Trường điện từ - Chương 2: Định luật Coulomb và cường độ trường điện

CHƯƠNG 2 ĐỊNH LUẬT COULOMB VÀ CƯỜNG ĐỘ TRƯỜNG ĐIỆN 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 1 2.1 ĐỊNH LUẬT Coulomb 1. Định luật Coulomb Xét hai điện tích Q1 và Q2 trong không gian, thì điện tích này tác động lến điện tích kia một lực F: 1 2 2= Q QF k R (C1) Gỉa sử Q1 and Q2 là điện tích dương or âm, R là khỏang cách từ Q1 đến Q2, and k là một hằng số. 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 2 2.1 ĐỊNH LUẬT Coulomb Nếu dùng hệ SI , thì Q có đơn vị (C), R là (m) and F là newtons (N). Giá trị của k là 1 4pe = o k (C2) Trong đó gọi là độ điện thẩm tuyệt đối của chân không, và, đơn vị (F/m), có giá trị 12 918,854 10 10 ( / ) 36 e p - -= ´ =o F m (1) Định luật Coulomb 1 2 24pe = o Q QF R (2) Îo 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 3 2.1 ĐỊNH LUẬT Coulomb ! 2. Dạng vectơ of Coulomb’s law Figure 2.1 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 4 Trong hình 2.1: • r1 vectơ vị trí của Q1 và r2 vectơ vị trí của Q2. • R12 = r2 – r1 là khỏang cách từ Q1 đến Q2. • Vectơ F2 là lực do Q1 tác động lên Q2. 2.1 ĐỊNH LUẬT Coulomb 1 2 2 122 124pe = o Q Q R F a (3) • a12 = a vectơ đơn vị chỉ hương của R12, và 12 2 1 12 12 2 1| | - = = -R R r ra r r (4) 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 5 2.1 ĐỊNH LUẬT Coulomb EXAMPLE 2.1. A charge Q1 = 3 × 10–4C is located at M (1, 2, 3) and a charge of Q2 = –10–4C is at N (2, 0, 5) in a vacuum. Find the vector force exerted on Q2 by Q1. SOLUTION. The vector R12 pointing from the source point M to the field point N is R12 = (2 – 1)ax + (0 – 2)ay + (5 – 3)az = ax – 2ay + 2az leading to R12 = 3 and (ax – 2ay + 2az). Thus 4 4 9 2 2 2 2(3 10 )( 10 )(9 10 ) 33 - - - +æ ö´ - = ´ ç ÷ è ø x y za a aF or F2 = –10ax + 20ay – 20az (N) The magnitude of the force F2 is F2 = 30N 12 1 3 =a 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 6 2.1 ĐỊNH LUẬT Coulomb DRILL PROBLEM 2.1 A charge QA = – 20μC is located at A (–6, 4, 7), and a charge QB = 50μC is at B (5, 8, –2) in free space. 1) If distances are given in meters, find: (a) RAB; (b) RAB 2) Determine the vector force exerted on QA by QB if: (c) (d) eo= 8,854 × 10–12 (F/m) ANSWERS. (a) 11ax + ay – 9az (m) ; (b) 14,76 (m); (c) 3076ax + 1118ay – 2516az (mN); (d) 3072ax + 1117ay – 2513az (mN). 910 /(36 )(F/m)e p-=o 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 7 2.2 CƯỜNG ĐỘ ĐIỆN TRƯỜNG 1. Định nghĩa cường độ điện trường 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 8 Figure C2.1 2.2 CƯỜNG ĐỘ ĐIỆN TRƯỜNG Trong hình C2.1, xét Q1 cố định, và di chuyển điện tích thử Qt xung quanh Q1 ta thấy Qt luôn bị Q1 tác động một lực nghĩa là Qt ở trong một trường luật. Theo định luật Coulomb có: 1 12 14pe = tt t o t Q Q R F a Lực trên một đơn vị điện tích thử là Đây là trường vectơ và được gọi là cường độ điện trường 1 12 14pe =t t t o t Q Q R F a (3) (6) 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 9 2.2 CƯỜNG ĐỘ ĐIỆN TRƯỜNG 2. Cường độ điện trường do 1 điện tích điểm tạo ra Cường độ điện trường tại một điểm trương P là vectơ lực trên một đơn vị điện tích thử dương (Qt = 1C) tại P: ( / )= t t V m Q FE From (6) and (7), ta có (Fig C2.1): 1 12 14pe = t o t Q R E a (7) (8) 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 10 2.2 CƯỜNG ĐỘ ĐIỆN TRƯỜNG Figure C2.2 Cường độ điện trường do Q tạo ra tại P (See Fig