Toán học - Chương 2: Giới hạn, liên tục, vi phân

Chương 2 GIỚI HẠN, LIÊN TỤC, VI PHÂN ThS. Huỳnh Văn Kha TÓM TẮT NỘI DUNG 1. Giới hạn và các tính chất. 2. Hàm số liên tục. 3. Giới hạn liên quan đến vô cùng. 4. Định nghĩa đạo hàm. 5. Một số quy tắc tính đạo hàm. 6. Xấp xỉ tuyến tính và vi phân. 7. Cực trị và giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. 8. Quy tắc L’Hospital. 9. Nguyên hàm. 24/08/2015 C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, vi phân 2 1. GIỚI HẠN VÀ CÁC TÍNH CHẤT • Cho 𝑥0 ∈ 𝑎, 𝑏 và hàm số 𝑓 𝑥 xác định trên 𝑎, 𝑏 có thể ngoại trừ tại chính điểm 𝑥0. • Nếu 𝑓 𝑥 có thể gần tùy ý về giá trị 𝐿 với mọi 𝑥 đủ gần 𝑥0 nhưng vẫn khác 𝑥0 thì ta nói 𝑓 𝑥 có giới hạn là 𝐿 khi 𝑥 tiến về 𝑥0 và ký hiệu lim 𝑥→𝑥0 𝑓 𝑥 = 𝐿 • Hàm số 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 1 𝑥 − 1 có giới hạn bằng bao nhiêu khi 𝑥 → 1? 24/08/2015 C01121 - Chương 1: Giới hạn và liên tục 3 24/08/2015 C01121 - Chương 1: Giới hạn và liên tục 4 • Các hàm số sau đây có giới hạn bằng bao nhiêu khi 𝑥 tiến về 1? 24/08/2015 C01121 - Chương 1: Giới hạn và liên tục 5 Định nghĩa giới hạn Định nghĩa 1. Giới hạn – limit Cho 𝑥0 ∈ 𝑎, 𝑏 và hàm số 𝑓 𝑥 xác định trên khoảng 𝑎, 𝑏 , có thể ngoại trừ tại 𝑥0. Ta nói giới hạn của 𝑓 𝑥 khi 𝑥 tiến về 𝑥0 là bằng 𝐿, và viết lim 𝑥→𝑥0 𝑓 𝑥 = 𝐿 nếu, với mọi 𝜀 > 0 tồn tại 𝛿 > 0 sao cho với mọi 𝑥 thì 0 < 𝑥 − 𝑥0 < 𝛿 ⇒ 𝑓 𝑥 − 𝐿 < 𝜀 24/08/2015 C01121 - Chương 1: Giới hạn và liên tục 6 24/08/2015 C01121 - Chương 1: Giới hạn và liên tục 7 Các tính chất 24/08/2015 C01121 - Chương 1: Giới hạn và liên tục 8 Định lý 1. Các tính chất giới hạn hàm số Nếu lim 𝑥→𝑥0 𝑓 𝑥 = 𝐿, lim 𝑥→𝑥0 𝑔 𝑥 = 𝑀 và 𝑘 ∈ ℝ thì lim 𝑥→𝑥0 𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 = 𝐿 ± 𝑀 lim 𝑥→𝑥0 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 = 𝐿𝑀 lim 𝑥→𝑥0 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 = 𝐿 𝑀 , 𝑀 ≠ 0 lim 𝑥→𝑥0 𝑓 𝑥 𝑛 = 𝐿𝑛, 𝑛 ∈ ℕ lim 𝑥→𝑥0 𝑛 𝑓 𝑥 = 𝑛 𝐿, 𝑛 ∈ ℕ (nếu 𝑛 chẵn thì giả sử rằng L > 0) • Suy ra, nếu 𝑃 𝑥 là một đa thức thì lim 𝑥→𝑥0 𝑃 𝑥 = 𝑃 𝑥0 • Người ta cũng chứng minh được, nếu 𝑓 𝑥 là một hàm số sơ cấp và 𝑥0 thuộc miền xác định của nó thì lim 𝑥→𝑥0 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥0 Ví dụ 1. Tính các giới hạn. 𝑎) lim 𝑥→−2 3𝑥2 − 1 𝑏) lim 𝑥→3 𝑥2 + 2𝑥 − 15 𝑥2 − 9 𝑐) lim 𝑥→0 𝑥2 + 25 − 5 𝑥2 24/08/2015 C01121 - Chương 1: Giới hạn và liên tục 9 Giới hạn kẹp Định lý 2. Định lý giới hạn kẹp (Squeeze Theorem) Giả sử 𝑔 𝑥 ≤ 𝑓 𝑥 ≤ ℎ 𝑥 với mọi 𝑥 trong một khoảng mở chứa 𝑐, có thể ngoại trừ tại 𝑥 = 𝑐. Khi đó nếu lim 𝑥→𝑐 𝑔 𝑥 = lim 𝑥→𝑐 ℎ 𝑥 = 𝐿 thì lim 𝑥→𝑐 𝑓 𝑥 = 𝐿. 24/08/2015 C01121 - Chương 1: Giới hạn và liên tục 10 24/08/2015 C01121 - Chương 1: Giới hạn và liên tục 11 Ví dụ 2. Tính lim 𝑥→0 𝑢 𝑥 biết 1 − 𝑥2 4 ≤ 𝑢 𝑥 ≤ 1 + 𝑥2 2 , ∀𝑥 ≠ 0 24/08/2015 C01121 - Chương 1: Giới hạn và liên tục 12 Một số giới hạn quan trọng 24/08/2015 C01121 - Chương 1: Giới hạn và liên tục 13 Định lý 3. Một số giới hạn quan trọng. lim 𝑥→0 sin 𝑥 𝑥 = 1 lim 𝑥→0 1 − cos 𝑥 𝑥2 = 1 2 lim 𝑥→0 𝑒𝑥 − 1 𝑥 = 1 lim 𝑥→0 ln 1 + 𝑥 𝑥 = 1 Giới hạn một phía • Nếu 𝑓 𝑥 xác định trên khoảng 𝑐, 𝑏 và 𝑓 𝑥 có thể tiến gần tùy ý về 𝐿 khi 𝑥 tiến về 𝑐 nhưng vẫn lớn hơn 𝑐 thì ta nói 𝑓 có giới hạn phải bằng 𝐿 khi 𝑥 tiến về 𝑐. Ta viết lim 𝑥→𝑐+ 𝑓 𝑥 = 𝐿 • Nếu 