Đề thi học kỳ môn toán A1

Phụ lục I : Một số đề thi học kỳ môn toán a1 Đề 01 Câu 1: Chứng minh rằng Câu 2: Cho F={(x1,x2,x3)ẻR3:x1+2x2-x3=m , m là hằng số} Tìm m để F là không gian con của R3. Tìm một cơ sở của F khi m=0. Câu 3: Trong cơ sở E= của không gian M2x2 các ma trận vuông thực cấp 2 cho các véc tơ: a. Chứng minh rằng hệ C={C1,C2,C3,C4} là một cơ sở trong M2x2. b. Cho toạ độ của A trong cơ sở C là A=, hãy tìm toạ độ của A trong cơ sở E. Câu 4: Trong cơ sở chính tắc {e1,e2,e3} của R3 cho tự đồng cấu g xác định như sau: g(x1,x2,x3)=(x1-x2,x1-2x2+x3,x1+x2+2x3) Tìm ma trận của g trong cơ sở chính tắc {e1,e2,e3}. Tìm ma trận của g trong cơ sở {e1,2e3,-e2}. Câu 5: Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng của phép biến đổi tuyến tính j cho bởi ma trận sau A= Có tồn tại một cơ sở gồm toàn véc tơ riêng của j không? Nếu được hãy chéo hoá ma trận A. Câu 6: Đưa đường cong bậc hai có phương trình sau đây về dạng chính tắc: với mọi (x1,x2) thuộc R2. Đề 02 Câu 1: Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để là một số thực. Câu 2: Cho hệ phương trình Giải hệ với l=1. Tìm l để hệ có nghiệm. Câu 3: Cho M là tập các hàm số có dạng f(x)=a cosx+b sinx+c Với phép cộng hai hàm số và phép nhân hàm số với một số thông thường, chứng minh M là không gian tuyến tính trên R. Tìm số chiều và cơ sở của M. Câu 4: Trong cơ sở chính tắc của không gian R3 cho 3 véc tơ v1=(2,3,4), v2=(3,5,7), v3=(4,4,6) và phép biến đổi tuyến tính f: R3 đR3 xác định như sau: f(x1,x2,x3)=(2x1+x2+x3,3x1+2x2+x3,x1+x2+2x3) Chứng minh rằng hệ {v1,v2,v3} là một cơ sở của R3. Tìm toạ độ của véc tơ y=(2,-3,-4) trong cơ sở {v1,v2,v3}. Tìm ma trận của f theo cơ sở {v1,v2,v3}. Câu 5: Trong một cơ sở (B) của không gian M2x2 các ma trận vuông cấp hai với phép cộng hai ma trận và phép nhân một số với một ma trận thông thường, cho ánh xạ f : M2x2 đ M2x2 như sau: f Chứng minh f là một phép biến đổi tuyến tính trên M2x2. Xác định Kerf và dim Kerf. Câu 6: Trong một cơ sở trực chuẩn của R3 cho dạng toàn phương f(x,x)= với x=(x1,x2,x3)ẻR3. Đưa dạng toàn phương trên về dạng chính tắc bằng phép biến đổi trực giao. Đề 03 Câu 1: Cho phương trình ma trận Tìm X khi l=-2. Phương trình trên có khi nào vô nghiệm không? Tại sao? Câu 2: Trong không gian véc tơ R3 cho tập hợp V= Chứng minh rằng V là không gian con của R3. Tìm số chiều và một cơ sở của V. Câu 3: Trong không gian P3(x) các đa thức hệ số thực bậc nhỏ hơn hoặc bằng 3 xét ánh xạ: f[p(x)]=4p(x)-x2p”(x) "p(x)ẻP3(x) Chứng minh rằng f là ánh xạ tuyến tính. Tìm ma trận của f trong cơ sở {x2,x3,x,1}. Câu 4: Trong không gian các đa thức ẩn x bậc nhỏ hơn hoặc bằng bốn P4(x), chứng minh bằng tập các đa thức có nghiệm x=a, x=b (aạb) tạo thành một không gian con của P4(x). Tìm số chiều và một cơ sở của không gian con đó. Câu 5: Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một