(x,y) v(x,y) (x,y)      1 2 3 4 5 6T Ti i j j k keq u v u v u v q q q q q q  i kj 5/30/2015 3 205 Phần tử dạng tam giác (t.theo) – Do véc tơ {q}e chỉ có 6 thành phần, véc tơ tham số {a} của đa thức xấp xỉ cũng bao gồm 6 thành phần – Khi đó theo tam giác Pascal, trường chuyển vị chỉ có thể là tuyến tính. • Véc tơ chuyển vị của một điểm bất kỳ có tọa độ (x,y) thuộc phần tử sẽ gồm 2 thành phần u và v được viết như sau:      1 2 31 2 3 44 5 6 5 6 , 1 0 0 0 0 0 0 1,e e a a u x y aa a x a y x y d aa a x a y x yv x y a a                                       1 2 3 4 5 6 Tea a a a a a a 206 Phần tử dạng tam giác (t.theo) • Tam giác Pascal cho bài toán 2 chiều 5/30/2015 4 207 Phần tử dạng tam giác (t.theo) – Viết lại {d}e gọn hơn như sau: {d}e = [F(x,y)] {a}  (*) trong đó: với [P(x,y)] là ma trận các đơn thức: – Thực hiện đồng nhất chuyển vị nút với giá trị của hàm chuyển vị tại các nút. Ví dụ thực hiện đồng nhất tại nút i như sau:    , 1P x y x y            , 0 , 0 , P x y F x y P x y                ,i i nút i u F x y a v          208 Phần tử dạng tam giác (t.theo) – Tương tự thực hiện đồng nhất cho các nút j và k ta sẽ tìm được véc tơ chuyển vị nút {q}e như sau: trong đó: (xi,yi) ; (xj,yj) và (xk,yk) lần lượt là các tọa độ các nút i,  j và k của phần tử đang xét.           , , , nút i i i j je nút j k k nút k u v F x y u q F x y a v F x yu v                                        5/30/2015 5 209 Phần tử dạng tam giác (t.theo) – Viết lại {q}e như sau: Hoặc viết gọn lại như sau:   1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 i i nút i i i j j e j jnút j k k k knút k u x yq a v x yq a x yq au q q av x y q ax yu q ax yv                                                                                  eq H a 210 Phần tử dạng tam giác (t.theo) – Từ phương trình của véc tơ chuyển vị nút {q}e : => Có thể tìm được véc tơ tham số {a} như sau: Với: [H]‐1 là ma trận nghịch đảo của ma trận [H]     eq H a      1 ea H q 5/30/2015 6 211 Phần tử dạng tam giác (t.theo) có : trong đó A là diện tích của phần tử (diện tích tam giác có 3  đỉnh là i, j, k):   1 1 1det 1 2 2 1 i i j j j k k j k i i k i j j i k k x y A x y x y x y x y x y x y x y x y               1 0 0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 02 0 0 0 0 0 0 j k k j k i i k i j j i j k k i i j k j i k j i j k k j k i i k i j j i j k k i i j k j i k j i x y x y x y x y x y x y y y y y y y x x x x x x H x y x y x y x y x y x yA y y y y y y x x x x x x                          212 Phần tử dạng tam giác (t.theo) có thể viết lại [H]‐1 ngắn gọn hơn như sau: trong đó: i j k k j j k i i k k i j j i a x y x y a x y x y a x y x y         1 0 0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 02 0 0 0 0 0 0 i j k jk ki ij kj ik ji i j k jk ki ij kj ik ji a a a y y y x x x H a a aA y y y x x x              kj k j ik i k ji j i x x x x x x x x x       jk j k ki k i ij i j y y y y y y y y y       i kj y i kj x 5/30/2015 7 213 Phần tử dạng tam