𝑓 𝑥 xác định trên khoảng 𝑎, 𝑐 và 𝑓 𝑥 có thể tiến gần tùy ý về 𝑀 khi 𝑥 tiến về 𝑐 nhưng vẫn nhỏ hơn 𝑐 thì ta nói 𝑓 có giới hạn trái bằng 𝑀 khi 𝑥 tiến về 𝑐. Ta viết lim 𝑥→𝑐− 𝑓 𝑥 = 𝑀 24/08/2015 C01121 - Chương 1: Giới hạn và liên tục 14 24/08/2015 C01121 - Chương 1: Giới hạn và liên tục 15 Định lý 4. Hàm số 𝑓 𝑥 có giới hạn khi 𝑥 → 𝑐 khi và chỉ khi nó có các giới hạn trái, giới hạn phải và các giới hạn một phía này bằng nhau. Nghĩa là lim 𝑥→𝑐 𝑓 𝑥 = 𝐿 ⇔ lim 𝑥→𝑐+ 𝑓 𝑥 = lim 𝑥→𝑐− 𝑓 𝑥 = 𝐿 24/08/2015 C01121 - Chương 1: Giới hạn và liên tục 16 • Tìm giới hạn, giới hạn trái, giới hạn phải của hàm số sau đây tại các điểm 0,1,2,3,4. 24/08/2015 C01121 - Chương 1: Giới hạn và liên tục 17 Định nghĩa giới hạn trái, phải Định nghĩa 2. Giới hạn trái, giới hạn phải. Hàm số 𝑓 𝑥 được nói là có giới hạn phải (right-hand limit) bằng 𝐿 khi 𝑥 → 𝑥0 nếu với mọi 𝜀 > 0 đều tồn tại 𝛿 > 0 sao cho với mọi 𝑥 thì 𝑥0 < 𝑥 < 𝑥0 + 𝛿 ⇒ 𝑓 𝑥 − 𝐿 < 𝜀 Hàm số 𝑓 𝑥 được nói là có giới hạn trái (left-hand limit) bằng 𝑀 khi 𝑥 → 𝑥0 nếu với mọi 𝜀 > 0 đều tồn tại 𝛿 > 0 sao cho với mọi 𝑥 thì 𝑥0 − 𝛿 < 𝑥 < 𝑥0 ⇒ 𝑓 𝑥 − 𝑀 < 𝜀 24/08/2015 C01121 - Chương 1: Giới hạn và liên tục 18 Ví dụ 3. Tìm giới hạn, giới hạn trái, giới hạn phải của a) 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑥 khi 𝑥 → 0 b) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 1, nếu 𝑥 < 1 2𝑥 − 1, nếu 𝑥 ≥ 1 khi 𝑥 → 1 và khi 𝑥 → 0. 24/08/2015 C01121 - Chương 1: Giới hạn và liên tục 19 2. HÀM SỐ LIÊN TỤC • Cho hàm số 𝑓 𝑥 xác định trên khoảng 𝑎, 𝑏 . • Nếu 𝑐 ∈ 𝑎, 𝑏 ta nói 𝑐 là điểm trong. • Nếu 𝑐 = 𝑎 hoặc 𝑐 = 𝑏 ta nói 𝑐 là điểm biên. 24/08/2015 C01121 - Chương 1: Giới hạn và liên tục 20 Định nghĩa 3. Hàm số liên tục. Hàm số 𝑓 𝑥 được nói là liên tục (continuous) tại điểm trong 𝑐 của khoảng xác định nếu lim 𝑥→𝑐 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑐 Hàm số 𝑓 𝑥 được nói là liên tục tại điểm biên trái 𝑎 (hoặc tại điểm biên phải 𝑏) của khoảng xác định nếu lim 𝑥→𝑎+ 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑎 (hoặc lim 𝑥→𝑏− 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑏 ) • Nếu 𝑓 không liên tục tại 𝑐 ta nói 𝑓 gián đoạn tại 𝑐. • Hàm số liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại điểm thuộc khoảng đó. • Hàm số sơ cấp liên tục trên mọi khoảng xác định của nó. 24/08/2015 C01121 - Chương 1: Giới hạn và liên tục 21 • Ta nói 𝑓 liên tục phải tại 𝑐 nếu lim 𝑥→𝑐+ 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑐 • Ta nói 𝑓 liên tục trái tại 𝑐 nếu lim 𝑥→𝑐− 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑐 • 𝑓 liên tục tại 𝑐 khi và chỉ khi 𝑓 liên tục trái và liên tục phải tại đó. Ví dụ 4. Xác định các điểm liên tục, liên tục trái, liên tục phải và các điểm gián đoạn của a) 𝑓 𝑥 = 𝑥2+𝑥−2 𝑥−1 , nếu 𝑥 ≠ 1 0, nếu 𝑥 = 1 b) 𝑓 𝑥 = 𝑥 ( 𝑥 là số nguyên lớn nhất vẫn còn ≤ 𝑥) 24/08/2015 C01121 - Chương 1: Giới hạn và liên tục 22 Một số tính chất 24/08/2015 C01121 - Chương 1: Giới hạn và liên tục 23 Định lý 5. Cho 𝑓, 𝑔 là các hàm số liên tục tại 𝑥 = 𝑐 và 𝑘 ∈ ℝ. Khi đó các hàm số sau đây cũng liên tục tại 𝑐. 𝑓 + 𝑔, 𝑓 − 𝑔, 𝑘𝑓 𝑓. 𝑔, 𝑓 𝑔 với điều kiện 𝑔 𝑐 ≠ 0 𝑓𝑛, với 𝑛 ∈ ℕ 𝑛 𝑓, với 𝑛 ∈ ℕ (nếu 𝑛 chẵn thì giả 𝑠ử 𝑓 > 0 trên khoảng mở chứa 𝑐) • Cho hai hàm số 𝑓 và 𝑔. Hàm số 𝑔 hợp nối 𝑓 là hàm số được định nghĩa 𝑔 ∘ 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑓 𝑥 . 