phép biến đổi tuyến tính trong R3 biến đổi hệ các véc tơ a1=(2,1,0), a2=(0,0,1), a3=(5,3,2) thành hệ các véc tơ b1=(-1,1,1), b2=(2,1,2), b3=(1,1,1). Tìm ma trận của phép biến đổi tuyến tính đó trên cơ sở chính tắc. Câu 6: Trong R2 cho dạng toàn phương f(x,x)= , x=(x1,x2) a. Dùng phép biến đổi trực giao đưa f(x,x) về dạng chính tắc. b. Nhận dạng đường bậc hai f(x,x)=1. Đề 04 Câu 1: Tính . Câu 2: Giả sử hệ các véc tơ {v1,v2,v3} của không gian tuyến tính E là độc lập tuyến tính và a1= v1+v2+v3 a2= v1-v2+v3 a3= v1+v2-v3 Chứng minh rằng hệ {a1,a2,a3} là độc lập tuyến tính. Câu 3: Trong R3 cho các không gian con sau: F={x=(x1,x2,x3)ẻR3: x1-2x2+x3=0} G=={x=(x1,x2,x3)ẻR3: 2x1-x2+x3=0} Tìm số chiều và một cơ sở tương ứng của F và G. b. Tìm số chiều và một cơ sở của không gian con FầG. Câu 4: Phép biến đổi tuyến tính j trong cơ sở a1=(-3,7), a2=(1,-2) có ma trận , phép biến đổi tuyến tính c trong cơ sở b1=(6,-7), b2=(-5,6) có ma trận . Tìm ma trận của joc và j+c trong cơ sở chính tắc. Câu 5: Trong không gian R3 cho một dạng song tuyến tính f(x,y)= "(x1,x2,x3),(y1,y2,y3)ẻR3 Tìm m để f(x,y) là một tích vô hướng trên R3. Câu 6: Cho dạng toàn phương f(x,x)= Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc và nêu rõ các chỉ số quán tính trong dạng chính tắc. Hệ cơ sở chính tắc của dạng toàn phương có phải là cơ sở trực chuẩn không? Tại sao? Đề 05 Câu 1: Dùng đẳng thức tính Câu 2: Cho H={(x,y,z)ẻR3 : x=5y+2z (y,zẻR)} Chứng minh rằng H là không gian con của R3. Tìm một cơ sở của H. Câu 3: Cho ánh xạ tuyến tính f: R4đR3 xác định như sau f(x1,x2,x3,x4)= Tìm ma trận A của ánh xạ f. Tìm Ker f và dim Im f. Câu 4: Tìm tất cả các giá trị của l sao cho dạng toàn phương sau là xác định dương trong R3: f(x,x)= với x=(x1,x2,x3) ẻR3. Câu 5: Cho ma trận A= Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng của A. Ma trận A có chéo hoá được không? Nếu được viết ma trận chéo B dưới dạng B=T -1AT và ma trận chuyển T. Câu 6: Giải và biện luận hệ phương trình Đề 06 Câu 1: Tìm miền biểu diễn hình học các số phức với z=x+iy. Câu 2: Tìm f(A) biết f(x)=x2-x-1 với A= Câu 3: Trong không gian R4 xét tập A= Chứng minh rằng A là không gian con của R4. Tìm số chiều và một cơ sở của A. Câu 4: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A= Câu 5: Trong một cơ sở trực chuẩn của R4 cho các véc tơ a1=(3,-1,5,1), a2=(0,2,-4,1) và b=(1,l,0,m) Tìm l,m để véc tơ b trực giao với hai véc tơ a1,a2. Với l,m tìm được hãy trực giao hoá hệ {b,a1,a2}. Câu 6: Cho ánh xạ tuyến tính f với ma trận A= Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng của A. Ma trận A có chéo hoá được không? Nếu được viết ma trận chéo B dưới dạng B=T –1AT. Đề 07 Câu 1: Đưa số phức sau về dạng lượng giác Câu 2: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A= Câu 3: Tìm đa thức bậc hai p(x)=ax2+bx+c biết