giác (t.theo) – Sau khi tìm được véc tơ tham số {a}  => thay {a} vào phương trình (*) để tìm chuyển vị {d}  trong đó:                        ma trận các hàm dạng Với:                1, , ,e e ed F x y a F x y H q N x y q                   1, ,N x y F x y H          0 0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 01, 0 0 0 1 0 0 02 0 0 0 0 0 0 i j k jk ki ij kj ik ji i j k jk ki ij kj ik ji a a a y y y x x xx y N x y x y a a aA y y y x x x                     (**)  ,N x y    214 Phần tử dạng tam giác (t.theo) Hay: trong đó: hoặc viết gọn hơn nữa:              , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , i j k i j k N x y N x y N x y N x y N x y N x y N x y                            1, 2 1, 2 1, 2 i jk k kj k j ki i ik i k ij j ji j N x y y x x x y y A N x y y x x x y y A N x y y x x x y y A                            1, 2 1, 2 1, 2 i i jk kj j j ki ik k k ij ji N x y a y x x y A N x y a y x x y A N x y a y x x y A                   5/30/2015 8 215 Phần tử dạng tam giác (t.theo) • Một số nhận xét: – (1) Nhận xét #1 • Hàm dạng Ni(x,y) sẽ có giá trị bằng 1 tại nút i và bằng 0 tại các nút j, k. tương tự: • Hàm dạng Nj(x,y) sẽ có giá trị bằng 1 tại nút j và bằng 0 tại các nút k, i. • Hàm dạng Nk(x,y) sẽ có giá trị bằng 1 tại nút k và bằng 0 tại các nút i, j. 216 Phần tử dạng tam giác (t.theo) • Do chuyển vị của các điểm trong phần tử là tuyến tính nên đồ thị các hàm dạng có dạng mặt phẳng và được biểu diễn như sau: i j k 1 Ni(x,y) i j k 1 Nj(x,y) i j k 1Nk(x,y) 5/30/2015 9 217 Phần tử dạng tam giác (t.theo) • Chứng minh hàm dạng Ni(x,y) có giá trị bằng 1 tại nút i và bằng 0 tại các nút j, k như sau:   1, 2i i i i jk i kj i N x y a y x x y A           1 2 j k k j j k i k j i x y x y y y x x x y A              1 2 1 2 2j k k j i j i j i k i k Ax y x y x y y x y x x y A A                1 2 j k k j j k j k j j x y x y y y x x x y A           1, 2i j j i jk j kj j N x y a y x x y A           1 0 2 j k k j j j j k j k j j x y x y x y x y y x y x A          218 Phần tử dạng tam giác (t.theo) – (2) Nhận xét #2 • Tổng các hàm dạng bằng 1 • Chứng minh như sau: Do nên        , , , , 1i j kN x y N x y N x y N x y      1 1 1, 2 2 2i jk kj j ki ik k ij ji N x y a y x x y a y x x y a y x x y A A A                         1 2 i j k jk ki ij kj ik ji a a a y y y x x x x y A                  0 0 2 jk ki ij j k k i i j kj ik ji k j i k j i i j k y y y y y y y y y x x x x x x x x x a a a A                         2, 1 2 AN x y A   5/30/2015 10 219 Phần tử dạng tam giác (t.theo) – (3) Nhận xét #3 • Từ phương trình (**), các thành phần chuyển vị theo các phương x, y của các điểm thuộc phần tử được biểu diễn như sau: hoặc: hoặc:      ,e ed N x y q                    1 3 5 2 4 6 , , , , , , , , i j k i j k u x y q N x y q N x y q N x y v x y q N x y q N x y q N x y                   1 2 3 4 5 6 , 0 , 0 , 0 0 , 0 , 0 , i j k i j k q q N x y N x y N x y q qN x y N x y N x y q q                                      , , , , , , , , i i j j k k i i j j k k u x y u N x y u N x y u N x y v x y v N x y v N x y v N x y       i j k ui=q1 u(x,y) u uj=q3 uk=q5 220 Phần tử dạng tam giác (t.theo) – Chuyển vị = ma trận hàm dạng * véc tơ chuyển vị nút phần tử – Tương tự, Biến dạng = ma trận biến dạng * véc tơ chuyển vị nút phần tử Ma trận biến dạng [B] được xác định bằng cách lấy đạo hàm của ma trận hàm dạng [N] như sau:      ,e ed N x y q         ,e eB x y q                 , 3 6 3 2 2 6 B N x y        5/30/2015 11 221 Phần tử dạng tam giác (t.theo) Ma trận lấy đạo hàm [∂] có dạng: Thực hiện đạo hàm để lấy được ma trận biến dạng [B] Chú ý: các thành phần của ma trận [B] là hằng số => biến dạng cũng như ứng suất trong phạm vi phần tử cũng là hằng số.   0 0 x y x y                 0 0 0 1 0 0 0 2 jk ki ij kj ik ji kj jk ik ki ji ij y y y B x x x A x y x y x y        i kj y i kj x 222 Phần tử dạng tam giác (t.theo) • Xác định ma trận độ cứng phần tử – Ma trận độ cứng phần tử được xác định như sau Vì độ dày của phần tử là t không đổi, các thành phần của ma trận [B] và [D] cũng là các hằng số do đó: Vậy:       Te V K B D B dV             T Te A A K B D B tdA B D B t dA         TeK tA B D B 5/30/2015 12 223 Phần tử dạng tam giác (t.theo) Các giá trị C1 và C2 là các tham số phụ thuộc vào tấm phần tử của bài toán ứng suất phẳng (1) hay bài toán biến dạng phẳng (2) – Thực hiện các phép nhân ma trận ta được ma trận độ cứng của phần tử tam giác như sau: Nếu đặt thì các số hạng trong ma trận [K]e như sau:   11 12 13 14 15 16 22 23 24 25 26 33 34 35 361 44 45 46 55 56 66 4e k k k k k k k k k k k k k k kC tK k k kA k k k             Đối xứng 21 2 C  224 Phần tử dạng tam giác (t.theo) : 2 211 jk kjk y x  12 2 kj jk jk kjk C x y y x  13 ki jk kj ikk y y x x  14 2 ik jk ki kjk C x y y x  15 jk ij kj jik y y x x  16 2 jk ji kj ijk C y x x y  2 2 22 kj jkk x y  23 2 kj ki ik jkk C x y x y  24 kj ik jk kik x x y y  25 2 kj ij jk jik C x y y x  26 ji kj jk ijk x x y y  2 2 33 ki ikk y x  34 2 ik ki ik kik C x y x y  35 ki ij ik jik y y x x  36 2 ji ki ik ijk C x y x y  2 2 44 ik kik x y  45 2 ik ij ki jik C x y y x  46 ik ji ki ijk x x y y  2 2 55 ij jik y x  34 2 ji ij ji ijk C x y x y  2 2 66 ji ijk x y  i kj y i kj x 5/30/2015 13 225 Phần tử dạng tam giác (t.theo) – Khi vật liệu là đẳng hướng và có các đặc trưng vật liệu là: mô đun đàn hồi E, và hệ số Poatxong v thì các tham số C1 và C2 được tính như sau:  • (1) Bài toán ứng suất phẳng • (2) Bài toán biến dạng phẳng 1 21 EC   2C  2 1 C        1 1 1 1 2 E C       226 Phần tử dạng tam giác (t.theo) • Ví dụ 4.1.  Xét bài toán ứng suất phẳng gồm 2 phần tử tấm có kích thước như hình vẽ. Biết vật liệu của các phần tử là đẳng hướng và có mô đun đàn hồi Eo, hệ số Poisson vo ; chiều dày của các tấm phần tử là to. – Tìm chuyển vị tại các nút và ứng suất trong các tấm khi các tấm chịu tải trọng phân bố đều w. Eo = 200000MPa vo = 0.3    to = 5 mm a = 1800 mm b = 1600 mm w = 400N/mm a 1 2 21 34 b y x w 5/30/2015 14 227 228 5/30/2015 15 229 230 5/30/2015 16 231 232 5/30/2015 17 233 234 5/30/2015 18 235 236 5/30/2015 19 237 238 5/30/2015 20 239 240 5/30/2015 21 241 4.2. Phần tử dạng tứ giác • Chọn đa thức xấp xỉ và ma trận hàm dạng – Xét phần tử dạng tứ giác trong hệ tọa độ Oxy như hình vẽ.  