24/08/2015 C01121 - Chương 1: Giới hạn và liên tục 24 Định lý 6. Hợp nối của hai hàm số liên tục Nếu 𝑓 liên tục tại 𝑐 và 𝑔 liên tục tại 𝑓 𝑐 thì 𝑔 ∘ 𝑓 liên tục tại 𝑐. • Định lý 6 thực ra là hệ quả của định lý tổng quát hơn sau đây. 24/08/2015 C01121 - Chương 1: Giới hạn và liên tục 25 Định lý 7. Giới hạn của hàm số liên tục. Nếu 𝑔 liên tục tại 𝑏 và lim 𝑥→𝑐 𝑓 𝑥 = 𝑏 thì lim 𝑥→𝑐 𝑔 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑏 = 𝑔 lim 𝑥→𝑐 𝑓 𝑥 Ví dụ 5. Tìm 𝑎, 𝑏 để các hàm số sau liên tục tại mọi 𝑥. a) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 1, 𝑥 < 3 2𝑎𝑥, 𝑥 ≥ 3 b) 𝑓 𝑥 = 𝑎2𝑥 − 2𝑎, 𝑥 ≥ 2 12, 𝑥 < 2 c) 𝑓 𝑥 = −2, 𝑥 ≤ −1 𝑎𝑥 − 𝑏, −1 < 𝑥 < 1 3, 𝑥 ≥ 1 24/08/2015 C01121 - Chương 1: Giới hạn và liên tục 26 Định lý giá trị trung gian 24/08/2015 C01121 - Chương 1: Giới hạn và liên tục 27 Định lý 8. Định lý giá trị trung gian. Nếu 𝑓 là hàm số liên tục trên khoảng đóng 𝑎, 𝑏 và 𝑦0 là giá trị bất kỳ nằm giữa 𝑓 𝑎 và 𝑓 𝑏 . Thì tồn tại con số 𝑐 ∈ 𝑎, 𝑏 sao cho 𝑓 𝑐 = 𝑦0 Hệ quả. Nếu 𝑓 liên tục trên 𝑎, 𝑏 và 𝑓 𝑎 𝑓 𝑏 < 0 thì phương trình 𝑓 𝑥 = 0 có nghiệm trên khoảng 𝑎, 𝑏 . 24/08/2015 C01121 - Chương 1: Giới hạn và liên tục 28 Ví dụ 6. Dùng Định lý giá trị trung gian, chứng tỏ: a) phương trình 𝑥3 − 𝑥 − 1 = 0 có nghiệm trong khoảng 1,2 ; b) phương trình 2𝑥 + 5 = 4 − 𝑥2 có nghiệm. 24/08/2015 C01121 - Chương 1: Giới hạn và liên tục 29 3. GIỚI HẠN LIÊN QUAN VÔ CÙNG 24/08/2015 C01121 - Chương 1: Giới hạn và liên tục 30 Định nghĩa 4. Giới hạn tại vô cùng. Hàm số 𝑓 𝑥 được nói là có giới hạn bằng 𝐿 khi 𝑥 tiến ra vô cùng, và viết lim 𝑥→∞ 𝑓 𝑥 = 𝐿, nếu với mọi 𝜀 > 0 đều tồn tại 𝑀 sao cho với mọi 𝑥 𝑥 > 𝑀 ⇒ 𝑓 𝑥 − 𝐿 < 𝜀 Hàm số 𝑓 𝑥 được nói là có giới hạn bằng 𝐿 khi 𝑥 tiến ra âm vô cùng, và viết lim 𝑥→−∞ 𝑓 𝑥 = 𝐿, nếu với mọi 𝜀 > 0 đều tồn tại 𝑁 sao cho với mọi 𝑥 𝑥 < 𝑁 ⇒ 𝑓 𝑥 − 𝐿 < 𝜀 • Trong Định lý 1, nếu ta thay 𝑥 → 𝑐 bằng 𝑥 → ∞ hoặc 𝑥 → −∞ thì các kết quả đều đúng. • Một số giới hạn hay gặp lim 𝑥→∞ 1 𝑥 = 0 lim 𝑥→−∞ 1 𝑥 = 0 lim 𝑥→∞ 1 𝑥𝑛 = 0 lim 𝑥→−∞ 1 𝑥𝑛 = 0 với 𝑛 ∈ ℕ • Các giới hạn lim 𝑥→±∞ sin 𝑥, lim 𝑥→±∞ cos 𝑥, lim 𝑥→±∞ tan 𝑥, lim 𝑥→±∞ cot 𝑥 đều không tồn tại. 24/08/2015 C01121 - Chương 1: Giới hạn và liên tục 31 Ví dụ 7. Tính các giới hạn sau đây. 𝑎) lim 𝑥→∞ 3𝑥2 + 5𝑥 𝑥2 + 1 𝑏) lim 𝑥→−∞ sin 1 𝑥 𝑐) lim 𝑥→∞ 2 + sin 𝑥 𝑥 24/08/2015 C01121 - Chương 1: Giới hạn và liên tục 32 Giới hạn bằng vô cùng 24/08/2015 C01121 - Chương 1: Giới hạn và liên tục 33 Định nghĩa 5. Giới hạn bằng vô cùng. Hàm số 𝑓 𝑥 được nói là có giới hạn bằng vô cùng khi 𝑥 tiến về 𝑥0, và viết lim 𝑥→𝑥0 𝑓 𝑥 = ∞, nếu với mọi 𝐵 > 0 đều tồn tại 𝛿 > 0 sao cho với mọi 𝑥 0 𝐵 Hàm số 𝑓 𝑥 được nói là có giới hạn bằng âm vô cùng khi 𝑥 tiến 𝑥0, và viết lim 𝑥→𝑥0 𝑓 𝑥 = −∞, nếu với mọi B > 0 đều tồn tại 𝛿 > 0 sao cho với mọi 𝑥 0 < 𝑥 − 𝑥0 < 𝛿 ⇒ 𝑓 𝑥 < −𝐵 24/08/2015 C01121 - Chương 1: Giới hạn và liên tục 34 24/08/2015 C01121 - Chương 1: Giới hạn và liên tục 35 • Định nghĩa tương tự cho các giới hạn lim 𝑥→±∞ 𝑓 𝑥 = ±∞ lim 𝑥→𝑎± 𝑓 𝑥 = ±∞ • Một số quy tắc khi tính toán với vô cùng (với 𝑎 ∈ ℝ) 𝑎 + ±∞ = ±∞, ±∞ + ±∞ = ±∞ 𝑎 × ±∞ = ±∞ với 𝑎 > 0 𝑎 × ±∞ = ∓∞ với 𝑎 < 0 ∞ × ±∞ = ±∞ −∞ × ±∞ = ∓∞ 𝑎 ±∞ = 0 24/08/2015 C01121 - Chương 1: Giới hạn và