p(1)=-1, p(-1)=9, p(2)=-3. Câu 4: Cho E là không gian Euclide trên R và aẻE, aạq. Gọi L={xẻE: =0} Chứng minh rằng L là không gian con của E. Cho {e1,e2,...,em} là một cơ sở của L. Chứng minh rằng {e1,e2,...,em,a} là một cơ sở của E. Câu 5: Biết rằng ma trận vuông A cấp n có n giá trị riêng là l1, l2,..., ln . Tìm các giá trị riêng của A3. Câu 6: Trong R3 cho hệ véc tơ {x,e1,e2,e3}với e1=(1,1,1), e2=(1,1,2), e3=(1,2,3), x=(6,9,14). Tìm hạng của hệ trên Hỏi {e1,e2,e3} có là một cơ sở của R3 không? Vì sao? Biểu diễn véc tơ x qua {e1,e2,e3}. Biểu diễn đó có duy nhất không? Đề 08 Câu 1: Đưa số phức sau về dạng lượng giác Câu 2: Với abcdeạ0 tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A= Câu 3: Giải hệ phương trình Câu 4: Cho f: R2 đR2 xác định bởi f(x,y)=(2x-y, -x+2y). Hãy tìm một cơ sở của R2 để trong cơ sở đó ma trận của f có dạng đường chéo và tìm ma trận đường chéo đó. Câu 5: Trong một cơ sở trực chuẩn của không gian Euclide R4 cho a1=(1,1,0,1), a2=(0,1,1,0). Với không gian con L={xẻR4:=0,=0} Tìm một cơ sở của L. Trực giao hoá hệ gồm các véc tơ a1,a2, và các véc tơ trong cơ sở của L vừa tìm được. Câu 6: Cho ánh xạ f: R3đR3 xác định bởi f(x,y,z)=(x+2y+2z,2x+y+2z,2x+2y+z) Chứng tỏ f là phép biến đổi tuyến tính Tìm một cơ sở trực chuẩn gồm các véc tơ riêng của f, viết ma trận của f trên cơ sở đó. Chứng tỏ f là song ánh trên R3, hãy xác định f –1. Đề 09 Câu 1: Tính Câu 2: Cho phương trình ma trận Giải phương trình trên khi l=0. Tìm l để hệ phương trình trên có vô số nghiệm. Câu 3: Cho ma trận A= Hỏi ma trận A có chéo hoá được không? Vì sao?. Nếu được, hãy tìm ma trận T để đưa ma trận A về dạng ma trận đường chéo B=T -1AT. Câu 4: Cho ánh xạ f: R3 đ R3 xác định bởi f(x,y,z)=(2x-y+z,-x+2y-z,z+m) Tìm m để f là một phép biến đổi tuyến tính. Tìm ma trận của f theo cơ sở chính tắc khi m=0. Câu 5: Trong một cơ sở trực chuẩn của không gian Euclide R4 cho các véc tơ a1=(1,-1,0,-1), a2=(0,1,-1,-1). Cho không gian con L={xẻR4: =0, =0} Tìm một cơ sở của L. Trực giao hoá hệ gồm các véc tơ a1,a2 và các véc tơ trong cơ sở vừa tìm được của L. Câu 6: Gọi M3x4 là không gian các ma trận 3 hàng, 4 cột và F là tập các ma trận có dạng . Chứng minh rằng F là không gian con của M3x4. Tìm số chiều và một cơ sở của F. Đề 10 Câu1: Cho . Hãy biểu diễn số phức (1+e)n dưới dạng lượng giác. Câu 2: Tìm ma trận X thoả mãn đảng thức X Câu 3: Cho L(X) là không gian con sinh bởi các véc tơ của tập X={a1,a2,a3,a4} với a1=(2,1,3,-1), a2=(-1,1,-3,1), a3=((4,5,3,-1), a4=(1,5,-3,1). Xác định số chiều và cơ sở của L(X). Hãy tìm tất cả cơ sở của L(X) có thể lấy được từ tập X. Câu 4: Cho ánh xạ f: R3 đR3 xác định bởi f(x,y,z)=(6x-2y-2z,-2x+3y,2x+3z) Chứng tỏ f là một phép biến đổi tuyến tính, tìm ma trận của f theo cơ sở chính tắc. Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng của f. Câu 5: Trong một cơ sở trực chuẩn của không gian Euclide R4, cho các véc tơ a1=(1,-1,2,1), a2=(0,1,-1,1) và b=(-1,b,1,g). Tìm b,g để véc tơ b trực giao với hai véc tơ a1 và a2. Với b,g tìm được hãy trực giao hoá hệ {a1,a2,b}. Câu 6: Chứng minh rằng nghịch đảo của ma trận tam giác trên không suy biến là một ma trận tam giác trên. Đề 11 Câu 1: Nếu chứng minh Câu 2: Tìm hạng của ma trận A= Với lẻR Câu 3: Trong R3 xét tập L= Chứng tỏ L là không gian con của R3. Tìm số chiều và một cơ sở của L. Câu 4: Với (x1,x2,x3) ẻR3, có giá trị nào của l để dạng toàn phương sau là dạng xác định dương trong R3 không? f(x,x)= Câu 5: Cho ma trận A= Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng của A. Ma trận A có chéo hoá được không? Tại sao? Nếu được hãy tìm ma trận T để ma trận B=T –1AT là ma trận đường chéo. Câu 6: Chứng minh rằng nghịch đảo của ma trận tam giác dưới không suy biến là một ma trận tam giác dưới. Đề 12 Câu 6: Cho phương trình ma trận Tìm X khi l=-2. Phương trình trên có bao giờ vô nghiệm không? Tại sao? Câu 3: Trong không gian R3 cho L= Chứng minh rằng L là không gian tuyến tính. Tìm số chiều và một cơ sở của L. Câu 4: Cho ma trận A= Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng của A. Ma trận A có chéo hoá được không? Tại sao? Nếu được hãy tìm ma trận T để ma trận B=T –1AT là ma trận đường chéo. Câu 5: Cho R3 là không gian Euclide với tích vô hướng thông thường. Cho v1=(1,1,0), v2=(0,1,1), v3=(1,0,1). Tìm véc tơ trực giao với v1,v2. Tìm véc tơ u trực giao với v1 sao cho (u,v2,v3) phụ thuộc tuyến tính. Câu 6: Tìm các số thực a,b,c để phương trình (1+ai)x4+(2a+bi)x3 - (5+ci)x2+(b+ci)x+4+ai=0 sau nhận ±1,±2 làm nghiệm, với i là đơn vị ảo. Đề 13 Câu 1: Chứng minh rằng Câu 2: Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số a Câu 3: Tìm a để ma trận sau xác định dương. A= Câu 4: Chứng minh rằng các giá trị riêng của ma trận nghịch đảo A-1 bằng nghịch đảo các giá trị riêng của ma trận A. Câu 5: Cho ma trận A= Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng của A. Ma trận A có chéo hoá được không? Tại sao? Nếu được hãy tìm ma trận T để ma trận B=T –1AT là ma trận đường chéo. Câu 6: Tìm tất cả các giá trị của a sao cho dạng toàn phương sau là xác định dương f(x,x)= Đề 14 Câu 1: Tính định thức Câu 2: Cho n đường thẳng trên mặt phẳng xác định bởi D1: a1x+b1y+c1=0 D2: a2x+b2y+c2=0 ... Dn: anx+bny+cn=0 Tìm điều kiện để n đường thẳng trên cùng đi qua một điểm. Câu 3: Gọi M2x2 là không gian các ma trận vuông cấp 2 trên R. Cho e’1=, e’2=, e’3=, e’4= a. Chứng minh rằng hệ {e’1,e’2,e’3,e’4} là một cơ sở của M2x2. b. Tìm toạ độ của theo cơ sở đó. Câu 4: Cho phương trình ma trận AX=B có nghiệm X1,X2. Tìm ma trận C sao cho phương trình AX=C có nghiệm X1+X2 K.X1 Câu 5: Gọi P2(x) là không gian các véc tơ đa thức hệ số thực có bậc nhỏ hơn hoặc bằng 2. Cho ánh xạ f: P2(x) đP2(x) xác định bởi f(p)=p”-2p’+3p "pẻP2(x) Chứng minh rằng f là ánh xạ tuyến tính. Tìm ma trận của f trong cơ sở {1,x,x2}. f có phải là song ánh không? Tại sao? Câu 6: Cho ma trận A= Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng của A. Ma trận A có chéo hoá được không? Nếu được viết ma trận chéo B dưới dạng B=T -1AT. Tài liệu tham khảo Ngô Thúc Lanh Đại số tuyến tính N.X.B. Giáo Dục 1978 Sze -Tsen Hu Đại số tuyến tính và phương trình vi phân N.X.B.Đại Học và T.H.Chuyên Nghiệp_1979 Nguyễn Đình Trí Đại số tuyến tính N.X.B Giáo Dục 1997 Đoàn Quỳnh và các tác giả Đại số tuyến tính N.X.B. Giáo Dục 1996 Nguyễn Xuân Hoàng Bài giảng Đại số tuyến tính Đ.H. Giao Thông Vận Tải Hà Nội 6. Trần văn Dũng , Trần Văn Minh Bài giảng Toán A4 Đ.H.Giao Thông Vận Tải Hà Nội 7. Trần Văn Minh Phương pháp số và chương trình bằng Turbo Pascal N.X.B. Khoa Học Kỹ Thuật 1998. 8. Nguyễn Quốc Chiến và các tác giả Giáo trình Quy hoạch tuyến tính_ Đ.H.Giao Thông Vận Tải Hà Nội_1994. 9. Trần Túc Bài giảng Quy hoạch tuyến tính Đ.H.Kinh Tế Quốc Dân _ 1997. 10. Faddeeva V.N.Computatonal Methods of Linear Algebra, Mir Pulishers 1973 11. David Kincaid and ward Choney Numerical analysis Mathmatics of scientific computing The University of Texas Austin 1990 12. Nguyễn Đình Trí Bài Tập Toán Cao Cấp Tập 1 Nhà Xuất Bản Giáo Dục_1999 13. Trần Văn Minh, Phí Thị Vân Anh Nguyễn Huy Hoàng, Nguyễn Văn Phấn Đại số tuyến tính N.X.B Giao Thông Vận Tải 2000. mục lục Chương 1: Khái niệm mở đầu về một số cấu trúc đại số 1.1 Tập hợp 1.2 ánh xạ 1.3 Sơ lược về Logíc mệnh đề 1.4 Quan hệ 1.5 Nhóm, Vành, Trường 1.6 Trường số phức C 1. Biểu diễn của số phức 2. Các phép toán trên tập các số phức 1.7 Nghiệm của đa thức trên trường số phức Chương 2: Ma trận và định thức 2.1 Ma trận 2.2 Định thức 2.3 Ma trận đảo 2.4 Hạng của ma trận Chương 3: Không gian tuyến tính 3.1 Khái niệm về không gian tuyến tính 3.2 Cơ sở và chiều của không gian tuyến tính 3.3 Không gian con Chương 4: Hệ phương trình tuyến tính 4.1 Khái niệm về hệ phương trình tuyến tính 4.2 Giải hệ phương trình tuyến tính 4.3 Hệ thuần nhất 1. Tập nghiệm của hệ thuần nhất là một không gian con 2. Tìm hệ nghiệm cơ sở của hệ thuần nhất 3. Cơ sở của giao hai không gian con Chương 5: ánh xạ tuyến tính 5.1 ánh xạ tuyến tính 5.2 Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính 5.3 Đẳng cấu của hai không gian tuyến tính 5.4 Tự đồng cấu và phép chuyển cơ sở Chương 6: Cấu trúc của tự đồng cấu Trị riêng và véc tơ riêng 1. Không gian con bất biến 2. Trị riêng và véc tơ riêng 3. Điều kiện để ma trận của tự đồng cấu có dạng đường chéo 4. Đa thức đặc trưng 5. Thuật toán chéo hoá ma trận Chương 7: Dạng song tuyến tính Dạng toàn phương 7.1 Dạng song tuyến tính 7.2 Dạng toàn phương 7.3 Không gian với tích vô hướng 7.4 Chéo hoá ma trận đối xứng bằng ma trận trực giao 7.5 Phân loại đường và mặt bậc hai Phụ lục