Toán học - Chương 6: Phương trình vi phân cấp 2

Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2 Đại học Quốc gia TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Khoa: Khoa Học Ứng Dụng Bộ môn: Toán Ứng Dụng Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2 Chương 6: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2 1.Định nghĩa Phương trình vi phân cấp 2 tổng quát có dạng: 0)",',,( yyyxF hay )',,(" yyxfy  Ở đây: x là biến độc lập, y(x) là hàm chưa biết và )("),(' xyxy là các đạo hàm của nó. Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp 2 là hàm ),,( 21 ccxy  Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2 Bài toán Cauchy là bài toán tìm nghiệm của phương trình vi phân cấp 2 2. Bài toán Cauchy )',,(" yyxfy       bxy axy )(' )( 0 0 bax ,,; 0 là các số cho trước.  Nghiệm nhận được từ nghiệm tổng quát bằng cách cho các hằng số c1, c2 những giá trị cụ thể được gọi là nghiệm riêng. mãn điều kiện đầu: thỏa Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2 0)",',( yyxF b- Cách giải: ')( yxz  VD1: Giải phương trình vi phân )1(' 1 1"    xxy x y Nhận xét: Phương trình nay không chứa y 3. Phương trình vi phân cấp 2 giảm cấp được 3.1 Phương trình vi phân cấp 2 không chứa y a- Dạng: ')( yxz đặt Hạ bậc bằng cách đặt nên ta Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2 Phương trình đầu )1( 1 1'    xxz x z Đây là phương trình tuyến tính cấp 1 với hàm cần tìm là )(xz       ]).1([)( 1 1 1 1 1 cdxexxexz dx x dx x   ]1 1).1()[1()( 1cdxx xxxxz ) 2 )(1()( 1 2 cxxxz  Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2 11 23 22 ' cxcxxy  11 2 1 34 268 cxcxcxxy  là nghiệm tổng quát của phương trình. VD2: Giải phương trình vi phân: xyy cotg).1'(2"  Nhận xét: Phương trình này không chứa y nên ta đặt ')( yxz  Phương trình đầu xzz cotg).1(2'  Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2 )01:ÐK(cotg.2 1    Zxdx z dz dxx z dz  cotg21 1sinln21ln cxz  xcz 21 sin1 21 )2sin4 1 2 ( cxxcxy  tổng quát của phương trình. là nghiệm xcy 21 sin1'  Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2 3.2 Phương trình vi phân cấp 2 không chứa x 0)",',( yyyF b- Cách giải: ')( yyz  dy dzz dx dy dy dz dx dzy  " a- Dạng: VD1: Giải phương trình vi phân: 0'". 2 yyy thoả điều kiện      2)0(' 1)0( y y Hạ bậc bằng cách đặt Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2 Nhận xét: Phương trình này không chứa x nên ta đặt ')( yyz  z dy dzy  " Từ phương trình đầu ta có: 02  zz dy dzy )0,0:(;  zyĐK z dz y dy zcy lnln 1  ycz 1 Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2 dxc y dy 1 21ln cxcy  xcecy 12 Từ điều kiện đầu ta tính được 1,2 21  cc Vậy nghiệm của bài toán thoả điều kiện đầu là xey 2 ycy 1' là nghiệm tổng quát của phương trình. Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2 Trường hợp:      0' 0 y y VD2: Giải phương trình vi phân )1'('"  yyyy Nhận xét: Phương trình này không chứa x nên ta đặt ')( yyz  z dy dzy  " Từ phương trình đầu ta có: )1(  zzz dy dzy loại vì không thoả mãn điều kiện đầu Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2 y dy z dz    1 1ln1ln cyz  ycz 11 11  ycz 1' 1  ycy dx yc dy    11 )0;01,0:(  yzzĐK Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2 21 1 1ln1 cxyc c  xc ecyc 2 1 1 1)1(  là nghiệm tổng quát của phương trình. Trường hợp:         1' 0' 0 y y y Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2         cxy cy y 0 4. Phương trình tuyến tính cấp 2 hệ số hằng thoả mãn phương trình đầu nên ta nhận các nghiệm Phương trình tuyến tính cấp 2 hệ số hằng có dạng tổng quát là: )('" 21 xfyayay  với ia là các hằng số thực. Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2  Nếu phương trình đặc trưng có 2 nghiệm thực phân biệt 0'" 21  yayay 021 2  akak 21 , kk a) Phương trình tuyến tính cấp 2 thuần nhất với hệ số hằng số: Phương trình phương trình đặc trưng của phương trình (*). (*) được gọi là Lúc này: Nghiệm tổng quát của phương trình (*) là: xkxk ececy 21 21  Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2 Lúc này: Nghiệm tổng quát của phương trình (*) là: Lúc này: Nghiệm tổng quát của phương trình (*) là:  Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm kép 21 kk  xkexccy 1)( 21   Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm phức        ik ik 2 1 )sincos( 21 xcxcey x   Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2 VD1: Giải phương trình vi phân: 03'4"  yyy Ta có: Phương trình đặc trưng: 0342  kk có nghiệm 3,1 21  kk Suy ra nghiệm tổng quát của phương trình này là: xx ececy 321   Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2 VD2: Giải phương trình vi phân: 025'10"  yyy Ta có: Phương trình đặc trưng: 05102  kk có nghiệm kép 521  kk Suy ra nghiệm tổng quát của phương trình này là: xexccy 521 )(  Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2 VD3: Giải phương trình vi phân: 04'2"  yyy Ta có: Phương trình đặc trưng: 0422  kk có nghiệm phức: ik ik      31 31 2 1 Suy ra nghiệm tổng quát của phương trình này là: ).3sin.3cos( 21 xcxcey x   Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2 b) Phương trình tuyến tính cấp 2 không thuần nhất với hệ số hằng số: )('" 21 xfyayay  là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất: là nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất: Nghiệm tổng quát của phương trình này có dạng:  yyy Với      *y y 0'" 21  yayay )('" 21 xfyayay  Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2 Cách tìm nghiệm riêng y* Trường hợp )()( xPexf n x Nếu α không phải là nghiệm của phương trình đặc trưng: 021 2  akak Lúc này: )(.