liên tục 36 • Nếu lim 𝑥→𝑐 𝑔 𝑥 = 0 và 𝑔 𝑥 > 0 (hoặc 𝑔 𝑥 < 0) trên một khoảng mở chứa 𝑐 thì lim 𝑥→𝑐 1 𝑔 𝑥 = +∞ hoặc lim 𝑥→𝑐 1 𝑔 𝑥 = −∞ • Các biểu thức có dạng sau gọi là dạng vô định ∞ − ∞ 0 × ∞ ∞ ∞ 0 0 24/08/2015 C01121 - Chương 1: Giới hạn và liên tục 37 • Một số giới hạn thường gặp lim 𝑥→0+ 1 𝑥 = +∞ lim 𝑥→0− 1 𝑥 = −∞ lim 𝑥→0 1 𝑥2 = +∞ lim 𝑥→+∞ 𝑎𝑥 = +∞ với 𝑎 > 1 lim 𝑥→−∞ 𝑎𝑥 = 0 với 𝑎 > 1 lim 𝑥→0+ ln 𝑥 = −∞ lim 𝑥→+∞ ln 𝑥 = +∞ lim 𝑥→∞ 𝑥𝑘 = +∞ với 𝑘 > 0 lim 𝑥→+∞ 𝑥𝑘 𝑎𝑥 = 0 với mọi 𝑘 và 𝑎 > 1 24/08/2015 C01121 - Chương 1: Giới hạn và liên tục 38 Ví dụ 8. Tính các giới hạn. 𝑎) lim 𝑥→1+ 1 1 − 𝑥 𝑏) lim 𝑥→1− 1 + 𝑥 1 − 𝑥 𝑐) lim 𝑥→0− 𝑒1/𝑥 𝑑) lim 𝑥→0 𝑒1/𝑥 2 𝑒) lim 𝑥→0 ln 1 + 1 𝑥2 𝑓) lim 𝑥→∞ ln 𝑥 𝑥2 + 1 24/08/2015 C01121 - Chương 1: Giới hạn và liên tục 39 4. ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM • Hàm đo khoảng cách di chuyển của một chất điểm là 𝑦 = 𝑓 𝑡 thì vận tốc tức thời tại thời điểm 𝑡0 là 𝑣 𝑡0 = lim ℎ→0 𝑓 𝑡0 + ℎ − 𝑓 𝑡0 ℎ • Vận tốc 𝑣 𝑡0 còn được gọi là đạo hàm của 𝑓 tại thời điểm 𝑡0 và ký hiệu 𝑣 𝑡0 = 𝑓 ′ 𝑡0 . • Độ dốc của đường cong 𝑦 = 𝑓 𝑥 tại 𝑃 𝑥0, 𝑓 𝑥0 là 𝑠 𝑥0 = lim ℎ→0 𝑓 𝑥0 + ℎ − 𝑓 𝑥0 ℎ • Độ dốc 𝑠 𝑥0 còn được gọi là đạo hàm của 𝑓 tại 𝑥0 và ký hiệu 𝑠 𝑥0 = 𝑓 ′ 𝑥0 . 24/08/2015 C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, vi phân 40 24/08/2015 C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, vi phân 41 Ví dụ 1. 1. Tính vận tốc tức thời tại thời điểm 𝑡 = 1 của vật rơi tự do, biết hàm đo khoảng cách rơi tự do là 𝑦 = 16𝑡2 2. Cho đường cong 𝑦 = 1/𝑥 a) Tính độ dốc của nó tại 𝑥 = −1. b) Những điểm nào trên đường cong này có độ dốc bằng −1/4? 24/08/2015 C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, vi phân 42 24/08/2015 C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, vi phân 43 24/08/2015 C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, vi phân 44 Định nghĩa 1. Đạo hàm – derivative Cho 𝑥0 ∈ 𝑎, 𝑏 và hàm số 𝑓 𝑥 xác định trên khoảng 𝑎, 𝑏 . Ta nói đạo hàm của 𝑓 𝑥 tại 𝑥0 là giá trị 𝑓′ 𝑥0 = lim ℎ→0 𝑓 𝑥0 + ℎ − 𝑓 𝑥0 ℎ (nếu giới hạn này tồn tại). Hàm số đạo hàm • Nếu 𝑓 có đạo hàm tại 𝑥0 ta nói 𝑓 khả vi (differentiable) tại đó. • Ta có thể xem 𝑓′ là hàm số theo 𝑥 xác định bởi 𝑓′ 𝑥 = lim ℎ→0 𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓 𝑥 ℎ • Nếu hàm số này có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp hai của 𝑓 và ký hiệu 𝑓′′. • Tổng quát, nếu 𝑓 có đạo hàm cấp 𝑛 là 𝑓 𝑛 thì đạo hàm cấp 𝑛 + 1 được định nghĩa là 𝑓 𝑛+1 𝑥 = 𝑓 𝑛 ′ 𝑥 24/08/2015 C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, vi phân 45 • Đạo hàm của 𝑓 𝑥 còn được ký hiệu là 𝑓′ = 𝑑𝑓 𝑑𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 𝑓 • Ta có thể ký hiệu đạo hàm tại 𝑥 = 𝑎 bằng 𝑓′ 𝑎 = 𝑓′ 𝑥 𝑥=𝑎 = 𝑑𝑓 𝑑𝑥 𝑥=𝑎 = 𝑑 𝑑𝑥 𝑓 𝑥 𝑥=𝑎 • Các đạo hàm cấp cao cũng được ký hiệu là 𝑓′′ = 𝑑2𝑓 𝑑𝑥2 = 𝑑2 𝑑𝑥2 𝑓 𝑓 𝑛 = 𝑑𝑛𝑓 𝑑𝑥𝑛 = 𝑑𝑛 𝑑𝑥𝑛 𝑓 24/08/2015 C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, vi phân 46 24/08/2015 C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, vi phân 47 Định lý 1. (Có đạo hàm thì liên tục) Nếu 𝑓 khả vi tại 𝑥 = 𝑐 thì 𝑓 liên tục tại 𝑥 = 𝑐. Đạo hàm các hàm số sơ cấp 𝑥𝛼 ′ = 𝛼𝑥𝛼−1 𝐶′ = 0, với 𝐶 là hằng số 𝑎𝑥 ′ = 𝑎𝑥 ln 𝑎 𝑒𝑥 ′ = 𝑒𝑥 log𝑎 𝑥 ′ = 1 𝑥 ln 𝑎 ln 𝑥 ′ = 1 𝑥 sin 𝑥 ′ = cos 𝑥 cos 𝑥 ′ = − sin 𝑥 tan 𝑥 ′ = 1 + tan2 𝑥 = 1 cos2 𝑥 cot 𝑥 ′ = − 1 + cot2 𝑥 = − 1 sin2 𝑥 arcsin 𝑥 ′ = 1 1 − 𝑥2 arctan 𝑥 ′ = 1 1 + 𝑥2 24/08/2015 C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, vi phân 48 5. MỘT SỐ QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM 𝑢 ± 𝑣 ′ = 𝑢′ ± 𝑣′ 𝑘𝑢 ′ = 𝑘𝑢′, với 𝑘 là hằng số. 