Phần tử có 4 điểm nút i, j, k,  và l là các đỉnh của hình chữ nhật. Mỗi nút có 2 bậc tự do là 2 thành phần chuyển vị theo phương x và y. – Véc tơ chuyển vị nút của phần tử là tập hợp các bậc tự do của cả 4 nút thuộc phần tử:      1 2 3 4 5 6 7 8T Ti i j j k k l leq u v u v u v u v q q q q q q q q  x y vk = q6 uk = q5 vl = q8 ul = q7 vj = q4 uj = q3 vi = q2 ui = q1 a b i j l k e i l k j 242 Phần tử dạng tứ giác (t.theo) – Do véc tơ {q}e có 8 thành phần, véc tơ tham số {a} của đa thức xấp xỉ cũng bao gồm 8 thành phần – Véc tơ chuyển vị của một điểm bất kỳ có tọa độ (x,y) thuộc phần tử sẽ gồm 2 thành phần u và v được viết như sau:      1 2 3 41 2 3 4 55 6 7 8 6 7 8 , 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1,e e a a a u x y aa a x a y a xy x y xy d aa a x a y a xy x y xyv x y a a a                                           1 2 3 4 5 6 7 8 Tea a a a a a a a a 5/30/2015 22 243 Phần tử dạng tứ giác (t.theo) – Viết lại {d}e gọn hơn như sau: {d}e = [F(x,y)] {a}  (*) trong đó: với [P(x,y)] là ma trận các đơn thức: và {a} là véc tơ tham số: – Thực hiện đồng nhất chuyển vị nút với giá trị của hàm chuyển vị tại các nút. Ví dụ thực hiện đồng nhất tại nút i như sau:    , 1P x y x y xy            , 0 , 0 , P x y F x y P x y                ,i i nút i u F x y a v             1 2 3 4 5 6 7 8 Ta a a a a a a a a 244 Phần tử dạng tứ giác (t.theo) – Tương tự thực hiện đồng nhất cho các nút j và k ta sẽ tìm được véc tơ chuyển vị nút {q}e như sau: trong đó: (xi,yi) ; (xj,yj) ; (xk,yk) và (xl,yl) lần lượt là các tọa độ các nút i, j, k và l của phần tử đang xét.             , , , , nút i i i j jnút j e k k nút k l l nút l u v F x yu v F x y q a u F x y v F x y u v                                                        5/30/2015 23 245 Phần tử dạng tứ giác (t.theo) – Viết lại {q}e như sau: Hoặc viết gọn lại như sau:   1 2 3 4 5 6 7 8 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 nút i nút j e nút k nút l uq vq uq a vq a q q a b abu a b abq v bq u bq v                                                             1 2 3 4 5 6 7 8 a a a a a a a a                                   eq H a 246 Phần tử dạng tứ giác (t.theo) – Từ phương trình của véc tơ chuyển vị nút {q}e : => Có thể tìm được véc tơ tham số {a} như sau: Với: [H]‐1 là ma trận nghịch đảo của ma trận [H]     eq H a      1 ea H q   1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 01 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 ab b b a a H abab b b a a                   5/30/2015 24 247 Phần tử dạng tứ giác (t.theo) – Sau khi tìm được véc tơ tham số {a}  => thay {a} vào phương trình (*) để tìm chuyển vị {d}  trong