C2.2) 24pe = R o Q R E a · R là vector hướng từ điểm gốc P’ đến điểm trường P · R = |R| là độ lớn của vector R · aR = R/R là vector đơn vị hướng P’ to P. (9) 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 11 2.2 CƯỜNG ĐỘ ĐIỆN TRƯỜNG 3. Cường độ điện trường do một phân bố điện tích điểm rời rạc tạo ra (Fig C2.3) Figure C2.3 Trường có một điểm, thì thành phần ly tâm 24pe = r o Q r E a Vector R trở thành r vectơ vị trí của điểm trường P, and aR thành vectơ đơn vị chỉ ly tâm ar. Ta có 24pe =r o QE r (10) (C4) 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 12 2.2 CƯỜNG ĐỘ ĐIỆN TRƯỜNG Figure 2.2 3. Cường độ điện cường của một điện tích điểm hệ tọa vuông góc (Fig 2.2) 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 13 2.2 CƯỜNG ĐỘ ĐIỆN TRƯỜNG Xét một điệm Q đặt tại môt điểm cố định P’(x’, y’, z’) (Fig 2.2), ta tìm điện trường tại điểm cố điểm trường P (x, y, z). r’ = x’ax + y’ay + z’az ; r = xax + yay + zaz R = r – r’ = (x – x’)ax + (y – y’)ay + (z – z’)az . Then: 2 3 ' ( ')( ) | ' |4 | ' | 4 | ' |pe pe - - = × = -- -o o Q Qr r r rE r r rr r r r 3/ 22 2 2 ( ') ( ') ( ') ( ) 4 ( ') ( ') ( ')pe - + - + -é ùë û= é ù- + - + -ë û x y z o Q x x y y z z x x y y z z a a a E r E là vectơ cường độ điện trường (V/m) (C5) (12) 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 14 2.2 CƯỜNG ĐỘ ĐIỆN TRƯỜNG Figure 2.3 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 15 2.2 CƯỜNG ĐỘ ĐIỆN TRƯỜNG In Fig 2.3, Cường độ điện trường giữa hai điện tích, Q1 at r1 and Q2 at r2, is tổng lực tác động lên Qt bỡi Q1 and Q2. 1 2 1 22 2 1 2 ( ) 4 | | 4 | |pe pe = + - -o o Q QE r a a r r r r Tổng quát, E do n điện tích điểm tạo nên (C6) (14)21 ( ) 4 | |pe= = -å n m m o mm QE r a r r 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 16 2.2 CƯỜNG ĐỘ ĐIỆN TRƯỜNG EXAMPLE 2.2. Cho 4 điện tích điển giống nhau Q = 3nC, đặt tại P1 (1, 1, 0), P2 (–1, 1, 0), P3 (–1, –1, 0), and P4 (1, –1, 0). Tìm E tại (1, 1, 1). Xem hình 2.4 Figure 2.4 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 17 2.2 Electric Field Intensity SOLUTION. We find that r = ax + ay + az, r1 = ax + ay , and thus r – r1 = az. The magnitudes are: |r – r1| = 1, |r – r2| = , |r – r3| = 3 and |r – r4| = Since = 27(V.m), we may now use (14) to obtain: 5 9 9/ 4 (9 10 )(3 10 )pe -´ ´;oQ 6 82 6 82 32 82= × + × + ×x y zE a a a DRILL PROBLEM 2.2. A charge of –0,3μC is located at A (25, –30, 15) (cm), and a second charge of 0.5 μC is at B (–10, 8, 12) (cm). Find E at: (a) the origin; (b) P (15, 20, 50) (cm) ANSWERS. (a) 92.3ax – 77.6ay – 94.2az (kV/m); (b) 11.9ax – 0.519ay – 12.4az (kV/m) (V/m) 5 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 18 2.3 ĐIỆN TRƯỜNG CỦA MỘT ĐIỆN TÍCH KHỐI 1. MẬT ĐỘ ĐIỆN TÍCH KHỐI ρv(C/m3) (Fig C2.4a) 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 19 Figure C2.4 2.3 ĐIỆN TRƯỜNG CỦA MỘT ĐIỆN TÍCH KHỐI Nếu DQ là một điện tích nhỏ chứa trong Dv đặt tại điểm P(r), thì mật độ điện tích khối rv at P được định nghĩa 3 0 lim ( / ) D ® D = = Dv v Q dQ C m v dv r 2. Tổng điện tích charge chứa trong thể tích v is r= ò vvQ dv (16) (17) 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 20 3. Điện trường do phân bố điện tích khối tạo ra (Fig C2.4b) • The vector r locates the field point P(r). • The vector r’ located the source point P’(r’) • Điện tích vi phân dQ = rv(r’)dv’ tại điểm đặt. • R = |r – r’| là khỏang cách P’ and P. • aR = is