𝑢𝑣 ′ = 𝑢′𝑣 + 𝑢𝑣′ 𝑢 𝑣 ′ = 𝑢′𝑣 − 𝑢𝑣′ 𝑣2 24/08/2015 C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, vi phân 49 Ví dụ 2. a) Tính đạo hàm của hàm số 𝑓 𝑥 = 𝑥 1 + ln 𝑥 b) Tính đạo hàm cấp hai của hàm số 𝑓 𝑥 = 2𝑥3 − 2𝑥 + 1 Đạo hàm hàm hợp 24/08/2015 C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, vi phân 50 Định lý 2. Đạo hàm hàm hợp Nếu 𝑓 𝑢 khả vi tại 𝑢 = 𝑔 𝑥 và 𝑔 𝑥 khả vi tại 𝑥 thì hàm hợp 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑔 𝑥 cũng khả vi tại 𝑥 và 𝑓 ∘ 𝑔 ′ 𝑥 = 𝑓 𝑔 𝑥 ′ = 𝑓′ 𝑔 𝑥 ∙ 𝑔′ 𝑥 24/08/2015 C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, vi phân 51 𝑢𝛼 ′ = 𝛼𝑢′𝑢𝛼−1 1 𝑢 ′ = − 𝑢′ 𝑢2 𝑎𝑢 ′ = 𝑢′𝑎𝑢 ln 𝑎 𝑒𝑢 ′ = 𝑢′𝑒𝑢 log𝑎 𝑢 ′ = 𝑢′ 𝑢 ln 𝑎 ln 𝑢 ′ = 𝑢′ 𝑢 sin 𝑢 ′ = 𝑢′ cos 𝑢 cos 𝑢 ′ = −𝑢′ sin 𝑢 tan 𝑢 ′ = 𝑢′ 1 + tan2 𝑢 = 𝑢′ cos2 𝑢 cot 𝑢 ′ = −𝑢′ 1 + cot2 𝑢 = − 𝑢′ sin2 𝑢 arcsin 𝑢 ′ = 𝑢′ 1 − 𝑢2 arctan 𝑢 ′ = 𝑢′ 1 + 𝑢2 Ví dụ 3. a) Tính đạo hàm của các hàm số 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 3𝑥 + 1 𝑔 𝑥 = ln3 𝑥 ℎ 𝑥 = arcsin 1 𝑥 𝑘 𝑥 = 𝑥3/4 𝑥2 + 1 3𝑥 + 2 5 𝑝 𝑥 = 𝑥 𝑥 b) Tính đạo hàm cấp hai của hàm số 𝑦 = sin 𝑥2𝑒𝑥 24/08/2015 C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, vi phân 52 6. XẤP XỈ TUYẾN TÍNH VÀ VI PHÂN • Trong một số trường hợp, ta cần xấp xỉ một hàm phức tạp bằng hàm đơn giản hơn. 24/08/2015 C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, vi phân 53 Định nghĩa 2. Xấp xỉ tuyến tính – linear approximation Nếu 𝑓 khả vi tại 𝑎 thì hàm số 𝐿 𝑥 = 𝑓 𝑎 + 𝑓′ 𝑎 𝑥 − 𝑎 được gọi là tuyến tính hóa (linearization) của 𝑓 tại 𝑎. Và xấp xỉ 𝑓 𝑥 ≈ 𝐿 𝑥 khi 𝑥 ≈ 𝑎 được gọi là xấp xỉ tuyến tính của 𝑓 ở xung quanh 𝑎. 24/08/2015 C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, vi phân 54 Ví dụ 5. 1. Xấp xỉ tuyến tính hàm số 𝑓 𝑥 = 1 + 𝑥 ở xung quanh 𝑎 = 3 và tính xấp xỉ giá trị 4.1. 2. Xấp xỉ tuyến tính hàm số 𝑓 𝑥 = cos2 𝑥 ở xung quanh 𝑎 = 𝜋/4 và tính xấp xỉ giá trị cos2 440 . 3. Xấp xỉ tuyến tính hàm số 𝑓 𝑥 = 1 + 𝑥 𝑘 (với 𝑘 là hằng số) ở xung quanh 𝑎 = 0. 24/08/2015 C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, vi phân 55 Vi phân • Trong cách ký hiệu 𝑦′ = 𝑑𝑦/𝑑𝑥, 𝑑𝑥 được gọi là vi phân của biến số 𝑥 và 𝑑𝑦 là vi phân của hàm số 𝑦. 24/08/2015 C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, vi phân 56 Định nghĩa 3. Vi phân - differential Nếu 𝑦 = 𝑓(𝑥) khả vi thì vi phân của hàm số này là 𝑑𝑦 = 𝑓′ 𝑥 𝑑𝑥 Ví dụ 6. Cho hàm số 𝑦 = 𝑥5 + 3𝑥2 + 𝑥 a) Tìm vi phân 𝑑𝑦. b) Tìm 𝑑𝑦 1 . 24/08/2015 C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, vi phân 57 7. CỰC TRỊ VÀ GTLN, GTNN 24/08/2015 C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, vi phân 58 Định nghĩa 4. GTLN, GTNN – global extremum Hàm số 𝑓 𝑥 đạt giá trị lớn nhất (hay cực đại toàn cục – global maximum – absolute maximum) tại điểm 𝑐 thuộc miền xác định 𝐷 của 𝑓 nếu 𝑓 𝑥 ≤ 𝑓 𝑐 với mọi 𝑥 ∈ 𝐷. Hàm số 𝑓 𝑥 đạt giá trị nhỏ nhất (hay cực tiểu toàn cục – global minimum – absolute minimum) tại điểm 𝑐 thuộc miền xác định 𝐷 của 𝑓 nếu 𝑓 𝑥 ≥ 𝑓 𝑐 