đó:                        ma trận các hàm dạng Với:                1, , ,e e ed F x y a F x y H q N x y q                   1, ,N x y F x y H          0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 01, 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 ab b b a a x y xy N x y x y xy abab b b a a                          (**)  ,N x y    248 Phần tử dạng tứ giác (t.theo) Hay: trong đó:   0 0 0 0, 0 0 0 0 i j k l i j k l N N N N N x y N N N N          1 1 1 1 i j k l x yN a b x yN a b xyN ab y xN b a                           i j l k Ni1 i j l k Nj 1 i j l k Nk 1 i j l k Nl 1 5/30/2015 25 249 Phần tử dạng tứ giác (t.theo) • Một số nhận xét: – (1) Nhận xét #1 • Hàm dạng Ni(x,y) sẽ có giá trị bằng 1 tại nút i và bằng 0 tại các nút j, k, l. tương tự: • Hàm dạng Nj(x,y) sẽ có giá trị bằng 1 tại nút j và bằng 0 tại các nút k, i, l. • Hàm dạng Nk(x,y) sẽ có giá trị bằng 1 tại nút k và bằng 0 tại các nút i, j, l. • Hàm dạng Nl(x,y) sẽ có giá trị bằng 1 tại nút l và bằng 0 tại các nút i, j, k. 250 Phần tử dạng tứ giác (t.theo) – (2) Nhận xét #2 • Tổng các hàm dạng bằng 1 – (3) Nhận xét #3 • Từ phương trình (**), các thành phần chuyển vị theo các phương x, y của các điểm thuộc phần tử được biểu diễn như sau:          , , , , , 1i j k lN x y N x y N x y N x y N x y     i l k j      ,e ed N x y q      1 2 3 4 5 6 7 8 0 0 0 0 0 0 0 0 i j k l e i j k l q q q N N N N q d qN N N N q q q                        5/30/2015 26 251 Phần tử dạng tứ giác (t.theo) hoặc: hoặc:                     1 3 5 7 2 4 6 8 , , , , , , , , , , i j k l i j k l u x y q N x y q N x y q N x y q N x y v x y q N x y q N x y q N x y q N x y                             , , , , , , , , , , i i j j k k l l i i j j k k l l u x y u N x y u N x y u N x y u N x y v x y v N x y v N x y v N x y v N x y         i j l k u ui=q1 uk=q5 uj=q3 ul=q7 u(x,y) i j l k v vi=q2 vk=q6 vj=q4 vl=q8 v(x,y) 252 Phần tử dạng tứ giác (t.theo) – Chuyển vị = ma trận hàm dạng * véc tơ chuyển vị nút phần tử – Tương tự, Biến dạng = ma trận biến dạng * véc tơ chuyển vị nút phần tử Ma trận biến dạng [B] được xác định bằng cách lấy đạo hàm của ma trận hàm dạng [N] như sau:      ,e ed N x y q         ,e eB x y q                 , 3 8 3 2 2 8 B N x y        5/30/2015 27 253 Phần tử dạng tứ giác (t.theo) Ma trận lấy đạo hàm [∂] có dạng: Thực hiện đạo hàm để lấy được ma trận biến dạng [B]   0 0 x y x y                         0 0 0 0 1 0 0 0 0 b y b y y y B a x x x a x ab a x b y x b y x y a x y                     254 Phần tử dạng tứ giác (t.theo) • Xác định ma trận độ cứng phần tử – Ma trận độ cứng phần tử được xác định như sau Do Hoặc: Trong đó:       Te V K B D B dV              1, ,B N x y F x y H                1'B B H              ' , 3 8 3 2 2 8 B F x y        0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 x x y xy x y xyy x y                   5/30/2015 28 255 Phần tử dạng tứ giác (t.theo) Thực hiện đạo hàm để lấy được ma trận [B’] như sau: – Do vậy, ma