* xHey n x Nếu α là nghiệm bội h của phương trình đặc trưng: 021 2  akak Lúc này: )(..* xHexy n xh  Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2 VD1: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình )(2'3" 23 xxeyyy x  Nghiệm tổng quát của phương trình này có dạng:  yyy Bước 1: Tìm y Phương trình đặc trưng 0232  kk xx ececykk 22121 2,1  có nghiệm Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2 )()( 23 xxexf x  α = 3 không phải là nghiệm của phương trình đặc trưng nên ).( 23* CBxAxey x  Lấy y* thế vào phương trình đầu ta tính được: A= ½ , B=-1, C=1 Vậy )1 2 1()( 23221  xxeececy xxx riêng của phương trình đầu. là nghiệm Tìm y* Bước 2: Ta có: Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2 VD2: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình xxeyyy 24'4"  Nghiệm tổng quát của phương trình này có dạng:  yyy Bước 1: Tìm y Phương trình đặc trưng 0442  kk có xexccykk 22121 )(2 nghiệm kép Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2 Bước 2: xexf x2)(  0, 6 1  BA Vậy xx exxexccy 22221 ).6 1()(  Ta có: Tìm nghiệm y* Lấy y* thế vào phương trình đầu ta tính được α=2 là nghiệm kép của phương trình đặc trưng nên y* = x2e2x.(Ax + B) là nghiệm riêng của phương trình đầu. Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2 Trường hợp ]sin).()(cos([)( xxQxxPexf mn x   xxKxxHey ll x ]sin)(cos)([*   ]sin)(cos)([.* xxKxxHexy ll xh    Nếu α ± iβ không phải là nghiệm của phương trình đặc trưng thì },max{ nml   Nếu α ± iβ là nghiệm bội h của phương trình đặc trưng thì },max{ nml  Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2 VD3: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình xxyy 3sin303cos189"  Bước 1: Tìm y 092 k ikik 3,3 21  Bước 2: Tìm *y )3sin303cos18()( xxxf  )3sin3cos( 21 xcxcey ox  )0,0,3,0(  nm Phương trình đặc trưng có nghiệm phức là: Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2 Ta có: ii 3  là nghiệm của phương trình )3sin3cos(* xBxAxey ox  Lấy *y thế vào phương trình đầu ta tính được 3,5  BA Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đầu là: *yyy  đặc trưng nên )3sin33cos5()3sin3cos( 21 xxxxcxc   Trường hợp )()()( 21 xfxfxf  Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2 Với )(),( 21 xfxf có dạng )(xPe n x hay ]sin)(cos)([ xxQxxPe mn x   Khi đó: Nghiệm riêng * 2 * 1 * yyy  là nghiệm riêng của phương trình: )('" 121 xfyayay  )('" 221 xfyayay  Với      * 2 * 1 y y là nghiệm riêng của phương trình: Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2 VD4: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân: xeyy x 2sin5'"  Nghiệm tổng quát của phương trình này là:  yyy Bước 1: Tìm y Phương trình đặc trưng 02  kk có nghiệm 1,0 21  kk xox ececy 21  Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2 Bước 2: Tìm *y )()()( 21 xfxfxf  với ,5)(1 xexf  . Vậy * 2 * 1 * yyy  Với * 1y là nghiệm riêng của phương trình )5)(,1(5'"  xPeyy n x  xxf 2sin)(2  Ta có: 1 là nghiệm của phương trình đặc Aexy x..*1  trưng nên: Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2 Với * 2y là nghiệm riêng của phương trình: xyy 2sin'"  Ta có: ii 2  phương trình đặc trưng nên: xBxAy 2sin2cos*2  Lấy * 1y thế vào phương trình 5A xeyy 5'"  ta tính được )1)(,0)(,2,0(  xmQxnP không phải là nghiệm của Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2 Lấy * 2y thế vào phương trình xyy 2sin'"  ta tính được 5 1, 10 1  BA Vậy * 2 * 1 yyyy  )2sin 5 12cos 10 1(5)21( xx x xe x ec ox ec  )('" 21 2 xfyaxyayx  5. Phương trình Euler a) Dạng: Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2 , trong miền 0x 0x Đổi biến:      t t ex ex b) Cách giải: , trong miền Giả sử đặt xtex t ln         )(1)1(11 1. '" 2 "' 2 " ''' ttttttxx ttx yy xx y x y x y y x tyy Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2 xyxyyx ln'"2  VD: (trong miền x>0) Giải phương trình Euler: Đặt: tex          )(1 1 '" 2 " '' tttxx tx yy x y y x y Thế '" , xxx yy vào phương trình đầu ta được: xt ln Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2 *yyy  tyyy ttt  '" 2 0122  kk có nghiệm kép 121  kk  ))(,0()( ttPttf n   tetccy ).( 21   Phương trình đặc trưng Đây là phương trình tuyến tính cấp 2 không thuần nhất hệ số hằng Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2 0 không phải là nghiệm của phương trình đặc ).(* BAtey ot  là nghiệm riêng của tyyy ttt  '" 2 (*) trưng phương trình Lấy *y thế vào phương trình (*) ta tính được 2,1  BA )2(*  ty )2()( 21  tetccy t )2(ln)ln( 21  xxxccy Chương 6: Phương Trình Vi Phân Cấp 2