với mọi 𝑥 ∈ 𝐷. 24/08/2015 C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, vi phân 59 24/08/2015 C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, vi phân 60 24/08/2015 C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, vi phân 61 24/08/2015 C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, vi phân 62 24/08/2015 C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, vi phân 63 Định lý 3. (về GTLN, GTNN – extreme value theorem) Nếu 𝑓 liên tục trên khoảng đóng 𝑎, 𝑏 thì 𝑓 đạt giá trị lớn nhất 𝑀 và giá trị nhỏ nhất 𝑚 trên khoảng đó. Nghĩa là có hai số 𝑥1, 𝑥2 thuộc 𝑎, 𝑏 sao cho 𝑓 𝑥1 = 𝑚, 𝑓 𝑥2 = 𝑀 và 𝑚 ≤ 𝑓 𝑥 ≤ 𝑀 với mọi 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 . 24/08/2015 C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, vi phân 64 24/08/2015 C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, vi phân 65 Cực trị địa phương 24/08/2015 C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, vi phân 66 Định nghĩa 5. Cực trị địa phương - local extremum Hàm số 𝑓 𝑥 đạt cực đại địa phương (local maximum) tại điểm 𝑐 thuộc miền xác định 𝐷 của 𝑓 nếu có 𝛿 > 0 sao cho 𝑓 𝑥 ≤ 𝑓 𝑐 với mọi 𝑥 ∈ 𝐷 ∩ 𝑐 − 𝛿, 𝑐 + 𝛿 . Hàm số 𝑓 𝑥 đạt cực tiểu địa phương (local minimum) tại điểm 𝑐 thuộc miền xác định 𝐷 của 𝑓 nếu có 𝛿 > 0 sao cho 𝑓 𝑥 ≥ 𝑓 𝑐 với mọi 𝑥 ∈ 𝐷 ∩ 𝑐 − 𝛿, 𝑐 + 𝛿 . Hàm số 𝑓 𝑥 được nói là đạt cực trị địa phương (local extremum) tại 𝑐 nếu nó đạt cực đại hay cực tiểu địa phương tại đó. 24/08/2015 C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, vi phân 67 24/08/2015 C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, vi phân 68 Định lý 4. Định lý Fermat Nếu 𝑓 đạt cực trị địa phương tại điểm trong 𝑐 của miền xác định và nếu 𝑓′ 𝑐 tồn tại thì 𝑓′ 𝑐 = 0 24/08/2015 C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, vi phân 69 Tìm GTLN, GTNN • Cực trị (địa phương hay toàn cục) của 𝑓 chỉ có thể xảy ra tại một trong các loại điểm sau đây – Điểm trong của miền xác định và 𝑓′ = 0 – Điểm trong của miền xác định và 𝑓′ không xác định – Điểm biên của miền xác định. • Nếu 𝑐 là điểm trong của miền xác định và 𝑓′ 𝑐 = 0 hoặc 𝑓′ 𝑐 không tồn tại thì ta nói 𝑐 là điểm tới hạn (critical point) của 𝑓. • Để tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục 𝑓 – Tình giá trị của 𝑓 tại các điểm tới hạn và các điểm biên. – Lấy giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trong các giá trị nói trên. 24/08/2015 C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, vi phân 70 Ví dụ 7. a) Tìm GTLN, GTNN của hàm số 𝑓 𝑥 = 10𝑥 2 − ln 𝑥 trên khoảng 1, 𝑒2 . b) Tìm GTLN, GTNN của hàm số 𝑓 𝑥 = 𝑥𝑒−𝑥 2+𝑥 trên khoảng −2,0 . c) Tìm GTLN, GTNN của hàm số 𝑓 𝑥 = 3 𝑥2 trên khoảng −2,3 . 24/08/2015 C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, vi phân 71 24/08/2015 C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, vi phân 72 24/08/2015 C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, vi phân 73 Định lý Rolle 24/08/2015 C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, vi phân 74 Định lý 4. Định lý Rolle Cho 𝑦 = 𝑓 𝑥 là hàm số liên tục trên khoảng đóng 𝑎, 𝑏 và khả vi trên khoảng mở 𝑎, 𝑏 . Nếu 𝑓 𝑎 = 𝑓 𝑏 thì có ít nhất một 𝑐 ∈ 𝑎, 𝑏 sao cho 𝑓′ 𝑐 = 0. 