Toán học - Chương 2: Dãy số thực

Định lý Dãy số hội tụ khi và chỉ khi mọi dãy con của nó đều hội tụ và có chung một giới hạn Suy ra nếu dãy {an} có một dãy con không hội tụ hoặc có hai dãy con hội tụ bề hai giới hạn khác nhau thì {an} không hội tụ

pdf20 trang | Chia sẻ: nguyenlam99 | Ngày: 14/01/2019 | Lượt xem: 22 | Lượt tải: 0download
Bạn đang xem nội dung tài liệu Toán học - Chương 2: Dãy số thực, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Chương 2 DÃY SỐ THỰC Huỳnh Văn Kha ĐH Tôn Đức Thắng Toán T1 - MS: C01016 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Dãy số thực Toán T1 - MS: C01016 1 / 19 Nội dung 1 Dãy số hội tụ và các tính chất Dãy số – Giới hạn – Một số tính chất Tiêu chuẩn Weierstrass – Số e Các giới hạn cơ bản – Tính giới hạn 2 Dãy con và Định lý Bolzano - Weierstrass 3 Dãy Cauchy Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Dãy số thực Toán T1 - MS: C01016 1 / 19 Dãy số Một dãy số có thể được xem là một dãy (vô hạn) các con số được được xếp theo một thứ tự nào đó a1, a2, a3, a4, . . . , an, . . . . Với mỗi số tự nhiên n ta có tương ứng duy nhất một số thực an cho nên có thể định nghĩa dãy số là một ánh xạ từ N vào R. Dãy số {a1, a2, a3, . . . } được ký hiệu là {an} hoặc {an}∞n=1 Chú ý, dãy số có thể được đánh số từ 0 hoặc từ bất kỳ số tự nhiên nào khác. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Dãy số thực Toán T1 - MS: C01016 2 / 19 Dãy số thường được cho dưới dạng công thức cho an. Ví dụ 1. 1. Dãy { n n + 1 }∞ n=1 có an = n n + 1{ 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 5 , . . . , n n + 1 , . . . } 2. Dãy { (−1)n √n − 3 }∞ n=3 có an = (−1)n √ n − 3{ 0, 1,− √ 2, √ 3, . . . , (−1)n √n − 3, . . . } 3. Dãy {cos(npi/3)}∞n=0 có an = cos(npi/3) {1, 1/2,−1/2,−1, . . . , cos(npi/3), . . . } Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Dãy số thực Toán T1 - MS: C01016 3 / 19 Tuy nhiên nhiều dãy số không thể cho dưới dạng công thức đơn giản như vậy. Ví dụ 2 1. Dãy Fibonacci {an} được định nghĩa bằng quy nạp a1 = 1, a2 = 1, an = an−1 + an−2, n ≥ 3 2. Gọi an là ký tự thứ n trong phần thập phân của số pi thì các phần tử đầu tiên của dãy {an} là {1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 4, . . . } 3. Gọi pn là số dân thế giới vào Ngày 31 Tháng 12 Năm n. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Dãy số thực Toán T1 - MS: C01016 4 / 19 Dãy số hội tụ Xét dãy số an = n n + 1 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Dãy số thực Toán T1 - MS: C01016 5 / 19 Ta thấy an = n/(n + 1) tiến về 1 khi n đủ lớn. Cụ thể ta thấy khoảng cách giữa 1 và an là 1− n n + 1 = 1 n + 1 . Khoảng cách này có thể nhỏ tùy ý miễn n đủ lớn. Trong trường hợp này, ta nói dãy {n/(n + 1)} có giới hạn là 1 và viết lim n→∞ n n + 1 = 1. Tổng quát, dãy {an} được nói là có giới hạn bằng L nếu các an có thể gần L tùy ý khi n đủ lớn. Ký hiệu lim n→∞ an = L hoặc lim an = L. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Dãy số thực Toán T1 - MS: C01016 6 / 19 Một cách chính xác, ta có định nghĩa Định nghĩa Dãy số an được nói là có giới hạn bằng L nếu với mọi ε > 0 đều tồn tại số tự nhiên N sao cho |an − L| < ε,∀n ≥ N. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Dãy số thực Toán T1 - MS: C01016 7 / 19 Tương tự, dãy số an được nói là có giới hạn bằng ∞ (tương ứng −∞) nếu với mọi số thực M đều tồn tại số tự nhiên N sao cho an > M,∀n ≥ N (tương ứng an < M,∀n ≥ N). Khi đó ta cũng ký hiệu lim an =∞ (tương ứng lim an = −∞) và nói dãy {an} có giới hạn bằng ∞ (hoặc −∞). Nếu lim an = L ∈ R thì ta nói {an} là dãy hội tụ. Ngược lại, nếu lim an = ±∞ hoặc lim an không tồn tại thì ta nói {an} là dãy phân kỳ. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Dãy số thực Toán T1 - MS: C01016 8 / 19 Một số tính chất Giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương, căn, lũy thừa, . . . bằng tổng, hiệu, tích, thương, căn, lũy thừa, . . . của giới hạn (miễn là tính được). Ví dụ nếu lim an và lim bn đều tồn tại thì: lim(an ± bn) = lim an ± lim bn lim(anbn) = (lim an) (lim bn) lim an bn = lim an lim bn (với bn 6= 0, lim bn 6= 0) lim √ an = √ lim an (với an ≥ 0, lim an ≥ 0) lim(an) r = (lim an) r . Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Dãy số thực Toán T1 - MS: C01016 9 / 19 Tiêu chuẩn giới hạn kẹp Nếu an ≤ bn ≤ cn, ∀n ≥ n0 và lim an = lim cn = L thì lim bn = L. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Dãy số thực Toán T1 - MS: C01016 10 / 19 Dãy đơn điệu - Dãy bị chận Dãy {an} gọi là dãy tăng nếu: an ≤ an+1,∀n ∈ N. Dãy {an} gọi là dãy giảm nếu: an ≥ an+1,∀n ∈ N. Nếu {an} là dãy tăng hoặc giảm thì ta nói {an} đơn điệu. Ví dụ 3. Xét tính đơn điệu của các dãy số sau. an = n 2, an = n + 1 n , an = (−1)n √ n + 1 {an} gọi là bị chận trên nếu: ∃M ∈ R, an ≤ M,∀n ∈ N. {an} gọi là bị chận dưới nếu: ∃N ∈ R, an ≥ N,∀n ∈ N. Nếu {an} bị chận trên và dưới thì ta nói nó bị chận. Ví dụ 4. Xét tính bị chận của các dãy số trên. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Dãy số thực Toán T1 - MS: C01016 11 / 19 Tiêu chuẩn Weierstrass – Số e Tiêu chuẩn Weierstrass Một dãy số tăng và bị chận trên thì hội tụ. Một dãy số giảm và bị chận dưới thì hội tụ. Xét dãy an = ( 1+ 1 n )n . Người ta chứng minh được nó là dãy tăng và bị chận trên. Suy ra nó hội tụ. Ta định nghĩa e = lim n→+∞ ( 1+ 1 n )n e là số vô tỉ và e ≈ 2.7182818284590 . . . Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Dãy số thực Toán T1 - MS: C01016 12 / 19 Các giới hạn cơ bản 1. Nếu a > 0 thì lim n→∞ 1 na = 0, lim n→∞ n a = +∞. 2. Nếu |a| < 1 thì: lim n→∞ a n = 0. Nếu a > 1 thì lim n→∞ a n = +∞. 3. Nếu a > 1 và α ∈ R thì: lim n→∞ nα an = 0. 4. Nếu a > 0 thì lim n→∞ n √ a = 1 Đồng thời lim n→∞ n √ n = 1. 5. Giới hạn liên quan số e: lim n→+∞ ( 1+ x n )n = ex Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Dãy số thực Toán T1 - MS: C01016 13 / 19 Tính giới hạn Biến đổi đưa về giới hạn cơ bản, áp dụng các tính chất, sử dụng giới hạn kẹp, . . . . Ví dụ 5. Tính các giới hạn các dãy số sau. 1. lim n→∞ 4n2 + 1 3n2 + 2 2. lim n→∞ (√ n2 + 1− n) 3. lim n→∞ (√ 2n + √ n −√2n + 1 ) 4. lim n→∞ n √ n n √ n2 + n √ n + 1 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Dãy số thực Toán T1 - MS: C01016 14 / 19 5. lim n→∞ 3 · 5n − 2n 4n + 2 · 5n 6. lim n→∞ n2n + 1 3n + n2 7. lim n→∞ ( 2n − 1 2n )n 8. lim n→∞ ( n n + 1 )2n 9. lim n→∞ n sin √ n n2 + n − 1 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Dãy số thực Toán T1 - MS: C01016 15 / 19 Dãy con Định nghĩa Cho dãy số (an). Nếu: n1 < n2 < n3 < · · · < nk < . . . là dãy tăng (ngặt) các số tự nhiên thì dãy bk = ank gọi là dãy con của dãy (an) Ví dụ: Các dãy a1, a3, a5, a7, a9, . . . , a2k−1, . . . a1, a2, a3, a5, a8, . . . (với nk+2 = nk+1 + nk) là các dãy con của dãy an. Đặt biệt, (an) là dãy con của chính nó. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Dãy số thực Toán T1 - MS: C01016 16 / 19 Định lý Dãy số hội tụ khi và chỉ khi mọi dãy con của nó đều hội tụ và có chung một giới hạn. Suy ra nếu dãy {an} có một dãy con không hội tụ hoặc có hai dãy con hội tụ về hai giới hạn khác nhau thì {an} không hội tụ. Ngoài ra, ta còn có tính chất sau Mọi dãy đều có ít nhất một dãy con đơn điệu Định lý Bolzano-Weierstrass Mọi dãy bị chặn đều có ít nhất một dãy con hội tụ Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Dãy số thực Toán T1 - MS: C01016 17 / 19 Dãy Cauchy Định nghĩa Dãy xn gọi là dãy Cauchy nếu: ∀ε > 0,∃n0 ∈ N,∀m, n ≥ n0 : |xm − xn| < ε Có thể kiểm chứng dễ dàng rằng mọi dãy hội tụ đều là dãy Cauchy. Ngoài ra, do tính đầy đủ của R nên ta có chiều ngược lại. Tức là: Định lý Dãy hội tụ khi và chỉ khi nó là dãy Cauchy Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Dãy số thực Toán T1 - MS: C01016 18 / 19 Bài tập. Tính các giới hạn các dãy số sau. 1. lim n→∞ 2n + n3 1+ 2n3 2. lim n→∞ (√ 3n2 + n − n√3 ) 3. lim n→∞ ( 1+ 2 3n )2n 4. lim n→∞ n − 3n+2 2n + 3n 5. lim n→∞ n! + n + 1 (n + 1)! + 2 6. lim n→∞ n √ n + 1 3n √ n + 2 7. lim n→∞ ( 3n − 1 3n + 1 )n 8. lim n→∞ ( n 2n + 1 )n Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Dãy số thực Toán T1 - MS: C01016 19 / 19

Các file đính kèm theo tài liệu này:

  • pdf2_1666.pdf
Tài liệu liên quan