trận độ cứng phần tử có thể được viết lại như sau: – Có thể đưa các ma trận [H]‐1 và ([H]‐1)T ra ngoài dấu tích phân do các ma trận này không chứa biến x và y. Do đó:   0 1 0 0 0 0 0 ' 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 y B x x y                       1 1' 'TT Te V V K B D B dV H B D B H dV                    1 1 0 0 ' ' b aTT T e V K B D B dV H B D B t dxdy H           256 Phần tử dạng tứ giác (t.theo) – Thực hiện phép nhân ma trận dưới dấu tích phân ta được: Trong đó: • Các giá trị C1 và C2 là các tham số phụ thuộc vào tấm phần tử của bài toán ứng suất phẳng (1) hay bài toán biến dạng phẳng (2)        2 2 2 2 2 2 1 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ' ' 0 0 0 0 0 1 T y C C x x y y x x C y xy C B D B C y x x y                           Đối xứng 21 2 C  5/30/2015 29 257 Phần tử dạng tứ giác (t.theo) – Tiếp tục thực hiện tích phân Ta được:             0 0 0 0 ' ' ' ' b a b a T TM B D B t dxdy t B D B dxdy            2 2 2 2 22 1 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 2 2 0 0 2 2 0 3 2 2 4 0 0 0 0 0 2 1 2 2 C ab C a b CC bb a a ab M C tab b a a b                              Đối xứng 258 Phần tử dạng tứ giác (t.theo) – Thực hiện các phép nhân ma trận ta được ma trận độ cứng của phần tử tứ giác như sau:   11 12 13 14 15 16 17 18 22 23 24 25 26 27 28 33 34 35 36 37 38 44 45 46 47 481 55 56 57 58 66 67 68 77 78 88 e k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k kC tK k k k kab k k k k k k                Đối xứng        1 1TeK H M H  5/30/2015 30 259 Phần tử dạng tứ giác (t.theo) 2 2 11 3 b ak   212 4 C k ab   2 2 13 2 6 a bk    214 4 C k ab    2 2 15 6 a bk     216 4 C k ab    2 2 17 2 6 b ak   218 4 C k ab   2 2 22 3 a bk  23 18k k 2 2 24 2 6 a bk  25 16k k 2 2 26 6 a bk   27 14k k 2 2 28 2 6 b ak   33 11k k 34 16k k 35 17k k 36 14k k 37 15k k 38 12k k 44 22k k 45 18k k 46 28k k 47 12k k 48 26k k 55 11k k 56 12k k 57 13k k 58 14k k 66 22k k 67 18k k 68 24k k 77 11k k 78 16k k 88 22k k 260 Phần tử dạng tứ giác (t.theo) – Khi vật liệu là đẳng hướng và có các đặc trưng vật liệu là: mô đun đàn hồi E, và hệ số Poatxong v thì các tham số C1 và C2 được tính như sau:  • (1) Bài toán ứng suất phẳng • (2) Bài toán biến dạng phẳng 1 21 EC   2C  2 1 C        1 1 1 1 2 E C       5/30/2015 31 261 Phần tử dạng tứ giác (t.theo) • Ví dụ 4.2.  Xét bài toán ứng suất phẳng gồm 2 phần tử tấm có kích thước như hình vẽ. Biết vật liệu của các phần tử là đẳng hướng và có mô đun đàn hồi Eo, hệ số Poisson vo ; chiều dày của các tấm phần tử là to. – Tìm chuyển vị tại các nút dưới tác dụng của tải trọng phân bố đều w. Eo = 200000MPa vo = 0.3    to = 5 mm a = 1800 mm b = 1600 mm w = 400N/mm a/2 1 2 21 46 b y x w 3 a/2 5 262 Phần tử dạng tứ giác (t.theo) 5/30/2015 32 263 Phần tử dạng tứ giác (t.theo) 264 5/30/2015 33 265 266 5/30/2015 34 267 268 5/30/2015 35 269 Phần tử dạng tứ giác (t.theo) 270 5/30/2015 36 271 272 Phần tử dạng tứ giác (t.theo) 5/30/2015 37 273 274