24/08/2015 C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, vi phân 75 Định lý Lagrange 24/08/2015 C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, vi phân 76 Định lý 5. Định lý Lagrange Cho 𝑦 = 𝑓 𝑥 là hàm số liên tục trên khoảng đóng 𝑎, 𝑏 và khả vi trên khoảng mở 𝑎, 𝑏 . Khi đó có ít nhất một số 𝑐 ∈ 𝑎, 𝑏 sao cho 𝑓′ 𝑐 = 𝑓 𝑏 − 𝑓 𝑎 𝑏 − 𝑎 24/08/2015 C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, vi phân 77 • Định lý Lagrange là định lý cơ bản của phép tính vi phân. Nhiều kết quả quan trọng được suy ra từ đây. 24/08/2015 C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, vi phân 78 Hệ quả 1. Nếu 𝑓′ 𝑥 = 0 với mọi 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 thì 𝑓 𝑥 = 𝐶, với 𝐶 là hằng số. Hệ quả 2. Nếu 𝑓′ 𝑥 = 𝑔′ 𝑥 với mọi 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 thì tồn tại hằng số 𝐶 sao cho 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑥 + 𝐶. Nghĩa là 𝑓 − 𝑔 là hàm hằng trên 𝑎, 𝑏 . Sự đơn điệu của hàm số • Ngoài ra ta còn hệ quả quan trọng sau đây về sự đơn điệu (tăng, giảm) của hàm số. 24/08/2015 C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, vi phân 79 Hệ quả 3. Cho hàm số 𝑓 liên tục trên 𝑎, 𝑏 và khả vi trên 𝑎, 𝑏 . - Nếu 𝑓′ 𝑥 > 0, ∀𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 thì 𝑓 tăng trên 𝑎, 𝑏 . - Nếu 𝑓′ 𝑥 < 0, ∀𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 thì 𝑓 giảm trên 𝑎, 𝑏 . Tìm cực trị địa phương • Cho 𝑐 là điểm tới hạn của hàm số liên tục 𝑓 và giả sử 𝑓 khả vi trên một khoảng mở chứa 𝑐 (có thể ngoại trừ tại 𝑐). • Khi di chuyển từ trái sang phải điểm 𝑐 – Nếu 𝑓′ đổi dấu từ âm sang dương thì 𝑐 là cực tiểu địa phương. – Nếu 𝑓′ đổi dấu từ dương sang âm thì 𝑐 là cực đại địa phương. – Nếu 𝑓′ không đổi dấu (nghĩa là 𝑓′ dương cả hai bên hoặc âm cả hai bên điểm 𝑐) thì 𝑐 không phải là cực trị địa phương. 24/08/2015 C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, vi phân 80 24/08/2015 C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, vi phân 81 Ví dụ 8. a) Tìm cực trị địa phương của 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 3 𝑒𝑥 b) Tìm cực trị địa phương của 𝑓 𝑥 = 3 𝑥 𝑥 − 4 24/08/2015 C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, vi phân 82 24/08/2015 C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, vi phân 83 24/08/2015 C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, vi phân 84 Một số bài toán ứng dụng • Một cái hộp không nắp đậy được làm bằng cách cắt bỏ 4 hình vuông nhỏ kích thước 𝑥 × 𝑥 ở 4 góc của một tấm bìa 12 × 12 cm2 (xem hình vẽ). Tìm giá trị của 𝑥 để thể tích hộp nói trên lớn nhất. 24/08/2015 C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, vi phân 85 • Bạn được yêu cầu thiết kế một cái hộp hình trụ tròn đứng có thể tích 1 lít. Bán kính và chiều cao của hình trụ bằng bao nhiêu để ít tốn nguyên liệu nhất? 24/08/2015 C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, vi phân 86 • Ký hiệu – 𝑟 𝑥 là doanh thu khi bán được 𝑥 sản phẩm, – 𝑐 𝑥 là chi phí để sản xuất 𝑥 sản phẩm, – 𝑝 𝑥 = 𝑟 𝑥 − 𝑐 𝑥 là lợi nhuận thu được. • Trong kinh tế người ta gọi – 𝑟′ 𝑥 là doanh thu biên (marginal revenue), – 𝑐′ 𝑥 là chi phí biên (marginal cost), – 𝑝′ 𝑥 là lợi nhuận biên (marginal profit). • Khi đạt được lợi nhuận tối đa thì doanh thu biên sẽ bằng chi phí biên. 24/08/2015 C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, vi phân 87 24/08/2015 C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, vi phân 88 • Giả sử 𝑟 𝑥 = 9𝑥 và 𝑐 𝑥 = 𝑥3 − 6𝑥2 + 15𝑥, với 𝑥 là số triệu máy nghe nhạc MP3 được sản xuất. Tìm 𝑥 để lợi nhuận thu được là tối đa và mức lợi nhuận tối đa đó là bao nhiêu? 