a unit vector directed from P’ to P. ' | ' | - = - R r r r rR 2.3 ĐIỆN TRƯỜNG CỦA MỘT ĐIỆN TÍCH KHỐI 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 21 Từ (C5), điện tích vi phân dQ = rv(r’)dv’ chứa trong dv’ là điện trường vi phân dE at P, given by: 2 2 ( ) ' ( ) ' 4 | | 4 r r pe pe = × = - v v R R o o dvd dv R r' r' aE a r r' The total điện trường E at P is 2 ( )( ) ' 4 r pe = ò v R ov dv R r' aE r (C7) (18) 2.3 ĐIỆN TRƯỜNG CỦA MỘT ĐIỆN TÍCH KHỐI 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 22 2.4 Phân bố điện tích đường liên tục 1. Mật độ phân bố điện tích đường liên tục rL(C/m) (Fig C2.5a) Figure C2.5 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 23 Nếu DQ là điện tích nhỏ chứa trong DL đặt tại điểm trường P(r), thì mật độ điện tích đường rL tại P được xác định bỡi: 0 lim D ® D = = DL L Q dQ L dL r 2. Điện tích tổng ChỨa trong đọan L là: 3. Điện trường E do điện tích trên L tạo ra (Fig C2.5b) r= ò LLQ dL 2 ( ')( ) ' 4 r pe = ò L RL o dL R r aE r (C8) (C9) (C10) 2.4 Phân bố điện tích đường liên tục 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 24 4. E tại một điểm P bất kỳ trong không gian (Fig 2.6) - Gỉa sử có điểm trường P(r, f, z). - E không phụ thuộc vào các tọa độ trụ f và z của P.Thành phần Ef and Ez là không có . - Chỉ có thành phần Eρ phụ thuộc ρ 2.4 Phân bố điện tích đường liên tục 2r r pe r = L o E 2 r r pe r = L o E a (19) (20) 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 25 Figure C2.6 2.4 Phân bố điện tích đường liên tục 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 26 Figure 2.7 2.4 Phân bố điện tích đường liên tục 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 27 EXAMPLE C2.1. Cho điện tích phân bố đều với mật độ ρl trên đường thẳng (x = 6, y = 8) // với z (Fig 2.8). Tìm E tại điểm P (x, y, z) bất kỳ. Figure 2.8 2.4 Phân bố điện tích đường liên tục 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 28 SOLUTION Step 1. Tìm hình chiếu P’ of P trên đường thẳng x = 6, y = 8: P’ (6, 8, z) Step 2. Xác định vectơ R hướng từ P’ to P: R = (x – 6) ax + (y – 8)ay Step 3. Xác định vectơ đơn vị chỉ phương từ P’ to P: 2 2 ( 6) ( 8) ( 6) ( 8) - + - = = - + - x y R x y R x y a aRa Step 4. Tìm E dùng (20): 2 r pe = L R oR E a 2 2 ( 6) ( 8) 2 ( 6) ( 8) r pe - + - = × - + - x yL o x y x y a a E (C11) 2.4 Phân bố điện tích đường liên tục 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 29 DRILL PROBLEM 2.5 Infinite uniform line charges of 5 nC/m lie along the (positive and negative) x and y axes in free space. Find E at (a) PA (0, 0, 4); (b) PB (0, 3, 4) ANSWERS. (a) 45az (V/m); (b) 108ay + 369az (V/m) INTERACTIVE 3. Electric Field of Line Charges · Line Charge 1 (along x - axis) · Line Charge 2 (along y - axis) · Line Charge 3 (along z - axis) 2.4 Phân bố điện tích đường liên tục 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 30 2.5 Phân bố điện tích mặt liên tục 1. Mật độ điện tích mặt rS(C/m2) (Fig C.2.6a) Figure C2.6 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 31 Nếu DQ là điện tích chứa trong DS đặt tại điểm P(r), thì mật độ điện tích mặt rS at P được định nghĩa 2 0 lim ( / ) D ® D = = DS S Q dQ C m S dS r 2. Tổng điện chứa trên mặt S là 3. E do tòan bộ điện tích trên mặt S tạo ra (Fig C2.6.b) r= ò SSQ dS 2 ( ')( ) ' 4 r pe = ò S RS o dS R r aE r (C12) (C13) (C14) 2.5 Phân bố điện tích mặt liên tục 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 