24/08/2015 C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, vi phân 89 24/08/2015 C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, vi phân 90 8. QUY TẮC L’HOSPITAL 24/08/2015 C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, vi phân 91 Định lý 6. Quy tắc L’Hospital. Cho các hàm 𝑓, 𝑔 khả vi và 𝑔′ 𝑥 ≠ 0 trên một khoảng mở chứa 𝑎 (có thể ngoại trừ tại 𝑎). Giả sử một trong hai điều sau đây là đúng a) lim 𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 = lim 𝑥→𝑎 𝑔 𝑥 = 0 hoặc b) lim 𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 = lim 𝑥→𝑎 𝑔 𝑥 = ±∞. Thì khi đó lim 𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 = lim 𝑥→𝑎 𝑓′ 𝑥 𝑔′ 𝑥 miễn là giới hạn vế phải tồn tại (có thể bằng ±∞). • Chú ý, nếu thay 𝑥 → 𝑎 bằng 𝑥 → 𝑎+, 𝑥 → 𝑎−, 𝑥 → ∞ hay 𝑥 → −∞ thì quy tắc trên vẫn đúng. Ví dụ 9. Tính các giới hạn a) lim 𝑥→1 ln 𝑥 1 − 𝑥 b) lim 𝑥→∞ ln 𝑥 𝑥 c) lim 𝑥→𝜋/2 sin 𝑥 1 − 2 cos 𝑥 d) lim 𝑥→∞ 𝑒𝑥 𝑥2 𝑒) lim 𝑥→0 3𝑥 − sin 𝑥 𝑥 𝑓) lim 𝑥→0 1 + 𝑥 − 1 𝑥 24/08/2015 C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, vi phân 92 𝑔) lim 𝑥→0 2 1 + 𝑥 − 𝑥 − 2 𝑥2 ℎ) lim 𝑥→1 𝑥 𝑥 − 1 − 1 ln 𝑥 𝑖) lim 𝑥→∞ 𝑥 sin 1 𝑥 𝑗) lim 𝑥→∞ 1 + cos 4𝑥 cot 𝑥 𝑘) lim 𝑥→∞ 𝑒𝑥 + 𝑥 1/𝑥 𝑙) lim 𝑥→∞ tan 𝑥 𝑥 1/𝑥2 24/08/2015 C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, vi phân 93 9. NGUYÊN HÀM 24/08/2015 C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, vi phân 94 Định nghĩa 6. Nguyên hàm - antiderivative Hàm số 𝐹 được gọi là nguyên hàm của 𝑓 trên khoảng 𝐼 nếu 𝐹′ 𝑥 = 𝑓 𝑥 , ∀𝑥 ∈ 𝐼. Tìm một nguyên hàm cho các hàm số cos 𝑥 2𝑥 1 𝑥 + 2𝑒2𝑥 Định lý 7. Nếu 𝐹 là một nguyên hàm của 𝑓 thì nguyên hàm tổng quát của 𝑓 có dạng 𝐹 𝑥 + 𝐶 với 𝐶 là hằng số. Ví dụ 10 a) Tìm nguyên hàm 𝐹 của 𝑓 𝑥 = 3𝑥2 biết 𝐹 1 = −1. b) Tìm nguyên hàm 𝐹 của 𝑓 𝑥 = 1 𝑥 biết 𝐹 9 = 1. c) Tìm hàm số 𝑓 biết 𝑓′ 𝑥 = 𝑒𝑥 + 20 1 + 𝑥2 −1, 𝑓 0 = −2 d) Tìm hàm số 𝑓 biết 𝑓′′ 𝑥 = 12𝑥2 + 6𝑥 − 4, 𝑓 0 = 4, 𝑓 1 = 1 24/08/2015 C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, vi phân 95 24/08/2015 C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, vi phân 96 Bảng các nguyên hàm 24/08/2015 C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, vi phân 97 24/08/2015 C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, vi phân 98 • Từ các tính chất của đạo hàm, dễ dàng suy ra các tính chất sau đây của nguyên hàm. 24/08/2015 C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, vi phân 99 Tích phân bất định 24/08/2015 C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, vi phân 100 Định nghĩa 7. Tích phân bất định – indefinite integral. Tập hợp tất cả các nguyên hàm của 𝑓 được gọi là tích phân bất định và ký hiệu là 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 Ví dụ 11. Tính các tích phân bất định. 𝑎) 𝑥3 − 2𝑥 + 1 𝑑𝑥 𝑐) 2 cos 2𝑥 − 3 sin 3𝑥 𝑑𝑥 𝑐) 𝑒3𝑥 + 5𝑒−𝑥 𝑑𝑥 𝑑) 𝑡 𝑡 + 𝑡 𝑡2 𝑑𝑡 𝑒) 2 1 − 𝑦2 − 1 𝑦 1 4 𝑑𝑦 24/08/2015 C01128 - Chương 2: Giới hạn, liên tục, vi phân 101