32 4. E tại một điểm P bất kỳ trong không gian (Fig 2.9) - Gỉa sử cho điểm trường P(x, y, z). - E không phụ thuộc vào tọa độ y và z của P. - E phục thuộc vào z. Æ Chỉ có thành phần Ex phụ thuộc x, ta có: ( 0) 2 ( 0) 2 r e r e ì >ïï= í ï- < ïî S x o S x o x x a E a (C15) 2.5 Phân bố điện tích mặt liên tục 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 33 2.5 Phân bố điện tích mặt liên tục 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 34 Figure 2.9 Tổng quát 2 E aS N o r e = (21) 2.5 Phân bố điện tích mặt liên tục 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 35 EXAMPLE C2.2. Cho hai mặt phẳng song song, một mặt mang mật độ rS > 0 và mặt kia mang –rS . Xác định E tại một điểm bất kỳ trong không gian (Fig C2.7) Figure C2.7 2.5 Phân bố điện tích mặt liên tục 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 36 SOLUTION. Ta tìm điện trường tổng. Dùng (21), ta có: ! Bên trong tụ điện E hướng từ bảng dương sang bảng âm, còn bên ngòai thì E = 0. r e+ - = + = S x o E E E a (22) : , 0 2 2 r r e e+ - + - · > = = - Þ = + =S Sx x o o x a E a E a E E E 0 : , 0 2 2 r r e e+ - + - · < = - = Þ = + =S Sx x o o x E a E a E E E 0 : , 2 2 r r + -· < < = =Î Î S S x x o o x a E a E a Þ 2.5 Phân bố điện tích mặt liên tục 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 37 DRILL PROBLEM 2.6 Three infinite uniform sheets of charge are located in free space as follows: (1) 3 nC/m2 at z = –4, (2) 6 nC/m2 at z = 1, and (3) –8 nC/m2 at z = 4 Find E at the points (a) PA (2, 5, –5); (b) PB (4, 2, –3); (c) PC (–1, –5. 2); (d) PD (–2, 4, 5) ANSWERS (a) –56.5az (V/m); (b) 283az (V/m); (c) 961az(V/m); (d) 56.5az(V/m) 2.5 Phân bố điện tích mặt liên tục 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 38 2.6 Đường dòng của trường vectơ Điện trường E trong một mặt phẳng vuông góc với trục Z, các đường cong thóat ra khỏi trục z như hình 2.10 1. Đường dòng của E Figure 2.10b 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 39 Figure 2.11 2. Xác định phương trình của đường dòng Xét một điện trường E bất kỳ với một số đường dòng như hình 2.11. Giả sử E không phụ thuộc z, E at P(x, y, z) is ( , ) ( , )x x y yE x y E x y= +E a a Phương trình vi phân để tìm các nguồn dòng: ( , ) ( , ) y x E x ydy dx E x y = (C16) (23) 2.6 Đường dòng của trường vectơ 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 40 2.6 Streamlines and Sketches of Fields EXAMPLE S.2.3. Find the equation of that streamline that passes through the point P (–2, 7, 10) in the field of the uniform line charge (20), with SOLUTION: In rectangular coordinates, (20) becomes: Thus we form the differential equation of the streamlines (23): from which the equations of the streamlines are obtained 2r pe=L o 2 2 2 2x y x yE x y x y = + + + a a or= = =y x Edy y dy dx dx E x y x The equation of that streamline passing through P (–2, 7, 10) is found by substituting x = –2 and y = 7 into (C17): y = –3,5x y = Cx (C16) (C17) 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 41 2.6 Streamlines and Sketches of Fields DRILL PROBLEM 2.7. Find the equation of that streamline that passes through the point P (1, 4, –2) in the field: 2 2 5 8 4a) ; b) 2 [ (5 1) ] - = + = + + x y x x y x x y y e y x x E a a E a a ANSWERS (a) x2 + 2y2 = 33 (b) y2 = 15.7 +0.4x – 0.08ln(5x + 1) CHAPTER 2. QUIZZES 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 42